Orientações pedagógicas para matemática e português

GOVERNO DO RIO DE JANEIRO
SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO

Orientações
Pedagógicas
- SAERJINHO -

REFORÇO
ESCOLAR

JUNHO – 2011

1

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 7- 9

CADERNO DE MATEMÁTICA 10 -69

Apresentação 11

Capítulo 1: ORIENTAÇÕES PEDAGÓGICAS PARA O 5° ANO

TÓPICO II – GRANDEZAS E MEDIDAS:
 H24 – Ler horas em relógios de ponteiros ou digital......................................................13
 H29 – Resolver problema envolvendo trocas entre cédulas e moedas do sistema
monetário, em função de seus valores.............................................................................15

TÓPICO III – NÚMEROS E OPERAÇÕES/ ÁLGEBRA E FUNÇÕES:
 H34 – Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal, tais como
agrupamentos e trocas na base 10 e princípio do valor posicional..................................19
 H37 – Reconhecer a escrita por extenso dos numerais...................................................22

TÓPICO IV – TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO:
 H82 – Ler informações e dados apresentados em tabelas...............................................23


 H36 — Identificar a localização de números reais na reta numérica ........................... 28
 H39 — Identificar a localização de números inteiros na reta numérica ....................... 29
 H42 — Identificar a localização de números racionais na reta numérica...................... 30
 H65 — Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais........................ 32

 H115 — Resolver problemas envolvendo o cálculo de Média Aritmética simples e
ponderada.........................................................................................................................33

2

Capítulo 3: ORIENTAÇÕES PEDAGÓGICAS PARA A 1° SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

 H32 — Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas, com
ou sem malhas quadriculadas .........................................................................................36
 H33 — Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas, com ou sem
malhas..............................................................................................................................41

 H111 — Identificar uma equação do 2° grau que expressa um problema ....................43
 H50 — Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em
gráficos ...........................................................................................................................46
 H103 — Resolver problemas com números reais envolvendo as operações (adição,
subtração, multiplicação, divisão, potenciação ).............................................................48

Capítulo 4: ORIENTAÇÕES PEDAGÓGICAS PARA O 2° SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

TÓPICO I – ESPAÇO E FORMA
 H90- Resolver problemas envolvendo a lei dos cossenos ou a lei dos senos ............ 51
TÓPICO II – GRANDEZAS E MEDIDAS
 H26 - Resolver problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida..... 52

 H56 — Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º grau por meio de seus
coeficientes......................................................................................................................54
 H59 — Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu
gráfico .............................................................................................................................55
 H67 — Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica,
reconhecendo-a como inversa da função exponencial....................................................57


 H31 — Resolver problemas envolvendo noções de volume ........................................60

 H43 — Resolver problemas envolvendo equações do 2° grau. ...............................61
 H54 — Resolver problema envolvendo P.A/P.G dada a fórmula do termo geral .......63
 H75 — Resolver problema de contagem utilizando o principio multiplicativo ou noções
de permutação simples, arranjos simples e/ou combinações..........................................64

 H116 — Resolver problemas envolvendo o cálculo da média aritmética ou mediana ou
moda ...............................................................................................................................65

3

Capítulo 6: REFERÊNCIAS VIRTUAIS............................................................................67

CADERNO DE LÍNGUA PORTUGUESA / LITERATURA 70 - 142

Apresentação 71


TÓPICO I – PROCEDIMENTOS DE LEITURA:
 H01 – Localizar informações explícitas em um texto.....................................................73
 H02 – Inferir o sentido de palavra ou expressão.............................................................75

TÓPICO II – IMPLICAÇÕES DO SUPORTE E DO GÊNERO TEXTUAL:
 H07 – Identificar a finalidade de textos de diferentes gêneros........................................77

TÓPICO IV – PROCESSAMENTO DO TEXTO
 H23 – Estabelecer relações lógico-discursivas presentes no texto, marcadas por
conjunções, advérbios etc ...............................................................................................79

TÓPICO V – RELAÇÕES ENTRE RECURSOS EXPRESSIVOS E EFEITOS DE
SENTIDO:
 H25 – Identificar efeitos de ironia ou humor em textos variados...................................81


 H02 — Inferir o sentido de palavra ou expressão ..........................................................83

 H08 — Identificar o gênero de diversos gêneros ...........................................................85
.
TÓPICO IV – PROCESSAMENTO DO TEXTO:
 H16 — Estabelecer relações entre partes de um texto, identificando repetições ou
substituições que contribuem para a continuidade de um texto...................................88
 H20 — Diferenciar as partes principais das secundárias em um texto......................... 93
4

 H23 — Estabelecer relações lógico-discursivas presentes no texto, marcadas por
conjunções, advérbios, etc...............................................................................................95

Capítulo 3: ORIENTAÇÕES PEDAGÓGICAS PARA A 1° SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

 H08 — Identificar o gênero de diversos gêneros............................................................98
 H09 – Reconhecer os elementos da comunicação.......................................................101

TÓPICO IV – PROCESSAMENTO DO TEXTO:
 H16 — Estabelecer relações entre partes de um texto, identificando repetições ou
substituições que contribuem para a continuidade de um texto....................................104
 H23 — Estabelecer relações lógico-discursivas presentes no texto, marcadas por
conjunções, advérbios, etc.............................................................................................107
 H24 — Estabelecer relações de concordância nominal e verbal.................................. 111


 H05 – Distinguir um fato da opinião relativa a esse fato..............................................115

 H11 – Reconhecer os modos de organização das diferentes tipologias textuais ..........118
 H15 – Reconhecer posições distintas entre duas ou mais opiniões relativas ao mesmo
fato ou ao mesmo tema..................................................................................................121

TÓPICO III – RELAÇÃO ENTRE TEXTOS:
 H22 – Estabelecer relação causa/consequência entre partes e elementos do texto.......123
 H29 – Reconhecer efeitos provocados pelo emprego de recursos estilísticos.............126


 H10 – Identificar as funções da linguagem...................................................................128
 H12 – Reconhecer características do texto poético ......................................................130

TÓPICO III – RELAÇÃO ENTRE TEXTOS:
 H14 – Reconhecer diferentes formas de tratar uma informação na comparação de textos
que tratam do mesmo tema, em função das condições em que ele foi produzido e
daquelas em que será recebido .....................................................................................132
 H21 – Identificar o conflito gerador do enredo e os elementos que constroem textos
narrativos.......................................................................................................................134
 H26 – Reconhecer o efeito de sentido decorrente do uso da pontuação e de outras
notações.........................................................................................................................137

Capítulo 6: REFERÊNCIAS VIRTUAIS..........................................................................140

5

INTRODUÇÃO

Este caderno foi confeccionado por um grupo de professores regentes da rede estadual,
sob a orientação de uma equipe de profissionais do CAEd – Centro de Políticas Públicas e
Avaliação da Educação, da Universidade Federal de Juiz de Fora, a mesma instituição
responsável pela elaboração e condução das avaliações bimestrais na rede estadual
(Saerjinho). Ele se propõe a oferecer um conjunto de sugestões e esclarecimentos acerca de
algumas das habilidades que foram testadas no Saerjinho do 1º bimestre de 2011 e que foram
identificadas, mediante a análise dos resultados dos alunos, como importantes para receberem
uma atenção especial dos professores e alunos, no sentido de retomarem o estudo dessas
habilidades, nos bimestres subsequentes, em revisões ou aulas de reforço, com intuito de
melhorarem o domínio e obterem melhores resultados nas próximas avaliações.

Certamente, encorajamos que os professores façam eles mesmos a avaliação das
habilidades críticas (aquelas que tiveram os piores índices de acerto) a partir da avaliação dos
resultados específicos de suas turmas, a fim de concentrarem suas práticas no reforço das
habilidades mais necessárias para aquele grupo determinado de alunos. Recomendamos, para
isso, que os professores acessem os resultados de suas turmas no site
www.saerjinho.caedufjf.net, com o auxílio do diretor de sua escola. No entanto, oferecemos
aqui uma amostra, com cerca de 5 habilidades para cada ano ou série testado no Saerjinho, em
Língua Portuguesa/Literatura e em Matemática, que esclarece e ilustra algumas possibilidades
de trabalho pedagógico, buscando não só o desenvolvimento da habilidade testada na
avaliação, mas também uma maior interação entre turma e professor por meio de atividades
dinâmicas.

Deseja-se também proporcionar um melhor entendimento a respeito das matrizes de
referência dos Exames Externos aos quais os alunos são submetidos, sejam os de âmbito
Estadual ou Nacional, em especial, o Saerjinho. Por isso, cabem aqui nesta apresentação
alguns esclarecimentos acerca da própria proposta do Saerjinho, especialmente em contraste
com outro instumento bimestral da SEEDUC, o Currículo Mínimo:

• O SAERJINHO é uma avaliação externa que permite que o professor e a escola
acompanhem a evolução do aprendizado dos alunos bimestralmente, até a testagem
final, no SAERJ, o que possibilita as adequações no plano de curso do professor, a fim
de corrigir as deficiências mais apontadas em cada bimestre.

• O SAERJINHO não foi concebido para verificar o cumprimento do Currículo Mínimo
pelo professor, mas está alinhado a este em muitas habilidades. Para avaliar as
competências e habilidades propostas no Currículo Mínimo junto aos seus alunos, o
professor deve valer-se de todo o conjunto de instrumentos de avaliações de que
dispõe, inclusive o Saerjinho, que pode ser aproveitado para o cálculo da nota
bimestral dos seus alunos com o valor e as características que o professor julgar mais
adequadas.

• O SAERJINHO não testa apenas as habilidades que devem ser trabalhadas naquele
bimestre, mas um conjunto de habilidades que os alunos devem acumular ao longo da

7

sua formação e que são testadas nas demais avaliações externas (SAERJ e SAEB ou
Prova Brasil).

