1. Campus centre
Introduction à la mécatronique
Mouna Souissi
Mouna.souissi@hei.fr
1

2. Campus centre
Introduction
Aujourd’hui, le domaine de l’industrie recherche
à réduire son coût de production face à la
complexité croissante des systèmes par la
diminution:
•
•
•
•
Du poids
Du volume
Des consommations
Des bruits
C’est ainsi qu’apparue la « conception mécatronique ».
2

3. Campus centre
Définition
• Mécatronique :
 Le mot mécatronique (mechatronics en anglais) a été
inventé au Japon en 1969 les ingénieurs Etsuro Mori et
Er. Jiveshwar Sharma de la compagnie Yaskawa.
 Démarche visant l’intégration en synergie de la
mécanique,
l’électronique,
l’automatique
et
l’informatique dans la conception et la fabrication d’un
produit en vue d’augmenter et/ou d’optimiser sa
fonctionnalité.
3

4. Campus centre
La mécatronique
Elle intègre la notion de
multi-domaine en
représentant l’interaction
forte de plusieurs
domaines qui sont :
•La mécanique
•L’électronique
•L’informatique
•L’automtique
4

5. Campus centre
Système mécatonique
 Le but d’un système mécatronique est de réaliser
une fonction principale mais aussi étant capable de
répondre à quatre fonctions secondaires :
MESURER:
capteurs
(présence
soleil
/
vent)
PENSER:
unité de traitement (analyse, décision)
AGIR :
actionneurs (ouverture automatisée)
COMMUNIQUER: interface(dialogue avec l’extérieur)
5

6. Structure de Principe d’un système
mécatronique
6

7. Campus centre
Domaines d’application
• L’aérospatial ( les systèmes de régulations antivibratoires des
avions)
• L’automobile ( la direction assistée, l’ABS, l’EPS)
• La production (machines-outils, robots industriels)
• Le médical (aussi bien dans le matériel que dans l’assistance ou le
remplacement d’organes humains, on parle alors de
biomécatronique)
• L’électroménager (les machines à laver dîtes « intelligentes »)
7

8. Campus centre
La Robotique
Mouna Souissi
Mouna.souissi@hei.fr
8

9. Campus centre
•
•
•
•
•
Plan
Chapitre 1 : Généralités
Chapitre 2 : Les transformations rigides
Chapitre 3 : Les bras manipulateurs
Chapitre 4 : Modélisation des bras manipulateurs
Chapitre 5 : Notions complémentaires
9

10. Campus centre
Chapitre 1
Généralités
10

11. Campus centre
Généralités
• Définition d’un Robot :
"Un appareil automatique qui peut effectuer des fonctions normalement
effectuer par des humains." Traduit du dictionnaire Webster’s
"Appareil automatique capable de manipuler des objets ou d’exécuter des
opérations selon un programme fixe ou modifiable." Petit Larousse
"Un manipulateur reprogrammable multifonctionnel conçu pour déplacer des
matériaux, des outils, des pièces ou des composantes spécialisés à travers
une série de mouvements programmés pour effectuer une tache précise.
" Robot Institut de robotique d’Amérique,1979
"A robot is a machine designed to execute one or more tasks repeatedly, with
speed and precision." whatis.com
11

12. Campus centre
Généralités
"Manipulateur commandé en position, reprogrammable,
polyvalent, à plusieurs degrés de liberté, capable de
manipuler des matériaux, des pièces, des outils et des
dispositifs spécialisés, au cours de mouvements variables et
programmés pour l’exécution d’une variété de tâches. Il a
souvent l’apparence d’un ou plusieurs bras se terminant par
un poignet. Son unité de commande utilise, notamment, un
dispositif de mémoire et éventuellement de perception et
d’adaptation à l’environnement et aux circonstances. Ces
machines polyvalentes ont généralement étudiées pour
effectuer la même fonction de façon cyclique et peuvent être
adaptées à d’autres fonctions sans modification permanente
du matériel." AFNOR
Association Française de Normalisation
12

13. Campus centre
Généralités
• Un robot = dispositif mécatronique
accomplissant automatiquement soit des tâches qui sont généralement
dangereuses, pénibles, répétitives ou impossibles pour les humains, soit
des tâches plus simples mais en les réalisant mieux que ce que ferait un
être humain.
• Un robot intelligent est un assemblage complexe de pièces mécaniques et
de pièces électroniques, le tout pouvant être piloté par une intelligence
artificielle. Lorsque les robots autonomes sont mobiles, ils possèdent
également une sources d’énergie embarquée : généralement
une batterie d‘accumulateurs électriques.
13

