Workshop apresentado dia 4 de Julho. Recebemos alguns elogios e algumas críticas: realmente aprendemos muito. Para mim, foi a experiência mais instrutiva e educativa que tive em meu semestre.

2. Plano de trabalho

4. •Probabilidade
•Estatística

5. •Probabilidade
•Estatística
• Probabilidade:
– Espaço de probabilidade
– Variáveis aleatórias
– Distribuições
– Processos estocásticos
• Estatística
– Estimadores
– Testes de Hipótese

6. •Probabilidade
•Análise de equipamento
•Estatística

7. •Probabilidade
•Análise de equipamento
•Estatística
• Análise de
equipamento:
– Falta de manual
– Limite do contador
– Tempo morto
– Marcação de tempo

8. •Probabilidade
•Análise de equipamento
•Estatística

9. •Probabilidade
•Análise de equipamento
•Estatística
•Modelagem
•Hipóteses
•Teoria
•Objetivos

10. •Análise de equipamento
•Probabilidade
•Montagem experimental
•Estatística
•Modelagem
•Hipóteses
•Teoria
•Objetivos
•Planejamento de
amostragem
•Coleta de dados

11. •Análise de equipamento
•Probabilidade
•Montagem experimental
•Estatística
•Modelagem
•Hipóteses
•Teoria
•Objetivos
•Análise de dados
•Resultados
•Planejamento de
•Críticas
amostragem
•Apresentação do
•Coleta de dados
Workshop

12. Modelagem para o
decaimento radioativo

13. Modelo
• Partindo da Formulação do Problema, o primeiro passo seria escrever um modelo.
• Nosso modelo baseia-se na observação de contagens, isto é, utilizamos um instrumento
que detecta a partícula emitida.
Contador que não
perde contagens.

14. Modelo
• Partindo da Formulação do Problema, o primeiro passo seria escrever um modelo.
• Nosso modelo baseia-se na observação de contagens, isto é, utilizamos um instrumento
que detecta a partícula emitida.
Contador marca • Na emissão de uma partícula
uma unidade eou radiação, a amostra
transforma-se em outro
b ou b+g elemento.
• Nosso modelo tratará da
observação da emissão em um
intervalo de tempo.
• Conseguimos, então, provar que o experimento “observar um decaimento
até o instante t”, supondo a perda de memória deste experimento, deve
obedecer à distribuição de probabilidade
P(t )  1  et .

15. Modelo
Modelo
• A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quase
imediata: trata-se da seguida observação de sistemas independentes emitindo
partículas.

16. Modelo
Modelo
• A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quase
imediata: trata-se da seguida observação de sistemas independentes emitindo
partículas.

17. Modelo
• A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quase
imediata: trata-se da seguida observação de sistemas independentes emitindo
partículas.

18. Modelo
• A transição para uma amostra cheia de objetos que podem decair é quase
imediata: trata-se da seguida observação de sistemas independentes emitindo
partículas.

19. Modelo
• Neste exemplo, ao final da experiência, teríamos contado a
emissão de 3 partículas.
• Supondo que o tempo de vida média (recíproco de ) destas
partículas seja o mesmo para todas, a probabilidade de que
ocorram n contagens é
N
  e 
t N n
t
BN , (n)    1 e
n
,
n

• usualmente conhecida como distribuição binomial, com
média
 .
E(n)  N 1  et

20. Modelo
• A literatura nos informa que o tempo médio para haver contagens (tempo
médio de vida) é, aproximadamente, 30 anos, ou algo da ordem de 950
milhões de segundos.
• A distribuição binomial apresenta
• Analisemos o termo como parâmetros N e .
p(t ) : 1  et . Tomando então o limite
t  0 e N  ,
• Como o intervalo de tempo em
que realizaremos a observação
então B converge assintoticamente
do decaimento radioativo não
em distribuição para a distribuição
se compara com o tempo de
de Poisson com parâmetro Np(t),
vida médio do césio,
isto é,
t 1
 e
t n
N 1 e
• este termo deve aproximar-se
 .
n
 N 1et
PN , (n) 
de t.
n!