• O SAERJINHO possui uma MATRIZ DE REFERÊNCIA própria, que explicita quais
são as habilidades que estarão sendo testadas a cada ano e bimestre. A matriz do
Saerjinho encontra-se disponível para consulta e download nos sites:
www.conexaoprofessor.rj.gov.br e http://www.rj.gov.br

• Apesar de ambos conterem listagem de habilidades que devem ser desenvolvidas pelos
alunos, Currículo Mínimo e Matriz de Referência do Saerjinho diferem em seus
objetivos. Para melhor esclarecer essas diferenças, esquematizamos o quadro a seguir:

CURRÍCULO MÍNIMO MATRIZ DE REFERÊNCIA
SAERJINHO

Define as competências e habilidades Define as habilidades que são testadas
que devem compor formação básica no SAERJINHO.
―ideal‖ para o educando.

As competências e habilidades listadas As habilidades listadas referem-se
referem-se àquelas que não podem àquelas que os alunos devem ter
deixar de ser desenvolvidas nas aulas acumulado ao longo da sua formação,
da rede estadual, numa organização além daquelas desenvolvidas no
bimestral que leva em conta a carga bimestre específico da testagem,
horária da disciplina na matriz conforme previsto no Currículo Mínimo.
curricular, e considera que o professor,
em seu plano de curso, fará os ajustes e
complementações necessárias para o
bom aproveitamento do processo de
ensino-aprendizagem.

Apresenta todas as competências e Apresenta aquelas habilidades passíveis
habilidades básicas e necessárias aos de serem avaliadas em um teste de
objetivos da Educação Básica: múltipla escolha, importantes para a
formação cidadã para o mundo da formação básica e recorrentes nas de
cultura, do trabalho e/ou para estudos avaliações externas nacionais e estaduais
posteriores. às quais os alunos são submetidos.

Reflete as seguintes referências: LDB, Reflete as seguintes referências: matriz
Diretrizes Curriculares Nacionais, do SAERJ, matriz da Prova Brasil ou
PCNs, matrizes de Referência SAERJ, SAEB e habilidades selecionadas do
Prova Brasil / SAEB e ENEM, temas e Currículo Mínimo.
conteúdos relevantes na tradição e nas
evoluções do ensino nas diferentes
áreas de conhecimento científico.

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Orienta o planejamento de curso dos Orienta a construção de um diagnóstico,
professores, de maneira ampla. É pelo professor, das habilidades
desenvolvido de acordo com a importantes que seus alunos devem
realidade de condições e alunado da ainda desenvolver para que tenham um
rede estadual e em consonância com as bom desempenho nas avaliações
exigências legais, as diretrizes externas.
nacionais e as avaliações externas a que
nossos alunos são submetidos.

Esperamos que essas Orientações auxiliem num entendimento cada vez mais amplo de
todos os profissionais da rede estadual acerca das avaliações externas e do alinhamento da sua
prática diária às necessidades que o processo de ensino-aprendizagem se nos impõe. Não
temos a pretensão de estabelecer aqui metodologias completas de reforço nem de suprir, com
materiais didáticos, todas as necessidades do ensino que os professores identificarão, mas
acreditamos, através do roteiro que se segue, poder contribuir ao professor para o
planejamento das suas aulas e para a elaboração de exercícios e ou atividades de reforço,
tomando como ponto de partida os pré-requisitos referentes a cada descritor contido no
SAERJINHO do 1º bimestre.

9

CADERNO
DE
MATEMÁTICA

10

APRESENTAÇÃO

Caro Professor,

Este caderno visa a fornecer algumas Orientações Pedagógicas de Matemática, que
podem servir ao planejamento e execução de atividades de reforço escolar, referentes ao 1º
Bimestre de 2011 da Rede Estadual do Rio de Janeiro. Este conjunto de orientações apresenta
sugestões para auxiliar os professores no ensino de algumas habilidades críticas, testadas no
Saerjinho do 1º bimestre, que eventualmente não tenham tido um bom aproveitamento junto
ao seu grupo de alunos, de acordo com o resultado desta avaliação.
Deseja-se também proporcionar um melhor entendimento a respeito das matrizes de
referência dos Exames Externos aos quais os alunos são submetidos, sejam os de âmbito
Estadual ou Nacional. Para isso, optamos por apresentar as orientações relacionadas
diretamente aos descritores (habilidades) relativos a cada ano/série. Estas habilidades
encontram-se, portanto, detalhadas e estão separadas por tópicos, que determinam diferentes
campos conceituais da matemática. São eles:

 TÓPICO I – Espaço e Forma
 TÓPICO II – Grandezas e Medidas
 TÓPICO III – Números e Operações / Álgebra e Funções
 TÓPICO IV – Tratamento da Informação

Algumas habilidades, apesar de serem abordadas apenas em um dos capítulos a seguir,
referem-se a mais de um ano/série na matriz de referência do SAERJINHO, conforme
ilustrado na tabela abaixo, de forma que os professores não precisam se deter apenas aos
capítulos referentes ao ano/série que leciona para obter ideias e sugestões para o trabalho com
uma diversidade de habilidades junto a suas turmas.

Habilidades 9°ano 1° Série 2° Série 3°Série
H31
H32
H33
H36
H43
H50
H59

Para auxiliar na elaboração das aulas, no capítulo 6 disponibilizamos algumas
referências de sites na internet, onde o professor poderá obter objetos de aprendizagem, outras
orientações pedagógicas, roteiros de aulas e diversas sugestões de atividades, relativos a essas
habilidades apresentadas, além do outras habilidades do ensino de Matemática. Com essas
referências, o professor pode ainda obter recursos didáticos que possibilitarão o ensino da
Matemática usando diferentes metodologias, tais como o uso de softwares, vídeos, entre
outros.
Não temos a pretensão de estabelecer aqui metodologias completas de reforço, mas
acreditamos, através do roteiro que se segue, poder contribuir ao professor no o planejamento
11

das suas aulas e na elaboração de exercícios e ou atividades de reforço, tomando como ponto
de partida os pré-requisitos referentes a cada descritor contido no SAERJINHO do 1º
bimestre. A partir destes, sugerimos algumas atividades que o professor pode vir a
desenvolver para que o aluno compreenda o conteúdo de forma gradativa. Nosso desejo é
tornar o ensino da Matemática mais eficiente na medida em que focamos as dificuldades mais
recorrentes no desenvolvimento de cada habilidade e apresentamos sugestões variadas para o
trabalho pedagógico com as mesmas.

Raquel Costa da Silva Nascimento
Coordenadora de Matemática da Seeduc

Professores Elaboradores

 Ana Paula dos Santos Gargano – C. E. Professor Joel de Oliveira / C. E. Rodrigo Otávio
Filho
 André Luiz Souza Silva – Ciep 441 – Mané Garrincha
 Arides Rodrigues de Almeida Júnior – C. E. Álvaro Alvim
 Edson de Souza Carneiro Fialho – C. E. Profª Sandra Maria dos Santos Sousa / Ciep 135 –
Afonso Henrique de Lima Barreto
 Elaine da Silva Marinho – C. E. Padre Anchieta
 Herivelto Nunes Paiva – C. E. Pandoá Calógeras
 Janete Candido ds Silva Barros Colégio Estadual Pinto Lima
 Laerte Candido dos Santos – C. E. Frederico Eyer / C.E. Stella Matutina
 Luiz Carlos dos Santos – C. E. Profª Maria Terezinha de C Machado
 Marilsa Maria da Conceição Marcelino
 Paulo Cesar dos Santos Gargano – Ciep 323- Maria Werneck de Castro / C. E. Profª
Sônia Scudese
 Rachel de Seixas Lemos Carvalho – C. E. Pedro Álvares Cabral
 Reginaldo Vandré Menezes da Mota – C. E. Nilo Peçanha
 Therezinha de Azevedo Souza Bacci – C.E. Dr. Rodolpho Siqueira / C.E. Comendador
Valentim dos Santos Diniz - NATA
 Weverton Magno Ferreira de Castro – C. E. Lauro Correa

Coordenação
Raquel Costa da Silva Nascimento
Coordenadora de Matemática da SEEDUC

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1
ORIENTAÇÕES PEDAGÓGICAS DE MATEMÁTICA
5º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL


H24 — LER HORAS EM RELÓGIOS DE PONTEIROS OU DIGITAL

 Item da habilidade H24 utilizado no teste Saerjinho – 1° Bimestre:

PRÉ-REQUISITOS:

Para resolver problemas envolvendo a leitura de relógios de ponteiros, os alunos
deverão ter desenvolvido algumas habilidades consideradas básicas e essenciais, entre elas, ter
atribuído significado à quantificação e ordenação de números, como:

 Ordenar ou seriar acontecimentos, nomeando, por exemplo, o que vem antes e o que
vem depois;
 Relacionar velocidade com o tempo, observando que ao andar mais rápido ele gastará
menos tempo;
 Definir a idade das pessoas (mais nova, mais velha, etc);
13

 Estabelecer relação entre unidades de medidas de tempo (hora/minuto);

A Matemática não deve ser apresentada como algo fora da realidade, é preciso que a
criança participe da construção de determinados conceitos para que ela dê significados aos
símbolos, às expressões e aos desenhos desse campo de conhecimento.

PROPOSTA METODOLÓGICA:

Nesse descritor os enunciados dos itens da avaliação precisam ter linguagem adequada
para a faixa etária dos alunos e serem claros e mínimos, envolvendo contextos integrados à
situação matemática envolvida. Os desenhos e esquemas apresentados em cada item devem
ser necessários para a resolução do mesmo.
O professor pode trabalhar com confecção de material concreto, manipulação de
diversos instrumentos de medidas de tempo que facilitarão a compreensão do conceito de
tempo. Pode também propor situações de leitura de horas. Pode ainda solicitar ao aluno que
estime o horário de encerramento de um evento dado o seu horário de início.

SUGESTÕES DE ATIVIDADES:

ATIVIDADE 1:

— Objetivo: Realizar estimativas do tempo de duração de um evento, a partir do horário de
início e de término.

— Material: Um relógio de ponteiros, jogos de tabuleiro como dama, xadrez.

— Metodologia:
Faça uma rodada de vários jogos de tabuleiro com os alunos em dupla, de tal forma
que eles calculem estimativas do tempo de duração do jogo. Devem ser exploradas as relações
entre a hora e partes da hora em relógios.

ATIVIDADE 2:

— Objetivo: Calcular estimativas do tempo de duração.

