1. Στη γενική περίπτωση μπορούμε να ορίσουμε άπειρα συστήματα συντεταγ-
μένων τα οποία να μας επιτρέπουν να προσδιορίσουμε τη θέση ενός
σημείου.
Στη Φυσική χρησιμοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουμε εδώ.
Θα εξετάσουμε τα συστήματα ανάλογα με τις διαστάσεις του προβλήματος
ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
Ορίζουμε τον άξονα x
− +
Ορίζουμε την αρχή 0
−1,5
Προσανατολίζουμε (+/−) +3
Κάθε σημείο προσδιορίζεται μονοσήμαντα
Μονάδα μέτρησης π.χ. m

2. ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Καρτεσιανό Σύστημα
y
Δυο κάθετοι μεταξύ τους
προσανατολισμένοι Α
και βαθμονομημένοι άξονες yA
Έστω σημείο Α στο επίπεδο
Η θέση του προσδιορίζεται
από τις προβολές στους
0 xA x
άξονες xA, yA
Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται
από ζεύγος τιμών x, y.

3. ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Πολικό Σύστημα Το σχεδιάζουμε μαζί με το καρτεσιανό
για να καταλάβουμε τη σχέση μεταξύ τους
y
Για να προσδιορίσουμε τη
θέση του σημείου Α Α
πρέπει να χρησιμοποι-
ήσουμε και πάλι ρ
ένα ζεύγος τιμών.
Την απόσταση από την φ
αρχή των αξόνων ρ
0 x
Τη γωνία φ που μετριέται
από το θετικό ημιάξονα
αντίθετα από τη φορά Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται
των δεικτών του ρολογιού από ζεύγος τιμών ρ, φ.

4. Σχέση μεταξύ
Πολικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων
Γεωμετρικά εύκολα y
βρίσκουμε ότι
x = ρ cos ϕ Α
y
y = ρ sin ϕ ρ
Συμβολισμοί που θα
χρησιμοποιούμε φ
0 x x

5. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
z
Καρτεσιανό Σύστημα (δεξιόστροφο) zA
Τρεις κάθετοι μεταξύ τους
προσανατολισμένοι Α
και βαθμονομημένοι άξονες
Έστω σημείο Α στο χώρο yA
0 y
Η θέση του προσδιορίζεται xA
αν φέρουμε την προβολή του Α΄
x
Α΄στο xy επίπεδο και βρούμε
Τις xΑ , yΑ και την προβολή του
zΑ στον z άξονα. Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται
από τρία μεγέθη x, y, z.

6. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
z
Κυλινδρικό Σύστημα zA
Ουσιαστικά πρόκειται για
Το πολικό σύστημα στο Α
Επίπεδο (π.χ. το x,y)
Με την προσθήκη ενός
άξονα (π.χ.) του z)
Έστω σημείο Α στο χώρο 0 y
ρΑ
Η θέση του προσδιορίζεται φΑ
αν φέρουμε την προβολή του Α΄
x
Α΄στο xy επίπεδο και βρούμε
τις ρΑ, φΑ και την προβολή του
zΑ στον z άξονα. Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται
από τρία μεγέθη ρ, φ, z.

7. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Σχέση συντεταγμένων
Κυλινδρικού και Καρτεσιανού Συστήματος
z
Από το σχήμα, αλλά και από z
τις σχέσεις τις οποίες βρήκαμε
για το πολικό σύστημα στο
Α
επίπεδο έχουμε:
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
0 y
ρ
φ
x Α΄

8. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Γιατί λέγεται το σύστημα Κυλινδρικό;
Εάν διατηρήσουμε
σταθερό το ρ, ενώ θα
μεταβάλλουμε το φ και z
το z σχηματίζεται z
κύλινδρος
Α
Το σύστημα
χρησιμοποιείται σε 0
προβλήματα με y
κυλινδρική συμμετρία,
π.χ. μαγνητικό πεδίο x
ρευματοφόρου
αγωγού.

9. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Σφαιρικό Σύστημα z
Η θέση του Α προσδιορίζεται
από τα εξής μεγέθη: θΑ Α
Την απόσταση rΑ από την rΑ
αρχή
Την γωνία φΑ που ορίζεται 0 y
όπως και η πολική.
φΑ
Την γωνία θΑ που μετριέται Α΄
x
πάντα από το
θετικό ημιάξονα z
Η θέση κάθε σημείου προσδιορίζεται
από τρία μεγέθη r, θ, φ.

10. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Σχέση μεταξύ
Σφαιρικών και Καρτεσιανών συντεταγμένων
Από το σχήμα εύκολα παίρνουμε:
x = (ΟΑ′) cos ϕ z
Ρ
y = (ΟΑ′)sin ϕ
(ΟΑ′) = r sin θ
θ Α
z = (OP) = r cosθ
r
Τελικά:
θ
x = r sin θ cos ϕ y
0
y = r sin θ sin ϕ φ
z = r cos θ x Α΄

11. ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
Γιατί λέγεται το σύστημα Σφαιρικό;
Εάν διατηρήσουμε
σταθερό το r, ενώ θα z
μεταβάλλουμε το φ και
το θ σχηματίζεται
σφαίρα
r
0
Το σύστημα
χρησιμοποιείται σε y
προβλήματα με
σφαιρική συμμετρία, x
π.χ. βαρυντικό πεδίο
Της Γης.

12. Είναι γνωστό ότι πολλά φυσικά μεγέθη θεωρούνται διανυσματικά
(π.χ. Δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα κ.τ.λ)
r
Συμβολισμός του διανύσματος: a≡a
r
Συμβολισμός του μέτρου του διανύσματος: a ≡a
Στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων z
r
(όπως θα μάθουμε και σε όλα τα συστήματα k r
συντεταγμένων) μπορούμε να ορίσουμε ένα r j
σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων: i y
r r r х
ˆ ˆ ˆ
i = u x , j = u y , k = uz
Τότε ένα διάνυσμα μπορούμε να το γράψουμε με τη βοήθειά τους
r r r r
a = a x i + a y j + a z k ≡ {a x ,a y ,a z }
r
Όπου a x , a y , a z οι συνιστώσες του διανύσματος a .

13. r r r r r rr
b ( )
a ⋅ b ≡ a,b ≡ ab = ab cos θ
θ Το εσωτερικό γινόμενο δύο
διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος
r
a
r r rr r r r r r rr
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ r ab = r ba arb + c )r= ab + ac
(
( )
r r
( ) ( )
r
m ab = ( ma ) b = a mb = ab m
rr rr rr r rr rr
r
r
ii r= jj = kk =r1, r ij = r = ki = 0 r
r jk r
r
a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + bz k ⇒
rr
ab = a x bx + a y b y + a z bz
rr rr ο r
r
Άν a,b ≠ 0 και ab = 0 ⇔ θ = 90 , a ⊥ b.

14. r r r r
r r rr a × b ≡ [a,b ] = nab sin φ
ˆ
a × b ≡ [a,b ]
r
r α είναι το μέτρο του
r a και b το
b μέτρο του b.
φ r φ είναι η μικρότερηrγωνία
r
ˆ
n a μεταξύ των a και b.
ˆ
Το n είναι μοναδιαίο διάνυσμα
το οποίο προκύπτει ως εξής:
Στρέφουμε το πρώτο διάνυσμα του γινομένου (στην
r
προκειμένη περίπτωση το a ) προς το δεύτερο (εδώ
r
ˆ
το b ), ακολουθώντας τη γωνία φ. Τότε το n έχει τη
φορά δεξιόστροφης βίδας.
Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι
διάνυσμα, κάθετο και στα δύο διανύσματα

15. r r
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ b ×a = ?
r
b
φ r
a
ˆ
n
r r rr r r
b × a ≡ [b,a ] = −a × b

16. r r r r r r r
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ a × (b + c ) = a × b + a × c
r r r r r r r r
m (a × b ) = (ma × b ) = (a × mb ) = (a × b )m
r r r r r r r r r r r r r r r
i ×i = j × j = k ×k = 0 i × j = k, j × k = i, k × i = j
rr r r ο r
r
Άν a,b ≠ 0 και a × b = 0 ⇔ ϕ = 0 , a // b.
r r r r r r r r
a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + bz k ⇒
r r r
i j k
r r
a × b = ax ay az
bx by bz

17. r h
r r
b
S
a × b = a b sin φ
h
φ r r
r
a a×b = a h = S
r r r
a×b = S
r r
b b
S S
r r
a a
r r r
b × a = S′
S = S ′ = εμβαδόν παραλληλογράμμου

18. Μήπως θα ήταν σκόπιμο να παριστάνουμε ΚΑΘΕ
επίπεδο με διάνυσμα;
z Ας υποθέσουμε ότι έχουμε
θ S το επίπεδο S στο χώρο.
S Βρίσκουμε την προβολή
θ του S΄ στο επίπεδο xy.
Ξέρουμε ότι S ′ = S cos θ
y
S΄ Αν σύμφωνα με όσα είπαμε
x προηγουμένως
S΄
r r παριστάναμε ταr2 επίπεδα
σματα S και S ′,
r τότε είναι κατανοητό, πως τοS ′ θα ήταν
με 2 διανύ-
η προβολή του
S στον άξονα z (ΒΟΛΙΚΟ).
ΕΠΟΜΕΝΩΣ: ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΠΟΡΟΎΜΕ
ΝΑ ΤΟ
ΠΑΡΑΣΤΗΣΟΥΜΕ ΜΕ

