1. บทที่ 3 การเคลือนที่ในหนึ่งมิติ
่
3.1 ตาแหน่ งและการกระจัด
ตาแหน่ง (position) คือ การบอกให้ ทราบว่า วัตถุหรื อสิงของที่เราพิจารณาอยูที่
่ ่
ใด เทียบกับจุดอ้ างอิง
วัตถุอยูที่ตาแหน่ง x = x1 ที่เวลา t1 หมายถึง วัตถุอยูที่ระยะทาง x1 จากจุด O
่ ่
(จุดอ้ างอิง) ที่เวลา t1
ถ้ าวัตถุเลื่อนที่ไปอยูที่ x2 ที่เวลา t2 แสดงว่า วัตถุได้ มีการเคลื่อนที่ไประหว่างเวลา
่
t1 และ t2
-X +X
O x1 x2

2. การกระจัด (displacement)
การเปลี่ยนตาแหน่งของวัตถุจาก x = x1 ไปเป็ น x = x2 หรื อ x2 – x 1
การกระจัด หมายถึง การเปลี่ยนตาแหน่งของวัตถุไปจากตาแหน่งปกติ (สมดุล)
2.2 ความเร็วเฉลี่ยและอัตราเร็วเฉลี่ย
ความเร็ว (velocity) คือ การกระจัดต่อเวลา
ความเร็วเฉลี่ย (average velocity) คือ การกระจัดหารด้ วยช่วงเวลา

3. อัตราเร็ว (speed) เป็ นปริมาณสเกลาร์ หมายถึง ระยะทางของการเคลื่อนที่
ทังหมดโดยไม่คานึงถึงทิศทางหารด้ วยเวลา
้
อัตราเร็วเฉลี่ย (average speed) คือ ระยะทางทังหมดที่เคลื่อนที่หารด้ วยเวลา
้
พิจารณาการเคลื่อนที่ของวัตถุจาก x1 ไป x3 และจาก x3 กลับมา x2 ใช้ เวลา
ทังหมด (t2 – t1)
้
-X +X
O x1 x2 x3
อัตราเร็วเฉลี่ย = (x3 – x1) + (x3 – x2) / (t2 – t1)
ความเร็วเฉลี่ย = (x2 – x1) / (t2 – t1)

4. ตัวอย่ าง โยนลูกบอลขึ ้นในแนวดิ่ง ลูกบอลลอยขึ ้นไปได้ สง 5 เมตร แล้ วตก
ู
กลับมายังมือในเวลา 2 วินาที
อัตราเร็วเฉลี่ย = ระยะทางทังหมดที่เคลื่อนที่ / เวลา
้
= (5 เมตร + 5 เมตร) / 2 วินาที
= 5 เมตรต่อวินาที
ความเร็วเฉลี่ย = การกระจัดทังหมด / เวลา
้
= 0/2
= 0 เมตรต่อวินาที
(การกระจัดเป็ นศูนย์เพราะ ลูกบอลกลับมาที่เดิม)

5. 2.3 ความเร็วและอัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
ความเร็วขณะใดขณะหนึง (instantaneous velocity) คือ ความเร็วของวัตถุใน
่
ช่วงเวลาสันมากขณะผ่านจุดจุดหนึงหรื อที่เวลาใดเวลาหนึง
้ ่ ่
X
x2 Q
ความชันเป็ นความเร็วที่ผ่าน Q
ความชันเป็ นความเร็วเฉลี่ย
x1 P
O t1 t2 t
O

6. ความเร็วเฉลี่ย
ความชันของเส้ นตรงที่ลากผ่าน PQ คือ (x2 – x1) / (t2 – t1)
ความเร็วขณะใดขณะหนึ่ง
ความเร็วของวัตถุที่ Q เป็ นความเร็วขณะใดขณะหนึงที่เวลา t2 หรื อ ที่จด Q
่ ุ
หาได้ จากลิมิตของความชัน
ตัวอย่ าง ความสัมพันธ์ระหว่างตาแหน่งกับเวลาเป็ นไปตามสมการ x = 5t2 เมตร
ให้ Q เป็ นตาแหน่งที่ 2.00 วินาที ค่าของตาแหน่ง P ที่เวลาต่างๆ ใกล้ Q และค่าของ
ความชันของเส้ น PQ ดังตาราง ลิมิตของความชันที่ Q เป็ น 20.00 เมตรต่อวินาที