— Material: Exercícios contextualizados (em folhas avulsas ou no quadro).

— Metodologia:
As atividades escolares deverão ser vinculadas no dia a dia vivido pela criança.
Solicitar que o aluno estime o horário de encerramento de um evento dado o seu horário de
início.

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Veja exemplo:

Quando Renata colocou uma torta para assar, o relógio marcava:

A torta ficou pronta em 35 minutos. Que horário o relógio estava marcando quando a torta
ficou pronta?

ATIVIDADE 3:

— Objetivo: Ler horas.

— Material: Papel pardo e hidrocor.

— Metodologia:
Faça no papel pardo um relógio sem ponteiros marcando o centro com um ponto. Em
seguida peça a um aluno que se coloque no centro do relógio para ela servir de ponteiro. O
seu braço esquerdo vai ser o ponteiro grande, e a sua perna direita, o seu ponteiro pequeno.
Converse com eles sobre a representação da hora; fale dos ponteiros e da posição dele no
relógio e a seguir peça que marque as horas.
A criança marca as horas com o próprio corpo.

ATIVIDADE 4:

— Objetivo: Confeccionar um relógio.

— Material: Cartolina, colchete de metal, hidrocor e pedaço de borracha (ou isopor).

— Metodologia:
Fazer com os alunos um disco de cartolina, com duas tiras finas de tamanhos
diferentes presa ao centro com colchete, preso no verso pela borracha ou isopor.
Cada aluno deverá confeccionar o seu próprio relógio.

H29 — RESOLVER PROBLEMA ENVOLVENDO TROCAS ENTRE CÉDULAS E MOEDAS DO
SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO, EM FUNÇÃO DE SEUS VALORES.

 Itens da habilidade H29 utilizados no teste Saerjinho – 1° Bimestre:

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PRÉ-REQUISITOS:

Os problemas apresentados acima mostram a importância do sistema monetário no dia-
a-dia das pessoas.
Uma das grandezas com que as crianças têm contato logo cedo é o dinheiro. Essa
grandeza relaciona os números e medidas, incentiva à contagem, ao cálculo mental e ao
cálculo estimativo. O uso de cédulas e moedas, verdadeiras ou imitações, constitui-se em uma
estratégia didático-pedagógica muito farta, propiciando atividades didáticas do tipo: fazer
trocas, comparar valores, fazer operações, resolver problemas, trabalhar com os números
naturais, etc.
Tomamos como base as seguintes habilidades, consideradas básicas e essenciais:

 Reconhecer a representação das diferentes moedas legais em circulação,
compreendendo que a função da moeda é mensuração (ato ou efeito de medir o valor
das mercadorias);
 Compreender os diferentes valores das cédulas e moedas;
 Utilizar o sistema monetário;
 Conhecer o sistema de trocas equivalentes.

Ideias para ensino dos decimais

Resolver problemas utilizando a escrita decimal das cédulas ou moedas do sistema
monetário brasileiro
Os sistemas monetários costumam ter uma unidade monetária dividida em cem partes
iguais, cada uma das quais é um centavo.
Apresentando os números com vírgula, relacionados com o real e os centavos de real,
o professor favorece o aprendizado das crianças.

16

Veja por que:

 Desde o 3º ano, os alunos podem se familiarizar com os números com vírgula
escrevendo quantias em dinheiro.
 As quantias em dinheiro ajudam a entender adições e subtrações.
 Os centavos também ajudam a compreender certas multiplicações.
Exemplo:
Roberto comprou uma bola por R$ 9,80. Ele deu uma nota de R$ 20,00. Quanto
recebeu de troco?


Esta habilidade pode ser desenvolvida com a proposição de problemas simples
envolvendo os valores das cédulas e moedas, em que o estudante é solicitado a realizar a troca
de uma ou mais cédulas por outras cédulas menores ou por moedas, considerando-se seus
valores.
Pretende-se, dessa forma, fazer com que o professor propicie aos seus alunos
condições de:

 Trabalhar a importância da Matemática para solucionar problemas que envolvam
somar, subtrair, multiplicar e dividir.
 Ler e registrar quantias.
 Realizar troco em situações reais, usando os processos aditivo e subtrativo, em
situações-problema; por escrito e oralmente.
 Efetuar operações cujos termos são quantias em dinheiro.
 Reconhecer o valor social das unidades de medidas padronizadas e utilizá-las
adequadamente.

O professor pode propor que os alunos calculem o troco considerando o valor da compra e
o valor dado para pagamento. Para cada objetivo, diferentes estratégias poderão ser aplicadas
para auxiliar as crianças na composição e decomposição de valores. Não deixe de explorá-las
com os alunos:

 Escrita de números em ordem crescente e decrescente;
 Utilização do número (aspecto funcional) em situações do cotidiano;
 Incentivo à criação de novos procedimentos pessoais de cálculo;
 Utilização do livro didático com suas atividades;
 Exercícios no quadro e atividades em folhas avulsas.


ATIVIDADE 1:

— Objetivo: construir o sistema de trocas.

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— Material necessário: notas e moedas de brinquedo do sistema monetário atual.

— Metodologia:

 Separar a turma em duplas;
 Distribuir para cada dupla um pouco de notas e moedas;
 Deixar os alunos manuseando o material por alguns minutos;
 Propor-lhes desafios do tipo:

a) Quem consegue montar R$ 5,00 utilizando duas notas e quatro moedas?
b) De quantas maneiras diferentes, posso montar R$ 1,00 com moedas iguais?
c) Quem consegue montar R$ 50,00 com sete notas?
d) Usando notas e moedas, demonstre pelo menos quatro maneiras diferentes de
representar R$ 100,00.

ATIVIDADE 2:

— Objetivo: Inserir o aluno no ambiente sócio-econômico atual exercitando cálculos do
cotidiano.

— Material necessário: Folhetos de supermercados, tesoura, cola, notas e moedas de
brinquedo.

— Metodologia:
 Dividir a turma em grupos;
 Distribuir para cada grupo os materiais;
 Pedir aos alunos que façam uma lista de compras. Não se esquecendo do máximo que
podem gastar.

Dicas:

Diversifique a lista da seguinte maneira:
 Produtos de higiene pessoal;
 Produtos de limpeza;
 Alimentos para lanche;
 Outros.

Diversifique também o valor em dinheiro.

ATIVIDADE 3:

— Objetivo: Montar uma cesta básica.

— Material: Folhetos de diversos mercados e notas e moedas de brinquedos.

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— Metodologia:

 Pesquisar os produtos recomendados para uma cesta básica recomendados pelo
ministério da saúde.
 Verificar a quantidade de cada produto de acordo com o número de pessoas da família.
 Procurar os melhores preços da região, utilizando os folhetos dos mercados.
 Montar uma cesta básica conforme indicação do Ministério da Saúde com o menor
preço da região.

TÓPICO III – NÚMEROS E OPERAÇÕES:

H34 — RECONHECER E UTILIZAR CARACTERÍSTICAS DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO
DECIMAL, TAIS COMO AGRUPAMENTOS E TROCAS NA BASE 10 E PRINCÍPIO DO VALOR
POSICIONAL.

 Itens da habilidade H34 utilizados no teste Saerjinho – 1° Bimestre:

PRÉ-REQUISITOS:

Para construir o conceito de sistema de numeração decimal, é necessário que os alunos
tenham os seguintes conhecimentos:

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 Conhecer o número natural;
 Utilizar diferentes estratégias para quantificar os elementos de uma coleção;
 Ordenar conjuntos de objetos pela quantidade de elementos;
 Identificar os aspectos cardinal e ordinal do número;
 Realizar agrupamentos de 1ª, 2ª, 3ª ou mais ordens;
 Ler, interpretar e produzir escritas numéricas com base no Princípio Posicional;
 Ter a compreensão da utilização social do número.


Sabemos que o processo para aquisição de um sistema de numeração foi longo e
trabalhoso. Não podemos exigir das crianças que só através da representação simbólica dos
números, ela consiga entender e analisar a necessidade de um sistema posicional. Faz-se
necessário um longo trabalho com material de contagem para que ela possa fazer seus
agrupamentos identificando os diferentes valores que um algarismo pode ter, dependendo da
posição que ele ocupa nesse número.


O professor pode propor estratégias de jogos para testar ou comprovar se as
habilidades estão sendo desenvolvidas.

ATIVIDADE 1: ―Dez Não Pode‖

─ Objetivo: Desenvolver raciocínio lógico, a estimativa, arredondamento e o cálculo mental.

─ Material:

Um dado, caderno e lápis para anotações.
Uma caixa de Material de madeira ou confeccioná-lo em cartolina da seguinte
maneira:

- três quadrados de 10x10 centímetros.

- um retângulo de 15x10 centímetros.

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Com o lápis, divida cada figura em quadradinhos de 1x1 centímetro.
Faça cópias desse material dependendo do número de alunos da classe e distribua um
material para cada aluno.
Peça que deixem dois quadrados 10x10 centímetros (placas) inteiros. Eles
representarão as centenas. Recorte em quadradinhos o outro quadrado (placa).
O quadrado formará um conjunto de 100 quadradinhos de 1x1cm. Eles representarão
as unidades.
Agora, recorte o retângulo de 15x10 centímetros, em barrinhas de 10 quadradinhos em
cada uma. As 15 barrinhas representarão as dezenas.
Peça para os alunos guardarem esse material em saquinhos plásticos ou caixinhas.
Desenhe o material em uma cartolina para deixá-lo exposto no mural.

─ Metodologia:

Peça aos alunos para pegarem uma barrinha (dezena) e cubram com quadradinhos
(unidades). Depois, cobrir o quadrado (centena) com barrinhas (dezenas). Eles irão
perceber que 10 quadradinhos equivalem a uma barrinha e 10 barrinhas, equivalem a
um quadrado. Isto é, 1 dezena = 10 unidades e 1 centena = 10 dezenas. Peça-lhes para
registrarem a descoberta no caderno.
Em duplas, as crianças pegam um dado para o jogo e o material dourado. Um de cada
vez jogará o dado e terá de pegar tantos quadradinhos quantos forem os pontos do
dado.
Quando juntar ―dez quadradinhos‖ ele deve trocá-los pois, ―Dez não pode‖. Deverá
trocá-los por ―uma barrinha‖ e ganha a vez de jogar novamente.
Se sobrarem quadradinhos, ele terá que ir jogando até juntar 10, e trocá-los
novamente.
Vence o jogo quem chegar primeiro ao número combinado ou ao término do tempo
determinado. Se ultrapassar a 10 barrinhas, trocá-las por um quadrado (centena).
Uma outra maneira de treiná-los na escrita dos números é registrar no caderno a
quantidade de pontos em cada jogada.
Duração da atividade: 60 minutos.

