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第14回PRML読書会 発表資料
11.2 マルコフ連鎖モンテカルロ
        2010/05/08
    Presented by takmin
この章の流れ
• 11.2 マルコフ連鎖モンテカルロ
  – どんなサンプリングアルゴリズムか?
  – Metropolisアルゴリズムの解説
• 11.2.1 マルコフ連鎖
  – マルコフ連鎖のより詳細な性質について
    • 均一マルコフ連鎖,詳細釣り合い条件,エルゴード性,
      平衡分布
• 11.2.2 Metropolis-Hastingsアルゴリズム
  – なぜ目標分布に従うのか
11.2 マルコフ連鎖モンテカルロ
• 高次元の場合にも適用可能なサンプリングア
  ルゴリズム
                   ( )
• 現在のサンプルの状態 z に合わせて,提
  案分布の形を変えて z ( 1) をサンプリング
     ( )
   z がマルコフ連鎖になる
• 以下の条件の元でMetropolisアルゴリズムに
  より目標分布 p(z) のサンプリングが可能
           ~(z) / Z とした時, ~(z) が計算可能
 – p(z )  p               p
                   p
 – 提案分布で q(z A | z B )  q(z B | z A ) が成立
Metropolisアルゴリズム
              ( )
1. 現在の状態を z          とする




                       
                     q z | z ( )   
              ~z 
              p



                                        z ( )
Metropolisアルゴリズム
            ( )
2. 提案分布 q(z | z ) からサンプル z * を抽出する




                   z*   z ( )
Metropolisアルゴリズム
3. 単位区間[0-1]の一様分布から乱数uを選択し,u
   とAの大小を比較
                            ~ (z * ) 
      *
  A z ,z   ( )
                               p
                       min1, ~ ( ) 
                            p (z ) 
                                                (11.33)

                                     




                                  z*   z ( )
Metropolisアルゴリズム
3.1. uがA より小さいなら,z * を受理して以下の式
     に従って状態 z ( ) を更新
            ( 1)
        z            z   *




                          z*   z ( )
Metropolisアルゴリズム
3.1. uがA より小さいなら,z * を受理して以下の式
     に従って状態 z ( ) を更新
            ( 1)
        z            z   *




                      z ( 1)
Metropolisアルゴリズム
3.2. uがA より大きいなら, * を棄却して以下の式
                     z
     に従って状態 z ( ) を更新
           ( 1)        ( )
       z            z




                           z*   z ( )
Metropolisアルゴリズム
3.2. uがA より大きいなら, * を棄却して以下の式
                     z
     に従って状態 z ( ) を更新
           ( 1)        ( )
       z            z




                                z ( 1)
Metropolisアルゴリズム
4. q(z A | z B )  0 ならば  で目標分布 p(z) に近
  づく
Metropolisアルゴリズム
p(z)の独立なサンプルを得たいなら,系列中のほ
とんどのサンプルを破棄し,M個ごとのサンプルだ
け保持する.



  (1)    ( 2)
  z , z ,  は高い相関があるため
Metropolisアルゴリズム
• 2次元ガウス分布
  からサンプリング
  する例
• 提案分布は標準
  偏差0.2の等方ガ
  ウス分布
ランダムウォークの性質
• 整数を状態とし,以下の遷移確率を持つ状態空
  間zの例


                             0.5
                                                 0.5
       ( 1)        ( )
 pz             z
 pz                         1  0.25
       ( 1)        ( )                 0.25              0.25
                z
 pz   ( 1)
                 z ( )     1  0.25
                                                     ( )
                                                 z
ランダムウォークの性質
• z   ( 0)
              0 の時,
                0
             Ez   ( )
                              / 2
                         E z   ( ) 2



             イメージ図




                                        0

                          に比例する距離しか探索が進まない
  MCMCの設計において,ランダムウォーク的性質を避けるのが重要!
11.2.1 マルコフ連鎖
    求めたい分布をサンプリングするために満たす
    べきマルコフ連鎖の性質
     1. 求めたい分布 p(z) が不変となるようなマルコフ連鎖(詳細釣
        り合い条件)
     2. m   の時,初期分布p (z ) の選択に関わらず,分布p ( z )
                              (0)           (m )