19. Διανύσματα είναι μόνο τα επίπεδα;
ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ;
r
ΔS i ΔSi
S
Έστω τυχαία επιφάνεια S
στο χώρο.
Τη χωρίζουμε σε πολύ
μικρές επιφάνειες ΔSi.
Επειδή είναι μικρές κάθε
μια τη θεωρούμε επίπεδο
r
και σ’ αυτό αντιστοιχούμε διάνυσμα ΔS i
r r r
S = ∑ ΔS i ∑
όμως S ≠ ΔS i
i i

20. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ
y y = f(x)
Δy φ Δy Δy
φ
tan ϕ =
Δx Δx Δx
dy
tan ϕ =
dx
ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ x1x1+Δх +Δх
x1 x
Ο στιγμιαίος «ρυθμός» μεταβολής ενός μεγέθους σε
σχέση με κάποιο άλλο (όχι απαραίτητα το χρόνο).
dx dυ
Ταχύτητ υ= Επιτάχυνσ a=
α dt η dt
dU
Θερμοχωρητικότητα CV =
dT
dx d2x d3x
Συμβολισμο
ί: dt dt 2 dt 3

21. Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x.
Έστω Δх μια μεταβολή της x.
Αν Δх→ 0 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό dx και
ονομά-ζουμε το dx διαφορικό της ανεξάρτητης
μεταβλητής x.
ΕΡΩΤΗΜ
Α
Εάν έχω συνάρτηση y=f(x) και η ανεξάρτητη μεταβλητή
x μεταβληθεί κατά dx, πόσο θα μεταβληθεί η y;
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
y y = f(x )
Βλέπουμε ότι αν το x μεταβληθεί
κατά Δx, τότε θα έχουμε: φ Δy
Δy = tan ϕ ×Δx Δx
Και για Δх→ 0
dy x
Δy ≡ dy = tan ϕ ×dx = dx x1 x1+Δx
dx

22. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ
ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜ
Έστω συνάρτηση y=f(x) y=x Α 3
Τότε y΄=f(x+Δx) y ′ = ( xΔx
3
+ )
Με τι ισούται η διαφορά
Δy = ( x + Δx )3 − x 3 =;
Δy=y΄− y=f(x+Δx) − f(x);
Αποδεικνύεται ότι +
( xΔx )3 x− 3
=
x 3
+ 3Δx
x 2
Δy=ΑΔx+ο(Δx)
όπου Α=Α(x) (δεν εξαρ- +3 xΔx ) 2 + Δx )3 −
( ( x 3
=
τάται από το x) και ο(Δx)
συνάρτηση του Δx δύνα- = 3 xΔx + [3 Δx ) 2 + Δx )3 ]
2
x ( (
μης μεγαλύτερης της 1ης
Για Δx→ 0
Για Δx→ 0 A=(dy/dx) και
ο(Δx) → 0 dy = 3x 2 dx =
dy dy
dy = dx dy = dx
dx dx

23. ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
dy
Ο γενικός τύπος dy = dx μας επιτρέπει να
θεωρούμε dx
την παράγωγο ως λόγο.
Έστω κύκλος ακτίνας r. dr
Πόσο θα αυξηθεί το εμβαδόν
του, αν η ακτίνα του αυξηθεί
κατάβατική απάντηση:
Συμ dr ; r
S = π r2
dS = π (r + dr ) 2 − π r 2 =
= 2π rdr + (dr ) 2 = 2π rdr
0
dS
Διαφορικό: dS = dr = 2π rdr
dr

24. ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να απαντήσουμε στο
ερώτημα, πόσο θα αυξηθεί ο όγκος σφαίρας, αν η ακτίνα
του αυξηθεί κατά dr ;
4 3 dV
V = πr dV = dr = 4π r 2 dr
3 dr
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του
διαφορικού για μερικές ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
προσεγγίσεις.
Από τον γενικό τύπο του διαφορικού μπορούμε να
περάσουμε στον προσεγγιστικό
dy dy
dy = dx Δy = y ( x + Δx ) − y ( x) ≈ Δx ⇒
dx dx
dy
y ( xΔx ) y x ( ) + Δx
+ ≈
dx

25. ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ dy
+
y ( xΔx ) y x ( ) + Δx
≈
dx
Τον τύπο αυτό μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε με
μεγάλη επιτυχία, υπό την προϋπόθεση ότι Δx<<x
1
Παραδείγματα: ≈
= 0,97 ≈
1,04 = 1,02
1,03 ; ;
1 1
Έστω y ( x) = . Τότε y ( xΔx ) =
+ .
x +
xΔx
dy ( x) 1 1
y ( xΔx ) y x ( ) +
+ ≈ Δx = − Δx
dx x x2
1 1 1
=
xΔx1, = 0,03 ⇒ ≈ − 0,03 = 0,97
1 + 0,03 1 1

26. ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ – ΜΕΡΙΚΟΙ ΓΕΝΙΚΟΙ
ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ
(1 ± а) ±ν ≈ [1 ± ( ±ν ) a]
0 ≤ a << 1
ln(1 ± а) ≈ ± a
ν – ρητός αριθμός
e± a ≈ 1 ± a
sin ϕ ≈ ϕ cos ϕ ≈ 1 ϕ →0
Αυτοί οι τύποι είναι μερικές περιπτώσεις της σειράς
Taylor
1 1 1
f ( x) = f (0) + f ′(0) x + f ′′(0) x 2 + f ′′′(0) x 3 + ...
1! 2! 3!

27. Η παράγωγος που ξέρουμε αναφέρεται σε συνάρτηση μιας με-
ταβλητής. Τι γίνεται αν έχουμε συνάρτηση πολλών
μεταβλητών;
s
Π.χ. υ = Και θέλουμε να δούμε πως μεταβάλλεται το υ
t
όταν μεταβληθεί είτε το s είτε το t.
Για συνάρτηση f(x, y, z,…) χρησιμοποιούμε την έννοια της
μερικής παραγώγου.
∂f Παραγωγίζουμε ως προς ∂υ 1
x, θεωρώντας τις άλλες =
∂x μεταβλητές σταθερές. ∂s t
Παραγωγίζουμε ως προς
∂f ∂υ s
y, θεωρώντας τις άλλες =− 2
∂y μεταβλητές σταθερές. ∂t t

28. Όσον αφορά τη δεύτερη παράγωγο, έχουμε μερικών ειδών:
∂ f
2
∂2 f ∂2 f ∂2 f
∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂y∂x
∂ 2υ ∂ 2υ 2s ∂ 2υ 1 ∂ 2υ 1
=0 = 3 =− 2 =− 2
∂s 2
∂t 2
t ∂s∂t t ∂t ∂s t
Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών f(x, y, z).
∂f ∂f ∂f
df = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z

29. r r r r
Έστω διάνυσμα a (t ) = a x (t )i + a y (t ) j + a z (t )k
Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει
r r r
r
a (tΔt )a t x ( Δt i ) a+ t y ( Δt j ) a+ t z ( Δt k )
+ = + + +
Εξετάζουμε την παράσταση
r r r
a (tΔt )a−t ( )
+ Δa ax (tΔt )a− t x ( ) r
+
lim = lim = lim[ i+
Δt →0 Δt Δt → 0 Δt Δt →0 Δt
a y (tΔt )a− t y ( ) r az (tΔt )a− t z ( ) r
+ +
+ j+ k ]=
Δt r Δt
dax r da y r daz r da
= i+ j+ k =
dt dt dt dt
Η παράγωγος διανύσματος είναι διάνυσμα, οι
συνιστώσες του οποίου είναι οι παράγωγοι των
συνιστωσών του αρχικού διανύσματος

30. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ r
r da
Εάν a σταθερό (κατά μέτρο και διεύθυνση) =0
dt
r r r r r r
d (ma ) da d (a + b ) da db
=m = +
dt dt dt dt dt
rr r r r r r r r
d (ab ) r da r db d (a × b ) da r db
=b +a = ×b + a ×
dt dt dt dt dt dt

31. Έστω σωματίδιο που κινείται x
στο επίπεδο διαγράφοντας μια Αr
συγκεκριμένη τροχιά και τη
ds ( t )
r
χρονική στιγμή t βρίσκεται στη r dr r
r (t ) Δr
θέση Α.
Η στιγμιαία ταχύτητά του θα r
r ( t +Δt )
δίνεταιrαπό τη γνωστή σχέση:
r ds r y
υ= Όπου ds η στοιχειώδης μετατόπιση σε χρόνο dt.
dt r
Το διάνυσμα r (t ) δείχνει τη θέση του σωματιδίου τη
χρονική στιγμή t και ονομάζεται διάνυσμα θέσης.
r
+
Μετά από χρόνο Δt το διάνυσμα θέσης θα είναι τοr (tΔt )
r r r
Βλέπουμε εύκολα, ότι Δr = r (t + Δt ) − r (t )
r r r
Κατανοούμε ότι για Δt → 0, Δr → dr = ds

