Um esporte diferente a geometria da quadra

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UM ESPORTE DIFERENTE:
A GEOMETRIA DA QUADRA
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PONTA GROSSA
2003

2. MARIA JANETH ROMAN
UM ESPORTE DIFERENTE:
A GEOMETRIA DA QUADRA
r
r
r
Monografia apresentada como
exigência final do Curso de
Especialização em Matemática:
Dimensões Teórico-Metodológicas.
Universidade tadual de Ponta
Grossa.
Orientadora: Prof". Elisabete Ferreira
Silva
PONTA GROSSA
2003

3. AGRADECIMENTOS
,-... Agradeço a Deus, que tornou possível a realização desse trabalho.
À meus pais por terem me concedido o direito à vida e as
condições de educação, principalmente pela confiança depositada em
minha pessoa na realização desse objetivo.
Às professoras, Eva Aparecida Montani e Maria Isabel Batista,
participantes do projeto.
A meu noivo, pela compreensão e auxílio nas horas de
dificuldades.
À professora Elisabeth que esteve comigo em todo o percurso do
trabalho, acompanhando e orientando, tornando possível a sua
apresentação.
11

4. SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 01
1.1 OBJ ETIVOS 03
1.2 JUSTIFICATIVA 04
1.3 METODOLOGIA 06
2 O ENSINO DE MATEMÁTICA ATRAVÉS DA MODELAGEM
- MODELAÇÃO 09
2.1 CONCEPÇÕES DE MODELAGEM MATEMÁTICA 10
2.2 MODELAÇÃO MATEMÁTICA 18
3 VIVENCIANDO A EXPERIÊNCIA 21
CONSIDERAÇÕES FINAIS 46
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 48
.u

5. RESUMO
Este trabalho apresenta o desenvolvimento de uma metodologia alternativa
para o ensino de geometria, utilizando a modelação matemática, como forma
de motivar os alunos para o estudo da matemática, tornando os conteúdos
mais interessantes e significativos. As idéias aqui descritas decorreram de
uma experiência realizada na Escola Estadual Gil Stein Ferreira - Ensino
Fundamental, onde atuo como professora, situada no município de Ivai.
Mesmo fazendo parte do processo de modelação matemática, abordamos
algumas concepções de modelagem matemática. As atividades realizadas
estão descritas de forma seqüencial com ilustrações e considerações de cada
uma delas. Verificamos que o projeto foi válido, uma vez que despertou o
interesse dos alunos, contribuindo para a melhoria do ensino-aprendizagem
de matemática.
'"

6. 1. INTRODUÇÃO
o tema da presente monografia não surgiu ao acaso, mas é resultado
da minha atuação profissional como professora da Escola Estadual Gil Stein
Ferreira - Ensino Fundamental, localizada no município de Ivaí - Pr. O
trabalho foi desenvolvido em turmas de 6a séries no ano de 2002, através do
projeto Vale Saber, aprovado pelo Núcleo Regional de Educação. Surgiu
também do interesse em buscar formas alternativas de ensino, tornando as
aulas mais interessantes de forma a envolver os alunos numa participação
mais efetiva.
BASSANEZI afirma que:
A falta de objetividade da rnaiona dos cursos de licenciatura em
matemática provoca uma angústia nos formandos que se sentem
incapacitados para exercerem o magistério. Os programas
desenvolvidos nas diferentes disciplinas quase sempre são fechados
e, não existe uma ligação com outras ciências - a ênfase maior está
na quantidade de conteúdo transmitido e não na formação de
elementos atuantes na sociedade (2002 p.180).
r-
Com uma formação nesses termos fica difícil para o professor superar
as dificuldades em tornar as aulas mais interessantes e conseguir que os
alunos participem efetivamente. Faz-se então necessária a consciência por
parte do professor da importância de sua função na sociedade não se
acomodando diante de uma situação onde o aluno é tratado apenas como um
receptor de informações, o qual, através do acúmulo destas é considerado
pronto para enfrentar os desafios da vida fora da escola.
Com base nisto, procuramos levar o aluno à construção do
conhecimento, contextualizando a Matemática através de um espaço real
para todos eles, a quadra de esportes, dando sentido ao ensino da
Geometria, pois, de acordo com SEBASTIANI (2001, p.05), "a escola de hoje
não tem somente responsabilidade de formar seus alunos no saber - fazer,
mas também no saber - ser. Formar um cidadão é um atributo da escola". O

7. 2
r
autor afirma ainda que "é necessário respeitar o saber do aluno" (p. 05).
Através da contextualização é possível levar o aluno ao desafio de situações
- problemas, que tenham significado para ele, despertando o interesse na
busca da solução e nas propostas de ação partindo da solução ou soluções
encontradas.
Na proposta apresentada, esta contextualização fundamenta-se no
trabalho com a modelagem, mesmo que seja olhada apenas para a
construção de alguns conceitos matemáticos necessários à formação do
aluno, definindo-se melhor como um processo de modelação, uma vez que a
escolha do tema é feita especificamente para levantar conteúdos da
disciplina, proposto pelo professor, que planeja sua forma de trabalho,
seguindo a um cronograma de execução.
BIEMBENGUT considera que a "modelagem matemática pode ser um
caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ele
ainda desconhece" (2000, p. 18).
Para a autora, o ensino da matemática precisa desenvolver não só o
conhecimento matemático, mas também a habilidade em utilizá-Io. "A
modelagem matemática, como metodologia de ensino-aprendizagem parte de
uma situação/tema e sobre ela desenvolve questões que tentarão ser
respondidas, mediante o uso de ferramental matemático e da pesquisa sobre
o tema" (2000, p. 28), diferenciando esta do processo de modelação no qual
afirma a autora que "o professor pode optar por escolher determinados
modelos, fazendo sua recriação em sala, juntamente com os alunos, de
acordo com o nível em questão, além de obedecer ao currículo inicialmente
proposto" (2000, p. 29).
Fazendo uso das palavras de POLLAK, citado por BURAK (1987,p. 36):
"Os alunos em geral não estão convencidos nem satisfeitos com as
promessas de que aquilo que estão aprendendo agora em matemática Ihes
será útil mais tarde e preferem constatar a sua aplicabilidade em problemas
atuais de seu interesse." E, ainda: "O estudo através da modelagem, parece

8. 3
vir ao encontro a esta expectativa e necessidade dos alunos, pois procura
favorecer a interação com o seu meio ambiente, uma vez que esta prática
educativa está baseada fundamentalmente nos problemas "reais" do cotidiano
do aluno, seja no lar, nos esportes, no trabalho, ou nas diversões".
1.1 OBJETIVOS
r
r
r
r
r
Ao desenvolver o projeto com os alunos das 6a séries da Escola
Estadual Gil Stein Ferreira - Ensino Fundamental, localizada no município de
Ivaí - Pr, utilizando a modelação matemática, propusemos os seguintes
objetivos:
a) Proporcionar uma visão diferente do ensino de geometria, fazendo com
que professores e alunos percebem que existem diversas formas de
explorar o conhecimento geométrico, tornando as aulas mais dinâmicas
interessantes e participativas.
b) Apresentar uma Metodologia para o ensino de geometria utilizando a
modelação matemática.
c) Mostrar como a modelação matemática pode se constituir numa forma de
motivar os alunos para o estudo da matemática tornando os conteúdos
mais interessantes e significativos.
No desenvolvimento das atividades com os alunos buscamos a
concretização dos seguintes objetivos:
a Perceber a ligação entre o mundo real e os conhecimentos matemáticos.
a Participar das atividades em equipe promovendo assim a socialização do
aluno, sua integração e desenvolvimento do senso comum.
a Desenvolver a compreensão do conceito de medida, entendendo a
necessidade de escolher a unidade adequada nos mais variados casos.
r
r
r

