Cubo

Series de Fourier y fen´meno de Gibbs
o
Roberto Rodr´ ıguez-del-R´ & Enrique Zuazua
ıo
Departamento de Matem´tica Aplicada
a
Universidad Complutense de Madrid
28040 Madrid, Espaã
n
e-mail: rr delrio@mat.ucm.es; zuazua@eucmax.sim.ucm.es

Resumen
En este trabajo describimos la gńesis de las series de Fourier a
e
trav´s de los trabajos pioneros de finales del siglo XVIII y principios
e
del XIX en la resoluciń de dos de las Ecuaciones en Derivadas Par-
o
ciales (EDP) m´s importantes: la ecuaciń de ondas y la del calor.
a o
Las series de Fourier han generado un gran n´mero de trabajos de
u
investigaciń y han dado nombre a una de las ´reas m´s importantes
o a a
del An´lisis Matem´tico, el An´lisis de Fourier o An´lisis Armńico.
a a a a o
Son muchas las cuestiones matem´ticas b´sicas y atractivas que las
a a
series de Fourier plantean. Entre ellas cabe destacar el fen´meno de
o
Gibbs, a cuyo an´lisis dedicamos parte de este trabajo. Por ultimo, co-
a ´
mo apoyo a la lectura del art´
ıculo, se describen varios programas para
el asistente matem´tico Matlab que permiten estudiar gr´ficamente
a a
estas cuestiones.

1. Introducciń
o
En cualquier curso introductorio de Ecuaciones en Derivadas Parciales
(EDP) siempre podemos encontrar dos importantes ejemplos: la ecuaciń de
o
ondas que, en su versiń m´s elemental, describe las vibraciones de una cuer-
o a
da fija en dos extremos y; la ecuaciń del calor que describe c´mo fluctá el
o o u
calor a lo largo del tiempo a trav´s de un s´lido. Sin embargo, no siempre se
e o
pone de manifiesto la importancia e influencia reales que estos dos problemas

1

han tenido en el desarrollo posterior de tćnicas y teor´ que han enrique-
e ıas,
cido, y lo siguen haciendo hoy en d´ a la Matem´tica y sus aplicaciones.
ıa, a
Entre estas, cabe citar el desarrollo de las series trigonom´tricas y el An´lisis
e a
de Fourier, que iremos estudiando, en parte, a lo largo del art´ ıculo.
El trabajo est´ estructurado de la forma siguiente:
a
En la secciń 2, se ha hecho un pequeõ recorrido hist´rico de la gńesis
o n o e
del An´lisis de Fourier, a partir de los primeros estudios relacionados con los
a
intentos de resolver el problema de la cuerda vibrante hasta llegar al fen´meno
o
de Gibbs.
En la secciń 3, se analizan los dos problemas cl´sicos de Ecuaciones en
o a
Derivadas Parciales que dieron lugar al An´lisis de Fourier : la ecuaciń de
a o
ondas y la del calor.
En la secciń 4, se estudian algunos aspectos cl´sicos del fen´meno de
o a o
Gibbs.
Por ultimo, en la secciń 5, se incluyen los c´digos de algunos programas
´ o o
realizados en Matlab para la elaboraciń de las gr´ficas que aparecen en el
o a
ıculo, con una intenciń claramente didćtica.
art´ o a
Respecto de la bibliograf´ aunque no se ha pretendido que sea exhausti-
ıa,
va, s´ que se ha incluido una importante cantidad de las referencias hist´ricas
ı o
originales, de manera que el lector interesado, pueda recorrer por s´ mismo
ı
los pasos seguidos por los protagonistas del desarrollo de las cuestiones ma-
tem´ticas mencionadas aqu´
a ı.

2. Notas hist´ricas
o
2.1. Los precursores
Una serie trigonom´trica es una expresiń de la forma
e o
∞
a0
+ [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (2.1)
2 k=1

donde ak y bk con k = 0, 1, 2, . . . son constantes. Si tal serie converge para todo
x tal que −∞ < x < +∞, en algń sentido que precisaremos m´s adelante,
u a
entonces representar´ una funciń peri´dica de per´
a o o ıodo 2π y bastar´ por
a
tanto estudiar su restricciń al intervalo [−π, π]
o
La cuestiń de si una funciń arbitraria f (x) (con x ∈ [−π, π]), puede
o o
expresarse como una expansiń del tipo (2.1) aparece a mediados del siglo
o

2

XVIII asociada a los estudios de L. Euler (1701-1783) y de D. Bernouilli
(1700-1782) sobre el problema de la cuerda vibrante, comentado en el apar-
tado 3.1.
Bernouilli llega al punto de plantearse la soluciń del problema de la
o
cuerda vibrante en forma de serie trigonom´trica a partir de consideraciones
e
de tipo f´
ısico, que le llevan a pensar que la cuerda oscila involucrando varias
frecuencias al mismo tiempo, cuyas amplitudes respectivas dependen de la
forma inicial de la vibraciń, es decir, del modo en que se haya empezado a
o
mover la cuerda. Esta posibilidad, descubierta por Bernouilli, es lo que hoy
llamamos principio de superposiciń y ha resultado ser un principio de gran
o
importancia en muchas ramas de la F´ ısica matem´tica.
a
Sin embargo, Euler entiende que esta idea de Bernouilli lleva a un resul-
tado aparentemente parad´jico, de acuerdo con algunos conceptos matem´ti-
o a
cos de su tiempo. A saber, el hecho de que una funciń “arbitraria”pueda
o
ser expresada en forma de serie trigonom´trica. Hay que tener en cuenta,
e
que para los matem´ticos contemporńeos de Euler, las curvas se divid´
a a ıan
en dos clases: curvas “continuas curvas “geom´tricas”. En contraste con la
2
e
terminolog´ adoptada hoy en d´ una curva se dec´ “continua”si sus orde-
ıa ıa, ıa
nadas y sus abscisas pod´ conectarse mediante alguna f´rmula y = f (x).
ıan o
Por otra parte una curva se denominaba “geom´trica”si pod´ dibujarse de
e ıa
alguna forma con trazos continuos o discontinuos. Pensaban por tanto, que
la segunda categor´ de curvas era m´s amplia que la primera, ya que lo que
ıa a
nosotros denominamos como una funciń continua a trozos, puede dibujarse,
o
pero no puede expresarse si no es con varias f´rmulas (sobre el desarrollo del
o
concepto de funciń, puede consultarse [Lu].) As´ si una funciń “arbitra-
o ı, o
ria”pod´ expresarse, por ejemplo, como una serie de senos (es decir, como
ıa
(2.1), pero con ak = 0 para k = 0, 1, 2, . . .), esto significar´ que cualquier
ıa
curva “geom´trica”ser´ tambiń una curva “continua”, lo cual, para Euler
e ıa e
y sus contemporńeos, era simplemente incre´
a ıble.
Por otra parte, para contribuir m´s ań a este debate, la soluciń al pro-
a u o
blema de la cuerda vibrante de Bernouilli compite con otra aportada por
J.R. d’Alembert (1717-1783) en forma de una onda que avanza y otra que
retrocede, que se determinan a partir de la posiciń y velocidad iniciales de
o
la cuerda. En particular, d’Alembert consideraba que la manera m´s natural
a
de hacer que una cuerda empezase a vibrar era desplazarla de su posiciń o
de equilibrio tirando de algń punto de ella. Esto hace que su posiciń ini-
u o
cial se pueda representar mediante dos rectas que forman un determinado
angulo (ver figura 1). Para d’Alembert la naturaleza de esta curva hac´ im-
´ ıa

3

Posición inicial

0 Posición de equilibrio

Figura 1: Posiciń inicial natural segń d’Alembert
o u

posible pensar en que pudiese expresarse como una serie trigonom´trica, ya
e
que se trata, como se ha comentado m´s arrriba, de una curva “geom´trica”,
a e
mientras que la serie trigonom´trica ser´ una curva “continua”.
e ıa

2.2. Jean Baptiste Joseph Fourier
La chaleur pń´tre, comme la gravit´, toutes les substances de l’univers, ses
e e e
rayons occupent toutes les parties de l’espace. Le but de notre ouvrage est
d’exposer les lois math´matiques que suit cet ´l´ment. Cette thórie formera
e ee e
d´sormais une des branches importantes de la physique gń´rale.
e e e

