2. Vektors
• Vektors —
orientēts taisnes nogrieznis, t.i., tāds
taisnes nogrieznis, kurš savieno divus
punktus un un ir norādīts, kuru no šiem
punktiem uzskatīt par nogriežņa
sākumu un kuru par gala punktu.
• Tam ir dots sākumpunkts un
galapunkts.
3. Nullvektors
• Par nullvektoru sauc tādu vektoru, kura
modulis ir vienāds ar nulli. Ģeometriski
nullvektors attēlo nogriezni, kas
deģenerējies punktā. Nullvektora
virziens ir nenoteikts.
4. Kolineāri vektori
• Kolineāri vektori — divi vai vairāki
vektori, ja to pamati ir savstarpēji
paralēli vai sakrīt. Ja kolineāriem
vektoriem ir kopīgs sākumpunkts, tad
tie atrodas uz vienas taisnes. Tie var
būt ar vienādu vērsumu vai savstarpēji
pretim vērsti.
5. Komplanāri vektori
• Vektorus, kuri ir paralēli vienai plaknei
vai arī atrodas vienā plaknē, sauc par
komplanāriem.
– Jebkuri divi vektori ir komplanāri.
– Jebkuri kolineāri vektori ir komplanāri.
– Jebkuri trīs vektori, no kuriem divi ir
kolineāri, ir komplanāri.
– Triju vektoru a, b un c komplanaritātes
nosacījums: Lineāras
a b c 0 atkarības
nosacījums
6. Kolineāri un komplanāri vektori
Viens vektors ir lineāri atkarīgs tad un tikai tad, ja tas ir nullvektors.
Divu un trīs vektoru lineārajai atkarībai ieviesti īpaši, daiļi vārdi:
D Divus vektorus sauc par kolineāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi.
Trīs vektorus sauc par komplanāriem, ja tie ir lineāri atkarīgi.
Dažādas
situācijas,
kad 3 vektori
ir komplanāri
7. Vektoru iedalījums
• Brīvie vektori.
– drīkst pārnest paralēli sev
jebkurā telpas punktā.
• Slīdošie vektori.
– drīkst pārnest tikai pa pamatu.
• Saistītie vektori.
– vektora sākuma punktu nedrīkst nekādā
veidā pārvietot.
17. Vektoru summas īpašības
• Komutatīvā īpašība:
•a+b=b+a
• Asociatīvā īpašība:
• (a + b) + c = a + (b + c)
18. Aksiomu ilustrācijas - I
B
A b
A Asociativitāte c
a OB BC
(a b) c a (b c) a b b c
C OA AC OC
O
a
Komutativitāte B C
A
b
b
OA AC
a b b a
O a A OB BC OC
A Nullvektors
0 a a A B AA AB AB
Pretējais vektors A B
A
AB BA AA
a ( a) 0
19. Saskaitīšanas asociativitāte
Katram kokam atbilst
kāda izteiksme ar
+ iekavām un otrādi:
katrai izteiksmei
a1 + + atbilst koks.
a2 + + +
a3 a4 a1 a2 a3 a4
a1 (a 2 (a3 a 4 )) (a1 a 2 ) (a 3 a 4 )
T
20. Vektora reizināšana ar skaitli
• Par vektora a reizinājumu ar
skaitli k sauc vektoru, kura garums
vienāds ar vektora a garuma
reizinājumu ar skaitļa k moduli, bet
vērsums vienāds ar dotā vektora
vērsumu, ja k > 0, un pretējs, ja k < 0.
• Vektori ir kolineāri.
21.
22. Vektora reizinājuma īpašības:
• Asociatīvā īpašība:
• k(ma) = m(ka) = (km)a
• Distributīvās īpašības
• (k + m)a = ka + ma
• 3.Nulles īpašība:
• k(a + b) = ka + kb
23. Aksiomu ilustrācijas - II
D Vektors ka, k R, reizes
ir k
3 3 garāks par a, paralēls a, vērsts tāpat
a a
a 2 2 kā a (k>0), vai pretēji a (k<0).
A Distributivitāte1
(k l )a ka la
A Operatoru asociativitāte
(kl)a k (la)
A Distributivitāte2
kb
k (a b) ka kb b
A Reizināšana ar 1: 1a a a ka
24. Vektoru skalārais reizinājums
• Par divu vektoru skalāro reizinājumu
sauc šo vektoru garumu reizinājumu ar
kosinusu no leņķa starp vektoriem.
a b a b cos
25. Leņķis starp vektoriem
a b
cos
a b
a x bx a y by a z bz
cos
2 2 2 2 2 2
a x a y a z b
x b y b
z
26. Divu vektoru vektoriālais reizinājums
• Par divu vektoru a un b vektoriālo reizinājumu
sauc vektoru c, kuram ir šādas īpašības:
– Vektora c modulis ir vienāds ar abu vektoru a un b
moduļu un šo vektoru veidotā leņķa sinusa
reizinājumu
– Vektors c ir perpendikulars plaknei, ko nosaka
vektori a un b
– Vektora c vērsums izvēlēts uz to pusi, no kuras
skatoties pirmo reizinātāju a ar otru reizinātāju b
redz sakļaujamies pa īsāko ceļu pozitīvajā virzienā.