21. Modelo
• Ainda, o experimento de contagem em uma amostra pode ser compreendido
como a variável aleatória que soma as contagens de cada objeto
independente.
• •
O experimento de contagens das Como a nossa variável aleatória é a
emissões radioativas (de qualquer soma de N variáveis aleatórias
natureza) pode ser entendido independentes e identicamente
formalmente como uma variável
distribuídas, é natural esperarmos
aleatória a que ligamos a soma dos
que a distribuição tenda à distribuição
resultados das observações de cada um
Gaussiana, utilizando o teorema
dos constintuintes da amostra.
central do limite,
 n   2 
1
exp  .
G , (n)   2 2 
 2  

22. Modelo
• Ainda, o experimento de contagem em uma amostra pode ser compreendido
como a variável aleatória que soma as contagens de cada objeto
independente.
• Neste limite, temos uma distribuição gaussiana,
• O experimento de depende de dois• parâmetros: a variável e o
que contagens das Como a nossa média aleatória é a
emissões radioativas (de qualquer
desvio padrão, dados porsoma de N variáveis aleatórias
natureza) pode ser entendido
 
independentes e identicamente

formalmente como uma variável t
aleatória a que ligamos a soma N 1  e
 dos distribuídas, é natural esperarmos
e
que a distribuição tenda à distribuição
1 e .
resultados das observações de cada um
t Gaussiana, utilizando o teorema
  Ne t
dos constintuintes da amostra.
central do limite,
 n   2 
1
exp  .
G , (n)   2 2 
 2  

23. N
  e 
t N n
t
BN , (n)    1 e
n
,
n


24. N
  e 
t N n
t
BN , (n)    1 e
n
,
n

t  0 e N  
N 

25. N
  e 
t N n
t
BN , (n)    1 e
n
,
n

t  0 e N  
N 
 e
 n   2  t n
N 1 e  .
n
1  N 1et
exp  . PN , (n) 
G , (n)   2 
 2 2
  n!

26. Experimentação

27. Função distribuição
• Temos três candidatas à distribuição de probabilidades para o número de
contagens. Mas conjuntamente, temos diversos problemas associadas a todas
estas distribuições. Como resolvê-los?
• Em um intervalo de tempo de 30s
observamos o número de contagens
diversas vezes.
• A razão entre o tempo de experiência e
o tempo médio de contagens é da
ordem de 10-9.
• Consideraremos ainda que o número de objetos que ainda podem
emitir partículas (ou ondas eletromagnéticas) é muito grande.

28. Função distribuição
Histograma de Contagens - Césio (137)
• Organizamos os resultados
50
em um histograma, isto é, um Contagens
45
gráfico que relaciona o 40
número de contagens com a 35
Freqüência
freqüência com que este 30
25
resultado ocorre. 20
• O perfil ao lado encaixa-se em 15
nossas expectativas: as 10
5
distribuições binomial, normal 0
e poissônica devem encaixar- 1100 1150 1200 1250 1300
Intervalo de classe para a contagem
se bem.

29. Histograma de Contagens - Césio (137)
50
45
Contagens
Fit Gaussiano
40
35
Frequência
30
25
20
15
10
5
0
1150 1200 1250 1300
Intervalo de classe para a contagem

30. Função distribuição
Histograma de Contagens - Césio (137)
• No entanto, assim como
50
argumentamos no início, o
Contagens
modelo não consegue 45
Fit Poisson
distinguir qual das 40
distribuições deve melhor 35
encaixar-se. Esperamos, na
Frequência
30
verdade, que no intervalo
25
tomado, ambas as
20
distribuições igualem-se.
• 15
Notemos ainda: a distribuição
poissônica é discreta, 10
característica importante que 5
difere as duas candidatas 0
1100 1150 1200 1250 1300
Intervalo de classe para a contagem

31. Histograma de Contagens - Césio (137
50
Contagens
45
40
35
Frequência
30
25
20
15
10
5
0
1100 1150 1200 1250 1300
Intervalo de classe para a contagem

32. Confiabilidade da
distribuição

33. Estimadores
• Um estimador (de um parâmetro de uma distribuição) é uma função qualquer
das observações da amostra. Esta função estima um valor para o parâmetro,
caracterizando assim, ao menos em partes, a distribuição.
• Como sabemos quais são as prováveis distribuições, podemos não
só estimar seus parâmetros como também utilizar relações entre
os parâmetros para verificarmos a distribuição que melhor se
encaixa em nossos dados. Abaixo temos dois estimadores não
viciados para nossos parâmetros.
| n   |
2
1N
   ni  i
N i 1 N 1