9. 4
a Relacionar o metro com suas unidades menores e maiores, expressando
as medições em números decimais.
a Proporcionar o contato do aluno com os instrumentos de medida, levando-
o a utilizar adequadamente régua, fita métrica e trena.
a Estimular a observação, a representação e a construção de formas
geométricas planas.
a Desenvolver o interesse do aluno pela investigação e exploração da
realidade como parte fundamental de sua aprendizagem.
a Desenvolver sua autonomia para possibilitar-lhe o pensamento e atuação
crítica;
a Visualizar a Matemática (geometria) como produto sócio-cultural
construído pelo homem através dos tempos.
1.2 JUSTIFICATIVA
Quando se entende a centralidade do aprendiz nessa perspectiva em
que ensinar é sempre favorecer a aprendizagem, não se consegue mais
planejar o trabalho docente sem considerar as condições do aluno, suas
possibilidades e avanços, de forma a integrá-Io no processo do conhecimento.
A contribuição do professor através de sua prática,é bastante
significativa para o gosto ou não do aluno pela matemática. Com a pretensão
de ser útil de alguma forma ao professor, é que se desenvolveu este trabalho,
buscando contribuir para o ensino de matemática na tentativa de favorecer a
aprendizagem por parte do aluno.
Percebe-se dentro dos limites da experiência docente o forte laço que o
espaço físico "quadra" tem com os alunos. Justifica-se pelo auto conceito que
o esporte tem entre alunos e professores de uma escola. Com o objetivo de
integrar plenamente o aluno num contexto cognitivo e crítico é que se busca

10. 5
na faceta lúdica da quadra esportiva o desenvolvimento dos conteúdos.
Dando sentido ao ensino da Geometria (contextualização) com o intuito de
aliar prazer e técnica, melhorando o desempenho _escolar através da
aquisição, construção, compreensão do conhecimento.
Conforme indicativos dos Parâmetros Curriculares Nacionais (1997, p.
17), o professor deve organizar seu trabalho de modo que os alunos
desenvolvam a própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos e
interagir de forma cooperativa com seus pares, na busca de soluções para
problemas, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com
eles.
As situações curiosas apresentadas através da observação e análise da
quadra servirão de incentivação à construção de conceitos geométricos
importantes: as quatro operações fundamentais, polígonos, círculo,
circunferência, ângulos, medidas, perímetros, áreas, frações, escala, razão,
proporção. No desenvolvimento do projeto poderão surgir outros conteúdos
que indiretamente farão contexto a esses citados.
O tema medidas e geometria possibilitam desenvolver a observação de
regularidades, de semelhanças e diferenças, a percepção espacial e o
reconhecimento das formas. Cabe salientar a importante consideração do
relatório AVA - 2000 de que esta interligação do campo conceitual de
matemática (números, medidas e formas) é pouco trabalhada. No entanto o
trabalho com a leitura de mapas, plantas e maquetes enriquece o trabalho
com medidas e auxilia o aluno a compreender, descrever e representar o
mundo em que vive.
Com esse trabalho pode-se perceber algumas dificuldades e assim,
trabalhar com esse indicativo buscando contribuir para a diminuição do
fracasso escolar. Os conteúdos são contextualizados a partir de uma
incentivação lúdica: a quadra, que proporciona sentido mais prazeroso e
conduz o aluno a percepção analítica de que o conhecimento envolvido "nela"
pode ser usado em outras e diferentes situações.

11. 6
A aprendizagem significativa dos conteúdos indica a concretização de
certas competências como:
Ler desenhos, esquemas e mapas, visualizar propriedade,
discriminar formas;
Expressar percepções, elaborar e discutir argumentos e
justificativas, descrever objetos geométricos;
- Expressar idéias através de desenhos;
- Argumentar e analisar definições, reconhecer argumentos válidos ou
não.
O trabalho deve ser contextualizado para ganhar sentido, conduzindo o
aluno a um processo de análise, percebendo que os conhecimentos
envolvidos têm relação com outras áreas do conhecimento e em diferentes
situações, podendo ser aplicado ao exercício de sua cidadania.
1.3 METODOLOGIA
O projeto é estruturado de forma distinta, seqüencial e integrado. Uma
unidade depende da outra para acontecer e como a avaliação ocorre ao longo
de todo o processo, pode-se incluir ou retirar atividades de acordo com os
resultados obtidos.
É consensual a idéia de que não existe uma via de mão única para o
ensino e aprendizagem de qualquer disciplina, em particular, da Matemática.
Será trabalhada a História da Matemática para esclarecer aos alunos o
surgimento da unidade padrão de medida comprimento que é o metro, uma
vez que será muito utilizado no desenvolvimento do projeto;
Serão realizadas também diversas medições, para se chegar às
medidas exatas da quadra por todas as equipes, possibilitando assim a
construção de maquetes proporcionais a original. Com essas medições,
acredita-se que venham a surgir diversas oportunidades para o
esclarecimento, desde a forma de representação das medidas, até a

12. 7
r
transformações de unidades da mesma. A construção de maquetes da quadra
possibilitará uma boa exploração dos conceitos de escala, razão e proporção.
O prazer e o conhecimento devem andar juntos, por isso é importante
perceber as aplicações da Geometria num cotidiano que os alunos gostam, a
quadra.
Os procedimentos necessários ao desenvolvimento do projeto podem
ser alterados devido ao caráter flutuante da prática pedagógica, com o intuito
de que o aluno adquira valores, conhecimentos e competências.
O projeto será desenvolvido de acordo com as seguintes etapas:
1) Reconhecer a quadra de forma superficial, com medições e desenhos que
serão feitos em equipes.
2) Recolher as informações técnicas sobre a quadra por meio de pesquisa ou
de entrevista à Secretaria de Esportes ou professores da disciplina de
Educação Física, colocando em discussão suas características e formas e
promover diversas formas de apresentação (cartazes, maquetes,...) da
quadra.
3) Esclarecer as dúvidas através de uma conversa com o professor da
disciplina de Educação Física e expor a situação real da quadra em função
das medidas oficiais.
4) Construir os conceitos de escala e proporção através da elaboração de
maquetes, introduzindo a idéia de razão, as noções de ampliação e
redução das medidas interagindo com a Geometria e com a Geografia.
5) Explorar as diversas figuras planas da quadra, desenvolvendo os conceitos
de perímetro, área, ângulos, etc.
6) Confeccionar, em equipes, das placas que serão utilizadas como unidades
de área;
7) Explorar o conceito de área através de placas de 1m2
, ~ m2
OU !m2
para
10 4
estabelecer as relações e regularidades deste cálculo por contagem,
trabalhando assim conteúdos como operações com frações e números

13. 8
decimais, envolvendo a compreensão das regras, o desenvolvimento da
estimativa, como uma extensão do sistema de numeração decimal e do
sistema de medidas.
r
Alguns procedimentos adotados para concretizar os objetivos
intencionados:
a) Trabalho em grupo: escrito, oral, gráfico, corporal;
b) Cadernos individuais de registro e anotação das atividades desenvolvidas
durante a execução do projeto.
c) Debates: desenvolvendo a argumentação e a oralidade, defendendo uma
opinião e discutindo um conceito prévio a uma inconformidade.
d) Observação: no cotidiano escolar e em situações planejadas.
e) Maquetes.
f) Atividades diversas
g) Atividades problemas buscando a solução através dos conhecimentos
prévios com a finalidade de comprovar se houve apreensão dos
conhecimentos diretos relacionados ao desenvolvimento do projeto, tais
como: relações entre as medidas e suas conversões, operações com
decimais.
Pelo simples fato de que o aluno deverá obter e expressar os resultados
de medidas de comprimento, superfície,... e fazer cálculos com esses
resultados, o professor já consegue observar a capacidade do aluno. Pode-se
fazer avaliações em sala de aula, com exposições de problemas métricos e
geométricos para analisar se o aluno é capaz de relacionar a experiência
vivida na prática (quadra), com os problemas propostos, buscando os
procedimentos matemáticos adequados para construir soluções num contexto
de resolução e, ainda argumentar e comprovar a validade de resultados e
apresentá-Ios de forma organizada e clara.
r

