1. Cap´ıtulo 11
Newton
Estudando o movimento dos corpos, Galileo Galilei (1564–1642) descobriu,
atrav´es de experimentos, que “um corpo que se move, continuar´a em movi-
mento a menos que uma for¸ca seja aplicada e que o force a parar.” Galileo
argumentou que o movimento ´e t˜ao natural quanto o repouso, isto ´e, um
corpo que est´a em repouso permanece em repouso, a menos que seja subme-
tido a uma for¸ca que o fa¸ca mover-se. Se um objeto j´a est´a se movimentando,
ele continuar´a em movimento, a menos que seja submetido a uma for¸ca que
o fa¸ca parar.
Galileo, que descobriu os sat´elites de J´upiter, comunicou seus dados a
Kepler, que verificou que eles obedeciam `as Trˆes Leis de Kepler, por´em com
um valor da constante K diferente na 3a. Lei.
Sessenta anos depois, o inglˆes Isaac Newton (1643-1727) foi quem deu
uma explica¸c˜ao completa ao movimento e `a forma como as for¸cas atuam. A
descri¸c˜ao est´a contida nas suas 3 leis.
Primeira Lei: In´ercia, elaborada a partir de Galileo: em ausˆencia de
for¸cas externas, um objeto em repouso permanece em repouso, e um objeto
em movimento permanece em movimento, ficando em movimento retil´ıneo
e com velocidade constante. Essa propriedade do corpo que resiste `a mu-
dan¸ca, chama-se in´ercia. A medida da in´ercia de um corpo ´e seu momentum.
Newton definiu o momentum de um objeto como sendo proporcional `a sua
velocidade. A constante de proporcionalidade, que ´e a sua propriedade que
resiste `a mudan¸ca, ´e a sua massa:
p = mv = constante se F = 0
Segunda Lei: Lei da For¸ca, relaciona a mudan¸ca de velocidade do
objeto com a for¸ca aplicada sobre ele. A for¸ca l´ıquida aplicada a um objeto
83

2. ´e igual `a massa do objeto vezes a acelera¸c˜ao causada ao corpo por essa for¸ca.
A acelera¸c˜ao ´e na mesma dire¸c˜ao da for¸ca.
F = m × a = m ×
dv
dt
=
dp
dt
Terceira Lei: A¸c˜ao e Rea¸c˜ao, estabelece que, se o objeto exerce uma
for¸ca sobre outro objeto, esse outro exerce uma for¸ca igual e contr´aria.
Newton pˆode explicar o movimento dos planetas em torno do Sol, assu-
mindo a hip´otese de uma for¸ca dirigida ao Sol, que produz uma acelera¸c˜ao
que for¸ca a velocidade do planeta a mudar de dire¸c˜ao continuamente. Como
foi que Newton descobriu a Lei da Gravita¸c˜ao Universal? Considerando o
movimento da Lua em torno da Terra e as leis de Kepler.
O
r
v
v
v
v.dt
dv
D
E
G
1
1
2
Acelera¸c˜ao em ´orbitas circulares: o holandˆes Christiaan Huygens
(1629–1695), em 1673, e independentemente Newton, em 1665, (mas publi-
cado apenas em 1687, no Principia), descreveram a acelera¸c˜ao centr´ıpeta.
Consideremos uma part´ıcula que se move em um c´ırculo. No instante
t a part´ıcula est´a em D, com velocidade v1 na dire¸c˜ao DE. Pela 1a. lei de
Newton, se n˜ao existe uma for¸ca agindo sobre o corpo, ele continuar´a em
movimento na dire¸c˜ao DE. Ap´os ∆t, a part´ıcula est´a em G, e percorreu a
distˆancia v × ∆t, e est´a com velocidade v2, de mesmo m´odulo v, mas em
outra dire¸c˜ao.
84