14. Campus centre
Généralités
• Les 3 lois de la robotique :
• Les Trois lois de la robotique, formulées par l'écrivain de science fiction de
Isaac Asimov, sont des règles auxquelles tous les robots qui apparaissent
dans sa fiction obéissent.
•
•
•
Un robot ne peut porter atteinte à un être humain, ni, restant passif, permettre
qu'un être humain soit exposé au danger.
Un robot doit obéir aux ordres que lui donne un être humain, sauf si de tels ordres
entrent en conflit avec la Première loi.
Un robot doit protéger son existence tant que cette protection n'entre pas en
conflit avec la Première ou la Deuxième loi.
14
Superman-mechanical-monster

15. Campus centre
Généralités
• Composition d'un robot:
• Capteurs qui informent sur l’état de celui-ci
• Des actionneurs qui agissent sur le système à réguler
• Un outil de correction -généralement logiciel- pour améliorer la
qualité de la régulation (vitesse de réaction, précision, justesse,
adaptabilité du système à des situations nouvelles…)
15

16. Généralités
Campus centre
•
Exemple de robots :
Robots mobiles
Bio-inspirés
Micro-Nano Robots
Asimo
Icare de l’INRIA
L'AR.Drone 2.0 de Parrot
Interaction avec le sang
SeaExplorer
https://www.youtube.com/watch?v=Q3M4S7_ISs0
BigDog
16

17. Généralités
Campus centre
Robots manipulateurs
Robots médicaux
Kuka
Delta ABB
17

18. Campus centre
Généralités
• Domaine d’application:
• Automobile
Robot soudeur
Chaîne d’assemblage
Robot peintre
18

19. Campus centre
Généralités
• Domaine d’application:
• Chaîne de production
19

20. Campus centre
Généralités
• Domaine d’application:
• Exploration spatiale
Spirit, NASA,2003, sur Mars
Canadarm
20

21. Campus centre
Généralités
• Domaine d’application:
• Sécurité, Militaire
Predator B Drone
Robot Démineur
21

22. Campus centre
Généralités
• Domaine d’application:
• Services
Robot Aspirateur
Robot lave vitre
Robot pour ramasser des personnes
victimes d’une simulation d’attaque
radiologique
22

23. Campus centre
Généralités
• Domaine d’application:
• Chirurgie et médical
23

24. Chorégraphe
Monitor
Naosim
24

25. Campus centre
Chapitre 2
Les transformations rigides
(rappels mathématiques pour l’étude des mécanismes
poly-articulés)
•Notations et définitions
•Rotations
25

26. Campus centre
Notations et définitions
• Points:
• Soit un repère R (O,x,y,z), la position d’un point M est donnée par un
triplet de coordonnées. Les coordonnées de ce point sont représentées
par un vecteur sous la forme d’une matrice colonne
X
Y
z
• Le mouvement du point est la courbe paramétrée m(t) donnant sa
position au cours du temps.
26

27. Campus centre
Notations et définitions
• Solides:
• Un solide est indéformable si , pour toute paire de point de ce solide de
cordonnées m et n , la distance entre ces deux point reste constante au
cours du temps.
||m(t) − n(t)|| = ||m(0) − n(0)||
• Le mouvement rigide est le mouvement de chacun de ces points.
• La situation du solide est donnée par la position et l’orientation
dans R d’un repère lié au solide.
27

28. Campus centre
Notations et définitions
• Degrés de liberté:
• Il y a 6 degrés de liberté dans l’espace.
3 en position + 3 en orientation
28

29. Campus centre
Notations et définitions
• Degrés de liberté d’un solide dans l’espace:
29

30. Campus centre
Notations et définitions
• Degrés de liberté d’un solide dans le plan:
Déterminer les degrés de liberté d’un robot
mobile à roues.
Application:
1. Dans le plan, quel sont les coordonnées d’un solide ?
2. Quel sont les degrés de liberté du robot ?
3. Est-ce équivalent ?
Le robot avance de t puis tourne de Ө.
Le robot tourne de Ө puis avance de t.
4. Donner les coordonnées du robot.
5. A partir d’une position initiale, le robot tourne de Ө puis
avance de t. Donner sa nouvelle position
6. A partir d’une position initiale, le robot tourne de Ө puis
avance de t puis tourne de α puis avance de d. Donner son
positionnement.
30