14. 2. ENSINO DE MATEMÁTICA ATRAVÉS DA MODELAGEM-
MODELAÇÃO
A educação matemática tradicional visa a transmissão de uma
determinada quantidade de técnicas que são utilizadas em situações artificiais
e que são apresentadas como problemas. Os problemas são formulados
artificialmente e somente auxiliam na memorização de certas habilidades
pelos alunos. Estes tipos de problemas e as técnicas utilizadas na resolução
dos mesmos são geralmente tediosos, desinteressantes, não possuindo
relação com o mundo externo. Estas características da educação matemática
tradicional são responsáveis pela diminuição do interesse, do rendimento e
pelo grau de satisfação escolar que os alunos possuem.
A escola sempre almejou que seus ensinamentos fossem úteis, mas
normalmente perde de vista esta ambição, deixando-se levar pela lógica da
adição de saberes, com a hipótese otimista de que eles acabarão por servir
para alguma coisa.
Daí surge a necessidade de se criar novas formas de pensar e
encaminhar métodos de ensino para a Matemática. E cabe ao professor
escolher os procedimentos ou metodologias para o ensino de sua disciplina,
considerando as características e peculiaridades de seus alunos, respeitando
conhecimentos anteriores e vivências pessoais, vivenciando a matemática
aplicada no cotidiano. Tais procedimentos possibilitam a construção de
modelos pelos alunos, que dessa forma poderão entender o sentido que os
conhecimentos na área da matemática têm em sua vida.
Entretanto, partir de uma situação cotidiana de uma turma torna-se
bastante complicado em colégios públlcos onde há tantas diferenças sociais.
Por este motivo a quadra, por ser uma realidade, sem exceção, de todos os

15. 10
r
alunos foi o objeto escolhido para realizarmos este trabalho utilizando a
modelação matemática como metodologia de ensino.
A modelagem não é uma novidade deste século, pois desde os tempos
mais remotos o indivíduo procura resolver os problemas de sua existência
com os recursos que o próprio meio em que vive oferece, buscando para isso
conhecê-Io e compreendê-Io.
Diversos autores têm argumentado pela plausibilidade de usar
modelagem ou modelação matemática no ensino de matemática como
alternativa ao chamado "método tradicional"*.
2.1 CONCEPÇÕES DE MODELAGEM MATEMÁTICA
Para melhor esclarecer o conceito de modelagem matemática
apresentamos a seguir algumas concepções encontradas na literatura
consultada.
ANASTACIO (1990) coloca os conceitos de modelagem matemática
apresentada por diversos autores, entre os quais destacamos:
NISS, que enfoca a modelagem matemática sob uma perspectiva
histórica. No período que antecedeu a 2a Guerra Mundial desenvolveu-se a
técnica de resolução de problemas, ignorando-se a compreensão real do
conteúdo matemático.
Após a 2a Guerra começa o movimento da matemática moderna, e esta
se torna mais flexível, menos aplicada e sem exigências de tempo para a
obtenção das respostas.
O autor define três fases estruturais na escola elementar:
1a) O currículo não perdeu totalmente a perspectiva de aplicações, mesmo
substituindo a inculcação pela compreensão.
2a) Ênfase à atitudes e estratégias nas resoluções de problemas, mais do que
com as soluções dos mesmos.

16. 11
r
3a
) Surge o desafio da humanização da matemática, buscando-se a mesma
envolvida no mundo real do aluno.
E, no currículo pós-elementar, o autor define quatro fases:
1a) Se achavam necessárias as demonstrações nas aplicações matemáticas,
que se davam em exercícios fechados com questões bem definidas.
Nasce então o termo "modelo", com o objetivo de separar modelo e
realidade, e os cursos relacionados a estes dois termos também
aparecem separados.
2a) As aulas passam a ter longas seqüências de trabalho, os professores
passam a ser guias e os alunos chegam aos exemplos da primeira fase
com seus próprios esforços, matematizando as situações, construindo
modelos matemáticos, investigando as propriedades e interpretando-as.
3a) Os cursos passam a ser voltados para o processo de aplicação da
matemática e de modelagem, enfatizando o processo de construção de
modelos
4a) Já ocorre uma reversão de ordem: O problema vem primeiro e,
posteriormente, a matemática é introduzida na construção do modelo.
McLONE, citado por ANASTÁCIO (1990, p.42), "define a modelagem
matemática como a representação matemática do mundo real, que possibilita
a predição de eventos futuros". E apresenta o diagrama pelo qual procura
sintetizar os passos do processo de modelagem:
..': ...........................................................................................................................................................
.,...•.......•,..
r----'----,Situação
real modelo Predição
Validação

17. 12
MEDLEY, apud ANASTÁCIO (1990), enfatiza a necessidade de
distinção entre a modelagem matemática e sua parte chamada modelo
matemático, utilizando-se do diagrama de Burghes e Botrie (1981), em que a
modelagem é representada no conjunto de sete passos:
1° - Formular o modelo real;
2° - Hipóteses para o modelo;
3° - Formular o problema matemático;
4° - Resolver o problema matemático;
5° - Interpretar a solução;
6° - validação do modelo;
7° - Usar o modelo matemático para explicar, predizer, decidir, definir.
Enquanto que o modelo se restringe aos 3° e 4° passos.
O autor reforça a necessidade de encarar a modelagem matemática
como um processo, ou seja, caminhar através das etapas chegando a várias
conclusões.
THIM O' SHEA e JOHN BERRY (apud ANASTÁCIO ,1990) abordam a
modelagem matemática como um processo, através do qual se descreve um
problema de origem não - matemática, transformando - o para a linguagem
matemática e trazendo através deste modelo soluções ao problema de origem
no mundo real.
PINKER, citado por ANASTÁCIO (1990) define a modelagem
matemática segundo as etapas:
1°) - Formulação do problema;
2°) - Construção de um modelo matemático que represente o sistema a ser
estudado;

18. 13
3°) - Encontrar uma solução para o modelo;
4°) - Testar o modelo e a solução obtida.
ANASTACIO (1990) cita também RUBIN, o qual define o processo de
modelagem nos seguintes estágios:
1°) - Formulação do problema;
2°) - Representação matemática;
3°) - Solução;
4°) - Verificação.
D'AMBRÓSIO (1986), caracteriza a modelagem matemática através do
esquema abaixo:
realidade
1nf4 - {sensual
ormaçao memória
Artefatos (obj. concretos)}
fatos
Mentefatos (novas idéias)
Indivíduo
ação
. {Modelos
Codificaçã Estratégias
o indivíduo cria modelos que lhe permitirão elaborar as estratégias de
ação, tais modelos são recriados na ação de serem utilizados n percepção da
realidade, tornando essa passagem a essência do processo criativo.
O autor apresenta a modelagem matemática como um processo
mediante o qual se definem estratégias de ação. Assim sendo, é preciso
conhecer a matemática presente na realidade do aluno para, partindo dessa
realidade, despertar nele o interesse e compreensão e, através da abstração,
construir-se modelos matemáticos que, resolvidos através de técnicas
matemáticas apresentem soluções (D'AMBROSIO ,1986).
Segundo ANAST ÁCIO (p. 82) "A modelagem matemática aparece como
um método de ensino da matemática que implica certamente numa ampliação