34. Estimadores
• Definamos ainda o estimador
• Para a distribuição de N
| n   |
Poisson, podemos provar i
d i 1
de forma simples a relação ,
N
  . • usualmente conhecido como
desvio médio. Para a distribuição
normal, podemos provar que
• A verificação desta igualdade
propõe boa concordância com
d 24
a distribuição de Poisson.
 .
 5

35. Estimadores
• Efetuamos os cálculos para os estimadores propostos e os resultados
estão listados logo abaixo.
d  27.73
  34.97
  1200

36. Estimadores
• Efetuamos os cálculos para os estimadores propostos e os resultados
estão listados logo abaixo.
d  27.73
  34.97
  1200
• As relações teste para verificação da relação entre os
estimadores foram efetuados em seguida.
  Estas relações concordam
 0.99
 em 99% com os valores
esperados. Isto significa que
de fato as duas distribuições
5d
 0.99 são ótimas para descrever o
4 experimento de contagens.

37. Assimetria da distribuição
• Vamos ainda testar se a maioria das
Histograma de Contagens - Césio (137)
partículas realmente encontram-se
no intervalo [, +]. Para isto, 50
Contagens
contamos o número de partículas 45
que de fato não estão neste 40
“intervalo de confiança” para o 35
Frequência
experimento de contagens. 30
25
• Porcentagem esperada fora do
20
intervalo: 31.7%. .
15
 Contagens acima: 42 - 19% 10
5
 Contagens abaixo: 29 - 13%
0
 Contagens fora: 71 - 32.71% 1100 1150 1200 1250 1300
Intervalo de classe para a contagem
 Erro de 0.3%
Intervalo de confiança
• Este resultado evidencia uma leve
assimetria com relação ao eixo central.

38. Assimetria da distribuição
• Podemos medir esta assimetria
• Como o coeficiente de assimetria é
utilizando o coeficiente de
proporcional ao terceiro momento,
assimetria, usualmente associado
quanto mais aproximar-se de zero,
a Fisher, definido como
m3 mais simétrica é a distribuição. É
  3/ 2 , comum a utilização deste
m2 coeficiente para medir a assimetria.
• em que utilizamos os segundo e
terceiro momentos (centrados na
média),

mk   n   
n
k
.
f (n)
nn0
• Se a distribuição é simétrica, então
os n-ésimos momentos ímpares
(ísto é, n impar) devem anular-se.

39. Assimetria da distribuição
• Efetuando os cálculos, • Podemos observar um primeiro indício de
obtemos os primeiros três simetria com relação à média devido a
momentos: anulação do primeiro momento. Utilizando
o segundo e o terceiro momentos,
calcularmos o coeficiente de assimetria:
m1 = -5.606 e-15
  0.198.
m2 = 1.183 e3
• Usualmente, a anulação da primeira
casa decimal é o suficiente para
m3 = 8.706 e3 considerar a distribuição simétrica.
Consideramos portanto este
resultado satisfatório e a distribuição
m4 = 3.9805 e7
de fato simétrica.

40. Assimetria da distribuição
• Efetuando os cálculos, • Aproveitando, no entanto, estes cálculos,
obtemos os primeiros três podemos efetuar uma medida sobre o
momentos: achatamento da distribuição,
m4
  2,
m1 = -5.606 e-15
m2
conhecida como curtose que no caso da
Gaussiana deve aproximar-se de 3.
m2 = 1.183 e3
  2.84.
m3 = 8.706 e3
• Este valor de curtose nos fornece um
erro de 5% sobre o valor esperado
para uma distribuição normal.
m4 = 3.9805 e7

41. Teste de hipótese: c²
• Na grande maioria dos casos, criamos modelagens para os eventos que
desejamos estudar. Para saber se a modelagem (hipóteses) são corretas (não
absurdas), realizamos testes de hipóteses
• Sabemos que nossas variáveis aleatórias são independentes,
identicamente distribuídas e sua distribuição de probabilidades é
Gaussiana.
• Suponha a grandeza
Oi Ei 2 .
n
Q : 
Ei
i 1
• Obviamente, desejamos que esta grandeza seja o menor
possível.

