1. Chapitre III
Contenu
III. Généralité sur les moteurs à air chaud.................................................................................. 2
III.1. Historique du moteur Stirling............................................................................................ 2
III.2 Principe de fonctionnement............................................................................................... 3
III.3 Les différents types de moteur Stirling .............................................................................. 4
III.3.4. Choix du type de moteur à réaliser................................................................................. 8
III.4 Déterminons la puissance mécanique utile que doit fournie le moteur.............................. 9
III .5. Choix du gaz de travail..................................................................................................... 9
III.6. Analyse cinématique du moteur...................................................................................... 11
III.7. Etude thermodynamique du moteur Stirling .................................................................. 13
III.8. Modélisation du moteur................................................................................................... 17
III.8.1.1 Expression de la pression instantanée ....................................................................... 20
III.8.1.2 Expression des échanges élémentaires de travail et de chaleur.................................. 22
III.8.1.4.5 Déterminons les puissances moyennes échangées .................................................. 27
III.8.2 Modélisation du second ordre ....................................................................................... 28
III.8.3.3 Bilan de puissance.................................................................................................... 30
III.8.4. Programme numérique de dimensionnement du moteur.............................................. 30
III.8.5.Dimensionnement du moteur ........................................................................................ 32

2. III. Généralité sur les moteurs à air chaud
Définition : Le moteur Stirling est un moteur à énergie externe. Le fluide principal est un gaz
soumis à un cycle comprenant 4 phases : chauffage isochore (à volume constant), détente
isotherme (à température constante), refroidissement isochore puis compression isotherme.
On l'appelait au début moteur à air chaud.
III.1. Historique du moteur Stirling
Au début du XIXe
siècle, les chaudières à vapeur explosaient assez souvent. Pour répondre à
ce problème, Robert Stirling imagina un moteur sans chaudière soumise à de trop fortes
pressions. La chaleur est apportée de l’extérieur de la machine, ce qui réduit les risques
d’explosions, car il est inutile de faire chauffer l’eau dans une chaudière à haute pression,
puisque chauffer l’air ambiant par combustion suffit pour alimenter ce moteur en énergie.
C'est ainsi que Stirling déposa son brevet le 27 septembre 1816. Également, la mise en place
d’un régénérateur dans la tuyauterie du moteur a permis d’éviter trop de pertes d’énergie,
améliorant son rendement.
En 1843, son frère James « industrialisa » ce moteur, pour une utilisation dans l'usine où il
était ingénieur. Toutefois, en raison d’une puissance trop faible par rapport à la machine à
vapeur et, plus tard, au moteur à combustion interne, le moteur à air chaud de Stirling n’obtint
pas le succès escompté. Le moteur Stirling ne fut alors plus qu’un objet d’étude pour les
physiciens, qui comprendront le fonctionnement du moteur Stirling, bien après son invention,
avec l’avènement de la thermodynamique.
En 1871, les progrès de la thermodynamique accomplis au XIXe
siècle permettent à Gustav
Schmidt de décrire mathématiquement le cycle de Stirling. Il faut toutefois attendre les
recherches de la compagnie néerlandaise Philips, dans les années 1930, pour que le moteur
Stirling soit de nouveau étudié sérieusement et que son application dans toutes sortes de
technologies soit testée : en 1938, un moteur Stirling de plus de 200 chevaux, avec un
rendement supérieur à 30 % (comparable aux moteurs à essence actuels), y est créé.
Cependant, cette technologie n’a des applications qu’en cryogénie. Ce n’est que dans les
dernières décennies que les développements du moteur ont commencé à être intéressants pour
l’industrie, à cause du besoin sociétal croissant pour les sources d’énergie alternatives.
Effectivement, ce n’est pas parce que Robert Stirling utilisait la combustion pour alimenter
son moteur en énergie thermique qu’il n’est pas possible d’utiliser d’autres sources d’énergie :