19. 14
de conhecimentos do aluno e do professor". Do aluno, pela compreensão dos
conteúdos que se fazem necessários à resolução do problema que o trazem,
e do professor, através de pesquisas de conteúdos ainda não dominados por
ele.
r-
r-
Para BURAK, (1987, p.21), "A modelagem matemática constitui-se de
um conjunto de procedimentos, cujo objetivo é construir um paralelo para
tentar explicar matematicamente os fenômenos do qual o homem vive o seu
cotidiano, ajudando-o a fazer predições e tomar decisões".
Entende-se que o autor vê também a modelagem matemática, como um
progresso da própria matemática, ao citar que desde o momento em que o
homem se interessou em compreender o seu ambiente para conhecê-Io,
passou então a criar e desenvolver sua ciência, destacando a importância dos
conceitos conseguidos por Isaac Newton e Leibniz que são "tempo e
espaço", os quais permitiram ao homem exercer sua ação de duas maneiras:
amenização e prevenção dos efeitos destruidores da natureza e o uso das
energias presentes nela em benefícios para a humanidade.
Para tais ações, afirma o autor, já se fizeram na época o uso de
modelos.
A educação matemática, como todas as outras disciplinas devem estar
voltada à necessidade cotidiana do homem permitindo -lhe agir sobre a
realidade que o envolve.
BASSANEZI (2002, p. 177), afirma que "a Modelagem Matemática
utilizada como estratégia de ensino-aprendizagem é um dos caminhos a ser
seguido para tornar um curso de matemática em qualquer nível, mais atraente
e agradável".
Para BURAK (1987, p. 32) "no estudo da matemática através da
modelagem as atividades se constituem na ação de refletir, de construir, de
concluir e de generalizar". Esta liberdade de ação não ocorre no ensino
tradicional. Cabe ao professor tentar se desvincular dessa matemática
presente na maioria das escolas.

20. 15
Para diferenciar o ensino tradicional do ensino através da modelagem,
BURAK utiliza-se do provérbio de Confúcio:
"Eu ouço, eu esqueço,
Eu vejo, eu lembro
Eu faço, eu entendo"
O autor afirma em outras palavras: A escola tradicional, a maioria das
escolas, é a escola do "ver" e do "ouvir", a qual adota a pedagogia da certeza,
enfatizando a reprodução. Já a forma de trabalho, "eu faço" é a pedagogia da
ação, criação, realização, exigindo do professor uma postura com relação ao
ensino, preconizando o "saber" pela ação "fazer".
Para BURAK (1987, p.17), "A modelagem matemática como uma
metodologia alternativa para o ensino da matemática procura dar ao aluno
mais liberdade para raciocinar, conjeturar, estimar e dar vazão ao
pensamento criativo estimulado pela criatividade e motivação". E mais
adiante: "É uma prática de ensino onde não há a seqüência rígida de
conteúdos, verificada no ensino tradicional, tratados com a profundidade
devida ao nível e á série". O autor ainda ressalta a importância do conteúdo
ser determinado através da situação - problema, pois a sucessão desses
formam no aluno um espírito crítico e aberto ás novas experiências.
Conforme o autor (1998) a operacionalização do processo de
Modelagem Matemática, especificamente no Ensino Fundamental e Médio
pode ser desmembrada em cinco etapas:
1a) Escolha do tema.
Nesta etapa são escolhidos os temas de interesse do grupo, que podem
envolver aspectos da vivência dos alunos. Em nosso caso o tema escolhido
foi a quadra de esportes.
2a) Pesquisa exploratória.
Nesta etapa privilegia-se a coleta de dados relativos ao tema, quer
sejam de natureza qualitativa ou quantitativa, aspectos técnicos ou apenas
curiosidades.

21. 16
3a) Levantamento dos problemas.
Esta etapa é resultante da anterior e consiste no levantamento dos
problemas a serem trabalhados. Esta fase favorece o desenvolvimento de
estratégias de organização e formulação de hipóteses, ou seja, a construção
do pensar matemático envolvido nas situações -problema.
4a) Resolução de problemas.
É nesta fase que se dá a construção de modelos, os quais embora
simples nos níveis fundamental e médio, ajudam a formar o pensar
matemático. Ocorre paralelamente à etapa anterior e favorece o trabalho com
os conteúdos matemáticos.
5a) Análise crítica das soluções.
Essa etapa destina-se a discutir e analisar a solução encontrada
verificando a coerência e consistência da solução. É uma atividade que
envolve o senso crítico, a argumentação, a lógica e a adequação da solução à
realidade vivida.
Verificamos que as definições de modelagem apresentadas são muito
próximas umas das outras e todas, mesmo em colocações diferentes,
enfocam a modelagem matemática como um processo, onde os últimos
passos são o modelo matemático e a solução para o problema real ou ainda,
previsões futuras.
Observamos também que todos os autores citados se referem a
modelagem matemática como um processo de traduzir a linguagem do mundo
real para o mundo matemático. Mas para que isto ocorra, uma série de
procedimentos devem ser realizados. BIEMBENGUT (2000), agrupa e
identifica esses procedimentos em três etapas, subdivididas em seis
subetapas.
1a etapa: Interação com o assunto
a) reconhecimento da situação problema;
b) familiarização com o assunto a ser modelado - pesquisa.

22. 17
Nesta etapa, a situação a ser estudada será delineada e para torná-Ia
mais clara deverá ser feita uma pesquisa sobre o assunto escolhido através
de livros, revistas especializadas e através de dados obtidos junto a
especialistas da área.
2a
etapa: Matematização
a) formulação do problema - hipótese;
b) resolução do problema em termos do modelo.
Para BIEMBENGUT (2000), esta é a fase mais complexa e desafiadora,
pois é nesta que se dará a tradução da situação problema para a linguagem
matemática. Assim, intuição e criatividade são elementos indispensáveis.
Para formular e validar as hipóteses considera necessário:
a) classificar as informações (relevantes e não relevantes) identificando
fatos envolvidos;
b) decidir quais os fatores a serem perseguidos -levantando hipóteses;
c) identificar constantes envolvidas;
d) generalizar e selecionar variáveis relevantes;
e) selecionar símbolos apropriados para as variáveis; e
f) descrever estas relações em termos matemáticos.
Ao final desta etapa, deve-se obter um conjunto de expressões e
fórmulas, ou equações algébricas, ou gráficos, ou representações, ou
programa computacional que levem a solução ou permitam a dedução de uma
solução. Desta forma, o problema passa a ser resolvido com o ferramental
matemático que se dispõe. Isto requererá um conhecimento razoável sobre as
entidades matemáticas envolvidas na formulação do modelo.
3a
etapa: Modelo Matemático
a) interpretação da solução;
b) validação do modelo.
Para a conclusão e utilização do modelo será necessária uma
checagem para verificar em que nível este se aproxima da situação-problema
apresentada. Assim, a interpretação do modelo deve ser feita através de

23. 18
análise das implicações da solução, derivada do modelo que esta sendo
investigado, para então, verificar sua adequabilidade, retornando à situação
problema investigado, avaliando o quão significativa é a solução. Se o modelo
não atender às necessidades que o gerou, o processo deve ser retomado
para a 2a
etapa, mudando hipóteses, variáveis, etc. Porém, para a
utilização do processo de modelagem matemática em cursos regulares o
método deve sofrer algumas alterações levando em consideração o grau de
escolaridade dos alunos, o tempo disponível que terão para o trabalho de
classe, o programa a ser cumprido.
2.2 MODELAÇÃO MATEMÁTICA
--
BIEMBENGUT (2000, p. 18) define modelação matemática como "um
método que utiliza a essência da modelagem em cursos regulares, com
programa. Ainda afirma que este método diferencia-se da modelagem no
ensino, pois utiliza-se de um único tema para extrair o conteúdo programático.
O professor escolhe certos modelos fazendo sua recriação em sala,
juntamente com os alunos, de acordo com o nível em que estão, além de
obedecer ao currículo inicialmente proposto.
Para a modelação matemática, o mais importante não é a obtenção do
modelo, mas o caminhar pelas etapas de onde vão emergindo os conteúdos
matemáticos. Segundo BIEMBENGUT (2000), o método abrange três passos:
1) Diagnóstico
Nesse momento, o professor vai fazer um diagnóstico do grau de
conhecimento matemático dos alunos, seus interesses, sua realidade
socioeconômica, do horário da disciplina, do número de alunos, da
disponibilidade dos alunos para trabalhos extra-classe. Tais fatores são
essenciais na decisão sobre como efetuar a escolha do tema que norteará o
desenvolvimento do trabalho.

