Pre villareal

1. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Dividir un polinomio 𝑫(𝒙), llamado dividendo,
entre otro polinomio 𝒅(𝒙), llamado divisor, es
hallar otros dos polinomios 𝒒(𝒙) y 𝒓(𝒙),
llamados cociente y residuo respectivamente, que
se encuentran ligados por la siguiente relación:
𝑫(𝒙) = 𝒅(𝒙)𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙)
PROPIEDADES:
donde:
• 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐃(𝐱)] ≥ 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐝(𝐱)]
• 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐪(𝐱)] = 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐃(𝐱)] − 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐝(𝐱)]
• 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐫(𝐱)] < 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐝(𝐱)]
• 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐫(𝐱)]𝐦𝐚𝐱 = 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐝(𝐱)] − 𝟏
Obs.: Si la división es exacta 𝐫(𝐱) ≡ 𝟎
Ej.: Dada la división:
2𝑥5
+ 5𝑥4
− 3𝑥3
+ 7𝑥2
− 9𝑥 + 1
𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 7
• 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐃(𝐱)] = 5
• 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐝(𝐱)] = 3
• 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐪(𝐱)] = 5 − 3 = 2
• 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐫(𝐱)] = 2; 1; 0
• 𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐫(𝐱)]𝐦𝐚𝐱 = 2

2. MÉTODOS DE DIVISIÓN
1. Método de Horner: Usado para dividir dos
polinomios de cualquier grado con respecto
a una variable.
Esquema General:
⏞
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑫(𝒙)
1er Coef.
𝐝(𝐱)
(Nº columnas =
𝐠𝐫𝐚𝐝[𝐝(𝐱)])
(demas
coef.
𝐝(𝐱)
𝑐𝑜𝑛
𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜)
𝐪(𝐱) 𝐫(𝐱)
Obs.: Para efectuar la división, los polinomios
𝑫(𝒙) y 𝒅(𝒙) deben estar ordenados y completos
en forma decreciente.
Ej.: Dividir:
𝑥4
+ 4𝑥3
+ 10𝑥2
+ 2𝑥 + 5
𝑥2 + 2𝑥 + 3
Por Horner:
1 1 4 10 2 5
-2
-3
Ahora:
1 1 4 10 2 5
-2 -2 -3
-3 -4 -6
-6 -9
1 2 3 -10 -4
𝑞(𝑥) = 𝑥2
+ 2𝑥 + 3; 𝑟(𝑥) = −10𝑥 − 4
÷
÷
÷
𝑥
𝑥2 𝑥

3. 2. Método de Ruffini: Solo se usa cuando el
divisor es de primer grado, es decir
𝒅(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃
Esquema General:
• 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0; 𝑥 = −𝑏/𝑎
𝐂𝐨𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐃𝐢𝐯𝐢𝐝𝐞𝐧𝐝𝐨 (𝐃(𝐱))
−𝑏/𝑎
𝐂𝐨𝐞𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐂𝐨𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 (𝐪(𝐱)) 𝐫(𝐱)
Obs.: En caso que 𝑎 ≠ 1 el cociente será:
𝑄(𝑥) =
𝑞(𝑥)
𝑎
Ej.: Dividir:
𝑥4
+ 5𝑥3
− 4𝑥2
− 3𝑥 + 7
𝑥 + 2
Por Ruffini:
• 𝑥 + 2 = 0; 𝑥 = −2
1 5 -4 -3 7
−2
Ahora:
1 5 -4 -3 7
−2 -2 -6 20 -34
1 3 -10 17 −27
𝑞(𝑥) = 𝑥3
+ 3𝑥2
− 10𝑥 + 17
𝑟 = −27
× 𝑥
𝑥2
𝑥3

4. TEOREMA DEL RESTO
Se utiliza para determinar el residuo de una
división en forma directa, El resto de dividir un
polinomio 𝑷(𝒙) entre 𝒂𝒙 + 𝒃, es 𝐏(−𝐛/𝐚); es
decir:
• 𝒂𝒙 + 𝒃 = 0; 𝑥 = −𝑏/𝑎
• 𝑟 = 𝑃(−𝑏/𝑎)
Ej.: Halle el resto en:
𝑥15
+ 2𝑥8
+ 3𝑥 − 7
𝑥 + 1
Por Teorema del Resto:
• 𝑥 + 1 = 0; 𝑥 = −1
• 𝑟 = (−1)15
+ 2(−1)8
+ 3(−1) − 7
𝑟 = −1 + 2 − 3 − 7
𝑟 = −9

