Análisis Matemático

Carlos Ivorra

´
ANALISIS NO
´
ESTANDAR

Si una cantidad no negativa fuera tan pequeã n
que resultara menor que cualquier otra dada, cier-
tamente no podr´ ser sino cero. A quienes pregun-
ıa
tan qu´ es una cantidad infinitamente pequeã en
e n
matem´ticas, nosotros respondemos que es, de he-
a
cho, cero. As´ pues, no hay tantos misterios ocultos
ı
en este concepto como se suele creer. Esos supues-
tos misterios han convertido el c´lculo de lo infinita-
a
mente pequeõ en algo sospechoso para mucha gente.
n
Las dudas que puedan quedar las resolveremos por
completo en las p´ginas siguientes, donde explicare-
a
mos este c´lculo.
a
Leonhard Euler

´
Indice General

Introducciń
o vii

Cap´
ıtulo I: Preliminares conjuntistas 1
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Los conceptos conjuntistas b´sicos . . . .
a . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Elementos de teor´ de conjuntos . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4 Estructuras algebraicas y de orden . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.5 Elementos de aritm´tica . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 La teor´ de conjuntos no estńdar . . . .
ıa a . . . . . . . . . . . . . 30

Cap´
ıtulo II: Los n´ meros reales
u 43
2.1 Los n´meros naturales . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 La incompletitud de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5 La construcciń de R . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 Consecuencias de la completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . 70

Cap´
ıtulo III: Calculo diferencial de una variable 77
3.1 La gr´fica de una funciń . . . . . . . . . . . .
a o . . . . . . . . . . 77
3.2 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 Derivadas sucesivas, la f´rmula de Taylor . . .
o . . . . . . . . . . 99
3.5 Exponenciales y logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6 L´ımites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Cap´
ıtulo IV: C´lculo integral de una variable
a 117
4.1 La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2 Las funciones trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 133
4.3 C´lculo de longitudes, areas y vol´menes . . . . . . . . . . . . . .
a ´ u 141

v

vi ´
INDICE GENERAL

Cap´
ıtulo V: Series infinitas 153
5.1 Series num´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 153
5.2 Sucesiones funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Cap´
ıtulo VI: C´lculo diferencial de varias
a variables 179
6.1 Espacios m´tricos y espacios normados
e . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2 Elementos de topolog´ . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.3 Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.4 Derivadas y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.5 El teorema de la funciń impl´
o ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.6 Optimizaciń cl´sica . . . . . . . . . .
o a . . . . . . . . . . . . . . . 212

Cap´
ıtulo VII: C´lculo integral de varias variables
a 219
7.1 Resultados b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . 219
7.2 Dominios de integraciń . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 223
7.3 C´lculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . 231
7.4 El teorema de la media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.5 El teorema de cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
´
7.6 Areas de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.7 Apńdice: Descomposiciń de aplicaciones lineales
e o . . . . . . . . 257

Apńdice A: La teor´ de Nelson
e ıa 261

Apńdice B: La teor´ de Hrbacek
e ıa 271

Apńdice C: El teorema de conservaciń
e o 285
C.1 Modelos internos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
C.2 Ultrapotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
C.3 L´ımites inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
C.4 El teorema de conservaciń para la teor´ de Hrbacek
o ıa . . . . . . 303

Bibliograf´
ıa 315
´
Indice de Materias 316

Introducciń
o

En la historia de las matem´ticas nos encontramos con muchos momen-
a
tos en que los matem´ticos han manejado con seguridad —por no decir con
a
virtuosismo— conceptos cuya naturaleza y propiedades b´sicas eran incapaces
a
de precisar. El ejemplo t´ ıpico lo tenemos en los algebristas de los siglos XVI
y XVII, que eran capaces de encontrar ra´ ıces reales de polinomios pasando, en
caso de ser necesario, por ra´ “imaginarias” de otros polinomios que aparec´
ıces ıan
a lo largo del c´lculo. Los n´meros imaginarios eran concebidos como unos con-
a u
ceptos ficticios en los que, sin saber c´mo ni por qu´, se pod´ “confiar”, en el
o e ıa
sentido de que al incluirlos en los c´lculos llevaban a conclusiones correctas.
a
Naturalmente, la razń por la que los c´lculos con n´meros complejos eran
o a u
correctos es que es posible construir los n´meros complejos, de tal modo que
u
lo que hac´ los algebristas —aunque no lo supieran— era usar una serie de
ıan
teoremas que no sab´ demostrar o siquiera enunciar (los n´meros complejos
ıan u
forman un cuerpo, etc.)
Hay muchos otros casos similares: los f´ ısicos han estado derivando funciones
no derivables durante mucho tiempo, con la convicciń de que las derivadas eran
o
unas “funciones generalizadas” que no sab´ definir, pero en la que tambiń “se
ıan e
pod´ confiar”. La razń por la que estos c´lculos con funciones misteriosas que
ıa o a
no eran funciones no llevaban a paradojas y contradicciones es, por supuesto,
que es posible construir unos objetos (las distribuciones) con las propiedades
que los f´ısicos postulaban impl´ ıcitamente en el uso que hac´ de sus funciones
ıan
generalizadas. Tambiń Kummer us´ unos “divisores primos ideales” que no
e o
exist´ıan, y que finalmente formaliz´ Dedekind a trav´s de la nociń de ideal de
o e o
un anillo, los propios n´meros reales no estuvieron exentos de pol´micas sobre
u e
sus propiedades hasta que Dedekind y Cantor dieron las primeras construcciones
expl´ıcitas, etc.
El an´lisis no estńdar es la respuesta ultima a una asignatura pendiente
a a ´
que ten´ la matem´tica. En su origen, el c´lculo diferencial se bas´ tambiń en
ıa a a o e
unos “n´meros ideales” que nadie sab´ definir porque ten´ que ser no nulos
u ıa ıan
y a la vez menores que cualquier cantidad positiva. Eran los infinit´simos. Por
e
ejemplo, Leibniz explicaba as´ el c´lculo de la derivada de f (x) = x2 : tomamos
ı a
un infinit´simo dx, calculamos el incremento df = f (x+dx)−f (x) y lo dividimos
e
entre la cantidad (no nula) dx. Resulta

df
= 2x + dx.
dx

vii

viii Introducciń
o

Ahora bien, puesto que dx es una cantidad infinitesimal, la presencia del
ultimo t´rmino es insignificante, por lo que podemos eliminarla y as´
´ e ı

df
= 2x + dx = 2x.
dx
Leibniz era consciente de las contradicciones de este argumento: primero
suponemos que dx = 0 pero luego lo eliminamos como si fuera dx = 0. Pese a
ello, tambiń era consciente de que los resultados a los que se llegaba con este
e
tipo de razonamientos eran correctos y estaba convencido de que los argumentos
con infinit´simos ten´ que poder reformularse como argumentos “del estilo de
e ıan
Arqu´ ımedes”, lo cual hoy es fćil traducir a “mediante pasos al l´
a ımite”.
Uno de los grandes virtuosos de los infinit´simos fue Euler, quien parec´
e ıa
convencido de que bastaba concebirlos como n´meros arbitrariamente pequeõs
u n
(pero no nulos) en lugar de como n´meros infinitamente pequeõs. Sin embargo
u n
sus razonamientos estń bastante lejos del estilo moderno -δ.
a
Al contrario de lo que sucedi´ con los n´meros reales, los n´meros complejos,
o u u
las distribuciones o los n´meros ideales de Kummer, los matem´ticos del siglo
u a
XIX y la primera mitad del siglo XX fueron incapaces de construir unos objetos
que se comportaran como deb´ comportarse los infinit´simos, y el resultado
ıan e
fue que los erradicaron de la matem´tica te´rica. Cauchy introdujo (con in-
a o
finit´simos ań) la nociń de l´
e u o ımite y mostr´ que los restantes conceptos del
o
an´lisis pod´ expresarse en t´rminos de l´
a ıan e ımites. Posteriormente Weierstrass
introdujo las definiciones y los razonamientos -δ. Ahora bien, la rebeld´ de los ıa
infinit´simos a dejarse formalizar no los hac´ menos prćticos, por lo que los
e ıa a
f´
ısicos siguieron usńdolos, con la convicciń de que son mucho m´s intuitivos
a o a
y c´modos que los ´psilons y las deltas.
o e
El hecho de que los infinit´simos “funcionaran” indicaba claramente que
e
deb´ poder construirse. Hubo algunos intentos previos poco satisfactorios,
ıan
pero s´lo a finales de los 60, Abraham Robinson consigui´ este objetivo. Del
o o
trabajo de Robinson se sigue que es posible formalizar el c´lculo diferencial
a
definiendo las derivadas como cocientes de incrementos infinitesimales, porque,
si bien en R no hay infinit´simos (como tampoco hay n´meros con ra´ cuadrada
e u ız
negativa), lo cierto es que es posible extender R a un cuerpo que los tenga (igual
que puede extenderse a C, donde los n´meros negativos s´ que tienen ra´
u ı ıces
cuadradas).
Por desgracia, los infinit´simos de Robinson se constru´ y se manejaban
e ıan
mediante tćnicas de l´gica matem´tica, que resultan bastante complejas y arti-
e o a
ficiales para los matem´ticos no familiarizados con esta disciplina. No obstante,
a
a finales de los 60 y principios de los 70 surgieron aproximaciones axiom´ticas a
al an´lisis no estńdar, es decir, aproximaciones que, en lugar de construir los
a a
infinit´simos —que es complicado—, lo que hacen es postular mediante unos
e
axiomas sencillos su existencia y sus propiedades. Es como si en un curso de in-
troducciń al an´lisis no construimos los n´meros reales, sino que postulamos la
o a u
existencia de un cuerpo ordenado completo. El resultado es que partimos exac-
tamente del mismo punto a donde habr´ ıamos llegado si hubi´semos empezado
e
por la construcciń de R. Naturalmente, al eliminar la construcciń perdemos
o o

