1. รายวิชา หน่วยการเรียนรู้ที่ 4
ใบความรู้ท่ี 1
คณิตศาสตร์ การแปลงทางเรขาคณิต
(ค 22101)
ระดับชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ 2
การเล่ ือนขนาน
การเลื่อนขนานบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีการเลื่อนจุด
ทุกจุดไปบนระนาบตามแนวเส้นตรงในทิศทางเดียวกันและเป็นระยะทาง
ที่เท่ากันตามที่กำาหนด
ตัวอย่าง กำาหนดให้ ABC เป็นรูปต้นแบบ เมื่อเลื่อนขนาน
ABC ไปในทิศทางและระยะทางตามที่กำาหนดดังรูป แล้วแ A′B ′C ′ เป็น
ภาพที่ได้จากการเลื่อนขนาน
A L
S
B
P B′ P′
C C′
จากรูป จะเห็นว่า มีการเลื่อนจุด A ไปที่จุด A′ เลื่อนจุด B ไปที่จุด
B′ และ เลื่อนจุด C ไปที่จุด C′ ในทิศทางเดียวกันและเป็นระยะเท่า
กัน จะได้ว่า A′A′ , B ′B ′ และ C ′C ′ ขนานกันและยาวเท่ากัน
1

2. ถ้า P เป็นจุดใด ๆ บน ABC แล้วจะมี P′ บน A′B ′C ′ เป็น
จุดที่สมนัยกันกับจุด P และ PP ′ จะขนานและยาวเท่ากันกับความยาว
ของ AA′ , BB ′ และ CC ′ ด้วย
ในการบอกทิศทางและระยทางของการเลื่อนขนาน จะได้เวก
เตอร์ เป็นตัวกำาหนด
จากตัวอย่างข้างต้นอาจใช้เวกเตอร์ MN เพื่อบอกทิศทางและระยะทาง
A A′
ของการเลื่อนขนานดังรูป
B
P B′ P′
C C′
M N
เวกเตอร์ MN อาจเขียนแทนด้วย MN ซึ่ง จะมีทิศทางจากจุด
เริ่มต้น M ไปยังจุดสิ้นสุด N และมีขนาดเท่ากับความยาวของ
จากตัวอย่างการเลื่อนขนานข้างต้นจะได้ว่า
1. A′ A′ , B ′B ′ , C ′C ′ และ P ′P ′ จะขนานกันกับ MN MN
2. AA′ = BB ′ = CC ′ = PP ′ จะขนานกันกับ MN
การกำาหนดเวกเตอร์ของการเลื่อนขนานอาจให้จุดเริ่มต้นอยู่บนรูป
ต้นแบบหรืออยู่นอกรูปต้นแบบก็ได้
ในการเลื่อนขนาน เมือกำาหนดเวกเตอร์ของการเลื่อนขนานรูป
่
ต้นแบบมาให้ เราต้องวิเคราะห์ว่าจะต้องเลื่อนรูปต้นแบบไปในทิศทาง
ใด และเป็นระยะเท่าไร
ถ้าเวกเตอร์ของการเลื่อนขนานที่กำาหนดให้ขนานกับแกน X หรือ
แกน Y การเลื่อนขนานรูปต้นแบบก็จะกระทำาได้ง่าย แต่ถ้าเวกเตอร์ที่
2

3. กำาหนดให้นั้นไม่ขนานกับแกน X และแกน Y แล้ว เราอาจใช้วิธีดัง
ตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อช่วยในการหาภาพที่ได้จากการเลื่อนขนาน
ตัวอย่าง ให้นักเรียนพิจารณาการเลื่อนขนานจุด P ด้วย MN
Y
ต่อไปนี้
N 6
4
M
2 P•
X
- - - - 0 2 4 6
8 6 4 2
วิธีท่ี 1 เลื่อนจุด P ไปทางขวาตามแนวแกน X 4 หน่วยและ
เลื่อนขึ้นไปตามแนวแกน Y 3 หน่วย จะได้ตำาแหน่งของจุด P′ ดังรูป
3