32. r r x
dr = ds
Επομένως η στιγμιαία ταχύτητα
Α
του σωματιδίου θα είναι:
r
r dr r
υ= r (t )
dt
Έστω x, y οι συντεταγμένες του
σημείου Α. Τότε θα έχουμε:
r r
r y
r (t ) = x(t )i + y (t ) j r
r dr dx r dy r r r
Επομένω υ = = i+ j = υх i + υ y j
ς: dt dt dt
dx dy
Θα ισχύει: υ х = , υy = Εντελώς ανάλογα:
r dt dt
r dr dx r dy r dz r r r r
υ= = i+ j + k = υxi + υ y j + υz k
dt dt dt dt

33. Σύμφωνα με όσα είπαμε παραπάνω για την επιτάχυνση (στις
2 διαστάσεις) θα ισχύει:
r
r dυ dυ x r dυ y r d x r d y r = a i + a r
r
2 2
a= = i+ j= 2 i+ 2 j x y j
dt dt dt dt dt
Ενώ για τις 3
r
διαστάσεις:
r dυ dυ x r dυ y r dυ z r r r r
a= = i+ j+ k = ax i + a y j + az k =
dt dt dt dt
d 2x r d 2 y r d 2z r
= 2 i + 2 j+ 2 k
dt dt dt
ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Όλα αυτά ισχύουν στο
Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων!

34. Βρείτε, στη γενική περίπτωση, την
ταχύτητα (για κίνηση σε 2 διαστάσεις)
στο πολικό σύστημα συντεταγμένων
Για ΚΑΘΕ σύστημα συντεταγμένων, για την ταχύτητα θα
ισχύει ο γενικός ορισμός
r
r dr
υ=
dt
Για το πολικόrσύστημα συντεταγμένων επομένως πρέπει να
ορίσουμε το r .
Για να το κάνουμε πρέπει να έχουμε τα μοναδιαία
διανύσματα του πολικού συστήματος.

35. y
Τα μοναδιαία διανύσματα
ορίζονται ως εξής: ˆ
uϕ ˆ
uρ
1. Για σημείο Α φέρουμε Α
την ΟΑ που ορίζει το ρ. ρ
Το μοναδιαίο
ˆ
uρ
διάνυσμα
ϕ
ορίζεται κατά х
Ο
μήκος του ρ και φορά
από το Ο προς το Α. ˆ
2. Το μοναδιαίο διάνυσμα που αντιστοιχεί στη γωνία φ, τοuϕ
, ˆ
uρ
είναι κάθετο στο
ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟδείχνει τηΣΑΦΕΣ, ΠΩΣ ΤΑ φ.
και ΕΙΝΑΙ φορά μέτρησης του
ΜΟΝΑΔΙΑΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ
ΣΗΜΕΙΟ
ΑΝ ΕΧΟΥΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΜΕ ΣΩΜΑΤΙΔΙΟ ΠΟΥ
ΚΙΝΕΙΤΑΙ, ΘΑ ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΑΙ ΤΩΝ

36. Επιστρέφουμε στο πρόβλημά μας
Εξετάζουμε και πάλι το σημείο Α, το y
οποίο περιγράφει τη θέση του ˆ
uϕ ˆ
uρ
σωματιδίου μια τυχαία χρονική στιγμή.
Ας εκφράσουμε το διάνυσμα
ρ r r Α
θέσης του σωματιδίου στις πολικές
συντεταγμένες ϕ
r
r =ρuˆ ρ
Ο х
Τότε, σύμφωνα με τα γνωστά για
r
την ταχύτητα θα έχουμε dr dρu ˆ ρ )
(
=
dt dt
Κατά την παραγώγιση πρέπει να πάρουμε υπόψη μας ότι και το
ˆ
ρ και τοu ρ είναι μεταβλητά
Πρέπει να υπολογίσουμε το
r
dr dρu ˆ ρ )
( dρ du ˆ ρ ˆ
duρ
= = uρ +
ˆρ
dt dt dt dt dt

37. 1ος ΤΡΟΠΟΣ y
ˆ
uϕ ˆ
uρ
Σχεδιάζουμε r μοναδιαία
τα r
Α
διανύσματα i και j του ρ
καρτεσιανού συστήματος στο r
j ϕ
ίδιο σχήμα
r х
Ο i
ry
ˆ
uϕ j
ˆ
uρ
Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία ϕ
διανύσματα στους x, y άξονες ϕ
με κοινή κορυφή το Ο r х
Ο
i

