![1
Тема 5 Приближение сплайнами
§1 Эрмитовы сплайны
Пусть на сетке
заданы значения
Определение:
( ) ( ),ii xfxy =
−====+== ∑=
++
n
i
iniiiih abhbxaxnihxxx
1
011
_
,,;,...,1,:ω
( ) ( ) ;...,,0, nixfxy ii =′=′
( ) ( ) [ ] ;1,0,,, 13 −=∈∀∈ + nixxxxPxS iii
( ) [ ];1
,baСxS ∈
( ) ( ) ( ) ( ) ;...,,0,, nixfxSxfxS iiii =′=′=](https://image.slidesharecdn.com/21-130623083219-phpapp01/85/dvfu-sns-spline-2-1-320.jpg)
Empfohlen
Empfohlen
Weitere ähnliche Inhalte
Was ist angesagt?
Was ist angesagt? (15)
Andere mochten auch
Andere mochten auch (20)
Ähnlich wie dvfu sns spline 2
Ähnlich wie dvfu sns spline 2 (20)
dvfu sns spline 2
- 1. 1 Тема 5 Приближение сплайнами §1 Эрмитовы сплайны Пусть на сетке заданы значения Определение: ( ) ( ),ii xfxy = −====+== ∑= ++ n i iniiiih abhbxaxnihxxx 1 011 _ ,,;,...,1,:ω ( ) ( ) ;...,,0, nixfxy ii =′=′ ( ) ( ) [ ] ;1,0,,, 13 −=∈∀∈ + nixxxxPxS iii ( ) [ ];1 ,baСxS ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ;...,,0,, nixfxSxfxS iiii =′=′=
- 2. 2 ( ) ;1,...,0,32 −=+++= nixbxaxdсxS iiii ( ) ( ) ( ) ( ) ;1,...,0, 62 32 −= − + − +−′+= ni xx b xx axxyyxS i i i iiii ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;1...,,0,, ,, 11 11 −=′=′′=′ == ++ ++ nixfxSxfxS xfxSxfxS iiii iiii ( ) ( ) ( ) ( ) , 62 3 1 2 1 11 ii i ii iiiiii xx b xx axxyyxS − + − +−′+= ++ ++ ( ) ( ) ( ) , 2 2 i iiii xx bxxayxS − +−+′=′ ( ) ( ) ( ) , 2 2 1 11 ii iiiiii xx bxxayxS − +−+′=′ + ++
- 3. 3 , 2 12 1 11 2 1 − − ′+′ = + ++ + i iiii i i h yyyy h b ( ) , 62 1 3 1 2 1 11 + ++ ++ =++′+= i i i i iiiii y h b h ahyyxS ( ) , 2 1 2 1 11 + + ++ ′=++′=′ i i iiiii y h bhayxS 2 1+ × ih 3 1+ × ih , 2246 11 111 3 1 3 1 ++ +++ ++ ′+′−′−−= − i i i iiiii ii i h y h yhyyy hh b , 3332 11 111 2 1 2 1 ++ +++ ++ ′+′−′−−= − i i i iiiii ii i h y h yhyyy hh a , 3 26 1 11 1 − + ′+′ −= + ++ + i iiii i i h yyyy h a
- 4. 4 Полиномиальные сплайны Пусть на сетке заданы значения Определение полиномиального сплайна степени m дефекта k: ( ) ( ) ;,...,0, nixfxy ii == −====+== ∑= ++ n i iniiiih abhbxaxnihxxx 1 011 _ ,,;,...,1,:ω ( ) ( ) [ ] ;1,0,0,,, 1 −=≥∈∀∈ + nimxxxxPxS iimim ( ) [ ] ;1,, mkСxS km bam ≤≤∈ − ( ) ( ) ;,,...0, nixfxS ii ==
- 5. 5 §2 Нелокальные кубические сплайны Пусть на сетке заданы значения Определение: ( ) ( ) ;,...,0, nixfxy ii == −====+== ∑= ++ n i iniiiih abhbxaxnihxxx 1 011 _ ,,;,...,1,:ω ( ) ( ) [ ] ;1,0,,, 13 −=∈∀∈ + nixxxxPxS iii ( ) [ ];2 ,baСxS ∈ ( ) ( ) ;,,...0, nixfxS ii ==
- 6. 6 Краевые условия 1. 2. 3. 4. ( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′=′′=′ ( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′′=′′′′=′′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );,, bSaSbSaSbSaS ′′=′′′=′= ( ) ( ) ( ) ( );00,00 1111 −′′′=+′′′−′′′=+′′′ −− nn xSxSxSxS ax =0 bxn =1x 1−nx ( )xP 0,3 ( )xP 1,3 ( )xP n 2,3 − ( )xP n 1,3 −
- 7. 7
