Đề thi thử Đại học môn Toán

1. ð THI TH TOÁN ð I H C - CAO ð NG
NGÀY 8 – THÁNG 6 - NĂM 2010
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7 ñi m)
Câu I (2 ñi m) Cho h m sè
1
12
−
+
=
x
x
y cã ®å thÞ (C).
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè .
2. Víi ®iÓm M bÊt kú thuéc ®å thÞ (C) tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t 2 tiÖm cËn t¹i Av B .
Gäi I l giao hai tiÖm cËn , T×m vÞ trÝ cña M ®Ó chu vi tam gi¸c IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
Câu II (2 ñi m) :
1. Gi i h phương trình:
2 2
2 2
12
12
x y x y
y x y
 + + − =

− =
2.Gi i phương trình: ( ) ( )3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − = .
Câu III: Tính di n tích c a mi n ph ng gi i h n b i các ñư ng
2
| 4 |y x x= − và 2y x= .
Câu IV (1 ñi m) Cho hình chóp c t tam giác ñ u ngo i ti p m t hình c u bán kính r cho trư c. Tính th tích hình
chóp c t bi t r ng c nh ñáy l n g p ñôi c nh ñáy nh .
Câu V (1 ñi m) Cho phương trình ( ) ( ) 341 2 1 2 1x x m x x x x m+ − + − − − =
Tìm m ñ phương trình có m t nghi m duy nh t.
PH N RIÊNG (3 ñi m): Thí sinh ch làm m t trong hai ph n (Ph n 1 ho c ph n 2)
1. Theo chương trình chu n.
Câu VI.a (2 ñi m)
1. Cho ∆ ABC có ñ nh A(1;2), ñư ng trung tuy n BM: 2 1 0x y+ + = và phân giác trong CD:
1 0x y+ − = . Vi t phương trình ñư ng th ng BC.
2. Cho ñư ng th ng (D) có phương trình:
2
2
2 2
x t
y t
z t
= − +

= −
 = +
.G i ∆ là ñư ng th ng qua ñi m
A(4;0;-1) song song v i (D) và I(-2;0;2) là hình chi u vuông góc c a A trên (D). Trong các m t ph ng qua ∆ ,
hãy vi t phương trình c a m t ph ng có kho ng cách ñ n (D) là l n nh t.
Câu VII.a (1 ñi m) Cho x, y, z là 3 s th c thu c (0;1]. Ch ng minh r ng
1 1 1 5
1 1 1xy yz zx x y z
+ + ≤
+ + + + +
2. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 ñi m)
1. Cho hình bình hành ABCD có di n tích b ng 4. Bi t A(1;0), B(0;2) và giao ñi m I c a hai ñư ng chéo n m
trên ñư ng th ng y = x. Tìm t a ñ ñ nh C và D.
2. Cho hai ñi m A(1;5;0), B(3;3;6) và ñư ng th ng ∆ có phương trình tham s
1 2
1
2
x t
y t
z t
= − +

= −
 =
.M t ñi m M thay
ñ i trên ñư ng th ng ∆ , tìm ñi m M ñ chu vi tam giác MAB ñ t giá tr nh nh t.
Câu VII.b (1 ñi m) Cho a, b, c là ba c nh tam giác. Ch ng minh
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b
 
+ + + + < 
+ + + + + + 
----------------------H t----------------------
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. Kú thi thö ®¹i häc- cao ®¼ng n¨m 2010
H−íng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u Néi dung §iÓm
I.1
Kh¶o s¸t h m sè y=
1
12
−
+
x
x 1,00
1. TËp x¸c ®Þnh: R{1}
2. Sù biÕn thiªn:
+ ChiÒu biÕn thiªn: 22
)1(
3
)1(
)12()1(2
'
−
−
=
−
+−−
=
xx
xx
y
H m sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞; 1) v (1;+∞)
. Cùc trÞ : H m sè ® cho kh«ng cã cùc trÞ
0,25
. TiÖm cËn: −∞=
−
+
= −
− →→ 1
12
limlim
11 x
x
y
xx
+∞=
−
+
= +
+ →→ 1
12
limlim
11 x
x
y
xx
Do ®ã ®−êng th¼ng x=1 l tiÖm cËn ®øng
2
1
12
limlim =
−
+
=
±∞→±∞→ x
x
y
xx
VËy ®−êng th¼ng y= 2 l tiÖm cËn ngang
0,25
* B¶ng biÕn thiªn:
x -∞ 1 +∞
y' - -
y 2
-∞
+∞
2
3* §å thÞ : HS tù vÏ ®å thÞ h m sè.
0,5
I.2 Víi M bÊt k× ∈ (C), tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t 2 tiÖm cËn t¹i A, B. T×m M ®Ó chu vi tam gi¸c
IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 1,00
Gäi M 