Thórie analytique de la chaleur
e
Discours pr´liminaire. Joseph Fourier
e

Figura 2: Barń Jean Baptiste Joseph Fourier
o

4

El problema de si una funciń cualquiera puede representarse mediante
o
una serie trigonom´trica reaparece m´s tarde con el matem´tico franc´s J.
e a a e
Fourier (1768-1830).
En una memorable sesiń de la Academia Francesa de las Ciencias, el
o
d´ 21 de diciembre de 1807, Fourier presentaba un trabajo que iba a abrir
ıa
un nuevo cap´ ıtulo en la historia de la matem´tica: la creaciń del An´lisis
a o a
Armńico o, como tambiń se le conoce a partir de sus trabajos, el An´lisis
o e a
de Fourier.
Fourier hab´ deducido una ecuaciń que describ´ la conducciń del calor
ıa o ıa o
a trav´s de los cuerpos s´lidos, la ecuaciń del calor (que analizaremos en el
e o o
apartado 3.2). Pero no s´lo la hab´ deducido, sino que hab´ desarrollado un
o ıa ıa
m´todo para resolverla, el m´todo de separaciń de variables, procedimiento
e e o
que, en cierto modo, hab´ sido utilizado ya por Bernouilli para su soluciń,
ıa o
aunque es Fourier quien lo empieza a usar de una manera sistem´tica en la
a
resoluciń de Ecuaciones en Derivadas Parciales. La aplicaciń de la tćnica
o o e
de separaciń de variables a la ecuaciń del calor, le condujo a escribir la
o o
soluciń en forma de serie trigonom´trica, e incluso llegar a afirmar que cual-
o e
quier funciń f (x), peri´dica de periodo 2π se puede poner como una serie
o o
de la forma (2.1). Y, para ello, incluso encontr´ las f´rmulas (de Fourier )
o o
que permiten calcular los coeficientes de la serie asociada a la funciń
o
1 π
ak = f (x) cos(kx)dx, k = 0, 1, 2, . . . (2.2)
π −π
1 π
bk = f (x) sin(kx)dx, k = 1, 2, . . . (2.3)
π −π
Aunque la representaciń de una funciń en serie trigonom´trica se hab´
o o e ıa
considerado antes de Fourier, como hemos visto en el apartado 2.1, nadie
antes que Fourier puso de manifiesto la correspondencia entre funciń y co-
o
eficientes.
Sin embargo, tampoco el trabajo de Fourier fue aceptado a la primera,
m´xime teniendo como parte del auditorio a matem´ticos como J.L. Lagran-
a a
ge (1736-1813), P.S. Laplace (1749-1827) y A.M. Legendre (1752-1833), que
criticaron abiertamente la falta de rigor del tratamiento de Fourier. De he-
cho, Fourier tuvo que rehacer su trabajo ya que su memoria no fue aceptada
en un primer momento. No obstante, finalmente sus ideas fueron aceptadas
y fueron expuestas, aõs despu´s, en su obra de 1822, Thórie analytique de
n e e
la chaleur ([Fo]).

5

Hay que aãdir que el estudio de las series de Fourier contribuy´ de ma-
n o
nera decisiva a clarificar la idea de funciń hasta el moderno concepto de
o
nuestros d´ Todo este tratamiento posterior est´ asociado a nombres ta-
ıas. a
les como P.G.L. Dirichlet (1805-1859), B. Riemann (1826-1866), G. Cantor
(1845-1918) y H. Lebesgue (1875-1941). Para consultar el desarrollo hist´ri-
o
co posterior de las series de Fourier, hasta las aplicaciones recientes, puede
consultarse la referencia [Du].

2.3. Una protuberancia rompe la armon´
ıa
Una de las muchas derivaciones interesantes, aunque desde luego no la
m´s importante, a que ha dado lugar el an´lisis de Fourier, es el llamado
a a
fen´meno de Gibbs, que surge a mediados del siglo XIX. A ´l dedicaremos
o e
la secciń 4. Aqu´ s´lo vamos a mencionar algunas anotaciones hist´ricas de
o ı o o
este “rincń del An´lisis Armńico”, (segń palabras de E. Hewitt y R.E.
o a o u
Hewitt, [HH]).
H. Wilbraham observ´ en 1848 ([W]) que, en puntos cercanos a una dis-
o
continuidad de una funciń f , las sumas parciales de la serie de Fourier de f
o
presentaban un comportamiento oscilatorio an´malo que hac´ que las gr´fi-
o ıa a
cas de las sumas parciales excedieran en aproximadamente el 9 % del valor
del salto de la discontinuidad. Este trabajo de Wilbraham cay´ en el olvido,
o
hasta que hacia 1898 volvi´ a reaparecer en un contexto distinto. Fue de mano
o
del Premio Nobel en F´ ısica (1907) A. Michelson, cient´ıfico norteamericano,
inventor y constructor de numerosos instrumentos f´ ısicos de gran precisiń.
o
Michelson construy´ un aparato llamado analizador arm´mico que permit´
o o ıa,
mecńicamente, determinar hasta los 80 primeros componentes de la serie de
a
Fourier, a partir de la gr´fica de una funciń y = f (x). Michelson observ´ que
a o o
para una funciń de tipo salto, en las cercan´ del punto de discontinuidad,
o ıas
aparec´ una extraã protuberancia que no aparec´ en la funciń original.
ıa n ıa o
En un principio crey´ que pod´ deberse a un defecto mecńico del aparato.
o ıa a
Una vez verificado que pod´ no ser as´ escribe al f´
ıa ı, ısico-matem´tico J.W.
a
Gibbs, que investig´ y explic´ el fen´meno ([G]) basńdose en la no con-
o o o a
vergencia uniforme de la serie de Fourier en las cercan´ de un punto de
ıas
discontinuidad.
Para tener una visiń m´s completa de todos los avatares hist´ricos con-
o a o
cernientes a esta singular p´gina de la Historia de las Matem´ticas, incluidas
a a
disputas y controversias sobre la prioridad del descubrimiento, pueden con-
sultarse las referencias [Go] y [HH].

6

Este fen´meno, que se conoce como fen´meno de Gibbs (o fen´meno de
o o o
Gibbs-Wilbraham), tiene consecuencias f´ ısicas interesantes. Por ejemplo, en
el caso de circuitos elćtricos en los que, por medio de un conmutador, se
e
pueden crear saltos de voltage. Dado que este voltage puede sobrepasar lo
inicialmente previsto, resulta importante conocer esta desviaciń en relaciń
o o
con la respuesta de los componentes del circuito.

3. Ondas y calor
3.1. El problema de la cuerda vibrante
Consideremos la ecuaciń de ondas
o

 utt − uxx = 0,
 0 < x < L, t > 0
u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0, (3.4)
u(x, 0) = u0 (x), ut (x, 0) = 0, 0 < x < L.



