Relatório sobre a observação da difração de elétrons e a medição do comprimento de onda associado ao elétron.

1. Difração de Elétrons
Relatório, 09 de maio de 2008
Brenno Gustavo Barbosa e Thiago Schiavo Mosqueiro

2. Difração de Elétrons
• Em torno do século XX, o modelo
clássico da física divergia em
resposta de diversos experimentos.
Alguns novos modelos foram
propostos que remendavam este
modelo clássico.
• Um dos modelos foi a proposta de
Louis de Broglie, sobre a existência
de ondas de matéria.

3. Difração de Elétrons
Três anos após esta proposta, dois experimentos distintos
confirmaram esta nova modelagem utilizando a difração
(efeito usualmente observado em ondas) de elétrons.
George Paget Thomson, na Universidade de Nos laboratórios da Bell, Clinton Joseph
Aberdeen, observou a passagem de um feixe Davisson e Lester Halbert Germer guiaram
de elétrons por uma fina camada de metal e um feixe de elétrons, incidindo sobre uma
observou o fenômeno proposto, medindo o estrutura cristalina (periódica) e observaram
comprimento de onda efetivo. o mesmo fenômeno.

4. Comprimento de
onda associada a
um elétron
O modelo de de Broglie propõe
associarmos a qualquer partícula
uma onda, cujo comprimento de
onda e energia estão bem
definidos.

5. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
qualquer, a relação
h
 .
p
 h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
 p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.

6. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
qualquer, a relação
h
 .
p
 h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
 p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.

7. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
qualquer, a relação
h
 .
p
 h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
 p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.

8. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
qualquer, a relação
h
 .
p
 h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
 p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.

9. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
qualquer, a relação
h
 .
p
 h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
 p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.

10. Difração de Elétrons
• De Broglie propôs como partida
para as novas teorias a asserção,
para uma dada partícula
d A C
qualquer, a relação
B
h
 .
p
 h: constante de Planck. • Com isto, podemos modelar a
 p: momento. seguinte situação de forma bem
simples: imagine um feixe de
elétrons que incide sobre um
material.

11. Difração de Elétrons
• Chamamos a distância d de
distância entre planos de incidência,
 d
sobre os quais o elétron realizará a
difração.
• Este é um fator que necessitaremos
de dados previamente calculados
A B
por outras técnicas.
• As ilustrações anteriores nos
• Esta equação assemelha-se
fornecem como solução final,
aos máximos associados ao
utilizando como argumento a
padrão de difração. O
diferença de caminho óptico (termo
comprimento de onda
emprestado da óptica geométrica),
associada ao elétron pode,
portanto, ser calculada a
2d sin( )  n
partir da difração de elétrons
em uma rede cristalina.

12. Difração de Elétrons
• O que no entanto realmente
• Isto significa que, utilizando esta
ocorre está esquematizado
aproximação, podemos calcular o
acima. Podemos, portanto,
comprimento de onda associada
aproximar a relação acima,
ao elétron.
conhecida como Equação de
• Parte de nossa experiência será
Bragg, apenas como
utilizar o padrão de difração para
rd
 . realizar este cálculo.
l

13. Difração de Elétrons
• Suponha agora que um cátodo • Conhecendo o comprimento de
incandescente emite elétrons e os onda de um elétron, podemos então
acelera com a ação de um potencial calcular a constante de Planck,
V. Sem nos preocupar com muitos
detalhes, podemos calcular a
h   2meV .
velocidade a partir da conservação
de energia
• Podemos então obter a constante de
2eV
v Planck de 2 formas parecidas: uma
.
m delas é calculando diversos
comprimentos de onda, para diferentes
• Utilizando a proposta de de Broglie,
potenciais de aceleração, e calculando a
conhecemos o comprimento de onda
media das constantes de Planck
associada a esses elétrons,
calculadas com cada particular valor;
outra forma é utilizar um gráfico que
h
 relacione  contra o inverso da raiz
.
2meV quadrada do produto 2meV.

14. A difração de elétrons
e a constante de
Planck
Segundo nosso modelo, podemos
propor um procedimento que
resultará não apenas na medição
do comprimento de onda
associada ao elétron, como
também o valor da constante de
Planck.

15. O procedimento • O raio das circunferências
observadas são os padrões de
difração. Cada circunferência
retrata um plano de reflexão
• Sabemos o que calcular e o que devemos medir.
distinto. Deveremos marcar,
Nos falta um procedimento, isto é, como
portanto, o raio de cada uma
medir.
das circunferências que forem
passíveis de leitura.
• O padrão de difração assemelha-se
muito à figura abaixo. Esta figura traz
• Note que a resolução do feixe não é
consigo detalhes que serão importantes
muito pequeno. Notamos que a largura
para nossa modelagem e criação de
do feixe observado pode chegar a
nosso procedimento para realizar as
diferir de 0.5cm, medida esta
medidas.
relevante para nosso experimento.
• Com base nisto, bolamos o seguinte
procedimento de medida: para cada
tensão de aceleração, era possível
observar duas circunferências distintas.
Anotamos então o diâmetro de cada
uma das duas circunferências,
utilizando três métodos distintos.