ix

una informaciń, y es que el axioma que postula la existencia de R es en realidad
o
un axioma inesencial, en el sentido de que todo lo que se demuestra con ´l, se e
puede demostrar tambiń sin ´l (simplemente, demostrńdolo y convirtińdolo
e e a e
as´ en un teorema). Lo mismo sucede con el an´lisis no estńdar.
ı a a
De entre las distintas versiones axiom´ticas del an´lisis no estńdar, aqu´
a a a ı
vamos a exponer una especialmente “fuerte”, en el sentido de que no vamos a
postular axiom´ticamente la mera existencia —por ejemplo— de un cuerpo que
a
contiene al cuerpo de los n´meros reales y que adem´s tiene infinit´simos, sino
u a e
que vamos a presentar toda una teor´ de conjuntos no estńdar, aãdiendo
ıa a n
a los axiomas usuales de la teor´ de conjuntos otros axiomas que postulan
ıa
la existencia de elementos ideales en todos los conjuntos infinitos. Dado que
no vamos a comparar este enfoque con otros posibles, el lector no tendr´ la a
oportunidad de constatarlo (salvo que compare con otros textos), pero esta
versiń supone una simplificaciń enorme de la teor´ tanto en sus aspectos
o o ıa,
tćnicos como en los conceptuales.
e
Ahora bien, tal y como explic´bamos un poco m´s arriba, debemos tener
a a
presente que los objetos cuya existencia postulan estos axiomas pueden ser cons-
truidos, de modo que los axiomas del an´lisis no estńdar no son como otros
a a
axiomas que pueden aãdirse a la teor´ de conjuntos (tales como la hip´tesis
n ıa o
del continuo, el axioma de Martin, etc.) sino que son “eliminables”, en el sentido
de que cualquier afirmaciń “estńdar” que pueda demostrarse con ellos, puede
o a
demostrarse tambiń sin ellos.
e
De este modo, la teor´ de conjuntos no estńdar no es una teor´ “nueva” que
ıa a ıa
proporcione nuevos resultados, sino una teor´ alternativa que permite probar
ıa
los mismos resultados que la teor´ cl´sica pero de forma distinta. As´ mientras
ıa a ı,
que una teor´ matem´tica “usual” se valora normalmente en funciń de los
ıa a o
resultados “nuevos” que permite demostrar, este criterio no es aplicable para
valorar la teor´ de conjuntos no estńdar (ya que la respuesta es que no permite
ıa a
demostrar nada nuevo), sino que su valor depender´ m´s bien de la comparaciń
a a o
entre las tćnicas cl´sicas y las tćnicas no estńdar. El prop´sito de este libro
e a e a o
es, precisamente, poner al lector en condiciones de realizar esa comparaciń y o
para que pueda sopesar por s´ mismo las ventajas y los inconvenientes de la
ı
teor´ de conjuntos no estńdar frente a la teor´ de conjuntos cl´sica.
ıa a ıa a
En esta comparaciń, probablemente, el factor de m´s peso es un hecho
o a
externo a la teor´ misma: por razones hist´ricas, la teor´ de conjuntos cl´sica
ıa o ıa a
est´ profundamente arraigada, mientras que la teor´ de conjuntos no estńdar
a ıa a
no es m´s que una curiosidad, y es casi impensable que algń d´ pase a ser
a u ıa
m´s que eso. No obstante, siempre queda el —cuanto menos— “divertimento”
a
te´rico de juzgar ambas teor´ en pie de igualdad, prescindiendo de su grado de
o ıas
popularidad. Entonces, los dos platos de la balanza quedan bastante igualados:

Por una parte, la teor´ de conjuntos no estńdar da lugar a pruebas
ıa a
m´s ¿intuitivas?, ¿elegantes?, ¿sencillas? que la teor´ cl´sica.
a ıa a
Por otra parte, la teor´ de conjuntos no estńdar requiere un marco
ıa a
de razonamiento l´gico ¿un poco?, ¿bastante?, ¿mucho? m´s com-
o a
plejo que la teor´ de conjuntos cl´sica.
ıa a

x Introducciń
o

Lo que el lector deber´ juzgar es cu´les de las palabras entre interrogantes
a a
son apropiadas (o si hay que cambiarlas por otras). Si considera que la teor´ no
ıa
estńdar no es ni intuitiva, ni elegante, ni sencilla, ni nada parecido, concluir´
a a
que lo mejor es olvidarse de ella, al igual que si considera que sus sutilezas
l´gicas la vuelven inmajenable en la prćtica.
o a
Quiz´ convenga destacar que no hay contradicciń en afirmar que las pruebas
a o
no estńdar pueden ser m´s sencillas y que su l´gica subyacente puede ser m´s
a a o a
complicada. Esto quiere decir que, para alguien que haya asimilado esa l´gicao
subyacente, las pruebas pueden resultar mucho m´s sencillas, y la cuestiń es,
a o
entonces, si la (presunta) simplificaciń (o cualquier otra ventaja) que supone
o
el uso de la teor´ no estńdar compensa el (presunto) esfuerzo de familiarizarse
ıa a
con ella. Probablemente, ´sta es la pregunta principal sobre la que deber´
e a
meditar el lector.
Aunque una valoraciń adecuada de la teor´ de conjuntos no estńdar re-
o ıa a
quiere, evidentemente, un examen a fondo de sus principios y su funcionamiento
(que es lo que pretende ofrecer este libro), podemos formarnos una primera im-
presiń considerando el teorema siguiente, de Sierpinski:
o
Si a1 , . . . , an , b son n´meros reales positivos, la ecuaciń
u o
a1 an
+ ··· + =b
x1 xn
tiene a lo sumo un n´mero finito de soluciones naturales.
u
Ahora vamos a ver el aspecto de una demostraciń no estńdar. Evidente-
o a
mente, a menos que el lector ya est´ familiarizado con la teor´ de conjuntos no
e ıa
estńdar, no estar´ en condiciones de entenderla con detalle, pero aqu´ se trata
a a ı
simplemente de comparar su aspecto con el de una demostraciń cl´sica. (Lo
o a
que s´ puede tratar de hacer el lector es demostrar el teorema por s´ mismo por
ı ı
medios cl´sicos y comparar las pruebas.)
a
Demostracion: Podemos suponer que n, a1 , . . . , an y b son estńdar.1 Si el
´ a
conjunto de n-tuplas (x1 , . . . , xn ) ∈ Nn que cumplen la ecuaciń fuera infinito,
o
tendr´ que contener un elemento no estńdar. Una n-tupla (con n estńdar)
ıa a a
que tenga todas sus componentes estńdar ser´ estńdar, luego tenemos una
a a a
soluciń (x1 , . . . , xn ) en la que algń xi es infinitamente grande.
o u
Ahora bien, no puede ser que todos los xi sean infinitamente grandes, ya que
entonces el miembro izquierdo de la ecuaciń ser´ infinitamente pequeõ, y el
o ıa n
miembro derecho no. Por consiguiente, tambiń existe algń xi que no es infini-
e u
tamente grande. Reordenando los ´ ındices, podemos suponer que x1 , . . . , xr son
infinitamente grandes y xr+1 , . . . , xn no lo son. Pero esto nos lleva igualmente
a una contradicciń, ya que podemos despejar
o
a1 ar ar+1 an
+ ··· + =b− − ··· −
x1 xr xr+1 xn
y, nuevamente, el miembro izquierdo es infinitesimal, y el derecho no.
1 Esto implica, en particular, que no son n´ meros infinitamente peque˜ os o infinitamente
u n
grandes.