ATIVIDADE 2:

— Objetivo: compor e decompor números.

— Material: notas de 1, 10 e 100 de brinquedo.

— Metodologia:

Perguntar aos alunos, pedindo que indiquem com as notas: ―usando notas de 1, 10 e
100 reais como posso pagar:‖
 um livro que custa 24 reais;
 um brinquedo de 63 reais;
 uma bicicleta de 146 reais;
 um armário de 312 reais.

21

H37 — RECONHECER A ESCRITA POR EXTENSO DOS NUMERAIS.


PRÉ-REQUISITOS:

Para reconhecer a escrita por extenso dos numerais o aluno deve:

 Saber ler corretamente;
 Reconhecer os algarismos e números escritos no sistema posicional de base dez.


Esta habilidade avalia especificamente se o aluno é capaz de ler e associar o numeral
escrito por extenso. Neste descritor é importante que o professor reconheça a diferença entre
número e numeral.
O professor pode trabalhar situações do cotidiano envolvendo a escrita dos numerais,
ou propor atividades em sala que possibilitem o desenvolvimento dessa habilidade de forma
diferenciada.


ATIVIDADE 1: Bingo de Numerais

— Objetivo: Ler numerais por extenso

— Material:
 Tiras de papel com numerais por extenso em uma sacola;
 Cartelas contendo vários números. ( Formato de uma cartela normal de Bingo )

— Metodologia:
O professor sorteará os numerais escritos nas tiras de papel, e escreverá o número no
quadro. O aluno que tiver este valor na sua cartela marcará a célula na qual o número se
encontra. Quem preencher todas as células das cartela primeiro vence o jogo.
22


H82 — LER INFORMAÇÕES E DADOS APRESENTADOS EM TABELAS.


PRÉ-REQUISITOS:

Para compreender bem essa habilidade o aluno precisa saber associar as diferentes
colunas das tabelas entre si, para isso é necessário:

 Possuir noções de quantidade;
 Reconhecer os numerais;
 Compreender a estrutura de tabelas;
 Relacionar as diferentes colunas apresentadas na tabela.


 Trabalhar com os alunos noções iniciais de tabelas, distinguindo linhas e colunas.
 Apresentar tabelas e pedir que os alunos identifiquem elementos na mesma.


ATIVIDADE 1: Jogo da Batalha Naval

— Objetivo: Identificar elementos em uma tabela
23

— Material:

 Construa duas tabelas conforme abaixo

— Metodologia:

 Divida a turma em duplas;
 Em cada dupla um aluno desenha em sua tabela um navio.
 O outro aluno deve a partir das coordenadas ( número e letra ) dizer qual parte quer
atacar.
 Vence o aluno que acertar as coordenadas onde o navio está localizado.

ATIVIDADE 2: Jogo Memória

— Objetivo: Identificar elementos em uma tabela.

— Material:
 Construa 8 pares de figuras iguais, totalizando 16 figuras. Embaralhe as figuras e
sobreponha-as na malha quadriculada conforme modelo abaixo:

24

— Metodologia:

 O professor embaralha as cartas e as arruma na tabela viradas ao inverso.
 Os alunos começam indicando duas cartas de acordo com as coordenadas. Exemplo:
3B e 4D. Caso obtenha figuras iguais, o aluno ganha ponto, caso contrário, viram-se
as cartas novamente e outro aluno joga.

ATIVIDADE 3:

— Objetivo: Compreender e traduzir o significado de gráficos e tabelas, através do processo
de amostragem.

— Material: Cartolina

— Metodologia:

O professor fará um grande painel de tal forma que o aluno a entenda o processo de
gráfico.
O professor fará um questionamento à turma:

1) Quantas crianças vêm de transporte coletivo?
25

2) Quantas vêm a pé?
3) Quantas vêm de carro?

Colocar no painel o quantitativo de cada modo e diferenciar com cores diferentes.
Fazer com que o aluno interprete visualmente os dados apresentados na tabela.

A construção de gráficos será a partir das tabelas preenchida.
Veja:

a) Como você vem para a escola?

A pé
De ônibus
De carro

b) Qual a merenda que você gosta?

Arroz com feijão
Macarrão com carne
Sopa de legumes

As atividades deverão conduzir ao conceito de quantidade e ao estabelecimento de
comparações.

OUTRAS SUGESTÕES DE ATIVIDADES:

Imagine um tema do interesse de seus alunos, que sirva de motivo para levantamento
de dados e construção de um gráfico. A pesquisa será feita no ambiente da escola, família e
outros setores da comunidade a que sua turma tenha acesso.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

 GRAVINA, Maria Alice. O quanto precisamos de tabelas na construção de gráficos
de funções? Revista do Professor de Matemática, v. 17. São Paulo: SBM, 1986.

 Pro-Letramento: Programa de Formação Continuada de Professores dos Anos/Séries
do Ensino Fundamental: Matemática. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de
Educaçao Básica, 2008.

 IMENES, Luis Marcio e LELLIS, Marcelo. Conversa de professor: Matemática.
Brasília, Ministério da Educação, Secretaria de Educação a Distância, 1996. Cadernos
da TV Escola.

 JURANDILHA, Daniela e SPLENDORE, Leila. Matemática já não é problema!. - 3ª
Edição - São Paulo: Cortez, 2008.

26

 Guia Curricular de Matemática: ciclo Básico de alfabetização, ensino fundamental /
Secretaria de Estado de Educação de Minas Gerais; Coordenação de Wanda Maria de
Castro Alves; elaboração - Sonia Fiuza da Rocha Castilho, Stella Maris Fernandes
Fialho de Martins Flores e Wanda Maria de Castro Alves. Belo Horizonte, SEE/MG,
l997.

 Funtevê _ Ministério da Educação_ Qualificação Profissional para o Magistério:
Matemática. Conteúdo e Metodologia. 2ª ed. Rio de Janeiro,1986.

LEITURAS RECOMENDADAS:

 Revista do Professor de Avaliação da Educação: Saerj. RIO DE JANEIRO. Secretaria
de Estado da Educação. / Universidade Federal de Juiz de Fora, Faculdade de
Educação, CAED. v.1- 5º ano do Ensino Fundamental - , Juiz de Fora, 2008 - Anual

 Pró Letramento: Programa de Formação Continuada de Professores dos Anos/Séries
Iniciais do Ensino Fundamental : Matemática.- ed.rev. e ampl. Incluindo SAEB/Prova
Brasil e matriz de referência / Secretaria de Educação Básica – Brasília: Ministério da
Educação,Secretaria de Educação Básica, 2008. 308p.

27

2
9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL


H36 — IDENTIFICAR A LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS REAIS NA RETA NUMÉRICA

 Item da habilidade H36 utilizado no teste Saerjinho – 1º Bimestre:

PRÉ-REQUISITOS:

Para resolver itens que se refiram a cálculos com radicais, são necessários os conceitos:

 Radiciação;
 Números irracionais;
 Números reais;
 Localização de números reais na reta numérica;
 Aproximação de um radical através de um número decimal.


Essa habilidade tem por objetivo verificar se o aluno consegue compreender a
disposição dos números reais, tanto positivos quanto negativos, na reta numerada. O professor

28

pode avaliá-la por meio de situações-problema contextualizadas, nas quais podem ser
exploradas as representações fracionárias e decimais dos números racionais.
Mostrar aos alunos que há números que não têm raízes exatas, ou, para ser mais preciso
que há números cujas raízes quadradas possuem infinitas casas decimais. É interessante que o
professor explique para o aluno exemplos de números que não pertencem ao conjunto dos
números reais.


 Sobre números irracionais: compreender a diferença entre números racionais e
irracionais. Mostrar que há números que não têm raiz quadrada ( ou de qualquer
outro índice) exata.
Ex.: 16 = 4; pois 4² = 4 . 4 = 16; entretanto, 20 não é exata, ou seja, não
existe qualquer número que elevado ao quadrado, ou multiplicado por si
mesmo, resulte em 20.
 Sobre números reais: esclarecer que os números reais são a união entre os
números racionais e os irracionais.
 Sobre a localização de números na reta real: ver H39, a seguir.
 Sobre a aproximação de um número irracional através de um número decimal:
Pode-se mostrar aos alunos uma desigualdade; se quiséssemos, digamos, estimar a
raiz quadrada de 7, faríamos o seguinte:
4 < 7 < 9; extraindo as raízes, vem:
2 < 7 < 3; então concluímos que a raiz quadrada de 7 pertence ao intervalo
entre 2 e 3 (observando que propositalmente utiliza-se como limites os
números 4 e 9, por serem quadrados perfeitos).
 A seguir, nos comentários a respeito da H65, há o método usado para aumentar a
precisão da aproximação, ou seja, aproximar 7 com mais casas decimais corretas.

H39 — IDENTIFICAR A LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS NA RETA NUMÉRICA.


29

PRÉ-REQUISITOS:

Com relação a itens como este, são necessários os seguintes conhecimentos prévios:
 Reconhecimento de números inteiros no cotidiano
 Localização de números inteiros na reta numérica
 Subtração de números inteiros


A identificação de números inteiros é uma habilidade inicialmente desenvolvida no
7°ano e abordada em praticamente todas os anos/séries subsequentes. Frequentemente é
avaliada correlacionada a outras habilidades.
No entanto, parece oportuno que se reveja mais uma vez a questão da localização de
números inteiros na reta numérica, sendo positivos à direita do zero e negativos à esquerda do
zero. O estudante precisa perceber que há um padrão em relação à distância entre pontos:
Note que pontos igualmente espaçados estão à mesma distância.