        が求めたい不変分布    p * (z ) に収束する(エルゴード性)

                 p (z (1) | z ( 0 ) )                               p (z ( m 1) | z ( m ) )



p(z ( 0) )                                    p ( z (m ) )                                            p* (z )
             z (0)                  z   (1)
                                                         z   (m )
                                                                                        z   ( m 1)
マルコフ連鎖
        ( m 1)                                             ( m 1)
p(z                        (1)
                   | z ,, z     (m)
                                       )  p(z                            |z   (m)
                                                                                     )   (11.37)




    p (z (1) | z ( 0 ) )                          p (z ( m 1) | z ( m ) )




z (0)                  z   (1)
                                       z   (m )
                                                                      z   ( m 1)
マルコフ連鎖
遷移確率:
   Tm (z ( m1) , z ( m) )  p(z ( m1) | z ( m) )




     T1 (z (1) , z ( 0) )                 Tm (z ( m1) , z ( m) )




 z (0)                  z   (1)
                                   z   (m )
                                                             z   ( m 1)
マルコフ連鎖
遷移確率:
   Tm (z ( m1) , z ( m) )  p(z ( m1) | z ( m) )
均一マルコフ連鎖:

Tm (z    ( m1)
                  ,z   ( m)
                              )  Tm1 (z   ( m)
                                                   ,z   ( m1)
                                                                 )    T (z, z)

          T (z, z)                                         T (z, z)




 z (0)                  z     (1)
                                              z    (m )
                                                                        z   ( m 1)
マルコフ連鎖
不変分布:
分布がマルコフ連鎖の各ステップで変わらない

  p (z ( m 1) )   p (z ( m 1) | z ( m ) ) p (z ( m ) )   (11.38)
                   z(m)




          p* (z )   T (z, z ) p* (z)                     (11.39)
                          z
                               均一マルコフ連鎖
マルコフ連鎖
詳細釣り合い条件:
p * (z ) が不変分布であるための十分条件

     p * (z )T (z, z)  p * (z)T (z, z )   (11.40)




         p* (z )   T (z, z ) p* (z)       (11.39)
                    z
マルコフ連鎖
詳細釣り合い条件:
p * (z ) が不変分布であるための十分条件

     p * (z )T (z, z)  p * (z)T (z, z )           (11.40)




     p (z
     z
          *
           )T (z, z )   p * (z )T (z, z)
                               z
                                                      (11.41)


               p * ( z ) p ( z | z )  p * ( z )
                         z
マルコフ連鎖
    求めたい分布をサンプリングするために満たす
    べきマルコフ連鎖の性質
     1. 求めたい分布 p(z) が不変となるようなマルコフ連鎖(詳細釣
        り合い条件)
     2. m   の時,初期分布p (z ) の選択に関わらず,分布p ( z )
                              (0)           (m )


        が求めたい不変分布    p * (z ) に収束する(エルゴード性)

                 p (z (1) | z ( 0 ) )                               p (z ( m 1) | z ( m ) )



p(z ( 0) )                                    p ( z (m ) )                                            p* (z )
             z (0)                  z   (1)
                                                         z   (m )
                                                                                        z   ( m 1)
マルコフ連鎖
求めたい分布をサンプリングするために満たす
べきマルコフ連鎖の性質
1. 求めたい分布 p(z) が不変となるようなマルコフ連鎖(詳細釣
   り合い条件)
2. m   の時,初期分布p (z ) の選択に関わらず,分布p ( z )
                         (0)           (m )


   が求めたい不変分布    p * (z ) に収束する(エルゴード性)




 このとき不変分布をただ1つだけ持つ(=平衡分布)
遷移確率
• 遷移確率を「基本」遷移の組から構築する
組み合わせ その1
                    K
       T (z, z )    k Bk (z, z )   (11.42)
                   k 1
                          重み   基本遷移


Bk ( z , z )が詳細釣り合い条件満たすとき,T (z, z) も満たす.
遷移確率
 • 遷移確率を「基本」遷移の組から構築する
   組み合わせ その2

 T (z, z)    B1 (z, z1 )  BK 1 (z K 2 , z K 1 ) BK (z K 1 , z)
              z1    z K 1
                                                                (11.43)


  Bk ( z , z ) が詳細釣り合い条件満たしても, (z, z) も満た
                               T
  すとは限らない.

