4.1 Espacios vectoriales 4.2 Subespacios vectoriales 4.3 Combinaciones lineales 4.4 Dependencia e independencia lineal 4.5 Base y dimensión 4.6 Kernel, imagen, espacio columna y espacio fila de una matriz 4.7 Ecuaciones lineales y espacios vectoriales 4.8 Cambio de base 4.9 Espacio cociente 4.10 Sumas y sumas directas

1. Algebra lineal

34. Bases, Dimensión y coordenadas = -1 Matriz de cambio de base de B1 a B2 1 0 0 1 1 0 1 1 4 4 4 0

48. Pausa: Cosas de una Matriz Matriz Forma de Gauss Columnas dominantes 1 1.5 0 1 2 3 1 1

49. Pausa: Cosas de una Matriz Matriz Forma de Gauss Columnas dominantes 1 -1 0 0 1 -1 -1 1

50. Pausa: Cosas de una Matriz Matriz Forma de Gauss Columnas dominantes 0 1 0 0 0 -1 0 1

65. Significado geométrico de esta relación x2 x1 x4 x3 x6 x5 y4 y3 y2 y1 Observe que hay tantos clusters como imágenes de A clusters X Y Podemos hacer el conjunto de los clusters Imagen de A

66. Significado geométrico de esta relación (A menudo yo le llamo conjunto de clustercillos) clusters c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} A este conjunto lo llamaremos X/Ker A, o conjunto cociente X/Ker A

67. Significado geométrico de esta relación X/Ker A c1={x1, x2, x3} c2={x4} c3={x5, x6} Noten que la relación Ker A está dando una medida de la inyectividad de A. Si el número de clusters es igual al número de elementos en X, entonces A es inyectiva. A los clusters se les llama coconjuntos (cosets) y son justamente los subconjuntos de X sobre los cuales A tiene diferente valor. También se les suele llamar las “fibras” de A.

68. c1=[0 4 8] c2=[1 5 9] c3=[2 6] c4=[3 7] 0 4 8 1 5 9 2 6 3 7 X 0 1 2 3 Y X/Ker A Aquí está A Ejem. A(x)=x módulo 4 -es el residuo de la división, no la congruencia Como X/Ker A y la imagen de A tienen la misma cantidad de elementos, entoces hay un isomorfismo entre X/Ker A y Im(A) [X/Ker A  Im(A)] Significado geométrico de esta relación

69. c1=[0 4 8] c2=[1 5 9] c3=[2 6] c4=[3 7] 0 4 8 1 5 9 2 6 3 7 X 0 1 2 3 Y X/Ker A Aquí está A Significado geométrico de esta relación Proposición. Sea A:X  Y y sea P A :X  X/Ker A su proyección canónica, entonces  g:X/ker A  im(A) tal que A=g  P A , donde g es un isomorfismo. P A

73. Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... Si los conjuntos tienen estructura matemática, p.e. X, Y son espacios vectoriales y la función A resulta ser un operador lineal. Ax1=Ax2 es la relación Ker A. Un caso particular es para la imagen cero. En este caso todos los x, tales que Ax=0 formarán una clase de equivalencia. Las demás clases de equivalencia las obtendremos al estudiar las otras imágenes de A. Sin embargo, este proceso puede resultar muy lento, sobre todo porque Y tiene un número infinito de elementos. Una forma más adecuada es estudiarlos a través de la clase de equivalencia del 0 [0].

75. Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... Como se observa, la ecuación (1) es un método para calcular todas las clases de equivalencia [x2]. Se puede ver que es un un espacio vectorial (el del Kernel) desplazado por x1 (cualquier vector de la clase). A esta clase de equivalencia, y sólo cuando hablamos de operadores lineales en espacios vectoriales, le llamaremos una variedad lineal. No es un espacio, ya que en general, el cero no está incluído en dicha variedad, pero si será un espacio vectorial vía módulo algún vector de la clase. Ejemplos

76. Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... A:  2  2 tal que A([x y] T )=[x–y y-x] T . Claramente A es un operador lineal y un vector de la forma [k k] T está en la clase de equivalencia [0] o Kernel de A. El vector [2 1]T no está en la clase [0], pero si está en la clase [[2 1] T ]. Los vectores que pertenecen a esta clase, de acuerdo a la ecuación (1) son: X=[2 1] T -  [1 1] T

77. Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... Clase [0] Clase [2 1] T

78. Significado geométrico de esta relación Estamos en los límites... En realidad, cada clase forma una línea paralela al Kernel de A.

79. Significado geométrico de esta relación Si tenemos un operador lineal A:V  W, entonces el Kernel de A será un subespacio de V, y cada una de las clases de equivalencia será una variedad lineal paralela al Kernel de A. Más aún, el conjunto de las clases de equivalencia se denotará en la forma común V/Ker A y será llamado el espacio cociente V/Ker A. Proposición. Sea un operador lineal A:V  W, entonces el conjunto V/Ker A es un espacio vectorial. Demo. En este espacio, el vector nulo es la clase [0]. De hecho se tiene

80. Significado geométrico de esta relación [v1]=[v1]+[0] para cualquier v1  V. De la ecuación (1) x2= v1-  1 e 1 -  2 e 2 -...-  n e n se observa que esto es cierto, ya que x2  [v1]. Los escalares, son los del campo definido en V. La suma de vectores [v1]+[v2]=[v3] se define como x1  [v1], x2  [v2] y x1+x2  [v3]. Note que está bien definida ya que cualquier x1  [v1] y x2  [v2] sirven. De hecho v1-  1 [0]+v2-  2 [0]=v1+v2-  [0]=[v3] Todas las propiedades se pueden demostrar y resulta un espacio vectorial

81. Significado geométrico de esta relación ,... Pero hay más cosas Claramente, Im(A)  V/Ker A. Vimos que esto se cumple aún en el caso que no sean espacios vectoriales. Ahora volvamos a los conjuntos. Vimos que si A:X  Y, entonces Ker A es una relación de equivalencia. Por la definición, cualquier función deja una relación de equivalencia en su dominio. Pero, además, nosotros sabemos que una relación de equivalencia sobre un conjunto X es equivalente a una partición de X

82. Espacios vectoriales con producto interno

99. Transformaciones lineales

127. 4. Valores y vectores propios

156. Diagonalización de matrices 1 1 2 0 1 3 0 0 2

178. A= A T A propiovalores 18 y 0.   1=18 (1/2) y  2=0 Un par de vectores propios de A T A normalizados son v1=[1.71/2 1.71/2] T y v2=[1.71/2 -1.71/2] T Entonces V=[V1 v2] 1 1 2 2 2 2 9 9 9 9

179. A= AA T = propiovalores 18 y 0.   1=18 y  2=0 Vectores propios de AA T normalizados son u1=[1/3 2/3 2/3] T u2=[(-2)5 1/2 /5 5 1/2 /5 0] T u3 =[(2)5 1/2 /15 (4)5 1/2 /15 (-1)5 1/2 /3 ] T Entonces U=[u1 u2 u3] 1 1 2 2 2 2 2 4 4 4 8 8 4 8 8

180. A= AA T = 1 1 2 2 2 2 2 4 4 4 8 8 4 8 8 3(2) 1/2 0 0 0 0 0