3. Seja θ o ˆangulo entre o ponto D e o ponto G. θ tamb´em ´e o ˆangulo entre
v1 e v2:
θ =
v∆t
r
=
∆v
v
e, portanto, a acelera¸c˜ao:
a =
∆v
∆t
=
v2
r
Se a part´ıcula tem massa m, a for¸ca central necess´aria para produzir a
acelera¸c˜ao ´e:
F = m
v2
r
Claramente, a dedu¸c˜ao ´e v´alida se ∆v e ∆t s˜ao extremamente pequenos, e
´e um exemplo da aplica¸c˜ao do c´alculo diferencial, que foi desenvolvido pela
primeira vez por Newton.
Um pouco de hist´oria
Em sua pr´oprias palavras, Newton, como citado no pref´acio do cat´alogo dos
Portsmouth Papers, descreve como utilizou as Leis de Kepler para derivar a gra-
vita¸c˜ao universal. “In the year 1665, I began to think of gravity extending to the orb
of the Moon, and having found out how to estimate the force with which [a] globe
revolving within a sphere presses the surface of the sphere, from Kepler’s Rule of
the periodical times being in a sesquialterate proportion of their distances from the
centers of their orbs I deduced that the forces which keep the Planets in their orbs
must [be] reciprocally as the squares of their distances from the centers about which
they revolve: and thereby compared the force requisite to keep the Moon in her orb
with the force of gravity as the surface of the earth, and found them answer pretty
nearly.”
Em 1668, Newton construiu um telesc´opio refletor, usado atualmente em todos
os observat´orios profissionais, com um espelho curvo ao inv´es de uma lente, como
nos telesc´opios refratores de Galileo e Kepler. O telesc´opio de Galileo, constru´ıdo
em 1609, era composto de uma lente convexa e uma lenta cˆoncava. Kepler, no livro
Dioptrice, publicado em 1611, explicou que seria melhor construir um telesc´opio
com duas lentes convexas, como se usa atualmente. A descoberta de Newton do
efeito de um prisma separando um feixe de luz branca ´e a base da espectroscopia.
Christiaan Huygens (1629–1695), que tamb´em constru´ıa seus telesc´opios, des-
cobriu, em 1655, o sat´elite Titan de Saturno, e que as “orelhas” de Saturno desco-
bertas em 1610 eram, na verdade, an´eis (De Saturni Luna Observatio Nova, 1656
e Sistema Saturnia, 1659). Em 1656, inventou o rel´ogio de pˆendulo e o patenteou
no ano seguinte. Em 1673, publicou o Oscillatorium Horologium, no qual explicou
o movimento do pˆendulo e descreveu a for¸ca centr´ıpeta.
85

4. 11.1 Gravita¸c˜ao universal
Obviamente, a Terra exerce uma atra¸c˜ao sobre os objetos que est˜ao sobre
sua superf´ıcie. Newton se deu conta de que essa for¸ca se estendia at´e a Lua e
produzia a acelera¸c˜ao centr´ıpeta necess´aria para manter a Lua em ´orbita. O
mesmo acontece com o Sol e os planetas. Ent˜ao, Newton levantou a hip´otese
da existˆencia de uma for¸ca de atra¸c˜ao universal entre os corpos em qualquer
parte do Universo.
A for¸ca centr´ıpeta que o Sol exerce sobre um planeta de massa m, que
se move com velocidade v a uma distˆancia r do Sol, ´e dada por:
F = m
v2
r
.
Assumindo, nesse instante, uma ´orbita circular, que mais tarde ser´a ge-
neralizada para qualquer tipo de ´orbita, o per´ıodo P do planeta ´e dado por:
P =
2πr
v
=⇒ v =
2πr
P
Pela 3a. Lei de Kepler,
P2
= Kr3
,
onde a constante K depende das unidades de P e r. Temos, ent˜ao, que
v2
=
4π2r2
Kr3
=
4π2
Kr
=⇒ v2
∝
1
r
.
Seja m a massa do planeta e M a massa do Sol. A express˜ao da for¸ca
centr´ıpeta exercida pelo Sol no planeta pode, ent˜ao, ser escrita como:
F ∝
m
r2
,
e, de acordo com a 3a. lei de Newton, o planeta exerce uma for¸ca igual e
contr´aria sobre o Sol. A for¸ca centr´ıpeta exercida pelo planeta sobre o Sol,
de massa M ´e dada por:
F ∝
M
r2
,
Newton deduziu, ent˜ao, que:
F =
GMm
r2
onde G ´e uma constante de proporcionalidade. Tanto o Sol quanto o pla-
neta que se move em torno dele experimentam a mesma for¸ca, mas o Sol
86