−
+
1
3
2;
0
0
x
x ∈(C)
* TiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng:
1
3
2)(
)1(
3
0
02
0 −
++−
−
−
=
x
xx
x
y
Thi thử Đại học www.toanpt.net

3. C©u Néi dung §iÓm
TiÕp tuyÕn t¹i M c¾t hai tiÖm cËn t¹i A v B nªn täa ®é A; B cã d¹ng l : A






−
+
1
6
2;1
0x
B(2x0-1; 2) ; I(1; 2)
* Ta cã: S∆IAB=
2
1
. IA. IB= 63.212
1
6
2
1
0
0
==−⋅
−
⋅ x
x
(®vdt)
0,25
0,25
* ∆IAB vu«ng cã diÖn tÝch kh«ng ®æi => chu vi ∆IAB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt khi IA= IB
(HS tù chøng minh).




−=
+=
⇒−=
− 31
31
12
1
6
0
0
0
0 x
x
x
x
* VËy cã hai ®iÓm M tháa m n ®iÒu kiÖn
M1( 32;31 ++ )
M2( 32;31 −− )
Khi ®ã chu vi ∆AIB = 6234 +
0,5
Câu Ý N i dung ði
m
II 2,00
1 1,00
1) CâuII:2. Gi i phương trình:
( ) ( )3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0x x c x c x x+ − − + − − = .
3)sincos.3(833cos36cos.32cos.sin6cos.sin2
033)sincos.3(82cos.33cos.32)3(cos2sin
232
3
−−++−−+⇔
=−−+−−+
xxxxxxxx
xxxxxx
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2
=−+−−−−⇔ xxxxxxxx





=
=
=
⇔




=−+
=−
⇔
=+−−−⇔
)(4cos
1cos
3tan
04cos3cos
0sincos3
0)8cos6cos2)(sincos3(
2
2
loaix
x
x
xx
xx
xxxx
Ζ∈




=
+=
⇔ k
kx
kx
,
2
3
π
π
π
0,50
1 1,00
ði u ki n: | | | |x y≥
ð t
2 2
; 0u x y u
v x y
 = − ≥

= +
; x y= − không th a h nên xét x y≠ − ta có
2
1
2
u
y v
v
 
= − 
 
.
H phương trình ñã cho có d ng:
0,25
Thi thử Đại học www.toanpt.net

4. 2
12
12
2
u v
u u
v
v
+ =

 
− = 
 
4
8
u
v
=
⇔ 
=
ho c
3
9
u
v
=

=
+
2 2
4 4
8 8
u x y
v x y
= − =
⇔ 
= + = 
(I)
+
2 2
3 3
9 9
u x y
v x y
= − =
⇔ 
= + = 
(II)
0,25
Sau ñó h p các k t qu l i, ta ñư c t p nghi m c a h phương trình ban ñ u là
( ) ( ){ }5;3 , 5;4S =
1,00
III 0,25
Di n tích mi n ph ng gi i h n b i: 2
| 4 | ( )y x x C= − và ( ): 2d y x=
Phương trình hoành ñ giao ñi m c a (C) và (d):
2 2 2
2 2
0 0 0
| 4 | 2 24 2 6 0
64 2 2 0
x x x
x x x xx x x x x
xx x x x x
≥ ≥  =
   − = ⇔ ⇔ ⇔ =− = − =      =− = − − =   
Suy ra di n tích c n tính:
( ) ( )
2 6
2 2
0 2
4 2 4 2S x x x dx x x x dx= − − + − −∫ ∫
0,25
Tính: ( )
2
2
0
| 4 | 2I x x x dx= − −∫
Vì [ ] 2
0;2 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤ nên 2 2
| 4 | 4x x x x− = − + ⇒ ( )
2
2
0
4
4 2
3
I x x x dx= − + − =∫
0,25
Tính ( )
6
2
2
| 4 | 2K x x x dx= − −∫
Vì [ ] 2
2;4 , 4 0x x x∀ ∈ − ≤ và [ ] 2
4;6 , 4 0x x x∀ ∈ − ≥ nên
( ) ( )
4 6
2 2
2 4
4 2 4 2 16K x x x dx x x x dx= − − + − − = −∫ ∫ .
0,25
V y
4 52
16
3 3
S = + =
1,00
IV 0,25
Thi thử Đại học www.toanpt.net

