O documento discute conceitos de dinâmica de veículos, incluindo vibrações livres de sistemas de um grau de liberdade, resposta a excitações harmônicas e integração numérica. Também aborda análise modal para determinar frequências naturais e modos de vibração de sistemas de vários graus de liberdade.

1. DINÂMICA DE VEÍCULOS
1/2014
Profa. Suzana Moreira Avila, DSc

2. Noções de Vibrações
AULA 2

3. Sumário
 Vibrações livres de Sistemas de um grau de liberdade
(S1GDL)
 Resposta de S1GDL a excitações harmônicas
 Integração numérica da resposta do SIGDL

4. Vibrações livres de S1GDL
• Vimos que um sistema de 1GDL é descrito pela
seguinte equação de movimento
(1)
onde m, c e k representam, respectivamente a
massa, o amortecimento e a rigidez do sistema.
• Dividindo-se a equação (1) por m obtemos
(2)
)(
...
tpkuucum 
)(2
2
2
...
tp
k
uuu n
nn 











5. Vibrações livres de S1GDL
onde e
onde (coeficiente de amortecimento crítico)
é a freqüência natural de vibração com unidade em
radianos por segundo
é o fator de amortecimento
m
k
n 
2

crc
c

n
ncr
k
mc


2
2 
n


6. Vibrações livres de S1GDL
• A freqüência natural de vibração e a taxa de
amortecimento são parâmetros muito
importantes na determinação da resposta de
um S1GDL
• Considere que o sistema descrito pela
equação (1) seja submetido a um par de
condições iniciais de deslocamento e
velocidade
0
..
0
)0(
)0(
uu
uu



7. Vibrações livres de S1GDL
• A solução da equação (1), a resposta total,
consiste na soma linear de duas partes distintas,
uma resposta forçada relacionada à excitação e
uma resposta natural associada às condições
iniciais
• Na literatura matemática a solução geral de uma
EDO é a soma da solução particular mais a
solução complementar
)()()( tututu cp 

8. Vibrações livres de S1GDL
• No caso de vibrações livres fazemos com que
p(t)=0, a equação (2) toma a forma:
• Considerando o amortecimento nulo, a
equação de movimento livre não-amortecida
é a seguinte:
02
2
...
 uuu nn 
0
2
..
 uu n

9. Vibrações livres de S1GDL
• A equação característica correspondente é
• e suas raízes são
• a solução geral então toma a forma
• ou
022
 ns 
nis 2,1
titi nn
eCeCu  
 21
tAtAu nn  sincos 21 

10. Vibrações livres de S1GDL
• A1 e A2 podem ser obtidas a partir das condições
iniciais, então temos
• Teoricamente este movimento continuaria
indefinidamente. Na prática todo sistema possui
algum nível de amortecimento, que dissipa
energia, e reduz a amplitude ao longo do tempo.
t
u
tuu n
n
n 

 sincos
0
.
0










11. Vibrações livres de S1GDL
• Considere, portanto, a vibração livre de um
S1GDL com amortecimento viscoso linear
• Assumindo uma solução na forma
• obtém-se a equação característica
02
2
...
 uuu nn 
st
Ceu 
02
22
 nnss 

12. Vibrações livres de S1GDL
• Cujas raízes s1,2 são dadas por
• A magnitude do fator de amortecimento
caracteriza três casos distintos:
• subamortecido:
• criticamente amortecido:
• Superamortecido:
12
2,1   nns
10  
1
1

13. Vibrações livres de S1GDL
• O caso mais comum na prática, é o caso
subamortecido com taxas de amortecimento
entre 0.5% e 5%.
• Neste caso definimos a freqüência natural
amortecida
A evolução da resposta, neste caso, tem a forma
2
1   nD

















 
t
uu
tuetu D
D
n
D
tn




sincos)( 00
.
0

14. Vibrações livres de S1GDL

15. Resposta do SIGDL a excitações
harmônicas
• Caso não-amortecido (ζ=0)
tpkuum  cos0
..
n
nn
r
k
p
U
tAtAt
r
U
u













0
0
212
0
sincoscos
1

16. Resposta do SIGDL a excitações
harmônicas

17. Resposta do SIGDL a excitações
harmônicas
• Caso amortecido
• α é o ângulo de fase entre a resposta permanente e a
excitação
tpkuucum  cos0
...
    