24. r
19
/
2) Escolha do tema ou modelo matemático
O professor e alunos devem sugerir temas. Contudo, caberá ao
professor usar estratégias que facilitem aos alunos a escolha de um tema
abrangente, motivador e sobre o qual, de certa maneira, seja fácil obterem-se
dados e informações.
3) Desenvolvimento do conteúdo programático
Esta fase é semelhante a do processo de modelagem, não esquecendo
que agora existe um conteúdo programático e cabe ao professor fazê-Io fluir a
partir do tema. Para que isso ocorra, o professor pode fazer a primeira
questão ou propor aos alunos que dêem sugestões do que se possa estudar
ou propor que os próprios levantem questões. Desta forma, o professor
poderá levantar a situação mais adequada para desenvolver o conteúdo
programático.
O professor pode seguir os seguintes procedimentos (BIEMBENGUT,
2000):
- fazer uma breve exposição sobre o tema;
- fazer um levantamento de questões;
- determinar, face ao que o aluno desconhece, o conteúdo
matemático a ser desenvolvido;
- propor exemplos análogos para que o conteúdo não se restrinja
ao modelo;
- analisar o resultado obtido a fim de aplicar e exercitar o conteúdo;
- avaliar, criticamente, a validade do modelo.
Além disso, o professor deve procurar manter um clima de certa
liberdade e descontração, estimulando a participação e a criatividade
individual. Desta forma, poderá obter resultados satisfatórios em relação ao
aprendizado de Matemática.
Entretanto, como a maioria dos professores de Matemática possui uma
formação acadêmica que pouco valoriza a relação entre a teoria e a prática a
visualização matemática da realidade torna-se difícil. Talvez esta seja a maior

25. 20
dificuldade encontrada pelos professores para trabalhar com modelagem e
modelação matemática.
Para amenizar esta situação BIEMBENGUT (2000) sugere, aos que não
se sentem seguros para aplicar o método de modelação matemática que:
- conheçam alguns modelos clássicos, adaptando-os para a sala de
aula;
-apresentem cada um dos conteúdos do programa a partir de modelos
já conhecidos;
-apliquem trabalhos ou projetos realizados por colegas, por tempo curto,
com uma única turma e de preferência aquela que tem melhor domínio de
Matemática;
- como trabalho extra-classe, para os alunos, solicitem que busquem
exemplos ou tentem criar seus próprios modelos, sempre a partir da
realidade.
Esta proposta pode servir como um exercício e incentivo na aplicação
da modelação matemática em outras turmas.
r
r

26. 3. VIVENCIANDO A EXPERIÊNCIA
As atividades desenvolvidas e que serão explicitadas sugerem
situações que levam em conta que os processos de ensino e aprendizagem
não podem ser dissociados. São desenvolvidas de forma ativa, promovendo o
debate e a busca de informações em fontes variadas, valorizando os
conhecimentos e as produções dos alunos, estimulando-os para que tomem
consciência de seu próprio processo de aprendizagem.
Apresentamos cada atividade desenvolvida com ilustrações e
considerações sobre as mesmas.
A foto a seguir é da Escola Estadual Gil Stein Ferreira e da quadra
pertencente a ela, na qual foi desenvolvidos o projeto com os alunos das 6a
séries.
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27. 22
Atividade 1:
Reconhecimento das medidas da quadra através de medições.
O cálculo mental e conversões de unidades métricas como base;
O entrosamento de idéias entre os integrantes das equipes;
Interesse na observação e efetivação das atividades;
O uso de lógica e de estimativas;
Representação em desenhos das quadras de forma visual, sem a
preocupação de uso escalar;
Questionário aos professores de Educação Física.
Alunos efetuando as medições da quadra

28. I
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29. 24
QUESTIONÁRIO
1) Em que ano foi construí da a quadra poliesportiva de nossa Escola? E, quem foi
o diretor da Escola neste ano?
~ ~SN{~
2) Quais as medidas oficiais da quadra:
a) de vôlei? Comprimento: ~~~
b) de basquete? Comprimento: a..g :rn
c) de futsal? Comprimento: '1~")iv'
d) de handebol? Comprimento: Ljo JYn
Largura: o~ JP'
Largura: ..(5fY1l
Largura: ~7Y""'I
Largura: .2oY"C"
3) A pessoa que construiu (construtor), tinha o conhecimento das medidas oficiais
da quadra?
~_ ~ ~ ~~"~~ ;:v ~ ó...ov
n,llrt.Ahr;~ I ~....:l:'~_, ~~._ .•J..... - ,. -....;J
~~.,........" J:. ~ ·.,....-lí~ ..•'"
4) Ao medirmos a distância dos 7m do handebol, percebemos que um deles mede
7,10m e o outro mede 7,50m. É uma diferença grande. Essa diferença já havia
sido pe:cebida por, vocês, p:o:~ssores de Educa5ã~ Física? ," _'o
~i~~~~·~-~·~
5) Já percebemos que nossa quadra não possui as medidas oficiais. Isso interfere
de alguma forma no resultado das competições em que os alunos participam
fora da escola?
{)~"",_r~ -:Ç)l"Jl1rr.N ~J.. ~ ~ ~~t"~ ~V1TV""- ~l':-.J' t---
~~.

30. r
r 25
Considerações:
O desenvolvimento das atividades acima, leva o aluno a perceber a
importância da questão posicional dos números decimais, ao representarem
no papel as medidas adquiridas da quadra. O aluno também entra em contato
direto com a necessidade das conversões de medidas, das operações com
decimais, do conhecimento de proporcionalidade e conseqüentemente do uso
de uma escala, conceitos estes ainda não definidos por eles, ou apenas vistos
de forma superficial.
r
Atividade 2:
Medimos tudo?
Baseado na referência bibliográfica Medindo Comprimento do
professor da USP Nilson José Machado, que retoma a parte histórica das
medições a partir da Antigüidade Clássica. Nesse aspecto salienta-se a
importância da História da Matemática que visualiza a Matemática e a
Geometria como produto sócio-cultural construído pelo homem através dos
tempos.
Como complemento as essas atividades podem ser realizadas outras
resolutivas contemplando assuntos ligados ao conteúdo e de conhecimentos
prévios para revisão conceitual.
- Atividades para revisão de conceitos prévios que são trabalhados desde
os ciclos iniciais do Ensino Fundamental;
- Analisando os problemas métricos, baseado nas questões de
compreensão de procedimentos e algoritmos - as resoluções individuais,
nos procedimentos passo-a-passo, no uso de algoritmos ou do raciocínio
lógico dedutivo.
r
r
r