7. ตารางแสดงค่า x ของ P และ Q ที่เวลาต่างๆ และค่าความชันของเส้ น PQ
t (s) P (m) Q(m) ความชันของ PQ (m/s)
1.50 11.25 20.00 17.50
1.80 16.20 20.00 19.00
1.90 18.05 20.00 19.50
1.98 19.602 20.00 19.90
1.99 19.8005 20.00 19.95
1.995 19.9001 20.00 19.98
1.999 19.9800 20.00 20.00
1.9999 19.9980 20.00 20.00
จากตาราง แสดงว่าความชันไม่เปลี่ยนเมื่อ t เข้ าใกล้ 2.00 วินาทีมาก

8. 2.4 ความเร่ ง
ความเร่ง (acceleration) หมายถึง การเปลี่ยนแปลงความเร็วต่อเวลา
ถ้ าที่เวลา t2 วัตถุมีความเร็ว v2 และที่เวลาก่อนนันคือ t1 วัตถุมีความเร็ว v1
้
ความเร่งเฉลี่ย =
ความเร่งขณะใดขณะหนึง =
่
กราฟของความเร็วกับเวลา ความชันของเส้ นสัมผัสที่จดต่างๆ คือ ความเร่ง
ุ
ของวัตถุที่จดนันๆ
ุ ้
อัตราเร่ง เป็ นปริมาณสเกลาร์ ไม่คิดทิศทางเช่นเดียวกับอัตราเร็ว

9. กราฟระหว่ างการกระจัดกับเวลา (x-t)
ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบตกอิสระระหว่าง x กับ t จะได้ กราฟเส้ นโค้ งพาราโบลา
ความเร็วที่ตาแหน่ง x0 = ความชันของเส้ นสัมผัสเส้ นกราฟ ณ ตาแหน่ง (0, x0)
การกระจัด (x)
T1
x ความชันของ T1 = v(t) = v
(t, x)
x0 ความชันของ T0 = v0
T0
(0, x0)
O t t (วินาที)
 ความเร็วขณะใดขณะหนึง = ความชันของเส้ นสัมผัสเส้ นกราฟ
่

10. กราฟระหว่ างความเร็วกับเวลา (v – t)
v ความชันของเส้ นกราฟ = (v – v0) / (t – 0)
v a = (v – v0) / (t – 0)
at  v = v0 + at
v0
v0 ระยะทาง x หาได้ จาก
O t t x = พื ้นที่สี่เหลี่ยม + พื ้นที่สามเหลี่ยม
ความเร่ ง = ความชันของเส้นกราฟระหว่าง v กับ t ขณะเวลา t ใดๆ

11. กราฟระหว่ างความเร่ งกับเวลา (a – t)
วัตถุที่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วเพิ่มขึ ้นหรื อลดลงอย่างสม่าเสมอ
v a
ความเร็วเพิ่มขึ ้น
a a = v / t
vav = a t
t O t
O t
หาความเร็วเฉลี่ย
v a
ความเร็วลดลง
ได้ จาก
t
O t พื ้นที่ใต้ กราฟ a - t
O t -a

12. สมการการเคลื่อนที่กรณีความเร่ งเป็ นค่ าคงตัว
วัตถุที่มีการเปลี่ยนแปลงความเร็วแบบ ความเร็ว
เพิ่มขึ ้นหรื อลดลงอย่างสม่าเสมอ กราฟ
ความเร็วกับเวลาเป็ นกราฟเส้ นตรง v
ความชันทุกจุดบนเส้ นตรงเท่ากัน
v0
ความชัน = มีคาเท่ากับความเร่ง ( a0 )
่ เวลา (t)
O t
................สมการ (1.1)