- 8. 8 §3 Построение сплайна через наклоны Введем обозначения ( ) ( ) ( ) ;, iiiiii myxSyxfxS =′=′== ( ) ( ) ;,,...0,, niMxSmxS iiii ==′′=′ ( ) ( ) ( ) ( ) ;1,...,0, 62 32 −= − + − +−′+= ni xx b xx axxyyxS i i i iiii ( ) ( ) ( ) , 2 2 i iiii xx bxxayxS − +−+′=′ , 3 26 1 11 1 − + + −= + ++ + i iiii i i h yymm h a , 2 12 1 11 2 1 − − + = + ++ + i iiii i i h yymm h b
- 9. 9 ( ) ( ) [ ]1,, +∈−+=′′ iiiii xxxxxbaxS ( ) ( ) [ ]iiiii xxxxxbaxS ,, 1111 −−−− ∈−+=′′ ( ) ( ),00 +′′=−′′ ii xSxS iiii ahba =+ −− 11 + − − = − − + + + − − + + + + −−−− 3 26 2 12 3 26 1 1 1 1 1111 ii i ii ii iiii i ii i ii i mm h yy hh yymm h mm h yy h 2 1 2 1 111 1 1 2 2 3 2 3 2 i ii i ii i ii i ii i ii h yy h yy h mm h mm h mm − + +−− + + − + − = + + + − + 3×
- 10. 10 − + − =+ ++ − + +− ++ + 2 1 2 1 11 11 1 3 11 2 i ii i ii i i ii i i i h yy h yy h m hh m h m 1 1 + + + × ii ii hh hh ;1;; 11 1 =+ + = + = ++ + ii ii i i ii i i hh h hh h µλλµ − + − =++ − + + +− i ii i i ii iiiiii h yy h yy mmm 1 1 1 11 32 µλλµ nn mmmmni ,,...,,;1,...,1 110 −−= ig
- 11. 11 1 ( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′=′′=′ ( ) ( );,0 bfmafm n ′=′= −− 100...0 2...0 ...... 0...20 0...02 0...0001 11 22 11 nn λµ λµ λµ ( ) ( ) ′ ′ − bf g g g af n 1 2 1 ... − n n m m m m m 1 2 1 0 ... =
- 12. 12 2 ( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′′=′′′′=′′ ( ) ( ) ( )af mm h yy h axabaaS ′′= + − − ==−+=′′ 3 26 10 1 01 1 0000 ( )af h h yy mm ′′− − =+ 2 32 1 1 01 10 ( ) ( ) ( )bfxbbabS nnn ′′=−+=′′ −−− 111 ( ) n nnn nn h yy bf h mm 1 1 3 2 2 − − − +′′=+ ( )bf h yymm h mm h yy h n nnnn n nn n nn n ′′= − − + + + − − −−−− 1111 2 12 3 26 0g= ng=
- 14. 14 3. Условие периодичности ( ) ( ) ( ) ( ),..., 11 xfxfbfaf n == + ,..., 110 mmmm nn == + ,...,...,, 112211 µµ === +++ nnn hhhh 121101 2:1 gmmmi =++= λµ nnnnn gmmmni =++= +− 111 2: λµ 112112 gmmm n =++ µλ nnnn gmmm =++ − 2111 µλ
- 16. 16 4 обозначим ( ) ( ) ( ) ( );00,00 1111 −′′′=+′′′−′′′=+′′′ −− nn xSxSxSxS ( ) [ ]1,, +∈=′′′ iii xxxbxS ,10 bb = − − + = − − + 2 1212 2 21 0101 2 1 2 12 2 12 h yymm hh yymm h , 6 2 1h × ,1 2 1 γ= h h ( ) − − − =−−+ 2 1 2 12 1 01 2 2 1 2 110 21 γγγ h yy h yy mmm
- 17. 17 − + − =++= 1 01 1 2 12 121101 32:1 h yy h yy mmmi µλλµ ( ) − − − =−−+ 2 1 2 12 1 01 2 2 1 2 110 21 γγγ h yy h yy mmm ( ) ( )=+++− 2 1112 2 1111 2 γµλγµµ mm 1µ× ( ) 1 01 1 2 111 2 12 23 h yy h yy − ++ − = µγµλ
- 18. 18 упростим выражения =++= + ++=+− 1112 2 2 1 21 2 1 2 111 112 γλλλγµµ h h hh h ( ) 1 2 12 21 1 11 1111 γγλ += + + +=++= h hh hh h 1111 2 111 γγλλγµλ =+=+ ( )11111 2 111 232323 γλγλλγµλ +=+=+
- 19. 19 Задание: исключая из правого краевого условия и последнего уравнения системы линейных алгебраических уравнений для наклонов, самостоятельно получить уравнение ( ) =++ 21111 mm γγ ( ) 1 01 1 2 12 11 23 h yy h yy − + − += µγλ ( ) =++ −− 12 1 nnnn mm γγ nm ( ) n nn n n nn nn h yy h yy 1 1 1 21 1 23 − − − −− − − + − += λγµ 1 ˆg 1 ˆ −ng1− = n n n h h γ