42. Teste de hipótese: c²
• Na grande maioria dos casos, criamos modelagens para os eventos que
desejamos estudar. Para saber se a modelagem (hipóteses) são corretas (não
absurdas), realizamos testes de hipóteses
• Adicionemos às nossas suspeitas que os valores Ei são todos não
nulos. Neste caso, pode-se provar que
Q ~ c 2.
• Sabendo disto, calcula-se a distribuição de probabilidade de que
Q tenha um valor maior do que um certo Q0 obtido como
resultado daquela soma. Esta distribuição vale

1
x 2 1 2
P(Q  Q0 ) 
x
r
e dx.
 r  2r
 2 Q0
 2

43. Teste de hipótese: c²
Convergência do Teste de Hipótese
• Ao lado temos como o 1.00000
Probabilidade associada ao teste
valor de P(Q<Q0) evolui em 0.99998 2
c em função do número de dados
utilizados para o cálculo.
função do número de 0.99995
pontos que consideramos 0.99993
Probabilidade
de nossos experimentos. 0.99990
• Podemos ver que há uma 0.99988
certa convergência, muito 0.99985
embora o valor seja 0.99982
insignificantemente menor 0.99980
do que 100%. 150 160 170 180 190 200 210 220
Número de contagens
-
c²/DoF = 4.07693 P(x < c²) = 99.998%

44. Ritmo de contagem e
o tempo morto

45. Ritmo de contagem
• Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto
com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de
fundo e obter alguma informação sobre o Cs.
• Definimos o ritmo de contagem
como a razão entre o número
médio de contagens n e o
tempo t durante o qual essa
contagem foi feita,
n
r : .
t
• Dada uma grandeza física,
podemos associá-la a um erro,
cujo procedimento padrão é
linearizar a grandeza em termos
de seus parâmetros e diferenciar
o resultado. Definimos a
grandeza resultante como erro.

46. Ritmo de contagem
• Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto
com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de
fundo e obter alguma informação sobre o Cs.
• Definimos o ritmo de contagem
como a razão entre o número • Segundo o modelo, as possíveis
médio de contagens n e o distribuições de probabilidade
tempo t durante o qual essa apresentam média
n  N 1  et .
contagem foi feita,
n
r : .
t
• Dada uma grandeza física, Supondo a aproximação t << 1, o
•
podemos associá-la a um erro, número médio de contagens até o
cujo procedimento padrão é instante t é
linearizar a grandeza em termos
n  Nt.
de seus parâmetros e diferenciar
o resultado. Definimos a
grandeza resultante como erro.

47. Ritmo de contagem
• Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto
com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de
fundo e obter alguma informação sobre o Cs.
• Definimos o ritmo de contagem
• Utilizando a amostra de Cs (considerando a
como a razão entre o número
radiação de fundo), obtivemos como ritmo de
médio de contagens n e o
contagem, em unidades de contagens por
tempo t durante o qual essa
minuto (cpm),
contagem foi feita,
n
r : .
t rt = 2469 cpm.
• Dada uma grandeza física,
•
podemos associá-la a um erro, Utilizando o equipamento sem o Cs, medimos
cujo procedimento padrão é o ritmo de contagem da radiação de fundo,
linearizar a grandeza em termos
de seus parâmetros e diferenciar
rf = 25.8 cpm.
o resultado. Definimos a
grandeza resultante como erro.

48. Ritmo de contagem
• Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto
com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de
fundo e obter alguma informação sobre o Cs.
• Definimos o ritmo de contagem
como a razão entre o número
• Para o ritmo de contagem,
médio de contagens n e o
 r   r 
2 2
tempo t durante o qual essa (Dr)    (Dt )2 +   (Dn)2 .
2
 t   n 
contagem foi feita,
n •
r : . Vamos desprezar (Dt)². Neste caso, utilizando
t a relação entre a média e a variância,

2
•  1
Dada uma grandeza física,
(Dr)2    (Dn)2  2 .
podemos associá-la a um erro,
t    .
t
cujo procedimento padrão é
linearizar a grandeza em termos
de seus parâmetros e diferenciar
o resultado. Definimos a
grandeza resultante como erro.