13. ความเร็ ว
การหาระยะทางที่วตถุเคลื่อนที่ได้ พิจารณาจาก
ั
กราฟ ช่วงเวลา t สันๆ วัตถุมีความเร็ว v
้ v1
ระยะทางที่วตถุเคลื่อนที่ได้ ในช่วงเวลา t คือ v
ั v
t
ระยะทางของการเคลื่อนที่ทงหมด ได้ จากการรวม v0
ั้
vt ทังหมด โดยเริ่มจาก t = 0 จนถึง t = t1
้ O t t1 เวลา
ระยะทางทังหมดสมมติวาเป็ น (x1 – x0)
้ ่
................สมการ (1.2)

14. ความเร็ ว
จากกราฟ vt เป็ นพื ้นที่ใต้ กราฟ
v1
การรวมพื ้นที่ vt ทังหมดจะได้ พื ้นที่ใต้ กราฟ
้
ทังหมดเป็ นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู มีคาเท่ากับ
้ ่ v
(1/2)(v0+v1)(t1-0)
v0
ระยะทางทังหมด
้ O t t1 เวลา
........สมการ (1.3)
แทนค่า v จากสมการ (1.1) จะได้
........สมการ (1.4)

15. v – v0 = a0t ดังนัน t = (v – v0)/a0
้
แทนค่า t ลงในสมการ (1.3) จะได้
........สมการ (1.5)
สรุ ปเป็ นสูตร
สูตรทัง้ 4 สูตรนี ้ใช้ ได้ ถกต้ องเฉพาะกรณีที่ a มีคาคงตัวเท่านัน
ู ่ ้

16. ตัวอย่ าง ถ้ าการเคลื่อนที่ของก้ อนหินในแนวดิ่ง เกิดจากการโยนขึ ้นด้ วยความเร็วต้ น
5.0 เมตรต่อวินาที ซึงจะมีความเร่งคงตัวในทิศลงมีคา 10 เมตรต่อ (วินาที)2 ก้ อน
่ ่
หินจะใช้ เวลาเท่าใดจะถึงจุดสูงสุด และใช้ เวลาอีกเท่าใดจึงจะกลับถึงจุดที่โยน
ความเร็วเฉลี่ยของช่วงขาขึ ้นเป็ นเท่าใด และระยะทางถึงจุดสูงสุดเป็ นเท่าใด กราฟ
ของความเร็วสาหรับช่วงเวลาทังขึ ้นและลงจะเป็ นอย่างไร
้
วิธีทา กาหนดให้ x เป็ น การกระจัดในทิศขึ ้น
v เป็ น ความเร็วในทิศขึ ้น
a เป็ น ความเร่งในทิศขึ ้น (a = -10 m/s2)
จากสมการ v = u + at
ความเร็วที่จดยอดจะเป็ น 0 และความเร็วต้ น 5.0 m/s จะได้
ุ
0 = 5.0 + (-10 )t
t = 0.50 s
ก้ อนหินใช้ เวลา 0.50 วินาที จะถึงจุดสูงสุด ANS1

17. เวลาในช่วงขาลง = เวลาในช่วงขาขึ ้น เท่ากับ 0.50 วินาที เพราะการเคลื่อนที่ของ
ก้ อนหินเคลื่อนที่ด้วยความเร่งอย่างเดิมในระยะทางเท่ากันกับขาขึ ้น
 ก้ อนหินใช้ เวลาอีก 0.50 วินาทีจงจะกลับถึงจุดที่โยน
ึ ANS2
ความเร็วเฉลี่ยของช่วงขาขึ ้น
(v + v0) / 2 = (0 + 5.0)/2
= 2.5 m/s ANS3
ระยะทางถึงจุดสูงสุด = ความเร็วเฉลี่ย เวลา
= 2.5 0.5 = 1.25 m ANS4

18. และกราฟของความเร็วกับเวลาจะเป็ นดังรูป v(m/s)
อาจตรวจสอบความถูกต้องของคาตอบได้ 5.0
จากสมการ
O 0.5 1.0 t(s)
ใช้ คาเวลาของคาตอบ 1 แทนค่าจะได้
่ -5.0
x = 5.0 0.5 + (1/2) (-10  (0.50 )2 m
= 1.25 m ตรงกับคาตอบที่ 4
หากใช้ สตรระยะทางนี ้ หาเวลาการเคลื่อนที่ขาลง ซึงการกระจัดขาลงเป็ น
ู ่
-0.125 เมตร เพราะ การกระจัดมีทิศลง ใช้ ความเร็วต้ นเป็ นศูนย์ (จากจุดยอด)
แทนค่าจะได้
-0.125 = 0 – (1/2)(-10) t2
t = +0.5 , -0.5 s ตรงกับคาตอบที่ 1 และ 2