xi

La prueba puede parecer extremadamente simple, pero en esta apariencia
hay algo de engaõso, y esto nos lleva precisamente hacia el otro plato de la
n
balanza. Las sutilezas l´gicas inherentes a la teor´ de conjuntos no estńdar
o ıa a
estń relacionadas con las causas por las que los matem´ticos tuvieron que
a a
abandonar el uso de infinit´simos a la hora de fundamentar el an´lisis: si no se
e a
toman las precauciones debidas, los infinit´simos dan lugar a contradicciones.
e
El problema es an´logo al que tuvieron que resolver los matem´ticos para
a a
fundamentar la teor´ de conjuntos. Si no se toman las precauciones debidas,
ıa
determinados “conjuntos” como “el conjunto de todos los conjuntos”, “el con-
junto de todos los cardinales”, etc. dan lugar a contradicciones por el mero
hecho de aceptar su existencia. Cantor llamaba a estos conjuntos parad´jicos
o
“multiplicidades inconsistentes”, y hay esencialmente dos formas de abordar el
problema de extirpar de la teor´ matem´tica las contradicciones que generan:
ıa a

• La teor´ de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) es una teor´ axiom´tica
ıa ıa a
en la que, simplemente, las “multiplicidades inconsistentes” no existen: a
partir de sus axiomas se puede demostrar que no existe ningń conjunto
u
que contenga a todos los conjuntos, ni existe ningń conjunto que contenga
u
a todos los cardinales, etc. No obstante, informalmente se puede hablar de
la “clase” de todos los conjuntos o la “clase” de todos los cardinales, pero
s´lo en afirmaciones que claramente pueden reformularse eliminando estos
o
conceptos (por ejemplo, si decimos que la clase de todos los cardinales est´
a
contenida en la clase de todos los conjuntos, esto es equivalente a decir
que todo cardinal es un conjunto, y as´ hemos eliminado toda menciń a
ı o
“clases” inexistentes).

• La teor´ de conjuntos de von Neumann-Bernays-G¨del introduce formal-
ıa o
mente la diferencia entre “conjuntos” y “clases propias”, de modo que las
multiplicidades inconsistentes de Cantor se corresponden con las “clases
propias”. Las contradicciones aparecen si se confunden ambos conceptos
y se tratan las clases propias como si fueran conjuntos. Estableciendo la
distinciń, los argumentos que originalmente daban lugar a contradiccio-
o
nes se transforman en los argumentos que demuestran que determinadas
clases son propias y no son conjuntos.

A la hora de fundamentar el uso de infinit´simos, nos encontramos con pro-
e
blemas similares: determinados “conjuntos” como “el conjunto de todos los
n´meros reales infinitesimales” dan lugar a contradicciones, y en este libro pre-
u
sentaremos dos teor´ axiom´ticas que resuelven el problema:
ıas a

• La teor´ de Nelson resuelve el problema negando la existencia de los
ıa
conjuntos “problem´ticos”. As´ por ejemplo, a partir de sus axiomas se
a ı
demuestra, desde luego, que existen n´meros reales infinitesimales, pero
u
tambiń que no existe ningń conjunto cuyos elementos sean los n´meros
e u u
reales infinitesimales. Esto es tćnicamente an´logo al caso de la teor´ de
e a ıa
conjuntos de ZFC, en la que se demuestra que existen los n´meros cardi-
u
nales (finitos e infinitos), pero se demuestra que no existe ningń conjunto
u

xii Introducciń
o

cuyos elementos sean todos los cardinales. La unica diferencia (de carćter
´ a
psicol´gico) es que uno puede estudiar algebra, an´lisis, topolog´ etc. y
o ´ a ıa,
hablar de cardinales de conjuntos finitos e infinitos, sin tener realmente
necesidad de hablar en ningń momento del conjunto de todos los cardi-
u
nales, por lo que apenas se nota la prohibiciń que la teor´ impone como
o ıa
precio para excluir las contradicciones. En cambio, cuando uno habla de
n´meros reales infinitesimales, resulta tentador en muchas ocasiones razo-
u
nar considerando el conjunto de todos los infinitesimales, y la prohibiciń
o
de hacerlo puede resultar desconcertante.
• La teor´ de Hrbacek distingue entre “conjuntos internos” y “conjuntos ex-
ıa
ternos” de un modo similar a como la teor´ NBG distingue entre conjun-
ıa
tos y clases propias. Es posible hablar del “conjunto de todos los n´meros
u
infinitesimales”, pero los argumentos que, a partir de este concepto, dan
lugar a contradicciones se convierten ahora en razonamientos que prueban
que tal conjunto es externo. En realidad, la teor´ de Nelson permite ha-
ıa
blar de conjuntos externos en el mismo sentido informal (pero riguroso)
en que es posible hablar de clases en ZFC, es decir, como conceptos que
es posible introducir en las afirmaciones a condiciń de que ´stas puedan
o e
reformularse eliminando toda menciń a ellos.
o

Volviendo a la demostraciń que hemos dado m´s arriba del teorema de Sier-
o a
pinski, uno de los pasos que hemos dado, aunque es correcto, no es, en realidad,
evidente. Se trata del punto en que hemos reordenado los sub´ındices para poner
en primer lugar los n´meros infinitos y luego los finitos. La reordenaciń en
u o
s´ es intrascendente. Lo que no es trivial es que, impl´
ı ıcitamente, ah´ estamos
ı
considerando el conjunto

I = {i ≤ n | xi es infinitamente grande}.

En general, conjuntos como ´ste son los que dan lugar a contradicciones si no
e
se toman las precauciones debidas. Por ejemplo, si aceptamos sin m´s reflexiń
a o
la existencia del conjunto I, deber´
ıamos aceptar igualmente la existencia de

J = {i ∈ N | i es infinitamente grande},

y este conjunto nos lleva a una contradicciń, ya que es fćil probar que si
o a
i ∈ J, entonces i − 1 ∈ J, luego tendr´ ıamos un subconjunto de N no vac´ y
ıo
sin m´ınimo elemento. En la teor´ de conjuntos de Nelson se demuestra que I
ıa
existe, mientras que J no existe, pero, por la misma razń que no es obvio que
o
J no exista, tampoco es obvio que I s´ que exista.2
ı
El precio que hay que pagar para trabajar consistentemente en la teor´ ıa
de conjuntos no estńdar —el precio que el lector deber´ juzgar si es caro o
a a
barato— es asimilar las sutilezas l´gicas que determinan que I s´ que existe
o ı
pero J no.
2 Cuando el lector est´ familiarizado con la teor´ de conjuntos no estńdar podr´ entender
e ıa a a
la razń por la que I s´ que existe: I = {i ≤ n | xi ∈ A}, donde A = ◦ {x1 , . . . , xn }, que es un
o ı
conjunto estńdar por el teorema A.7.
a

xiii

En la teor´ de Hrbacek, esta sutileza desaparece de la prueba del teorema
ıa
de Sierpinski, ya que tanto I como J existen trivialmente. La diferencia entre
ambos es ahora que I es interno, mientras que J es externo, pero que I sea
interno o externo es irrelevante para la demostraciń del teorema. Lo unico
o ´
necesario era hacer referencia a I para despejar en la ecuaciń. Sin embargo, la
o
teor´ axiom´tica de Hrbacek requiere bastante m´s familiaridad con la l´gica
ıa a a o
matem´tica que la teor´ de Nelson.
a ıa
De todos modos, debemos tener presente que cualquier teor´ axiom´tica
ıa a
es ardua para un lector sin la suficiente preparaciń matem´tica. Incluso hay
o a
muchos matem´ticos que son expertos en su campo y que s´lo tienen un vago
a o
conocimiento de lo que es la l´gica matem´tica (formal) y la teor´ axiom´tica
o a ıa a
de conjuntos. Por ello, no ser´ justo comparar una exposiciń de la teor´
ıa o ıa
de conjuntos no estńdar segń los patrones de rigor propios de la l´gica ma-
a u o
tem´tica con una exposiciń de la teor´ cl´sica al nivel semiformal que emplean
a o ıa a
todos los libros de matem´ticas (excepto los que tratan temas directamente re-
a
lacionados con la l´gica matem´tica o estń escritos por pedantes). Debido a
o a a
estas consideraciones, la estructura de este libro es la siguiente:

• El primer cap´ ıtulo est´ dedicado a describir informalmente la l´gica de
a o
la teor´ de conjuntos cl´sica (en sus tres primeras secciones) y la de la
ıa a
teor´ de conjuntos no estńdar (en la cuarta secciń). Su objetivo es
ıa a o
preparar al lector para que pueda manejar la teor´ no estńdar con el
ıa a
mismo nivel de seguridad con que un estudiante de matem´ticas medio
a
maneja la teor´ estńdar. En el caso de la teor´ estńdar, para conseguir
ıa a ıa a
este dominio informal es posible prescindir prćticamente por completo de
a
toda alusiń a la l´gica matem´tica, pero la teor´ no estńdar requiere,
o o a ıa a
como m´ ınimo, unas nociones b´sicas sobre la l´gica subyacente para no
a o
caer en contradicciones.
Es importante insistir en que todas las explicaciones, ejemplos, analog´
ıas,
etc. presentadas en este primer cap´
ıtulo (incluso en las secciones sobre la
teor´ cl´sica) s´lo pretenden sugerir al lector una forma pragm´tica de
ıa a o a
concebir la teor´ no estńdar para desenvolverse en ella con soltura. En
ıa a
particular, no pretenden defender ninguna posiciń filos´fica sobre c´mo
o o o
han de concebirse las matem´ticas en general o los infinit´simos en par-
a e
ticular.
La secciń 1.3 contiene un resumen (con demostraciones) de los resulta-
o
dos b´sicos sobre funciones, relaciones, estructuras algebraicas, n´meros
a u
naturales, etc., en definitiva, de los hechos y conceptos que el lector debe
conocer para leer este libro. Su finalidad es servir de ayuda a un hipot´tico
e
lector obstinado en que la teor´ no estńdar contradice en algo a la teor´
ıa a ıa
estńdar. La secciń 1.3 le dar´ la oportunidad de buscar concretamente
a o a
qu´ resultado contradice a la teor´ no estńdar, y tal vez el no encontrar
e ıa a
ninguno le ayude a entender que la contradicciń s´lo est´ en su imagi-
o o a
naciń. (Si encuentra alguno, entonces su problema es m´s grave, pero
o a
puede estar seguro de que ser´ su problema, no un problema de la teor´
a ıa

xiv Introducciń
o

no estńdar.) Los lectores que no sean especialmente suspicaces pueden
a
saltarse esa secciń sin riesgo a echar nada en falta m´s adelante.
o a

• Segundo cap´ ıtulo pretende familiarizar al lector con el uso prćtico de la
a
teor´ de conjuntos no estńdar —siempre a un nivel informal, lo m´s
ıa a a
parecido posible al nivel de cualquier libro de matem´ticas serio, pero
a
no tćnico—, a trav´s del estudio de los n´meros naturales, los n´meros
e e u u
racionales y la construcciń de los n´meros reales.
o u

• Los cap´ ıtulos siguientes desarrollan los contenidos t´
ıpicos de un curso uni-
versitario de an´lisis matem´tico: c´lculo diferencial e integral para funcio-
a a a
nes de una y varias variables. La exposiciń pretende ser natural o, mejor
o
dicho, pretende ser lo que ser´ una exposiciń natural si la teor´ de con-
ıa o ıa
juntos no estńdar fuera considerada una teor´ “normal” en la prćtica
a ıa a
matem´tica. Desarrollamos la teor´ no estńdar como si la teor´ cl´sica
a ıa a ıa a
no existiese, exactamente igual que los libros cl´sicos desarrollan la teor´
a ıa
cl´sica como si la teor´ no estńdar no existiese. En particular, cada con-
a ıa a
cepto se define de la forma que resulta natural en el contexto de la teor´ ıa
no estńdar, sin mostrar la equivalencia con la definiciń cl´sica corres-
a o a
pondiente, salvo que ello tenga inter´s en la propia teor´ no estńdar.
e ıa a
El lector no necesita ningń conocimiento matem´tico previo m´s all´
u a a a
de cierta familiaridad con los conceptos matem´ticos b´sicos (los mismos
a a
que se exponen en el primer cap´ ıtulo), excepto para las secciones 6.5, 6.6
y 7.5, en las que necesitar´ conocer algunos hechos b´sicos del ´lgebra
a a a
lineal (matrices, determinantes, espacios vectoriales, y poco m´s).
a

• Los apńdices A y B presentan con rigor la axiom´tica de Nelson y la
e a
de Hrbacek, respectivamente. Aqu´ el lector necesitar´ cierta familiaridad
ı a
con la l´gica matem´tica y con la teor´ axiom´tica de conjuntos.3 Toda
o a ıa a
la teor´ desarrollada en los cap´
ıa ıtulos precedentes puede formalizarse en
la teor´ de Nelson sin m´s esfuerzo que el necesario para formalizar en
ıa a
ZFC cualquier exposiciń razonable del an´lisis cl´sico.
o a a

• El apńdice C contiene la demostraciń del teorema de conservaciń, segń
e o o u
el cual, todo teorema “estńdar” que pueda demostrarse en la teor´ de
a ıa
conjuntos no estńdar puede demostrarse tambiń en la teor´ de con-
a e ıa
juntos cl´sica. En particular, si la teor´ cl´sica es consistente, la teor´
a ıa a ıa
no estńdar tambiń lo es. La prueba es metamatem´tica y finitista. Eso
a e a
quiere decir, en t´rminos m´s llanos, que cualquiera que afirme convencido
e a
que la teor´ de conjuntos no estńdar no sirve porque es contradictoria,
ıa a
no tiene ni idea de la estupidez que est´ diciendo. Para este apńdice, el
a e
lector necesitar´ un buen conocimiento de la l´gica matem´tica y de la
a o a
teor´ de conjuntos.
ıa
3 Los dos cap´
ıtulos I, II y VIII de mi libro de L´gica son m´s que suficientes, al menos
o a
para la teor´ de Nelson. En el caso de la teor´ de Hrbacek, el primer cap´
ıa ıa ıtulo de mi libro de
Pruebas de consistencia ser´ conveniente tambiń.
ıa e

xv

Hay un aspecto de la comparaciń entre la teor´ cl´sica y la teor´ no
o ıa a ıa
estńdar en el que no vamos a entrar aqu´ y es si la teor´ no estńdar ofrece
a ı, ıa a
ventajas frente al teor´ cl´sica de cara a la investigaciń. Hasta la fecha no
ıa a o
hay ningń resultado demostrado con tćnicas no estńdar y que no pueda
u e a
demostrarse de forma razonablemente pareja en dificultad mediante tćnicas e
estńdar. Los defensores del an´lisis no estńdar citan ejemplos como ´ste,
a a a e
aunque —la verdad sea dicha— no hay muchos otros que citar:
El quinto problema de Hilbert consist´ en determinar si todo grupo to-
ıa
pol´gico localmente eucl´
o ıdeo es un grupo de Lie. El problema fue resuelto afir-
mativamente en 1952 por Montgomery, Zippin y Gleason. En 1964 Kaplanski
public´ otra demostraciń. Sin embargo, en 1976 se celebr´ un congreso sobre
o o o
los problemas de Hilbert en el que un especialista de cada rama deb´ explicar
ıa
la soluciń de los que ya hab´ sido resueltos, pero el correspondiente a este
o ıan
problema dijo que las demostraciones conocidas eran tan tćnicas y tan comple-
e
jas que no pod´ siquiera esbozarlas. En 1990 J. Hirschfeld public´4 una prueba
ıa o
no estńdar mucho m´s simple y, cuanto menos, esbozable.
a a
Para terminar, aãdiremos unicamente que la exposiciń del c´lculo dife-
n ´ o a
rencial e integral que contiene este libro s´lo es una muestra reducida de las
o
posibilidades de la teor´ de conjuntos no estńdar. Al igual que es posible
ıa a
una exposiciń no estńdar del an´lisis matem´tico, podemos desarrollar una
o a a a
topolog´ no estńdar, una geometr´ diferencial no estńdar, una teor´ de la
ıa a ıa a ıa
medida no estńdar, un an´lisis funcional no estńdar y, en general, cualquier
a a a
rama de la matem´tica que estudie conjuntos infinitos es susceptible de un enfo-
a
que no estńdar. Las teor´ axiom´ticas que presentamos aqu´ son suficientes
a ıas a ı
para formalizar tales enfoques. La pregunta sigue siendo si merece la pena.
Dejamos al lector la ultima palabra.
´

4 J. Hirschfeld, The nostandard treatment of Hilbert’s fifth problem, Trans. Amer. Math.

Soc. 321 (1) (1990).