49. Ritmo de contagem
• Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto
com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de
fundo e obter alguma informação sobre o Cs.
• Definimos o ritmo de contagem
como a razão entre o número
• Para o ritmo de contagem,
médio de contagens n e o
 r   r 
2 2
tempo t durante o qual essa (Dr)    (Dt )2 +   (Dn)2 .
2
 t   n 
contagem foi feita,
n •
r : . Vamos desprezar (Dt)². Neste caso, utilizando
t a relação entre a média e a variância,

• Dada uma grandeza física,
Dr  .
podemos associá-la a um erro,
t
cujo procedimento padrão é
linearizar a grandeza em termos
de seus parâmetros e diferenciar
o resultado. Definimos a
grandeza resultante como erro.

50. Ritmo de contagem
• Até o momento, estávamos contando emissões radioativas do Cs em conjunto
com a radiação de fundo. Vamos tentar minimizar os efeitos da radiação de
fundo e obter alguma informação sobre o Cs.
• Definimos o ritmo de contagem
• Como o ritmo de contagem quando utilizamos
como a razão entre o número
a amostra de Cs apresenta em conjunto a
médio de contagens n e o
tempo t durante o qual essa radiação de fundo, o ritmo de contagem
verdadeiramente do Cs será
contagem foi feita,
n
r : . nf
nt
rc  rt  rf  
t .
tt t f
• Dada uma grandeza física,
•
podemos associá-la a um erro, O erro deverá ser
cujo procedimento padrão é
linearizar a grandeza em termos rf
rt
Drc  + .
de seus parâmetros e diferenciar
tt t f
o resultado. Definimos a
grandeza resultante como erro.

51. Ritmo de contagem
• Podemos, utilizando esta última relação, obter uma
Fundo Com Amostra
relação entre os tempos em que medimos o ritmo de
0.94 min 9.06 min
contagem com a amostra e apenas o fundo, dada por
tt 30 22505
rt
 .
tf 27 22828
rf
27 22144
• Medimos o ritmo de contagem para considerando 10
24 22243
min de experiência. Utilizando este procedimento,
28 22328
obtemos como resultado
25 22172
r = (2439 ± 24) cpm. 27 22275
32 22651
 A medida do ritmo de contagem apresenta um erro 27 22349
representativo sobre seu valor estimado de 1%. Este
37 22217
ritmo de contagem foi comparado com resultados
•
obtidos há certa de 2 anos neste mesmo laboratório. Tabela de dados para
esta experiência.
De fato, a queda esperada é observada (em torno de
50 cpm).

52. O tempo morto
• Temos o ritmo de contagem do Césio e da radiação de fundo, ambos com
erros muito pequenos (como vimos, o ritmo de contagem para o césio
apresenta erro relativo de 1%).
Sinal emitido na
• Podemos então determinar o tempo morto
detecção
do contador Geiger. Este tempo pode ser
determinado utilizando os resultados que já
temos:
rc + rf  rc+ f
Dt  .
2rc rf
• Obtemos como resultado o tempo morto do
Dt
detector Geiger,
• Podemos estimar em 40
Dt = (260 ± 30) s contagens médias por segundo, o
que significa que não há
problemas com o tempo morto.

53. Críticas, conclusões e
últimas palavras

54. Críticas
 Para um teste de aderência, os olhos são
sempre míopes. Por isso, utilizamos
 Com o estudo de probabilidade, fomos
estimadores (estatística) para obter os
capazes de determinar a distribuição que
parâmetros da distribuição de
deveríamos observar (dadas algumas
probabilidade confirmamos que estes
hipóteses) para o decaimento radioativo,
parâmetros comportavam-se como
assim como analisamos as principais
parâmetros de uma distribuição normal e
convergências em distribuição que
poissônica.
poderiam ainda ser observadas em nosso
 Medimos, utilizando o Coeficiente de
experimento.
Assimetria, o quanto nossa distribuição
 Realizamos o experimento, coletando 217
estava assimétrica.
amostras consecutivas para o decaimento
 Realizamos o teste c² para observar quão
do Césio (137) e 30 amostras consecutivas
confiável seria a distribuição normal para
para a radiação de fundo.
descrever nossos resultados.
 Com estes resultados, construímos um
 Determinamos o rítmo de contagem do
histograma de freqüências com que
Césio, 2439 cpm, com erro de 1%.
resultados do experimento surgiam,
Conjuntamente, medimos o tempo morto
observando as distribuições normal e
e determinamos que não há interferência
poissônica.
neste experimento.