16. O procedimento
• Primeiro Passo: medimos o raio
mais interno, fechando o paquímetro
totalmente e o reabrindo até tocar,
internamente, a circunferência.
d1

17. O procedimento
 Primeiro Passo: medimos o raio
mais interno, fechando o paquímetro
totalmente e o reabrindo até tocar,
internamente, a circunferência.
 Segundo Passo: medimos o raio d2
mais externo, abrindo o paquímetro até
ultrapassar a circunferência e, em
seguida, o fechando até tocar,
externamente, a circunferência.

18. O procedimento
 Primeiro Passo: medimos o raio
mais interno, fechando o paquímetro
totalmente e o reabrindo até tocar,
internamente, a circunferência.
 Segundo Passo: medimos o raio d3
mais externo, abrindo o paquímetro até
ultrapassar a circunferência e, em
seguida, o fechando até tocar,
externamente, a circunferência.
 Terceiro Passo: medimos o raio
médio, entre o raio interno e o raio
externo, utilizando apenas o bom senso
como discriminação.

19. O procedimento
• O procedimento descrito no slide anterior é
repetido para cada um dos valores do potencial
de aceleração.
• Foi possível verificar duas
circunferências diferentes, às quais
identificaremos como circunferência
menor e circunferência maior.
• Infelizmente, outras ordens eram
observadas apenas em altos valores do
potencial de aceleração (~8.00 ±
0.05kV), o que é uma sugestão de
simplesmente ignorá-los para todo o
• O paquímetro que utilizamos nos fornecia experimento.
precisão de ± 0.01 mm.
• Apresentaremos a seguir os resultados.
• Variamos o potencial partindo de 2.50kV,
com passo de 0.50kV, até 9.50kV.

21. Diâmetro Diâmetro Diâmetro
Potencial Raio Comp. Onda
Externo Interno médio
(kV, ± 0.01) (mm, ± 0.01) (E-11 m, ± 0.06)
(mm, ± 0.01) (mm, ± 0.01) (mm, ± 0.01)
2.49 31.1 31.05 30.45 15.43 2.59
2.99 25 27.35 31 13.89 2.33
3.48 21.3 25 28 12.38 2.08
4.00 19 23.05 26.7 11.46 1.92
4.49 19.65 21.05 26.5 11.20 1.88
5.01 18.7 21.35 24.05 10.68 1.79
5.50 16.5 20.35 21.6 9.74 1.63
6.00 16.85 19.4 21.6 9.64 1.62
6.47 17 19 20 9.33 1.57
7.03 15.75 17.3 19.6 8.78 1.47
7.52 15.05 17 18.8 8.47 1.42
8.01 15.8 16.35 18.3 8.40 1.41
8.50 14.1 14.8 17 7.65 1.28
9.01 15.2 17 -- 8.05 1.35
9.50 14.85 15.55 16.35 7.79 1.31

22. Circunferência menor
• Os valores anteriores mostram como devem ser os
comprimentos de onda para o elétron. Notemos que a
ordem de grandeza de nossas medidas é
1  1011m.
• Este valor está dentro do valor esperado, mas ainda não
tem muito significado para nós.
• Podemos agora medir o valor da constante de Planck h,
cujo valor é fornecido pelo CODATA com grande
precisão. Para isto, utilizamos a relação
h   2meV .

23. Circunferência menor
Comp. Onda h Erro Comp. Onda h Erro
(E-11 m, ± 0.06) (E-34 Js) (E-34 Js) (E-11 m, ± 0.06) (E-34 Js) (E-34 Js)
2.59 6.97 1.62 1.57 6.79 2.60
2.33 6.87 1.77 1.47 6.66 2.71
2.08 6.61 1.91 1.42 6.65 2.81
1.92 6.56 2.05 1.41 6.81 2.90
1.88 6.79 2.17 1.28 6.38 2.99
1.79 6.84 2.29 1.35 6.92 3.07
1.63 6.54 2.40 1.31 6.87 3.16
1.62 6.76 2.51

24. Circunferência menor
Difração de Elétrons
• Ao lado, vemos o
comportamento dos dados
Medidas obtidas para a
-11
2.6x10
Comprimento de onda do elétron (m)
circunferência de menor diâmetro.
modelados em um gráfico.
Melhor reta fitada:
-11
2.4x10
• Ao relacionarmos  com o
-34 -13
(6.9 ± 0.2)10 Js * x - (6 ± 5)10
inverso do quadrado do
-11
2.2x10
potencial, o esperado é uma
-11
2.0x10
reta cujo coeficiente angular é
-11
diretamente proporcional a h.
1.8x10
-11
1.6x10
• Assim, podemos calcular a
-11
1.4x10
média das constantes de
-11
Planck, obtendo como
1.2x10
resultado
22 22 22 22 22
2.0x10 2.5x10 3.0x10 3.5x10 4.0x10
1/2
Prop. ao inverso da raiz quadrada do potencial (1/(2meV) )
h p  (6.85  0.2)1034 Js.