5. G i H, H’ là tâm c a các tam giác ñ u ABC, A’B’C’. G i I, I’ là trung ñi m c a AB,
A’B’. Ta có: ( ) ( ) ( )' ' ' ' '
'
AB IC
AB CHH ABB A CII C
AB HH
⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥
⊥
Suy ra hình c u n i ti p hình chóp c t này ti p xúc v i hai ñáy t i H, H’ và ti p xúc v i
m t bên (ABB’A’) t i ñi m 'K II∈ .
0,25
G i x là c nh ñáy nh , theo gi thi t 2x là c nh ñáy l n. Ta có:
1 3 1 3
' ' ' ' ' ;
3 6 3 3
x x
I K I H I C IK IH IC= = = = = =
Tam giác IOI’ vuông O nên: 2 2 2 23 3
' . . 6r
6 3
x x
I K IK OK r x= ⇒ = ⇒ =
0,25
Th tích hình chóp c t tính b i: ( )' . '
3
h
V B B B B= + +
Trong ñó:
2 2 2
2 24x 3 3 3r 3
3 6r 3; ' ; 2r
4 4 2
x
B x B h= = = = = =
0,25
T ñó, ta có:
2 2 3
2 22r 3r 3 3r 3 21r . 3
6r 3 6r 3.
3 2 2 3
V
 
 = + + =
 
 
0,25
VIa 2,00
1 1,00
ði m ( ): 1 0 ;1C CD x y C t t∈ + − = ⇒ − .
Suy ra trung ñi m M c a AC là
1 3
;
2 2
t t
M
+ − 
 
 
.
0,25
ði m ( )
1 3
: 2 1 0 2 1 0 7 7;8
2 2
t t
M BM x y t C
+ − 
∈ + + = ⇒ + + = ⇔ = − ⇒ − 
 
0,25
0,25
T A(1;2), k : 1 0AK CD x y⊥ + − = t i I (ñi m K BC∈ ).
Suy ra ( ) ( ): 1 2 0 1 0AK x y x y− − − = ⇔ − + = .
Thi thử Đại học www.toanpt.net

6. T a ñ ñi m I th a h : ( )
1 0
0;1
1 0
x y
I
x y
+ − =
⇒
− + =
.
Tam giác ACK cân t i C nên I là trung ñi m c a AK ⇒ t a ñ c a ( )1;0K − .
ðư ng th ng BC ñi qua C, K nên có phương trình:
1
4 3 4 0
7 1 8
x y
x y
+
= ⇔ + + =
− +
2
G i (P) là m t ph ng ñi qua ñư ng th ng ∆ , thì
( )//( )P D ho c ( ) ( )P D⊃ . G i H là hình chi u
vuông góc c a I trên (P). Ta luôn có IH IA≤ và
IH AH⊥ .
M t khác
( ) ( )( ) ( )( )
( )
, ,d D P d I P IH
H P
 = =

∈
Trong m t ph ng ( )P , IH IA≤ ; do ñó axIH = IA H Am ⇔ ≡ . Lúc này (P) v trí (P0) vuông
góc v i IA t i A.
Vectơ pháp tuy n c a (P0) là ( )6;0; 3n IA= = −
r uur
, cùng phương v i ( )2;0; 1v = −
r
.
Phương trình c a m t ph ng (P0) là: ( ) ( )2 4 1. 1 2x - z - 9 = 0x z− − + = .
VIIa
ð ý r ng ( ) ( ) ( )( )1 1 1 0xy x y x y+ − + = − − ≥ ;
và tương t ta cũng có
1
1
yz y z
zx z x
+ ≥ +

+ ≥ +
0,25
Vì v y ta có:
( )
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
3
1 zx+y
1
5
1
1 5
5
x y z
x y z
xy yz zx yz zx xy
x y z
yz xy z
z y
x
yz zx y xy z
z y
x
z y y z
 
+ + + + ≤ + + + + + 
+ + + + + + 
≤ + + +
+ +
 
= − − + 
+ + + 
 
≤ − − + 
+ + 
=
vv
1,00
Thi thử Đại học www.toanpt.net

7. Ta có:
( )1;2 5AB AB= − ⇒ =
uuur
.
Phương trình c a AB là:
2 2 0x y+ − = .
( ) ( ): ;I d y x I t t∈ = ⇒ . I là
trung ñi m c a AC và BD nên
ta có:
( ) ( )2 1;2 , 2 ;2 2C t t D t t− − .
0,25
M t khác: D . 4ABCS AB CH= = (CH: chi u cao)
4
5
CH⇒ = . 0,25
Ngoài ra: ( )
( ) ( )
4 5 8 8 2
; , ;| 6 4 | 4
3 3 3 3 3;
5 5
0 1;0 , 0; 2
t C Dt
d C AB CH
t C D
    
