1. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MINAS GERAIS – UEMG
FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE DIVINÓPOLIS – FUNEDI
INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO E PESQUISA – INESP
APOSTILA DE CÁLCULO IV
EQUAÇÕES DIFERENCAIS
ENGENHARIA CIVIL
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
Prof. Luiz Elpídio de Melo Machado
Versão: 2010/2
1

2. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
PLANO DE ENSINO
CURSO DISCIPLINA
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Nº DE AULAS SEMANAIS ANO 2010
03 SEMESTRE 2º
CARGA HORÁRIA PERÍODO 4º
54 UNIDADE ACADÊMICA INESP
EMENTA
Equações diferenciais de primeira e segunda ordem. Aplicação de equação diferencial
em: cinemática, dinâmica, vibrações mecânicas, biologia, economia.
OBJETIVOS
Ao final do curso o aluno deverá ser capaz de utilizar as técnicas de resolução das
equações diferenciais para resolver problemas.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
I – Equações Diferenciais de Primeira Ordem
1.1 – Equações Lineares e Não-Lineares
1.2 – Equações de Variáreis Separadas
1.3 – Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem
1.4 – Problemas de Mecânica
1.5 – Equações Exatas e Fatores Integrantes
1.6 – Equações Homogêneas
1.7 – Problemas e Aplicações Diversos
1.8 –Teorema da Existência e Unicidade
1.9 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem
II – Equações Lineares de Segunda Ordem
2.1 – Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes
2.2 – Soluções Fundamentais das Equações Homogêneas Lineares
2.3 – Independência Linear
2.4 – Raízes Complexas da Equação Característica
2.5 – Raízes Repetidas; Redução de Ordem
2.6 – Método dos Coeficientes Independentes
2.7 – Método de Variação de Parâmetros
2.8 – Oscilações Mecânicas e Oscilações Elétricas
2.9 – Oscilações Forçadas
MÉTODOS E RECURSOS DIDÁTICOS
Aula expositiva, seguida de debates, exercícios de sondagem e fixação; Proposição de
situações problemáticas, mediante condições explicativas para as possíveis soluções,
pesquisa em livros e na www.
Quadro negro, giz, internet, e-mail.
Atividades extra-classe:
- Resolução de listas de exercícios de fixação e aprofundamento.
- Resolução virtual de exercícios em editor de texto matemático.
AVALIAÇÃO
Serão distribuídos 100 créditos no decorrer do semestre através de trabalhos e provas.
Serão distribuídos 30 pontos no primeiro bimestre letivo, 35 pontos no segundo bimestre
e 35 pontos no terceiro bimestre.
As recuperações das avaliações ocorrerão ao longo do semestre.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
2

3. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
BOYCE, W. E. & PRIMA, R. C. Di. Equações diferenciais elementares e problemas de
valores de contorno. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Ed. Harbra, 1994.
ABUNAHMAN, Sergio. Equações diferenciais. 2.ed. Rio de Janeiro: Erica, 1993.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
SIMMIONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: MacGraw-Hill, 1987.
STEWART, James. Cálculo. 5. São Paulo: Thomson, 2006.
PISKUNOV, N.. Cálculo diferencial e integral. 7. ed. Porto: Lopes da Silva, 1984.
GOLDSTEIN, Larry J.. LAY, David C. e SCHNEIDER, David I.. Matemática aplicada:
economia, administração e contabilidade. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.
LANG, Serge. Cálculo. Rio de Janeiro: Livros técnicos e científicos, 1975.
3

4. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1 – Equações Diferenciais
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função sua variável e suas derivadas, ou seja
1.1 – Equações de Variáveis Separáveis
A equação geral de primeira ordem assume a forma
dy
 f x, y  . (Eq.1)
dx
Se a Eq.(1) é não-linear, isto é , se f não é uma função linear da variável dependente y , não existe um método geral
para resolver a equação. Consideremos uma subclasse das equações de primeira ordem para as quais um processo
direto de integração pode ser usado.
Em primeiro lugar, reescrevemos a Eq.(1)
dy
 f x, y 
dx
dy M  x , y  dy dy
  N x, y   M  x, y   M  x, y   N  x, y   0 , N x, y   0
dx N  x , y  dx dx
dy
 M  x, y   N x, y  0 Eq.(2)
dx
Caso M seja uma função apenas de x e N seja uma função apenas de y , a Eq.(2) se torna
dy
 M  x   N y  0 Eq.(3)
dx
Uma equação deste tipo é dita separável porque é escrita na forma diferencial
 M  x dx  N  y dy  0
N  y dy  M  x dx
 N y dy   M  x dx
Exemplos
2
dy x
Ex.-1 Resolva a equação  .
dx 1  y 2
2
dy x

dx 1  y 2
1  y dy  x dx
2 2
 1  y dy   x dx
2 2
3 3
y x 3 3
y  C ou 3y  y  x  C
3 3
4

5. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
dy 3x 2  4 x  2
Ex.-2 Achar a solução do problema de valor inicial  , y 0   1 . Determine y em função de
dx 2 y  1
x.
2
dy 3 x  4 x  2

dx 2 y  1
 2 y  1dy   3x 
2
 4 x  2 dx
 y2  x
3
x
2
2  y  3  4  2x  C
 2  3 2
 
2 3 2
y  2 y  x  2x  2x  C
como y 0    1 então
 12  2   1  03  2  02  2  0  C
1 2  C  C  3
2 3 2
y  2 y  x  2x  2x  3
2 3 2
y  2 y  1  x  2x  2 x  3  1
 y  1  x 3  2 x 2  2 x  4
3 2
y  1  x  2 x  2x  4
3 2 3 2
y  1  x  2x  2 x  4 ou y  1  x  2x  2 x  4
1 2
dy y cos x 
Ex.-3 Resolver o problema de valor inicial  , y 0   1 .
dx 1  2 y 2
2 2
dy y cos x  1 2y 1 2y
dy  cos x dx  dy  cos x dx

dx 1  2 y 2

y  y 
 1 2y2  1  y
2
  dy  cos x dx    2 y dy  cos x dx  ln x  2   sen x   C
 y
 y 
  y


  2
2
ln y  y  sen x   C
 1 então ln 1  1  sen0  C  0  1  0  C  C  1
2
como y
0
2
ln y  y  sen x   1
Exercícios
Resolva a equação diferencial proposta:
x2 x2
E-1. y  E-2. y 
y 
y 1  x3 
5

6. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
E-3. y  y 2 sen x   0 dy x  e  x
E-7. 
dx y  e y
3x 2  1
E-4. y 
3  2y dy x2
E-8. 
E-5. y  cos 2  x  cos 2 2 y  dx 1  y 2
E-6. 
xy  1  y 2  12
Determine a solução do problema de valor inicial dado:
E-9. y  1  2 x  y 2 e y 0   
1
. E-17.
y 

x x 1
2
 e y 0   
1
.
6 3
2
4y
y

1  2 x  y 1    2 .
E-10. e 3x 2  e x
y E-18. y  e y 0   1 .
2y  5
E-11. xdx  ye  x dy  0 e y 0   1 .
e x  e x
yxsen x  E-19. y  e y 0   1 .
E-12. y  e y 3 3  4y
2
2 y 0 
E-20. sen2 x dx  cos3 y dy  0 e
2
dr r 
E-13.  e r 1   2. y   
d    3
 2 
2x
E-14. y  e y 0    2 .
y  x2 y E-21. 
y2 1  x2 12
dy  arcsen x dx e
E-15. y  xy 3 1  x 2  
1 2
e y 0   1 . y 0   0
2x
E-16. y  e y 2   0 .
1 2y
Respostas
y 2 x3
R-1  c ou 3 y 2  2x 3  c
2 3
y2 1
R-2  ln 1  x 3  c ou 3 y 2  2 ln 1  x 3  c
2 3
1 1 1
R-3   cos x   c ou  c  cos x  ou y 
y y c  cos x 
R-4 3y  y 2  x3  x  c
1 1 x
R-5 tg 2 y   sen2 x    C ou 2tg 2 y   sen2 x   2 x  K
2 4 2
R-6
6

7. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
y2 x2
R-7  ey   e x  c ou y 2  2e y  x 2  2e  x  c
2 2
y 3 x3
R-8 y  c ou 3y  y 3  x3  c
3 3
1 2 1 2
R-9   xx 6 ou  x  x6
y y
2
y 2 2 2
R - 10  xx 2 ou y  2x  2 x  4
2
2
y x x 1 2 x x
R - 11   xe  e  ou y  2 xe  2e  1
2 2
2
y 9  4 ln 3
R - 12 2 ln y    x cos x   sen x   ou
2 2
2
y
2 ln y    x cos x   sen x   6,69
2
1 1
R - 13   ln( )
r 2
2
R - 14
y
2
2
 ln 1  x  2   ou
2

y  2 ln 1  x  4
2

1
 x 
1 2 2 3 1 2 3 1 2
R - 15  2
1  ou  2
 1 x  ou 2
 3  2 1 x
2y 2 2y 2 y
2 2
R - 16 y y  x 4
4 2 2
4 x x 1 2 x 1
R - 17 y    ou y 
4 2 4 2
2 3 x
R - 18 y  5y  x  e  3
2 x x
R - 19 2 y  3 y  e e 7
sen3 y  cos2 x  1
R - 20   ou 2sen3 y   3 cos2 x   3
3 2 2
R - 21
Bibliografia
BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de
contorno. Tradução Horacio Macedo. Rio de Janeiro: LTC, 1999, 6ª ed. 532p.
3

8. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem
As equações diferenciais de primeira ordem
dy
 f x, y  (1)
dx
onde f é uma função de duas variáveis. Qualquer função diferenciável y  g x  que satisfaça a esta
condição para todos os valores de x em um certo intervalo é considerada como uma solução; nosso
objetivo é determinar as essas soluções existem e, em caso afirmativo, desenvolver métodos para
encontrá-las. Infelizmente, para uma função arbitrária f , não existe nenhum método geral para revolver
a equação em termos de funções elementares. Assim, vamos descrever vários métodos, cada um dos
quais se aplica a uma subclasse das equações de primeira ordem. As subclasses mais importantes são
as das equações lineares e das equações separáveis.
Se a função f da Eq. (1) depende linearmente da variável dependente y, então a equação
pode ser escrita na forma
dy
 p x  y  q x   y  p x  y  q x  , (2)
dx
que é chamada equação diferencial linear de primeira ordem.
2.1 – Para p x  e q x  constantes
A equação mais geral de primeira ordem com coeficientes constantes é
dy
 a yb (3)
dx
onde a e b são constantes a   p x e b  q x   .
dy 
 a y  b dividindo o segundo membro por a , temos
dx 
dy  b  dy dx  b
 a  y   para a  0 . Assim temos,  a  para y 
dx  a  y b a  a
d
ln y  b a   a recordando que d ln u  k   1
 . Então, ln y  b a  ax  C0
dx  dx uk
onde C0 é uma constante arbitrária. Tomando as exponenciais dos dois membros,
ln y b a b
e  e axC0  y  b a  e ax e C0  y   eC0 e ax , para c  eC0 temos:
a
b
y  ceax . (4)
a
O comportamento geral da solução (3) depende principalmente do sinal do parâmetro a. Se
a  0 , então e ax  0 quando x   , e os gráficos de todas as soluções tendem para a assíntota
4

9. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
b ax
horizontal y . Por outro lado, se a  0 , e   quando x   , e os gráficos das soluções
a
b
divergem da reta y .
a
b
A solução constante y é freqüentemente chamada de solução de equilíbrio, já que
a
dy
é sempre zero para esta solução.
dx
Exemplo
dy
Ex.-4 Resolva a equação diferencial  2y  6
dx
dy dy dy dy
 2y  6   2 y  6   2 y  3   2dx
dx dx dx  y  3
dy
  y  3  2 dx  ln y  3  2 x  C
ln y  3
e  e  2 x C  y  3  e 2 x e C  y  3  e C e  2 x  y  3  ke 2 x
y  3  ke 2 x
dy
Ex.-5 Resolva a equação diferencial  2y  8 usando a solução da Eq. (4)
dx
dy dy
Escrevendo na forma da Eq. (3)  2y  8   2 y  8 assim temos a  2 e
dx dx
b  8 , então:
8
y  ce 2 x  y  4  ce2 x
2
Ex.-6 Resolva a equação diferencial y  4 y  4 .
a) Determine a função que passa pelo ponto  1, 0  .
b) Determine a função que passa pelo ponto  0 , 1  .
c) Verifique se as funções satisfazem a equação.
Exercício
Resolva a equação diferencial:
E-22. y  6 y  18  0 E-24. y  y  2  0
E-23. y  y  3  0 E-25. y  2y  3  0
5

10. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
E-26. y  3 y  6 E-29. 3y  y  6
E-27. 2 y  4 y  3 E-30.  y  y  1
E-28. 2 y  y  2 E-31. y  2 y  3
Resolva a equação diferencial e determine a função que passa pelo ponto dado:
E-32. y  2 y  10  0  0 ,3 
e E-35. y  2 y  3 e 1, 0 
E-33. y  3y  9 e  0 , 2  E-36.  y  3 y  15 e  2 , 0 
E-34. y  y  2  0 e  0 ,1  E-37.  y  5 y  5 e  3 , 0 
Respostas
R - 22 y t   3  ke6t R - 29 y t   6  ket 3
R - 23 y t   3  ket R - 30 y t   1  ket
R - 24 y t   2  ket R - 31 y t  
3
 ke 2t
2
3
R - 25 y t    ke 2t R - 32
2
R - 33
3 t
R - 26 y t   2  ke R - 34
R - 35
3
R - 27 y t    ke 2t R - 36
4
R - 37
R - 28 y t   2  ke t 2
2.2 – Fator Integrante
O objetivo é multiplicar a equação diferencial (2) por um fator integrante apropriado e assim
coloca-lo em uma forma integrável. Para determinar esse fator integrante, primeiro multiplicamos a Eq. (2)
por uma função m x  , ainda indeterminada. Temos então
y  p x  y  q x    m x
. (5)
m x  y  m x  p x  y  m x q x 
Devemos reconhecer o lado esquerdo da Eq.(5) como a derivada de alguma função. O fato de
que existem dois termos e um dos termos é m x  y sugere que o lado esquerdo da Eq.(5) pode ser a
derivada do produto m x  y . Para que isto seja verdade, o segundo termo do lado esquerdo da Eq.(5),
m x  p x  y , deve ser igual a m x  y . Isto, por sua vez, significa que m x  deve satisfazer à equação
diferencial
m x   m x  p x  . (6)
6

11. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Se admitirmos, temporariamente, que m x  é positiva, podemos escrever a Eq.(6) como
m x  d 

m x 
 p x  
dx
 
ln m x   p x   para m x   0 . (7)


Integrando os dois termos, tem-se:
ln m x    p x  dx  C0
.
ln m x   p x  dx  C0
e e
p x  dxC0
m x   e  . (8)
Observe que m x  é positiva para todo x conforme admitido na Eq.(7).
Depois de determinarmos o fator integrante m x  , voltamos à Eq.(5). Como m x  satisfaz à
Eq.(6), a Eq.(5) se reduz a
d
dx
 
m x  y  m x q x  . (9)
Integrando ambos os membros da Eq.(9), obtemos:
m x  y   m x q x dx  c
 m x q x dx  c
y . (10)
m x 
Uma vez que y representa qualquer solução da Eq.(2), concluímos que toda solução da Eq.(2)
está incluída no segundo membro da Eq.(10). Portanto, esta expressão é uma solução geral da Eq.(2).
Observe que para se encontrar a solução dada pela Eq.(10) são necessárias duas integrações, a primeira
para ter m x  pela Eq.(8) e a segunda para determinar y pela Eq.(10).
Nota-se primeiramente, que antes de determinar o fator integrante m x  pela Eq.(8) é
necessário ter certeza de que a equação diferencial tem exatamente a forma da Eq.(2); em particular o
coeficiente de y deve ser a unidade. De outra forma, a função p x  usada para o cálculo de m x  será
incorreta. Em segundo lugar, depois de encontrar m x  e de multiplicar a Eq.(2) pelo fator integrante é
preciso verificar que os termos envolvendo y e y são, de fato, a derivada de m x  como devem ser.
Esta verificação proporciona certeza sobre a correção de m x  . Como é natural, uma vez que se tenha
encontrado a solução y, é possível também verificar a sua correção, substituindo-a na equação
diferencial.
A interpretação geométrica da Eq. (10) é a de uma família de curvas, uma para cada valor de c.
Estas curvas são as curvas integrais da equação diferencial. Muitas vezes é importante selecionar um
membro da família de curvas integrais, o que faz pela identificação de um ponto particular  x0 , y0 
contido no gráfico da solução. Esta exigência se escreve, usualmente, como
2

12. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
y x0   y0 , (11)
e é conhecida como uma condição inicial. Uma equação diferencial de primeira ordem, como a Eq.(1) ou
Eq. (2), e uma condição inicial, como a Eq. (11), constituem, em conjunto, um problema de valor inicial.
Exemplo
Ex.-7 Determine a solução geral da equação diferencial ty  3 y  4t 2 .
2
ty  3 y  4t  t
2
t 3 4t
y  y
t t t
3
y  y  4t
t
p 
t 
y
Ex.-8 Determine a solução do problema de valor inicial y   e x e y 0    1 .
2
Ex.-9 Achar a solução do problema de valor inicial y  2ty  t e y 0   0 .
Ex.-10 Achar a solução do problema de valor inicial y  2 y  t e y 0   0 .
Exercício
Determine a solução geral para a equação diferencial
y  3 y  t  e 2 t
2
E-38. E-44. y  2 ty  2 te t
E-39. y  2 y  t 2 e2t E-45. 1  t y 2

 4 ty  1  t 2 
2
E-40. y  y  t e2t  1 E-46. 2 y  y  3t
1
E-41. y  y  3 cos2 t  , t  0 E-47. ty  y  t 2e t
t
2 t
E-42. y  2 y  3 et E-48. y  3 y  te
E-43. ty  2 y  sen t  , t  0 E-49. 2 y  y  3t 2
Ache a solução do problema de valor inicial proposto
E-50. y  y  2 te 2 t , y 0   1 2 cost 
E-53. y  y  2 , y    0 , t  0
t t
E-51. y  2 y  2 te 2 t , y 1   0
E-54. y  2 y  e 2 t , y 0   2
1
E-52. ty  2 y  t 2  t  1 , y 1   ,
E-55. ty  2 y  sent  , y    1
2  
 2 
t0
3

13. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
E-56. t 3 y  4 t 2 y  e  t , y 1   0 E-57. ty  t  1 y  t , y ln 2   1
Respostas
t 1 2 t 3 t C
R - 38 y    e  Ce R - 46 y  3t  6  t 2
t  3 9 t  e
3 2t 2 t t
t e 2t R - 47 y  t e  te  Ct
R - 39 y   Ce t 
t  3
2 t 2 t 3t
te e
2t
t
2t R - 48 y  te e  Ce
R - 40 y    1  Ce t 
t  3 9
2 C
2 4 C R - 49 y t2 
R - 41 y  sen2t   cos2t   t  t te t
t  3 9t t R - 50
R - 51
t 2t
R - 42 y  3e  Ce R - 52
t 
R - 53
1 1 C R - 54
R - 43 y   cost   2 sent   2
t  t t t R - 55
3 R - 56
t C R - 57
R - 44 y  2t
t  e
arctg t   C
R - 45 y 
t 
1  t  2 2
2.3 – Discussão sobre as Equações Lineares
Já foi visto que achar soluções dos problemas de valor inicial, com equações lineares de primeira
ordem, é possível mediante o fator integrante para transformar a equação diferencial numa forma
integrável. Agora vamos analisar algumas questões de natureza geral que são:
a) Os problemas de valor inicial mencionados têm sempre uma solução?
b) Podem ter mais de uma solução?
c) A solução vale para todos os t , ou somente para um intervalo restrito nas vizinhanças do ponto
inicial?
Teorema: Se as funções p e q são contínuas num intervalo aberto I :  t, que contém o
ponto t  t0 , então existe uma única função y  t  que satisfaz à equação diferencial
y  p t  y  q t  para cada t em I e que também satisfaz à condição inicial y t0   y0 , onde y0 é
um valor inicial arbitrário.
O teorema afirma que dado um problema de valor inicial tem uma solução e também que a
problema tem somente uma solução. Em outra palavras, teorema assegura a existência e a unicidade da
25

14. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
solução do problema de valor inicial y  p t  y  q t  e y t0   y0 . Além disso, o teorema afirma que
a solução existe em algum intervalo I que contenha o ponto inicial t0 , no qual os coeficientes p e q
sejam contínuos. Isto é, a solução pode ser descontínua ou pode não existir, somente nos pontos onde
pelo menos uma das funções p e q seja descontínua. Estes pontos podem ser identificados, muitas
vezes, por simples inspeção.
Exemplo
Ex.-11 Determine o intervalo no qual o problema de valor inicial ty  2 y  4t 2 e y 1   2 , tem uma
solução única. Determine essa solução.
Ex.-12 Achar a solução do problema de valor inicial y  2 ty  1 e y 0   0,5 .
2 t
 s2
Obs.: ref t   e ds é a função erro, que foi extensamente tabelada e é considerada
 0
uma função conhecida, dado um valor t , podem consultar uma tabela de valores de função erro,
ou então lançar mão de um procedimento numérico.
A seguir temos algumas das mais importantes propriedades das equações diferenciais lineares
de primeira ordem e respectivas soluções.
a) Há uma solução geral, com uma constante arbitrária, que inclui todas as soluções da equação
diferencial. Uma solução particular, que satisfaz a uma certa condição inicial, pode ser
determinada pela escolha conveniente do valor da constante arbitrária.
 m x q x dx  c
b) Há uma expressão fechada para a solução, a equação y ou a equação
m x 
t
 m s q s ds  y0
t0
y . Além disso, embora a expressão envolva duas integrações, é uma
m x 
solução explícita para y  t  e não uma equação defina  implicitamente.
c) Os possíveis pontos de descontinuidade, ou singularidades, da solução podem ser identificados
(sem a resolução do problema) pela determinação dos pontos de descontinuidade dos
coeficientes. Assim, se os coeficientes forem contínuos para todos os t, então a solução
também existe e é contínua para todos os t
Exercício
Achar a solução geral da equação diferencial:
1 sen t 
E-58. y  y  sen t  , t  0 E-59. t 2 y  3ty  , t0
t t
2

15. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
E-60. y  2 y  2e t  t E-61. 2 y  y  t 1
RESPOSTAS
3 3 C R - 61
R - 58 y t   sen2t   cos2t  
2 4t t
R - 59
R - 60
Bibliografia
BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de
contorno. Tradução Horacio Macedo. Rio de Janeiro: LTC, 1999, 6ª ed. 532p.
25

16. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Capítulo 3 – Equações Lineares de Segunda Ordem
3.1 Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes
d2y
Uma equação diferencial ordinária de segunda ordem tem a forma  f  dy  , onde f é
dt 2  t, y,


dt 
uma função conhecida. Dizemos que esta equação é linear quando a função f é linear em y e suas
dy
derivadas, isto é, quando f dy 
 g  t   p t   q t  y . Neste caso a equação fica
 t,y,


dt 
dt
y  p t  y  q  t  y  g  t  . Uma equação diferencial linear de segunda ordem é homogênea se o termo
gt  for nulo para todo t.
Vamos dirigir a atenção para as equações nas quais as funções P, Q e R são constantes. Neste
caso a equação fica ay  by  cy  0 .
A equação ar 2  br  cr  0 é a equação característica da equação diferencial
ay  by  cy  0 , y  c1e r1t  c 2 e r2t é uma solução esta equação diferencial.
Exemplo
Ex.-13 Achar a solução geral da equação y  7y  6y  0.
Ex.-14 Dado y  5y  6y  0 , y 2 e y  3.
0  0 
a) Ache a solução do problema de valor inicial.
b) Faça o gráfico da função.
c) Determine o ponto crítico.
d) Descreva seu comportamento quando t aumenta indefinidamente.
1
Ex.-15 Achar a solução do problema de valor inicial 4 y  8y  3y  0 , y 2 e y  . Faça o gráfico da
0  0  2
função e determine o ponto crítico. Descreva seu comportamento quando t aumenta.
24

17. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exercícios
Achar a solução geral da equação diferencial proposta:
E-62. y  2 y  3y  0 E-66. y  5y  0
E-63. y  3y  2y  0 E-67. 4y  9y  0
E-64. 6y  y  y  0 E-68. y  9y  9y  0
E-65. 2 y  3y  y  0 E-69. y  2y  2y  0
Determine a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe o gráfico da solução e descreva
seu comportamento quando t aumenta.
E-70. Corrigir
E-76. y  8y  9 y  0 , y 1 e
1
E-71. y  4 y  3y  0 , y 2 e
0 
y  0.
1
y  1 .
0 
E-77. 4y  y  0 , y 1 e
2 
E-72. 6y  5y  y  0 , y 4 e
0 
y  1 .
2 
y  0.
0 
E-78. y  5y  2y  0 , y 1 e
0 
E-73. y  3y  0 , y  2 e y  3.
0  0 
y  1.
0 
E-74. y  5y  3y  0 , y 1 e
0 
y  0.
0 
E-75. 2y  y  4y  0, y 0 e
0 
y  1.
0 
Respostas
24

18. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
t 3t
R - 62 y ce c e
t  1 2
t 2 t
R - 63 y ce c e
t  1 2
t t