26. Diâmetro Diâmetro Diâmetro
Potencial Raio Comp. Onda
Externo Interno médio
(kV, ± 0.01) (mm, ± 0.01) (E-11 m, ± 0.06)
(cm, ± 0.01) (cm, ± 0.01) (mm, ± 0.01)
2.49 5.11 5.24 5.16 25.85 2.50
2.99 4.59 4.89 5.25 24.55 2.38
3.48 4.36 4.60 4.80 22.91 2.22
4.00 3.72 4.43 4.20 20.58 1.99
4.49 3.65 4.00 4.22 19.78 1.92
5.01 3.54 3.85 4.11 19.15 1.85
5.50 3.46 3.62 3.83 18.17 1.76
6.00 3.25 3.50 3.80 17.57 1.70
6.47 3.00 3.40 3.60 16.67 1.61
7.03 2.86 3.17 3.40 15.70 1.52
7.52 2.81 3.07 3.26 15.22 1.47
8.01 2.86 2.94 3.16 14.92 1.44
8.50 2.70 2.90 3.00 14.33 1.39
9.01 2.69 2.60 3.10 13.98 1.35
9.50 2.60 2.80 2.85 13.76 1.33

27. Circunferência maior
• Temos mais novos dados sobre os comprimentos de
onda do elétron, cuja ordem de grandeza concorda com o
experimento anterior,
 2  1011m.
• Este valor, teoricamente, deveria manter-se o mesmo.
Podemos notar que a discrepância entre estes dois
valores obtidos é de
11
  (0.02)10 m.
• Digamos de passagem que esta é uma discrepância
usualmente chamada de insignificante.

28. Circunferência maior
Comp. Onda h Erro Comp. Onda h Erro
(E-11 m, ± 0.06) (E-34 Js) (E-34 Js) (E-11 m, ± 0.06) (E-34 Js) (E-34 Js)
2.50 6.97 1.62 1.57 6.79 1.61
2.38 6.87 1.77 1.47 6.66 1.52
2.22 6.61 1.91 1.42 6.65 1.47
1.99 6.56 2.05 1.41 6.81 1.44
1.92 6.79 2.17 1.28 6.38 1.39
1.85 6.84 2.29 1.35 6.92 1.35
1.76 6.54 2.40 1.31 6.87 1.33
1.70 6.76 2.51

29. Circunferência maior
Difração de Elétrons
• Ao lado, vemos o (bom)
-11
2.6x10
comportamento dos dados
Comprimento de onda do elétron (m)
modelados em um gráfico.
-11
2.4x10
• Ao relacionarmos  com o
-11
2.2x10
inverso do quadrado do
potencial, o esperado é uma
-11
2.0x10
reta cujo coeficiente angular é
diretamente proporcional a h.
-11
1.8x10
-11
1.6x10
• Assim, podemos calcular a
Medidas obtidas para a
circunferência de maior diâmetro.
média das constantes de
-11
1.4x10 Melhor reta fitada:
Planck, obtendo como
-34 -13
(6.55 ± 0.07)10 Js * x + (9 ± 2)10
resultado
-11
1.2x10
22 22 22 22 22
2.0x10 2.5x10 3.0x10 3.5x10 4.0x10
1/2
Prop. ao inverso da raiz quadrada do potencial (1/(2meV) )
h g  (6.64  0.02)1034 Js.

31. Correção relativística
• Sabendo o potencial a que esta submetido um
elétron, sua velocidade deverá ser
2eV
v(V )  .
m0
• Sem muito rigor, vamos propor a seguinte correção na
massa eletrônica:
m0 m0
m(V )   .
2
2eV
 v(V )  1
1   2
m0 c
c

32. Correção relativística
• Infelizmente, ao propor esta correção não há
qualquer modificação nos cálculos.
• Primeiramente, podemos argumentar que os potenciais não
são suficientemente grandes para que diferenças sejam de
fato notórias.
• Também podemos lembrar que esta correção, segundo a
modelagem relativística usual, não é correta: a massa seria
uma função da velocidade, que é função do potencial. Dada a
velocidade inicial, teríamos a aceleração destes elétrons e,
então, a colisão nos planos cristalinos. Isto exigiria, para
correções de maior ordem, a relatividade geral, o que não está
dentro do escopo do estudo.

33. Conclusão e palavras
finais
Apresentaremos a seguir nossas
conclusões e as referências que
utilizamos para efetuas os
cálculos e raciocínios.

34. Conclusão
• A constante de planck foi • Nesta experiência, utilizamos
determinada pelo CODATA com o a difração de Bragg para obter
valor o comprimento de onda,
segundo De Broglie, dos
h  6.626068(1034 ) Js. elétrons. Com o comprimento
de onda, calculamos o valor
da constante de Planck com
• Nós obtemos o valor, dados os
erro relativo de 2%.
experimentos realizados como
• Para realizar as medidas,
descrito acima,
propusemos uma modelagem
h  (6.74  0.08)1034 Js. segura para a medida do raio
de circunferências espessas.
• Utilizamos o programa
• Este valor indica um erro relativo ao
Origin para montar os
valor esperado de 2%.
gráficos.

35. Obrigado pela atenção