3. énergie solaire, énergie géothermique, énergie nucléaire, chaleur rejetée par les usines, etc.
Dans une perspective écologique, c’est extrêmement intéressant, d’autant plus que le
régénérateur, parce qu’il préchauffe et pré refroidit le gaz, permet littéralement de recycler de
l’énergie. Ainsi, les avancées en sciences des matériaux permettent maintenant d’utiliser des
matériaux qui supportent des écarts de température très importants et des composites qui
améliorent le transfert de chaleur au sein du régénérateur. La situation est telle que les
moteurs Stirling sont couplés avec des paraboles solaires et utilisent l’énergie solaire avec un
rendement supérieur aux cellules photovoltaïques. Il a d'ailleurs battu, en 2008, le record de
conversion de l'énergie solaire, avec un taux de conversion de 31,25 %, grâce à l'utilisation de
miroirs paraboliques comme concentrateurs solaires.
Depuis quelques décennies maintenant, le moteur Stirling revient et s’avère, dans le contexte
énergétique et technologique actuel, une technologie qui a beaucoup d’intérêt. Il peut
fonctionner avec toutes les sources de chaleur tant fossiles (gaz, charbon, nucléaire…) que
renouvelables (biogaz, biomasse, géothermie, rayonnement solaire,…). La technologie
actuelle permet au moteur Stirling d’atteindre un rendement de 40% ou plus. Et la production
électrique associée peut atteindre quelques dizaines de kW. Le moteur Stirling à piston libre
cumule également d’autres avantages que nous allons préciser dans la suite de cette partie.
III.2 Principe de fonctionnement
Le moteur Stirling fonctionne par chauffage et refroidissement alternés du gaz de travail
(passant éventuellement par un régénérateur) ce qui provoque une évolution périodique de la
pression qui, conjugué à la variation déphasée du volume permet d’obtenir du travail.
L'objectif est de produire de l'énergie mécanique à partir d'énergie thermique. Au début du
cycle, le gaz à l'intérieur du moteur est déplacé vers un lieu chauffé par une certaine source
d'énergie : sa température et sa pression augmentent. Par la suite, on permet au gaz dans le
piston de se dilater. Le gaz a par conséquent transformé son énergie thermique en énergie
mécanique. En réalité, un gaz à haute pression qui se dilate sert à apporter énormément
d'énergie mécanique. Cependant, le gaz ne peut pas se dilater illimitement : il faut compresser
le gaz dans le piston jusqu'à son état d'origine (pour qu'il puisse se dilater de nouveau plus
tard) en utilisant le moins d'énergie envisageable (car compresser un gaz demande de l'énergie
mécanique). Pour ce faire, il faut déplacer le gaz du côté chaud au côté froid du moteur,
diminuant ainsi la pression. En utilisant l'énergie mécanique auparavant apportée, on

4. compresse le gaz : puisque compresser un gaz à basse pression demande moins d'énergie que
ce que la dilatation d'un gaz à haute pression apporte, on récolte un surplus d'énergie
mécanique à chaque fois qu'on répète le cycle de dilatation à haute pression - compression à
basse pression. Bien sûr, il faut constamment alimenter le moteur en énergie thermique. On
appelle ce cycle thermodynamique le cycle de Stirling (bien que ce ne soit pas Stirling qui l'ait
décrit).
III.3 Les différents types de moteur Stirling
De par leur configuration géométrique on distingue trois types de moteur Stirling : Alpha,
Béta et Gamma.
III.3.1 Le Moteur Alpha
Le moteur alpha est un moteur ayant deux cylindres dans lesquels se déplacent deux pistons ;
ce qui permet de séparer la source froide et la source chaude. Au cours du cycle le gaz de
travail passe d’un piston à un autre. Les pistons sont placés avec un angle de 90° afin que le
piston de la source froide soit en retard de 1/4 de tour sur le piston de la source chaude.
Figure Description du cycle
Chauffage isochore: Le gaz de travail est en
contact avec la paroi chaude (en rouge) du
cylindre de la partie chaude. Il est chauffé et
voit donc son volume augmenter.
L'expansion du gaz pousse le piston chaud au
fond de sa course dans le cylindre. Le piston
chaud pousse grâce à la bielle le piston froid
(en bleu) vers le haut, ce qui concentre le gaz
dans la partie chaude

5. Détente isotherme: Le gaz est maintenant à
son volume maximal. L'expansion du gaz ne
peut plus se faire vers la gauche (piston
chaud en bout de course), et se fait
maintenant vers le cylindre froid (en bleu).
Le piston chaud envoie la plus grande partie
du gaz vers le piston froid. Le piston bleu
redescend, et par la bielle, pousse le piston
rouge vers le haut, contribuant à la
circulation du gaz vers le piston bleu. Dans le
piston froid, la température baisse, et le
volume du gaz diminue
Refroidissement isochore: Presque tout le
gaz est maintenant dans le piston froid et le
refroidissement du gaz continu. La pression
du gaz est à son minimum. Le piston froid,
alimenté par l'inertie des pistons, commence
à remonter en re-compressant le gaz. Ainsi la
pression du gaz recommence à augmenter
Compression isotherme: Poussé par l'inertie
des pistons en mouvement, le gaz retourne
vers le cylindre chaud (à gauche) où il sera
chauffé une fois de plus, recommençant le
cycle.
Tableau III.1: Phase de fonctionnement d’un moteur Alpha
III.3.2 Le Moteur Béta
Le moteur Beta présente une différence radicale avec le moteur alpha, il ne possède qu’un
seul cylindre combinant la source chaude et la froide. De plus les deux pistons, moteur et

