Introducción a la Mecánica de Lagrange y de Hamilton. T. Soldovieri.

Introducción a la
Mecánica de
Lagrange y Hamilton

2013
Actualización # 51 (30/10/13).
Desde el 2009
(EN CONSTRUCCION Y REVISION)

Con numerosos ejemplos y una
presentación que facilita la
comprensión del contenido.

SOLDOVIERI
LA UNIVERSIDAD DEL ZULIA

Copyright© 2013 por Terenzio Soldovieri C.
Todos los derechos reservados.
Impreso en la República Bolivariana de Venezuela.

Artes, dibujos y gráficos: Terenzio Soldovieri C.
Decoraciones y portadas: Terenzio Soldovieri C.
Toda la estructura de este libro ha sido elaborada por el autor, utilizando LaTeX.
Web del autor:

www.cmc.org.ve/tsweb

1:42 pm, Oct 30, 2013

A mis padres Raffaele Soldovieri Mastursi y Rita Elena Carmona, hijos Terenzio José
Soldovieri Martínez y Marchello Soldovieri Carmona, compañera de vida Yeldri Yolaura
Chourio Herrera, y todos los que fueron mis estudiantes
les dedico el presente texto que con gran esfuerzo he logrado.

Terenzio Soldovieri C.
tsoldovieri@fec.luz.edu.ve terenzio@cantv.net
BlackBerry pin: 293DBBC9


Giuseppe Lodovico Lagrangia ( Joseph Louis Lagrange ) (1736-1813).

Matemático y astrónomo francés nacido en Turín (Italia), en cuya universidad estudió.
Fue nombrado profesor de geometría en la Academia Militar de Turín a los 19 años y en 1758
fundó una sociedad que más tarde se convertiría en la Academia de Ciencias de Turín. En 1766
fue nombrado director de la Academia de Ciencias de Berlín, y 20 años después llegó a París
invitado por el rey Luis XVI. Durante el periodo de la Revolución Francesa, estuvo al cargo de
la comisión para el establecimiento de un nuevo sistema de pesos y medidas. Después de la
Revolución, fue profesor de la nueva École Normale y con Napoleón fue miembro del Senado y
recibió el título de conde. Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo XVIII; creó el
cálculo de variaciones, sistematizó el campo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la
teoría de números. Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración
de la Luna y los movimientos de los planetas. Su obra más importante es Mecánica analítica
(1788).

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865).

Matemático y astrónomo británico, conocido sobre todo por sus trabajos en análisis de
vectores y en óptica. Nació en Dublín y estudió en el Trinity College. En 1827, sin haber
obtenido su título, fue nombrado profesor de astronomía, y al año siguiente astrónomo real para
Irlanda. Hamilton pasó el resto de su vida trabajando en el Trinity College y en el observatorio
de Dunsink, cerca de Dublín. En el campo de la dinámica, introdujo las funciones de Hamilton,
que expresan la suma de las energías cinética y potencial de un sistema dinámico; son muy
importantes en el desarrollo de la dinámica moderna y para el estudio de la teoría cuántica.

SOLDOVIERI C., Terenzio
Licenciado en Física
Profesor agregado del Departamento de Física
Facultad de Ciencias - La Universidad del Zulia (LUZ)
tsoldovieri@luz.edu.ve
tsoldovieri@fec.luz.edu.ve

INTRODUCCION A LA MECANICA DE

LAGRANGE Y HAMILTON
Con numerosos ejemplos y una presentación que
facilita la comprensión del contenido.
1era edición (preprint)
(EN CONSTRUCCION Y REVISION)
Comenzado en el 2009
Actualización # 51 (30/10/2013)
A
Escrito usando LTEX

Copyright c 2013 por Terenzio Soldovieri C.
República Bolivariana de Venezuela

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Agradecimientos
Agradezco muy especialmente a ANDREA ANGELICA VILLA TORREALBA, ANDRES ELOY COLINA LEON y CESAR ALEJANDRO RODRIGUEZ CASAS, quienes fueron mis
alumnos destacados en Mecánica Clásica en el Departamento de Física, Facultad
de Ciencias de La Universidad del Zulia (LUZ), Maracaibo - Venezuela, por su valiosa
ayuda en la corrección del presente texto. Por el mismo motivo agradezco también a
STANLEY SALVATIERRA, estudiante de Ingeniería Eléctrica en la mención de Sistemas de
Potencia, Facultad Nacional de Ingeniería (FNI), Oruro - Bolivia.

SOLDOVIERI C., Terenzio. Introducción a la Mecánica de Lagrange y Hamilton. 1era ed. (preprint). República Bolivariana de Venezuela, 2013.

Pág.: I


Pág.: II

Prólogo

L

a Mecánica Clásica es uno de los pilares fundamentales de la Física, junto con
los Métodos Matemáticos, el Electromagnetismo y la Mecánica Cuántica. La mecánica introduce al alumno a las técnicas teóricas que son esenciales en todas
las ramas de la Física, como por ejemplo: la Relatividad General, Teoría de Campos
y Partículas, Mecánica Cuántica y en Caos y los Sistemas Complejos. En esta materia
existen varios textos clásicos y de gran impacto, varios de los cuales se citan al final
de este trabajo. Existen tanbién muchísimos textos recientes y que, con respecto a los
clásicos, han mejorado la forma de presentar el contenido con la finalidad de hacerlos más didácticos y fáciles de entender. Algunos de estos últimos también son citados
al final.
Por algunos años he sido profesor de Mecánica Clásica en mi universidad. En el
transcurrir de esos años he elaborado los clásicos apuntes de clases que solemos hacer
los profesores, en los cuales ponemos nuestro mejor esfuerzo y dedicación para hacer
que nuestros alumnos entiendan lo mejor posible el contenido que se quiere transmitir.
Estos apuntes recogen datos valiosos obtenidos durante las clases, originados de las
preguntas y discusiones que a menudo surgen durante las mismas. Involucran también
las soluciones por mi encontradas a las dificultades que los alumnos tenían para poder
comprender los distintos puntos tratados, lo cual es muy valioso puesto que permite
ajustar la presentación del contenido. Es obvio que el contenido de mis apuntes de
clases se ajusta al interés particular del curso que he dictado, sin embargo, siempre
son de gran utilidad para cualquier curso en general referente a la materia. El presente
texto es un esfuerzo por lograr ordenar todos esos apuntes y hacer público mi trabajo
para el disfrute de la comunidad académica.
El objetivo de este texto es presentar la Mecánica de Lagrange y de Hamilton, inIII

cluyendo la física y matemática necesaria para su estudio, en una forma lo más clara,
sencilla y coherente posible sin sacrificar profundidad en el contenido, haciendo que
el texto sea de muy fácil comprensión. Para lograr esto en mis apuntes de clases, realicé una muy amplia investigación consultando numerosos textos de los que se encuentran en el mercado referente a la materia (entre ellos los clásicos) así como varias
publicaciones de revistas científicas y numerosísimas notas de clases encontradas en
internet, sin embargo un gran número de ellas no pudieron ser referenciadas por no
poseer los datos de origen suficientes. De todos esos textos fue extraido lo mejor de
cada uno, siempre buscando la mejor explicación, la mejor definición, las mejores interpretaciones, etc., y siempre teniendo en mente que sea lo más claro y fácil de
entender para luego ser procesadas y enfocadas en mi particular punto de vista y
orden de contenidos.
El texto fue dividido en dos partes. En la primera parte se presentan los fundamentos físicos y matemáticos básicos que son indispensables para abordar la Mecánica de
Lagrange y de Hamilton, como lo son: la dinámica de un sistema de partículas, todo
lo referente a ligaduras y coordenadas generalizadas, desplazamiento y trabajo virtual, principio de los trabajos virtuales y de D’Alembert, principio de Hamilton, cálculo
variacional con fronteras fijas y transformación de Legendre.
Lo referente a la dinamica de un sistema de particulas no es muy distinto a lo que
se encuentra en el comun de los textos disponibles en el mercado, sin embargo es
presentado en una forma detallada en referencia a los cálculos involucrados. Por otro
lado, en referencia al concepto de ligadura, que es de gran importancia ya que de
una u otra forma están presentes en los sitemas mecánicos, en el presente texto se
hace un amplio estudio que permite fijar con firmeza este concepto mediante una
detallada clasificación, ejemplos y figuras. En el caso de los desplazamientos virtuales,
se presenta de forma clara su definición que con muchísima frecuencia en la mayoría
de los textos sólo se menciona muy poco al respecto a pesar de ser el punto de partida
para poder comprender todo lo referente al trabajo virtual, principio de los trabajos
virtuales y el principio de D’Alembert que es fundamental en la mecánica y a partir
del cual se puede desarrollar la mecánica de Lagrange.
En el caso del cálculo variacional y la transformación de Legrendre se presentan
sendos y extensos capítulos con contenido de directa aplicabilidad a la mecánica
de Lagrange y de Hamilton que no suele ser tratado con suficiente profundidad en
la gran mayoría de los textos de mecánica ya que son dejados para los cursos dedicados a esa materia en específico. En particular, lo relacionado a la transformación

Pág.: IV

de Legendre, de mucha utilidad al estudiar la Mecánica de Hamilton, es desarrollado
con amplitud.
La segunda parte del texto trata, exclusivamente, sobre la mecánica de Lagrange
y de Hamilton, las transformaciones canónicas y la teoría de Hamilton-Jacobi. Todos
estos contenidos son presentados de una forma muy coherente donde se hace obvio
la utilidad e importancia de todo lo estudiado en la primera parte del texto. Todos estos puntos son desarrollados de una forma muy fácil de entender, siempre presentando
aquellos tópicos teóricos que son básicos en cualquier curso de este tipo y presentando numerosos ejemplos en los cuales se aplican los contenidos estudiados, ayudados
con ﬁguras ilustrativas.
En ﬁn, aquí les dejo el presente trabajo esperando que sea de gran utilidad a la
mayor cantidad de personas interesadas en la materia, en especial, a la multitud de
alumnos que la tienen como curso obligatorio en sus respectivas carreras universitarias.
Prof. Terenzio Soldovieri C.
Departamento de Física
Facultad de Ciencias
La Universidad del Zulia (LUZ)
Maracaibo - Estado Zulia
República Bolivariana de Venezuela

ALBERT EINSTEIN
"Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos
las mismas cosas". "Lo más incomprensible del Universo, es que sea comprensible". "Lo importante es no dejar de hacerse preguntas". "Nunca consideres
el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar
en el bello y maravilloso mundo del saber". "La alegría de ver y entender es
el más perfecto don de la naturaleza".