31. • I I
26
--------

32. 27
ATIVIDADES
1) Um parafuso tem 18mm de comprimento. Qual a sua medida em
centí metros?
A ~.:j-lú rrn .rm
~1? ry1l v'lT)
r
2) A distância entre Ivaí e Ipiranga é de aproximadamente 40 OOOm. Qual a
distância em quilômetros, entre essas duas cidades? Qual a melhor unidade
para medir essa distância: metro ou quilômetro? Por quê?
A ~'l1 :::A00 O -"ff
~-::.LtO()OO~
3) Uma sala possui 5400mm de comprimento. Dê a sua medida em metros e
quilômetros e diga qual é a unidade de medida mais conveniente para medir
a sala. 1Km ~ rooo 0Cf)-m~
A 'l1'. ::-~o OO 1n""Tl) -x: ~51~ ::=P J: z: 5;kt ~'"Tfl -s: - 54 00 -rn1Y1 ~
~5'1 O() -111 m
0-4 2':<0
CO 3,,J <m
~
~
5) Sevocê percorrer 10km mais 150m, você terá percorrido quantos metros?
j ~ -= {OOlT) t::::f>.-to I&n ~ ..•0000 "rT"1 + A50--rr) = A.0150---m
6) Uma tábua com 3,1Om de comprimento deve ser cortada em três partes.
Uma das partes tem 98cm de comprimento. As outras duas têm o mesmo
comprimento. Qual é, em metros, o comprimento d cada uma dessas partes?
3 .{O - ~,tO..t:M1 .,;;)-!J.. ~ o,C3 ~ /)T")
, 'nl - '-' JlOIõ' J:/m • rv(). A, O" .,.."
~-'fO..Qn1~ ~9.c-« -:1~J:jw~él-l~Nrn ::
) - 09 ""r()
4) Uma costureira comprou 64m de tecido e cortou-o em 20 retalhos de mesmo
comprimento. Quantos centímetros de comprimento tem cada retalho?
A-./)y) -::: Á CO J:Jrf
3J. "'11 -=-:J:
7) Um comerciante foi autuado em sua loja de tecidos pelo fiscal do Instituto
Nacional de Pesos e Medidas, pois usava um "metro" com 97 cm. Como até
aquele momento havia vendido 385 metros de tecido, em quantos metros sua
clientela foi roubada?
11r} -=.( 00.Jim
~95'1'n .«:
:x:: -: ?jj:5 y. 1C()
~ 38~oo@ 3ÇjGO
- 31- ~ol{ !J
D I 15 5'~ -.00
.~.I,55--m

33. 28
8) O canal do Panamá tem 65 km de extensão. Um mapa foi feito de tal forma
que cada 20 km reais correspondem a 1cm no mapa. Nessas condições, com
quantos centímetros está representada a extensão do canal do Panamá no
mapa? G S .20
GO "?> ,02 '8 (/yyy •
~o
'~Rn" o
9) Duas cidades A e S, são ligadas por uma estrada de 24 km de comprimento.
a) Uma menina vai a pé de A até S e, em cada passo, percorre 0,5m.
Quantos passos ela dá em todo o perfu~sJ;? a~o cxx» ~ '1dJ....~
.l.~ ~ "ccc """'"""' rb c2 ~ oco ;D ~ - ~ o q 'i5'<XX] , .
02 4 ~ ::. 2,'-4 CC() -.y" J coco
b) Serão colocados postes de iluminação ao longo dessa estrada, com uma
distância de 120m entre eles. Quantos postes serão necessários?
;2 4 oco : dO __..--r. """"-
~oo 2.J(j) -~~.
c) Serão colocados sinalizadores noturnos ao longo dessa estrada, com uma
distância de 12 dam entre um e outro. Quantos desses sinalizadores
serão necessários?
~ ~~ J. e.o ~~~'
10) Felipe é um ciclista fanático. Ele treina diariamente dando voltas em um
circuito de 1,35km. Geralmente, dá 16 voltas em um mesmo dia. Hoje ele
bateu seu próprio recorde: correu 19 voltas mais 13 damo
a) Quantos quilômetros Felipe corre diariamente?
1.2:>5
fra',~ ~
b) Qual foi, em metros, seu recorde?
.i. I o'fL i.~ ::. -ccc......., j'b
1'~/,"6~ ~D, bS ~ -;::lc.
11) Desenhe um tijolo que possua 20cm de comprimento e 5cm de altura.
a) Quantos tijolos devemos colocar, lado a lado, para que formem uma fila
de 2,60m de comprimento? 2,(00 ~:t,.;~d:>
~S""'" (, I 6......--- = Z ~o C/vY' ~ -?" ~o
~ ....~
b) Quantos tijolos devemos empilhar para aungir 3,20m de altura?
~) o l...-5- .
~12o~: ?>í3o ~ ~ ~o "1jl{~
12) Uma régua normalmente tem 30c~:9ndique essa medida em:
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~
a) milímetros b) decímetros c) metros
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34. 29
Considerações:
Destaca-se que a observação de regularidades, na busca de padrões,
deve primar desde o início das séries iniciais do ensino fundamental para o
desenvolvimento do pensamento algébrico, então no 3° e 4° ciclos deve
fornecer subsídios para fortalecer essa capacidade algébrica.
O trabalho com medidas vincula-se com os números racionais na forma
decimal, e sua relação com o sistema de numeração decimal. Então, o
trabalho com medidas é uma extensão do sistema de numeração decimal,
pois mostra que os princípios que regem este sistema são os mesmos do
sistema de medidas. Buscam-se subsídios na história da matemática para o
surgimento das unidades de medida, encontrando equivalência e relação das
unidades de medida com o sistema de numeração decimal.
Atividade 3:
- Construir os conceitos de escala e proporção através da elaboração de
maquetes, introduzindo a idéia de razão, as noções de ampliação e
redução das medidas interagindo com a Geometria e com a Geografia.
- Explorando as diversas figuras planas da quadra, desenvolvendo os
conceitos de perímetro, área, ângulos, etc;
Trabalho em equipes com as medidas coletadas anteriormente pelos
alunos, com as quais serão construídas as representações geométricas das
quadras inseridas no desenho da quadra poliesportiva da escola, em papel
cartão com a finalidade de introduzir os conceitos de escalas, proporção e
razão. A princípio executar o desenho sem exposição lógica do conceito de
escala, pedindo-se que a façam utilizando uma certa notação que
apresentasse a quadra em perspectiva reduzida. A seguir, executa-se a
atividade segundo uma escala solicitada 1:1. Com isso ocorre uma melhoria
na semelhança e na estética do desenho. Nesse momento há a efetivação
habilidade lógica que argumenta e analisa situações, fazendo com que os
alunos percebam a validade, as regularidades, as semelhanças e as

35. 30
r
diferenças que o conceito de escala e proporção pode efetivar sobre a
percepção espacial da realidade, sua compreensão e representação. A partir
disso, o conceito é construído porque o conhecimento lógico - matemático é
adquirido pelo próprio sujeito da ação, como cita Piaget na sua Teoria
Psicogenética.
Com as medidas oficiais serão estabelecidas escalas diferentes para
serem confeccionadas plantas de vista superior da quadra, realizadas em
equipes de trabalho com auxilio dos professores. Como a perspectiva das
representações em escalas diferentes fica evidente, entre as representações
dos colegas, um conceito já conhecido em Arte, que é redução e ampliação.
Nota-se também que estes conceitos são utilizados em mapas de Geografia.
É importante comentar sobre plantas de imóveis que utilizam esses conceitos.
Essa atividade permite a percepção quanto à aprendizagem:
a) Operações de soma e divisão dos inteiros e decimais.
b) Uso de medidas e de instrumento como régua, esquadro, compasso,
calculadoras de forma lógica e correta, bem como o cálculo mental
como maior apoio às atividades.
c) Manuseio e montagem dos papéis - cartão necessário a confecção das
plantas.
d) Noções de redução e ampliação de figuras.
e) O uso de pensamento lógico para a representação geométrica.
f) O uso de calculadoras acompanha este trabalho para que os alunos
possam conferir o resultado, fazer estimativas e perceber regularidades
na divisão de decimais - competências básicas.