6. déplacement, sont parfaitement étanches. Ces pistons combinent un mouvement relatif lors du
changement de volume du gaz avec un mouvement commun qui déplace ce volume de la
partie chaude à la partie froide, et vice-versa
Le moteur Beta est monocylindrique. Son seul cylindre contient la chambre froide et la
chambre chaude. Ce moteur est composé d’un piston moteur et d’un déplacer qui déplace le
volume du gaz de la partie froide à la partie chaude.
Figure Description
Chauffage isochore: Le gaz est
transféré de la partie froide vers la
partie chaude.
 Le piston moteur est quasi
immobile.
 Le déplaceur descend
Détente isotherme: Le gaz est
détendu en restant dans la zone de la
source chaude.
 Le piston moteur descend.
 Le déplaceur l’accompagne
Refroidissement isochore: Le gaz est
transféré de la partie chaude vers la
partie froide. le piston moteur est
quasiimmobile. Et le déplaceur monte

7. Compression isotherme: Le gaz est
comprimé en restant dans la zone de la
source froide.
 Le piston moteur monte.
 Le déplaceur est quasi-
immobile en partie supérieure
Tableau III.2. Phase fonctionnement du moteur Beta
III.3.3 Le moteur Gamma
Le moteur gamma est un mélange entre le moteur alpha et le moteur bêta. Dans un cylindre le
piston déplaceur joue son rôle, dans l'autre le piston moteur fait varier le volume global et
récupère l'énergie. Ce type de moteur est fréquemment utilisé dans le cas de faibles écarts de
température entre source froide et source chaude
Ce moteur est bicylindre, il est composé d’un piston et d’un déplaceur. Le déplaceur déplace
le gaz d’une zone à une autre). Le gaz subit des variations de températures qui engendrent à
leur tour des variations de pression qui mettent en mouvement le piston moteur.
Figures Descriptions
Chauffage isochore: Le volume
global est minimal, le gaz se
réchauffe.
 Le piston moteur bouge peu,
 Le déplaceur effectue une
longue course.

8. Détente isotherme :
 Le déplaceur bouge peu,
 Le piston moteur effectue
plus de 70% de sa course, il
récupère l'énergie motrice.
Refroidissement isochore : Le gaz
est refroidi.
 Le déplaceur effectue une
grande partie de sa course,
 Le piston moteur bouge peu
Compression isotherme: Le gaz est
globalement froid.
 Le déplaceur reste en partie
supérieur.
 le piston moteur effectue la
majorité de sa course : il
comprime le gaz en cédant de
l'énergie mécanique
Tableau III.3: phase de fonctionnement du moteur Gamma
III.3.4. Choix du type de moteur à réaliser
Un inconvénient du moteur de type Alpha est que : l’un des pistons de puissance est en
contact avec le fluide chaud, ce qui pose un des problèmes d’étanchéité à haute température.
Concernant le moteur de type Gamma il est utilisé pour d très petites puissances (de l’ordre du
Watts).

9. Pour notre projet nous réaliserons un moteur du type Béta.
III.4 Déterminons la puissance mécanique utile que doit fournie le moteur
La puissance électrique souhaitée par le générateur et la puissance mécanique fournie par le
moteur sont liées par l’expression du rendement de la génératrice.
D’après une étude de spécialistes, réalisée au sein de SEI, le rendement global d’une
génératrice varie peu selon la puissance et est évalué entre 82.5% et 87.3/9%.
En tenant compte d’un facteur d’auto consommation de puissance électrique. Ce facteur
est raisonnablement estimé entre 5% et 15%..
La puissance électrique brute à produire sera :
La puissance mécanique requise pour entrainer la génératrice s’exprimera :
La puissance électrique que l’on souhaite produire est :
Fixons un rendement de 82.5% et un facteur d’auto consommation de 15%
Ainsi la puissance mécanique requise pour entrainer la génératrice est de :
III .5. Choix du gaz de travail
Les fluides de travail couramment utilisés dans des moteurs Stirling se composent de l'air, de
l'hélium, ou de l'hydrogène. La sélection d'un fluide de travail particulier est basée sur les
propriétés des fluides suivantes : conductivité thermique, chaleur spécifique, densité, et
viscosité. Un fluide de travail avec une plus grande conductivité thermique, une densité et une
chaleur spécifique plus élevée permettra d'améliorer les capacités de transfert de chaleur du
gaz et l'efficacité des échangeurs de chaleur. Un fluide de travail avec une plus faible densité
et une viscosité réduira la chute de pression à travers le régénérateur, l'aire de travail, et
l'espace vide et il améliorera par conséquent le rendement du moteur.
Le fluide de travail pour des moteurs Stirling d’une haute performance est souvent
l’hydrogène ou l’hélium puisqu'ils ont une plus grande conductivité thermique et une capacité