38. y
ˆ
Φέρνουμε τις προβολές τουu ρ r
στους άξονες x και y. ˆ
uϕ j
ˆ
uρ
Τότε, από το σχήμα βλέπουμε ϕ
ότι ισχύει:
r r ϕ
u ρ = cos ϕ i + sin ϕ j
ˆ (1) r
Ο х
ˆ
Φέρνουμε τις προβολές του uϕ στους άξονες x και y.
i
r r
Θα uϕ = − sin ϕ i + cos ϕ j
ˆ (2)
ισχύει: ˆ
Για να υπολογίσουμε την du ρ / dt πρέπει να
παραγωγίσουμε την (1) ως προς το χρόνο
ˆ
du ρ dϕ r dϕ r r r dϕ
= − sin ϕ i + cos ϕ j = ( − sin ϕ i + cos ϕ j )
dt dt dt dt
ˆ
du ρ dϕ
Από τη (2) = uϕ
ˆ
παίρνουμε: dt dt

39. 2ος ΤΡΟΠΟΣ
y ˆ
uϕ ˆ′
uρ
Έστω ότι σε χρόνο dt το ˆ′
uϕ
σωματίδιό μας μετατοπίσθηκε ˆ
uρ
Α΄
από τη θέση Α στη θέση Α΄.
ρ′ ρ Α
Τότε η θέση του θα προσδι-
ορίζεται από τις συντεταγμένες dϕ
ϕ
ρ΄=ρ+dρ (το dρ μπορεί να είναι
θετικό ή αρνητικό) και φ΄=φ+dφ Ο х
(το ίδιο και το dφ).
Τα μοναδιαία διανύσματα θα
ˆ′ ˆ′
είναι τώρα u ρ και uϕ .
ˆ
uϕ u ρ dϕ
ˆ′
Σχεδιάζουμε και τα 4 μοναδιαία dϕ ˆ
uρ
διανύσματα με κοινή κορυφή.
ˆ′
uϕ

40. Στην περίπτωση αυτή η ˆ
du ρ
ˆ
uρ ˆ
μεταβολή του du ρ είναι
θα .
Ενώ η μεταβολή τουuˆϕ ,duϕ . duϕ
ˆ ˆ ˆ
uϕ u ρ dϕ
ˆ′
ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΧΝΑΜΕ dϕ ˆ
uρ
ΟΤΙ ΑΥΤΕΣ ΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ
ˆ′
uϕ
ΚΑΙ ΤΟ dφ ΕΙΝΑΙ ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ
Ξέρουμ ˆ ˆ′
ΜΙΚΡΕΣε ότι u ρ = u ρ = 1 . Επειδή το dφ είναι απειροστά
μικρό μπορούμε να θεωρήσουμε το du ρ ˆ τόξο κύκλου
ακτίνας μένως: du ρ = R ×dϕ = 1 ×d ϕ = dϕ .
Επο1. ˆ
Επειδή το dφ είναι απειροστά μικρό μπορούμε να
ˆ
du ρ
θεωρήσουμε ότι το είναι ταυτόχρονα κομμάτι της
εφαπτομένης, δηλαδήΕπομένως θαστο παράλληλο προς τοˆϕ
ˆ
u ρ είναι κάθετο είναι . u
. ˆ
du ρ dϕ
du ρ = du ρ uϕ = dϕ uϕ
ˆ ˆ ˆ ˆ = uϕ
ˆ
dt dt

41. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη
της παραγώγισης
dF
Δηλαδή αν ισχύει = f ( x)
dx
Θα έχουμε ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Όπου C σταθερά.
Στη Φυσική η σταθερά C υπολογίζεται από κάποιες
συνθήκες (αρχικές ή ενδιάμεσες) του προβλήματος.
Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα
χρησιμοποιούμε κάποια μέθοδο ολοκλήρωσης
ΑΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ
Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

42. ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Έστω συνάρτηση y=f(x) με y
πεδίο ορισμού a≤x ≤b.
Χωρίζουμε το πεδίο
y=f(x)
ορισμού σε πολλά μικρά
f(xi)
τμήματα Δxi το κέντρο των
οποίων είναι το xi.
Εάν από το xi και με βάση το a xi b x
Δxi φέρουμε ορθογώνια Δxi
N
παραλληλεπίπεδα με ύψος το
S ′ = ∑ f ( xi ) Δxi
f(xi) θα έχουμε: i =1
Όπου Ν το πλήθος των Δxi στα οποία χωρίσαμε το
διάστημα ab και S΄ εμβαδόν που διαφέρει λίγο από το
εμβαδόν της περιοχής που περιέχεται μεταξύ της f(x) και
του άξονα x.

43. ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Εάν τώρα Ν→∞ είτε (πράγμα y
που είναι το ίδιο) Δxi→0 είναι
προφανές ότι το εμβαδόν θα είναι y=f(x)
ακριβώς ίσο με το εμβαδόν της
περιοχής που περιέχεται μεταξύ f(xi)
της f(x) και του άξονα x. Τότε
γράφουμε: a xi b x
N Δxi
∑ f ( x ) Δx ≡ ∫
b
S = lim i i f ( x ) dx
∆xi → 0 a
i =1

44. ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Παραδείγματα Φυσικής
ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ z
Ο γενικός τύπος για το διάνυσμα
CM
θέσης του ΚΜ στην περίπτωση r
που έχουμε σημειακές (διάκριτες)
rC r mi
ri
μάζες είναι: N
r
r ∑m r i i y
rC = i =1
N
∑ mi
i =1
x
N N N
Αυτή η σχέση
είναι στην ∑m x i i ∑m y i i ∑m z i i
πραγματικό- xC = i =1
yC = i =1
zC = i =1
M M M
τητα 3 σχέσεις N
M = ∑ mi
i =1

45. ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Παραδείγματα Φυσικής
z
ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ
Στην περίπτωση συνεχούς CM
κατανομής της μάζας το r
rC dm
άθροισμα μετατρέπεται σε r
ολοκλήρωμα. r
r r y
r
rC =
∫
(M )
rdm
=
∫ (M )
rdm
x
Μ
M
∫(M )
dm
xC =
∫ (M )
xdm
yC =
∫
(M )
ydm
zC =
∫ (M )
zdm
M M M

46. ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Παραδείγματα Φυσικής
ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ
Στην περίπτωση σημειακών
μαζών (διάκριτη κατανομή μάζας)
η ροπή αδράνειας του
συστήματος ως προς άξονα Ο ri
δίνεται από τη σχέση: mi
N
I O = ∑ mi ri 2 O
i =1
όπου mi η μάζα κάθε σωματιδίου και ri η απόστασή
του από τον άξονα Ο.

47. ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
Παραδείγματα Φυσικής
ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ
Στην περίπτωση συνεχούς
κατανομής της μάζας το r
άθροισμα μετατρέπεται σε
dm
ολοκλήρωμα και συνεπώς η ροπή
αδράνειας του συστήματος ως
προς άξονα Ο δίνεται από τη
σχέση: O
IO = ∫ 2
r dm
(M )

48. r r
Ας υποθέσουμε ότι δύναμη F ( x, y ) ds L
μετακινεί σώμα στο επίπεδο κατά
r
μήκος της καμπύλης L. F
Τότε μπορούμε να μιλάμε για r
στοιχειώδες έργο που θα είναι
r
dW = Fds
Στη γενική περίπτωση, το ολικό έργο εξαρτάται από την τροχιά
που ακολουθεί το σώμα (π.χ. τριβή), δηλαδή από την L.
Για να το υπολογίσουμε πρέπει να αθροίσουμε όλα τα
στοιχειώδη έργα (δηλαδή να ολοκληρώσουμε) ακολουθώντας
την τροχιά L.
Αυτό ακριβώς το ολοκλήρωμα λέγεται
επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

49. r r
Ξέρουμε ήδη ότι: ds = dr Επομένως για το έργο θα έχουμε:
r r
W =∫ Fdr
L
r r r
Ας υποθέσουμε τώρα ότι: F = P ( x, y )i + Q ( x, y ) j
r r r r r r
Ξέρουμε επίσης ότι: r = xi + yj Επομένως: dr = dxi + dyj
Άρα: W = ∫ [ P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy ]
L
= ∫ P ( x, y )dx + ∫ Q ( x, y )dy
L L
Δηλαδή το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα μετατρέπεται σε
άθροισμα απλών, στα οποία το L χρησιμοποιείται για να
εκφράσουμε το x συναρτήσει του y ή αντίστροφα.

50. r r
ΒΑΘΜΙΔΑ Όπως είπαμε, το έργο δύναμης είναι: dW = Fdr
Στην περίπτωση που η δύναμη είναι συντηρητική υπάρχει
δυναμική ενέργεια για την οποία ξέρουμε ότι: dEP = − dW
r r
Επομένως, σ’ αυτή την περίπτωση: dEP = − Fdr
Η εξίσωση αυτή μας επιτρέπει, αν ξέρουμε τη δύναμη, να
υπολογίσουμε τη δυναμική ενέργεια.
Πως όμως μπορούμε να τη λύσουμε, έτσι ώστε, αν ξέρουμε τη
δυναμική ενέργεια, να υπολογίσουμε τη δύναμη;
Ας εξετάσουμε το πρόβλημα στη γενική περίπτωση.
r r
Έστω ότι, από τη σχέση: df = Adr
r
Θέλουμε να υπολογίσουμε το A.