31. Campus centre
Notations et définitions
• Transformation rigide:
• Une transformation rigide est le résultat d’un mouvement
rigide amenant le solide d’une situation initiale à une
situation finale.
31

32. Campus centre
Rotations
• 1.Matrice de rotation:
• On considère deux repères R et R’ qui ont la même origine O.
La matrice R = (x y z) est appelée matrice de rotation
(ou encore matrice de passage ou matrice de
changement de base) du repère R vers le repère R’.
32

33. Campus centre
Rotations
• 1.Matrice de rotation
• En deux dimensions:
Exprimer A’x et A’y en fonction de Ax et Ay ?
33

34. Campus centre
Rotations
• 1.Matrice de rotation
• En deux dimensions:
En deux dimensions, les matrices de rotation ont
la forme suivante :
Cette matrice fait tourner le plan d'un angle Ө.
Si
34

35. Campus centre
Rotations
• 1.Matrice de rotation
• En trois dimensions:
•
Dans un espace euclidien à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes
correspondent à des rotations autour des axes x, y et z (respectivement) :
Les rotations opèrent ainsi :
Rx tourne l'axe y vers l'axe z, Ry tourne l'axe z vers l'axe x et Rz tourne l'axe x vers l'axe y
En pratique, pour déterminer le sens de rotation, on peut utiliser la règle de la main droite.
35

36. Campus centre
Rotations
• a) Rotation d’un point appartenant à un solide
• m et m’ sont les coordonnées d’un point M dans R et R’
Les coordonnées des vecteurs de la base R’ exprimées dans R
sont notées : x’,y’,z’
Les coordonnées de M dans R sont:
36

37. Campus centre
Rotations
Exemple d’application :
t
Soit M de coordonnées : (1 5 9) dans R
Déterminer les coordonnées du point transformé par une rotation de centre O
et d’angle Ө autour de z .
37

38. Rotations
Campus centre
b) Rotation d’un vecteur :
La rotation s’applique aussi sur une vecteur.
Les coordonnées d’un vecteur est la différence des coordonnées de deux points.
Soit un vecteur V de coordonnées v=m-n
Et v’=m’-n’
Alors on a :
Et donc :
38

39. Campus centre
Rotations
c) Propriétés des rotations:
L a matrice de rotation R est constituée de colonnes orthonormales
1. La combinaison de deux rotation R1 et R2 est la rotation R1R2
2. Il existe un unique élément neutre qui est la matrice identité d’ordre 3
3. Il existe une unique inverse
4. La rotation est une transformation rigide :
39

40. Rotations
Campus centre
• c) Combinaison de rotations:
Soient deux rotations R1 et R2
R1R2≠R2R1
Deux cas se présentent pour combiner les rotations
Premier cas
Deuxième cas
On effectue la seconde
rotation par rapport au repère
résultant de la première
rotation .
Problème de changement de
base.
On effectue les deux rotations
par rapport `a un unique
repère, fixe.
Problème de rotation
successive.
40

41. Campus centre
Rotations
d) Représentation de l’orientation d’un solide dans l’espace:
• La donnée d’une base attachée à un solide S en rotation détermine de
manière unique son orientation dans l’espace.
Matrice de rotation Angles d’Euler classiques
et cosinus directeurs
Angles roulis, tangage et
lacet
41

42. Campus centre
Rotations
• 2. Transformations rigides:
• Matrices de passages homogènes
42

43. Campus centre
Chapitre 3
Les bras manipulateurs
Mouna Souissi
Mouna.souissi@hei.fr
43

44. Plan
Campus centre
1. Morphologie des robots manipulateurs
2. Chaine cinématique d’un bras manipulateur
3. Paramètres de Denavit-Hartenberg modifiées




Convention
Principe
Hypothèses
Applications
44

45. Campus centre
Morphologie des robots
manipulateurs
Mécanisme = un ensemble de solides reliés 2 à 2 par des liaisons
Il existe 2 types de mécanismes:
mécanismes en chaîne simple
ouverte
mécanismes en chaîne
complexe
45