10. thermique par rapport à l'air comme le montre les indications la figure (III.1) et figure (III.2)
respectivement.
Les pertes de pression dans les aires de travail et le régénérateur dépendent de la viscosité et
de la densité du fluide de travail. Un fluide de travail avec une faible viscosité et une faible
densité aura comme conséquence une augmentation du rendement thermique. Une
comparaison des viscosités et des densités pour les fluides de travail est donnée sur les figures
(III.3) et (III.4) respectivement.
Dans l'ensemble, l'hydrogène est le premier choix pour le fluide de travail, car il a les
propriétés de transport les plus efficaces pour améliorer les performances du moteur Stirling
Figure III.1. Conductivités thermiques des fluides de travail en fonction de la température
(THESE_KADDOUR_ABDELMADJID)

11. Figure III.3. Viscosité des fluides de travail en fonction de la température
Figure III.4. Densités des fluides de travail en fonction de la température
III.6. Analyse cinématique du moteur

12. Figure II.5.: Repérage et paramétrage
Notations:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Rayon de la manivelle
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Avec L la longueur constante de la bielle
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Avec x la position variable du piston
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ La rotation de la manivelle
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ La rotation de la bielle
III.6.1. Déterminons la position du piston moteur à tout instant
La position maximale du point B par rapport à l’origine O est :
La position du point B par rapport à l’angle est
La position variable du piston est alors la différence entre ces deux distances:
Or √
√
Pour et en faisant un développement en série on obtient finalement
III.6.2. Déterminons la position du déplaceur à tout instant
Pour le piston du déplaceur il convient de prendre en compte le déphasage entre les deux.
L’équation ci-dessus devient alors pour le second piston :

13. III.7. Etude thermodynamique du moteur Stirling
III .7.1. Cycle thermodynamique
Le cycle théorique est défini par quatre paramètres qui peuvent être par exemple les deux
températures chaude et froide et les deux pressions extrêmes. Dans un moteur réel le rapport
entre pressions maximale et minimale est limité par les volumes morts (de l’ordre de 1.5 sur
notre moteur). Nous n’avons donc que trois paramètres à définir : les deux températures et la
pression maximale.
III.7.1.1. Température chaude
Choisissons une température chaude de sur l’hydrogène, suffisamment élevé
pour atteindre un bon rendement mais compatible avec l’utilisation de l’acier réfractaires pour
l’échangeur chaud (température maximale de l’acier : 900°)
III.7.1.2 Température froide
Nous avons choisis une température moyenne sur l’hydrogène
III.7.1.3.Pression maximale
Choix de la pression déterminera le volume du moteur, puisqu’en première approximation la
puissance est proportionnelle au produit de la pression et du volume.
III.7.2 Le Moteur Stirling idéal
Le moteur de Stirling suit le cycle thermodynamique théorique suivant dans le plan (P-V)

14. Figure III.6: Cycle idéal du moteur Stirling
Les quatre phases du cycle théorique correspondent aux quatre étapes qui ont été présentées
Plus haut :
1→2 : Compression isotherme à la température froide ;
2→3 : Réchauffage isochore du gaz de volume ;
3→4 : Détente isotherme à la température chaude ;
4→1 : Refroidissement isochore du volume ;
Toutefois, la réalisation technique du moteur rend plus floues les frontières entre les
transformations thermodynamiques : le piston peut se déplacer légèrement pendant les phases
de réchauffement ou de refroidissement qui ne sont pas parfaitement isochores ; la vitesse des
transferts thermiques n'est pas infinie donc les isothermes ne sont pas non plus parfaites dans
la réalité.
III.7.2.1 Bilan énergétique du cycle
Supposons que la totalité de l'énergie calorifique perdue par le gaz lors du refroidissement est
récupérée par le régénérateur, pour être transmise à la source chaude (régénérateur parfait).
On a :
Phase du cycle Energie reçue par le gaz
1→2
2→3
3→4
4→1