36. {J
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37. 32
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Alunos com as quadras nas diversas escalas em cartolinas
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Algumas das maquetes construídas no trabalho
---- --- ------

38. ATIVIDADES 33
1) Na planta de uma casa, um muro de 2m está representado por um segmento
de 4cm. Qual é a escala dessa planta?
:2-m ; 2aJ Oyy-) .
.~ JYYY) -:--4:=t>.~ Gl0 A: (fJ
200 VYY ~~ . ®
2) A planta de uma casa está na escala 1:50. Um comprimento de 8cm na
planta corresponde a quantos metros na realidade?
3 A'm yA(XJ yYY'I. ~ ~~ =I> ,>i·L Cj -~I
4tO pYY} <C. / <, Mfi) j:JY"( .AoW
3) Um terreno tem 20m de comprimento. Numa planta, ele tem 4cm de
comprimento. Qual é a escala da planta?
.::L-:-Li z: A 0Uv A: 5
20 :- 4 5
4) Este desenho está na escala 1:200. .
csro ~.~ -kJ .: -3 C/YYI
200
x ?) = 601)
-:. O O ,tC/YYl
a) Trata-se de um peixeócomum ou de um tubarão?
1JtQÜ- JL o: foYY) ~ bwriio
b) Qual é o cumprimento real desse animal?
D cQrf) -p'Lir'r)OYJh JC-1.fJ.Le / ds: 6 ~
5) A minha sala tem 6m de comprimento. Desenhei uma planta na escala 1:75.
Nessa planta, a sala tem quantos centímetros de comprimento? ~
A0Y = )CXJ mn. .11-1-6 ~ 70= 000 .z: ~~.
6'/Y) z: ó00 C/YYl t(XJ.'úY,().-IG / -{ 6
6tct. ~ ~C/YYl . dL ~~ h.
6) um menino tem, 1,60m de altura. Vou désenhá-lo na escalas 1:1O. No
desenho, a altura dele terá quantos centímetros?
A ,60 -rn z: A6 O UYY I. ~ 1-uw:. fi O',D'YY) .
/}
n n O;"((LWv ~
~-10 ~ j)J-
/V~,460

39. 34
7) Uma locomotiva de 15m de comprimento foi desenhada com 50cm. Qual é a
escala do desenho?
/1 r(Y} -z: JCD uYYI .
/J 60Y) ~ /I tJO oVYl
8) Fiz o desenho do meu quintal usando um escala de 1:70. Nesse desenho, o
canteiro de alface é retangular e mede 3cm de comprimento e 2cm de
largura. Qual o tamanho real desse canteiro?
-lJ 10 V ~~ /tWL ~ cO/n-
X 3 Y 2 JD. ~ - . ./ , Z J1 ~ A 1/'111 .--- U.fW e . /1 rJY) . r~ . ,
Z40 (/Y/'J . )40 um
2, A -""""YY v1, ~ m
9) A quadra abaixo foi desenhada em uma escala 1:250
i
~...-----+------'.1[EJ
a) quais as dimensões ( comprimento e largura) reais da quadra?
~ G X~50:::= ~~ ÚYY= 4 O JYn ( -4 O yy y. 2D fYY
B 'i 02S O := ~ C/YY':c !W "ffi J
b) COnhecendo as medidas oficiais, podemos afirmar que a quadra acima é de
futsal ou de handebol?
A~~.L.óJ..~
10) Faça um desenho do quadro negro em seu caderno, representando cada
SOcm por 1cm e coloque a escala utilizada ao lado do desenho.

40. Atividades
35
1) Neide fez um desenho do seu guarda-roupa utilizando uma determinada
escala. No desenho, a altura ficou com 15cm e a altura real do guarda-roupa
é de 2.1Om. Qual a escala que Neide utilizou nesse desenho?
4 fi .qm"'-' '5 ~ ,,"';":3 ;--....L. ~ i ;'~
!1( o Q'm~ $~ "t êt .;.:3 t;.
2) Catarina gosta muito de pintar quadros. Deu de presente à sua filha Kátia
uma pintura que fez numa telas de 12cm por 20cm. O presente fez tanto
sucesso que Kátia pediu à mãe que fizesse uma ampliação do quadro.
a) Se a nova tela tiver 50cm no lado maior, qual deve ser a medida do lado
menor para que a pintura ampliada fique proporciona! à original?
JJL = .L ;> JO;L z: l ~'I. <:O0::t>::C z: 1wJ:J. ~~
&0 ~O ~ ~
b) Catarina tinha em seu ateliê duas telas em branco com as seguintes
dimensões: uma com 18cm por 30cm e outra com 42cm por 76cm. Verifique
se essas telas são proporcionais à tela original, servindo para a ampliação.
~""~O ~360: 360 ..4-2:=~~9~OJ. «.»
J-o/'-30 dO 1-6 I '~
~ J)...J9-1.h-i~QQ1.~J)..:IJ.J.Q. - "
3) Certo dia, ângelo verificou que sua sombra era de 14 cm. Estava a lado de
um poste e ficou curioso para saber qual a altura desse poste. Ângelo
conhece a sua altura 1,60m , sabe trabalhar com proporções e constatou que
a sombra do poste era de 35cm. Qual era a~do poste?
.JLl v~ ;/J4x~~6~ pX~ .',,,~
J ÓO Í' X :;C = qfzf~) ~ ~~
4) Fiz um desenho do meu quintal usando uma escala de 1:70. Nesse desenho,
o canteiro de alface é retangular e mede 2,5cm de comprimento por 1,5cm de
largura. Qual o tamanho real desse canteiro?
~)'6 -1J~ ~1S-rn~~~L
)/ ~O ~ j O~ --rn.de- ~
J:f 5 P .o4ReJ/o ~ )
5) Comparando o tamanho real da quadra com o tamanho da quadra na
maquete, podemos afirmar que são grandezas direta ou inversamente
proporcionais. Por quê? I. L ..}, .'
)JilÉ ~~~vo~
.D--~~L~~M;=eA~

41. 36
6) Observe os quadrados abaixo:
LSJ.1.01Y1 ~ J) 61hY'
JJCf"W' U
J) tJ!ftA
~
a) Meça cuidadosamente o lado e a diagonal de cada quadrado. Coloque as
medidas em uma tabela, onde contenha a medida do lado e a medida da
d quadrado.iaconat de cada
t A
J .f.
I t:;
sr:s. (J'q
.
020 ?
b) Nos quadrados, a medida do lado é diretamente proporcional a medida da
diag9n?l? Ou é inversamente proporcional?
6 _djjujX1Fm~n1ttfl)U=t~
c) Quanto deve medir (aproximadamente) a diagonal de um quadrado com lado
de 20cm? X ;-,3 6:fYYV' J J ~ /ir.;x;~:16.6 fl,,;?l /6
1- 1~r c!) (j x x -;~tf jO Ã-:::o
J~ ~J x z: 4() :C.:- b6 -=;; a:.:-tJ 6 .fJr"
7) Façaoquesepede: -1j~~Ç;:J6~T
a) Todos os retângulos seguintes têm área de 12cm 2. Visualize a base e a
altura de cada um e coloque esses dados numa tabela ( as bases numa
coluna da tabela e as alturas na outra):
______________~j~~~Nn~-------------- IJ.~
I 3J:an I
b) Nos retângulos de área 12cm 2 , a medida da base é diretamente proporcional
à da altura? Ou é inversamente p~~porc~O/nal?+.
'j'Y"li'llf17CDrrfZJfYfiJ.. ~
c) Se a b~se~d-e--úm·retârigu~Cada, o que deve ser feito com a altura para
que a área permaneça igual?
~-K)))L~fW7-3 •

42. 37
Considerações:
A partir do tema medidas proporcionam-se conexões entre os diversos
temas matemáticos como ampliação e redução, o conceito de escala e
proporção.
Com isso ressalta-se que no trabalho com medidas explora-se as mais
usadas, pois é "importante que ao longo do ensino fundamental os alunos
tomem contato com diferentes situações que os levem a lidar com grandezas
físicas, para que identifiquem o que será medido e o que significa a medida"(
MEC/Sef, 1997, p.130).
Atividade 4:
- Confecção, em equipes, das placas que serão utilizadas como unidades de
área;
Explorando o conceito de área através de placas de 1m2
, divididas em 100
partes iguais e outras em 4 partes iguais para estabelecer as relações e
regularidades deste cálculo por contagem, trabalhando assim conteúdos
como operações com frações e números decimais, envolvendo a
compreensão das regras, o desenvolvimento da estimativa, como uma
extensão do sistema de numeração decimal e do sistema de medidas.
As placas que serão utilizadas como unidades de área, para a
compreensão e construção do conceito foram divididas em partes citadas
acima, para introdução ao conceito de área.