5. EJERCICIOS
1.Indicar el resto en la división:
𝑥4
+ 4𝑥3
+ 6𝑥2
− 7𝑥 + 2
𝑥2 + 2𝑥 + 1
A) 1 − 10𝑥 B) 1 + 11𝑥 C) 1 − 11𝑥
D) 10𝑥 − 2 E) 4𝑥 − 1
Resolución: Por Horner:
1 1 4 6 -7 2
-2 -2 -1
-1 -4 -2
-2 -1
1 2 1 -11 1
∴ 𝑟(𝑥) = −11𝑥 + 1
2.Determine “𝑎 + 𝑏 + 𝑝” si el polinomio:
𝑥4
+ 3𝑥3
+ 𝑎𝑥2
+ 2𝑥 + 𝑝
al dividir por 𝑥2
+ 𝑏𝑥 − 2 tiene el resto de
la forma 7𝑥 + 7
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
Por Revisar!!!
𝑥

6. 3.Determinar 𝑚 + 𝑛 para que el polinomio:
4𝑥4
+ 2𝑥3
− 𝑚𝑥2
+ 3𝑥 + 𝑛
Sea divisible por 𝑥2
− 2𝑥 + 1
A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20
Resolución:
1 4 2 −𝑚 3 𝑛
2 8 -4
-1 20 -10
32-2m m-16
4 10 16-m 0 0
Ahora:
• 3 − 10 + 32 − 2𝑚 = 0
• 𝑛 + 𝑚 − 16 = 0; 𝑚 + 𝑛 = 16
4.Luego de efectuar la división, halle la suma
de los coeficientes del cociente.
12𝑥5
− 5𝑥4
+ 12𝑥3
+ 11𝑥2
− 13𝑥 + 3
3𝑥 + 1
A) 1 B) 8 C) 4 D) 3 E) 2
Resolución:
Por Ruffini:
• 3𝑥 + 1 = 0; 𝑥 = −1/3
12 -5 12 11 -13 3
−1/3 -4 3 -5 -2 5
12 -9 15 6 -15 8
Como 3𝑥 + 1; (𝑎 = 3 ≠ 1) para obtener el
cociente se deberá dividir entre 3
𝑄(𝑥) = 4𝑥4
− 3𝑥3
+ 5𝑥2
+ 2𝑥 − 5
𝑆𝐶𝐶 = 4 − 3 + 5 + 2 − 5 = 3

7. 5.Si la división:
𝑚𝑥4
+ 𝑛𝑥3
+ 𝑥2
− 𝑥 − 6
𝑥2 − 𝑥 + 2
es exacta, entonces el valor de 𝑚2
+ 𝑛2
es:
A) 5 B) 10 C) 15 D) 37 E) 40
Resolución:
Cuando una división es exacta, se puede
realizar ordenando los polinomios en forma
creciente, es decir:
−6 − 𝑥 + 𝑥2
+ 𝑛𝑥3
+ 𝑚𝑥4
2 − 𝑥 + 𝑥2
2 -6 -1 1 n m
1 -3 3
-1 -2 2
1 -1
-3 -2 1 0 0
Luego:
𝑚 = 1; 𝑛 = −3
Se pide:
𝑚2
+ 𝑛2
= (1)2
+ (−3)2
= 10

8. 6. Dividir:
(4𝑥5
+ 3𝑥2
− 2𝑥3
+ 2𝑥 − 1) ÷ (𝑥 − 3)
e indique la suma de los coeficientes del
cociente.
A) 160 B) 801 C) 401 D) 28 E) 472
Resolución:
Ordenando y completando la división:
4𝑥5
+ 0𝑥4
− 2𝑥3
+ 3𝑥2
+ 2𝑥 − 1
𝑥 − 3
Por Ruffini:
• 𝑥 − 3 = 0; 𝑥 = 3
4 0 -2 3 2 -1
3 12 36 102 315 951
4 12 34 105 317 950
𝑆𝐶𝐶 = 4 + 12 + 34 + 105 + 317 = 472
7. Hallar el residuo de la siguiente división:
3𝑥5
− 2𝑥4
+ 3𝑥2
+ 7𝑥 − 11
𝑥 − 2
A) 79 B) 80 C) 85 D) 90 E) 1
Resolución:
completando la división:
3𝑥5
− 2𝑥4
+ 0𝑥3
+ 3𝑥2
+ 7𝑥 − 11
𝑥 − 2
Por Ruffini
• 𝑥 − 2 = 0; 𝑥 = 2
3 -2 0 3 7 -11
2 6 8 16 38 90
3 4 8 19 45 79

9. 8. Si la división:
𝑚𝑥5
+ 𝑛𝑥4
+ 𝑝𝑥3
+ 5𝑥2
+ 9
2𝑥2 − 2𝑥 + 3
es exacta y arroja un cociente cuya suma de
coeficiente es 10, calcule el valor de:
𝑀 = √𝑚 + 𝑛 + 𝑝
𝑚+𝑛+𝑝
A) 2 B) √2 C) √2
4
D)√2
3
E) 0