 Propor situações-problema simples e que levem o aluno a raciocinar sobre
comparação de inteiros. Como por exemplo:
(a) Em um certo país europeu, o dia amanheceu com temperatura de 5°C, porém,
com a chegada de uma frente fria, a temperatura ambiente caiu 8°C. Qual
passou a ser a temperatura neste país?
 Desenhar um termômetro com temperaturas abaixo e acima de zero e induzir seu
aluno a localizar determinadas temperaturas nele, sendo estas temperaturas pré-
estabelecidas.
 Propor a seguinte situação-problema aos alunos: um elevador estava no décimo
andar e foi para o sétimo andar. Represente essa sentença usando números inteiros e
indique quantos andares o elevador desceu.

H42 — IDENTIFICAR A LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS NA RETA NUMÉRICA
.

 Item da habilidade H42 utilizado no teste Saerjinho – 1ºBimestre:

30

PRÉ-REQUISITOS:

Compreender os conceitos abaixo:
 Números racionais
 Transformação de números racionais fracionários em decimais
 Localização de um número racional na reta numérica


Mostrar aos alunos como transformar uma fração em um número decimal, usando para
isso frações próprias e impróprias e o algoritmo da divisão. Pode-se, ainda, usar :
 figuras como um retângulo dividido em partes iguais, representando uma barra de
chocolate;
 um círculo, dividido em pedaços de mesmo ângulo, representando uma pizza, etc.


 Escrever quatro frações e pedir para que os alunos as coloquem em ordem
crescente. Para isso, deverão transformá-las em números decimais e então comparar
os resultados.

 Para colocar as frações em ordem crescente, pode-se, também, usar material
concreto – figuras como discos divididos em partes iguais com algumas partes
pintadas.

Exemplos: Escreva frações que representem os exemplos abaixo:

31

 Os desenhos estão em ordem decrescente de frações. Parece interessante levar o
aluno a fazer uma comparação entre as representações geométrica e algébrica, e,
depois de fazer essa comparação, determinar o número decimal que equivale às
frações e localizá-los na reta numérica.

H65 — EFETUAR CÁLCULOS SIMPLES COM VALORES APROXIMADOS DE RADICAIS.


PRÉ-REQUISITOS:

Para resolver itens que se refiram a cálculos com radicais, são necessários os conceitos:

 Potenciação;
 Radiciação;
 Números irracionais;
 Números reais;
 Localização de pontos na reta numérica e aproximação de um radical através de
um número decimal.


Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, onde o
aluno use, por exemplo, 2 1,41 e 3 1,73, ou seja, o aluno opera com aproximações de
irracionais algébricos.
32

Mostrar aos alunos que há números que não têm raízes exatas, ou, para ser mais preciso
que há números cujas raízes quadradas possuem infinitas casas decimais. É possível, que os
alunos se confundam com a ideia prática de cortar o radical quando o expoente do radicando
é igual ao índice do radical, por exemplo, 52 = 5, porém este raciocínio, se aplicado à
questão, está incorreto porque não há expoente algum no radicando. A proposta para o
desenvolvimento dessa habilidade é explicar como efetuar os cálculos aproximados dos
radicais isoladamente, para em seguida realizar operações.


 Trabalhar a localização dos radicais na reta numérica: pode-se mostrar aos
estudantes uma desigualdade; se quiséssemos, digamos, estimar a raiz quadrada de 2,
faríamos o seguinte:
1< 2< 4; extraindo as raízes quadradas, vem em ambos os membros,
temos: 1< 2 < 2; então concluímos que a raiz quadrada de 2 pertence ao intervalo
entre 1 e 2.

 Propor exercícios diretos sobre como calcular valores aproximados para os
radicais: observe o exemplo:
1 < 2 < 2; concluímos que a raiz quadrada de 2 pertence ao intervalo entre 1
e 2. Para encontrar uma aproximação um pouco mais precisa, deveríamos
elevar ao quadrado dois valores entre 1 e 2; por exemplo: 1,2 e 1,5:
(1,2)2 = 1,44 e (1,5)2 = 2,25. Então, como um desses valores é superior a 2 e o
outro é inferior, a raiz quadrada de 2 está no intervalo entre 1,2 e 1,5:
1,2< 2 < 1,5. Repetindo o processo, verificaremos que (1,4)2 = 1,96 e (1,5)2
= 2,25. Então, 1,4 < 2 < 1,5. Como o número 2 está mais próximo na reta
numérica do número 1,96 do que do número 2,25, a raiz quadrada do número
2 está mais próxima de 1,4 do que de 1,5.

 Calcular valores aproximados para os radicais com duas casas decimais:
Calculando 1,412 = 1,9881 e 1,422 = 2,0164, concluímos que 1,41< 2 < 1,42. Então,
uma aproximação para 2 com duas casas decimais é 1,41. Como nosso objetivo é
estimar o valor de uma operação com valores aproximados de radicais, o que fizemos
anteriormente poderia ser repetido com o outro número envolvido no cálculo.
Por exemplo, a questão perguntava qual era o valor aproximado de 5 - 3. Seria
preciso, então, estimar o valor de 5 e depois estimar o valor de 3, para então efetuar
a subtração.


H115 — RESOLVER PROBLEMAS ENVOLVENDO O CÁLCULO DE MÉDIA ARITMÉTICA
SIMPLES E PONDERADA

33


PRÉ-REQUISITOS:

Para que o estudante consiga resolver este tipo de problemas, anteriormente deverá ter
compreendido as ideias de:
 Soma;
 Multiplicação;
 Divisão;
 Identificação de dados relevantes a partir de uma tabela.


Essa habilidade avalia se o aluno sabe transformar um conjunto de números diversos em
um único valor, a fim de que se possa ter uma visão global sobre os dados.
Uma vez que os pré-requisitos são elementares, não é necessário revisá-los; os conceitos
de média aritmética simples e média ponderada devem ser reforçados com o uso de exemplos
de fácil compreensão dentro do contexto dos estudantes.
Uma ideia bastante factível é a confecção de tabelas e gráficos pelos próprios
estudantes. Esse tipo de cálculo é muito utilizado em campeonatos de futebol no intuito de
determinar a média de gols da rodada; nas escolas, calculando a média final dos alunos;
também é utilizado nas pesquisas estatísticas, pois a média dos resultados determina o
direcionamento das idéias expressas pelas pessoas pesquisadas.


 Usar alguma das ideias a seguir, para ensinar média aritmética: média de gols;
média de pontos no basquete; média de notas do aluno, etc.

34

 Estimular a reflexão dos alunos a respeito do conceito estatístico de renda per
capita: a ideia é realista? Por exemplo, se num grupo de três pessoas duas não
trabalham e uma ganha salário de R$ 9.000,00 por mês, a renda per capita é de R$
3.000,00 por mês. Essa ideia faz sentido, na prática?

 Propor a seguinte situação-problema:
Em uma escola, os estudantes fazem, a cada bimestre, uma prova e um teste, cada um
valendo de 0 a 10. Se um estudante tirou 3 no teste e 7 na prova, qual foi a média
dele nesse bimestre?
(a) 4 (b) 5 (c) 7 (d) 10

 Para ensinar média ponderada, pode-se usar situações-problema envolvendo
avaliações com pesos diferenciados, ou cálculos de média de gastos, etc. Exemplos
de algumas situações-problema trabalhando média ponderada:

a) Numa escola, a avaliação se baseia na aplicação de um teste e uma prova,
que valem de 0 a 10. Porém, o teste tem peso 2 e a prova tem peso 3. Qual seria a
média bimestral de um estudante que tirou 10 no teste e 5 na prova?
(a) 2,5 (b)3,0 ( c) 7,0 (d) 7,5

b) Trinta amigos foram juntos a um show. Seis deles ficaram no camarote, e
gastaram R$ 800,00 cada um; 15 ficaram na área vip e pagaram R$ 600,00; 9 pessoas
ficaram na plateia e pagaram R$ 300,00 cada. Qual a média de gastos por pessoa?

35

3
1º SÉRIE DO ENSINO MÉDIO


H32 — RESOLVER PROBLEMA ENVOLVENDO O CÁLCULO DE PERÍMETRO DE
FIGURAS PLANAS, COM OU SEM MALHAS QUADRICULADAS.

 Item da habilidade H32 utilizado no teste Saerjinho – 1° Bimestre

PRÉ-REQUISITOS:

Esses itens levam os alunos a possíveis erros conceituais como o de utilizar a soma,
subtração ou divisão dos dados ao invés de cálculo do perímetro. Para resolver itens referentes
a esta habilidade e problemas correlatos é necessário que o aluno reconheça:
 a forma do polígono;
 as propriedades desse polígono (lados opostos paralelos de mesma medida);
 o perímetro como a medida do contorno de uma figura plana;
 e tenha habilidades de cálculo com as operações de adição, subtração e divisão.


O Professor pode utilizar materiais concretos, instrumentos de medição como régua,
trena, fitas métricas, barbantes e outros na resolução de problemas. Também pode utilizar
softwares disponíveis livremente na internet, como o Geogebra e o Régua e Compasso, com
atividades de geometria dinâmica.
Quando possível, é interessante que os conceitos de unidade de medida, área, volume e
o de proporcionalidade sejam trabalhados em conjunto com o de perímetro. E, também, que o
professor procure delimitá-los a fim de evitar que os alunos os se confundam.

36

Geralmente esta habilidade se apresenta inserida em situações-problema
contextualizadas, ou seja, relacionando conhecimentos e métodos matemáticos com outras
áreas do conhecimento ligadas às situações reais e solicitando a utilização desses
conhecimentos para análise e intervenção nessas situações.


1. Trabalhando com a Forma:

Caso o professor verifique que os alunos ainda não reconhecem corretamente os
polígonos, alguns quebra-cabeças podem auxiliar na apreensão desta habilidade. Veja uma
sugestão na Atividade 1.

ATIVIDADE 1: Polígonos com Tangram

— Objetivo: Reconhecer diferentes polígonos e suas caracterizações.
— Material: Tangram.