El sistema (3.4) es un modelo simple para el an´lisis de las vibraciones de
a
una cuerda de longitud L (que ocupa el intervalo espacial x ∈ (0, L)) y que
est´ fija en sus extremos x = 0, L. La inc´gnita u = u(x, t), que depende del
a o
espacio x y del tiempo t, denota la altura a la que se encuentra el punto x de la
cuerda (del intervalo (0, L)), en el instante de tiempo t (ver figura 3). Se trata
de una ecuaciń en derivadas parciales de orden dos, complementada por dos
o
condiciones de contorno que reflejan el que la cuerda est´ fija en sus extremos.
e
Para ver su derivaciń a partir de las correspondientes consideraciones f´
o ısicas
se puede consultar [St].

u

u(x,t)

0 x L

Figura 3: Cuerda

En la ultima ecuaciń de (3.4) se establecen las condiciones iniciales que
´ o
la soluciń ha de satisfacer en el instante t = 0. Al tratarse de una ecuaciń
o o

7

de segundo orden en tiempo imponemos tanto la configuraciń inicial de u,
o
u0 , como la velocidad ut (x, 0) = 0, condiciń ´sta que expresa el hecho de
o e
que la cuerda se encuentra en reposo antes de soltarla. Sin embargo, en otras
situaciones, puede tener sentido dar un valor u1 (x) para la velocidad inicial,
con lo que la condiciń quedar´ ut (x, 0) = u1 (x).
o ıa
Mediante ut (resp. ux ) denotamos la derivada parcial de u con respecto a
t (resp. x). De este modo, utt representa la derivada parcial de orden dos de
u con respecto de t dos veces. M´s adelante tambiń utilizaremos la notaciń
a e o
∂t (resp. ∂x ) para denotar el operador de derivaciń parcial con respecto a t
o
2 2
(resp. x). Asimismo ∂t (resp. ∂x ), denotar´ el operador de derivaciń parcial
a o
con respecto a t (resp. x) dos veces.
Como hemos indicado en el apartado 2.1, en 1747 d’Alembert ([D1],[D2])
propuso la siguiente expresiń para la soluciń general de la ecuaciń de
o o o
ondas sin condiciones de contorno

u(x, t) = f (x + t) + g(x − t). (3.5)

Conviene observar que la expresiń de la soluciń u que (3.5) proporciona
o o
no es m´s que la superposiciń de dos ondas de transporte: f (x + t) que se
a o
desplaza sin deformarse a velocidad 1 en la direcciń negativa del eje de las
o
x, mientras que g(x − t) lo hace hacia la derecha. No es dif´ comprobar que
ıcil
(3.5) proporciona la expresiń de la soluciń general de la ecuaciń de ondas.
o o o
2 2
En efecto, basta observar que el operador diferencial ∂t − ∂x involucrado en
la ecuaciń de ondas se puede factorizar como
o
2 2
∂t − ∂x = (∂t + ∂x ) (∂t − ∂x ) . (3.6)

Vemos entonces que las dos ondas de transporte en las que se descompone la
soluciń, corresponden a las soluciones de las ecuaciones
o

(∂t + ∂x ) u = 0; (∂t − ∂x ) u = 0 (3.7)

respectivamente. En efecto, la soluciń de la primera ecuaciń es de la forma
o o
u = g(x − t) mientras que la de la segunda es u = f (x + t).
Posteriormente, D. Bernouilli en 1753 en [Be] obtuvo soluciones de la
ecuaciń de la cuerda vibrante de la siguiente forma:
o
∞
kπ kπ
u= bk cos t sin x . (3.8)
k=1 L L

8

Si la longitud de la cuerda fuese L = π, las soluciones quedar´
ıan
∞
u= bk cos (kt) sin (kx) . (3.9)
k=1

Bernouilli hab´ llegado a esta soluciń superponiendo soluciones de la forma
ıa o

uk = bk cos (kt) sin (kx) . (3.10)

Un simple c´lculo permite comprobar que la funciń definida en (3.10) es
a o
soluciń de (3.4). Obviamente, en la ´poca de D. Bernouilli el concepto de
o e
serie de funciones, o incluso el propio concepto de funciń, no estaban aun
o
bien definidos, por lo que en este punto la serie (3.9) ha de ser interpretada
de manera forma. Sin embargo, hemos querido constatar que D. Bernouilli
entendi´ que la superposiciń de soluciones de base como (3.10) permite
o o
construir clases m´s generales de soluciones de (3.4).
a

Una primera cuestiń importante que se plantea de manera natural es la
o
coincidencia de expresiones del tipo (3.5) y (3.9). Efectivamente, en la medida
en que para datos iniciales fijados (posiciń y velocidad inicial de la cuerda)
o
la soluciń de (3.4) es unica, y si las dos representaciones (3.5) y (3.9) son
o ´
v´lidas, ambas han de coincidir.
a
Esto es efectivamente as´ Consideremos uno de los t´rminos involucrados
ı. e
en (3.9). Es decir, una soluciń de la forma cos(kt) sin(kx). Utilizando las
o
f´rmulas trigonom´tricas habituales vemos que
o e
1
cos(kt) sin(kx) = [sin (k(x + t)) + sin (k(x − t))]
2
1
= [fk (x + t) + fk (x − t)]
2
donde
fk (z) = sin (kz) .
Tratando de un modo an´logo los dem´s t´rminos de (3.9) vemos que, efec-
a a e
tivamente, la funciń desarrollada en series de Fourier (3.9) puede ser escrita
o
en la forma (3.5) como superposiciń de dos ondas de transporte.
o
Esta simple observaciń ilustra el modo en que en un desarrollo en se-
o
rie de Fourier puede detectarse la velocidad a la que se propaga la funciń o
representada por dicha serie. Efectivamente, tal y como mencion´bamos ante-
a
riormente, como se desprende de la f´rmula de d’Alembert (3.5), la velocidad
o

9

de propagaciń en el modelo (3.4) es 1. Esto puede observarse tambiń en
o e
el desarrollo en serie de Fourier (3.8) por el simple hecho de que a una os-
cilaciń espacial sin (kx) le corresponda una respuesta temporal de la forma
o
bk cos(kt).

Se observa asimismo que en la ecuaciń de ondas considerada hay una
o
ausencia de dispersiń, entendiendo por dispersiń el fen´meno segń el cual
o o o u
los diferentes componentes de Fourier se propagan a velocidades distintas, tal
y como ocurre en el cl´sico modelo de Korteweg-de Vries [K] para el avance
a
de las olas o en la ecuaciń de Schr¨dinger.
o o
Evidentemente, los efectos dispersivos hacen que la forma de la soluciń
o
cambie completamente en el tiempo.
Para convencerse de ´sto basta considerar la ecuaciń de KdV linealizada:
e o

ut + uxxx = 0.

En este caso, si el dato inicial es de la forma

u(x, 0) = ak eikπx (3.11)
k≥1

la soluciń correspondiente es
o
3 π3 t
u= ak eik eikπx . (3.12)
k≥1

Observamos entonces que las diferentes componentes de Fourier de la soluciń o
3 3
son de la forma eik π t eikπx = fk (k 2 π 2 t + x) con fk (z) = eikπz . Por lo tanto,
cada componente de Fourier se propaga a una velocidad distinta −k 2 π 2 .

3.2. El problema de la difusiń del calor
o
Como hemos mencionado en el apartado 2.2, Fourier analiz´ el problema
o
de la difusiń del calor en su tratado cl´sico de 1822, ([Fo]), llegando a esta-
o a
blecer, a partir de principios f´ısicos, la ecuaciń general que deb´ satisfacer
o ıa
la temperatura u
∂2u ∂2u ∂2u ∂u
2
+ 2+ 2 = (3.13)
∂x ∂y ∂z ∂t
que es la ecuaciń (tridimensional) del calor.
o

10

La ecuaciń (unidimensional) del calor (cuya derivaciń se puede ver en
o o
[Si], pp. 324-325) es

 ut − uxx = 0,
 0 < x < L, t > 0
u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0, (3.14)
u(x, 0) = u0 (x) 0 < x < L.



0 x
L

Figura 4: Varilla de longitud L

El modelo (3.14) describe la variaciń de la temperatura a lo largo de
o
una varilla de longitud L (ver figura 4). Se supone que es lo suficientemente
delgada como para que en todos los puntos de cada secciń perpendicular a
o
la varilla se puede considerar el mismo valor de la temperatura. Suponemos
asimismo, que la varilla est´ completamente aislada del exterior, de manera
a
que no pueda fluir calor a trav´s de su superficie lateral.
e
Las condiciones u(0, t) = u(L, t) = 0 son las condiciones de contorno,
que nos indican que, en los extremos, la temperatura se mantiene nula. En
la prćtica, frecuentemente, estas condiciones se sustituyen por otras de la
a
forma ux (0, t) = ux (L, t) = 0, en las que queda reflejado el hecho de que el
flujo de calor a trav´s de la frontera es nulo.
e
La ultima condiciń, u(x, 0) = u0 (x), es la condiciń inicial y describe,
´ o o
por medio de la funciń u0 (x), cu´l es la distribuciń de temperaturas que
o a o
hab´ inicialmente a lo largo de la varilla.
ıa

Como ya hemos mencionado, J. Fourier no s´lo dedujo la ecuaciń del
o o
calor sino que estableci´ un programa sistem´tico de resoluciń de Ecuaciones
o a o
en Derivadas Parciales, el m´todo de separaciń de variables o m´todo de
e o e
Fourier que involucra varias etapas:

Descomposiciń de los datos del problema en series de Fourier.
o

Obtenciń de la evoluciń de cada coeficiente de Fourier en funciń de
o o o
la EDP y de los datos.