- 21. 21 • Задание: Построить формулы для вычисления кубического нелокального сплайна через моменты для всех четырех типов краевых условий. • Указания. ( ) ( ) ( ) ( ) ;1,...,0, 62 32 −= − + − +−+= ni xx b xx axxсyxS i i i iiii ( ) ( ) ( ) , 2 2 i iiii xx bxxaсxS − +−+=′ ( ) ( ) ( ) ( ) 111, , +++ =+=′′==′′ −+=′′ iiiiiiii iii MhbaxSMaxS xxbaxS ( ) 11 ++ −= iiii hMMb
- 22. 22 ( ) , 62 1 3 1 2 1 11 + ++ ++ =+++= i i i i iiiii y h b h ahсyxS ( ) 11 3 11 1 2 1 1 1 62 ++ ++ + + + + − −− − = ii iii i i i i ii i hh hMM h h M h yy c ( )ii i i ii i MM h h yy c 2 6 1 1 1 1 +− − = + + + + ( ) [ ]ii i iiiii xx h bhaсxS ,на, 2 1 2 111 −−−− ++=′ ( ) [ ]1,на +=′ iiii xxсxS
- 23. 23 §4 Задачи дифференцирования и интегрирования 1. Сплайн определен через наклоны. ( ) ,ii mxS =′ ( ) ( ) ==∑∫∫ − = + dxxSdxxS n i x x b a i i 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ;1,...,0, 62 32 −= − + − +−+= ni xx b xx axxmyxS i i i iiii 2 1 1 1 1 122 + + + + − + + = i ii i ii h mm h yy ( ) ( ) ( ) = − +−+′=′ 2 2 i iiii xx bxxayxS ( ) ( ) , 2 6 3 26 1 11 2 1 2 1 1 1 1 − − +− + + − −− += + ++ + + + + + i iiii i iii i ii i i i h yymm h xxmm h yy h xx m
- 24. 24 2. Сплайн определен через моменты. ( ) ( ) ( )i i ii i ii xx h MM MxS MxS − − +=′′ =′′ + + 1 1 , ( ) ( ) , 1 0 1 dxxSdxxS n i x x b a i i ∑∫∫ − = + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 6 2 1 1 1 1 1 1 i i ii iiii i i ii xx h MM xxMMM h h yy xS −+ +−++− − =′ + + + + + + 3 1 1 1 1 242 + + + + + − + = i ii i ii h MM h yy
- 25. 25 §5 Метод монотонной прогонки niFuCuBuA iiiiiii ,...,0,11 ==++ +− ,0,00 == nCA xx0...0 xxx...0 ...... 0...xxx0 0...0xxx 0...00xx
- 26. 26 прямой ход прогонки 111 +++ += iiii uu βα ( ) iiiiiiiii FuCuBuA =+++ +1βα iii iii i iii i i BA AF u BA C u + − + + −= + α β α 1 1+iα 1+iβ iii i i BA C + −=+ α α 1 iii iii i BA AF + − =+ α β β 1 01000 FuCuB =+ 0 0 1 0 0 0 B F u B C u +−= 0 0 1 B C −=α 0 0 1 B F =β 1,1 −= n,...i
- 27. 27 обратный ход прогонки алгоритм: 1. 2. 3. 4. 111 +++ += iiii uu βα nnnn uu βα =−−1 nnnnn FuBuA =+−1 nnn nnn n AB AF u α β + − = 0,...,2,1 −−= nni 11,βα n,...i ,2=ii βα , nu 0,...,2,1 −−= nniiu
- 28. 28 §6 Вычислительная устойчивость монотонной прогонки а) существование и единственность решения системы в) ни один знаменатель в формулах не равен нулю с) обеспечивается устойчивость счета по рекуррентным формулам ,,...,0, ,0,0,0 0 niCAB CACA iii nii =+≥ ==≠≠ 1≤iα условие монотонности ,,...,0,0 ,0,0,0 0 niCAB CACA iii nii =≤++ ==>>
- 29. 29 0>≥−≥−≥+ kkkkkkkkk CABABBA αα 0 0 1 B C −=α 11 ≤α ki,i ,...,21 =≤α 11 ≤+kα знаменатель числитель если нет хотя бы одного строгого неравенства в определении ???0,AВAВAB nnnnnnnn =−=−≥+ αα Доказательство !!!,0=−>−≥+ nnnnnnnn AВAВAB αα
- 30. 30 Устойчивость счета по рекуррентным формулам Пусть при вычислениях по формулам ni,i ,...,11 =≤α 111 ~ +++ += mmm uu δ оценим погрешность =+= +++ 111 ~~ mmmm uu βα 111 +++ += iiii uu βα ( ) 111111 ++++++ +=++= mmmmmmm uu δαβδα mδ 111 +++ ≤≤ mmmm δδαδ