Figura 1 – Tangram

— Metodologia:

Com a justaposição das sete peças do Tangram é possível formar muitas figuras
geométricas, e em particular diferentes retângulos, quadrados, paralelogramos e trapézios. A
identificação das formas pode ser feita de muitas maneiras. Vejamos um exemplo:

Peça que os alunos identifiquem qual das figuras abaixo tem mesma propriedade
que o paralelogramo

37

Paralelogramo

Adicionalmente, se for conveniente, o professor pode já solicitar que identifiquem
qual dessas figuras tem maior contorno. Fazendo esta opção, é interessante que
oriente-os a encontrar uma forma de escrever as medidas destes perímetros.

Peça que construam figuras que, em seu contorno, têm as mesmas propriedades
que a figura abaixo. Em conjunto, caracterize-a e faça cada um registrar as
propriedades e a nomenclatura deste polígono.

ATIVIDADE 2: Quebra - cabeça de quadriláteros

O quebra-cabeça da figura 2 abaixo é formado apenas por quadriláteros. O professor
pode utilizá-lo para que sejam identificados paralelogramos, trapézios, quadrados,
quadriláteros não-convexos e outros. Veja a seguir a sugestão de atividade para explorarmos
as potencialidades deste quebra-cabeça.

Figura 2 – Quebra - cabeça de quadriláteros
38

— Objetivo: Reconhecer quadriláteros.
— Material: Quebra-cabeça, Papel Quadriculado, Régua, Esquadros.
— Metodologia:

Peça para os alunos montarem o quebra-cabeça utilizando uma folha de gabarito com
o contorno do quadrado final e as seguintes dicas:
(1) Os lados da peça que é um quadrado não são paralelos aos lados do
quadrado final, e encostados em dois de seus lados consecutivos estão uma
pipa e um trapézio que encostam também nos lados do quadrado final;
(2) Se a peça é um trapézio, então tem um de seus lados encostados sob o lado
do quadrado final
Distribua junto do quebra-cabeça tirinhas com a caracterização dos trapézios e do
quadrilátero em forma de pipa (de cor amarela no quebra-cabeça)
Para iniciar a atividade peça à turma para em conjunto registrar os nomes e
caracterizações dos quadriláteros que são conhecidos. Registre no quadro a
caracterização de todos os que foram lembrados e também os que foram esquecidos.
Peça para identificar todas as peças do quebra-cabeça. Faça com que investiguem as
propriedades sobre o paralelismo e as medidas dos lados utilizando régua e esquadros.
Durante a atividade refira-se aos quadriláteros por nome.
Finalize pedindo que construam o seu próprio quebra-cabeça formado somente por
quadriláteros em uma malha quadriculada de pontos. Como regra para todos, pelo
menos uma das peças deve ser um losango. Use-os para desafios entre grupos.

Figura 3 – O quebra cabeça da Atividade 2 construído sob uma malha de pontos

2. Trabalhando com o Perímetro:

Uma possibilidade que pode ser interessante é a de fazer com que o cálculo do
perímetro seja utilizado em situações que envolvam ambientes ou objetos presentes no
cotidiano dos alunos como, por exemplo, a sala de aula, um cômodo de suas casas, a carteira
do colégio e outros. É possível que nestas situações, diante da necessidade de compra de
rodapés ou sancas haja o trabalho com o perímetro.

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ATIVIDADE 3: Perímetro no cotidiano

— Objetivo: Resolver uma situação-problema que envolva o conceito de perímetro.
— Material: Trenas ou Fitas Métricas.
— Metodologia:
Peça-os para considerar as seguintes situações-problema:
A escola vai trocar o rodapé das salas de aula. Quantos metros de rodapé serão
necessários para cada sala de aula?
Em sua casa seus pais querem colocar novas sancas na sala. Quantos metros de
sanca serão necessários?
Para todas as situações, peça que os alunos façam uma planta da sala indicando as
medidas lineares de cada parede.
Por fim, explore as soluções apresentadas trazendo outras situações representadas
geometricamente.

Outras possibilidades podem surgir com o uso do papel quadriculado ou da malha
quadriculada em um software de geometria dinâmica (Geogebra, Régua e Compasso).

ATIVIDADE 4: Perímetro na malha

— Objetivo: Desenvolver o conceito de perímetro.
— Material: Folha de Papel quadriculado
— Metodologia:
Com o papel quadriculado, peça aos alunos que criem retângulos com lados sobre as
linhas da folha.
Defina que cada lado do quadrado formado pela malha é a unidade de medida de
comprimento.
Peça para que calculem o perímetro de cada retângulo desenhado.
Repita estas etapas para hexágonos, octógonos e outros polígonos com quantidade par
de lados. Para os retângulos questione-os sobre as medidas dos lados opostos.

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Observação:
Nesta atividade o professor também pode explorar o conceito de área, convexidade e
até alguns conceitos aritméticos (paridade). Pense no que nos motivou a solicitar que as
figuras representadas no papel quadriculado fossem apenas com um número par de lados.
Desafie-os a explicar isso.

H33 — RESOLVER PROBLEMA ENVOLVENDO O CÁLCULO DE ÁREA DE FIGURAS
PLANAS, COM OU SEM MALHAS.


PRÉ-REQUISITOS:

Para resolver problemas dessa natureza é necessário que o aluno reconheça
 a forma do polígono;
 o conceito de área;
 e tenha habilidades de cálculo com as operações de multiplicação e divisão de
números decimais.


O Professor pode utilizar materiais concretos, instrumentos de medição como régua,
trena, fitas métricas, barbantes e outros na resolução de problemas. Também pode utilizar
softwares de geometria dinâmica como o Geogebra e o Régua e Compasso.

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Quando possível, é interessante que os conceitos de unidade de medida, perímetro,
volume e também o de proporcionalidade sejam trabalhados em conjunto com o de área. E,
também que o professor procure delimitá-los a fim de evitar que os alunos os confundam.


Nessa seção sugerimos algumas atividades de caráter visual para que o aluno
desenvolva tal habilidade:

ATIVIDADE 5: Área de paralelogramos e triângulos

— Objetivo: Trabalhar o conceito de área.
— Material: Folha de Papel quadriculado / Software Geogebra.
— Metodologia:
Em uma folha, distribua pares de paralelogramos e retângulos e solicite que estes
sejam recortados e agrupados aos pares. Mostre que a justaposição dos polígonos
obtidos da divisão de um paralelogramo por um corte perpendicular a um dos pares de
lados paralelos pode se sobrepor ao retângulo.

Faça com que reproduzam a sobreposição acima para os demais pares de figuras e
pergunte-os sobre o que podemos dizer da medida da superfície destes polígonos
Faça-os registrar os elementos utilizados para o cálculo das respectivas áreas.
Repita os passos anteriores utilizando uma folha com paralelogramos e triângulos.
Faça construírem paralelogramo a partir de dois triângulos congruentes.

Faça com que registrem que a área de um triângulo é metade da área de um
paralelogramo de mesma base e altura, ou que é igual a metade da área de um
retângulo de mesma base e altura.
Trabalhe exemplos numéricos ao final da atividade.

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Desafios com nível um pouco maior de dificuldade também podem auxiliar a
apreensão do conceito de área. A atividade 6 é uma sugestão assim.

ATIVIDADE 6: Área sob a malha

— Objetivo: Trabalhar o conceito de área de diferentes figuras.
— Material: Folha de Papel quadriculado / Software Geogebra.
— Metodologia:

Peça que os alunos considerem na figura abaixo:

(a) o quadrado da malha como unidade de área;
(b) as curvas como arcos de circunferência;
(c) M e N pontos médios na malha;
(d) M um ponto da reta TU e N um ponto da reta VS;
(e) a distância do ponto Q ao segmento MN igual a 5/3;
(f) os segmentos ST, VU e MN paralelos e com medidas 4/3, 2/3 e 1
respectivamente;
(g) a distância do ponto U ao segmento ST iguala a 40/9.

Peça que calculem a área da palavra Fácil. A resposta é 641/18 + 2 .


H111 — IDENTIFICAR UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU QUE EXPRESSA UM PROBLEMA.


43

PRÉ-REQUISITOS:

Para resolver problema dessa natureza é necessário ao aluno:

 interpretar textos em diferentes linguagens;
 transcrever algebricamente um situação-problema (linguagem verbal para linguagem
simbólica);
 e ter domínio das operações fundamentais e de suas propriedades (distributividade).


O professor pode recorrer a algumas sistuações-problema escritas em linguagem
verbal para que o aluno as escreva em linguagem simbólica ou matemática. Da mesma forma,
pode recorrer a livros de diversões matemáticas.
Outra possibilidade é utilizar o uso da história da matemática como recurso para o
trabalho, reproduzindo em sala de aula antigas charadas e probleminhas matemáticos, assim
como e métodos geométricos de solução de equações.


Segundo Perelman, Isaac Newton escreveu no seu manual de Álgebra intitulado
Aritmética Universal o seguinte texto:
“Para resolver um problema referente a números ou relações
abstratas entre quantidades basta traduzir tal problema, do inglês ou
de outra língua qualquer, para a linguagem algébrica”
PERLMAN, Y. I. A ciência ao alcance de todos. p.46

Naquele manual, Newton deixou o seguinte exemplo:

Um comerciante tinha uma determinada x
quantia em dinheiro
No primeiro ano gastou 100 libras. x – 100
Acrescentou ao restante um terço deste. (x – 100) + (x – 100)/3 = (4x – 400)/3
No ano seguinte tornou a gastar 10 libras (4x – 400)/3 – 100 = (4x – 700)/3
44

E aumentou a importância em um terço (4x – 700)/3 + (4x – 700)/9 = (16x –
dela. 3700)/9
No terceiro ano gastou de novo 100 libras. (16x – 2800)/9 – 100 = (16x – 3700)/9
Depois de ter acrescido ao que ficou a sua (16x – 3700)/9 + (16x – 3700)/27 = (64x –
terça parte 14800)/27
Ficou com um capital duplo do inicial (64x – 14800)/27 = 2x

O professor pode se apropriar das palavras de Newton para trabalhar a linguagem
algébrica com equações do segundo grau. A atividade 7 a seguir sugere essa apropriação.