B1 ,, BK , BK ,, B1 の形に対称化することで,満たされるようになる.
遷移確率
 • B1 ,, BK , BK ,, B1 の形に対称化した場合の詳細
   釣り合い条件の展開(K=2の例)
p (z)T (z, z )   p (z) B1 (z, z1 ) B2 (z1 , z 2 ) B2 (z 2 , z1 ) B1 (z1 , z )
                    z1   z2

                  B1 (z1 , z) p (z1 ) B2 (z1 , z 2 ) B2 (z 2 , z1 ) B1 (z1 , z )
                    z1   z2

                  B1 (z1 , z) B2 (z 2 , z1 ) p (z 2 ) B2 (z 2 , z1 ) B1 (z1 , z )
                    z1   z2

                  B1 (z1 , z) B2 (z 2 , z1 ) B2 (z1 , z 2 ) B1 (z, z1 ) p (z )
                    z1   z2

                 p (z )T (z, z)
                                       Thanks to @shuyoさん @shima__shimaさん
確率遷移
• 合成遷移確率の使用例
 – それぞれの基本遷移がある変数の部分集合だ
   け変更する
       z1     B1 (z, z)
       
        
  z   zk     Bk ( z , z )
       
        
      z 
       K      BK (z, z)
11.2.2 Metropolis-Hastings
           アルゴリズム

この節で行うこと
•Metropolisアルゴリズムの提案分布を引数に対
 して非対称な関数へ一般化
•このアルゴリズムが求めたい分布からサンプリ
 ングを行うことを証明
•提案分布の選び方と収束時間の説明
Metropolis-Hastingsアルゴリズム
1. 現在の状態を     z ( ) とする
               ( )       *
2. 提案分布q (z | z ) からサンプル z を抽出す
   る
3. 単位区間[0-1]の一様分布から乱数uを選択し,
   uとAの大小を比較
                                ~(z* )qk (z ( ) | z * ) 
         *
    Ak z , z   ( )
                                   p
                           min1, ~ ( )
                                p (z )q (z* | z ( ) )  
                                                                  Metropolisアルゴリ
                                                                    ズムとの違い
                                         k               
                                                         ( 1)
 1. A>uの時,サンプルを受理し, z        z                                        *

 2. A≦uの時,サンプルを棄却し,  z ( 1)  z ( )
4. τ→∞で,目標分布に近づく
Metropolis-Hastingsアルゴリズム
                                  ~(z* )qk (z ( ) | z * ) 
         
     Ak z , z*   ( )
                                     p
                             min1, ~ ( )
                                  p (z )q (z* | z ( ) )  
                                           k               

 は,詳細釣り合い条件を満たす。

 p(z )qk (z | z ) Ak z, z   min p(z )qk (z | z ), p(z)qk (z | z) 
この分布         遷移確率              min p(z)qk (z | z), p(z )qk (z | z ) 
                                    p(z)qk (z | z) Ak z, z
が不変
提案分布の選択

現在の状態を中心としたガウス分布の例
分散が小さい場合:
• 受理率:高
• 状態空間の遷移:遅
              ステップ幅


                       長さの比=受理確率




              z ( )
提案分布の選択

現在の状態を中心としたガウス分布の例
分散が大きい場合:
• 受理率:低
• 状態空間の遷移:速
               ステップ幅


                       長さの比=受理確率




              z ( )
提案分布の選択

多変量ガウス分布の例
• 提案分布のスケールρは
  高い棄却率を招かない
  限り,できるだけ大きくす
  べき
    O( min )
• 元々の状態から,多少
  なりとも独立な状態を訪
  れるのに必要なステップ
  数のオーダー
   
 O ( max /  min ) 2   
まとめ
• マルコフ連鎖モンテカルロ
  – 高次元でも適用可能なサンプリングアルゴリズム
• マルコフ連鎖
  – MCMCを行うのに必要な遷移確率の条件
    • 詳細釣り合い条件
    • エルゴード性
• Metropolis-Hastingsアルゴリズム
  – 状態空間を拡散する速度と棄却率はトレードオフ
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