Pág.: V


Pág.: VI

ÍNDICE GENERAL

I Fundamentos físicos y matemáticos básicos para estudiar Mecánica de Lagrange y Hamilton
1
1 Dinámica de un sistema de partículas
1.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Clasiﬁcación de los sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemas indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemas deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemas indeformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sistemas deformables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Fuerzas en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fuerzas internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Aplicadas y de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide . . . . . . .
1.4.1. Posición del centro de masa de un sistema discreto . . .
1.4.2. Posición del centro de masa de un sistema continuo . .
1.4.3. Posición del centro de masa de un sistema compuesto
1.5. Propiedades del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
1.6. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Movimiento de un sistema aislado de dos partículas - Masa reducida
1.8. Momento lineal y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Momento angular y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.Energía y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.3. Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . .
1.11.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2 Definiciones y principios básicos

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2.1. El espacio y el tiempo en Mecánica Clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Tipos de ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Por modo de activación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Clasificación de las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Si son o no desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Unilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bilaterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Si dependen explícita o implícitamente del tiempo . . . . . . . . . .
Ligaduras reónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ligaduras esclerónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Si son o no una relación bilateral algebraica entre las coordenadas
Ligaduras Holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ligaduras No-Holónomas y Semi-Holónomas . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Fuerza de ligadura y fuerza aplicada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Ligaduras lisas o ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Ligaduras rugosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Dificultades introducidas por las ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2. Tipos de Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3. Ecuaciones de transformación entre las coordenadas ordinarias y
las coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4. Espacio de Configuración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Algunas magnitudes físicas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL
2.8.1. Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4. Trabajo Mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5. Energía Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Forma general en coordenadas generalizadas de las ligaduras holónomas, no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1. Ligaduras holónomas en coordenadas generalizadas . . . . . . . .
2.9.2. Ligaduras no-holónomas y semi-holónomas en coordenadas generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.Un método para determinar si una ligadura en forma de diferencial o de
velocidad es holónoma o no-holónoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.Ejemplos de determinación de coordenadas generalizadas para algunos
sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.Desplazamiento real y virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.1. Desplazamiento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.2. Desplazamiento virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Clasificación de los desplazamientos virtuales . . . . . . . . . . . . .
2.13.Trabajo real y trabajo virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.1. Trabajo Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.2. Trabajo Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.Algunos principios mecánicos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.1. Principio de los Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.2. Principio de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14.3. Principio de Ostrogradski-Hamilton o de Acción Estacionaria . . . .
2.15.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Cálculo variacional con fronteras fijas
3.1. Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Definición de Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Variación de una funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Planteamiento del problema variacional a estudiar . . . . . . . . .
3.3. Función vecina y variación admisible . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Cálculo de extremales sin restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Para una variable dependiente — Ecuación de Euler . . .
3.4.2. Segunda forma y forma integrada de la Ecuación de Euler

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Pág.: IX

ÍNDICE GENERAL
3.4.3. Para múltiples variables dependientes — Ecuaciones de Euler - Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Cálculo de extremales con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Restricciones del tipo Al [yi (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forma implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Forma explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0
3.5.2. Restricciones del tipo Dl [yi (x) ; yi (x) ; x] = 0 . . . . . . . . . . . . . . .
n
P
0
Alj [yi (x) ; x] yj (x) + Bl [yi (x) ; x] = 0 . .
3.5.3. Restricciones del tipo Dl =
j=1
Rx
0
3.5.4. Restricciones del tipo isoperimétrico x12 gl [yi (x) ; yi (x) ; x] dx = %l . .
3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Transformada de Legendre

Mecánica de Lagrange y Hamilton

5 Mecánica Lagrangiana

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293

4.1. Deﬁnición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Convexidad y concavidad de funciones y propiedades . . . . . . . . . . .
4.2.1. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Determinación de la convexidad y la concavidad de una función
En caso de funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En caso de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Transformada de Legendre para una variable independiente . . . . . . .
4.4. Transformada de Legendre para más de una variable independiente . .
4.5. Variables activas y pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Algunas propiedades matemáticas de la transformada de Legendre . . .
4.6.1. La inversa de la transformada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Simetrías y relaciones entre derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

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325
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5.1. Ecuaciones de Lagrange obtenidas partiendo del Principio de D’Alembert 338
5.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Pág.: X

ÍNDICE GENERAL
Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 343
Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 344
5.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

. . . 349

5.2. Ecuaciones de Lagrange obtenidas a partir del Principio de OstrogradskiHamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
5.2.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
5.2.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . . 357
Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . . 357
5.2.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas

. . . 358

5.3. Condición de integrabilidad de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . 360
5.4. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . 362
5.4.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma
implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
5.4.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . . 395
5.4.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . . 419
5.5. Propiedades del Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
5.5.1. Invariancia bajo una transformación de Gauge . . . . . . . . . . . . 437
5.5.2. Aditividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
5.5.3. Invariancia bajo una transformación de coordenadas . . . . . . . . 441
5.6. Coordenadas cíclicas - Momentos Generalizados y su conservación . . . 442
5.6.1. Coordenadas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
5.6.2. Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
5.6.3. Conservación de los Momentos Generalizados . . . . . . . . . . . . 444
5.7. Integrales Primeras de Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
5.8. Integrales Primeras de Movimiento para un sistema cerrado . . . . . . . . . 447
5.9. Teoremas de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
5.9.1. Conservación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
5.9.2. Conservación del momento lineal y angular . . . . . . . . . . . . . . 451
Conservación del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
Conservación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
5.10.Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
5.10.1. Forma simpliﬁcada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
5.10.2. Forma más general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
5.11.Mecánica Lagrangiana vs la Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
5.12.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

Pág.: XI

ÍNDICE GENERAL

6 Mecánica Hamiltoniana

483

6.1. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Para sistemas sin ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2. Para sistemas con ligaduras holónomas . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cuando las ligaduras se usan en forma implícita . . . . . . . . . . . .
Cuando las ligaduras se usan en forma explícita . . . . . . . . . . . .
6.1.3. Para sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . .
6.2. Construcción de un Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Pasos para construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y
no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Construcción de un Hamiltoniano para un sistema natural . . . . . .
6.2.3. Forma práctica de construir un Hamiltoniano para sistemas conservativos y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Ejemplos de aplicación de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . .
6.3.1. Sistemas sin ligaduras y con ligaduras holónomas usadas en forma
implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2. Sistemas con ligaduras holónomas usadas en forma explícita . . . .
6.3.3. Sistemas con ligaduras no-holónomas y semi-holónomas . . . . . . .
6.4. Ecuaciones de Hamilton a partir del Principio de Ostrogradski-Hamilton . .
6.5. Espacio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7. Forma simpléctica de las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . .
6.8. El Método de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9. Dinámica Lagrangiana vs Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Transformaciones canónicas
7.1. Deﬁnición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Ecuaciones de transformación canónicas . . . . .
7.2.1. Caso 1: Función generatriz F1 = F1 (qi ; qi ; t)
e
7.2.2. Caso 2: Función generatriz F2 = F2 (qi ; pi ; t)
e
7.2.3. Caso 3: Función generatriz F3 = F3 (pi ; qi ; t)
e
7.2.4. Caso 4: Función generatriz F4 = F4 (pi ; pi ; t)
e
7.3. Invariante integral universal de Poincaré . . . . . .
7.4. Corchetes de Lagrange y Poisson . . . . . . . . . .
7.4.1. Corchetes de Lagrange . . . . . . . . . . . .