ATIVIDADE 7: Reconhecendo equações com charadas

— Objetivo: Trabalhar a linguagem algébrica e a transposição de outras linguagens para a
algébrica.
Algumas charadas imediatas:

1. Quando multiplico metade das figurinhas que eu tenho com um terço dessa metade já
tenho duas figurinhas a mais que suas 10 figurinhas. Juntos, quantas figurinhas temos?
2. A diferença entre os números da minha casa e de meu vizinho é 1. Sabendo que a
quarta parte do número da casa de meu vizinho mutiplicada pelo triplo do número de
minha é 108, descubra qual é o número da minha casa.
3. Em uma sequência de três jogos, Ronaldinho Gaúcho marcou, a cada novo jogo, dois
gols a mais que havia marcado no jogo anterior. Multiplicando os gols do primeiro e
terceiro jogo e retirando dois gols, obtemos a quantidade de gols marcados pelo
Ronaldinho no segundo jogo. Escreva uma equação que expressa essa situação.
Determine quantos gols Ronaldinho marcou neste três jogos.

Outra possibilidade é trabalhar com figuras geométricas:

(A) (B)

Na figura (B) temos que x(x+1) = 8 [4 – (x+1)](x – 2) = (x – 2)(x +1)

45

H50 — ANALISAR CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO, ZEROS DE FUNÇÕES REAIS
APRESENTADAS EM GRÁFICOS.


PRÉ-REQUISITOS:

 Conceito de função
 Identificar uma função a partir de sua representação algébrica ou gráfica;
 Reconhecimento dos intervalos de crescimento e decrescimento da função em seu
domínio.


Este descritor avalia apenas o conhecimento sobre intervalos de crescimento/
decrescimento e zeros de funções, qualquer outra observação referente a análise de gráficos
não está sendo avaliada por este descritor. Quando possível, essa habilidade é avaliada por
meio de situações-problema contextualizadas, obtidas tomando-se gráficos em jornais,
revistas, Internet, etc.
O Professor pode recorrer a situações de modelagem e resolução de problemas para
construir o conceito de função. Fazer o aluno utilizar simultaneamente diferentes
representações (gráficos, tabelas, expressões algébricas) para uma função.
O uso de softwares também pode ser um recurso muito útil para a construção do
conceito de função e suas propriedades. No que se refere ao conceito de crescimento e/ou
46

decrescimento pode-se fazer o aluno avaliar a variação do valor de uma função a partir do
movimento de um ponto sobre seu gráfico.


Explore com os alunos o registro (em tabela e gráfico) e análise dos dados de situações
cotidianas como:
 O custo e a quantidade de pães;
 O preço e o volume de gasolina;
 A velocidade do carro e o tempo do percurso;
O registro gráfico de situações de movimentos podem ser interessantes para análise de
gráficos. Observe as sugestões de atividades a seguir:

ATIVIDADE 8:

Objetivo: Trabalhar a análise e interpretação de gráficos.

Simule o movimento de uma pessoa em uma roda gigante que gira a velocidade
constante. Partindo do ponto mais baixo da roda gigante no sentido anti-horário podemos
observar que a altura varia de dois modos: crescendo até que atinja o ponto mais alto (altura
máxima), e decrescendo quando volta a até atingir o ponto mais baixo.
Procure fazer uma tabela com pelo menos quatro pares de valores (distância, altura)

ATIVIDADE 9:

— Objetivo: Trabalhar a análise e interpretação de gráficos.

A seguinte situação também pode ser explorada:
―Suponha que um ciclista sai de casa pela manhã com velocidade constante.
Viaja por 10 minutos e é obrigado a parar por dois minutos em determinado
47

ponto onde há uma retenção no trânsito. A seguir segue seu trajeto viajando
agora com maior velocidade para completar o percurso em 15 minutos.‖

Para esta situação, crie variações e inicialmente peça que os alunos escolham entre
quatro gráficos aquele que melhor representa a situação.
Nas variações, peça para eles mesmos esboçarem um gráfico que traduza tal situação.
As funções de proporcionalidade e afins, com variação constante, são sempre bons
exemplos iniciais.

H103 — RESOLVER PROBLEMAS COM NÚMEROS REAIS ENVOLVENDO AS OPERAÇÕES
(ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, POTENCIAÇÃO).


Nesta questão, a operacionalidade depende quase que exclusivamente do
conhecimento das regras de potenciação.

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PRÉ-REQUISITOS:

 Notação na forma de potência;
 Propriedades operatórias da potenciação;
 Números racionais e operações com os mesmos;


O professor pode utilizar com frequência expressões que utilizem a notação em forma
de potência. Pode trabalhar textos interdisciplinares com informações que apareçam na forma
de notação científica. E, além disso, sempre que necessário, pode utilizar exercícios
específicos direcionados à memorização das regras de operações com potências.
Tome cuidado para não exagerar com manipulações excessivas. Os livros didáticos
são repletos de exercícios com esse fim. Prefira situações onde haja significação,
especialmente com as potências. Iniciar as regras em conjunto com a notação científica pode
ser bastante interessante.

SUGESTÕES DE ATIVIDADE:

Tendo em vista que essa habilidade está inserida no contexto de outras habilidades,
faz-se esta muito importante. Sendo assim, iremos propor algumas atividades relacionadas a
algumas situações-problema. Observe:

ATIVIDADE 10:

— Objetivo:
Resolver problemas com números reais envolvendo a operação de potenciação.

— Situação-problema:

Em um recipiente, a pressão exercida por um líquido em um mesmo local só depende
da altura do líquido sobre este local. Esta pressão é calculada por gh, onde é uma constante
que depende da massa específica do líquido, g = 9,8 m/s2 é a aceleração da gravidade e h é a
altura do líquido.

 Em uma piscina, de 10 m de profundidade, totalmente cheia d’água, qual é a pressão,
no fundo, devida apenas ao peso da água?
 Em um lago um mergulhador atinge com aparelhos aos 180m de profundidade,
considerando-se que a pressão atmosférica local, no sistema S.I. é a=1,01 × 105, qual
a pressão total no fundo da piscina?

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ATIVIDADE 11:

— Objetivo:
Resolver problemas com números reais envolvendo a operação de potenciação.

— Situação-problema:
Considere no mapa abaixo que a região em forma de trapézio é aproximadamente a
região que precisa de especial atenção em infra-estrutura após catástrofes climáticas
acontecidas na região. Estima-se a necessidade, nesta região, de um investimento mínimo de
R$ 100,00 por metro quadrado na próxima década.
Considerando que o trapézio tem os lados paralelos medindo 8,7 × 103m e 5,6 × 103m
e distantes 6,75 × 103m. Determine a área total desta região e o investimento, em reais,
estimado para a próxima década nesta região.

Observação. A manipulação com números escritos na forma de potência requer que por
vezes seja conveniente escrever 288 = 25 32, ou que simplifiquemos expressões numéricas
como [(1/2) 5(1/2) (1/2) ]/23. Os problemas que envolvem progressões geométricas, por
exemplo, ilustram tais situações.

Outra possibilidade para trabalhar com a identificação dos polígonos é fazer um quiz com
premiações aos vencedores. Veja um exemplo na atividade 2 a seguir.

50

4

TÓPICO I – ESPAÇO E FORMA:

H90 — RESOLVER PROBLEMAS ENVOLVENDO A LEI DOS COSSENOS OU A LEI DOS SENOS.


PRÉ-REQUISITOS:

A lei dos cossenos permite calcular o comprimento de um lado de qualquer triângulo
conhecendo o comprimento dos demais lados e a medida do ângulo entre estes. O aluno
deverá ter as competências seguintes:

 Classificar o triângulo quanto aos ângulos;
 Representar o cosseno de um arco qualquer no ciclo trigonométrico;
 Aplicar a lei dos cossenos.

51

O mesmo caso ocorre para a lei dos Senos, porém esta se relaciona de forma direta à
circunferência na qual o triângulo está inscrito. Nesse caso, a habilidade aborda um grau de
dificuldade maior à medida que interage com outros pré-conceitos.


O professor deve chamar a atenção do aluno para a classificação dos triângulos quanto
aos ângulos e utilizar de forma mais apropriada a lei dos senos e a lei dos cossenos para
resolver problemas.
Deve propor principalmente problemas nos quais os dados não estão explícitos, devido
ao fato de questões contextualizadas não fornecerem todas as informações imediatas.


 Trabalhar transformações de arcos, já que, para resolver as questões envolvendo a
lei dos cossenos, se exige do aluno o cálculo do valor de seno e/ou cossenos de arcos
diferentes dos notáveis.
 Revisar com o aluno a classificação dos triângulos para que o aluno não aplique
erroneamente o teorema de Pitágoras em um triângulo não retângulo.
 Resolver problemas de aplicação prática sobre o assunto acima citado. Trabalhar
com o aluno a extração de dados de um problema é um exercício interessante para o
aluno desenvolver tal habilidade.


H26 — RESOLVER PROBLEMA UTILIZANDO RELAÇÕES ENTRE DIFERENTES UNIDADES
DE MEDIDA.


52

PRÉ-REQUISITOS:

Para resolver o problema utilizando relações entre diferentes unidades de medida faz-
se necessário o aluno ter conhecimento dos seguintes conteúdos:

 Reconhecer unidades de medidas padronizadas (comprimento, superfície, volume
e capacidade);
 Relacionar a unidade padrão das medidas com seus múltiplos e submúltiplos;
 Operar com números decimais.


Essa habilidade é desenvolvida no sexto ano do ensino fundamental e abordada nos
anos subsequentes. Podemos trabalhar essa habilidade relacionada aos seguintes assuntos:
perímetros, áreas e volumes de figuras geométricas.
Nessas atividades é importante que se discutam as idéias básicas do processo de medir,
a escolha da unidade conveniente e as transformações de unidades. Situações concretas são
fáceis de serem adaptadas no desenvolvimento desta habilidade.


 Discutir aspectos históricos relacionados aos problemas de medida, como por
exemplo, as dificuldades de comunicação dos povos antigos causadas pelo uso de
padrões de medida diferentes. A discussão em torno dos exemplos históricos e das
53

dificuldades geradas pelo uso de unidades que dependiam do tamanho do pé ou do
dedo de um rei, por exemplo, certamente contribuirão para que os alunos se
convençam da necessidade da escolha de uma unidade ―padrão‖ universal. A
contextualização histórica da escolha do metro como unidade padrão para as medidas
de comprimento é uma ótima oportunidade para que os alunos percebam que o
estudo da matemática não está desconectado de necessidades reais.

