Unidade 6 do temario de Matemáticas I de 1º Bacharelato

1. UNIDADE 6:
NÚMEROS COMPLEXOS

2. Conxuntos numéricos
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

3. Conxuntos numéricos
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Problema: Non todas as ecuacións
teñen solución dentro dalgún destes
conxuntos numéricos.

4. Conxuntos numéricos
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Por exemplo : a ecuación x2­6x+13=0.
Aplicando a fórmula, obtemos:
x=3± √ −16

5. Conxuntos numéricos
Faise necesario pois a ampliación do
conxunto dos números reais, aceptando,
dalgún xeito, as raíces cadradas dos
números negativos.

6. Conxuntos numéricos
O cálculo de raíces de negativos redúcese
a “darlle sentido” á √ −1

7. Conxuntos numéricos
O cálculo de raíces de negativos redúcese
a “darlle sentido” á √ −1
xa que, por exemplo,
√ −16=√ 16⋅( −1 ) =4 √ −1 ou
√ −5= √ 5⋅( −1 ) = √ 5 √ −1

8. Así,
√ −1
Chamaremos a unidade imaxinaria
e representarémolo coa letra i.

9. i= √ −1

10. Nos exemplos anteriores:
√ −16=√ 16⋅( −1 ) =4 √ −1=4 i
√ −5=√ 5⋅( −1 ) = √ 5 √ −1=√ 5 i

11. i= √ −1
e polo tanto
2
i=
3
i=
4
i=

12. Chamamos número complexo a unha
expresión da forma
a + bi
onde a e b son números reais.

13. Forma binómica
Esta forma de escribir un complexo
denomínase forma binómica porque ten
dúas compoñentes:
a é a parte real do número complexo, e
b é a parte imaxinaria.

14. Dous números complexos son iguais só se
teñen a mesma parte real e a mesma parte
imaxinaria.

15. Conxunto dos
números complexos
Ao conxunto dos números complexos
desígnámolo pola letra
ℂ

16. Conxunto dos
números complexos
ℂ= { a+ bi/a , b∈ℝ }

17. Máis definicións
●
●
Chamamos números imaxinarios a
aqueles números complexos que teñen
compoñente imaxinaria non nula.
Así, un número complexo ou é real ou é
imaxinario.

18. Máis definicións
●
●
Chamamos números imaxinarios puros
a aqueles imaxinarios que teñen parte real
nula.
Por exemplo:

19. Máis definicións
●
●
Chamamos números imaxinarios puros
a aqueles imaxinarios que teñen parte real
nula.
Por exemplo:
2
5i ,−3 i , i , √ 3 i, π i
3

20. Máis definicións
●
Os números complexos a+bi e –a–bi
chámanse …............

21. Máis definicións
●
Os números complexos a+bi e –a–bi
chámanse opostos.

22. Máis definicións
Os números complexos
z=a+ b i e ̄ =a−bi
z
chámanse …............

23. Máis definicións
Os números complexos
z=a+ b i e ̄ =a−bi
z
chámanse conxugados.

24. Exercicio 2
Obtén as solucións das seguintes ecuacións
e represéntaas:
a) x2+4=0
b) 3x2+27=0
2+6x+10=0
c) x

25. Exercicio 4
Sabemos que i2=–1. Calcula i3, i4, i5, i6, i20, i21,
i22, e dá despois un criterio para calcular o
valor de calquera potencia de i de expoñente
natural.

26. Representación gráfica
dos números complexos
●
Para representar os números complexos
temos que saír da recta real e “encher” o
plano: o plano complexo.

27. Representación gráfica
dos números complexos
●
Os números complexos represéntanse
nuns eixos cartesianos.

28. Representación gráfica
dos números complexos
●
●
Os números complexos represéntanse
nuns eixos cartesianos.
O eixo OX chámase eixo real e o OY
eixo imaxinario.

29. Representación gráfica
dos números complexos
●
●
●
Os números complexos represéntanse
nuns eixos cartesianos.
O eixo OX chámase eixo real e o OY
eixo imaxinario.
Un número complexo a+bi represéntase
mediante o punto (a,b), ao que
chamaremos o seu afixo, ou mediante un
vector de orixe (0,0) e extremo (a,b).

30. Representación gráfica
dos números complexos

31. Representación gráfica
dos números complexos
●
Os afixos dos números reais sitúanse
sobre o eixo real e os dos imaxinarios
puros sobre o eixo imaxinario.