485
486
489
489
490
492
496
496
497
498
500
500
529
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558
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583
585
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593
594
595
596
597
606
610
610

Pág.: XII

ÍNDICE GENERAL
7.4.2. Corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
7.4.3. Ecuaciones de Hamilton en corchetes de Poisson . . . . . . . . . . . 617
7.5. Transformaciones canónicas inﬁnitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
7.6. Forma simpléctica de las transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . 622
7.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

8 Teoría de Hamilton-Jacobi

627

8.1. Ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
8.2. Solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . 631
8.2.1. Para sistemas con H independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . 632
8.2.2. Para sistemas con H independiente del tiempo y alguna coordenada cíclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
8.2.3. Para sistemas con H independiente del tiempo y coordenadas no
cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
8.3. Ejemplos de aplicación de la ecuación de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . 635
8.4. Variables acción-ángulo en sistemas con un grado de libertad . . . . . . . 635
8.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

A Teorema de Steiner

637

B Teorema de Euler

639

C Funciones monótonas y continuidad

641

D Lema fundamental del cálculo de variaciones

643

E Propiedades de los determinantes

645

F Identidad de Jacobi

649

F.1. Por transformaciones canónicas inﬁnitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
F.2. Por cálculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650

Pág.: XIII

ÍNDICE GENERAL

Bibliografía


653

Pág.: XIV

ÍNDICE DE FIGURAS

1.1. Frontera de un sitema de partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Tipos de fuerzas en un sistema de partículas. Aquí !i y !j son los vectores
r
r
!(int)
de posición de la i-ésima y j-ésima partícula respectivamente, F ij es la
!(int)
fuerza ejercida por la j-ésima partícula sobre i-ésima, F ji es la fuerza
!
ejercida por la i-ésima partícula sobre j-ésima y las F (ext) representan
fuerzas externas ejercidas sobre el sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

7

0

1.3. (a) Sistema S con tres partículas de masas m1 , m2 y m3 . (a) Sistema S con
dos partículas de masas m2 y m3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4. (a) Sistema de dos bloques de masas m1 y m2 , donde m1 se desplaza
sobre la superﬁcie de m2 y éste último sobre una superﬁcie lisa S. Hay
fricción entre los bloques. (b) Fuerzas sobre el bloque m1 . (c) Fuerzas sobre
el bloque m2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5. Forma fuerte de la tercera ley de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6. Fuerzas interacción electromagnética de entre dos partículas cargadas
qi y qj en movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
!
1.7. Posición R CG del centro de gravedad de un sistema de partículas. Aquí
P
M = mi y M ! es el peso ! total del sistema. . . . . . . . . . . . . . . .
g
w

13
14

1.8. Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamaño no despreciable respecto al de la misma, en el cual se han representado varios dm
y a los cuales se les han representado las ! en sus respectivas posiciones.
g

16

1.9. Posición del centro de masa de un sistema de N partículas. . . . . . . . . .

17

1.10.Sistema discreto formado por tres partículas situadas en los vértices de un
triángulo rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.11.Distribución de mareria continua de masa m y densidad . . . . . . . . . .

19

XV

ÍNDICE DE FIGURAS
1.12.Aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal . . . . . . . . .
1.13.Posición del centro de masa de un cascarón hemisférico homogéneo, de
densidad y de radio R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14.Cono sólido homogéneo de altura h y base de radio a . . . . . . . . . . . .
1.15.Sistema S discreto de N partículas subdividido (por completo) en s subsistemas S1 ,S2 ,S3 ,...,Ss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16.Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisférica y
un hemisferio sólido homogéneo acoplados. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.17.Centro de masa de una lámina cuadrada homogénea de densidad y
c
lado c con oriﬁcio semicircular de radio R < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.18.Dos partículas de masas iguales que se deslizan sobre correderas lisas en
ángulo recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.19.Sistema aislado de dos partículas interactuantes de masas m1 y m2 . . . .
1.20.Vector de posición !0i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r
1.21.Aro homogéneo, de radio a, que rueda sobre una superﬁcie lisa con frecuencia angular constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.22.Vector de posición !ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r
1.23.Problema 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.24.Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.25.Problema 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.26.Problema 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.27.Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.28.Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.29.Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.30.Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.31.Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.32.Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.33.Problema 19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.34.Problema 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.35.Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.36.Problema 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.37.Problema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.38.Problema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.39.Problema 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.40.Problema 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.41.Problema 33. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.42.Problema 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20
21
22
23
26
27
33
35
38
40
42
50
51
51
52
53
53
54
54
55
55
56
57
58
60
60
61
61
62
63
63

Pág.: XVI

ÍNDICE DE FIGURAS
1.43.Problema 35.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

1.44.Problema 36.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

1.45.Problema 38.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.1. Péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

2.2. Un bloque de masa m que se mueve sobre una superficie inclinada. . . .

73

2.3. Cuerpo rígido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2.4. Dos masas m1 y m2 unidas por una barra rígida de longitud `. . . . . . . . .

74

2.5. Sistema donde una canica con un orificio se desliza a través de un alambre rígido y curvo (que pasa a través de su orificio). . . . . . . . . . . . . . .

75

2.6. Movimientos posibles de un péndulo simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.7. Movimientos posibles de un péndulo elástico. . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.8. Masa puntual m en un punto de equilibrio inestable como la cima de una
montaña. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.9. Moléculas de gas encerradas en una esfera de radio R. . . . . . . . . . . .

79

2.10.Partícula que se desliza sobre la superficie de una esfera de radio R. . . .

79

2.11.Una partícula de masa m que se mueve en un aro cuyo radio cambia
con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.12.Partícula que se mueve sobre un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación varía con el tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

2.13.Partícula de masa m obligada a moverse sobre una superficie S (x; y; z) = 0. 85
2.14.Una partícula de masa m moviéndose sobre una mesa. . . . . . . . . . . .

86

2.15.Partícula de masa m obligada a moverse sobre una curva. . . . . . . . . .

87

2.16.Partícula de masa m moviéndose sobre una recta. . . . . . . . . . . . . . .

87

2.17.(a) Cuerpo rígido plano en su propio plano. (b) Cuerpo rígido en el espacio. 89
2.18.Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene. . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.19.Los 3 grados de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo
contiene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

2.20.Cuerpo rígido plano, en el plano que lo contiene, con un punto fijo. . . .

91

2.21.El único grado de libertad de un cuerpo rígido plano, en el plano que lo
contiene, con un punto fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

2.22.Dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano que los contiene, con un
punto común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

2.23.Los 4 grados de libertad de dos cuerpos rígidos planos, en el mismo plano
que los contiene, con un punto común. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

2.24.Cuerpo rígido en el espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94


Pág.: XVII

ÍNDICE DE FIGURAS
2.25.(a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin resbalar sobre el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano
xy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentes
R Sen ; R Cos

sobre las direcciones x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.26.Partícula de masa m obligada a moverse en el interior de un paralelepípedo de dimensiones d1 , d2 y d3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.27.Movimiento de un disco sólido homogéneo de masa M y radio R que se
desplaza sin resbalar sobre un plano inclinado un ángulo . . . . . . . . . .
2.28.Dos masas m1 y m2 acopladas por un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.29.(a) Ligadura lisa y (b).ligadura rugosa Para el movimiento permitido por
la ligadura (deslizamiento horizontal) la reacción lisa no realiza trabajo,
mientras que en el caso rugoso sí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.30.El historial temporal de un sistema es representado mediante una curva
en el espacio de configuración. Se muestran cuatro posibles. . . . . . . . .
2.31.Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por un hilo de masa despreciable
y de longitud constante `. La masa m1 se mueve a lo largo del eje x con
una velocidad constante ! impuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
2.32.Péndulo doble formado por dos masas puntuales m1 y m2 unidas entre
sí por una cuerda de masa despreciable y de longitud constante `2 , estando m1 a su vez unida a un punto fijo O por medio de otra cuerda de
masa despreciable y longitud `1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.33.Sistema formado por dos partículas de masas m1 y m2 , unidas por una
barra rígida de masa despreciable y de longitud constante `. . . . . . . .
2.34.Sistema formado por una varilla lisa en la cuale está ensartada una cuenta de masa m. La cuenta realiza un movimiento pre-establecido. . . . . .
2.35.(a) Desplazamiento real d! en presencia de una ligadura reónoma (b)
r
!, la ligadura se ha dejado çongelada.en el tiemDesplazamiento virtual r
po. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.36.Desplazamiento real d! y desplazamiento virtual !. . . . . . . . . . . . .
r
r
2.37.Espacio de fase unidimensional. Coordenada real q (t) y la coordenada
desplazada virtualmente q (t) + q (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.38.Partícula de masa m que se mueve sobre una esfera lisa sin separarse de
su superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.39.Anillo que se desplaza sobre un alambre liso en forma deparábola que
rota con ! constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.40.Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por una barra telescópica de
longitud ` = ` (t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102
103
105

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132

135
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141

143
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148
151
153

Pág.: XVIII

ÍNDICE DE FIGURAS
2.41.Péndulo en equilibrio estático. (a) Diagrama de cuerpo libre. (b) Diagrama con fuerzas y desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.42.Partícula moviéndose dentro de un cilindro con trayectoria helicoidal. . .
2.43.Palanca horizontal en equilibrio estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.44.(a) Sistema de partículas equivalente al sistema dado. (b) Vectores de
posición y desplazamientos virtuales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.45.Mecanismo de barras homogéneas en equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . .
2.46.Centros de masa de los componentes del sistema, sus vectores de posición, los correspondientes desplazamientos virtuales y las fuerzas involucradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.47.Sistema de dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a través
de una polea de diámetro despreciable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.48.Dos masas m1 y m2 unidas por una cuerda que pasa a través de una
polea y donde una de las masas se desliza sobre un plano inclinado. . . .
2.49.Problema 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.50.Problema 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.51.Problemas 3 y 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.52.Problemas 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.53.Problema 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.54.Problema 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.55.Problema 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.56.Problema 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.57.Problema 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.58.Problema 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.59.Problema 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.60.Problema 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.61.Problema 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.62.Problema 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.63.Problema 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.64.Problema 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.65.Problema 28. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.66.Problema 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159
160
163
164
166

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180
180
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182
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184
185
186
186
187
188
189
190
191
191
192

3.1. Superﬁcie de revolución generada por una curva y = y (x). . . . . . . . . . 196
3.2. Camino real y camino variado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.3. La función y (x) es el camino que hace que el funcional J tome un valor extremal. Las funciones y ( ; x) = y (x) +
(x) = y (x) + y (x) son las
funciones vecinas, donde (x) se anula en las fronteras del intervalo [x1 ; x2 ].202