19. ตัวอย่ างที่ 1 วัตถุก้อนหนึงมีการกระจัดเป็ นไปตามสมการ x = 10t2 + 5 เมตร
่
จงคานวณหาค่า ก. ความเร็วที่เวลา t = 2 วินาที ข. ความเร่งที่เวลา t = 3 วินาที
วิธีทา
ก. ความเร็วขณะใดขณะหนึง
่ = dx = d (10t2+5)
dt dt
v(t) = 20 t เมตรต่อวินาที
t = 2 วินาที , v = 20 x 2 = 40 เมตรต่อวินาที
ข. ความเร่งขณะใดขณะหนึ่ง = dv = d (20t)
dt dt
a(t) = 20 เมตรต่อวินาที 2
t = 3 วินาที , a = 20 เมตรต่อวินาที 2

20. ตัวอย่ างที่ 2 อนุภาคอันหนึงเดิมอยูนิ่ง แล้ วทาให้ เกิดความเร่ง = 3t เมตรต่อวินาที 2
่ ่
เมื่อ t คือ เวลา จงหาความเร่ง ความเร็ว และการกระจัด ภายหลังเมื่อเคลื่อนที่ได้
นาน 5 วินาที
วิธีทา
ก. ความเร่ง a = 3t = 3x5 = 15 m/s2
ข. ความเร็ว
เมื่อ t0 = 0 , t = 5 s และ a = 3t จะได้
ค. การกระจัด
เมื่อ t0 = 0 , t = 5 s และ v = 3t2 / 2 จะได้

21. ตัวอย่ างที่ 3 รถยนต์คนหนึงเคลื่อนที่ได้ 30 กิโลเมตร ในครึ่งชัวโมงแรก และ
ั ่ ่
เคลื่อนที่ได้ ระยะทาง 50 กิโลเมตร ในครึ่งชัวโมงต่อมา อัตราเร็วเฉลี่ยใน 1 ชัวโมง
่ ่
มีคาเท่าใด
่
วิธีทา อัตราเร็วเฉลี่ย = ระยะทาง
เวลา
= 30 กิโลเมตร + 50 กิโลเมตร
1/2 ชัวโมง + 1/2 ชัวโมง
่ ่
= 80 กิโลเมตร/ชัวโมง
่
คาตอบ อัตราเร็วเฉลี่ย 80 กิโลเมตร/ชัวโมง
่

22. ตัวอย่ างที่ 4 ก้ อนหินตกแบบเสรี จากที่สงแห่งหนึง จะใช้ เวลานานเท่าใด ความเร็ว
ู ่
ของก้ อนหินจะเป็ น 4 เท่าของความเร็ว เมื่อสิ ้นวินาทีที่ 1 ของการเคลื่อนที่
วิธีทา หาความเร็วของก้ อนหินเมื่อสิ ้นวินาทีที่ 1
จาก v = u + at
v = 0 + (-10) x 1
v = -10 เมตร/วินาที
หาเวลาที่ก้อนหินมีความเร็ว 40 m/s
จาก v = u + at
-40 เมตร/วินาที = 0 + (-10) x t
t = 4 วินาที
คาตอบ ก้ อนหินตกลงมาใช้ เวลา 4 วินาที

23. ตัวอย่ างที่ 5 วัตถุชิ ้นหนึงเคลื่อนที่ในแนวตรงด้ วยความเร็วต้ น 10 เมตร/วินาที
่
โดยมีความเร่ง 5 เมตร/วินาที 2 ขณะที่วตถุเคลื่อนที่ได้ ระยะทาง 480 เมตร วัตถุ
ั
เคลื่อนที่มาแล้ วกี่วินาที
วิธีทา
จากสูตร s = ut + ½ at 2
1
2
1
480 เมตร = 10 เมตร/วินาที . t + ½ x 5 เมตร/วินาที 2 . t2
2 960 = 20t + 5t2
(t - 12)(t + 16) = 0
t = 12 และ -16 วินาที แต่เวลาเป็ นลบไม่มีความหมาย ดังนันวัตถุ
้
เคลื่อนที่มาแล้ ว 12 วินาที
คาตอบ วัตถุเคลื่อนที่มาแล้ ว 12 วินาที