32. Exercicio 1
Representa graficamente os seguintes
números complexos e di cales son reais,
cales imaxinarios e destes, cales son
imaxinarios puros:
1 5
+ i
5–3i
6
–1–i
2 4 –5i

33. Operacións con
números complexos
O resultado de sumar, restar, multiplicar ou
dividir dous números complexos é outro
número complexo que se obtén do seguinte
xeito:
Suma: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
Resta: (a+bi) – (c+di) = (a–c) + (b–d)i

34. Operacións con
números complexos
●
Produto: (a+bi)∙(c+di)=(ac–bd) + (ad+bc)i

35. Operacións con
números complexos
●
Produto: (a+bi)∙(c+di)=(ac–bd) + (ad+bc)i
O produto dun número complexo polo seu
conxugado é sempre un número real:
2–(bi)2=a2+b2
(a+bi)∙(a–bi)=a

36. Operacións con
números complexos
●
División: para dividir dous complexos,
multiplicamos
o
numerador
polo
conxugado do denominador:

37. Operacións con
números complexos
●
División: para dividir dous complexos,
multiplicamos
o
numerador
polo
conxugado do denominador:
a+ bi ( a+ bi ) · ( c−di ) ac+ bd bc−ad
=
= 2 2+ 2 2i
c+ di ( c+ di ) · ( c−di ) c + d
c +d

38. Propiedades das operacións
con números complexos
●
●
●
A suma de complexos ten as propiedades
asociativa e conmutativa.
Ten ademais un elemento neutro, o 0.
Todos os números complexos teñen
oposto.

39. Propiedades das operacións
con números complexos
●
●
●
O produto de complexos ten tamén as
propiedades asociativa e conmutativa.
Ten ademais un elemento neutro, o 1.
Todos os números complexos, agás o 0,
teñen inverso (o inverso de a+bi é 1/
(a+bi)).

40. Propiedades das operacións
con números complexos
●
Os números complexos teñen a
propiedade distributiva do produto
respecto da suma.

41. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR

42. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
O módulo dun número complexo z é a
lonxitude do vector mediante o que se
representa. Designámolo por |z|.

43. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
O argumento dun complexo z distinto de
0 é o ángulo que forma o vector co eixo
real. Designámolo por arg(z).

44. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR

45. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Se |z|=r e arg(z)=, o número complexo z
pode designarse así:
z =r.
Esta é a forma polar (ou módulo­
argumental) de escribir un número
complexo.

46. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR

47. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Un número complexo admite infinitos
argumentos:
r =r =r =...,

+360
+720
pero normalmente escolleremos como
argumento un ángulo entre 0° e 360°.

48. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Paso de forma binómica a polar:
Dado o complexo z=a+bi, podemos pasalo a
forma polar r :

r=∣z∣= √ a + b
2
2
(teorema de Pitágoras)
b
tan α=
a

49. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
Exercicio pasa a forma polar os complexos:
:
z 1=−2+ 2 √ 3 i
z 2 =i
z 3=−2

50. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Paso de forma polar a binómica:
Dado o complexo r , podemos pasalo a
forma binómica z=a+bi :

a=r⋅cos α
b=r⋅sen α

51. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Paso de forma polar a binómica:
Dado o complexo r
z =r∙cos +(r∙sen) i = r∙(cos + i sen).
A esta expresión tamén se lle chama forma
trigonométrica

52. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
Exercicio pasa a forma binómica:
:
z 1=5225˚
z 2 =40 ˚
z3 =3270 ˚

53. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Produto: o produto de dous números
complexos é outro número complexo que ten
como módulo o produto dos módulos dos
factores e como argumento a suma dos
argumentos dos factores

54. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Produto:
r ∙ r' = (r ∙ r') +

55. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Produto: demostrémolo:
r α · r 'β=r ( cos α+ i sen α ) · r ' ( cos β+ i senβ )

56. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Produto: demostrémolo:
r α · r 'β=r ( cos α+ i sen α ) · r ' ( cosβ+ i senβ ) =
r · r ' [ ( cos α cosβ−sen α senβ ) + i ( sen α cosβ+ cos α senβ ) ]

57. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Produto: demostrémolo:
r α · r 'β =r ( cos α+ i sen α ) · r ' ( cos β+ i senβ ) =
r · r ' [ ( cos α cosβ−sen α senβ ) + i ( sen α cosβ+ cos α senβ ) ] =
r · r ' [ cos ( α+ β ) + i sen ( α+ β ) ]

58. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Produto: demostrémolo:
r α · r 'β=r ( cos α+ i sen α ) · r ' ( cos β+ i senβ ) =
r · r ' [ ( cos α cosβ−senα senβ ) + i ( sen α cos β+ cos α senβ ) ] =
r · r ' [ cos ( α+ β ) + i sen ( α+ β ) ] =
( r · r ' ) α+ β

59. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Potencia: ao elevar un complexo r a un
expoñente natural n, o complexo resultante ten
módulo r n e argumento n.

60. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Potencia: demostrémolo:
n
( r n) n α
( r α ) =r α · r α · ... · r α=( r · r · ... · r ) α+ α+ ...+ α=

61. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Cociente: para dividir dous complexos,
divídense os seus módulos e réstanse os seus
argumentos.

62. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Cociente: para dividir dous complexos,
divídense os seus módulos e réstanse os seus
argumentos.
( )
rα
r
=
r 'β r '
, pois
α−β
( )
r
r'
( )
r
· r 'β= · r '
r'
α−β
=r α
α−β+ β

63. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
Exercicio Dados z1=460˚ e z2=3210˚, calcula:
:
z1∙z2
5
z1
4
z2
z2/z1

64. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Fórmula de Moivre. Aplicando as propiedades
da potencia dun número complexo, obtense a
seguinte fórmula:
n
( cos α+ i sen α ) =cos ( n α ) + i sen ( n α )

65. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
●
Operacións con complexos en forma polar
Fórmula de Moivre.
Usaremos esta fórmula para calcular cos(n) e
sen(n) en función de cos e sen.

66. 6.2. NÚMEROS COMPLEXOS
EN FORMA POLAR
Cun exemplo: calcula cos2 e sen2 mediante
a fórmula de Moivre.

67. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Un número complexo R ten n raíces n­ésimas.

68. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Un número complexo R ten n raíces n­ésimas.
●
Todas elas teñen o mesmo módulo.

69. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Un número complexo R ten n raíces n­ésimas.
●
Todas elas teñen o mesmo módulo.
●
Os seus argumentos son:
β
β 360˚
β 360˚
β 360 ˚
α 1= , α 2 = +
, α3 = +
· 2,... , α n= +
· ( n−1 )
n
n
n
n
n
n
n

70. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Para n>2, os afixos destas n raíces son os
vértices dun n­ágono regular con centro na
orixe de coordenadas.

71. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Para n>2, os afixos destas n raíces son os
vértices dun n­ágono regular con centro na
orixe de coordenadas.

72. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Para n>2, os afixos destas n raíces son os
vértices dun n­ágono regular con centro na
orixe de coordenadas.

73. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Exercicio resolto
.
Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.

74. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Exercicio resolto
.
Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.
8i = 890˚

75. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Exercicio resolto
.
Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.
8i = 890˚
●
3
√ 8=2
As raíces cúbicas van ter módulo

76. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Exercicio resolto
.
Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.
8i = 890˚
●
●
3
√ 8=2
As raíces cúbicas van ter módulo
Os argumentos son:
90 ˚
α1 =
=30˚
3

77. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Exercicio resolto
.
Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.
8i = 890˚
●
●
3
√ 8=2
As raíces cúbicas van ter módulo
Os argumentos son:
90˚ 360˚
90 ˚
α 2=
+
=150˚
α1 =
=30˚
3
3
3

78. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Exercicio resolto
.
Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.
8i = 890˚
●
●
3
√ 8=2
As raíces cúbicas van ter módulo
Os argumentos son:
90˚ 360˚
90 ˚
α 2=
+
=150˚
α1 =
=30˚
3
3
3
90 ˚
α 3=
+ 120 ˚⋅2=270˚
3

79. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Exercicio resolto
.
Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.
Polo tanto, as tres raíces cúbicas de 8i son:
230˚, 2150˚, 2270˚.

80. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Exercicio resolto
.
Calcular as raíces cúbicas de 8i e represéntaas.
Graficamente,

81. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Demostración
.
n
n
√ Rβ=r α ⇒ Rβ=( r α ) ⇒ Rβ=( r
n
)n α
⇒
{
n
n
R=r ⇒ r= √ R
β
β=n α⇒ α=
n

82. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Demostración
.
Aínda que o argumento dun complexo pode ser
tanto , como +360˚ ou +720 ,..., os
resultados de dividir estes ángulos entre n non
son iguais.
˚

83. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Demostración
.
Aínda que o argumento dun complexo pode ser
tanto , como +360˚ ou +720 ,..., os
resultados de dividir estes ángulos entre n non
son iguais.
˚
Imos estudar cantos resultados distintos
podemos ter:

84. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Demostración
.
Imos estudar cantos resultados distintos
podemos ter:
β+ 360˚⋅k
β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α=
, k∈ℤ
n

85. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Demostración
.
Imos estudar cantos resultados distintos
podemos ter:
β+ 360˚⋅k
β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α=
, k∈ℤ
n
β
Se k=0 ⇒ α1=
n

86. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Demostración
.
Imos estudar cantos resultados distintos
podemos ter:
β+ 360˚⋅k
β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α=
, k∈ℤ
n
β 360 ˚
Se k=1 ⇒ α 2= +
n
n

87. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Demostración
.
Imos estudar cantos resultados distintos
podemos ter:
β+ 360˚⋅k
β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α=
, k∈ℤ
n
β 360˚
Se k=2 ⇒ α3 = +
·2
n
n

88. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Demostración
.
Imos estudar cantos resultados distintos
podemos ter:
β+ 360˚⋅k
β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α=
, k∈ℤ
n
β 360 ˚
Se k=n−1 ⇒ αn= +
· ( n−1 )
n
n

89. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Demostración
.
Imos estudar cantos resultados distintos
podemos ter:
β+ 360˚⋅k
β+ 360˚⋅k=n α, k∈ℤ ⇒ α=
, k∈ℤ
n
β+ 360˚ · n β
Se k=n ⇒
= + 360˚=α1
n
n

90. 6.3. RADICACIÓN DE
COMPLEXOS
Exercicio
.
Calcula as raíces cuartas de z e represéntaas
graficamente:
1 √3
z=− −
i
2 2