Pág.: XIX

ÍNDICE DE FIGURAS
3.4. Función y (x) = 3x entre los límites de x = 0 y x = 2 y dos de sus variaciones
y ( ; x) = 3x + [Sen (x) Cos (x) + 1] (Ejemplo 3.1). . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Función y (x) = x2 entre los límites de x = 1 y x = 1 y dos de sus variaciones y ( ; x) = x2 + (x3 x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Superficie de revolución generada por una curva que une a los puntos
(x1 ; y1 ).y (x1 ; y1 ), haciéndola trasladarse entrono al eje y. . . . . . . . . . . .
3.7. Partícula de masa m que se desplaza sobre una rampa lisa desde el punto
P1 hasta el punto P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Planteamiento gráfico del problema de la braquistócrona. . . . . . . . . .
3.9. Camino resultante para que la partícula se mueva desde (x1 ; y1 ) = (0; 0)
hasta (x2 ; y2 ) = (d; h) en el menor tiempo posible. . . . . . . . . . . . . . .
3.10.Película de jabón entre dos anillos concéntricos de radio a y separados
por una distancia 2d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.Geodésicas sobre una esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12.Distancia más corta entre dos puntos del plano. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13.Geodésicas en un cilindro circular recto de radio R. . . . . . . . . . . . . .
3.14.Función y (x) cuya área por ella encerrada ha de maximizarse. . . . . . .
3.15.Cuerda de longitud ` colocada entre las orillas de un río de ancho 2a. . .
3.16.Problema 70. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. (a) Representación de la relación fundamental F = F (u). (b) Representación de una familia de relaciones fundamentales F = F (v). . . . . .
4.2. Una curva dada puede representarse igualmente bien como envolvente
de una familia de líneas tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. (a) Conjunto S convexo, (b) conjunto S no convexo. . . . . . . . . . . . . .
4.4. Función F (u) convexa en el intervalo [ua ; ub ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. El epigrafo de una función de valor real es la zona "sobre"la curva. . . . .
4.6. Función F (u) cóncava en el intervalo [ua ; ub ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Gráfica de la finción F (u) = Cos (u). En el dominio 2 ; 32 es una función
estrictamente convexa y en el dominio 32 ; 52 es una función estrictamente cóncava. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Representación gráfica de la desigualdad (4.8) que expresa la condición
de convexidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
4.9. Gráfica de la función F (u) = u para u > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10.Gráfica de la función F (u) = e u para 6 0 y u > 0. . . . . . . . . . . . . .
4.11.Gráfica de la función F (u) = au2 + bu + c con a < 0 y u variable real. . . . .
4.12.Gráfica de la función F (u) = e u + u con > 0 y u variable real. . . . . . .
4.13.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u2 + u2 2u1 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2

203
204
211
214
215
217
218
231
233
235
270
272
289

295
296
297
298
298
299

300
301
303
304
304
305
307

Pág.: XX

ÍNDICE DE FIGURAS
4.14.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u4 + u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
4
4.15.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = u1 + u2 4u1 u2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
4.16.Gráfica de la función F (u1 ; u2 ) = ln u1 + ln u2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17.(a) Gráfica de una función convexa F = F (u). (b) Gráfica de su tangente
v = v (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18.Obtención geométrica de la transformada de Legendre para una relación
fundamental de una variable F = F (u). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

308
309
310
312
313

5.1. Partícula de masa m que se desplaza hacia abajo en un plano inclinado
un ángulo con respecto a la horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.2. Partícula de masa m inmersa en un campo de fuerza conservativo. . . . . 366
5.3. La máquina simple de Atwood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
5.4. Anillo de masa m que se desliza por un alambre, de masa despreciable,
que gira uniformemente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
5.5. Movimieno de un proyectil de masa m bajo la acción de la gravedad en
dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
5.6. Partícula de masa m que está obligada a moverse sobre la superficie
interna de un cono liso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
5.7. Dos partículas de masas m1 y m2 unidas por tres resortes de constantes de
elasticidad k1 , k2 y k3 a dos soportes fijos que está a una distancia D entre sí.380
5.8. Coordenadas generalizadas del sistema formado por dos masas m1 y m2
unidas por tres resortes de constantes de elasticidad k1 , k2 y k3 a dos soportes fijos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
5.9. Péndulo simple colocado dentro de un vagón que se mueve con una
aceleración constante a en la dirección +x . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
5.10.Coordenadas Cartesianas para el pédulo simple de la figura 5.9. . . . . . 383
5.11.Cuenta de masa m se desplaza a lo largo de un alambre liso, de masa
despreciable, que tiene la forma de la parábola z = cr2 . . . . . . . . . . . . 387
5.12.Máquina de Atwood doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
5.13.Disco sólido de centro O0 y radio R1 que rueda sin resbalar dentro de la
superficie semicircular fija con centro O y radio R2 > R1 . . . . . . . . . . . . 392
5.14.Coordenadas del centro de masa del disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
5.15.Disco de masa M y radio R rueda, sin resbalar, hacia abajo en un plano
inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
(h)
(h)
5.16.Detalles para encontrar las ecuaciones de ligadura f4 y f5 para el sistema mostrado en la figura 5.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
5.17.Partícula de masa m que comienza a moverse desde el reposo, partiendo
de la parte más alta de un hemisferio fijo y liso. . . . . . . . . . . . . . . . . 413

Pág.: XXI

ÍNDICE DE FIGURAS
5.18.Partícula de masa m que se mueve sobre un plano inclinado móvil. . . . . 416
5.19.(a) Movimiento de un disco homogéneo de masa M rodando sin resbalar sobre el plano xy. (b) Proyección del movimiento sobre el plano
xy. La velocidad del centro de masa del disco tiene las componentes
R Sen ; R Cos

sobre las direcciones x y y. . . . . . . . . . . . . . . . . 422

5.20.Carrito rectangular homogéneo de masa M inmerso en un campo eléc!
trico uniforme E dirigido a lo largo del eje x. Las ruedas no resbalan, así la
fuerza de fricción estática entre ellas y la superficie proporcionan fuerzas
!
!
F a y F b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
! ! !
!
5.21. F 1 , F 2 y F Q son las fuerzas eléctricas ejercidas por el campo eléctrico E
sobre las cargas q1 , q1 y Q respectivamente. La fuerza de fricción estática
!
!
entrelas ruedas y la superficie proporcionan fuerzas F a y F b . . . . . . . . 434
5.22.Cambio del vector de posición debido una traslación del sistema. . . . . 453
5.23.Variación del vector de posición al rotar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
6.1. Partícula de masa m obligada a moverse sobre la superficie del cilindro
x2 + y 2 = R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
6.2. Péndulo esférico de masa pendular m y longitud b. . . . . . . . . . . . . . . 517
6.3. Coordenadas esféricas de la masa pendular m en un pédulo esférico. . . 518
6.4. Partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje x sometida a una
fuerza Kx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
6.5. Partícula de masa m que se mueve en un plano, inmersa en un campo
con energía potencial U = U (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
6.6. Péndulo simple de masa pendular m y longitud `. . . . . . . . . . . . . . . . 526
6.7. Coordenadas Cartesianas y cilíndricas para la masa pendular m del péndulo mostrado en la figura 6.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
6.8. Trayectoria de fase en un espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
6.9. Diagrama de fase para la partícula de masa m obligada a moverse sobre
la superficie de un cilindro, mostrada en la figura (6.1). . . . . . . . . . . . . 560
6.10.Diagrama de fase para la máquina simple de Atwood de la figura 5.3. . . 561
6.11.Partícula de masa m que se desliza bajo la acción de la gravedad y sin
2
fricción sobre un alambre que tiene forma de parábola y = x . . . . . . . . 561
2
6.12.Diagrama de fase para el sistema mostrado en la figura (6.11). . . . . . . . 563
6.13.Diagrama de fase para el péndulo de la figura 6.2 con ' = ! = constante.
p
p
La figura 6.13(a) es para ! < g=` y la 6.13(b) es para ! > g=`. . . . . . . 565

6.14.Diagrama de fase para el péndulo simple de la figura (6.6). . . . . . . . . . 567
6.15.Evolución de una región en el espacio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . 569


Pág.: XXII

ÍNDICE DE FIGURAS
6.16.Proyección del elemento de volumen sobre el plano qi pi . . . . . . . . . . . 571
6.17.Diagrama de fase para un conjunto de partículas de masa m moviéndose
inmersas en un campo gravitacional constante. . . . . . . . . . . . . . . . . 575
6.18.Partícula de masa m que se mueve en un plano bajo la inﬂuencia de una
C
fuerza F (r) que se deriva del potencial U (r) = rn . . . . . . . . . . . . . . . 581
D.1. Función arbitraria (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644


Pág.: XXIII

Parte I
Fundamentos físicos y matemáticos
básicos para estudiar Mecánica de
Lagrange y Hamilton

1

CAPÍTULO 1
Dinámica de un sistema de partículas

Contents
1.1. Sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Clasi…cación de los sistemas de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Fuerzas en un sistema de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1. Externas e internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2. Aplicadas y de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4. Centro de masa, centro de gravedad y centroide . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.1. Posición del centro de masa de un sistema discreto . . . . . . . . . . . .

16

1.4.2. Posición del centro de masa de un sistema continuo . . . . . . . . . . . .

19

1.4.3. Posición del centro de masa de un sistema compuesto . . . . . . . . . .

23

1.5. Propiedades del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.6. Movimiento del centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.7. Movimiento de un sistema aislado de dos partículas - Masa reducida

35

1.8. Momento lineal y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.9. Momento angular y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.10. Energía y su conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

1.10.1. Energía cinética

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

43

CAPÍTULO 1. DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS
1.10.2. Energía potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.10.3. Conservación de la energía mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

1.11. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.