46. Campus centre
Morphologie des robots
manipulateurs
• Pour représenter un mécanisme, on dispose de 2 méthodes :
• Le schéma cinématique : On utilise la représentation
normalisée des liaisons pour représenter le mécanisme, soit
en perspective, soit en projection.
• Le graphe, non normalisé.
• Exemple :
• Graphe de liaison d’un robot mobile
46

47. Campus centre
Morphologie des robots
manipulateurs
• Afin de dénombrer les différentes architectures possibles, on
ne considère que 2 paramètres : le type d'articulation (rotoïde
(R) ou prismatique (P)) et l'angle que font deux axes
articulaires successifs.
Glissières (prismatic,P-joint)
Pivots (revolute, R-joint)
47

48. Campus centre
Morphologie des robots
manipulateurs
Articulation prismatique, noté P
1 ddl en translation Tx .
Valeur articulaire q = longueur [m].
Articulation rotoïde, noté R
1 ddl en rotation Rx .
Valeur articulaire q = angle [rad], [].
48

49. Campus centre
Morphologie des robots
manipulateurs
• Chaine cinématique :
49

50. Campus centre
Morphologie des robots
manipulateurs
50

51. Campus centre
Morphologie des robots
manipulateurs
Architecture série
Architecture parallèle
Mécanisme en chaîne cinématique
Mécanisme en chaîne cinématique fermée
ouverte constitué d’une alternance de corps et dont l'organe terminal est relié à la base par
de liaisons.
plusieurs chaînes cinématiques
indépendantes.
51

52. Campus centre
Morphologie des robots
manipulateurs
• Espace de travail:
52

53. Campus centre
Morphologie des robots
manipulateurs
• Espace de travail:
53

54. Campus centre
Chaine cinématique d’un bras
manipulateur
• On supposera par la suite les bras manipulateurs constitués
de n corps mobiles reliés entre eux par n liaisons rotoides et
ou prismatiques formant une structure de chaine simple.
• Pour identifier la nature de la i-ème liaison du bras
manipulateur, on définit le paramètre:
0 pour une liaison rotoide
σi=
1 pour une liaison prismatique
54

55. Campus centre
Chaine cinématique d’un bras
manipulateur
Un bras manipulateur est la succession des liaisons.
55

56. Campus centre
Chaine cinématique d’un bras
manipulateur
 Coordonnées généralisé X = [P,R]
(position P / orientation R)
 Coordonnées articulaire q
(consignes données aux moteurs : soit rotation autour d’un axe soit
translation suivant un axe)
 Paramètres géométriques Ϛ qui définissent de façon statique les dimension
du robot
56

57. Campus centre
Paramètres de Denavit-Hartenberg
modifiés
• Selon cette convention, chaque transformation est
représentée
comme
le
produit
de
quatre
transformations basiques.
• Li une liaison rotoïde ou prismatique parfaite c’est-à-dire suivant un
seul axe, donc représentée par un seul paramètre.
• (Oi , xi , yi , zi ) le repère lié à la liaison i.
•
•
•
•
Oi−1
xi−1
zi−1
yi−1
57

58. Campus centre
Paramètres de Denavit-Hartenberg
modifiés
ai-1
di-1
58

59. Campus centre
Paramètres de Denavit-Hartenberg
modifiés
• Chaque transformation entre deux corps successifs est donc
décrite par quatre paramètres :
• αi-1:
• di-1:
• Өi :
• ai :
59

60. Campus centre
Paramètres de Denavit-Hartenberg
modifiés
• Exemple d’application:
Déterminer les paramètres de Denavit Hatenberg
de bras manipulateur suivant ?
60

61. Campus centre
Paramètres de Denavit-Hartenberg
modifiés
• Réponse:
di-1
ai-1
61

62. Campus centre
Paramètres de Denavit-Hartenberg
modifiés
• Relation géométrique :
• La matrice de rotation entre les corps Ci-1 et Ci est :
62

63. Campus centre
Exercices d’application
63

64. 64

65. 65

66. Campus centre
Chapitre 4
Modélisation des bras
manipulateurs
Mouna Souissi
Mouna.souissi@hei.fr
66

67. Campus centre
Plan
1. Configuration d’un bras manipulateur
2. Modèle géométrique direct
3. Modèle géométrique inverse
67