= ⇒−    
= ⇔ = ⇔    
 = ⇒ − −
V y t a ñ c a C và D là
5 8 8 2
; , ;
3 3 3 3
C D
   
   
   
ho c ( ) ( )1;0 , 0; 2C D− −
0,50
2 1,00
G i P là chu vi c a tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không ñ i nên P nh nh t khi và ch khi AM + BM nh nh t.
ðư ng th ng ∆ có phương trình tham s :
1 2
1
2
x t
y t
z t
= − +

= −
 =
.
ði m M ∈∆ nên ( )1 2 ;1 ;2M t t t− + − .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22 2 2 22
22 2 2 22
2 22 2
2 2 4 2 9 20 3 2 5
4 2 2 6 2 9 36 56 3 6 2 5
3 2 5 3 6 2 5
AM t t t t t
BM t t t t t t
AM BM t t
= − + + − − + = + = +
= − + + − − + − + = − + = − +
+ = + + − +
0,25
Trong m t ph ng t a ñ Oxy, ta xét hai vectơ ( )3 ;2 5u t=
r
và ( )3 6;2 5v t= − +
r
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
22
22
| | 3 2 5
| | 3 6 2 5
u t
v t

= +

 = − +

r
r
Suy ra | | | |AM BM u v+ = +
r r
và ( )6;4 5 | | 2 29u v u v+ = ⇒ + =
r r r r
M t khác, v i hai vectơ ,u v
r r
ta luôn có | | | | | |u v u v+ ≥ +
r r r r
Như v y 2 29AM BM+ ≥
0,25
ð ng th c x y ra khi và ch khi ,u v
r r
cùng hư ng
3 2 5
1
3 6 2 5
t
t
t
⇔ = ⇔ =
− +
( )1;0;2M⇒ và ( )min 2 29AM BM+ = .
0,25
Thi thử Đại học www.toanpt.net

8. V y khi M(1;0;2) thì minP = ( )2 11 29+ 0,25
VIIb 1,00
Vì a, b, c là ba c nh tam giác nên:
a b c
b c a
c a b
+ >

+ >
 + >
.
ð t ( ), , , , 0 , ,
2 2
a b c a
x y a z x y z x y z y z x z x y
+ +
= = = > ⇒ + > + > + > .
V trái vi t l i:
2
3 3 2
a b a c a
VT
a c a b a b c
x y z
y z z x x y
+ +
= + +
+ + + +
= + +
+ + +
0,50
Ta có: ( ) ( )
2
2
z z
x y z z x y z z x y
x y z x y
+ > ⇔ + + < + ⇔ >
+ + +
.
Tương t :
2 2
; .
x x y y
y z x y z z x x y z
< <
+ + + + + +
Do ñó:
( )2
2
x y zx y z
y z z x x y x y z
+ +
+ + < =
+ + + + +
.
T c là:
1 1 2
2
3 3 2 3 3
b c
a
a b a c a b c a c a b
 
+ + + + < 
+ + + + + + 
0,50
V.Phương trình ( ) ( ) 341 2 1 2 1x x m x x x x m+ − + − − − = (1)
ði u ki n : 0 1x≤ ≤
N u [ ]0;1x∈ th a mãn (1) thì 1 – x cũng th a mãn (1) nên ñ (1) có nghi m duy nh t thì c n có ñi u ki n
1
1
2
x x x= − ⇒ = . Thay
1
2
x = vào (1) ta ñư c:
3 01 1
2. 2.
12 2
m
m m
m
=
+ − = ⇒ 
= ±
* V i m = 0; (1) tr thành:
( )
2
4 4 1
1 0
2
x x x− − = ⇔ =
Phương trình có nghi m duy nh t.
* V i m = -1; (1) tr thành
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
4
4
2 2
4 4
1 2 1 2 1 1
1 2 1 1 2 1 0
1 1 0
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
+ − − − − − = −
⇔ + − − − + + − − − =
⇔ − − + − − =
+ V i 4 4 1
1 0
2
x x x− − = ⇔ =
+ V i
1
1 0
2
x x x− − = ⇔ =
Trư ng h p này, (1) cũng có nghi m duy nh t.
Thi thử Đại học www.toanpt.net

9. H T
* V i m = 1 thì (1) tr thành:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 441 2 1 1 2 1 1 1x x x x x x x x x x+ − − − = − − ⇔ − − = − −
Ta th y phương trình (1) có 2 nghi m
1
0,
2
x x= = nên trong trư ng h p này (1) không có nghi m duy
nh t.
V y phương trình có nghi m duy nh t khi m = 0 và m = -1.
Thi thử Đại học www.toanpt.net