24. ตัวอย่ างที่ 6 รถยนต์คนหนึงออกวิ่งจากจุดหยุดนิ่งไปตามถนนตรงด้ วยขนาด
ั ่
ความเร่งคงตัวและวิ่งไปได้ ไกล 75 เมตร ภายในเวลา 5 วินาที ขนาดของความเร่ง
ของรถยนต์เป็ นท่าใด
วิธีทา จากสูตร s = ut + ½ x at2
75 เมตร = 0 + ½ a 25 วินาที 2
1
a = 6 เมตร/วินาที 2
2
1
2
คาตอบ ขนาดความเร่งของรถยนต์เป็ น 6 เมตร/วินาที 2
ตัวอย่ างที่ 7 โยนก้ อนหินไปตามแนวดิ่งด้ วยความเร็วต้ น 10 เมตร/วินาที ถามว่า
ก. เมื่อใดก้ อนหินมีความเร็วเป็ นศูนย์
ข. ก้ อนหินขึ ้นไปได้ สงสุดเท่าใด
ู
ค. เป็ นเวลานานเท่าใดก้ อนหินจึงจะตกลงมาถึงตาแหน่งเริ่มต้ น

25. วิธีทา
ก. จากสูตร v = u + at
0 = 10 เมตร/วินาที + (-10) เมตร/วินาที 2 x t
t = 1 วินาที
คาตอบ ก้ อนหินมีอตราเร็วเป็ นศูนย์หลังจากโยนขึ ้นไปนาน 1.0 วินาที
ั
ข. จากสูตร s = (u+v)t / 2
= (10 เมตร/วินาที + 0 ) × 1.0 วินาที
2
= 5.0 เมตร
คาตอบ ก้ อนหินขึ ้นไปได้ สงสุดเป็ นระยะ 5.0 เมตร
ู

26. ค. เมื่อก้ อนหินตกถึงพื ้น s = 0
s = ut +1/2at2
s = 10t + ½ (-10) เมตร/วินาที 2 x t
0 = 10t – 5t2
0 = 5t(2 – t)
t = 2.0 s
คาตอบ จะต้ องใช้ เวลา 2.0 วินาที ก้ อนหินจึงตกถึงพื ้น
ตัวอย่ างที่ 8 อิเล็กตรอนตัวหนึงเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 1.0 x 10 4 เมตร/วินาที
่
เข้ าสูบริเวณสนามไฟฟาและถูกเร่งโดยสนามไฟฟาเป็ นระยะทาง 1.0 เซนติเมตร
่ ้ ้
เมื่อออกจากสนามไฟฟา อิเล็กตรอนนันมีความเร็ว 4.0 x 106 เมตร/วินาที จง
้ ้
คานวณหาความเร่ง

27. วิธีทา จากสูตร v2 = u2 + 2 as
(4.0 x 104 เมตร/วินาที) 2 = (1.0 x 104 เมตรต่อวินาที) 2 + 2a x 1.0 x 10-2 เมตร
16.0 x 1012 = 0.0001 x 1012 + 2a x 1.0 x 10-2
a = 8.0 x 1014 เมตร/วินาที 2
คาตอบ ความเร่งของอิเล็กตรอนมีคาเท่ากับ 8.0 x 1014 เมตรต่อวินาที 2
่
ตัวอย่ างที่ 9 โยนก้ อนหินขึ ้นไปในแนวดิ่งจากพื ้นดิน ด้ วยความเร็วต้ น 20 เมตร/วินาที
หลังจากโยนไปแล้ วเป็ นเวลาเท่าไร ก้ อนหินจึงตกลงมาด้ วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที
วิธีทา กาหนดให้ ความเร็วในทิศขึ ้นเป็ น +
จาก v = u + at
ความเร็วขณะตก = 10 เมตร/วินาที
-10 เมตร/วินาที = 20 เมตร/วินาที + (-10) x t
t = 3 วินาที