11

Reconstrucciń de la soluciń como superposiciń de cada una de las
o o o
componentes de Fourier (serie de Fourier).

A diferencia del procedimiento utilizado por d’Alembert y Euler que con-
sist´ fundamentalmente en superponer soluciones elementales de la forma
ıa
(3.10), encontradas ad hoc para la ecuaciń de ondas; Fourier ataca el pro-
o
blema de una manera m´s general.
a
En primer lugar se buscan soluciones que sean funciones con las variables
separadas,
u(x, t) = X(x)T (t) (3.15)
Esto da lugar a dos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, para X(x) e T (t),
respectivamente que, junto con las condiciones de contorno, dan lugar a dos
grupos de soluciones1

Xk (x) = sin(kx), k = 1, 2, 3, . . . (3.16)
2
Tk (t) = e−k t , k = 1, 2, 3, . . . (3.17)
(los detalles sobre la soluciń de estos problemas pueden consultarse en cual-
o
quier texto de ecuaciones, por ejemplo, [Si] o [Zi])
Por lo tanto, las soluciones producto resultantes serń
a
2
uk (x, t) = e−k t sin(kx), k = 1, 2, 3, . . . (3.18)

Aplicando el principio de superposiciń, tambiń ser´ soluciń cualquier
o e a o
combinaciń lineal finita de las funciones anteriores, es decir,
o

b1 u1 (x, t) + b2 u2 (x, t) + . . . + bn un (x, t) (3.19)

Sin embargo, Fourier va m´s all´ y afirma, sin preocuparse demasiado
a a
sobre los problemas de convergencia, que tambiń la siguiente funciń es
e o
soluciń de la ecuaciń del calor
o o
∞
2
u(x, t) = bk e−k t sin(kx) (3.20)
k=1

1
Estas soluciones corresponden realmente al caso en el que la longitud de la varilla es
L = π.

12

Y para que esto sea as´ necesita que se satisfaga la condiciń inicial u(x, 0) =
ı, o
u0 (x). Por lo tanto, necesita poder desarrollar la funciń u0 (x) en la forma
o
∞
u(x, 0) = bk sin(kx) (3.21)
k=1

Pero, para Fourier, este problema queda resuelto en tanto en cuanto sea
posible calcular los coeficientes bk mediante la f´rmula
o
2 π
bk = f (x) sin(kx)dx (3.22)
π 0

Este es pues el punto controvertido del trabajo de Fourier y la razń o
por la que Lagrange, Laplace y Legendre no van a aceptar el trabajo de
Fourier sin m´s. Sin embargo, el paso del tiempo y, fundamentalmente, los
a
posteriores trabajos de Dirichlet y de Riemann sobre las condiciones para
que una serie de Fourier sea convergente, acaban dando al an´lisis de Fourier
a
la importancia que realmente tiene.

Fourier tambiń estudia el caso estacionario (independiente del tiempo
e
t) de la ecuaciń del calor
o
∂2u ∂2u ∂2u
+ + =0 (3.23)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
al que aplica tambiń su m´todo de separaciń de variables. Esta ecuaciń,
e e o o
que se suele llamar ecuaciń de Laplace ha dado lugar a la rama de las
o
matem´ticas denominada Teor´ del Potencial, de suma importancia a la
a ıa
hora de estudiar fen´menos como la gravitaciń.
o o

4. Fen´meno de Gibbs
o
Esta secciń est´ enteramente dedicada al fen´meno de Gibbs. En pri-
o a o
mer lugar lo describiremos mediante un ejemplo concreto: la funciń salto,
o
tambiń veremos las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier para la fun-
e a
ciń delta de Dirac. Despu´s analizaremos las gr´ficas que se producen al
o e a
sumar los t´rminos de las sumas parciales de Fourier de una forma diferente:
e
el m´todo de sumaciń de Fej´r. Adem´s compararemos las gr´ficas obteni-
e o e a a
das mediante las sumas parciales de Fourier y las sumas parciales de Fej´r,
e
observando un curioso fen´meno.
o

13

4.1. Fen´meno de Gibbs en series de Fourier
o
4.1.1. La funciń salto
o
Consideremos la funciń salto
o
−1 ; si −π ≤ x < 0
f (x) = (4.24)
1 ; si 0 ≤ x ≤ π
La N -´sima suma parcial correspondiente a su serie de Fourier viene dada
e
por la expresiń
o
N
a0
sN (x) = + [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (4.25)
2 k=1

donde los coeficientes de Fourier se calculan utilizando las f´rmulas (2.2) y
o
(2.3).
Como f es una funciń impar, ak = 0, para todo k = 0, 1, 2, . . .
o
Por otra parte, bk puede calcularse de forma expl´ıcita, obtenińdose el
e
siguiente resultado:

2 1 − (−1)k
bk = , para k = 1, 2, . . .
π k
Por tanto, para nuestra funciń salto, la suma parcial de Fourier queda
o
N
2 1 − (−1)k
sN (x) = sin(kx) (4.26)
k=1 π k
Por otra parte, como bk = 0 si k es par, la suma se puede escribir tambiń
e
de la forma

n
4 1
s2n−1 (x) = sin((2r − 1)x) (4.27)
π r=1 2r − 1
4 sin(3x) sin((2n − 1)x)
= sin(x) + + ... + (4.28)
π 3 2n − 1

Con el programa para Matlab incluido en el apartado 5.1, se pueden
dibujar las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier para la funciń salto.
a o

14

Una vez guardado con el nombre sumpar.m, 2 para activarlo, basta con escri-
bir, por ejemplo, >>sumpar(30) y obtendremos la gr´fica de la suma parcial
a
de Fourier para N = 30 (ver figura 5).
Fenómeno de Gibbs
1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Figura 5: Suma parcial de Fourier N = 30

Sabemos que, si f y f son continuas, salvo en un n´mero finito de puntos
u
de discontinuidas de tipo salto, las sumas parciales de Fourier convergen
puntualmente a f (x) en los puntos de continuidad de f y a la media de
los l´
ımites laterales en los puntos de discontinuidad (para una demostraciń, o
váse [M]).
e
Este resultado se aplica al caso particular de la funciń salto que estamos
o
considerando y que presenta una singularidad en x = 0: una discontinuidad
de tipo salto. En las figuras 5 apreciamos la forma en la que, efectivamente,
cuando x = 0, las series de Fourier aproximan el valor de la funciń en x,
o
mientras que en x = 0 convergen a la media de los l´ ımites laterales, nula en
este caso puesto que [f (0−) + f (0+)]/2 = (1 − 1)/2 = 0.
En este punto de discontinuidad x = 0 se aprecia tambiń con claridad
e
el fen´meno de Gibbs. En efecto, se observa claramente que la gr´fica de
o a
2
Para escribir el programa 5.1 se ha preferido la expresiń (4.26) en lugar de (4.27)
o
debido a que, al ser m´s general, el programa se puede modificar fćilmente para aplicarlo
a a
a cualquier otra funciń.
o

15

la suma parcial de Fourier excede a la de la funciń salto en el punto de
o
discontinuidad. Por ejemplo, a la derecha del punto x = 0 se ve c´mo la
o
gr´fica de la suma parcial de Fourier supera con nitidez a la de la funciń
a o
salto. La gr´fica de la figura 6, donde este hecho se pone de manifiesto,
a
se ha conseguido haciendo primero >>sumpar(300), para generar la gr´ficaa
completa y despu´s, con el comando >>zoom, que permite seleccionar una
e
zona de la gr´fica, con el ratń, para ampliarla. En la figura 7, se puede
a o
observar c´mo las gr´ficas de las sumas parciales sobresalen por debajo de la
o a
gr´fica de f (x), en las proximidades del punto (0,-1).
a
Fenómeno de Gibbs