55. Críticas
 Infelizmente não fomos capazes de
estimar de forma segura os parâmetros da
distribuição binomial. Os problemas
 Apesar de não podermos obter ainda
encontrados foram:
nenhum resultado realmente novo,
 À medida com que realizamos o consideramos que o modelo proposto
experimento, somos forçados a pará-lo. encaixa-se satisfatoriamente em nossas
Ao pará-lo, a distribuição muda. Portanto, observações.
estatisticamente, não somos capazes de
observar mais do que uma única vez a  O modelo parte de hipóteses não
comentadas durante a apresentação
mesma amostra. Portanto, obtemos
(estão em extra), mas disponibilizaremos
apenas uma única amostra, o que não nos
um relatório sobre este modelo para os
garante segurança em nossos resultados.
interessados.
 O Césio emite em torno de 40 vezes por
segundo, o que atrapalha na precisão de
um possível experimento contínuo.

56. Últimos comentários
 Os cálculos foram efetuados com
 Experiments in Modern Physics, Adrian C. scripts Python disponíveis no apêndice.
Os scripts efetuam os cálculos de
Melissinos e Jim Napolitano, 2ª edição,
momentos estatísticos, c² reduzido e
Cod Fís-539M523e2, Academic Press,
ritmo de contagem. Para efetuar
2003.
propagação de erros, utilizamos um
 An Introduction to Error Analysis, John R.
pacote de classes desenvolvido por
Taylor, 2ª edição, Cod Fís-53016T243i2,
nós.
University Science Book, Sausalito,
 Os gráficos foram confecionados em
California, 1997
Origin, versão 7.10.
 UAH, applets para estudos de estatística
 Para evidenciar confiabilidade de
e probabilidades,
nossos cálculos, comparamos os
 http://www.math.uah.edu/stat/applets/Poisso
nExperiment.xhtml resultados obtidos com os scripts e
com o Origin.

58. Últimos comentários
 Statistical Theory and Methodology in Science
 Experiments in Modern Physics, Adrian C. and Engineering, K. A. Brownlee, 2ª edição,
Melissinos e Jim Napolitano, 2ª edição, Cod New York: John Wiley & Sons, 1965.
Fís-539M523e2, Academic Press, 2003.  Nuclear Theory: Nuclear Models, Walter
 An Introduction to Error Analysis, John R. Greiner, 3ª edição, North Holland Physics
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59. 1202 1268 1262 1209 1184 1280 1152 1185 1161 1190 1242 1203 1237
1184 1190 1171 1201 1287 1225 1165 1193 1189 1230 1209 1185 1231
1176 1178 1223 1183 1235 1225 1305 1156 1187 1211 1207 1235 1232
1178 1259 1182 1208 1177 1121 1207 1201 1249 1195 1177 1236 1226
1183 1121 1165 1195 1239 1163 1151 1201 1229 1208 1216 1152 1166
1228 1195 1217 1175 1243 1197 1241 1182 1233 1136 1278 1202 1189
1137 1167 1263 1153 1203 1200 1159 1192 1193 1268 1258 1231 1233
1230 1254 1211 1157 1200 1169 1223 1183 1176 1197 1154 1239 1255
1212 1200 1213 1299 1184 1148 151 1237 1182 1277 1206 1185 1182
1231 1238 1164 1220 1214 1210 1217 1184 1205 1158 1223 1198 1145
1170 1185 1124 1176 1228 1233 1209 1254 1250 1164 1182 1194 1201
1290 1214 1147 1221 1240 1273 1250 1217 1217 1219 1189 1219 1130
120 1276 1205 1231 1232 1219 1158 1162 1265 1235 1188 1267 1173
1195 1226 1197 1206 1236 1218 1179 1208 1223 1244 1284 1225 1161
1174 1195 1214 1207 1175 1208 1240 1160 1206 1168 1190 1165 1270
1191 1203 1193 1221 1170 1195 1206 1204 1212 1194 1198 195 1245
1186 1208 1174 1218 1215 1186 1234 1216 1217