49

Sistema de partículas

Los cuerpos que se observan a simple vista están formados por un gran número
de partículas, macroscópicas, atómicas o subatómicas. Sólo en ciertos casos es válida la simplificación que supone el modelo de la masa puntual. En otros casos, por el
contrario, será necesario considerar el sistema como si estuviese formado por varias
partículas.
Se llama Sistema de Partículas, Sistema Mecánico o Sistema Dinámico a
un conjunto de varias partículas, de número finito o infinito, de las cuales se
quiere estudiar su movimiento.
Por otro lado,
Se llama Configuración de un Sistema a la posición de cada una de sus
partículas en un instante dado.
Para definir la configuración se necesita un determinado número de parámetros
según el sistema de que se trate. Por ejemplo, una partícula libre precisa de tres parámetros (x; y; z) son sus coordenadas Cartesianas. Un sistema de N partículas libres
queda definido por 3N parámetros. Sin embargo, si existen ligaduras (detalles en el
capítulo 2) que restrinjan el movimiento, el número de parámetros preciso para definir
la configuración podría ser menor.
Todo sistema está definido por su frontera,
Se llama Frontera del Sistema (ver figura 1.1) a la envoltura imaginaria
que lo encierra y separa de su entorno o exterior.
En el exterior o entorno del sistema pueden existir agentes que ejerzan influencia
sobre el mismo como: campos gravitacionales o eléctricos originados por otro sistema

Pág.: 4

1.2. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Figura (1.1): Frontera de un sitema de partículas.

de partículas, sistemas de partículas en contacto él, etc. Puede pensarse que la frontera de un sistema de partículas tiene propiedades especiales que sirven para: (a)
aislar el sistema de su entorno o para (b) permitir la interacción de un modo específico
entre el sistema y su entorno.
Debe quedar claro que el espesor de la frontera es matemáticamente
cero por lo que no puede contener materia ni ocupar algún lugar en el
espacio.
El valor de alguna variable física del sistema medida exactamente sobre su frontera
debe ser igual tanto para el interior como para el exterior, ya que el sistema y el entorno
están en contacto en ese punto.

1.2.

Clasificación de los sistemas de partículas
Un sistema de partículas puede ser clasificado como:

1.2.1.

Discreto

Este modelo considera el cuerpo formado por un número finito de partículas
que están localizadas. En un sistema discreto la masa total del sistema se obtiene
sumando las masas de todas las partículas que lo forman.
Dentro de este modelo se consideran:

Pág.: 5

Sistemas indeformables
Son los sistemas en los que la distancia relativa entre las partículas que lo constituyen
permanece inalterable en el tiempo.

Sistemas deformables
Son los sistemas en los que puede cambiar la distancia relativa entre las partículas
que lo constituyen.

1.2.2.

Continuo

Este modelo considera el cuerpo formado por una distribución continua de
materia, es decir, por un número infinito de partículas. Las partículas que lo forman no
se pueden delimitar, llenando todo el espacio que ocupa.
Al igual que en el caso discreto, dentro de este modelo se consideran:

Sistemas indeformables
Son los sistemas que no sufren deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir, son sistemas de partículas contínuos cuyas posiciones relativas no cambian. A estos
sitemas se les da el nombre de Cuerpo Rígido. Un cuerpo rígido es una idealización ya
que, en la naturaleza, todos los cuerpos se deforman en mayor o menor grado bajo la
acción de una fuerza externa. Sin embargo, en muchos casos la deformación puede
ser tan pequeña que para fines prácticos se puede suponer que no existe. Para el estudio del comportamiento de estos sistemas existe la denominada Mecánica de los
Cuerpos Rígidos.

Sistemas deformables
Son los sistemas que sufren deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir,
son sistemas de partículas contínuos cuyas posiciones relativas internas cambian.
En muchos casos prácticos un sistema discreto que tenga un gran número, pero finito, de partículas puede tratarse como un sistema continuo. Inversamente, un sistema
continuo puede tratarse como un sistema discreto con un gran número, pero finito, de
partículas.

Pág.: 6

1.3. FUERZAS EN UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

1.3.

Fuerzas en un sistema de partículas

En un sistema de partículas están involucradas fuerzas que son ejercidas sobre
las partículas que lo constituyen y que son las causantes de la variación de la cantidad movimiento lineal o momento lineal ! de las mismas. A estas fuerzas resulta
p
conveniente clasificarlas ya que las partículas del sistema no sólo están interaccionando entre sí, sino con otras partículas que no pertenecen al mismo sistema. Es posible
clasificarlas atendiendo a varios criterios (ver figura 1.2):

Figura (1.2): Tipos de fuerzas en un sistema de partículas. Aquí !i y !j son los vectores de posición de la
r
r
!(int)
i-ésima y j-ésima partícula respectivamente, F ij es la fuerza ejercida por la j-ésima partícula sobre
!(int)
!
i-ésima, F ji es la fuerza ejercida por la i-ésima partícula sobre j-ésima y las F (ext) representan fuerzas
externas ejercidas sobre el sistema.

1.3.1.

Externas e internas

Fuerzas externas
Las Fuerzas Externas son aquellas ejercidas por agentes externos al sistema, es decir, son las que están aplicadas a partículas del sistema por
partículas, distribuciones de materia u otros agentes que no pertenecen al
mismo sistema.


Pág.: 7

Las fuerzas externas son las responsables del comportamiento externo del sistema y
son las únicas que modifican su momento lineal !, influyendo sobre una o más partes
p
del mismo o sobre su totalidad. Estas fuerzas pueden ser los pesos de las partículas del
sistema, reacciones causadas por las superficies en contacto con las mismas, fuerzas
ejercidas externamente mediante cuerdas, etc.
!
En este texto serán denotadas por: F (ext) cuando se trate de la fuerza externa total
!(ext)
o resultante sobre el sistema y por F i
cuando se trate de la fuerza externa total
sobre la i-ésima partícula a menos que, para casos particulares, sea indicada otra
notación.
A un sistema de partículas sobre el cual no se aplican fuerzas externas se
le denomina Sistema Aislado o Sistema Cerrado. Es decir, es un sistema que
no interacciona con otros agentes físicos situados fuera de él y, por tanto, no
está conectado en forma “causal” ni en correlación con nada externo a él.
Particulamente, un sistema inercial aislado es aquél en el que son válidas las tres
Leyes de Newton y tiene las siguientes características:
1. La evolución del sistema es independiente del origen de la coordenada temporal,
es decir, el tiempo es homogéneo.
2. La evolución del sistema es idenpendiente del origen de coordenadas del sistema
inercial, es decir el espacio es homogéneo.
3. La evolución del sistema es independiente de la dirección de los ejes de sistema de
coordenadas escogido, es decir, el espacio es isótropo.

Fuerzas internas
Las fuerzas internas son aquellas ejercidas entre las partículas que constituyen al sistema, es decir, son las que están aplicadas a partículas del sistema debidas a otras partículas del mismo sistema.
Las fuerzas internas son las que determinan el grado de rigidez o cohesión de un
determinado sistema y no influyen en su comportamiento externo. Estas pueden ser las
fuerzas de atracción gravitacional entre las partículas del sistema, la fuerza eléctrica si
las partículas tienen cargas eléctricas, fuerzas de contacto entre las partículas, etc.

Pág.: 8


Figura (1.3): (a) Sistema S con tres partículas de masas m1 , m2 y m3 . (a) Sistema S 0 con dos partículas de
masas m2 y m3 .

!
En este texto serán denotadas por: F (int) cuando se trate de la fuerza interna total
!(int)
cuando se trate de la fuerza interna total sobre la
o resultante en el sistema y por F i
i-ésima partícula, a menos que, para casos particulares, sea indicada otra notación.
Como ejemplo para ilustrar los conceptos de fuerza externa y fuerza interna, considérense los sistemas mostrados en la ﬁgura 1.3. En la ﬁgura 1.3(a) se muestra un sistema
S con tres partículas de masas m1 , m2 y m3 posicionadas con respecto al origen O del
referencial mostrado mediante los vectores de posición !1 , !2 y !3 respectivamente.
r r
r
Sobre estas partículas actuan las siguientes fuerzas:
8 !
> F 1 fuerza ejercida sobre m1 por un agente externo.
<
!
Fuerzas sobre m1
F fuerza ejercida sobre m1 por m2 .
> !12
:
F 13 fuerza ejercida sobre m1 por m3 .
Fuerzas sobre m2

Fuerzas sobre m2

8 !
<
!
> !21
:
8 !
<
!
> !31
:

! ! ! ! !
!
En este sistema las fuerzas F 12 , F 13 , F 21 , F 23 , F 31 y F 32 son internas y, como se
puede ver, representan las fuerzas de interacción mutua entre las tres partículas. Las

Pág.: 9

! !
!
fuerzas F 1 , F 2 y F 3 son externas que representan la interacción del sistema con un
agente externo al mismo.

Figura (1.4): (a) Sistema de dos bloques de masas m1 y m2 , donde m1 se desplaza sobre la superficie de
m2 y éste último sobre una superficie lisa S. Hay fricción entre los bloques. (b) Fuerzas sobre el bloque
m1 . (c) Fuerzas sobre el bloque m2 .

Por otro lado, en la figura 1.3(b) se muestra el mismo sistema de tres partículas pero
donde se ha escogido como objeto de estudio al sistema S 0 formado por las partículas
!
!
! !
de masas m2 y m3 . En este caso, las fuerzas F 23 y F 32 son internas y las fuerzas F 2 , F 3 ,
!
!
! !
!
F 21 y F 31 son externas (estas dos últimas eran internas para S). Las F 1 , F 12 y F 13 , que
en S pertenecían al sistema, ahora nada tienen que ver con S 0 ya que no ejercen
ninguna influencia sobre él.
Otro ejemplo es el mostrado en la figura 1.4. En la figura 1.4(a) se presenta un sistema
constituido por dos bloques de masas m1 y m2 que se desplazan el uno sobre el otro
habiendo fricción. El cojunto de bloques, a la vez, se desplaza sobre una superficie
!
lisa , debido a la acción una fuerza F sobre el bloque de masa m2 ejercida por un
agente externo (una persona o una máquina hala al bloque). Las fuerzas involucradas
son las siguientes:
8 !
> w 1 peso de m1 .
<
!
Fuerzas sobre m1
N fuerza normal aplicada por m2 sobre m1 .
> !12
:
F f 12 fuerza de fricción aplicada por m2 sobre m1 .
Fuerzas sobre m2

8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:

! peso de m .
w2
2
!
N 21 fuerza normal aplicada por m1 sobre m2 .
!
F f 21 fuerza de fricción aplicada por m1 sobre m2 .
!
N fuerza normal ejercida por sobre m2 .
!
F fuerza aplicada sobre m2 por un agente externo.