1.2

1.15

1.1

1.05

1

0.95

0.9

0.85

0.8

0.75

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Figura 6: Suma parcial de Fourier N = 300, proximidades de (0,1)

En la figura 5 observamos que el fen´meno de Gibbs tambiń se produce
o e
en los extremos x = ±π del intervalo (−π, π). Esto es debido a que la suma
parcial de Fourier aproxima a la extensiń peri´dica de per´
o o ıodo 2π de la
funciń salto, que presenta discontinuidades en los puntos de la forma x = kπ,
o
k∈Z I

Se puede demostrar, para esta funciń particular (ver [Na], pp. 662-663),
o
que el m´ximo de s2n−1 (x) m´s cercano a x = 0 (por la derecha) es el punto
a a
π
x = 2n y que en este punto
π 2
l´ s2n−1 (
ım ) = Si(π) ≈ 1,1790... (4.29)
n→∞ 2n π
x sin(t)
Aqu´ y en lo sucesivo Si denota la funciń Si(x) =
ı o dt.
0 t

16

Fenómeno de Gibbs

−0.8

−0.85

−0.9

−0.95

−1

−1.05

−1.1

−1.15

−1.2

−1.25

−0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2

Figura 7: Suma parcial de Fourier N = 300, proximidades de (0,-1)

(Para evaluar aproximadamente Si(π), se puede utilizar el comando de Ma-
tlab, sinint(pi)=1.8519..., ya que la primitiva de sin(t)/t, no se puede
expresar con funciones elementales.3 )
El c´lculo (4.29) nos indica que las aproximaciones que nos ofrecen las
a
sumas parciales de Fourier exceden al valor verdadero de la funciń, a la
o
derecha, es decir, a f (0+) = 1 en 0,18, lo que supone aproximadamente un
9 % de la longitud del salto, que en este caso es 2.

En general, se puede demostrar el siguiente teorema, debido a M. Bˆcher
o
(ver [Bo], la demostraciń puede verse tambiń en [HH] y [C]):
o e
Teorema Sea f una funciń real de variable real, con per´
o ıodo 2π. Supon-
gamos que f y f son ambas continuas excepto para un n´mero finito de dis-
u
continuidades de tipo salto en el intervalo [−π, π]. Sea sN (x) la suma parcial
de orden N de Fourier. Entonces, en un punto a de discontinuidad, las gr´fi-a
cas de las funciones sN (x) convergen al segmento vertical (ver figura 8) de
longitud
2
L = Si(π)|f (a+) − f (a−)| centrado en el punto (a, 1 (f (a+) + f (a−)).
2
π
La razń entre la longitud del segmento L (al que tienden las gr´fi-
o a
cas de las sN (x)) y la longitud del salto de la discontinuidad, es decir,
3
Curiosamente en algunas referencias cl´sicas esta constante aparece mal calculada.
a

17

f(a+)

Longitud del salto
1/2(f(a+)+f(a-)) L (Longitud del
segmento
vertical)

f(a-)

a X

Figura 8: Fen´meno de Gibbs en un punto de discontinuidad
o

L = |f (a+) − f (a−)|, se denomina constante de Gibbs y su valor

L 2
= Si(π) (4.30)
L π
coincide, evidentemente, con el obtenido para nuestro caso particular en
(4.29).

4.1.2. Un importante ejemplo: la “funciń”delta de Dirac
o
En 1926, el f´
ısico ingl´s P.A.M. Dirac (1902-1984), introdujo la “fun-
e
ciń”delta de Dirac ([Di]), (que denotaremos δ(x)) en conexiń con sus es-
o o
tudios sobre Mecńica Cuńtica. Realmente no se trata de una funciń en el
a a o
sentido ordinario del t´rmino, sino de una distribuciń (ver [Sc]).
e o

La delta de Dirac viene caracterizada por las siguientes propiedades:

1. δ(x) = 0 si x = 0.

2. δ(0) no est´ definida.
a

3. δ(x)dx = 1, siempre que el recinto de integraciń incluya a x = 0.
o

4. Si g(x) es una funciń continua en I entonces
o R, g(x)δ(x)dx = g(0).

18

En la figura 9 representamos la delta de Dirac en un sentido figurado: la
delta de Dirac puede interpretarse como una funciń que se anula en todos
o
los puntos salvo en en x = 0, donde toma el valor infinito.
Para a = 0, la funciń δ(x − a), ser´ la misma funciń o distribuciń
o ıa o o
pero trasladada a x = a.

Y

0 X

Figura 9: Delta de Dirac, δ(x)

El concepto de la funciń delta de Dirac, tambiń llamada funciń im-
o e o
pulso unitario, resulta un modelo util en situaciones en las que, por ejemplo,
´
tenemos un sistema mecńico sobre el que actá una fuerza externa de gran
a u
magnitud durante un breve instante de tiempo. En el caso extremo en el que
esta fuerza estuviese concentrada en un punto, vendr´ representada por la
ıa
delta de Dirac.
La delta de Dirac puede, efectivamente, entenderse como el l´ ımite de una
sucesiń de funciones que, con masa unidad, se concentran infinitamente en
o
torno a un punto. En efecto, sea f una funciń regular tal que
o

f (x) = 0, si |x| > 1;

f (x)dx = 1;

f (x) ≥ 0, para todo x ∈ I
R.

Consideramos ahora la sucesiń de funciones
o
1 x
f (x) = f ( ).

19

Este cambio de escala no altera la masa total de la funciń, puesto que
o
1 x
f (x)dx = f ( )dx = f (y)dy = 1.

Sin embargo, a medida que tiende a 0, el soporte de la funciń f se contrae,
o
puesto que
f (x) → 0 si |x| > .
En el l´
ımite, cuando → 0, las funciones f , cada vez m´s concentradas,
a
convergen a la delta de Dirac, puesto que
1 x
f (x)g(x)dx = f ( )g(x)dx = f (x)g( x)dx

−→ g(0) f (x)dx = g(0) = g(x)δ(x)dx

cuando → 0, para toda funciń g continua y acotada.
o

Vamos a calcular las sumas parciales de Fourier para la delta de Dirac.
Pero, ¿c´mo puede expresarse con una serie trigonom´trica una “funciń”tan
o e o
singular como la delta de Dirac? Si, como hemos visto en el la secciń 2; ya fue
o
dif´ que se aceptase, por parte de contemporńeos de Euler y Fourier, que
ıcil a
una funciń de tipo salto se pudiera expresar a trav´s de su serie de Fourier;
o e
resulta interesante imaginar lo que habr´ pensado de quien intentase hacer
ıan
lo mismo para un objeto como la delta de Dirac.
En realidad, lo que vamos a hacer es calcular las sumas parciales de
Fourier correspondientes a una determinada combinaciń lineal de deltas de
o
Dirac,

∆(x) = δ(x + zπ) − δ(x + zπ) (4.31)
z=par z=impar

que se obtiene al extender de manera peri´dica, con per´
o ıodo 2π la “fun-
ciń”que coincide con la delta de Dirac δ(x) en x = 0 y con −δ(x − π)
o
en el punto x = π, es decir, con la δ trasladada y cambiada de signo, la
reflejada impar de la δ(x). Dicho de otra forma, la funciń que hemos llama-
o
do ∆(x), est´ compuesta por: impulsos unitarios positivos en los m´ltiplos
a u
pares de π, es decir, puntos de la forma . . . , −2π, 0, 2π, 4π, . . .; e impulsos
unitarios negativos en los m´ltiplos impares de π, es decir, puntos de la for-
u
ma . . . , −3π, −π, π, 3π, . . .. La gr´fica de esta funciń se podr´ representar
a o ıa
como en la figura 10.