60. 1202 1268 1262 1209 1184 1280 1152 1185 1161 1190 1242 1203 1237
1184 1190 1171 1201 1287 1225 1165 1193 1189 1230 1209 1185 1231
1176 1178 1223 1183 1235 1225 1305 1156 1187 1211 1207 1235 1232
1178 1259 1182 1208 1177 1121 1207 1201 1249 1195 1177 1236 1226
1183 1121 1165 1195 1239 1163 1151 1201 1229 1208 1216 1152 1166
1228 1195 1217 1175 1243 1197 1241 1182 1233 1136 1278 1202 1189
1137 1167 1263 1153 1203 1200 1159 1192 1193 1268 1258 1231 1233
1230 1254 1211 1157 1200 1169 1223 1183 1176 1197 1154 1239 1255
1212 1200 1213 1299 1184 1148 151 1237 1182 1277 1206 1185 1182
1231 1238 1164 1220 1214 1210 1217 1184 1205 1158 1223 1198 1145
1170 1185 1124 1176 1228 1233 1209 1254 1250 1164 1182 1194 1201
1290 1214 1147 1221 1240 1273 1250 1217 1217 1219 1189 1219 1130
120 1276 1205 1231 1232 1219 1158 1162 1265 1235 1188 1267 1173
1195 1226 1197 1206 1236 1218 1179 1208 1223 1244 1284 1225 1161
1174 1195 1214 1207 1175 1208 1240 1160 1206 1168 1190 1165 1270
1191 1203 1193 1221 1170 1195 1206 1204 1212 1194 1198 195 1245
1186 1208 1174 1218 1215 1186 1234 1216 1217

61. Scripts python

62. Scripts python

63. Scripts python

64. Scripts python

65. Intervalo de Confiança
• A função erf não pode ser descrita
em termos de funções elementares.
• Para saber quantas contagens
Por isso, calculando numericamente
espera-se encontrar fora do
a função,
intervalo de confiança, basta que
1
integremos a função densidade de
1  erf    0.317.
probabilidade no intervalo
 2
I   ,   ] + , . • O erro relativo a este resultado é de
0.3%, o que consideramos um
• Isto significa que gostaríamos de resultado realmente bom.
calcular a integral
2  + u 2 
+
 e du  e du   1  erf  1 .
n/ 2
2
 e du     
P(  I )  u u 2

2

 n/ 2  2
0 
0

66. Detalhes físicos

67. Detalhes físicos

68. Importância do número
De intervalos
• Ao gerarmos os histogramas, utilizamos 25 divisões para
realizar os cálculos. No entanto, quão significativo é a
escolha do número de intervalos? Mostramos abaixo uma
tabela com alguns valores calculados para diferentes
números de intervalos.
Bins Coeficiente Primeiro Segundo Terceiro Momento
Assimetria Momento Momento
10 0.198 3.98722477e-015 5.4660815 e003 2.61842 e004
12 0.198 -3.63797880e-002 5.2415756 e003 8.97848 e004
19 0.198 3.17231751e-002 5.1596400 e003 2.01902 e004
22 0.198 -1.52795109e-002 5.5200690 e003 369913372.59 e004

69. Modelo
• A variável aleatória “tempo de
espera” tem como distribuição • Efetuando a integral, obtemos
de probabilidade acumulada
• como resultado uma partícula
Contador marca Na emissão de
uma t
P (t )  1 eunidade eou radiação, a amostra
, 1
t .
T transforma-se em outro

b ou b+g
• com densidade de probabilidade elemento.
• Nosso modelo tratará da
dada por
• Portanto, esteemissão em um
parâmetro
 t observação da
p(t )  e . proposto de tempo. motivos
por
intervalo
“estatísticos” coincide com o
• Por definição, a média do tempo
recíproco do tempo de vida
de espera é
• Conseguimos, então, provar que o experimento “observar um decaimento
médio da amostra, grandeza
t”, supondo a perda de memória deste experimento, deve
até o instante utilizada com freqüência pelos
t   te dt.t
obedecer à distribuição de probabilidade pesquisadores desta área.
P(t )  1  et .
0

70. N
  e 
t N n
t
BN , (n)    1 e
n
,
n

t  0 e N  
N 
 e
 n   2  t n
N 1 e  .
n
1  N 1et
exp  . PN , (n) 
G , (n)   2 
 2 2
  n!