Pág.: 10

! !
En este sistema, compuesto por m1 y m2 , las fuerzas !1 , !2 , N y F , son externas.
w w
!
La fuerza normal N es externa ya que es una fuerza que se ejerce sobre m2 por la
!
!
!
!
superficie , que es un agente externo al sistema. Las fuerzas F f 12 , F f 21 , N 12 y N 21 son
internas porque se dan entre m1 y m2 .
Por otro lado, si la frontera del sistema se define de tal forma que se tome solamente
uno de los bloques, entonces todas las fuerzas actuantes sobre él serían externas. La
figura 1.4(b) muestra el caso en que la frotera del sistema sólo considere al bloque 1
y la figura 1.4(c) muestra el caso en que se considere al bloque 2. En ambos casos
todas la fuerzas mostradas son externas y constituyen los denominados diagramas de
cuerpo libre.
A partir de la anterior discusión se deduce que cualquier fuerza puede
ser externa o interna. Sólo depués de definir las fronteras del sistema de
partículas objeto de estudio, se sabrán cuáles de las fuerzas presentes entran en cada categoría.

1.3.2.

Aplicadas y de reacción
Se pueden clasificar también en Aplicadas y de Reacción.

Aplicadas
A este tipo de fuerzas también se les denominan Fuerzas Activas.
Las fuerzas aplicadas son aquellas que actúan a “motus propio” sobre
el sistema, es decir, son las fuerzas impuestas.

De reacción
A este tipo de fuerzas también se les denomina Fuerzas Reactivas o también
Fuerzas de Ligadura.
Son aquellas que actúan como respuesta a un movimiento determinado que intentan impedir y sólo se dan cuando existe la tendencia a este
movimiento.


Pág.: 11


Figura (1.5): Forma fuerte de la tercera ley de Newton.

La tercera ley de Newton juega un papel muy importante en la dinámica de un
sistema de partículas debido a las fuerzas internas entre las partículas que constituyen
el sistema. Dos suposiciones son necesarias referentes a las fuerzas internas:

1. Las fuerzas ejercidas entre dos partículas mi y mj son iguales en magnitud
!(int)
y opuestas en dirección. Si se denota por F ij la fuerza interna ejercida
sobre la i-ésima partícula debido a la j-ésima, entonces la llamada forma
“débil” de la tercera ley de Newton se escribe como,
!(int)
F ij =

!(int)
F ji

(1.1)

2. Las fuerzas ejercidas entre dos partículas mi y mj , además de ser iguales
y opuestas, deben darse sobre el segmento recta que une las posiciones
!(int)
de ambas partículas, es decir, si F ij es paralela a !i !j = !ij . Esta
r
r
r
forma más restringida de la tercera ley de Newton, llamada también la
forma “fuerte”, es mostrada en la ﬁgura 1.5. A las fuerzas que cumplen esta forma de la tercera ley de Newton se le denominan Fuerzas Centrales.
Se debe tener cuidado en saber cuándo es aplicable cada una de las formas de
la tercera ley de Newton. En verdad, muchas son las fuerzas que obedecen ambas
formas de la tercera ley de Newton. Por ejemplo, las fuerza gravitacional y la fuerza

Pág.: 12

1.4. CENTRO DE MASA, CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE
electrostática tienen esta propiedad, conservándose el momento lineal total y el momento angular en estos sistemas. Sin embargo, existen algunas fuerzas que, en general, ¡no cumplen con ambas formas a la vez! y el ejemplo más famoso lo constituye la
fuerza de Lorentz que viene dada por,
!(int)
!
F ij = qi !i B ij
v
(1.2)
que se estudia en el curso de electromagnetismo y donde !i es la velocidad de la
v
!
carga qi y B ij es el campo magnético sobre la carga qi generado por el movimiento
de la carga qj . Esta fuerza, en general, sólo obedece a la forma débil de la tercera
ley de Newton. Para visualizar esto, considérense dos partículas cargadas qi y qj que
se mueven con velocidades respectivas !i y !j en el plano de esta página, como se
v
v
muestra en la ﬁgura 1.6.

Figura (1.6): Fuerzas interacción electromagnética de entre dos partículas cargadas qi y qj en movimiento.

!(int)
!
Puesto que F ij es perpendicular a ambos !i y B ij ( el cual puede apuntar hacia
v
!(int)
!(int)
adentro o hacia afuera del plano de esta página), F ij puede ser paralela a F ji
sólo cuando !i y !j son paralelas, lo cual no es cierto en general.
v
v
Cualquier fuerza que dependa de las velocidades de los cuerpos interactuantes
no es central, por lo tanto no es aplicable la forma fuerte. La fuerza gravitacional
entre cuerpos en movimiento también depende de la velocidad, pero el efecto es
pequeño y difícil de detectar. El único efecto observable es la precesión del perihelio
de los planetas interiores (Mercurio, Venus, Tierra y Marte).

1.4.

Centro de masa, centro de gravedad y centroide

En el estudio de la dinámica de sistemas de partículas es de una importantísima
utilidad el concepto de Centro de Masa.

Pág.: 13


El Centro de Masa de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada
la resultante de las fuerzas externas al sistema.

Esto será demostrado más adelante en la sección 1.6. De manera análoga, se
puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de
masas es un sistema equivalente al original.
Por otro lado,

El Centro de Gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las
fuerzas que ejerce la gravedad sobre los diferentes puntos materiales que
constituyen el cuerpo, producen un momento de fuerza o torque ! resultante nulo.

La ﬁgura 1.7 muestra una representación de la posición del centro de gravedad
para un sistema discreto de N partículas. El centro de gravedad no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo. Así, el centro de gravedad de una
esfera hueca homogénea está situado en el centro de la esfera que no pertenece al
cuerpo.

P
!
Figura (1.7): Posición R CG del centro de gravedad de un sistema de partículas. Aquí M =
mi y
es el peso ! total del sistema.
w


M!
g

Pág.: 14

!
La posición R CG del centro de gravedad para un sistema continuo puede ser encontrada mediante,
!
R CG

R
!
M ! ! = R CG = !
g r
r

! (!) dm
g r

(1.3)

En la figura 1.8 se muestra un cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra cuyo
tamaño no es despreciable con respecto al de ésta última, en el cual se han representado varios diferenciales de masa dm y a los cuales se les han representado las
intensidades del campo terrestre ! en sus respectivas posiciones. Se puede observar
g
! es un vector que varía en dirección de punto a punto por estar siempre dirigique g
do al centro de la Tierra además de que podría variar también su magnitud. En este
caso, de (1.3), para el cuerpo de masa M resultaría una posición para su centro de
gravedad distinta a la posición de su centro de masa (cuya determinación se hará
más adelante). Ahora, si el tamaño de este cuerpo es pequeño o despreciable con
respecto al de la Tierra ocurriría que los ángulos entre los distintos vectores ! serían tan
g
pequeños que estos vectores podrían considerarse paralelos entre sí y constantes en
magnitud. En este caso, por el contrario, de (1.3) resultaría una posición para el centro de gravedad igual a la posición del centro de masa. A los efectos prácticos, esta
coincidencia se cumple con precisión aceptable para todos los cuerpos que están
sobre la superficie terrestre, aun para una locomotora o un gran edificio; no sucede lo
mismo con objetos astronómicos como los planetas.
!
La posición centro de masa R coincide con la del centro de gravedad
!
R CG cuando el cuerpo está en un campo gravitatorio uniforme, es decir,
cuando el vector aceleración de la gravedad ! (!) es de magnitud y dig r
rección constante en todo el interior del cuerpo,
! = vector constante
g
Por último, queda por definir el centroide de un cuerpo geométrico,
El Centroide o Baricentro es un punto que define el centro de un cuerpo geométrico unidimensional, bidimensional o tridimensional, es decir, es el
centro de simetría.
Hay que hacer incapié en que el centroide o baricentro se refiere a cuerpos puramente geométricos, es decir, no se refiere a cuerpos materiales ya que son cuerpos

Pág.: 15


Figura (1.8): Cuerpo continuo de masa M cercano a la Tierra de tamaño no despreciable respecto al
de la misma, en el cual se han representado varios dm y a los cuales se les han representado las ! en
g
sus respectivas posiciones.

sin masa. Todo cuerpo material está definido por un cuerpo geométrico que encierra
toda la masa del mismo. La posición del centro de masa de un cuerpo material coincide con la posición del centroide del cuerpo geométrico que lo define, si el primero es
homogéneo. Si un cuerpo material es simétrico y homogéneo, se puede hallar su centroide fácilmente. Por ejemplo, para el caso de una varilla o segmento homogéneos,
el centroide es el punto medio y para una esfera o una circunferencia homogéneas,
el centroide también se encuentra en su centro geométrico. El caso de un triángulo se
encuentra en la intersección de las medianas1 .
Por las anteriores razones y dentro de los límites mecionados, al centro de masa
suele llamársele también centro de gravedad o también centroide.

1.4.1.