Cap´
ıtulo I

Preliminares conjuntistas

Suponemos que el lector tiene cierta familiaridad con las matem´ticas ele-
a
mentales, especialmente con la manipulaciń de expresiones algebraicas (como
o
que am an = am+n o que a/b + c/d = (ad + bc)/bd, etc.) M´s en general, su-
a
pondremos que el lector conoce los n´meros naturales, enteros y racionales, y
u
tambiń ser´ conveniente cierta familiaridad con los n´meros reales.
e ıa u
El prop´sito de este primer cap´
o ıtulo es conectar estos conocimientos infor-
males que suponemos al lector con otros conceptos m´s abstractos en que es
a
necesario enmarcarlos para abordar con el rigor necesario otros temas m´s de- a
licados, como el an´lisis matem´tico, especialmente desde el punto de vista no
a a
estńdar que vamos a adoptar. Con “el rigor necesario” no nos referimos al
a
rigor absoluto, consistente en trabajar en un sistema axiom´tico formal, lo cual
a
exigir´ un esfuerzo al lector que incluso muchos licenciados en matem´ticas no
ıa a
son capaces de realizar, sino al rigor necesario para que el lector pueda distinguir
informalmente un razonamiento v´lido de otro que no lo es, que es como —de
a
hecho— trabaja la mayor´ de los matem´ticos profesionales cuya especialidad
ıa a
no est´ relacionada con la fundamentaciń de las matem´ticas.
a o a
De todos modos, conviene tener presente que, del mismo modo que lo que
determina la validez de los razonamientos que hacen los matem´ticos profesio-
a
nales es el hecho de que podr´ expresarse con todo rigor en el seno de una
ıan
teor´ axiom´tica formal (por ejemplo, la teor´ de conjuntos ZFC), y ello sin
ıa a ıa
perjuicio de que muchos matem´ticos no sepan en qu´ consiste exactamente esta
a e
teor´ tambiń sucede que los patrones de razonamiento que vamos a tratar de
ıa, e
inculcar al lector en este libro se corresponden con los que pueden expresarse
con todo rigor en otra teor´ axiom´tica formal. En otras palabras, lo que trata-
ıa a
remos de conseguir es que el lector pueda razonar correctamente en el seno de la
matem´tica no estńdar de forma intuitiva, sin necesidad de asimilar para ello
a a
las sutilezas y los tecnicismos de la l´gica matem´tica, pero de tal modo que el
o a
resultado prćtico sea el mismo que si el lector conociera todos esos tecnicismos.
a
Quiz´ esta comparaciń pueda ser util: un ciudadano honrado puede res-
a o ´
petar la ley sin haber le´ nunca un c´digo legal. Su buen juicio le permite
ıdo o
determinar qu´ conductas serń sin duda ilegales y cu´les son admisibles. S´lo
e a a o

1

2 Cap´
ıtulo 1. Preliminares conjuntistas

en caso de verse en una situaciń delicada que escape a lo que le es familiar
o
necesitar´ asesoramiento legal. Del mismo modo, el lector deber´ tener pre-
a a
sente que, en cualquier momento en que se d´ cuenta de que no “domina” una
e
situaciń y no est´ seguro de si un razonamiento es “legal” o “ilegal”, deber´
o e a
consultar a un experto en “leyes”, es decir, a alguien que s´ domine el sistema
ı
axiom´tico formal que determina sin margen de ambigëdad lo que puede y lo
a u
que no puede hacerse.

1.1 Conjuntos
Invitamos al lector a que conciba todo cuanto vamos a ver aqu´ como una ı
pel´
ıcula de cine. Segń su argumento, una pel´
u ıcula puede ser fant´stica, en el
a
sentido de que lo que se narra en ella no tiene nada que ver con la realidad; puede
ser hist´rica, en el sentido de que todo cuanto se narra en ella es una r´plica de lo
o e
que ha sucedido realmente en una determinada ´poca y un determinado lugar; o
e
bien puede combinar en diferentes proporciones elementos reales con elementos
fant´sticos (por ejemplo, si narra una historia ficticia fielmente enmarcada en
a
un contexto hist´rico real).
o
Dejamos al lector la libertad de clasificar nuestra “pel´ ıcula” en el gńero
e
que considere oportuno. Los lectores que consideren que nuestra “pel´ ıcula” es
hist´rica son los que los fil´sofos llaman platonistas; los que consideren que es
o o
pura fantas´ son los llamados formalistas; mientras que los que adopten una
ıa
postura intermedia se distribuirń en una amplia gama de posibilidades entre
a
el platonismo y el formalismo, entre las cuales, una de las m´s populares es el
a
finitismo.
En cualquier caso, el lector debe tener presente que cualquier espectador que
quiera entender una pel´ ıcula ha de ser consciente de que cada pel´ ıcula tiene su
propia realidad interna, y que es necesario remitir a ella los juicios sobre cada
escena, y no a la realidad externa a la pel´ ıcula. Por ejemplo, pensemos en un
espectador sensato que sabe que creer en fantasmas es rid´ ıculo, pero va a ver
una pel´ ıcula en la que un personaje advierte a otros que no deben entrar en una
determinada casa, porque en ella habitan fantasmas. Para entender la pel´ ıcula,
deber´ estar abierto a dos posibilidades:
a
Puede tratarse de una pel´ ıcula de fantasmas, de modo que, internamente,
sea verdad que en la casa hay fantasmas, en cuyo caso el espectador deber´ a
concluir que los incr´dulos que se adentran en la casa son unos insensatos que
e
no saben lo que hacen.
Pero tambiń puede tratarse de una pel´
e ıcula realista, en la que el personaje
que previene contra los fantasmas lo hace, digamos, porque est´ buscando un
a
tesoro oculto en la casa y emplea ciertos trucos para ahuyentar a otras personas
que pudieran encontrarlo antes. En tal caso, los incr´dulos que se adentran en
e
la casa son personajes m´s inteligentes que los bobos a los que el “malo” ha
a
conseguido acobardar.
Lo importante es que el juicio que el espectador se forme sobre los perso-
najes no debe depender de su opiniń personal sobre si existen o no fantasmas
o

1.1. Conjuntos 3

(su concepciń de la realidad externa) sino de la realidad interna que presenta
o
la pel´
ıcula. De otro modo, si, por ejemplo, la pel´
ıcula es de fantasmas y el es-
pectador se niega a aceptar internamente la existencia de fantasmas, no podr´ a
entender el final, cuando los fantasmas se manifiesten abiertamente y no dejen
lugar a dudas de su existencia (interna).
Los personajes de nuestra pel´ıcula se llaman conjuntos. Los matem´ticos los
a
llaman habitualmente conjuntos, sin m´s, pero nosotros necesitamos introducir
a
una precisiń y, por ello, los llamaremos conjuntos internos. Del mismo modo
o
que un personaje de una pel´ ıcula pretende ser (y es internamente) una persona
(aunque externamente pueda no existir, por ejemplo, porque sea una imagen
creada por ordenador), los conjuntos internos de nuestra pel´ ıcula pretenden ser
(y son internamente) colecciones de objetos. ¿De qu´ objetos? Nuestra pel´
e ıcula
es, en este sentido, bastante econ´mica: los objetos que forman parte de un
o
conjunto interno son otros conjuntos internos. En nuestra pel´ ıcula no hay nada
m´s que conjuntos internos.
a
As´ pues, un conjunto interno B es, en nuestra pel´
ı ıcula, una colecciń de
o
conjuntos internos. Si A es uno de estos conjuntos internos que forman parte
de B, representaremos este hecho con la notaciń
o

A ∈ B.