   
2
212/1
222
0
1
2
tan
sincoscos
21
r
r
tAtAet
rr
U
u DD
tn




 






18. Resposta do SIGDL a excitações
harmônicas

19. Integração numérica da resposta do
SIGDL
• Em muitos casos de análise a excitação dinâmica p(t)
não possui uma expressão matemática bem definida
como é o caso das excitações harmônicas.
• Neste casos não é possível obter uma solução exata
para a equação de movimento.
• Lança-se mão portanto de algoritmos numéricos para
integrar estas equações de movimento e obter a
evolução da resposta no tempo.
• Estes algoritmos são conhecidos na literatura como
métodos de integração numérica “passo à passo”.

20. Integração numérica da resposta do
SIGDL
• Exemplos de métodos de integração
numérica:
1. Soma simples
2. Regra Trapezoidal
3. Regra de Simpson

21. Análise Modal
• A análise modal de um sistema de vários graus
de liberdade (SVGL) fornece grandezas
características do sistema que são as suas
frequências naturais de vibração e respectivos
modos de vibração associados.
• Estas propriedades são intrínsecas ao sistema
e estão relacionadas ao material e a
geometria do mesmo.
Profa. Suzana Moreira Avila

22. • A análise modal pode ser realizada
experimentalmente através de testes onde o
sistema é monitorado através de sensores,
como por exemplo acelerômetros, e sofre
uma perturbação externa como fonte de
excitação.
Profa. Suzana Moreira Avila
Análise Modal

23. • Frequências naturais e modos de vibração
associados podem ainda ser determinados
numericamente.
• A solução do problema de vibração livre
fornece estas características do sistema.
• Não há ação de forças externas e o
movimento é governado apenas pelas
condições iniciais.
Profa. Suzana Moreira Avila
Análise Modal

24. • Um sistema de vários graus de liberdade não-
amortecido submetido a vibrações livres é
governado pelas equações de movimento:
𝑴 𝒖 𝑡 + 𝑲𝒖 𝑡 = 𝟎 (1)
• O sistema é submetido ao conjunto de
condições iniciais:
𝒖 = 𝒖 0 ; 𝒖 = 𝒖(0) (2)
Profa. Suzana Moreira Avila
Análise Modal

25. • Este sistema tem solução na forma:
𝒖 = 𝒖sin(𝜔𝑡 + 𝜙) (3)
• Substituindo (3) em (2), obtem-se:
−𝜔2
𝑴 𝒖 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝑲 𝒖 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 =0 (4)
• Que pode ser simplificado para o problema de
autovalor
Profa. Suzana Moreira Avila
Análise Modal

26. • Que pode ser simplificado para o problema de
autovalor
𝑲 − 𝜔2
𝑴 𝒖=0 (5)
• Este problema possui solução trivial 𝒖=0 e
somente possui soluções não triviais se
𝑲 − 𝜔2
𝑴 = 0 (6)
• A eq. (6) é conhecida como equação
característica.
Profa. Suzana Moreira Avila
Análise Modal

27. • As raízes da equação característica
determinam as n frequências naturais 𝜔 𝑛
(autovalores).
• Para cada 𝜔 𝑛 tem-se um vetor 𝒖
correspondente (autovetor).
• Os autovetores determinam os modos
naturais de vibração 𝜙 𝑛.
Profa. Suzana Moreira Avila
Análise Modal

28. • A matriz modal Φ é construída com n colunas,
onde cada coluna corresponde a um modo de
vibração do sistema.
• O modo fundamental é aquele associado à
frequência mais baixa.
• Os outros modos são chamados de
harmônicos.
• O movimento do sistema é dado pela
superposição dos harmônicos.
Profa. Suzana Moreira Avila
Análise Modal

29. Profa. Suzana Moreira Avila
Análise Modal
• Encontre as frequências naturais e os modos
de vibração do sistema massa-mola abaixo.
Considere k1 = 2k; k2 = k; m1 = 2m e m2 = m.

30. Profa. Suzana Moreira Avila
Modos de vibração de uma placa
biapoiada
Santos (2009)
f = 3,08 Hz
f = 4,37 Hz
f = 8,29 Hz

31. Profa. Suzana Moreira Avila
Análise Modal de um Chassi
Automotivo tipo Escada
Furtado (2013)

32. Profa. Suzana Moreira Avila
Análise Modal de um Chassi
Automotivo tipo Escada Furtado (2013)

33. Referências
• CRAIG R.R., Structural Dynamics, An Introduction to
Computer Methods, Wiley, 1981 – Capitulos 2 e 3
• Furtado D. C., Análise Estrutural de Chassis de
Veículos Automotivos, Trabalho de conclusão de
curso, FGA-UnB, 2013.
• Santos M.D.S., Análise numérica do controle de
vibrações em lajes de edifícios utilizando
amortecedores de massa sintonizados, Dissertação
de Mestrado, PECC-UnB, 2009.