 Revisar com exercícios os diversos sistemas de medidas.
 Medir o perímetro de uma sala de aula utilizando uma trena.


H56 — RECONHECER O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DE 1º GRAU POR
MEIO DE SEUS COEFICIENTES.


54

PRÉ-REQUISITOS:

O aluno deverá ter as seguintes habilidades para resolver tal problema:

 Reconhecer que o gráfico da função polinomial do 1º grau é uma reta, bem como
sua lei de formação y = ax + b;
 Identificar o crescimento/decrescimento da função polinomial do 1º grau;
 Identificar o coeficiente linear e o zero da função polinomial do 1º grau;
 Saber representar pares ordenados no plano cartesiano;
 Representar graficamente a função polinomial do 1º grau.


Depois de resolver alguns problemas envolvendo funções do primeiro grau y = ax + b,
o professor deve comentar que essa equação representa, no plano cartesiano 0xy, uma reta que
não é paralela ao eixo y. E reciprocamente, os pontos de uma reta que não é paralela ao eixo y
são caracterizados por uma relação do tipo y = ax + b.
Chamar a atenção para o fato de que para fazer o gráfico de uma função do tipo y = ax
+ b é suficiente representar num plano cartesiano dois de seus pontos e depois apenas ligar
esses pontos por uma reta. E que, uma função linear y = ax + b fica completamente
determinada se são conhecidos dois de seus pontos.
Após ter discutido o gráfico da função y = ax + b para a > 0 e para a < 0, o professor
deve discutir o crescimento ou decrescimento dessa função em termos do sinal de a.


 Utilizar malha quadriculada (ou papel milimetrado) para representar uma função
polinomial do 1º grau graficamente a partir de sua lei de formação .
 Representar, em um mesmo plano cartesiano, gráficos de duas ou mais funções
polinomiais do 1º grau.
 Fazer um estudo comparativo graficamente das funções polinomiais do 1º grau
quanto ao crescimento (a > 0) e decrescimento (a < 0).

H59 — RECONHECER A REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DE UMA FUNÇÃO DO 1º GRAU
DADO O SEU GRÁFICO.


55

PRÉ-REQUISITOS:

O aluno deverá ter as seguintes habilidades para resolver tal problema:

 Reconhecer os pontos de interseção do gráfico da função polinomial do 1º grau
com os eixos cartesianos;
 Identificar o crescimento/decrescimento da função polinomial do 1º grau;
 Identificar o coeficiente linear e o zero da função polinomial do 1º grau;
 Representar algebricamente a função do 1º grau.


O professor deverá chamar a atenção para declividade da reta, zero da função e o
coeficiente linear (b). A partir desses dados o professor pode trabalhar as diferentes formas de
resolução de questão envolvendo esta habilidade, sejam elas por meio de sistemas lineares ou
por propriedades.
O uso de programas de plotagem de gráficos pode auxiliar o aluno a perceber de forma
clara qual o significado dos coeficientes angulares e lineares. Desse modo, o professor pode
pedir que os alunos construam vários gráficos alternado ora o coeficiente angular, ora o linear
e analisando o que ocorre com estes gráficos.

56


Apesar dos fatos algébricos sobre funções do primeiro grau serem bastante simples e
geralmente fáceis de serem apreendidos, o grande desafio para o professor é desenvolver ao
alunado habilidade de resolver problemas e de reconhecer situações que possam ser
adequadamente modeladas por funções do primeiro grau. Isto significa que os alunos devem
adquirir a habilidade de reconhecer e interpretar uma situação-problema que envolva variação
constante e identificar adequadamente os parâmetros que descrevem a função.
Neste sentido, o professor deve privilegiar variedades de situações ao invés de insistir
na quantidade. Recomendamos ao professor:
 Exercícios de identificação de gráficos com tabelas ou de montagem de tabelas
a partir de gráficos, de modo que os alunos possam testar simplesmente por
inspeção se uma função é ou não adequada para a modelagem que se pretende.
 Construção de vários gráficos no mesmo plano cartesiano, a fim de observarmos
as propriedades relacionadas aos coeficientes lineares e angulares.

H67 — IDENTIFICAR A REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA E/OU GRÁFICA DE UMA FUNÇÃO
LOGARÍTMICA, RECONHECENDO-A COMO INVERSA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL.


57

PRÉ-REQUISITOS:

O aluno, para resolver este problema, deverá possuir as seguintes habilidades:

 Identificar e aplicar as propriedades de potenciação;
 Reconhecer uma função exponencial através de sua lei de formação;
 Representar graficamente a função exponencial;

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 Obter a função inversa da função exponencial a partir da simetria da bissetriz dos
quadrantes ímpares.


O professor deve salientar a definição da função logarítmica como sendo a função
inversa da função exponencial. É importante observar como as propriedades da exponencial
implicam em propriedades do logaritmo. Por exemplo, como b0 = 1 significa que logb(1) = 0.
Além disso, vale observar que a função logaritmo está definida no conjunto dos números
positivos.
E, finalmente, relacionar o gráfico de uma função com o da sua inversa, observando a
simetria com relação à bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano.


 Trabalhar situações do cotidiano: É importante lembrar ao professor que vários
problemas do cotidiano ou do universo científico relacionam grandezas que crescem
ou decrescem através do produto por taxas constantes: juros em aplicações
financeiras, crescimento populacional, decaimento radioatativo, depreciação de um
bem, etc. O estudo desses problemas exige o conhecimento das funções exponencial
e logarítmica, com as quais economistas fazem projeções, geógrafos estudam
populações, biólogos avaliam crescimento de culturas bacteriológicas ou químicos
estimam o tempo de duração de substâncias radiotivas. Faz-se necessário ao
professor chamar a atenção do aluno que a função exponencial é a função inversa da
função logaritmo.
 Uso de Softwares: O uso dos programas de plotagem de gráficos é uma
ferramenta visual de grande auxílio para abordar as propriedades dos gráficos. O
professor pode incluse a partir do gráfico da função exponencial compará-la com a
sua função inversa.
OBS: Sotfwares indicados: Winplot, Graphmatica, Crispy Plotter, entre outros.

59

5


H31 — RESOLVER PROBLEMAS ENVOLVENDO NOÇÕES DE VOLUME.


PRÉ-REQUISITOS:

Para resolver problemas envolvendo a noção de volume é importante que o aluno
consiga distinguir figuras planas de figuras espaciais. Para isso se faz necessário uma revisão
sobre os conteúdos a seguir:

 Noções de perspectiva;
 Noções de área;
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 Cálculo de volumes;
 Operações com decimais;
 Transformações no sistema métrico-decimal.


Com relação aos pré-requisitos o professor deve ter em mente que o aluno pode não
recordar integralmente ou nunca ter compreendido, e isso pode estar dificultando o
entendimento dessa habilidade, por isso faz-se necessário retomá-los, para isso sugerimos as
seguintes revisões:
 Noções de perspectiva : O professor pode trabalhar perspectiva de sólidos
geométricos através de um trabalho interdisciplinar com Arte, sendo o fato
deste ser um recurso utilizado por grandes artistas, como Leonardo da Vinci,
por exemplo.
 Cálculo de áreas e volumes: É sugerido que o professor trabalhe com
situações reais, e em paralelo as compare com as suas representações no papel.
 Transformações no sistema métrico-decimal: Acreditamos que essa
revisão seja extremamente necessária, na medida em que esta habilidade é
desenvolvida pelo aluno no 6°ano.
Diante deste fato, fazem-se necessárias revisões de alguns conceitos e resoluções de
exercícios antes de entrar diretamente no assunto. Procure observar e analisar o raciocínio
feito pelo aluno.


 Construção de sólidos usando dobradura em papel, construção de poliedros com
canudos e o uso de software de geometria dinâmica, como GeoGebra, C.a.R
(Régua e compasso) e outros, disponíveis gratuitamente para download na
Internet;
 Utilização de recursos como tangran ou geoplano para o trabalho com áreas;
 Utilização de material concreto para a noção do cálculo de volume, exemplos:
caixas de sapato, latas de óleo e outros;
 Exercícios básicos de operações com decimais, principalmente soma e produto;
 Problemas de transformação no sistema métrico-decimal.
 Mostre ao aluno que 1dm³ = 1l, utilizando material como 1 litro de água e uma
caixa cúbica com 1dm de aresta ou fazer comparações com algo de seu cotidiano,
como a caixa d’água de 1m de aresta com 1000l de água.


H43 — RESOLVER PROBLEMA ENVOLVENDO EQUAÇÃO DO 2° GRAU


61

PRÉ-REQUISITOS:

Para resolver problemas envolvendo equação do 2º grau se faz necessário uma revisão
sobre determinadas habilidades:
 Identificar os coeficientes de uma equação do 2º grau;
 Determinar, analisar e interpretar as raízes de uma equação do 2º grau;
 Extrair e simplificar raiz quadrada.


Na 3ª Série do ensino médio, quando abordamos esse descritor, ele pode aparecer
atrelado a outras habilidades. Na questão apresentada, ele está relacionado a funções do 2°
grau.
Nesta série, é extremamente necessário que o aluno saiba reconhecer e calcular as
raízes de uma equação do 2° grau, assim como conhecer as propriedades da equação. Sendo
assim, é essencial que o professor, ao perceber que o aluno não tenha essa habilidade
desenvolvida, faça uma revisão. Sugerimos ao professor elaborar exercícios diretos sobre
como obter as raízes da equação do 2° grau.


 Comparar a equação envolvida no problema com a equação do 2º grau na sua
forma geral ( ax² + bx + c = 0).
 Chamar a atenção do aluno para o fato de que em uma situação-problema se a
equação apresenta duas raízes reais distintas, nem sempre ambas são soluções do
problema.
 Desenvolver problemas básicos envolvendo radiciação como:
(a) Simplifique 45 .
Solução: 45 = 3².5, logo 45 = 32.5 3 5.

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