Habitualmente se lee “A pertenece a B”, aunque tambiń podemos decir que
e
“A es un elemento de B” o que “A est´ en B”, etc. Para indicar lo contrario
a
se escribe A ∈ B.
/
Una pel´ıcula coherente ha de respetar unas normas, que pueden fijarse ar-
bitrariamente (siempre que no se incurra en contradicciones) pero que, una vez
fijadas, se han de respetar. Por ejemplo, en una pel´ ıcula que narre una ficticia
conspiraciń para matar al presidente de los Estados Unidos, podrń aparecer
o a
personajes ficticios, incluso un presidente de los Estados Unidos ficticio, pero no
podr´ aparecer un asesino con cuatro manos. En otro tipo de pel´
a ıculas s´ que
ı
podr´ aparecer un personaje con cuatro manos, pero en ´sta no. Por el contra-
a e
rio, para que la trama del complot resulte interesante, tendr´ que someterse al
a
principio de que todos los personajes sean seres humanos “normales”.
Nuestra pel´ıcula tambiń tiene sus leyes internas, llamadas axiomas. Son
e
principios que los conjuntos internos respetan para que el argumento resulte a
la vez coherente e interesante. Del mismo modo que muchas pel´ ıculas exigen
que sus personajes tengan el aspecto y el comportamiento de seres humanos
“normales”, nosotros vamos a pedir a nuestros conjuntos internos que se com-
porten como lo que queremos que sean internamente, es decir, meras colecciones
de elementos. El principio que garantiza esto se conoce como axioma de exten-
sionalidad:

Axioma de extensionalidad Si dos conjuntos tienen los mismos elementos,
entonces son iguales.

4 Cap´

En la prćtica, esto significa que si tenemos dos conjuntos A y B y queremos
a
probar que A = B, bastar´ con que tomemos un elemento arbitrario x ∈ A y
a
logremos probar que tambiń x ∈ B, y viceversa.
e

Conviene introducir la notaciń A ⊂ B para referirse a “la mitad” de este
o
hecho. Diremos que un conjunto interno A es un subconjunto de un conjunto
interno B (y se representa como acabamos de indicar) si todo elemento de A
es tambiń un elemento de B. En estos t´rminos, el axioma de extensionalidad
e e
afirma que la igualdad A = B equivale a las dos inclusiones A ⊂ B y B ⊂ A.

Desde un punto de vista m´s te´rico, el axioma de extensionalidad puede
a o
verse as´ llamamos extensiń de un conjunto interno B a todos los conjuntos
ı: o
internos A que cumplen A ∈ B. El axioma de extensionalidad afirma que dos
conjuntos internos son iguales si y s´lo si tienen la misma extensiń. Es este
o o
axioma el que nos permite afirmar que un conjunto no es ni m´s ni menos que
a
su extensiń1 y, por consiguiente, que es una colecciń de conjuntos internos.
o o

En este punto es crucial que hagamos una observaciń: el hecho de que los
o
conjuntos internos sean colecciones de conjuntos internos no nos garantiza que
toda colecciń de conjuntos internos sea (la extensiń de) un conjunto interno.
o o
De hecho, sucede que es l´gicamente imposible que esto sea as´ Vamos a ver
o ı.
por qu´.
e

Podemos especificar una colecciń de conjuntos internos a trav´s de una
o e
propiedad comń a todos ellos. Por ejemplo, vamos a considerar la propiedad
u
P (x) ≡ x ∈ x. M´s claramente: dado un conjunto interno x, diremos que
/ a
cumple la propiedad P (x) si no se pertenece a s´ mismo. Nadie dice que tenga
ı
que haber conjuntos internos que se pertenezcan a s´ mismos. Si no los hay, lo
ı
que tenemos es que todos los conjuntos cumplen la propiedad P (x).
En cualquier caso, podemos llamar R a la colecciń de todos los conjuntos
o
internos que cumplen P (x). Ciertamente, se trata de una colecciń de conjuntos
o
internos definida con toda precisiń. Pero nos formulamos la pregunta siguiente:
o
¿Es R la extensiń de un conjunto interno? o, dicho de otro modo, ¿existe un
o
conjunto interno R cuyos elementos sean precisamente los conjuntos internos
que no se pertenecen a s´ mismos?
ı
La respuesta es negativa. Si existiera tal conjunto R, tendr´ que darse
ıa
una de estas dos alternativas: o bien R ∈ R, o bien R ∈ R. Pero sucede que
/
ambas nos llevan a una contradicciń. Si suponemos que R ∈ R, entonces, por
o
definiciń de R, tenemos que R es un conjunto interno que cumple la propiedad
o
P (R), es decir, que cumple R ∈ R, y est´bamos suponiendo lo contrario. Es
/ a
imposible. Por otra parte, si R ∈ R, entonces R es un conjunto interno que
/
1 Conviene tener presente que esto no es una necesidad l´gica.
o En nuestra pel´ ıcula
podr´ıamos haber decidido que los conjuntos tuvieran otras propiedades relevantes adem´s a
de su extensiń. Por ejemplo, podr´
o ıamos haber decidido que hubiera conjuntos blancos y
negros, de modo que podr´ haber dos conjuntos distintos A y B que tuvieran ambos un unico
ıa ´
elemento C, pero que fueran distintos porque A fuera blanco y B fuera negro. Lo que afirma
el axioma de extensionalidad es que un conjunto interno no tiene ninguna otra propiedad
distintiva m´s que su extensiń.
a o

1.1. Conjuntos 5

cumple la propiedad P (R), luego deber´ ser R ∈ R, lo cual es nuevamente
ıa
absurdo.
Los matem´ticos suelen expresar esto diciendo que no existe ningń conjunto
a u
que contenga a los conjuntos que no se pertenecen a s´ mismos, pero, dicho as´ es
ı ı,
dif´ de digerir, porque parece que se nos est´ negando la posibilidad de pensar
ıcil e
en la colecciń de los conjuntos que verifican una determinada propiedad que
o
no tiene nada de ambiguo.
Sin embargo, bien entendida, esta “paradoja” no tiene nada de extraõ. Lo n
que acabamos de probar es que la colecciń R no es la extensiń de ningń
o o u
conjunto interno. Los matem´ticos expresan esto de forma m´s afortunada
a a
diciendo que R es una “clase propia”, una colecciń de objetos formada por
o
personajes de nuestra pel´ ıcula pero que no es ella misma un personaje de nuestra
pel´ıcula, una colecciń externa a ella, que est´ “detr´s de las c´maras”.
o a a a
Quiz´ esta comparaciń sirva de ayuda: imaginemos un decorado para una
a o
pel´ıcula de romanos. Es una sala de un palacio y en un punto hay un jarrń con o
flores, y dentro del jarrń con flores est´ oculto un micr´fono. Podemos decir
o a o
que el jarrń es un objeto interno de la pel´
o ıcula. El espectador lo ver´ y deber´
a a
entender que es un jarrń. En cambio, el micr´fono es un objeto externo. El
o o
espectador no debe verlo o, si lo ve, debe aparentar ser otra cosa, por ejemplo,
una flor.
Podemos decir que el micr´fono no existe internamente, en el sentido de que,
o
si existiera, la pel´
ıcula se volver´ contradictoria, ya que en un palacio romano
ıa
del siglo I a.C. no puede haber un micr´fono. En la prćtica, que no exista
o a
internamente no significa que no exista, porque lo cierto es que est´ ah´ sino
a ı,
que no puede verse y que ningń personaje de la pel´
u ıcula puede aludir a ´l como
e
podr´ aludir al jarrń con flores.
ıa o
Igualmente, la clase R “est´ ah´ pero es externa a nuestra pel´
a ı”, ıcula. Si
la consideramos como parte de sus personajes llegamos a una contradicciń, o
como ser´ una contradicciń que Julio C´sar llevara un crucifijo. Podemos
ıa o e
demostrar que R no existe igual que podemos “demostrar” que Julio C´sar no e
lleva crucifijo, sin perjuicio de que, si, en una determinada escena, Julio C´sar e
lleva una coraza, debajo de la coraza pueda llevar un crucifijo colgado del cuello
si el actor es cristiano.
Observemos que, visto as´ la clase R no es contradictoria. Haciendo un uso
ı,
externo del signo ∈, podemos decir que R ∈ R, y no hay contradicciń porque
/ o
R es la clase de todos los conjuntos internos que no se pertenecen a s´ mismos.
ı
Para pertenecer a R hay que cumplir dos requisitos: 1) ser un conjunto interno
y 2) no pertenecerse a s´ mismo. Tenemos que R cumple 2), pero le falla 1),
ı
y por eso no podemos concluir que R ∈ R, y no llegamos, pues, a ninguna
contradicciń.
o
M´s en general, hemos de tener presente que un conjunto interno es una
a
colecciń de conjuntos internos, luego en ningń caso puede pertenecerle una
o u
colecciń de conjuntos que no sea un conjunto interno. Una colecciń de conjun-
o o
tos externa puede estar formada por algunos conjuntos internos, pero no puede
formar parte de un conjunto interno.
Esto nos plantea el problema de especificar con qu´ colecciones de conjuntos
e