68. Configuration d’un bras manipulateur
Campus centre
• La configuration d’un système est connue quand la
position de tous ses points dans R0 est connue.
• Pour un bras manipulateur, elle est définie par un
vecteur q de n coordonnées indépendantes appelées
coordonnées généralisées. La configuration est alors
naturellement définie sur un espace N dont la
dimension n est appelée indice de mobilité.
68

69. Configuration d’un bras manipulateur
Campus centre
• Les coordonnées généralisées correspondent
aux grandeurs caractéristiques des différentes
articulations : angles de rotation pour les
liaisons rotoides, translations pour les liaisons
prismatiques. On note:
69

70. Campus centre
Configuration d’un bras manipulateur
• La situation x de l’OT du bras manipulateur est
alors
définie
par
m
coordonnées
indépendantes
dites
coordonnées
opérationnelles, qui donnent la position et
l’orientation de l’OT dans R0.
70

71. Modèle géométrique direct
Campus centre
• Exprime la situation de son OT en fonction de
sa configuration:
71

72. Campus centre
Modèle géométrique inverse
• Le modèle géométrique inverse (MGI) d’un bras
manipulateur permet d’obtenir la ou les
configurations correspondant à une situation de l’OT
donnée. Un MGI est donc tel que :
72

73. Campus centre
Modèle géométrique inverse
• Il s'agit de déterminer les coordonnées articulaires q
permettant d'obtenir une situation désirée pour l'organe
terminal et spécifiée par les coordonnées opérationnelles
X
• Il n'existe pas de méthode systématique d'inversion du
modèle géométrique.
• Lorsqu'elle existe, la forme explicite, issue d'une
inversion mathématique, qui donne toutes les solutions
possibles au problème inverse constitue le modèle
géométrique inverse.
73

74. Campus centre
Modèle géométrique inverse
(Résolution)
• Méthode classique (1970-1980)(de Paul)
 Utilisable par la plupart des robots industriels
 Résolution simple, utilisation de modèle de résolution
• Méthode algébrique (Raghavan et Roth 1990)
 Technique de l’élimination dyalitique
• Méthode numérique (Newton)
 Quand on ne sait pas faire
 Problème de l’unicité des solutions
74

75. Modèle géométrique inverse
Campus centre
(Méthode de Paul)
• Dans le cas de robots à géométrie simple (distances
dj et aj sont nulles et les angles Өj et αj sont égaux à
0 et +/- 90°), le modèle géométrique inverse (M.G.I.)
peut être obtenu analytiquement via la méthode de
Paul.
• Présentation
• Un robot est décrit par la matrice de transformation
suivante:
75

76. Modèle géométrique inverse
Campus centre
(Méthode de Paul)
Soit H0 la situation du repère R0(lié à l'organe terminal) décrit par
H0
• La méthode de Paul permet la détermination de q1 , puis q2
et ainsi de suite jusqu'à qn. Il s'agit de déplacer l'une après
l'autre chacune des variables articulaires (q1,….,qn ) dans le
membre de gauche de l'équation.
• Pour cela, on multiplie par de part et d'autre dans
l'équation.
76

77. Modèle géométrique inverse
Campus centre
(Méthode de Paul)
77

78. Modèle géométrique inverse
Campus centre
(Méthode de Paul)
78

79. Modèle géométrique inverse
Campus centre
(Méthode de Paul)
• Remarque :
• Si le poignet est d’axes concourants (rotule), la résolution est
plus simple.
• De la même façon, si la chaîne cinématique possède 3R à axes
concourants ou 3 articulations prismatiques le MGI est
simplifié
• Le nombre de solutions du MGI d’un robot à 6 liaisons varie
mais ≤16. (16 pour RRRRRR)
79

80. Modèle géométrique inverse
Campus centre
Méthode algébrique (Raghavan et Roth 1990)
80

81. Campus centre
Modèle géométrique inverse
Méthode Numérique (pour les cas à problèmes)
81

82. Campus centre
Modèle géométrique inverse
• Application de méthode de Paul sur un robot à
6 degrés de liberté (6dll) avec poignet :
82