28. k
j
i
i, j, k – asu vienības vektori
a = OM – punkta M rādiusvektors
29. Jauktais reizinājums
Ja vektoriem ir labā
abc 0 orientācija
Ja vektoriem ir krejsā
c abc 0 orientācija
b Ja vektori ir komplanāri.
a
abc 0
30. Vektora sadalījums ortogonālajās komponentēs
a ax i a y j az k
ax, ay, az – vektora koordinātas ax
cos
i, j, k – koordinātu ass vienības a
vai orti
ay
ax a cos cos
2 2 2 a
a a x a y a z ay a cos
az
az a cos cos
a
31. Vektora projekcija uz x ass
• Vektora AB projekcija uz Ox ass ir
skaitlis, kuru iegūst šādi:
• No vektora AB galapunktiem novelk
perpendikulus pret Ox asi, iegūstot
nogriezni AxBx.
• ir skaitlis, kurš vienāds ar AxBx garumu, ja
vektors ar Ox asi (pozitīvo virzienu) veido
šauru leņķi un nogriežņa AxBx garumam pretējs
skaitlis, ja vektors ar Ox asi (pozitīvo
virzienu) veido platu leņķi.
32. • Vektora projekcija uz ass ir vienāda ar
vektora moduļa reizinājumu ar tā leņķa
kosinusu, ko vektors veido ar asi.
proju a a cos
33. Pa tiešo
a ax , a y , az
b bx , by , bz
a b a y bz a z by , az bx axbz , a xby a y bx
37. Triju vektoru jauktais reizinājums
ax ay az
a b c bx by bz
cx cy cz
Ģeometriskā interpretācija – uz trīs vektoriem
konstruētā paralēlskaldņa tilpums.
Hinweis der Redaktion
Austrāliešu zinātnieki, ar spēcīgiem radioteleskopiem pētot zvaigžņu stāvokli pirms vairākiem miljardiem gadu, atklājuši, ka visuma gaismai - zvaigznēm - trūkst gāzes.Austrālijas Zinātnisko un rūpniecisko pētījumu organizācijas CSIRO Astronomijas un kosmosa izpētes nodaļas vadītājs Roberts Brauns atklāja, ka ir izlietota aptuveni trešā daļa no molekulārās gāzes, kas nepieciešama jaunu zvaigžņu veidošanai, un ka visums palēnām satumst.Brauna komanda veica gaismas daudzuma kartēšanu galaktikās, kuras atrodas aptuveni piecu miljardu gaismas gadu attālumā no Zemes, un salīdzināja iegūtos datus ar mūsdienu "vietējo visumu", lai noskaidrotu, cik daudz gāzes zvaigznes satur un cik daudz gāzes vajadzīgs, lai rastos jauna zvaigzne."Mēs esam novērojuši, ka jaunu zvaigžņu daudzums ir samazinājies desmitkārt, varbūt pat drīzāk divdesmitkārt vai trīsdesmitkārt,"Brauns komentēja pētījumu, kuru plānots publicēt Lielbritānijas Karaliskās astronomijas biedrības ikmēneša piezīmēs."Izrādās, ka šajās galaktikās patiesībā bijis desmitreiz vairāk zvaigžņu veidojošās gāzes nekā mūsdienās. Mēs vienkārši neredzam tik daudz gāzes, lai varētu rasties jaunas zvaigznes," viņš pastāstīja AFP.Galvenais iemesls, kādēļ zvaigžņu skaits samazinās, saistīts ar Visumā dominējošo spēku maiņu pirms aptuveni astoņiem miljardiem gadu, kad tumšā enerģija pārspēja gravitāciju.Atgrūšanās spēks pēdējo pāris miljardu gadu laikā licis visumam strauji izplesties, atgrūžot galaktikas no "starpgalaktiku medija", kur tās var iegūt gāzi.Brauns arī atklāja, ka jauno zvaigžņu skaits šā iemesla dēļ strauji samazinās un to skaits turpinās samazināties arī nākotnē.Vienas galaktikas gāzes krājumu jaunu zvaigžņu veidošanai pietiek vien vidēji 1-2 miljardiem gadu.Brauns gan pauda pārliecību, ka, tumsai izplešoties tik lēni, cilvēka dzīves laikā to nav iespējams pamanīt, taču pēc miljards gadiem izmaiņas būs dramatiskas.Kā atzina Brauns, ja Visuma tumšās enerģijas ietekmē tumsa turpinās pieaugt, pasaule ļoti lēnām, bet neizbēgami ieslīgs dziļā tumsā.Gāzes kartēšanu pirms dažiem gadiem sāka Francijas Radioastronomijas institūta astronoms Fransuā Kombē, kurš arī vēlāk piedalījās Brauna pētījumā.