5. permanece aproximadamente no centro do sistema solar porque a massa do
Sol ´e aproximadamente mil vezes maior que a massa de todos os planetas
somados.
Newton, ent˜ao, concluiu que, para que a atra¸c˜ao universal seja correta,
deve existir uma for¸ca atrativa entre pares de objetos em qualquer regi˜ao
do universo, e essa for¸ca deve ser proporcional a suas massas e inversamente
proporcional ao quadrado de suas distˆancias. A constante de proporcionali-
dade G depende das unidades das massas e da distˆancia.
11.2 Deriva¸c˜ao da “constante” K
Suponha dois corpos de massas m1 e m2, com velocidades v1 e v2, em ´orbita
circular em torno do centro de massa comum, cuja distˆancia a cada um ´e r1
e r2, respectivamente.
A atra¸c˜ao gravitacional ´e dada por:
FG =
Gm1m2
(r1 + r2)2
e as for¸cas centr´ıpetas por:
F1 =
m1v2
1
r1
e
F2 =
m2v2
2
r2
Como:
v1 =
2πr1
P
=⇒ v2
1 =
4π2r2
1
P2
e o mesmo para m2,
F1 = F2 = FG =
Gm1m2
(r1 + r2)2
=
m1v2
1
r1
=
4π2m1r1
P2
e
Gm1m2
(r1 + r2)2
=
m2v2
2
r2
=
4π2m2r2
P2
Eliminando-se m1 na primeira e m2 na segunda e somando-se, obtemos:
G(m1 + m2)
(r1 + r2)2
=
4π2(r1 + r2)
P2
,
87

6. ou:
P2
=
4π2
G(m1 + m2)
(r1 + r2)3
Comparando essa express˜ao com a forma original da 3a lei de Kepler:
P2
= Ka3
vemos que
K =
4π2
G(m1 + m2)
(11.1)
Isso nos diz que a “constante” K, definida como a raz˜ao P2
a3 , s´o ´e constante
realmente se (m1 + m2) permanece constante. Isso ´e o que acontece no caso
dos planetas do sistema solar: como todos tˆem massa muito menor do que
a massa do Sol, a soma da massa do Sol com a massa do planeta ´e sempre
aproximadamente a mesma, independente do planeta. Por essa raz˜ao Kepler,
ao formular sua 3a lei, n˜ao percebeu a dependˆencia com a massa.
Mas, se considerarmos sistemas onde os corpos principais s˜ao diferentes,
ent˜ao as raz˜oes P2
a3 ser˜ao diferentes. Por exemplo, todos os sat´elites de
J´upiter tˆem praticamente a mesma raz˜ao P2
a3 = KJ , que portanto podemos
considerar constante entre elas, mas essa constante ´e diferente da raz˜ao
P2
a3 = K comum aos planetas do sistema solar. Para estabelecermos a
igualdade temos que introduzir a massa:
(M + mp)
P2
a3
= (MJ + ms)
P2
a3
J
= constante
ou, considerando as massas dos planetas desprez´aveis frente `a massa do Sol,
e as massas dos sat´elites desprez´aveis frente `a massa de J´upiter, e represen-
tando a raz˜ao P2
a3 pela letra K, temos:
M K = MJ KJ = constante
Generalizando para quaisquer sistemas, podemos escrever:
M1 K1 = M2 K2 = .... = Mn Kn = constante
onde Kn ´e a raz˜ao entre o quadrado do per´ıodo e o cubo do semi-eixo maior
da ´orbita para os corpos do sistema de massa Mn.
Pela equa¸c˜ao 11.1 sabemos que o valor dessa constante ´e 4 π2
G , e temos
ent˜ao:
88