15. Tableau III.4: Bilan énergétique d’un cycle Stirling idéal
Premier principe de la thermodynamique :
(1)
Pour un régénérateur parfait, on a :
→
Le rendement du cycle est égal au rapport des travaux mécaniques du gaz et de l’énergie
dépensée :
(2)
Compression isotherme : à la température de la source froide. On passe du volume
au volume tel que:
∫
Loi des gaz parfaits :
∫
( ) ( ) (3)
Détente isotherme: à la température de la source froide. On passe du volume au
volume tel que:
∫
∫

16. ( ) ( ) ( ) (4)
L’énergie d’un gaz parfait ne dépend que de la température. Au cours d’une transformation
isotherme, l’énergie interne du gaz parfait ne varie pas :
D’où
De même, D’où
Le rendement
(5)
On retrouve le même rendement que pour une machine de Carnot.
Il est important de noter que pour obtenir un cycle théorique il faut faire des hypothèses
suivantes :
- Les volumes morts (volumes autres que ceux des chambres de compression et de
détente) sont nuls.
- Les chambres sont isothermes
Ces conditions sont en fait irréalisables pratiquement.
Le moteur Stirling idéal n’est qu’une abstraction permettant de bien comprendre le principe
de base.
III.7.3. Le moteur Stirling réel :
Un moteur réel se différencie du moteur idéal sur les principaux points suivants :
- Les volumes morts
Dans la pratique, les volumes autres que ceux balayés par les pistons, les volumes résiduels
des chambres en fin de corse des pistons représentent plus de 50% du volume total.
- Les chambres non isothermes
L’isothermie des chambres est pratiquement irréalisable, compte tenu des mauvais échanges
thermiques entre le gaz et les parois. Lorsque les chambres sont de grandes dimensons
(quelques dizaine de cm3,
), la détente et la compression sont adiabatiques. En conséquent,

17. lorsque le gaz de travail entre dans une des chambres à la température de la source
correspondante, il n’est en général pas à la température du gaz de la chambre. Il va donc y
avoir des pertes d’entropie par mélange.
- Défaut d’efficacité du régénérateur
La non perfection des échangeurs entrainent un défaut d’énergie stockée, que doit fournir la
source chaude, et évacuer la source froide. L’efficacité du régénérateur est un des points clés
du bon rendement d’un moteur Stirling.
- Les pertes thermiques vers l’extérieur
- Les fuites de gaz au niveau des étanchéités des pistons et déplaceur
- Les pertes par frottement mécanique
-
III.8. Modélisation du moteur
III.8.1 Modélisation du premier ordre
C’est le modèle d’une machine parfaite du point de vue thermique et mécanique (absence de
pertes). Il permet, à partir des caractéristiques géométriques, cinématiques et
thermodynamique du moteur, de calculer les différentes puissances mécaniques et thermiques
échangées avec l’extérieur.
Méthode utilisée :
- Méthode de Schmidt
Mouvement du déplaceur
Abscisse du déplaceur
: Amplitude maximale du déplaceur
Le mouvement étant sinusoïdale on a :
Mouvement du piston
Abscisse du piston

18. : Amplitude maximale du piston
: Retard de phase du piston au déplaceur
Le mouvement étant sinusoïdale on a :
Notation :
B : rapport des sections froides et chaudes du déplaceur
C : rapport des cylindrées
: Masse de gaz chaud (respectivement froid)
: Masse de gaz dans le régénérateur
: Masse de gaz de travail total
P : Pression du gaz à l’instant t.
: Pression moyenne du gaz de travail
: Volume mort chaud
: Volume mort froid
: Volume du régénérateur
: Rapport du volume balayé par le piston sur le volume moyen total
: Rapport du volume balayé par le déplaceur sur le volume moyen total
: Rapport du volume mort froid sur le volume moyen total
: Rapport du volume mort chaud sur le volume moyen total
Déterminons le volume balayé par le déplaceur

19. Le volume balayé par le déplaceur est égale la surface de base du déplaceur multiplié par la
course de ce dernier.
Posons →
Déterminons le volume balayé par le piston
Le volume balayé par le déplaceur est égale la surface de base du déplaceur multiplié par la
course de ce dernier
Posons →
Déterminons le volume total de gaz chaud
Le volume total de gaz chaud est égal au volume mort chaud additionné au volume de détente.
Le volume de détente est :
(6)
Déterminons le volume total de gaz froid
Le volume total de gaz froid est égal au volume mort froid additionné au volume de
compression.
- Le volume de compression coté déplaceur est : (7)
- Le volume de compression coté piston est:
(8)
- Le volume de compression est :
Le volume total moyen occupé par le gaz :
̅ ̅ (9)
En substituant les équations (7) et (8) à l’équation (9) on obtient le volume de gaz froid:
(10)𝑉𝑡 𝑉𝑚𝑐 𝑉𝑚𝑐 𝑉𝑟
𝐵 𝑉𝑑
𝜃
𝑉𝑝
𝜃 𝜑
𝑉𝑑
𝜃