20

Y

0 X

Figura 10: “funciń”∆(x)
o

Aplicamos nuevamente las f´rmulas (2.2) y (2.3) teniendo en cuenta que
o
∆(x) es una funciń par,
o

1 π 2 π
ak = ∆(x) cos(kx)dx = ∆(x) cos(kx)dx
π −π π 0
π
= (δ(x) − δ(x − π)) cos(kx)dx
0
2
= (cos(0) − cos(kπ))
π
2
= (1 − (−1)k )
π

1 π
bk = ∆(x) sin(kx)dx = 0
π −π
Por tanto, la suma parcial de Fourier para la funciń ∆(x) queda
o
N
2
s∆,N (x) = (1 − (−1)k ) cos(kx) (4.32)
k=0 π
que se puede expresar de la siguiente forma, dado que para los valores pares
de k los sumandos se anulan:

4 n
s∆,2n−1 (x) = cos((2r − 1)x) (4.33)
π r=1
4
= [cos(x) + cos(3x) + . . . + cos((2n − 1)x)] (4.34)
π
21

El programa de Matlab incluido en el apartado 5.2 puede utilizarse
para representar las sumas parciales descritas mediante la f´rmula (4.32). Su
o
sintaxis es: >>deltafun(N,xmin,xmax), donde N es el n´mero de sumandos
u
y xmin y xmax son los valores del rango en el que queremos que aparezca la
gr´fica. Por ejemplo, la gr´fica de la figura 11 se ha generado con el comando
a a
>>deltafun(30,-pi,pi) y, la gr´fica de la figura 12 se ha generado con el
a
comando >>deltafun(100,-5*pi,5*pi) (comp´rense estas gr´ficas con el
a a
esquema inicial de la funciń ∆(x) mostrado en la figura 10).
o
deltafun(30,−pi,pi)
20

15

10

5

0

−5

−10

−15

−20
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Figura 11: suma de Fourier de ∆(x), N = 30

Los c´lculos y gr´ficas obtenidas requieren algunas observaciones:
a a
En primer lugar, con toda seguridad el lector ya se ha dado cuenta,
la expresiń obtenida en (4.33) es exactamente la derivada de la que
o
obtuvimos en (4.28) (esto explica la manera tan enrevesada en que se
defini´ la funciń ∆(x).) Es decir,
o o
d
[s2n−1 (x)] = s∆,2n−1 (x) (4.35)
dx
Lo cual nos hace pensar que, en cierto sentido,4 la derivada de la funciń
o
4
Este sentido no es otro que el de la Teor´ de las Distribuciones, de la cual, la delta
ıa
de Dirac no es m´s que un ejemplo, ver nuevamente [Sc].
a

22

deltafun(100,−5*pi,5*pi)
80

60

40

20

0

−20

−40

−60

−80
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

Figura 12: suma de Fourier de ∆(x), N = 100

salto (4.24) debe ser la “funciń”∆(x) (4.31).
o
A partir de la observaciń anterior; si la derivada de las sumas parciales
o
de la funciń salto son las sumas parciales de la delta de Dirac, entonces
o
la integral de las sumas parciales de la delta serń las de la funciń salto,
a o
es decir,
x
s2n−1 (x) = s∆,2n−1 (t)dt (4.36)
0
Por otra parte, s∆,2n−1 (x) admite una expresiń m´s c´moda:
o a o
n
4
s∆,2n−1 (x) = cos((2r − 1)x)
π r=1
n
2
= 2 sin(x) cos((2r − 1)x)
π sin(x) r=1
n
2
= [sin(2rx) − sin(2(r − 1)x)]
π sin(x) r=1
n n−1
2
= sin(2rx) − sin(2rx)
π sin(x) r=1 r=0
2 sin(2nx)
=
π sin(x)

23

Este hecho, junto con (4.36), proporciona la siguiente expresiń para
o
las sumas parciales de Fourier de la funciń salto:
o

2 x sin(2nt)
s2n−1 (x) = dt, (4.37)
π 0 sin(t)
mientras que
d 2 sin(2nx)
[s2n−1 (x)] = (4.38)
dx π sin(x)
Se puede comprobar de esta forma, que los puntos cr´ ıticos de las sumas
parciales de la funciń salto son los ceros de las sumas parciales de
o
la delta de Dirac. Es decir, que la altura que se alcanza en el primer
m´ximo de la suma parcial de Fourier de la funciń salto, a la derecha
a o
de x = 0, es la mitad del ´rea por debajo del arco central de la gr´fica
a a
11. Es decir,
π
π 2 2n sin(2nt)
s2n−1 ( ) = dt. (4.39)
2n π 0 sin(t)
Pasando al l´
ımite cuando n → ∞ y en virtud de (4.29), necesariamente
habremos de obtener el mismo valor. Por tanto,
π
2n sin(2nt) π sin(t)
dt −→ dt = Si(π) (4.40)
0 sin(t) 0 t

(Ver [C], pp. 300-301.)

En las gr´ficas de las figuras 11 y 12 parece observarse tambiń algo
a e
parecido al fen´meno de Gibbs. Pero ahora es algo distinto a lo que
o
ocurr´ con la funciń salto. En la funciń salto ve´
ıa o o ıamos que las gr´ficas
a
de las sumas parciales (figuras 6 y 7) exced´ o quedaban por debajo,
ıan,
de la funciń en los alrededores de los puntos de discontinuidad. Aqu´ la
o ı
situaciń es peor, porque esto ocurre no s´lo en las cercan´ de x = 0
o o ıas
sino a lo largo de los puntos de continuidad de la funciń original, por
o
ejemplo, en los puntos del intervalo (0, π). Adem´s esta situaciń no
a o
cambia aunque aumentemos la cantidad de sumandos. ¿Cu´l es la razń
a o
de este comportamiento tan an´malo? Simplemente, ahora ni siquiera
o
tenemos convergencia puntual. En efecto, si tomamos, por ejemplo, un
punto x0 ∈ (0, π), la funciń original valdr´ ∆(x0 ) = 0. Sin embargo,
o ıa
la sucesiń
o

24

2 sin(2nx0 )
s∆,2n−1 (x0 ) = (4.41)
π sin(x0 )
no converge cuando n → ∞. De hecho, lo que ocurre es que la gr´fica de
a
2 1
s∆,2n−1 (x) oscila entre las gr´ficas de las dos funciones y = ±
a ,
π sin(x)
que acotan superior e inferiormente a s∆,2n−1 (x), es decir,
2 sin(2nx) 2 1
≤ (4.42)
π sin(x) π | sin(x)|
En la figura 13 hemos dibujado la gr´fica de la suma parcial de la
a
delta de Dirac hasta el sumando N = 50 (que ser´ lo mismo que
ıa
n = 25, segń la notaciń s∆,2n−1 (x)), en el intervalo [ −π , π ] junto con
u o 2 2
2 1
las gr´ficas de las funciones y = ±
a .
π sin(x)
deltafun(50,−pi/2,pi/2); y=+−(2/pi)(1/sin(x))

30

20

10

0

−10

−20

−30

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Figura 13: “fen´meno de Gibbs”en delta Dirac, N = 50
o
Entonces, ¿qu´ tipo de representaciń es la que producen las sumas
e o
parciales de Fourier para la delta de Dirac en la que ni siquiera hay
convergencia puntual para los puntos de continuidad? La respuesta es
que s´ hay convergencia, pero es una convergencia especial, una con-
ı
vergencia “d´bil”: como hemos podido ver m´s arriba, en la definiciń
e a o

25

de la delta de Dirac, esta funciń no se define de una manera cl´sica,
o a
dando sus valores, sino m´s bien a trav´s de sus efectos sobre otras
a e
funciones en el sentido de las distribuciones. Y en este sentido, las su-
mas parciales de Fourier de la delta producen sobre otras funciones los
mismos efectos, puesto que las oscilaciones se cancelan a trav´s de la
e
integraciń.
o

4.2. M´todo de sumaciń de Fej´r
e o e
En 1903, el matem´tico hńgaro L. Fej´r (1880-1959), propuso una nueva
a u e
forma de sumar los t´rminos de la serie de Fourier. Se trata de sumar los
e
promedios de las sumas parciales y pasar al l´
ımite. Se obtiene as´ una nueva
ı
sucesiń de funciones que produce convergencia incluso en algunos casos en
o
los que la serie original no la tiene.