7. M1K1 = M2K2 = .... = MnKn =
4 π2
G
Existem casos de sistemas gravitacionais em que n˜ao podemos desprezar
a massa de nenhum corpo frente `a do outro, como, por exemplo, muitos
sistemas bin´arios de estrelas.
Nesses casos, ´e mais correto escrever:
(M + m)1K1 = (M + m)2K2 = .... = (M + m)nKn =
4 π2
G
(11.2)
11.3 Determina¸c˜ao de massas
A terceira lei de Kepler na forma derivada por Newton pode se escrita como:
(M + m) =
4π2
G
a3
P2
(11.3)
que nada mais ´e do que a ´ultima parte da equa¸c˜ao 11.2, onde foi substitu´ıdo
K por P2
a3 .
No sistema internacional de unidades, G = 6, 673 × 10−11 N m2/kg2, ou
G = 6, 67 × 10−11 m3/(kg s2) e foi medida em laborat´orio pelo f´ısico inglˆes
Henry Cavendish (1731-1810) em 1798.
Mas, em astronomia, muitas vezes ´e mais conveniente adotar outras uni-
dades que n˜ao as do sistema internacional. Por exemplo, em se tratando
de sistemas nos quais o corpo maior ´e uma estrela, costuma-se determinar
suas massas em unidades de massa do Sol, ou massas solares (massa do
Sol = M ), seus per´ıodos em anos e suas distˆancias entre si em unidades
astronˆomicas. Em sistemas em que o corpo maior ´e um planeta, ´e mais
conveniente expressar sua massa em unidades de massas da Terra (massa da
Terra = M⊕), seu per´ıodo em meses siderais e suas distˆancias relativas em
termos da distˆancia entre Terra e Lua. Em ambos os sistemas o valor de G
´e 4π2, e a terceira lei de Kepler fica:
M + m =
a3
P2
a qual ´e especialmente ´util para a determina¸c˜ao de massas de corpos as-
tronˆomicos.
Por exemplo, se se observa o per´ıodo orbital e a distˆancia de um sat´elite
a seu planeta, pode-se calcular a massa combinada do planeta e do sat´elite,
89

8. em massas solares ou massas terrestres. Como a massa do sat´elite ´e muito
pequena comparada com a massa do planeta, a massa calculada (m + M) ´e
essencialmente a massa do planeta (M).
Da mesma forma, observando-se o tamanho da ´orbita de uma estrela
dupla, e o seu per´ıodo orbital, pode-se deduzir as massas das estrelas no
sistema bin´ario. De fato, pode-se usar a terceira lei de Kepler na forma
revisada por Newton para estimar a massa de nossa Gal´axia e de outras
gal´axias.
Exemplo 1:
Deimos, o menor dos 2 sat´elites de Marte, tem per´ıodo sideral de 1,262
dias e uma distˆancia m´edia ao centro de Marte de 23500 km. Qual a massa
de Marte?
Podemos resolver este problema de diversas maneiras. Aqui vamos mos-
trar algumas delas.
1. Calculando a massa de Marte diretamente em massas terrestres. (Va-
mos usar a nota¸c˜ao: Marte = Ma; Deimos = D; Terra = ⊕ e Lua =
L).
(a) Uma maneira de resolver o problema ´e compararando os parˆame-
tros da ´orbita de Deimos em torno de Marte com os parˆametros
da ´orbita da Lua em torno da Terra, sem introduzir o valor da
constante.
Desprezando a massa de Deimos e da Lua frente `as massas de
seus respectivos planetas, podemos escrever:
MMaKMa = M⊕K⊕
sendo KMa = (PD)2
/(aD)3
e K⊕ = (PL)2
/(aL)3. Ent˜ao:
MMa
M⊕
=
(PL)2
/(aL)3
(PD)2
/(aD)3 =
PL
PD
2
aD
aL
3
Sabendo que:
PL = 27, 32 dias
PD = 1, 262 dias
aL = 384 000 km
90