20. III.8.1.1 Expression de la pression instantanée
En écrivant la loi des gaz parfaits pour chaque volume isotherme on a :
- Volume chaud :
- Volume froid :
- Volume chaud :
En additionnant on a : ( ) ( )
En exprimant les volumes en fonction de l’angle , on obtient :
[( ( ) ) ( ( ) )
]= R (11)
Posons:
( ( ) )
( )
En utilisant les relations de trigonométrie on peut écrire :
( )

21. Ainsi
*[ ( ) ] [ ] +
L’équation (11) devient :
A la température d’équilibre on a :
( ( ) )=
(12)
La pression a donc une variation pseudo-périodique
En dérivant cette pression par rapport à on déduit :
𝑇𝑒 *
𝑣 𝑚𝑐
𝑇𝑐
𝑣 𝑚𝑓
𝑇𝑓
𝑣𝑟
𝑇𝑟
𝑣 𝑑
(
𝑇𝑐
𝐵
𝑇𝑓
)
𝑣 𝑝
𝑇𝑓
+
𝛿 𝑇𝑒 *
𝑣 𝑑
(
𝑇𝑐
𝐵
𝑇𝑓
)
𝑣 𝑝 𝜑
𝑇𝑓
+ *
𝑣 𝑝 𝜑
𝑇𝑓
+
a
𝜑
𝜑 𝐶 (𝐵
𝑇𝑓
𝑇𝑐
)
𝑃
𝑀𝑅𝑇𝑒
𝑉𝑡 𝛿 𝜃

22. - Pression moyenne :
√
- Pression maximale : √
- Pression moyenne : √
Remarque : la pression moyenne est la moyenne géométrique des pressions maximum et
minimum : et
III.8.1.2 Expression des échanges élémentaires de travail et de chaleur
Rappelons tout d’abord le premier principe de thermodynamique pour les systèmes ouverts :
U étant l’énergie interne totale du système, on an :
∑
Avec : masses élémentaires reçues par le système, d’enthalpie
- Echange dans le volume chaud
∑
Avec l’hypothèse des gaz parfaits, l’énergie interne spécifique ne dépend que de la
température, donc , et :
Et
(13a)
(13b)

23. - Echange dans le volume froid : Et
(14a)
* + (14b)
- Echange dans le régénérateur : le volume et la température étant constants il n’y a pas
d’échange de travail =0 et
III.8.1.3 Expression du travail élémentaire totale
( )
* +
En décomposant entre le travail échangé avec le déplaceur, et celui échangé avec le
piston on a :
( )
III.8.1.4.Expression des énergies échangées sur un cycle
III.8.1.4.1 Energie mécanique échangée par le gaz chaud
∫
En remplaçant par leurs expressions respectives (équations (11) et (13b)) on a :
√
∫
√
[ ]

24. Avec ∫
∫ * √
a (√ a )+ ( √
)
D’où (
√
)
Comme dans un cycle alors
(15)
III.8.1.4.2 Energie mécanique échangée par le gaz froid
∫
En remplaçant par leurs expressions respectives (équations (11) et (15b)) on a :
√
∫
√
*[ ] [ ] +
D’où [ ] (
√
) (17)
Comme dans un cycle alors
𝑊𝑐 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝑉𝑑 𝜋 (
√ 𝛿
𝛿
)
𝑄𝑐 𝑊𝑐

25. (16)
III.8.1.4.3 Energie totale échangé par le gaz
En remplaçant par leurs expressions on a :
[ ] (
√
)
Sachant que l’énergie totale est aussi égale à la somme des énergies échangées avec le
déplaceur et avec le piston on a :
(17)
On peut simplifier toutes ces équations en utilisant les expressions de et
( ( ) )
Les expressions des énergies échangées deviennent :
(18)
𝑊𝑝 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋[𝑉𝑝 𝜑 ] (
√ 𝛿
𝛿
)
𝑊𝑑 𝑃𝑚𝑜𝑦[ 𝐵 𝑉𝑑 𝜋 ] (
√ 𝛿
𝛿
)
𝑊𝑓 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋[ 𝐵𝑉𝑑 𝑉𝑝 𝜑 ] (
√ 𝛿
𝛿
)
𝑄 𝑓 𝑊𝑓
𝑊𝑐 𝑄𝑐 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋 [
𝑉𝑝 𝑉 𝑑
𝑉𝑡
𝑇𝑒
𝑇 𝑓
𝜑 ] (
√ 𝛿
𝛿
)
𝑊𝑓 𝑄 𝑓 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋 *
𝑉𝑝 𝑉 𝑑
𝑉𝑡
𝑇𝑒
𝑇𝑐
𝜑 + (
√ 𝛿
𝛿
)