10. 9. Hallar el resto de:
(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)(𝑥 + 4) + 𝑥2
− 4
𝑥2 + 5𝑥 − 1
A) 𝑥 + 12 B) 7 C) 2𝑥 − 7
D) −5𝑥 + 3 E) −5𝑥 + 32
Resolución:
Se sabe que:
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2
+ (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏
Se tiene:
(𝑥 + 1)
⏟ (𝑥 + 2)
⏞ (𝑥 + 3)
⏞ (𝑥 + 4)
⏟ + 𝑥2
− 4
𝑥2 + 5𝑥 − 1
(𝑥2
+ 5𝑥 + 4)(𝑥2
+ 5𝑥 + 6) + 𝑥2
− 4
𝑥2 + 5𝑥 − 1
Ahora se usará un cambio de variable
𝑥2
+ 5𝑥 = 𝑎; 𝑥2
= 𝑎 − 5𝑥
Reemplazando:
(𝑎 + 4)(𝑎 + 6) + 𝑎 − 5𝑥 − 4
𝑎 − 1
Por Teorema del Resto:
• 𝑎 − 1 = 0; 𝑎 = 1
• 𝑟 = (1 + 4)(1 + 6) + 1 − 5𝑥 − 4
𝑟 = 35 + 1 − 5𝑥 − 4
𝑟 = −5𝑥 + 32

11. 10. Hallar el resto en la división:
(√3 + √2)𝑥4
− (1 + √2 − √3)𝑥3
+ 2√6 − (4 − 2√6)𝑥2
𝑥 − √3 + √2
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) –1
Resolución:
Ordenando y completando:
(√3 + √2)𝑥4
− (1 + √2 − √3)𝑥3
− (4 − 2√6)𝑥2
+ 0𝑥 + 2√6
𝑥 − √3 + √2
Por Ruffini:
• 𝑥 − √3 + √2 = 0; 𝑥 = √3 − √2
√3 + √2 −1 − √2 + √3 −4 + 2√6 0 2√6
√3 − √2 1 5 − 2√6 √3 − √2 5 − 2√6
√3 + √2 √3 − √2 1 √3 − √2 5
• (√3 + √2)(√3 − √2) = √3
2
− √2
2
= 1
• (√3 − √2)
2
= √3
2
− 2√3√2 + √2
2
= 5 − 2√6
11. El resto de la división:
𝑥50
− 3𝑥40
+ 3𝑥5
− 1
(𝑥2 + 1)(𝑥2 − 1)
es 𝑅(𝑥), hallar 𝑅(2)
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14
12. En la división:
𝑎𝑥4
− 𝑎𝑥3
+ 𝑎𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 − 1
el residuo es 4. Hallar la suma de
coeficientes del dividendo
A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25

12. 13. Determine el residuo de dividir:
𝑥182
+ 182 entre 𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥 + 1
A) 𝑥2
+ 193 B) 𝑥2
+ 182 C) 𝑥2
+ 183
D) 𝑥2
+ 192 E) 183
14. Calcule el residuo de la
división:
𝑥4𝑛+7
+ (𝑥 − 1)2𝑛+5
+ 3
𝑥2 − 𝑥 + 1
(“𝑛” entero positivo)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 𝑥𝑛
+ 3
15. Determine el resto de dividir:
2𝑥119
+ 1
𝑥2 − 𝑥 + 1
A) 𝑥 − 3 B) 4 − 2𝑥 C) 3– 2𝑥
D) 2𝑥 − 3 E) 3 − 𝑥
EVALUACIÓN DE CLASE
1. Determine el resto que se obtiene al dividir:
(𝑥 − 3)11
+ (𝑥 − 4)11
+ 7
𝑥2 − 7𝑥 + 12
A) 2𝑥 B) 3𝑥 + 2 C) 2𝑥 + 3
D) 3𝑥 E) 2

13. 2. Cuando el polinomio:
15𝑥4
+ 𝐴𝑥3
+ 𝐵𝑥2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷
se divide entre 5𝑥2
− 𝑥 + 3, se obtiene un
cociente cuyos coeficientes disminuyen de uno
en uno a partir del primer término y deja un
resto igual a 2𝑥 − 9.
Halle 𝐴 + 𝐵 − 𝐶 + 2𝐷
A) 7 B) – 6 C) 12 D) – 7 E) 0
3. Hallar el valor de “n” si al dividir
2𝑥3
+ 𝑛𝑥2
+ 𝑛𝑥 + 1
𝑛𝑥 + 2𝑛
se obtiene como resto 5.
A) 2 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12
4. En la división:
3𝑎𝑥3
+ (2𝑎 − 3)𝑥2
+ 6𝑥 + 4
𝑎𝑥 − 1
La suma de coeficientes del cociente es 10.
Calcule el residuo.
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15
5. Determinar el valor de “m” para que el
polinomio:
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
+ 𝑚(𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 − 𝑦𝑧)

14. sea divisible por (𝑥 + 𝑦 − 𝑧)
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
RESPONSABLE:
PROF: BEATRIZ POMA CALDERÓN
COORDINADOR DEL CURSO
PROF. JOSE LUIS APEÑA ENRIQUE