Veamos c´mo se construye la suma Fej´r a partir de las sumas parciales
o e
de la serie de Fourier: dada la suma parcial de Fourier (4.25) construimos
una nueva sucesiń con el promedio de las sumas parciales,
o

M
1 s0 (x) + s1 (x) + . . . + sM (x)
σM (x) = sN (x) = . (4.43)
M + 1 N =0 M +1

La suma de Fej´r es entonces
e

s(x) = l´ σM (x).
ım (4.44)
M →∞

En cuanto a la convergencia de la suma de Fej´r se tiene el siguiente
e

Teorema de Fej´r ([Fe]) Sea f (x) definida en el intervalo (−π, π). Si
e
f es acotada, suponemos que es integrable; si no es acotada, suponemos que
π
la integral −π f (x)dx es absolutamente convergente. Entonces, para cual-
quier punto x del intervalo las sumas parciales de Fej´r σM (x) convergen a
e
1
(f (x+) + f (x−)).
2
Y como una consecuencia del Teorema de Fej´r tenemos que,
e
Si f (x) es continua en [a, b], entonces la sucesiń de las medias aritm´ti-
o e
cas σ0 , σ1 , σ2 , . . . converge uniformemente a f (x) en el interior del intervalo
(a, b).

26

1
Obviamente, cuando f es continua en x, (f (x+) + f (x−)) = f (x) y,
2
por tanto, σM (x) converge a f (x).
Esta es la versiń m´s cl´sica del teorema, utilizando la integral de Rie-
o a a
mann y su demostraciń se puede encontrar en [C], pp. 254-258. Para ver
o
una versiń m´s moderna, en t´rminos de la integral de Lebesgue, se puede
o a e
consultar [A], pp. 390-391.
En la secciń 5, se ha incluido un programa para Matlab, (el programa
o
5.3) para dibujar las gr´ficas de las sumas de Fej´r para la funciń salto. Se
a e o
trata de hacer una pequeã modificaciń en el programa sumpar.m, introdu-
n o
ciendo un nuevo bucle que promedie las sumas de Fourier.
Por ejemplo, haciendo >>fejer(40), se obtiene la gr´fica de la figura 14.
a
Sumación de Fejér
1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Figura 14: Sumaciń parcial de Fej´r M = 40
o e

Lo primero que se observa en la nueva gr´fica es que ahora tenemos un
a
tipo de convergencia distinta, de hecho ahora tenemos convergencia uniforme
(segń el teorema anterior) en el interior del intervalo (0, π) (y, por simetr´
u ıa,
en (−π, 0)). Por otra parte se puede observar que la gr´fica de la suma de
a
Fej´r cae por debajo (en el 0 < x < π, y por encima en −π < x < 0) de la
e
gr´fica de f (x). De hecho, puede probarse, (ver nuevamente el cl´sico [C], pp.
a a
308) que todas las sumas parciales de Fej´r verifican |σM (x)| < 1, es decir,
e

27

ahora no se produce el fen´meno de Gibbs y aunque la gr´fica sigue teniendo
o a
las mismas oscilaciones, ahora son mucho menores (de hecho, en la figura no
se aprecian, habr´ que hacer zoom para visualizarlas.)
ıa

4.3. Fourier versus Fej´r
e
Dibujemos ahora las gr´ficas de las sumas de Fourier y las de Fej´r juntas.
a e
En la figura 15, hemos dibujado, superpuestas, las gr´ficas de las sumas
a
parciales de Fourier y Fej´r hasta el sumando N = 11 en el intervalo [0, π]. En
e
la figura 16, se ha representado lo mismo, pero ahora en el intervalo [−π, π].
En ambas figuras se puede observar c´mo las sumas parciales de Fourier y las
o
de Fej´r parecen coincidir en algunos puntos cr´
e ıticos de las sumas de Fourier.
En concreto, en el intervalo [0, π], esto ocurre en los m´ ınimos y, debido a la
simetr´ impar, en el intervalo [−π, 0], ocurre en los m´ximos.
ıa a
Fourier y Féjer

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figura 15: Fourier versus Fej´r, N = 29
e

Veamos que este curioso fen´meno no es s´lo aparente, ni debido a los
o o
errores de redondeo, sino que ocurre de hecho:
En primer lugar, si la N -´sima suma parcial de Fourier es
e
N
a0
sN (x) = + [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (4.45)
2 k=1

28

Fourier y Féjer
1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Figura 16: Fourier versus Fej´r, N = 11
e

entonces la N -´sima suma parcial de Fej´r, a partir de la expresiń (4.43), se
e e o
puede escribir de la forma alternativa
N
a0
σN (x) = + βk [ak cos(kx) + bk sin(kx)] (4.46)
2 k=1

k
donde βk = 1 − N +1
.

Para el caso particular de la funciń salto, estas expresiones se convierten
o
en n
4 1
s2n−1 (x) = sin((2r − 1)x) (4.47)
π r=1 2r − 1
y
n
4 2r − 1 1
σ2n−1 (x) = 1− sin((2r − 1)x) (4.48)
π r=1 2n 2r − 1
Los puntos en que se cortan las gr´ficas de (4.47) y (4.48), han de ser
a
soluciones de la ecuaciń
o

s2n−1 (x) − σ2n−1 (x) = 0 (4.49)

29

Por otra parte, si estos puntos son m´ximos o m´
a ınimos, es decir, puntos
cr´
ıticos de la funciń (4.47), entonces tambiń deben verificar la ecuaciń
o e o
d
[s2n−1 (x)] = 0 (4.50)
dx
La ecuaciń (4.49) la podemos escribir de la forma siguiente:
o
n
4 1
s2n−1 (x) − σ2n−1 (x) = sin((2r − 1)x) = 0. (4.51)
π r=1 2n

Por tanto,
n
sin((2r − 1)x) = 0 (4.52)
r=1

que se puede transformar de la siguiente manera
n n
1
0= sin((2r − 1)x) = 2 sin((2r − 1)x) sin(x)
r=1 2 sin(x) r=1
n
1
= [cos(2(r − 1)x − cos(2x))]
2 sin(x) r=1
n−1 n
1
= cos(2rx) − cos(2rx)
2 sin(x) r=0 r=1
1 − cos(2nx)
=
2 sin(x)
Ahora bien, las soluciones de la ecuaciń
o
1 − cos(2nx)
=0 (4.53)
2 sin(x)

en el intervalo (0, π) son los puntos de la forma

π 2π (n − 1)π
x1 = , x2 = , . . . , xn−1 = (4.54)
n n n
Y es sencillo comprobar que estos puntos son precisamente los m´
ınimos de
la funciń s2n−1 (x), ya que sab´
o ıamos, por (4.38), que

d 2 sin(2nx)
[s2n−1 (x)] = (4.55)
dx π sin(x)

30

Luego, efectivamente las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier y las
a
de Fej´r se cortan en los m´
e ınimos de las primeras, en el intervalo (0, π) y, por
la simetr´ en los m´ximos del intervalo (−π, 0) (excepto para el caso n = 1,
ıa, a
en el que no hay ningń m´
u ınimo en (0, π).)

La primera cuestiń que aparece de manera inmediata es: ¿ocurrir´ esto
o a
en todos los casos? La respuesta es que no. Por ejemplo, en el caso de la
funciń delta de Dirac, que analizamos en el apartado 4.1.2, se pueden dibujar
o
conjuntamente las gr´ficas de las sumas parciales de Fourier y de Fej´r juntas,
a e
como hemos hecho en la figura 17, para observar que la gr´fica de Fej´r no
a e
pasa por los puntos cr´ıticos mencionados antes. (Para dibujar las gr´ficas de
a
las sumas de Fej´r para la delta de Dirac incluimos el programa 5.4.)
e

deltafun(30,−pi/2,pi/2);deltafej(30,−pi/2,pi/2)
20

15

10

5

0

−5
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figura 17: Delta de Dirac: Fourier versus Fej´r, N = 30
e

Veamos no obstante, que tambiń hay otros desarrollos en los que se da
e
esta coincidencia, como por ejemplo, en el caso de la funciń
o

−x −
2
π
2
; si −π ≤ x < 0
f (x) = (4.56)
−x +
2
π
2
; si 0 ≤ x ≤ π

31

que vamos a analizar utilizando una tćnica distinta a la anterior. Esta fun-
e
ciń extendida peri´dicamente, con per´
o o ıodo 2π, a lo largo de todo el eje real
se denomina a veces, funciń “diente de sierra”.
o
Las sumas parciales de Fourier de esta funciń son
o
N
1
sN (x) = sin(kx) (4.57)
k=1 k

y las sumas de Fej´r
e
N
k 1
σN (x) = 1− sin(kx) (4.58)
k=1 N +1 k

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Figura 18: “Diente de sierra”: Fourier versus Fej´r, N = 30
e