26. (19)
A base des équations (18) on vérifie bien que : Ceci confirme que le fait que le
rendement est égal au cycle rendement de CARNOT entre et , quels que soient les
volumes morts et le déphasage entre le déplaceur et le piston.
III.8.1.4.4 Récapitulatif des énergies et travaux en fonction de
Remarque:
a) Vérifions que les énergies ont le bon signe :
à la condition que
(piston en retard par rapport au déplaceur)
b) Le rendement utile, du point de vue du piston est donc :
Avec
𝑊𝑓 𝑄 𝑓 𝛼𝑄𝑐
𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝛼 𝑄𝑐
𝑊𝑑 𝐵 𝑄𝑐
𝑊𝑝 𝐵 𝛼 𝑄𝑐
𝑊𝑃 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋 *
𝑉𝑝 𝑉𝑑
𝑉𝑡
𝑇𝑒
𝑇𝑓
𝐵 𝛼 𝜑 + (
√ 𝛿
𝛿
)
𝑊𝑑 𝑃𝑚𝑜𝑦 𝜋 [ 𝐵
𝑉𝑝 𝑉 𝑑
𝑉𝑡
𝑇𝑒
𝑇 𝑓
𝜑 ] (
√ 𝛿
𝛿
)
𝑛 𝑢
𝑊𝑝
𝑄 𝑐
𝐵 𝛼 𝑛 𝐶𝐴𝑅𝑁𝑂𝑇 𝐵

27. III.8.1.4.5 Déterminons les puissances moyennes échangées
Les puissances moyennes se déduisent des énergies sur un cycle en les multipliant par la
fréquence.
(21)
La puissance mécanique moyenne cédée par le gaz au piston
* + (
√
)
Dans la pratique , ce terme est quasiment constant
La puissance mécanique maximale est :
(22)
La puissance est donc :
- Proportionnelle à la fréquence de fonctionnement
- Proportionnelle à la pression moyenne du gaz
- Fonction croissante du rapport de température
- Proportionnelle au volume balayé par le piston
Le modèle du premier ordre permet d’effectuer un premier dimensionnement approximatif
d’un moteur Stirling.
𝑞 𝑐 𝑓𝑄𝑐
𝑞 𝑓 𝑓𝑄 𝑓
𝑤 𝑑 𝑓𝑊𝑑
𝑤 𝑝 𝑓𝑊𝑝
𝑤𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝑓𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒
𝑃 𝑚 𝑐𝑎 𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑃𝑚𝑎𝑥 [𝐶𝑣 𝑝 𝑉𝑡
𝑇𝑒
𝑇 𝑓
𝐵 𝛼 ]

28. III.8.2 Modélisation du second ordre
A partir de la géométrie et de la cinématique du moteur, de la pression moyenne et des
températures chaude et froide du gaz, le modèle du premier ordre permet de calculer les
puissances : thermique chaude , thermique froide , mécanique du déplaceur et
mécanique du piston
Hypothèse du modèle
- Les volumes de gaz chaud et froid sont isothermes
- La température dans le régénérateur est stationnaire
- Les mouvements du piston et du déplaceur sont sinusoïdaux
C’est le modèle qui permet d’estimer globalement chacune des puissances thermiques et
mécaniques. Le modèle du deuxième ordre a comme base le modèle du premier ordre, qui
permet de calculer ensuite les masses de gaz dans les différentes sections du moteur, de
dimensionner les échangeurs, puis calculer toutes les pertes thermiques et mécaniques.
- par frottement mécanique du piston et du déplaceur
- défaut d’éfficacité des régénérateurs
III.8.2.1 Déterminons la masse du gaz de travail dans le moteur :
- Masse du gaz dans la partie froide
→
- Masse du gaz dans la partie chaude
→
- Masse du gaz dans le régénérateur
→
La masse totale du gaz est somme de toutes les masses contenues dans les différentes parties
du moteur :