Posición del centro de masa de un sistema discreto

Para definir la posición del centro de masa de un sistema de partículas discreto,
pártase de uno formado por N partículas de masas m1 ; m2 ; :::; mN cuyos vectores de
posición son !1 ; !2 ; :::; !N respectivamente con relación al origen O del referencial
r
r
r
escogido, el cual es inercial (ver figura 1.9). La masa total M del sistema vendrá dada
por,
1

Las medianas son las tres rectas que unen cada vértice del triángulo con el centro del lado opuesto.

Pág.: 16


Figura (1.9): Posición del centro de masa de un sistema de N partículas.

M=

N
X

(1.4)

mi

i=1

Ahora bien,

El Centro de Masa de un sistema de partículas se deﬁne como el punto
!
cuyo vector de posición R viene dado por,
N
!
1 X !
R =
mi r i
M i=1

(1.5)

Como,
entonces,
!
R =

! =xe +ye +ze
ri
i bx
i by
i bz

!
N
1 X
mi xi ex +
b
M i=1

!
N
1 X
mi yi ey +
b
M i=1

!
N
1 X
mi zi ez
b
M i=1

(1.6)

de donde las componentes Cartesianas (xcm ; ycm ; zcm ) de la posición del centro de
masa son,
xcm =

1
M

N
P

i=1

mi xi

ycm =

1
M

N
P

i=1

mi yi

zcm =

1
M

N
P

mi zi

(1.7)

i=1

..............................................................................................

Pág.: 17


EJEMPLO 1.1
Sistema discreto bidimensional. Un sistema consta de tres partículas de masas m1 = 2 Kg, m2 = 4 Kg y m3 = 8 Kg, localizadas en los vértices de un
triángulo rectángulo como se muestra en la ﬁgura 1.10. Encuéntrese la posición del
centro de masa del sistema respecto al referencial dado.

Figura (1.10): Sistema discreto formado por tres partículas situadas en los vértices de un triángulo rectángulo.

SOLUCION: la masa del sistema, al usar (1.4), viene dada por,
M=

3
X

mi = m1 + m2 + m3 = 2Kg + 4Kg + 8Kg = 14Kg

(1.8)

i=1

Ahora, al usar (1.7),
xcm

3
1
1 X
=
mi xi =
(m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 )
M i=1
M

1
5
[(2Kg) (b + d) + (4Kg) (b) + (8Kg) (b + d)] = d + b
14Kg
7
3
1 X
1
=
mi yi =
(m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 )
M i=1
M
=

ycm

=

1
4
[(2Kg) (0) + (4Kg) (0) + (8Kg) (h)] = h
14Kg
7

(1.9)

(1.10)

Entonces, de los resultados (1.9) y (1.10), el centro de masa está en la posición,
!
R =

5
4
d + b; h
7
7

=

5
4
d + b ex + hby
b
e
7
7

(1.11)

..............................................................................................

Pág.: 18


1.4.2.

Posición del centro de masa de un sistema continuo

Cuando se tiene una distribución de materia continua como la representada
por la región R mostrada en la ﬁgura 1.11, las sumatorias presentes en (1.4) y (1.5) se
convierten en integrales y la masa m en un diferencial de masa dm resultando,
!
R =

R !
R
r dm, con M = R dm
R

1
M

y como,

(1.12)

! = xb + yb + zb
r
ex
ey
ex
entonces,

!
1
R =
M

Z

1
xdmbx +
e
M
R

Z

1
ydmby +
e
M
R
!
de manera que las componentes Cartesianas de R son,

Z

zdmby
e

(1.13)

R

Figura (1.11): Distribución de mareria continua de masa m y densidad .

xcm =

1
M

R

R

xdm

ycm =

1
M

R

R

ydm

zcm =

1
M

R

R

zdm

(1.14)

La región R puede ser unidimensional, bidimensional o tridimensional, por lo tanto,
las integrales presentes en (1.12) podrán ser simples, dobles o triples respectivamente.
..............................................................................................
EJEMPLO 1.2
Sistema continuo unidimensional. Encuéntrese el centro de masa
de un aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal (ver ﬁgura 1.12).

Pág.: 19


Figura (1.12): Aro semicircular homogéneo de radio a y densidad lineal .

SOLUCION: en coordenadas polares se tiene que el diferencial de masa viene dado
por,
dm = rd' = ad'
(1.15)
por lo tanto la masa M del aro es,
M=

Z

R

dm =

Z

ad' =

(1.16)

a

0

Por la simetría mostrada en la ﬁgura y debido a que el aro es homogéneo se tiene
que la abscisa del centro de masa es,
(1.17)

xcm = 0
A partir de (1.14) la ordenada viene dada por,
Z
1
ydm
ycm =
M R

(1.18)

donde,
(1.19)

y = r Sen ' = a Sen '
en coordenadas polares. Por lo tanto, al sustituir (1.15), (1.16) y (1.19) en (1.18),
R
Z
a2 Sen 'd'
a
2a
0
ycm =
=
Sen 'd' =
a
0

(1.20)

Por último, de los resultados (1.17) y (1.20), el centro de masa del aro está en la
posición,
!
2a
2a
= ey
b
(1.21)
R = 0;

Pág.: 20


Figura (1.13): Posición del centro de masa de un cascarón hemisférico homogéneo, de densidad
radio R.

y de

..............................................................................................
EJEMPLO 1.3
Sistema continuo bidimensional. Calcular la posición del centro
de masa de la placa homogénea de densidad mostrada en la ﬁgura 1.13.
SOLUCION: en coordenadas polares el diferencial de masa viene dado por,
(1.22)

dm = rdrd'
por lo tanto su masa resulta de,
Z
Z
dm =
M=
R

4

4

Z

R Cos(2')

0

rdrd' =

1 2
R
8

(1.23)

entonces a partir de (1.14), considerando (1.22) y (1.23), la coordenada xcm del centro
de masa es,
p
Z
Z Z R Cos(2')
4
1
1
128 2
2
xcm =
xdm = 1 2
r Cos 'drd' =
R
(1.24)
M R
105
R
0
8
4
donde se ha tenido presente que en coordenadas polares x = r Cos '.
Por otro lado, debido a la simetría de problema es obvio que,
ycm = 0

(1.25)

entonces, de los resultados (1.24) y (1.25), el centro de masa está en la posición,
!
p
p
!
128 2
128 2
R =
R; 0 =
Rbx
e
(1.26)
105
105

Pág.: 21

..............................................................................................
EJEMPLO 1.4
Sistema continuo tridimensional. Encuéntrese el centro de masa
de un cono sólido homogéneo de densidad , altura h y radio de la base a (ver ﬁgura
1.14).

Figura (1.14): Cono sólido homogéneo de altura h y base de radio a .

SOLUCION: el diferencial de masa en coordenadas cilíndricas viene dado por,
(1.27)

dm = rdrd'dz
por lo tanto la masa M del cono es,
M=

Z

0

2

Z

0

a

Z

h
r+h
a

rdzdrd' =

0

1 2
ah
3

(1.28)

Por la simetría mostrada en la ﬁgura y debido a que el cono es homogéneo se tiene
que la abscisa y la ordenada del centro de masa vienen dadas por,
xcm = ycm = 0
La cota del centro de masa es posible encontrarla a partir de (1.14),
Z
1
zdm
zcm =
M R

(1.29)

(1.30)
Pág.: 22

Por lo tanto, al sustituir (1.27) y (1.28) en (1.30),
zcm =

R2 RaR
0

0

h
r+h
a

0
1
3

zrdzdrd'
=
2h
a

1
12
1
3

a2 h2
1
= h
2h
4
a

(1.31)

con respecto a su base. Entonces, de los resultados (1.29) y (1.31), el centro de masa
está en la posición,
!
1
1
e
(1.32)
R = 0; 0; h = hbz
4
4
..............................................................................................

1.4.3.

Posición del centro de masa de un sistema compuesto

Dado un sistema de partículas que ha sido subdividido por completo en subsis!
temas, el objetivo de esta sección es encontrar la posición R de su centro de masa a
partir de la posición de los centros de masa de cada uno de dichos subsistemas.
En efecto, considérese un sistema S discreto de N partículas y masa M que ha sido
subdividido (por completo) en s subsistemas S1 ,S2 ,...,Ss (ver ﬁgura 1.15). Si n1 , n2 ,...,ns
representan el número de partículas de cada uno de los subsistemas debe cumplirse
que,

Figura (1.15): Sistema S discreto de N partículas subdividido (por completo) en s subsistemas
S1 ,S2 ,S3 ,...,Ss .

N = n1 + n2 + ::: + ns =

s
X

nj

(1.33)

j=1


Pág.: 23

! !
!
Cada uno de los subsistemas tiene su centro de masa posicionado en R 1 , R 2 ,..., R s y
masas totales M1 ,M2 ,...,Ms . Para el subsistema 1 se tiene que su masa total viene dada
por,
n1
X
M1 = m11 + m12 + ::: + m1n1 =
m1i
(1.34)
i=1

(el primer índice indica el subsistema y el segundo cada una de las partículas de dicho
subsistema),
msubsistema, partícula
y los vectores de posición de cada una de las partículas que lo integran vienen dados
por !11 ,!12 ,...,!1n1 . Para los restantes s 1 subsistemas se hace de forma análoga,
r
r
r
M2 = m21 + m22 + ::: + m2n2 =
.
.
.

i=1

.
.
.

Ms = ms1 + ms2 + ::: + msns

n2
P

=

ns
P

m2i
.
.
.