Ahora, para que las gr´ficas de (4.57) y de (4.58) se corten en los puntos
a
cr´
ıticos de (4.57) hace falta que las ecuaciones
N
1
sN (x) − σN (x) = sin(kx) = 0 (4.59)
N + 1 k=1

32

y
N
d
[sN (x)] = cos(kx) = 0 (4.60)
dx k=1

tengan soluciones comunes. O lo que es lo mismo, utilizando la f´rmula de
o
Euler eikx = cos(kx)+i sin(kx), que haya valores reales de x que sean soluciń
o
de la ecuaciń compleja
o
N N N
cos(kx) + i sin(kx) = eikx = 0. (4.61)
k=1 k=1 k=1

Sumando la progresiń geom´trica
o e
N
eix (1 − eiN x )
eikx = = 0, (4.62)
k=1 1 − eix

la ecuaciń se reduce a
o
1 − eiN x = 0 (4.63)
que tiene soluciones, en el intervalo (0, π)
2π 2π 2π
x1 = ; x2 = 2. ; x3 = 3. ; . . . (4.64)
N N N
(el ultimo punto en el intervalo ser´ xu = NN π o xu = NN π, dependiendo
´ ıa −2
´ −1

de que N sea par o impar, respectivamente.) Adem´s, estos puntos son los
a
m´ınimos en este intervalo.
Se han incluido dos programas m´s para Matlab en la siguiente secciń:
a o
el programa fousin.m, 5.5 y el fejsin, 5.6; que sirven para obtener las gr´fi-
a
cas de (4.57) y (4.58), respectivamente. En la figura 18, hemos representado
las gr´ficas de las sumas de Fourier y las de Fej´r, correspondientes al va-
a e
lor N = 30 (despu´s se ha hecho una ampliaciń para que aparezca s´lo el
e o o
intervalo (0, π).)
De hecho, se puede utilizar un argumento an´logo para demostrar que
a
n
1
cualquier desarrollo de la forma sin(ak x), en el que ak sean enteros
k=1 ak
positivos en progresiń aritm´tica, tambiń lo verifica. N´tese que, de esta
o e e o
n
forma, eiak x es una suma de una progresiń geom´trica.
o e
k=1

33

5. Programas para Matlab
Para la realizaciń de este trabajo se ha utilizado, en particular para
o
la parte gr´fica, el asistente Matlab, versiń 5.3 Release R11, licencia de
a o
campus de la Universidad Complutense de Madrid. Los c´digos de los pro-
o
gramas con los que se han obtenido las gr´ficas se incluyen a continuaciń.
a o
Con pequeãs modificaciones se pueden adaptar a cualquier funciń. Basta
n o
con cambiar los valores de los coeficientes.
No obstante, para algunos c´lculos y comprobaciones concretas, se ha
a
utilizado tambiń el asistente de C´lculo Simb´lico Derive. El lector po-
e a o
dr´ consultar los comandos mediante los cuales se pueden dibujar sumas
a
parciales de Fourier y sumas de Fej´r puede verse en el trabajo de R. Ro-
e
dr´
ıguez-del-R´ ([R]). Algunas gr´ficas de sumas de Fourier y sumas de Fej´r
ıo a e
realizadas con Derive, pueden verse en el art´ ıculo de J. Duoandikoetxea
([Du]); art´
ıculo este ultimo en el que se puede encontrar un completo estu-
´
dio del desarrollo hist´rico del An´lisis de Fourier desde sus or´
o a ıgenes hasta
nuestros d´ıas.

5.1. Programa: sumpar.m
function sumpar(n)

% Sumas parciales de Fourier de la funci’on salto
% f(x)= -1 si -pi<x<0
% 1 si 0<x<pi
% n es el n’umero de sumandos

% Funci’on salto
x = -pi:0.001:pi;
f=-1*(x<0)+1*(x>0);

% sumas parciales de Fourier
s = zeros(size(x)); for k=1:n
s=s+((1-(-1)^k)/k)*sin(k*x);
end
s = 2/pi*s;

% gr’afica de las sumas parciales y de la funci’on salto

34

plot(x, s, ’r’, x, f, ’b’),grid;

title(’Fen´meno de Gibbs’);
o
% Fin del programa sumpar.m

5.2. Programa: deltafun.m
function deltafun(n,xmin,xmax)

% Sumas parciales de Fourier de la funci’on
% Delta(x)=
% =sum(delta(x+z*pi),z par)+sum(delta(x+z*pi),z impar)
%
% [xmin,xmax] es el rango de la gr’afica

dx=(xmax-xmin)/15000;
x = xmin:dx:xmax;

s = zeros(size(x)); for k=1:n
s=s+(1-(-1)^k)*cos(k*x);
end s = 2/pi*s;

% gr’afica de las sumas parciales
plot(x, s),grid;

% Fin del programa deltafun.m

5.3. Programa: fejer.m
function fejer(m)

% Sumas de Fejer de la funci’on salto
% f(x)= -1 si -pi<x<0
% 1 si 0<x<pi
% m es el n’umero de sumandos

35

% Funci’on salto
x = -pi:0.001:pi;
f=-1*(x<0)+1*(x>0);

% sumas parciales de Fejer
fej=zeros(size(x)); for n=1:m
s = zeros(size(x));
for k=1:n
s=s+((1-(-1)^k)/k)*sin(k*x);
end
s = 2/pi*s;
fej=fej+s;
end
fej=fej/(m+1);

% gr’afica de las sumas de Fejer y de la funci’on salto
plot(x, fej, ’r’, x, f, ’b’),axis([-4 4 -1.5 1.5]),grid;

title(’Sumaci´n de Fej´r’);
o e
% Fin del programa fejer.m

5.4. Programa: deltafej.m
function deltafej(m,xmin,xmax)

% Sumas parciales de Fejer de
% la funci’on
% Delta(x)=
% =sum(delta(x+z*pi),z par)+sum(delta(x+z*pi),z impar)
%
% [xmin,xmax] es el rango de la gr’afica

dx=(xmax-xmin)/15000;
x = xmin:dx:xmax;

fej=zeros(size(x)); for n=1:m,

36

s = zeros(size(x));
for k=1:n,
s=s+(1-(-1)^k)*cos(k*x);
end
s = 2/pi*s;
fej=fej+s;
end
fej=fej/(m+1);

% gr’afica de las sumas parciales
plot(x, fej),grid;
% Fin del programa deltafej.m

5.5. Programa: fousin.m
function fousin(n)

% Sumas parciales de Fourier de
% la funci’on diente de sierra
% f(x)= -x/2-pi/2 si -pi<x<0
% -x/2+pi/2 si 0<x<pi
%

% Funci’on sierra
x = -pi:0.001:pi;
f=(-x/2-pi/2).*(x<0)+(-x/2+pi/2).*(x>0);

s = zeros(size(x));
for k=1:n
s=s+(1./k).*sin(k.*x);
end

% gr’afica de las sumas parciales y de la funci’on diente de sierra
plot(x, s, ’r’, x, f, ’b’),grid;
% Fin del programa fousin.m

37

5.6. Programa: fejsin.m
function fejer(m)

% Sumas de Fejer de
% la funci’on diente de sierra
% f(x)= -x/2-pi/2 si -pi<x<0
% -x/2+pi/2 si 0<x<pi
%

% Funci’on diente de sierra
x = -pi:0.001:pi;
f=(-x/2-pi/2).*(x<0)+(-x/2+pi/2).*(x>0);

fej=zeros(size(x));
for n=1:m
s = zeros(size(x));
for k=1:n
s=s+(1/k).*sin(k*x);
end
fej=fej+s;
end
fej=fej/(m+1);

% gr’afica de las sumas de Fejer y de la f. diente de sierra
plot(x, fej, ’r’, x, f, ’b’),axis([-4 4 -2 2]),grid;

% Fin del programa fejsin.m

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