29. (23)
III.8.3 Evaluation des pertes dans le moteur
III.8.3.1 Défaut d’efficacité du régénérateur
La perte d’énergie entrainée par le défaut d’efficacité du régénérateur est évaluée par la
formule :
(24)
III.8.3.2 Déterminons les pertes mécaniques
Nous déterminons les pertes mécaniques en utilisant des graphes issue d’une analyse faite par
la NASA qui qui donne les pertes mécanique en fonction de la vitesse de rotation du moteur à
une pression bien précise comme le montre la figure ci-dessous
𝑚 𝑟
𝑃𝑉𝑅
𝑅𝑇𝑅
𝑚 𝑐
𝑃𝑉𝑓
𝑅𝑇𝑓
𝑚 𝑐
𝑃𝑉𝑐
𝑅𝑇𝑐
𝑚 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑚 𝑓 𝑚 𝑐 𝑚 𝑟

30. Figure III.7: Pertes mécaniques en fonction de la vitesse de rotation du moteur utilisant
l’hydrogène comme gaz de travail (déterminé de manière expérimentale par la NASA)
III.8.3.3 Bilan de puissance
- La puissance nette fournie par la source chaude est :
- La puissance nette fournie par la source froide est :
- La puissance nette fournie au générateur électrique est:
- Puissance mécanique utile au générateur électrique :
(25)
III.8.4. Programme numérique de dimensionnement du moteur
Un programme numérique a été conçu pour effectuer le dimensionnement du moteur avec un
modèle du deuxième ordre. Du fait du bouclage des différentes équations il n’est pas possible
de dimensionner le moteur de façon explicite pour une puissance utile donnée. Nous
procéderons de manière itérative. La façon la plus rapide est d’itérer sur la puissance
mécanique fournie par le piston
𝑃𝑢 𝑃𝑢 𝑃𝑢 𝑔
𝑞 𝑛 𝑓
𝑞 𝑓 𝑞 𝑟 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 ; 𝑃𝑢 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 ; 𝑞 𝑛 𝑐
𝑞 𝑐 𝑞 𝑟

31. NON
OUI
OUI
FIN
Figure III.8 : organigramme du de la programme de modélisation du deuxième ordre
Choix de la puissance
mécanique 𝑃 𝑚 𝑐𝑎
Dimensionnement du 1er
ordre :
- Calcul de 𝑣 𝑝 𝑣 𝑑 𝑇𝑒 par (12)
- Calcul de 𝑉𝑡 par (22)
- Calcul de 𝑉𝑝 𝑉𝑑 𝑉𝑚𝑐 𝑉 𝑚𝑓 𝑉𝑟
Calcul des masses dans chaque partie du moteur par
(23)
Calcul des pertes thermique du au défaut du
régénérateur 𝑞 𝑟 par (21)
Evaluation des pertes mécanique par la figure III.7
Calcul de la puissance utile 𝑃𝑢 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 de 𝑃𝑢 (25)
Impression des résultats
𝑃 𝑚 𝑐𝑎 𝑃 𝑚 𝑐𝑎 𝑃 𝑢
𝑃𝑢

32. III.8.5.Dimensionnement du moteur
III.8.5.1 Choix des paramètres de base
- La puissance nette fournie par le piston =7.4 KW
- Fréquence : f=60 Hz
- Le déphasage
- Les courses du piston et du déplaceur :
- Pression maximale :
- Température chaude et froide : et
- Les rapports de volume mort :
- Le rapport de cylindre
- le coefficient de la tige
- L’efficacité du régénérateur
Piston
- Course : 10 cm
- Diamètre du piston: 5.04 cm
- Volume de cylindrée du piston : 199.58 cm3
Déplaceur
- Course : 5cm
- Volume de la cylindrée du déplaceur : 399.17 cm3
- Diamètre du déplaceur : 10.08cm
- Diamètre du cylindre déplaceur : 10.09 cm
- Diamètre de la tige : 2.67 cm
- Longueur du cylindre déplaceur : 10.08 cm
Régénérateur
- Température du régénérateur : 611.5 K
- Efficacité : 95%
- Volume du régénérateur : 162.25 cm2
- Longueur du régénérateur : 10 cm

33. - Le diamètre du régénérateur : 4.54 cm
Echangeur chaud
- Volume mort chaud : 144.22cm2
- Longueur de l’échangeur : 8.88 cm
Echangeur froid
- Volume mort froid : 306.47 cm2
- Longueur de l’échangeur : 18.87 cm
Bilan des masses contenues dans le moteur
- Masse de gaz chaud : 1.19 g
- Masse de gaz froid : 3.41 g
- Masse de gaz dans le régénérateur : 0.53 g
Bilan de puissance
- Puissance thermique nette fournie par la source chaude : 11.54 KW
- Puissance thermique nette cédée à la source froide : 8.42 KW
- Puissance nette fournie par le moteur : 7.4KW
- Puissance nette fournie au générateur électrique : 6 KW
- Puissance thermique perdue : 5.44 KW
- Puissance mécanique perdue : 1.4 KW