4. N 6
P′
3 4
3
M 4
2 P 4
- - - - 0 2 4 6 X
8 6 4 2
4

5. รายวิชา หน่วยการเรียนรู้ที่ 4
แบบฝึ กพัฒนาการเรียน
คณิตศาสตร์ การแปลงทางเรขาคณิต
รูท่ี 1
้
(ค 22101)
ระดับชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ 2
การเล่ ือนขนาน
กำำหนด DEF จงเขียนภำพทีได้จำกกำรเลื่อนขนำน
่ DEF ด้วย
MN Y
D M
6
4 F
2 N
E
- - - 0 2 4 X
6
6 4 2
5

6. ร้ปแบบการประเมิน ดี พอใชู ควร
ปรับปรุง
ประเมินตนเอง
ประเมินผลจากครู
ประเมินผลจากผู้ปกครอง
ชื่อ.......................................................................................ชั้น....
.............เลขที..............
่
รายวิชา หน่วยการเรียนรู้ที่ 4
แบบทดสอบก่อนเรียน-
คณิตศาสตร์ การแปลงทางเรขาคณิต
หลังเรียนท่ี 1
(ค 22101)
ระดับชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ 2
การเล่ ือนขนาน
1. จงหาพิกัดของจุด (3,-1) ที่เกิดจากการเลื่อนขนานเดียวกับการส่ง
จุด B (-2,6) ไปยังจุด (6,2)
ก. (11,-5) ข. (13-4)
ค. (5,-5) ง. (0,-11)
2. จงหาพิกัดของจุด A (4,-2) ที่เกิดจากการเลื่อนขนานเดียวกันการ
ส่งจุด B (-1,5) ไปยังจุด B′
(5,1)
6

7. ก. (0,-8) ข. (2,-2)
ค. (10,-6) ง. (8,4)
3. ข้อใดจัดเป็นการเลื่อนขนาน
ก. เข็มนาฬิกาที่กำาลังเดิน
ข. เงาของต้นไม้ในลำาธาร
ค. รถไฟที่แล่นตรงไป
ง. ชิงช้าสวรรค์
4. เลื่อนจุด (5,7) ไปทางซ้าย 6 หน่วย จะเป็นจุดใด
ก. (5,13) ข. (11,7)
ค. (-1,7) ง. (-5,1)
5. เลื่อนจุด (-8,3) ไปทางซ้าย 4 หน่วย จะเป็นจุดใด
ก. (-8,7) ข. (-4,3)
ค. (-12,3) ง. (-8,-1)
ชื่อ.......................................................................................ชั้น....
.............เลขที..............
่
รายวิชา หน่วยการเรียนรู้ที่ 4
ใบความรู้ท่ี 2
คณิตศาสตร์ การแปลงทางเรขาคณิต
7

8. (ค 22101)
ระดับชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ 2
การสะทูอน
การสะท้อนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีเส้นตรง  ที่
ตรึงเส้นหนึ่งเป็นเส้นสะท้อน แต่ละจุด P บนระนาบจะมีจุด P′ เป็นภาพ
ที่ได้จากการสะท้อนจุด P โดยที่
1. ถ้าจุด P ไม่อยู่บนเส้นตรง  แล้วเส้นตรง  จะแบ่งครึ่งและตั้งฉาก
กับ PP ′
2. ถ้าจุด P อยู่บนเส้นตรง  แล้วจุด P และจุด P ′ เป็นจุดเดียวกัน
ตัวอย่างการสะท้อนที่มีเส้นตรง  เป็นเส้นสะท้อน
A
C 
C′
B
B′
A′
รูปเรขาคณิตที่สามารถหารอยพับและพับรูปทั้งสองข้างของรอย
พับให้ทับกันสนิทได้เรียกว่า รูปสมมาตรบนเส้น และเรียกรอยพับนั้นว่า
D C
P
แกนสมมาตร รูปสมมาตรบนเส้นแต่ละรูปอาจมีจำานวนแกนสมมาตรไม่
เท่ากัน เช่น E F
A Q B 8

9. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและเป็นรูปสมมาตรบนเส้นที่มี
แกนสมมาตร 4 เส้นได้แก่ AC , BD , EF และ PQ
รูปสมมาตรบนเส้นเป็นรูปที่เกิดจากการสะท้อน โดยมีแกน
สมมาตรเป็นเส้นสะท้อน
ในกรณีที่กำาหนดเส้นสะท้อนเป็นเส้นตรงที่ไม่ใช่แกน X หรือแกน
Y อาจหาพิกันของจุดที่เป็นภาพที่ได้จากการสะท้อนจุดที่กำาหนดให้
โดยพิจารณาดังนี้
ถ้าเส้นสะท้อนไม่ขนานกับแกน X และไม่ขนานกับแกน Y แต่
เป็นเส้นในแนวทแยง ให้ลากเส้นตรงผ่านจุดที่กำาหนดให้และตั้งฉากกับ
เส้นสะท้อน ภาพของจุดที่กำาหนดให้จะอยู่บนเส้นตั้งฉากที่สร้างขึ้น
และอยู่ห่างจากเส้นสะท้อนเป็นระยะเท่ากันกับที่จุดที่กำาหนดให้อยู่ห่าง
Y
จากเส้นสะท้อน เมื่อได้ภาพของจุดนั้นแล้วจึงหาพิกัด

ตัวอย่าง กำาหนดจุด P( -٣,٣), Q(٤,٠) และ R (-٤-,٣) มีเส้นตรง 
P 4
ผ่านจุด (-٢- ,٤) และ (١,٣) ดังรูป • (1,
•
(-3, 2 3)
-3)
Q (4,
• 0) X
- - - 0 2 4 6
6 4 2
• (-4, -
-2) 2
9
• -
R 4
(-3,

10. P ′, Q ′ R′
จากรูปหาพิกัดของจุด และ ซึ่งเป็นภาพที่ได้จากการ
สะท้อนจุด P, Q และ R ตามลำาดับดังนี้
Q′ Y
(-2,
6)
P 4
•
(-3, 2
-3)
Q (4,
R 6
- -
4
-
2
0 P ′ (1, 4
0)
6 X
(-6, - -1)
-1) 2
• - 10
R 4
(-3,
-4)

11. ١) ลากเส้นตรง m ١ ผ่านจุด P และให้ตั้งฉากกับเส้นสะท้อน 
٢) หาจุด P′ บนเส้นตรง m ١ ที่ทำาให้จุด P และจุด P′ อยู่ห่าง
จากเส้นตรง  เท่ากัน
٣) จากรูป จะได้พิกัดของจุด P ′ เป็น (١-,١)
٤) ในทำานองเดียวกัน เมื่อลากเส้นตรง m ٢ ผ่านจุด Q และให้
Q′ Q′
ตั้งฉากกับเส้นสะท้อน  แล้วหาจุด จะได้พิกัดของจุด เป็น (-٢,٦)
٥) ในทำานองเดียวกันเมื่อลากเส้นตรง m ٣ ผ่านจุด R และให้ตั้ง
ฉากกับเส้นสะท้อน  แล้วหาจุด R′ จะได้พิกัดของจุด R′ เป็น (-١- ,٦)
11

12. รายวิชา หน่วยการเรียนรู้ที่ 4
แบบฝึ กพัฒนาการเรียน
คณิตศาสตร์ การแปลงทางเรขาคณิต
รูท่ี 2
้
(ค ٢٢١٠١)
ระดับชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ ٢
การสะทูอน
ให้นักเรียนพิจารณาว่าข้อใดเป็นรูปสะท้อน และข้อใดเป็นรูปการเลื่อน
ขนาน
1. ………………………..
2. ……………………….
3. ……………………….
12

13. 4. ………………………..
ร้ปแบบการประเมิน ดี พอใชู ควร
ปรับปรุง
ประเมินตนเอง
ประเมินผลจากครู
ประเมินผลจากผู้ปกครอง
ชื่อ.......................................................................................ชั้น....
.............เลขที..............
่
13

14. รายวิชา หน่วยการเรียนรู้ที่ 4
แบบทดสอบก่อนเรียน-
คณิตศาสตร์ การแปลงทางเรขาคณิต
หลังเรียนท่ี 2
(ค 22101)
ระดับชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ 2
การสะทูอน
ให้นักเรียนทำาเครื่องหมายกากบาท (X) ลงหน้าข้อที่เป็นคำาตอบถูก
1. ข้อใดจัดเป็นการสะท้อน
ก. เงาของต้นไม้ในลำาธาร
14