(1.35)

msi

i=1

de manera que la masa total del sistema S viene dada por,
M = M1 + M2 + : : : + Ms =

n1
X

m1i +

i=1

n2
X

m2i + : : : +

i=1

ns
X

msi

(1.36)

i=1

entonces, a partir de (1.5), la posición del centro de masa de cada uno de los s subsistemas de S vendrá dada por,
Subsistema 1:

!
R1 =

1
M1

Subsistema 2:

!
R2 =

1
M2

Subsistema 3:

!
R3 =

1
M3

Subsistema s:

!
Rs =

1
Ms

n1
P

n1
P
!
m1i !1i ) M1 R 1 =
r
m1i !1i
r

i=1
n2
P

n3
P
!
m3i !3i ) M3 R 3 =
r
m3i !3i
r

.
.
.

ns
P

ns
P
!
msi !si ) Ms R s =
r
msi !si
r

i=1
n2
P
i=1

i=1

i=1

n2
P
!
m2i !2i
r
m2i !2i ) M2 R 2 =
r
i=1

(1.37)

i=1

i=1

Ahora bien, al sumar miembro a miembro las expresiones (1.37) resulta,
n1
n2
n3
ns
X
X
X
X
!
!
!
!
! +
! +
! + ::: +
M 1 R 1 + M2 R 2 + M 3 R 3 + : : : + M s R s =
m1i r 1i
m2i r 2i
m3i r 3i
msi !si
r
s
X
j=1

s
X

!
Mj R j =

i=1
N
X

i=1

i=1

i=1

m i !i
r

i=1

!
!
Mj R j = M R

j=1


Pág.: 24

o,
!
R =

1
M

s
P

!
Mj R j

(1.38)

j=1

que es la posición del centro de masa del sistema original S calculada a partir de las
! ! !
!
posisiones R 1 ; R 2 ; R 3; : : : ; R s de los centros de masa de cada uno de los s subsistemas.
En componentes Cartesianas,
xcm =

1
M

s
P

Mi xcm;i

ycm =

i=1

1
M

s
P

Mi ycm;i

zcm =

i=1

1
M

s
P

Mi zcm;i

(1.39)

i=1

donde xcm;i , ycm;i y zcm;i son las coordenadas de la posición del centro de masa del
i-ésimo subsistema. Por lo tanto,
En los sistemas compuestos, se pueden encontrar los centros de masa de
los sistemas parciales o subsistemas y, a partir de ellos, calcular el centro
de masa del sistema completo. A esta propiedad del centro de masa se le
conoce como Propiedad de Agrupamiento.
Es fácil mostrar que lo mismo ocurre partiendo de un sistema continuo.
..............................................................................................
EJEMPLO 1.5
Sistema compuesto. Encuéntrese el centro de masa del sistema
mostrado en la ﬁgura 1.16 que consiste en una concha hemisférica de radio externo a
e interno b y un hemisferio sólido de radio a, ambos homogéneos de densidad .
SOLUCION: la posición del centro de masa de la concha hemisférica y el hemisferio
sólido vienen dadas por (se deja como tarea al alumno),
3 a4 b 4
0; 0; 3
8a
b3
3
0; 0;
a =
8

!
!
R concha = R 1 =
!
!
R hemisferio = R 2 =

3 a4 b 4
2
=
e , con M1 =
b
3
3 z
8a
b
3
3
2
abz , con M2 =
e
a3
8
3

a3

b3

(1.40)
(1.41)

ya que, por simetría, las coordenadas xcm y ycm son nulas para ambos casos.
Ahora, por la propiedad de agrupamiento del centro de masa (1.38),
!
!
!
1 X !
M 1 R 1 + M2 R 2
R =
Mj R j =
M j
M 1 + M2
=

4
3

(a3

b3 )
4
3

3 a4 b4
8 a3 b3

(a3

ez +
b

b3 ) +

4
3

4
3

a3

3
abz
e
8

a3


Pág.: 25


Figura (1.16): Centro de masa de un sistema compuesto por una concha hemisférica y un hemisferio
sólido homogéneo acoplados.

o,
!
R =

b4
3
ez =
b
8 2a3 b3

0; 0;

3
b4
8 2a3 b3

(1.42)

..............................................................................................
EJEMPLO 1.6
Sistema compuesto. Encuéntrese el centro de masa de la lámina
homogénea cuadrada de densidad y lado c mostrada en la figura 1.17, a la cual se
c
le ha recortado un semicículo de radio R < 2 .
SOLUCION: en este cado es sistema dado se descompone en dos. Uno de ellos es
la lámina L cuadrada sin orificio y el otro es el orificio O. Se calcula la posición del
centro de masa de la lámina cuadrada completa y del orificio, asignándole a este
último masa negativa por ser una masa faltante. Para hallar el centro de masa de la
lámina con el orificio se usa la propiedad de agrupamiento del centro de masa.
Posición del centro de masa de la lámina cuadrada sin orificio: por la simetría del
problema y por ser la lámina homogénea, es obvio que las coordenadas del centro
de masa vienen dadas por,
xL = 0
cm
c
L
ycm =
2

(1.43)

ML = c 2

(1.45)

(1.44)

y su masa viene dada por,


Pág.: 26


Figura (1.17): Centro de masa de una lámina cuadrada homogénea de densidad
c
semicircular de radio R < 2 .

y lado c con orificio

Posición del centro de masa del orificio: por la simetría de problema y por suponer
el orificio homogéneo,
xO = 0
cm

(1.46)

el diferencial de masa, usando coordenadas, polares viene dado por,
(1.47)

dm = rdrd'
entonces su masa es,
MO =

Z

dm =

Z

Z

1
R2

Z

0

R

rdrd' =

0

1 2
R
2

(1.48)

y al usar (1.12),
O
ycm

1
=
MO

Z

ydm =

1
2

0

Z

R

r2 Sen 'drd' =

0

4
R
3

(1.49)

donde se ha tenido presente que en coordenadas polares y = r Sen '.
Ahora, por la propiedad de agrupamiento del centro de masa (1.38) la posición
del centro de masa de la lámina con el orificio se obtiene mediante,
ML x L + MO x O
cm
cm
ML + MO
L
O
ML ycm + MO ycm
=
ML + MO

xcm =

(1.50)

ycm

(1.51)


Pág.: 27

y al sustituir los resultados (1.43) a (1.46), (1.48) y (1.49) en (1.50) y (1.51) resulta ﬁnalmente,
xcm

( c2 ) (0) +
=
c2 +

ycm =

( c2 )

o también,
!
R =

0;

c
2

+
c2 +

1 3c3
3 2c2

1
2
1
2

R2
R2

1
2
1
2

(0)
4
3

R2
R2

4R3
R2

=

1
3

(1.52)

=0
R

=

1
3

3c3
2c2

3c3
2c2

4R3
R2

4R3
R2

ey
b

(1.53)

(1.54)

..............................................................................................

1.5.

Propiedades del centro de masa

El centro masa de un sistema de partículas tiene las siguientes propiedades
(algunas serán veriﬁcadas posteriormente):
1. Permite reducir el estudio de la dinámica de un sistema de partículas (discreto o
continuo) al de una partícula.
2. Es un punto geométrico que no tiene por qué corresponderse con la posición de
una partícula material del sistema.
3. Su posición está contenida en los elementos de simetría del sistema. Si el cuerpo
tiene un plano o un eje de simetría éste contiene al centro de masa. Si posee un
centro de simetría, éste será directamente el centro de masa. Lo anterior ocurre si
existe una distribución homogénea de la masa.
4. Es independiente del sistema de referencia inercial empleado para localizarlo. Solo
depende de la masa de las partículas y de sus posiciones relativas entre sí.
5. Se mueve como un punto material cuya masa es la masa total del sistema, impulsado por las fuerzas externas.
6. Todas las fuerzas externas al sistema de partículas se suponen aplicadas en su centro de masa. La aceleración del centro de masa coincide con la aceleración del
sistema.
7. La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual al producto de la
masa del sistema por la velocidad de su centro de masa.

Pág.: 28

1.6. MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASA
8. Si las fuerzas externas que actúan sobre un sistema tienen una resultante y un momento nulos, el centro de masa se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. Las
fuerzas internas no modiﬁcan el movimiento del centro de masa.
9. Si se toma el centro de masa como origen de referencia, la cantidad de movimiento
del conjunto de partículas es siempre nula.
10. El movimiento más general que puede tener un sistema de partículas se puede reducir a un movimiento de traslación de su centro de masa más una rotación alrededor de un eje que pasa por dicho punto.

1.6.

Movimiento del centro de masa

Supóngase que se tiene un sistema discreto constituido por N partículas que
interactúan entre sí y sobre el cual actúan fuerzas externas. Entonces, la fuerza resul!
tante sobre la i-ésima partícula F i estará compuesta (en general) por dos partes: una
!(ext)
parte es la resultante de todas las fuerzas externas F i
y la otra parte es la resultante
!(int)
que se originan de la interacción de todas las otras
de todas las fuerzas internas F i
N 1 partículas con la i-ésima. Por lo tanto,
!
!(ext) !(int)
+ F i , con i = 1; 2; 3; : : : ; N
Fi= Fi

(1.55)

!(int)
podrá ser calculada mediante la suma vectorial de todas las fuerzas
La fuerza F i
!(int)
individuales F ij (como se dijo antes, debe leerse como la fuerza aplicada sobre la
i-ésima partícula debida a la j-ésima),
N
X !(int)
!(int)
Fi
=
F ij , con i = 1; 2; 3; : : : ; N

(1.56)

j=1 i6=j

donde i 6= j puesto que cada partícula no interacciona con ella misma, es decir, no
hay auto-fuerzas.
Ahora bien, a partir de la segunda ley de Newton, la expresión (1.55) puede escribirse como,
!(ext) !(int)
!
F i = !i = mi !i = F i
p
r
+ Fi
(1.57)
donde se ha supuesto que las mi son constantes. O también, en virtud de (1.56),
!(ext)
m i !i = F i
r
+

N
X !(int)
F ij

(1.58)

j=1 i6=j


Pág.: 29

Introducción a la Mecánica de Lagrange y de Hamilton. T. Soldovieri.

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