2 3
R - 64 y ce c e
t  1 2
t
2 t
R - 65 y ce c e
t  1 2
5 t
R - 66 y c c e
t  1 2
3t 3t

2 2
R - 67 y ce c e
t  1 2
9 3 5 9 3 5
t t
2 2
R - 68 y ce c e
t  1 2
1 3  t 1 3  t
R - 69 y ce c e
t  1 2
t
R - 70 y e ; quando t temos que y  .
t 
5  t 1 3 t
R - 71 y  e  e ; quando t   temos que y 0.
t  2 2
t t
3 2
R - 72 y  12e  8e ; quando t temos que y   .
t 
3t
R - 73 y  1  e ; quando t temos que y  1 .
t 
5 13 5 13
t t
13  5 13 2 13  5 13 2
R - 74 y  e  e .
t  26 26
1 33 1 33
t t
2 4 2 4
R - 75 y  e  e .
t  33 33
1 9t 9 9 t 1
R - 76 y  e  e ; quando t   temos que y.
t  10 10
t 2 t2
1 2 3  2
R - 77 y  e  e ; quando t temos que y   .
t  2 2
3 33 3 33
t t
7  33 2  7  33 2
R - 78 y  e  e ; quando t temos que y.
t  2 33 2 33
17

19. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3.2 – Raízes complexas da equação característica
A equação ay  by  cy  0 onde a, b e c são números reais. Se procurarmos
rt
soluções de y como combinação de ce , então r deve ser raiz da equação característica
ar 2  br  cr  0 . Se as raízes r e r foram complexas temos que r    i e r    i
1 2 1 2
   i  t  i  t
onde  e  são reais. As expressões correspondentes de y são y e e y e .
1t  2 t 
2 t
Pelo cálculo direto, podemos mostrar que o wronskiano de u e v é W  e .
u ,v t 
Assim, desde que   0 , o wronskiano W não é zero, e assim u e v formam um conjunto
fundamental de soluções. Portanto, se as raízes da equação forem números complexos   i ,então a
t t
solução geral da equação ay  by  cy  0 é y  c e cost   c e sent  , onde c e
t  1 2 1
c são constantes arbitrárias.
2
Se  0 a função y é decrescente, se  0 a função y é crescente e se  0 a
t  t 
função y oscila de forma permanente.
t 
Exemplo
Ex.-16 Achar a solução geral de y  y  y  0.
Ex.-17 Achar a solução geral de y  9y  0 .
Ex.-18 Achar a solução do problema de valor inicial 16 y  8 y  145 y  0 y  2 e y  1.
0  0 
Exercícios
Achar a solução geral da equação diferencial:
E-79. y  2y  2y  0 E-84. 4y  9y  0
E-80. y  2y  6y  0 E-85. y  2 y  1,25 y  0
E-81. y  2y  8y  0 E-86. 9y  9y  4y  0
E-82. y  2y  2y  0 E-87. y  y  1,25 y  0
E-83. y  6 y  13 y  0 E-88. y  4 y  6,25 y  0
18

20. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Achar a solução do problema de valor inicial proposto:
E-89. y  4y  0 , y 0 e y 1
0  0 
E-90. y  4y  5y  0 , y 1 e y 0
0  0 
E-91. y  2y  5y  0 , y 0 e y 2
   
   
2  2
E-92. y  y  0, y 2 e y  4
   
   
3 3
E-93. y  2 y  1,25 y  0 , y 3 e y 1
0 0 
E-94. y  2y  2y  0 , y 2 e y  2
   
   
4  4
Respostas
t t
R - 79 y  c e cost   c e sent 
t  1 2
R - 80
t
 
y  c e cos 5 t  c e sen 5 t
t  1 2
t
 
R - 81
t
 
y  c e cos 7 t  c e sen 7 t
t  1 2
t
 
t t
R - 82 y  c e cost   c e sent 
t  1 2
3t 3t
R - 83 y ce cos2t   c e sen2t 
t  1 2
 3t   3t 
R - 84 y  c cos   c sen 
t  1 2  2  2
t t t t
R - 85 y  c e cos   c e sen 
t  1 2 2 2
t 4t
3 3
R - 86 y ce c e
t  1 2
t t
 
cost   c e sent 
2 2
R - 87 y ce
t  1 2
2 t  3t  2 t  3t 
R - 88 y ce cos   c e sen 
t  1 2 2 2
1
R - 89 y  sen2t  a oscilação é estacionária.
t  2
2 t 2 t
R - 90 y e cost   2e sent  a oscilação é amortecida.
t 

21. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

t
sen2t  a oscilação é crescente.
2
R - 91 y  e
t 
R - 92  
y  1  2 3 cost   1  2 3 sent 
t 
  a oscilação é estacionária.
t t

5 2
cost   e sen t 
2
R - 93 y  3e a oscilação é amortecida.
t  2
 
t  t
cost   2 e sent  a oscilação é amortecida.
4 4
R - 94 y  2e
t 
1.7 Bibliografia
BOYCE, Willian E. & DI-PRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 6.
ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 532p.

22. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
APLICAÇÃO
Oscilações Mecânicas
Equação do movimento da massa è
mP  P k P F
t  t  t  t 
onde
m é a massa em kg
N
 é a viscosidade do meio
ms
N
k é a constante elástica da mola
m
F força externa
t 
Condições iniciais
P P posição inicial P P velocidade inicial
0  0 0  0
Exemplo
Ex.-19 Um corpo de massa 4 kg estica uma mola 5 cm. O corpo é deslocado 15 cm, na direção positiva e depois é
solto. O corpo está em um meio que exerce uma resistência viscosa de 60N quando a sua velocidade é
0,5m/s. Determine a função que modela o movimento.
Resolução
a) Coeficiente elástico da mola
F  kd
m
2
mg  kd d  5cm  0,05m g  10 m s m  4 kg
4  10  k  0,05
40  0,05k
k  800 N m
b) Coeficiente de viscosidade do meio
F  v F  60N v  0,5 m s
v v
60    0,5
0,5   60
  120 N s m
c) Equação diferencial
mP  P k P F
t  t  t  t 

23. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
4 P  120 P  800 P 0
t  t  t 
4 P  120 P  800 P  04
t  t  t 
P  30 P  200 P 0
t  t  t 
d) Equação característica
P  30 P  200 P 0
t  t  t 
r  10 e r  20
1 2
e) Equação posição
rt rt
1 2
P ce c e
t  1 2
10 t 20t
P ce c e
t  1 2
d) Condições
“O corpo é deslocado 15 cm” P  15 cm  0,15 m
0 
Ex.-20 Um corpo de massa 10 kg provoca um deslocamento de 5cm em uma mola. Se o corpo for deslocado de 5cm
e depois posto em movimento, com velocidade inicial, de 0,2m/s, determine a posição do corpo nos instantes
posteriores.
Exercícios
E-95. Um corpo de 2kg de massa estica 15cm uma mola. Se o corpo for puxado mais 10cm e depois liberado, se não
houver resistência do ar, determine a sua posição em qualquer instante t.
E-96. Um corpo de massa 100g estica 5cm uma mola. Se o corpo for impulsionada, a partir do equilíbrio, com uma
velocidade para baixo de 10cm/s, e se não houver resistência do ar, determinar a posição em qualquer instante
t.
E-97. Um corpo, pesa 30N, estica em 8cm uma mola. Se o corpo for empurrado para cima, contraindo 3cm a mola, e
depois for impulsionado para baixo,com velocidade de 0,8m/s, e se não houver resistência do ar, achar a sua
posição em qualquer instante t.
E-98. Um corpo pesando 16N estica 10cm uma mola. O corpo está ligado a um amortecedor viscoso, com constante
de amortecimento 2Ns/m. Se o corpo for movimentado, da posição de equilíbrio, com velocidade para baixo de
0,6m/s, achar a sua posição em qualquer instante t.
E-99. Uma mola é esticada 10cm por uma força de 3N. Um corpo com massa de 2kg é pendurado na mola e também
é ligado a um amortecedor viscoso que exerce uma força de 3N quando a velocidade for 5m/s. Se o corpo for
puxado para baixo 5cm além da posição de equilíbrio, e receber uma velocidade inicial para baixo de 10m/s,
determinar a sua posição em qualquer instante t.

24. ENGENHARIA Prof. Luiz Elpídio M. Machado
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Respostas
R - 95 P  0,1 cos8,16 t 
t 
R - 96 P  0,0071 sen14,14 t 
t 
R - 97 P  0,03 cos11,18 t   0,072 sen11,18 t 
t 
R - 98
R - 99
Bibliografia
BOYCE, Willian E. & DI-PRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno.
6.e. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 532p.