1. Funkcijas pētīšana

2.  Definīcijas apgabals, pārtraukuma punkti un
nepārtrauktības intervāli.
 Pāra, nepāra vai periodiska funkcija.
 Krustpunkti ar koordinātu asīm.
 Funkcijas pozitīvās, negatīvās vērtības.
 Monotonitātes intervāli, ekstrēmi.
 Grafika izliekuma un ieliekuma intervāli,
pārliekuma punktu koordinātas.
 Grafika asimptotas.

3. Intervālā augoša funkcija
 Funkciju y = f(x) sauc par augošu intervālā [a;
b], ja katrai lielākai argumenta vērtībai no šī
intervāla atbilst lielāka funkcijas vērtība, t.i.,
jebkuriem x1, x2 [a; b] no nevienādības x1 <
x2 izriet nevienādība f(x1) < f(x2). Tādējādi, ja
x1 < x2, tad argumenta pieaugums x = x2 –
x1 un funkcijas pieaugums y = f(x2) – f(x1)
abi ir pozitīvi un to attiecība ir pozitīva
y
0
x

4. Intervālā augoša funkcija
 Patstāvīgi.
 Viens no mājas darba uzdevumiem.

5. Augšanas un dilšanas
nepieciešamā pazīme
 Ja intervālā (a; b) diferencējama funkcija y = f(x)
ir augoša, tad jebkurā šī intervāla punktā f ’(x) 0.
 Dilšanas pazīme – mājās.

6. Funkcijas monotonitātes intervālu
atrašana
 Jāatrod funkcijas f ’(x) atvasinājums.
 Nosaka punktus, kuros f ’(x) ir vienāds ar nulli
vai neeksistē.
 Šos punktus sauc par funkcijas kritiskajiem
punktiem. Kritiskie punkti sadala funkcijas f(x)
definīcijas apgabalu intervālos, kuros f ’(x)
nemaina zīmi – monotonitātes intervālos.
 Katrā iegūtajā intervālā jānosaka f ’(x) zīme.
 Ja f ’(x) > 0, tad tas ir funkcijas augšanas
intervāls. Ja f ’(x) < 0, tad tas ir funkcijas
dilšanas intervāls.

7. Funkcijas maksimumi un
minimumi
 Pieņem, ka funkcija ir nepārtraukta intervālā
(a; b). Šī intervāla punktu x0 sauc par
funkcijas f(x) maksimuma punktu, ja
funkcijas vērtība f(x0) šajā punktā ir lielāka
nekā funkcijas vērtības visos citos punkta x0
pietiekami mazas apkārtnes punktos x, t.i.,
visiem x ≠ x0 ir pareiza vienādība f(x) < f(x0),
ja vien starpības │x – x0│modulis ir
pietiekami.
 Minimuma punkts – mājās.

8. Ekstrēma punkti
 Maksimuma un minimuma punktus sauc par
ekstrēma punktiem (extremum lat.v. – galējs).

9. Ekstrēmu nepieciešamā pazīme
 Ja diferencējamai funkcijai f(x) punktā x0 ir
ekstrēms, tad f ’(x0) = 0.
 Punktus, kuros funkcijas f(x) atvasinājums ir
nulle, sauc par funkcijas stacionārajiem
punktiem.

10. Ekstrēmu atrašanas algoritms
 Atrod punktus, kuros y = f(x) atvasinājums
f ’(x) ir vienāds ar nulli vai neeksistē.
 Izpēta atvasinājuma f ’(x) zīme kritisko punktu
apkārtnēs.
 Ja argumentam, ejot caur kritisko punktu f ’(x),
zīme mainās un f(x) kritiskajā punktā ir
definēta, tad funkcijai f(x) šajā punktā eksistē
ekstrēms
 Jāaprēķina funkcijas vērtība ekstrēma
punktā.

11.  Ja stacionārajā punktā f ’’(x) < 0, tad tas ir
minimuma punkts.
 Ja stacionārajā punktā f ’’(x) > 0, tad tas ir
maksimuma punkts.

12. Funkcijas grafika ieliekums un
izliekums
 Diferencējamas funkcijas y = f(x) grafiku sauc
par izliektu, ja tas atrodas zem grafika
jebkuras pieskares minētajā intervālā.
 Ieliektas funkcijas grafiks – mājās.

13.  Ja funkcijai f(x) intervālā (a; b) eksistē otrās
kārtas atvasinājums un visos intervāla
punktos f ’’(x) < 0, tad funkcijas grafiks ir šajā
intervālā izliekta, ja f f’’(x) < 0, ’’(x) > 0, tad
ieliekts.
 Funkcijas grafika punktu, kas atdala grafika
izliekto daļu no ieliektas daļas, sauc par
grafika pārliekuma punktu jeb infleksijas
punktu.

14.  Ja punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas y = f(x)
grafika pārliekuma punkts, tad f ’’(x) = 0 vai
neeksistē.
 Ox ass punktus, kuros funkcijas f(x) otrās
kārtas atvasinājums f ’’(x) ir vienāds ar nulli
vai neeksistē, sauc par otrās kārtas
kritiskajiem punktiem.
 Ja, argumentam ejot caur punktu x = x0, otrās
kārtas atvasinājums f ’’(x) maina zīmi, tad
punkts P (x0; f(x0)) ir funkcijas f(x) grafika
pārliekuma punkts.

15. Pārliekuma punktu atrašanas
algoritms
 Nosaka punktus, kuros funkcijas y = f(x) otrās
kārtas atvasinājums f ’’(x) ir vienāds ar nulli
vai neeksistē, t.i., nosaka funkcijas kritiskos
punktus.
 Atrod tos kritiskos punktus, kuri funkcijas
grafika izliekuma intervālus atdala no
ieliekuma intervāliem un kuros funkcija ir
definēta. Šie kritiskie punkti ir pārliekuma
punkti.
 Aprēķina katra pārliekuma punkta ordinātu.

16. Funkcijas y = f(x) grafika
pārliekuma punkti
 Atrod funkcijas atvasinājumus f ’’(x) un f ’’’(x).
 Uzraksta vienādojumu f ’’(x) = 0 un atrod šī
vienādojuma visas reālās saknes, iegūstot
otrās kārtas kritiskos punktus.
 Aprēķina f’’’(x) vērības katrā kritiskajā punktā.
 Atrod tos kritiskos punktus, kuros f ’’’(x) ≠ 0.
Šiem kritiskajiem punktiem atbilstošie
funkcijas grafika punkti ir pārliekuma punkti

17. Funkcijas grafika asmptotas
 Taisni sauc par līnijas y = f(x) asimptotu, ja
līnijas punkts M(x; y), tiecoties uz bezgalību,
neierobežoti tuvojas šai taisnei, t.i. attālums
no punkta M līdz taisnei tiecas uz nulli.
 Funkcijas y = f(x) grafikam var būt vertikālas
asimptotas, t.i., paralēlas Oy asij, un slīpas
asimptotas. Pie slīpām asimptotam pieder arī
horizontālas asimptotas.

18. Vertikālā asimptota
 Vertikālās asimptotas. Ja
lim f
x a
x
 tad taisne
x=a
 Ir funkcijas y = f(x) vertikālā asimptota.

19. Slīpā asimptota
 Slīpās asimptotas vienādojums ir
y = kx + b
f x
k lim
x x
b lim
x
f x kx