15. ข. เข็มนาฬิกาที่กำาลังเดิน
ค. ชิงช้าสวรรค์
ง. รถไฟที่แล่นตรงไป
2. ถ้ารูปต้นแบบคือ แล้วภาพของ A′ ที่เกิดจากการสะท้อนโดยมี
แกน X
เป็นเส้นสะท้อน คือข้อใด
ก. ข.
ค. ง.
3. กำาหนด AB โดยมีแกน X เป็นเส้นสะท้อน จุด A มีพิกัดเป็น
(-3,4) และจุด B มีพิกัดเป็น
(4,-2) จงหาพิกัดของจุด A′ และ B ′
ก. A′ (-3,-4), B ′ (4,2)
ข. A′ (-3,4), B ′ (-4,2)
ค. A′ (3,4), B ′ (-4,-2)
ง. A′ (3,-4), B ′ (-4,2)
4 .ถ้ารูปหนึ่งเกิดจากการแปลงอีกรูปหนึ่ง โดยที่จุด P แปลงไปเป็นจุด
Y จุด Q แปลงไปเป็นจุด X และจุด R แปลงไปเป็นจุด Z ดังรูป
15

16. ก. การเลื่อนขนาน
ข. การหมุน
ค. การสะท้อน
ง. การสะท้อนและการหมุน
5. ข้อใดคือจุด S′ และ T′ ซึ่งเป็นภาพที่ได้จากการสะท้อน ST โดยมี
L
L เป็นเส้นสะท้อน S
ก. S ′ (0,1), T ′ (-4,2)
ข. S ′ (2,3), T ′ (6,2)
ค. S ′ (1,2), T ′ (5,1)
ง. S ′ (0,2), T ′ (-4,1)
16

17. ชื่อ.......................................................................................ชั้น....
.............เลขที..............
่
รายวิชา หน่วยการเรียนรู้ที่ 4
ใบความรู้ท่ี 3
คณิตศาสตร์ การแปลงทางเรขาคณิต
(ค 22101)
ระดับชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ 2
การหมุน
การหมุนบนระนาบเป็นการแปลงทางเรขาคณิตที่มีจุด O ที่ตรึงจุดหนึ่ง
เป็นจุดหมุนแต่ละจุด P บนระนาบ มีจด
ุ P′ เป็นภาพที่ได้จากการหมุน
จุด P รอบจุด O ตามทิศทางที่กำาหนดด้วยมุมที่มีขนาด k โดยที่
1) ถ้าจุด P ไม่ใช่จุด O แล้ว OP = OP ′ และขนานของ ˆ
POP ′ เท่ากับ
k
2) ถ้าจุด P เป็นจุดเดียวกันกับ O แล้ว P เป็นจุดหมุน
ตัวอย่าง จุดหมุน O อยู่บนรูปต้นแบบ
1)
17

18. ตัวอย่างที่ 1 ถ้า A′B ′C ′ เป็นภาพที่ได้จากการหมุน ABC ที่
กำาหนดให้ รอบจุดกำาเนิด O ตามเข็มนาฬิกาด้วยมุมขนาด 180 องศา
จงหา
A′, B ′ C′
1) พิกัดของจุด และ ซึ่งเป็นภาพที่ได้จากการหมุนจุด
A,B และ C ตามลำาดับ
2) ∆ A′B ′C ′ ซึ่งเป็นภาพที่ได้จากการหมุน ABC
18

19. แนวคิด จากโจทย์กำาหนดให้ O เป็นจุดหมุน และหมุน ABC
A′, B ′
ตามเข็มนาฬิกาด้วยมุมขนาด 180 องศา เราสามารถหาจุด และ
C′ ได้โดยการลากเส้นตรงผ่านจุดยอดมุมของ ABC กับจุดหมุน O
เพื่อให้เกิดมุมตรงซึ่งมีขนาด 180 องศา
A′, B ′ C′
เมื่อลาก AO , BO และ CO แล้วให้หาจุด และ ซึ่งแต่ละจุด
จะอยู่ห่างจากจุด O เป็นระยะที่เท่ากันกับระยะที่จุด A,B และ C อย่า
ห่างจากจุด O ตามลำาดับ
จากแนวคิด ทำาได้ดังนี้
A′, B ′ C′
1. หาพิกัดของจุด และ ดังนี้
- ลาก AO , BO และ CO
- ใช้ O เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี OA เขียนส่วนโค้งตัด OA ที่
จุด A′ จะได้ A′ (9,-5)
19