43. 38
Construção das placas que serão utilizadas como unidades de medidas
Considerações:
Para desenvolver o conceito e o cálculo e de perímetro, o trabalho com
a multiplicação em situações associadas à configuração retangular (malha
quadriculada) é uma das estratégias metodológicas mais eficientes. Visualiza
o trabalho com a multiplicação. Nesse aspecto fica clara a relevância social
do tema gerador do projeto que são as medidas, por Ter um caráter evidente
prático e utilitário.
Atividades com composição e decomposição de figuras para o cálculo
de área e não somente de polígonos isolados permite o desenvolvimento de
formas de raciocínio e processos de dedução, indução, analogia e estimativa.
A análise do rendimento dos alunos conforme AVA - 2000 demonstra
que os alunos não aprenderam a reconhecer fração representada por uma
figura; relacioná-Ias a número racional expresso como fração ordinária e com
sua forma decimal e identificar área de uma figura plana utilizando a
contagem de unidade fornecida em malha quadriculada, perímetro de

44. 39
retângulo cujas medidas são apresentadas num texto. Para ajudar a superar
essas dificuldades o projeto citado veio supri-Ias através de uma prática
pedagógica baseada na construção do conhecimento a partir do real. O
conteúdo ganha um sentido contextualizado. Os procedimentos demonstram
que o conhecimento envolvido pode ser usado em outras e diferentes
situações.
Atividade 5:
Trabalhar o conceito de área, utilizando-se das placas confeccionadas
pelos próprios alunos.
Cálculo da área da quadra da escola, fazendo-se o uso das placas de
1m2
, dividas em 100 partes iguais, e também utilizando - se das placas de
1m2
, divididas em 4 partes iguais, levando o aluno a compreender o cálculo de
área e também a importância de uma unidade de medida adequada ao objeto
a ser medido.
Esse cálculo, por medidas de economia, do material a ser utilizado na
construção das placas e também do tempo a ser levado para a construção
das mesmas, pode ser feito, cobrindo-se apenas ! da quadra com as placas,
4
calculando-se através da adição ou multiplicação a área total, levando o aluno
com essa atitude à compreensão do conceito e das operações com frações.

45. ~
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48. NOÇÃO DE ÁREA " -- , ". ,. . ... ;..
43
Junho chegou. É tempo de festa junina na escola. Os alunos vão dançar
quadrilha e haverá barracas vendendo doces e salgados.
A escola tem dois pátios. Um é chamado de pátio xadrez e outro de pátio da
zebra. Ficou combinado: as barracas serão instaladas no maior dos pátios. Só que
aí surgiu um problema: qual dos pátios é o maior?
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Você vai observar duas vistas de uma mesma sala. Observe com atenção as lajotas do piso e
os ladrilhos do rodapé.
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b) Qual é a área da sala? 1(50'1
C) E a área total da casa? ~ ~ 'V
d) A cozinha tem maior área do que cada quarto? ~

49. ~l~=;~0'~;~~~<d~senhadas sobre a malha de triângulos eqüilãieros.
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50. r
45
Considerações:
A exploração dos conceitos de Grandezas e medidas, segundo os
PCNs, pag 42, "proporciona melhor compreensão dos conceitos relativos ao
espaço e às formas. São contextos muito ricos para o trabalho com os
significados dos números e das operações". E ainda, pag113, "é necessário
que o aluno compreenda a execução das duas operações: uma geométrica
(aplicação da unidade no comprimento, área ou volume a ser medido) e a
outra aritmética ( contagem de quantas unidades couberam)".

51. 46
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Segundo os PCNs (Brasil,1997, p. 25) : "As necessidades cotidianas
fazem com que o aluno desenvolva capacidades de natureza prática para
lidar com a atividade matemática, o que Ihes permite reconhecer problemas,
buscar e selecionar informações". Cabe ao professor organizar as atividades
que leve o aluno a sentir a necessidade de calcular, para que se torne
possível o estabelecimento de conexões entre os conteúdos estudados por
eles, de forma a provocar novas experiências e trazer como produto, novas
descobertas.
A Geometria é um dos ramos mais antigos da Matemática que se
desenvolveu em função de necessidades humanas e tem pouco destaque nas
aulas de Matemática. Se trabalhada em situações que envolvam o aluno em
uma necessidade de cálculo pode contribuir muito para o desenvolvimento do
trabalho matemático na escola.
A proposta apresentada foi uma alternativa para um trabalho
matemático prazeroso e produtivo visando uma aprendizagem participativa e
crítica por parte do aluno e, também do professor em mudar a rotina de sua
prática, levando a escola a um trabalho mais unido pela dependência que a
proposta exige de outras disciplinas, como a Educação Física, Arte e a
Geografia.
O trabalho coletivo propicia a necessária troca de informações entre os
alunos, criando situações de interação que favorecem aprendizagens
significativas, cooperação e solidariedade, permitindo a integração dos
assuntos em estudo, de forma a estabelecer ao maior número possível de
relações entre os conteúdos desenvolvidos, levando os alunos a uma visão
integrada da realidade, onde a relação entre os elementos é viva e não
fragmentada.
O desenvolvimento do projeto na escola levou professores e alunos
participantes à aulas produtivas, através das quais surgiram situações em que
r
r

52. 47
os alunos precisaram buscar por seu próprio interesse informações através de
pesquisa ou do próprio professor para o esclarecimento de suas dúvidas.
A escola com sua função de preparar os indivíduos para a sociedade,
deve contribuir para essa visão por parte do aluno, visto que "a todo instante,
os indivíduos estão comparando, classificando, quantificando, medindo,
exemplificando, generalizando, inferindo e, de algum modo, avaliando, usando
os instrumentos materiais e intelectuais que são próprios de sua cultura"
(D'AMBRÓSIO, 2001, p. 22). Baseando-se nesse pressuposto, o aluno deve
encontrar na escola, técnicas e estratégias que os tornem seguros para a
obtenção de respostas necessárias aos problemas do seu cotidiano.
Que esta proposta seja para o professor uma fonte geradora de idéias,
levando-os a elaboração de novas propostas de ensino-aprendizagem,
contribuindo assim, para a melhoria do ensino da matemática, tornando-a
interessante, atrativa e integrada ao mundo de hoje.

53. I
r
48
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Matemática e a Educação Matemática. Dissertação de Mestrado, UNESP,
Rio Claro, 1990.
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revista, São Paulo, n. 9/10, p. 49-56, abril/ 2001.
BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelação matemática como método de
ensino - aprendizagem de matemática em cursos de 10
e 20
graus.
Dissertação de Mestrado, UNESP, Rio Claro, 1990.
BIEMBENGUT, Maria Salett; HEIN Nelson. Modelagem matemática no
ensino. São Paulo: Contexto, 2000.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental.
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BURAK, Dionísio. Modelagem Matemática: Uma Metodologia Alternativa
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Rio Claro, 1987.
_____ . Uma experiência com a Modelagem Matemática. Pró-Mat: Paraná.
Curitiba, n.1, dez/1998.
D'AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação e
matemática. Campinas: Editora da Unicamp, 1986.
MACHADO, Nilson José. Medindo Comprimentos. Coleção Vivendo a
Matemática, 15a edição. São Paulo: Scipione, 1997.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação AVA 2000. Estudos
complementares: análise de resolução de questões em matemática. Curitiba:
SEED/DG, 2002.
r: SEBASTIANI, Eduardo. Entrevista. Educação matemática em revista, São
r Paulo, n. 11, p. 4 - 7, dez/2001.
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