9. aD = 23 500 km
Temos:
MMa
M⊕
=
27, 32 dias
1, 262 dias
2
23500 km
384000 km
3
= 0, 1
MMa = 0, 1 M⊕
(b) Podemos chegar ao mesmo resultado usando a express˜ao formal
da 3a lei de Kepler (equa¸c˜ao 11.3), escrevendo as distˆancias em
termos da distˆancia Terra-Lua, as massas em massas terrestres,
e os per´ıodos em termos do per´ıodo da Lua, ou seja, usando o
sistema de unidades [distˆancia T-L (dTL), massa terrestre (M⊕),
mˆes sideral (mes)]:
MMa + mD MMa =
4π2
G
(aD)3
(PD)2
Fazendo as transforma¸c˜oes de unidades:
PD = (1, 262/27, 32) meses = 4, 62 × 10−2
meses
aD = (23500/384000) dTL = 6, 1 × 10−2
dTL
G = 4π2
(dTL)3
/(M⊕ meses2
) =⇒
4π2
G
= 1 (M⊕ meses2
)/(dTL)3
Temos:
MMa =
6, 1 × 10−2 3
(4, 62 × 10−2)2 M⊕ =⇒ MMa = 0, 1 M⊕
2. Calculando diretamente a massa de Marte em massas solares (M ).
(a) Compararando o movimento de Deimos em torno de Marte com
o movimento da Terra em torno do Sol:
MMaKMa = M K
onde K = (P⊕)2
/(a⊕)3
e KMa = (PD)2
/(aD)3
Ent˜ao:
MMa
M
=
(P⊕)2
/(a⊕)3
(PD)2
/(aD)3 =
P⊕
PD
2
aD
a⊕
3
91

10. Sabendo que:
P⊕ = 365, 25 dias
PD = 1, 262 dias
a⊕ = 1, 5 × 108
km
aD = 2, 35 × 104
km
Temos:
MMa
M
=
365, 25 dias
1, 262 dias
2
2, 35 × 104 km
1, 5 × 108 km
3
= 3, 2 × 10−7
MMa = 3, 2 × 10−7
M
(b) Usando a equa¸c˜ao 11.3 e adotando o sistema de unidades [UA,
M , ano]
MMa + mD MMa =
4π2
G
aD
3
PD
2
Fazendo a transforma¸c˜ao de unidades:
PD = (1, 262/365, 25) anos = 3, 46 × 10−3
anos
aD = (2, 35 × 104
/1, 5 × 108
) UA = 1, 57 × 10−4
UA
G = 4π2
UA3
/(M ano2
) =⇒ 4π2
/G = 1 (M ano2
)/UA3
Temos:
MMa =
(1, 57 × 10−4)
3
(3, 46 × 10−3)2
M =⇒ MMa = 3, 2 × 10−7
M
3. Calculando diretamente a massa de Marte em quilogramas, ou seja,
usando os sistema internacional [m, kg, s]
MMa + mD MMa =
4π2
G
(aD)3
(PD)2
Escrevendo todos os dados em unidades do sistema internacional:
PD = 1, 262 dias = 1, 09 × 105
s
aD = 23 500 km = 2, 35 × 105
m
G = 6, 67 × 10−11
m3
/(kg s2
)
92

11. Temos:
MMa =
4π2
6, 67 × 10−11
kg s2
m3
(2, 35 × 105m)
3
(1, 09 × 105s)2
MMa = 6, 4 × 1023
kg
Exemplo 2:
Duas estrelas idˆenticas ao Sol giram uma em torno da outra a uma
distˆancia de 0,1 UA. Qual o per´ıodo de revolu¸c˜ao das estrelas?
2M =
(0, 1UA)3
P2
=⇒ P =
0, 001
2
= 0, 022 anos
93