83. Chapitre 5
Modèle cinématique
83

84. Modèle cinématique
•
Le modèle cinématique direct d’un robot manipulateur décrit
les vitesses des coordonnées opérationnelles en fonction des
vitesses articulaires. Il est noté :
J(q) désigne la matrice jacobéenne de dimension (m×n) du
mécanisme est égale à : dx/dq
Et fonction de la configuration articulaire q
84

85. Modèle cinématique direct
85

86. Modèle Différentiel Direct
86

87. Calcul de la jacobienne
(cas plan)
87

88. Calcul de la jacobienne
(dans l’espace)
• Pour les robots séries, cette dérivation peut être très
compliquée et difficile à manipuler.
• Il existe une méthode systématique pour calculer une
jacobienne dite cinématique.
• Une projection permet de passer des vitesses des
coordonnées opérationnelles aux vitesses de translation,
rotation.
88

89. Calcul de la jacobienne
(dans l’espace)
89

90. Notions de singularité
• Pour les robots séries
• Si pour une configuration det(J(q)) = 0, alors il
y a singularité. Le robot perd localement la
possibilité d’engendrer une vitesse le long ou
autour de certaines direction.
ou
• Le robot est en limite de l’espace de travail.
(limite structurel)
90

91. Génération de mouvement
• La tâche de déplacement d'un robot est spécifiée
en définissant un chemin que le robot doit suivre.
• Un chemin est une séquence de points définis soit
dans l'espace des tâches (espace opérationnel)
(afin de situer l'organe terminal), soit dans
l'espace articulaire (espace des configurations) du
robot (afin d'indiquer les valeurs des paramètres
des articulations).
91

92. Génération de mouvement
• Les trajectoires d'un robot peuvent être classifiées comme suit :
1er cas
• les mouvements entre 2 points avec des mouvements libres entre
les points,
• les mouvements entre 2 points via une séquence de points
intermédiaires désirés, spécifiés notamment pour éviter les
obstacles ; la trajectoire est libre entre les points intermédiaires,
2ème cas
• les mouvements entre 2 points, la trajectoire étant contrainte
entre les points (trajectoire rectiligne par exemple),
• les mouvements entre 2 points via des points intermédiaires, la
trajectoire étant contrainte entre les points intermédiaires.
92

93. Génération de mouvement
93

94. Campus centre
Chapitre 6
Modèle dynamique
Mouna Souissi
Mouna.souissi@hei.fr
94

95. Campus centre
Modèle dynamique direct
• Objectif
Exprimer la relation entre
les forces en présences
efforts moteurs
inerties
gravité
forces de dissipations
interaction avec la tâche
(effort sur l’effecteur)
les grandeurs cinématiques
Déplacements
vitesses
accélérations
95

96. Campus centre
Modèle dynamique direct
• Données:
efforts appliqués C(t) + état initial
• Résultats:
• variables articulaires Θ(t)
• trajectoire dans l’espace de travail X(t)
On obtient un système non-linéaire d’équations différentielles du second ordre à
intégrer dans le temps
96

97. Campus centre
Modèle dynamique inverse
• Données: trajectoire X(t)
• Résultats: efforts nécessaires C(t) pour atteindre ou maintenir
une configuration
Objectif : évaluation des caractéristiques
mécaniques des actuateurs et des organes de
transmissions et prédire le comportement
dynamique du système.
dimensionnement des moteurs et actuateurs
97

98. Campus centre
Modèle dynamique inverse
• FORMALISMES POSSIBLES
EULER-NEWTON
• schéma rendu libre des composants isolés
• équilibre dynamique des membres
• bien adapté à une procédure récursive conduisant à un nombre minimum
d’opérations arithmétiques
LAGRANGE
• basé sur les équations de Lagrange du système
• basé sur l ’évaluation des énergies cinétique et potentielle due à la gravité,
et le travail virtuel des forces et couples extérieurs
• approche plus systématique
• mais procédure récursive plus compliquée et donc de coût numérique plus
élevé
98

99. Campus centre
Formalisme de lagrange
• Considérons un robot idéal sans frottement, sans élasticité et ne
subissant ou exerçant aucun effort extérieur.
• Le formalisme de Lagrange décrit les équations du mouvements
en terme de travail et d’énergie du système :
•
•
•
L : lagrangien du système égale à E-U
E : énergie cinétique totale du système
U : énergie potentiel totale du système
99

100. Campus centre
Formalisme de lagrange
Expression du modèle du robot :
100