20. - ใช้ O เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี OB เขียนส่วนโค้งตัด OA ที่
จุด B ′ จะได้ B ′ (4,-5)
- ใช้ O เป็นจุดศูนย์กลางรัศมี OC เขียนส่วนโค้งตัด OC ที่
จุด C ′ จะได้ C ′ (4,-1)
A′, B ′ C′
นั่นคือ และ มีพิกัดเป็น (9,-5), (4,-5) และ (4,-1)
ตามลำาดับ
2. ลาก A′B ′ , B ′C ′ และ C ′A′ จะได้ A′B ′C ′ เป็นภาพที่ได้จากการ
หมุน ABC รอบจุดกำาเนิด O ตามเข็มนาฬิกาด้วยมุมขนาด 180
องศา
20

21. รายวิชา หน่วยการเรียนรู้ที่ 4
แบบฝึ กพัฒนาการเรียน
คณิตศาสตร์ การแปลงทางเรขาคณิต
รูท่ี 3
้
(ค 22101)
ระดับชั้น
มัธยมศึกษาปีที่ 2
การหมุน
P ′Q ′R ′S ′
: เป็นภาพที่ได้จาการหมุน PQRS ทวนเข็มนาฬิกา
ด้วยมุมที่มีขนาด 90 องศา
21

22. พิกัดของจุด P′ = (.....................)
Q′
พิกัดของจุด = (.....................)
พิกัดของจุด R′ = (.....................)
พิกัดของจุด S′ = (.....................)
ร้ปแบบการประเมิน ดี พอใชู ควร
ปรับปรุง
ประเมินตนเอง
ประเมินผลจากครู
ประเมินผลจากผู้ปกครอง
ชื่อ.......................................................................................ชั้น....
.............เลขที..............
่
รายวิชา หน่วยการเรียนรู้ที่ 4
แบบทดสอบก่อนเรียน-
คณิตศาสตร์ การแปลงทางเรขาคณิต
หลังเรียนท่ี 3
(ค 22101)
ระดับชั้น
22

23. มัธยมศึกษาปีที่ 2
การหมุน
1. ข้อใดคือภาพที่เกิดจากการหมุน รอบ
จากรูปที่กำาหนดให้ 90° ทวนเข็มนาฬิกา
ก. ข.
ค. ง.
2. รูปสามเหลี่ยม ABC จุด A มีพิกัดเป็น (3,0) จุด B มีพิกัดเป็น (5,1)
และจุด C มีพิกัดเป็น (2,3) จงหาพิกัดของจุด C บนภาพจากการหมุน
รูปสามเหลี่ยม ABC โดยหมุนรอบจุดกำาเนิดด้วยมุม 180°
ก. (2,3) ข. (2,-3)
ค. (-2,3) ง. (-2,-3)
3. รูปสามเหลี่ยม DEF จุด D มีพิกัดเป็น (3,0) จุด E มีพิกัดเป็น (5,1)
และ จุด F มีพิกัดเป็น (2,3) จงหาพิกัดของจุด E บนภาพจากการหมุน
รูปสามเหลี่ยม DEF โดยหมุนรอบจุดกำาเนิดด้วย 180°
ก. (5,-1)) ข. (-5,-1)
ค. (5,1) ง. (-5,1)
23

24. 4. ข้อใดเป็นการหมุน ABC โดยการหมุนเข็มนาฬิกา และมีจุด P
เป็นจุดหมุน เป็นมุม 90 องศา
ก. ข.
ค. ง.
5. ข้อใดจัดเป็นการหมุน
ก. เงาของต้นไม้ในลำาธาร
ข. เข็มนาฬิกาที่กำาลังเดิน
ค. ชิงช้าสวรรค์
ง. รถไฟที่แล่นตรงไป
ชื่อ.......................................................................................ชั้น....
.............เลขที..............
่
24

25. 25