51. r r r r
ΒΑΘΜΙΔΑ Ξέρουμε ότι: dr = dxi + dyj + dzk
r r r r
A = Ax i + Ay j + Az k
Ξέρουμε επίσης, ότι για τη συνάρτηση f(x,y,z) ισχύει:
∂f ∂f ∂f
df = dx + dy + dz
∂x
r r ∂y ∂z
Τότε η σχέση df = Adr γράφεται:
∂f ∂f ∂f
df = dx + dy + dz = Ax dx + Ay dy + Az dz
∂x ∂y ∂z
Επειδή η σχέση αυτή ισχύει για όλα τα ανεξάρτητα dx, dy,
dz, εύκολα προκύπτει ότι: Επομένως:
∂f ∂f ∂f r ∂f r ∂f r ∂f r
Ax = Ay = Az = A= i + j+ k
∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

52. r r
ΒΑΘΜΙΔΑ Επομένως, από τη σχέση: df = Adr
r ∂f r ∂f r ∂f r
Καταλήξαμε στη: A = i+ j+ k
∂x ∂y ∂z
Αυτό μπορούμε να το συμβολίσουμε ως εξής:
r ∂f r ∂f r ∂f r
A = ∇f ≡ i + j+ k
∂x ∂y ∂z
Όπου το ∇ ονομάζεται ΑΝΑΔΕΛΤΑ ή NABLA
και θεωρείται τελεστής:
∂ r ∂ r ∂ r
∇≡ i + j+ k
∂x ∂y ∂z
Τελεστής είναι ένα σύμβολο που μας δίνει την εντολή να
εκτελέσουμε μια πράξη (ενέργεια).

53. ΒΑΘΜΙΔΑ Μερικές φορές χρησιμοποιούμε το συμβολισμό:
r ∂f r ∂f r ∂f r
A = ∇f ≡ gradf ≡ i + j+ k
∂x ∂y ∂z
και τον όρο ΒΑΘΜΙΔΑ. r r
Από το αρχικό μας πρόβλημα: dEP = − Fdr
καταλήγουμε στο συμπέρασμα:
r ∂EP r ∂EP r ∂EP r
F = −∇EP ≡ − gradEP ≡ −( i+ j+ k)
r r ∂x ∂y r∂z
Εάν Εr =const θα έχουμε Fdr = 0 και για κάθε dr θα ισχύει
r P
F ⊥ dr
, επομένως θα υπάρχει μια επιφάνεια, που
Συνεπώς η βαθμίδα μας δείχνει πόσο «κοντά» ή πόσο «μακριά»
ονομάζεται ισοδυναμική.
είναι οι ισοδυναμικές επιφάνειες, δηλ. πόσο «γρήγορα»
μεταβάλλεται η δυναμική ενέργεια.

54. ΑΠΟΚΛΙΣΗ Στα προηγούμενα είδαμε, ότι ο τελεστής ∇
επιδρά σε ένα βαθμωτό μέγεθος και το
μετατρέπει σε διάνυσμα :
Τι γίνεται αν ο τελεστής αυτός επιδράσει σε διάνυσμα;
r ∂ r ∂ r ∂ r r r r
∇A = ( i + j + k )( Ax i + Ay j + Az k ) =
∂x ∂y ∂z
∂Ax ∂Ay ∂Az r
=( + + ) ≡ divA
∂x ∂y ∂z
r
Αυτό λέγεται ΑΠΟΚΛΙΣΗ του διανύσματος A
Η ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΜΑΣ ΔΙΝΕΙ ΤΗΝ ΙΣΧΥ ΤΗΣ ΠΗΓΗΣ r
ΠΟΥ
ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ A

55. ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ Ο τελεστής ∇ έχει τη μορφή διανύσματος,
επομένως μπορεί να επιδράσει σε ένα
διάνυσμα και εξωτερικά.
r ∂ r ∂ r ∂ r r r r
∇× A = ( i + j + k ) × ( Ax i + Ay j + Az k ) =
∂x ∂y ∂z
r r r
i j k
∂ ∂ ∂ r r
= ≡ rotA ≡ curlA
∂x ∂y ∂z ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ
r
Ax Ay Az ΤΟΥ A
Ο ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΑΝ ΕΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ
r
A
ΠΕΔΙΟ ΕΙΝΑΙ ΣΤΡΟΒΙΛΟ Η ΟΧΙ (Αν όχι είναι
δυναμικό)