6 Cap´

internos podemos contar en nuestra pel´ ıcula. No podemos afirmar que, para
toda propiedad P (x), existe un conjunto interno formado por todos los conjuntos
internos que cumplan P (x), ya que, tomando P (x) ≡ x ∈ x, esto nos permitir´
/ ıa
concluir que R es un conjunto interno y nuestra pel´ ıcula se derrumbar´ como
ıa,
si Julio C´sar exhibiera un crucifijo.
e
Los matem´ticos tuvieron que pensar durante mucho tiempo sobre qu´ pro-
a e
piedades P (x) son admisibles para definir conjuntos y cu´les no. Aparte de
a
x ∈ x, hay muchas otras propiedades que dan lugar a clases propias, es decir,
/
a colecciones de conjuntos internos que dar´ lugar a contradicciones si les
ıan
concedi´ramos la existencia interna en nuestra pel´
e ıcula.
Afortunadamente, las unicas propiedades que dan lugar a clases propias son
´
las que definir´ conjuntos “demasiado grandes”. Por ejemplo, puede probarse
ıan
que no existe un conjunto interno que contenga a todos los conjuntos internos o,
equivalentemente, que la clase de todos los conjuntos internos no es un conjunto
interno, como tampoco lo es la clase de todos los conjuntos internos que tienen
un unico elemento, etc.
´
Decimos “afortunadamente” porque la prćtica matem´tica usual no re-
a a
quiere considerar tales colecciones enormes. Podemos hablar de conjuntos in-
ternos con un elemento sin necesidad de tratar con la clase enorme de todos los
conjuntos internos con un elemento, podemos hablar de conjuntos internos sin
necesidad de hablar de la clase enorme de todos los conjuntos internos, etc.
El axioma m´s general que vamos a aceptar sobre formaciń de conjuntos a
a o
partir de propiedades es el siguiente:

Axioma de especificaciń Si A, x1 , . . . , xn son conjuntos internos y con-
o
sideramos una propiedad interna P (x, x1 , . . . , xn ), entonces existe un conjunto
interno cuyos elementos son los conjuntos internos x ∈ A que cumplen la pro-
piedad P . Lo representaremos por

{x ∈ A | P (x, x1 , . . . , xn )}.

Aqu´ hemos empleado por primera vez la expresiń propiedad interna para
ı o
referirnos, concretamente, a cualquier propiedad que pueda expresarse exclu-
sivamente en t´rminos del signo ∈ y de conceptos l´gicos, como “y”, “o”,
e o
“si. . . entonces. . . ”, “existe”, “para todo”, “=”, etc.
Esto significa que, por ejemplo, no podemos definir el conjunto de todos los
conjuntos que son “verdes”, ya que “verdes” no es un concepto definido a partir
de ∈ y de conceptos l´gicos.
o
La clave del axioma de especificaciń es que s´lo permite que una propie-
o o
dad seleccione algunos conjuntos internos de entre los conjuntos internos que
pertenecen a un conjunto interno dado A. Aunque podamos escribir

{x | P (x, x1 , . . . , xn )}

para referirnos a la colecciń de todos los conjuntos internos x que cumplen la
o
propiedad P , no podemos pretender que tal colecciń de conjuntos internos sea
o

1.2. Los conceptos conjuntistas b´sicos
a 7

la extensiń de un conjunto interno. Al contrario, podemos encontrarnos con
o
una contradicciń que demuestre que tal colecciń de conjuntos es una clase
o o
propia, externa a nuestra pel´
ıcula.
As´ dado un conjunto interno A, podemos considerar como personaje de
ı,
nuestra pel´
ıcula al conjunto

RA = {x ∈ A | x ∈ x},
/

y este conjunto no da lugar a ninguna contradicciń. Ser´ una contradicciń
o ıa o
que cumpliera RA ∈ RA , por lo que podemos deducir que RA ∈ RA , de donde
/
a su vez se desprende que RA ∈ A (pues si fuera RA ∈ A podr´
/ ıamos concluir
que RA ∈ RA , y tendr´
ıamos otra contradicciń).
o
No obstante, el axioma de especificaciń no es suficiente para garantizar
o
la existencia de todos los conjuntos internos que nos gustar´ ver en nuestra
ıa
pel´
ıcula. Por ejemplo, dados dos conjuntos internos u y v, nos gustar´ tener
ıa
un conjunto interno w formado ni m´s ni menos que por u y v, es decir,
a

w = {x | x = u o x = v},

pero esta expresiń no es de la forma que nos permite apelar al axioma de
o
especificaciń.
o
Problemas como ´ste se nos presentarń en muy pocas ocasiones, y s´lo ne-
e a o
cesitaremos unos pocos axiomas espec´ ıficos para asegurar la existencia algunos
conjuntos internos como w. Ahora bien, una vez dispongamos de estos con-
ceptos b´sicos, el unico principio general de formaciń de conjuntos que vamos
a ´ o
a necesitar (y el unico que tendremos derecho a usar si no queremos caer en
´
contradicciones) ser´ el axioma de especificaciń.
a o

1.2 Los conceptos conjuntistas b´sicos
a
En esta secciń describiremos los personajes b´sicos de nuestra pel´
o a ıcula.
Empezamos observando que el axioma de especificaciń que ya hemos discutido
o
requiere conocer la existencia de al menos un conjunto interno A para generar
a partir de ´l nuevos conjuntos internos, y de momento no conocemos ninguno.
e
Por eso necesitaremos algunos axiomas espec´ ıficos que nos garanticen la exis-
tencia de algunos conjuntos que encabecen nuestro “reparto”.

Axioma del conjunto vac´
ıo Existe un conjunto interno que no tiene ningń
u
elemento.
El axioma de extensionalidad implica que tal conjunto es unico, pues si
´
existieran dos conjuntos internos sin elementos, entonces ambos tendr´ los
ıan
mismos elementos (a saber, ninguno), luego tendr´ que ser el mismo. Esta
ıan
unicidad nos permite darle un nombre. Lo llamaremos conjunto vac´ y lo
ıo
representaremos por ∅.

8 Cap´

Axioma del par Dados dos conjuntos internos u y v, existe un conjunto
interno cuyos elementos son exactamente u y v.
Nuevamente, el axioma de extensionalidad garantiza que s´lo puede haber
o
un conjunto interno cuyos elementos sean u y v, pues dos de ellos ser´ dos
ıan
conjuntos con los mismos elementos. Por ello podemos llamar a tal conjunto el
par desordenado formado por u, y v, y lo representaremos por {u, v}.
Observemos que, si tenemos dos conjuntos internos u y v, no necesitamos
ningń axioma que nos de derecho a pensar coherentemente en la colecciń
u o
formada por ellos dos. Lo que garantiza el axioma del par es que dicha colecciń
o
no es externa a nuestra pel´
ıcula, sino que tambiń forma parte de ella.
e
Tambiń es importante destacar que el axioma no requiere que los conjuntos
e
u y v sean distintos. Si son iguales abreviaremos {u, u} = {u}, que es un
conjunto interno que tiene a u como unico elemento.
´
El nombre de “par desordenado” hace referencia a que, evidentemente, se
cumple {u, v} = {v, u}, dado que ambos conjuntos tienen los mismos elementos.
Cuando queramos dar importancia al orden en que consideramos dos conjuntos
podemos agruparlos en lo que llamaremos un par ordenado:

(u, v) = {{u}, {u, v}}.

Observemos que (u, v) es un conjunto interno cuya existencia se demuestra
aplicando tres veces el axioma del par. Es fćil demostrar que la igualdad
a
(u, v) = (p, q) s´lo se da cuando u = v y p = q. En particular, si u = v, tenemos
o
que (u, v) = (v, u).
Ahora podemos definir una terna ordenada (u, v, w) = ((u, v), w), e igual-
mente, una cu´drupla ordenada (u, v, w, x) = ((u, v, w), x), etc.
a
Dados dos conjuntos u y v, definimos su uniń y su intersecciń como
o o

u ∪ v = {x | x ∈ u o x ∈ v}, u ∩ v = {x | x ∈ u y x ∈ v}.

El lector deber´ protestar ante estas definiciones, ya que parecen aplicacio-
ıa
nes del axioma de especificaciń y, sin embargo, no respetan su estructura, ya
o
que no estamos restringiendo la selecciń a los x que pertenecen a un conjunto
o
A prefijado. En el caso de la intersecciń esto se puede arreglar, ya que podemos
o
escribir
u ∩ v = {x ∈ u | x ∈ v},
sin embargo, con la uniń la objeciń es irrefutable, por lo que necesitamos un
o o
axioma espec´ıfico:

Axioma de la uniń Dados dos conjuntos internos, existe un conjunto in-
o
terno cuyos elementos son los conjuntos internos que pertenecen a cualquiera
de los dos conjuntos dados.2
2 En realidad, la teor´ de conjuntos requiere un axioma de la uniń m´s fuerte que ´ste,
ıa o a e
pero no necesitamos explicitar este hecho.

a 9

Esto nos permite hablar de conjuntos internos como

{a, b, c, d} = {a} ∪ {b} ∪ {c} ∪ {d},

que es el unico conjunto interno cuyos elementos son los cuatro conjuntos inter-
´
nos a, b, c, d.
Otro uso v´lido del axioma de especificaciń es la definiciń del complemen-
a o o
tario de un conjunto interno en otro:

u v = {x ∈ u | x ∈ v}.
/

El ultimo concepto b´sico que requiere su axioma espec´
´ a ıfico es el siguiente:

Axioma del conjunto de partes Dado un conjunto interno A, existe un
conjunto interno cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.
A dicho conjunto lo llamaremos conjunto de las partes de A:

PA = {x | x ⊂ A}.

Observemos que si u ∈ A y v ∈ B, entonces u, v ∈ A ∪ B, luego

{u}, {u, v} ∈ P(A ∪ B),

luego
(u, v) = {{u}, {u, v}} ∈ P(P(A ∪ B)).
Esto implica que, aunque la definiciń
o

A × B = {(u, v) | u ∈ A, v ∈ B}

podr´ parecer un uso fraudulento del axioma de especificaciń, en realidad es
ıa o
leg´
ıtima, porque podr´
ıamos haber escrito

A × B = {(u, v) ∈ P(P(A ∪ B)) | u ∈ A, v ∈ B}.

Este conjunto, es decir, el conjunto de todos los pares ordenados con primera
componente en A y segunda componente en B, se llama producto cartesiano de
A y B.
Terminaremos esta secciń esbozando la construcciń del conjunto N de los
o o
n´meros naturales. La idea que perseguimos es demostrar la existencia de un
u
conjunto interno que tenga este aspecto:

N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }

Pero, para ello, tenemos dos problemas: en primer lugar, para que N sea un
conjunto interno hemos de definir sus elementos 0, 1, 2, etc. de tal modo que
podamos considerar a cada uno de ellos como un conjunto interno, y en segundo

10 Cap´

lugar hemos de arregl´rnoslas para definir un conjunto N que los tenga a ellos
a
por elementos y s´lo a ellos.
o
El primer problema es fćil de resolver. Si pensamos en los n´meros naturales
a u
como en ciertos “personajes hist´ricos”, lo que necesitamos es seleccionar unos
o
actores que interpreten estos papeles en nuestra pel´ ıcula. Como n´mero 0,
u
ninguno parece m´s idńeo que el conjunto vac´ En lo sucesivo llamaremos
a o ıo.
n´mero natural 0 a 0 = ∅. Esto significa que, cuando pensemos en el conjunto
u
vac´ como en el unico conjunto interno sin elementos, escribiremos ∅, mientras
ıo ´
que cuando pensemos en ´l como n´mero natural 0 escribiremos 0, si bien se
e u
trata en ambos casos del mismo conjunto.
A continuaciń definimos, para cualquier conjunto interno x, el que llama-
o
remos siguiente de x, que ser´ x = x ∪ {x}. En particular, definimos
a
1 = 0 = ∅ ∪ {∅} = {∅} = {0},
2 = 1 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1},
3 = 2 = 2 ∪ {2} = {0, 1} ∪ {2} = {0, 1, 2},
y as´ sucesivamente. El problema que nos queda es convertir el “as´ sucesiva-
ı ı
mente” en una propiedad interna que podamos usar para definir el conjunto
interno N. Para ello definimos:
Un conjunto interno A es inductivo si 0 ∈ A y, siempre que un conjunto x
cumple x ∈ A, tambiń se cumple que x ∈ A.
e
Es decir, un conjunto es inductivo si contiene a todos los conjuntos internos
que queremos tomar como n´meros naturales. Ahora necesitamos el ultimo
u ´
axioma que perfilar´ el comportamiento b´sico de los conjuntos internos:
a a

Axioma de infinitud Existe un conjunto interno inductivo.
Se llama axioma de infinitud porque sin ´l es imposible, no ya construir los
e
n´meros naturales, sino siquiera demostrar la existencia de un conjunto interno
u
que sea infinito.
El problema de los conjuntos inductivos es que, adem´s de los n´meros
a u
naturales, pueden contener otros conjuntos. La definiciń siguiente resuelve
o
este problema:
Llamaremos conjunto de los n´meros naturales al conjunto interno
u
N = {x ∈ A | x pertenece a todos los conjuntos internos inductivos},
donde A es un conjunto inductivo arbitrario. Es claro que N no depende de la
elecciń de A, pues si llamamos NA y NB a los conjuntos definidos de este modo
o
a partir de dos conjuntos inductivos A y B, entonces todo x ∈ NA pertenece
a todos los conjuntos inductivos, en particular a B, luego tambiń x ∈ NB , y
e
viceversa, luego NA = NB .
A partir de aqu´ es una pura rutina demostrar los siguientes hechos b´sicos
ı, a
sobre los n´meros naturales:
u

a 11

1. 0 ∈ N y, si n ∈ N, entonces n ∈ N (el cero es un n´mero natural y el
u
siguiente de un n´mero natural es tambiń un n´mero natural).
u e u

2. No existe ningń n ∈ N tal que n = 0 (el cero no es el siguiente de ningń
u u
n´mero natural).
u

3. Si n ∈ N y n = 0, existe un m ∈ N tal que n = m (todo n´mero natural
u
no nulo es el siguiente de otro n´mero natural.
u

4. Si m, n ∈ N y m = n entonces m = n (n´meros distintos tienen siguien-
u
tes distintos).

5. Si A ⊂ N es un conjunto interno tal que 0 ∈ A y, cuando n ∈ A, tambiń
e
n ∈ A, entonces A = N.

La ultima propiedad se conoce como principio de inducciń y, aunque pa-
´ o
rezca la propiedad m´s compleja de las cinco, es una de las m´s fćiles de
a a a
demostrar: un conjunto A en tales condiciones es, por definiciń, inductivo,
o
luego si n ∈ N, se cumple que n ∈ A por definiciń de N, es decir, porque n
o
ha de pertenecer a todos los conjuntos internos inductivos. Por consiguiente,
N ⊂ A, lo que, unido a la hip´tesis de que A ⊂ N, nos da que A = N.
o
Las propiedades 1. y 2. son inmediatas, 3. se prueba trivialmente usando 5.
(que ya est´ probada).
a
Ejercicio: Probar 4. siguiendo este esquema:
a) Demostrar por inducciń sobre n que si m ∈ n ∈ N, entonces m ⊂ n.
o
b) Demostrar por inducciń que, si n ∈ N, entonces n ∈ n.
o /
c) Demostrar 4. por reducciń al absurdo: si m = n, entonces m ∈ n y n ∈ m.
o
Llegar de aqu´ a una contradicciń.
ı o

A veces es m´s c´modo expresar el principio de inducciń en t´rminos de
a o o e
propiedades: Dados unos conjuntos internos x1 , . . . , xn y una propiedad interna
P (n, x1 , . . . , xn ), podemos considerar el conjunto interno

A = {n ∈ N | P (n, x1 , . . . , xn )}.

Lo que dice el principio de inducciń para el caso del conjunto A es que, si
o
0 tiene la propiedad P y, supuesto que un n ∈ N tiene P , podemos probar que
n tambiń tiene la propiedad P , entonces podemos asegurar que todo n´mero
e u
natural tiene la propiedad P .
Las cinco propiedades que hemos enunciado sobre los n´meros naturales se
u
conocen como axiomas de Peano (aunque no son axiomas, sino teoremas de
nuestra pel´ıcula). Peano cre´ y muchos matem´ticos siguen creyendo actual-
ıa, a
mente, que determinan completamente al conjunto N de los n´meros naturales,
u
en el sentido de que no puede haber m´s que un conjunto que cumpla esas cinco
a
propiedades. Esto es cierto si, por “conjunto”, entendemos “conjunto interno”,
es decir, un conjunto de los que forman parte de nuestra pel´
ıcula.

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