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MATRIZESMATRIZES

2. Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela formada por m.n
elementos dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes
são representadas através de parênteses ( ), colchetes [ ] ou
através de barras duplas || ||
EXEMPLOS
















−
−
=
12
36
28
13
02
A 





−
−
=
313
524
B
5x2
2x3
A = (aij) mxn

3. Notação Condensada
• Construir a matriz A = (aij)3x2, em que
aij = 3i – j.
a32a31
a22a21
a12a11
A =
aij = 3i – j
a11 = 3.1 – 1 = 2 a12 = 3.1 – 2 = 1
a21 = 3.2 – 1 = 5 a22 = 3.2 – 2 = 4
a31 = 3.3 – 1 = 8 a32 = 3.3 – 2 = 7
78
45
12
A =

4. TIPOS DE MATRIZES
MATRIZ QUADRADA (An)










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
DIAGONAL
PRINCIPAL
i = j
DIAGONAL
SECUNDÁRIA
i + j = n + 1
TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ
Seja A uma matriz de ordem m x n,
denomina-se transposta de A a matriz de
ordem n x m obtida, trocando-se de forma
ordenada as linhas pelas colunas.
Representa-se por At






049
132
A2x3 = At
3x2 =










01
43
92










085
813
532
A =
SIMÉTRICA
A = At










08-5
803-
5-30
A =
ANTI SIMÉTRICA
A = - At

5. MATRIZ IDENTIDADE (In)










100
010
001
DIAGONAL
PRINCIPAL
IGUAL A UM
DEMAIS
ELEMENTOS
IGUAIS A
ZERO
I3 =
ASSINALE V OU F
O número de elementos de uma matriz quadrada
de ordem 12 é 48.
UFSC - 2003
( )F
UFSC - 2005
V( )
UFSC - 2009
( )V
UFSC - 2006
V( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a
soma dos elementos da diagonal principal
de uma matriz quadrada L; então
tr(L) = tr(Lt).NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO
DE MATRIZES
A.I = A
B.I = B
C.I = C

6. ASSINALE V OU F
UFSC - 2005
( )F

7. OPERAOPERAÇÇÕESÕES
ADIADIÇÇÃO E SUBTRAÃO E SUBTRAÇÇÃOÃO
nxmnxmnxm CBA =±






−
+





124
016
842
123






=
926
139
Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
Comutativa: A + B = B + A
(A + B)t = At + Bt
MULTIPLICAMULTIPLICAÇÇÃOÃO
DE UM NDE UM NÚÚMEROMERO
POR UMA MATRIZPOR UMA MATRIZ
23
1–2
M =
3.M =
3.23.3
3.13.–2
=
69
3–6
3.M

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OPERAOPERAÇÇÕES COM MATRIZESÕES COM MATRIZES

9. PRODUTO DE MATRIZES
pxmpxnnxm CB.A =
nn=
OPERAOPERAÇÇÕESÕES

10. 4
1
–22
0–3
6–2
53
2–1
B =A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6







11. 4
1
–22
0–3
6–2
53
2–1
B =A =
–3.(–1) + 1.3 + 0.(–2) –3.2 + 1.5 + 0.6






2.(–1) + 4.3 + (–2).(–2) 2.2 + 4.5 + –2 .6





 −
=
1214
16
A.B

12. PRODUTO DE MATRIZES
pxmpxnnxm CB.A =
nn=
Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou
seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A ≠ 0 B ≠ 0.
.
00
11






=





−10
10 0 0
0 0






Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou
seja, geralmente A.B ≠≠≠≠ B.A .
A.I = I.A = A
A2 = A.A
OPERAOPERAÇÇÕESÕES

13. ( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p,
respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que
for correto.
01. n.r = m.p
02. m = r + 1
04. p = 2m
08. n = r
16. n + r = p + m
GABARITO: 18

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DETERMINANTESDETERMINANTES -- CCÁÁLCULOLCULO

16. DETERMINANTESDETERMINANTES
CÁLCULO – 2ª ORDEM
a22
a12
a21
a11
= a11 . a22 – a12 . a21
15
32
det A = = 2.1 – 3.5 = 2 – 15 = –13
4–1
2–5
det B = = (–5).4 – 2.(–1) = –18

18. GABARITO: 05

19. DETERMINANTESDETERMINANTES
CÁLCULO – 3ª ORDEM
a33a32a31
a23
a13
a22a21
a12a11
a32a31
a22a21
a12a11
Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
– a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
31–2
0
2
24
–31
A =
31–2
0
2
24
–31
1–2
24
–31
6 + 0 + 8 + 8 – 0 + 36
det A = 58
det A =

20. ( UEL – 2010 – SEGUNDA FASE ) O determinante da matriz








−
x0x
0x2
021
é positivo se:
a) x > −4
b) x < 0
c) x < 2
d) x < −4 ou x > 0
e) x > −2 ou x < −6
CÁLCULO – 3ª ORDEM
a33a32a31
a23
a13
a22a21
a12a11
a32a31
a22a21
a12a11
Det A = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32
– a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33

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DETERMINANTESDETERMINANTES -- PROPRIEDADESPROPRIEDADES

22. 1) CASOS ONDE O DETERMINANTE É NULO
0 3 9
0 8 3
0 4 1
0− =
0
241
2104
152
=
0
141
383
939
=−
0
743
189
431
=−
Fila de elementos
Igual a zero
2 Filas paralelas
Iguais
2 Filas paralelas
proporcionais
Uma das filas é a
soma de duas
outras
2) Se trocarmos a posição de duas filas paralelas, o determinante
trocará de sinal.

23. 3) Se multiplicarmos uma fila por um número real, o determinante será
multiplicado por esse número.
4) Seja k, um número real e A uma matriz de ordem n
det (k.A) = kn. det A
Gabarito: -48
5) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua
transposta.

24. 6) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal.
Gabarito: 70
7) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do produto de
A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo determinante da
matriz B, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B)
Gabarito: 70

25. IFSC - 2013
Após assistir a uma aula sobre determinantes de matrizes, Pedro decidiu
codificar sua senha bancária. A senha é composta pelos números A, B, C
e D, justapostos nessa ordem e codificados através dos determinantes
abaixo:
10000
01000
00400
00020
00003
D
20168
1284
3342
2021
C
1000
11200
32830
25171
B
121
213
421
A
−
−
=
−
−−
−−
−
=
−
−
==
Sobre a senha de Pedro, assinale no cartão-resposta o número correspondente à
proposição correta ou à soma das proposições corretas.
01. A senha possui dois dígitos nulos.
02. A senha possui seis dígitos.
04. O último dígito da senha é zero.
08. Os dígitos da senha estão em ordem crescente.
16. A + B +C + D = 45 .
32. Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5.
Gabarito: 50

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MATRIZ INVERSAMATRIZ INVERSA

28. MATRIZ INVERSA
A . A-1 = In
detA
1
detA 1
=−
• Se det A ≠ 0 a matriz possui
inversa, sendo assim chamada
de inversível.
• Se det A = 0 a matriz não
admite inversa é chamada de
singular.
ASSINALE V OU F
UFSC - 2001
( )F
UFSC - 2004
( )V
UFSC - 2013
( )V

29. MATRIZ INVERSA
A . A-1 = In
detA
1
detA 1
=−
• Se det A ≠ 0 a matriz possui
inversa, sendo assim chamada
de inversível.
• Se det A = 0 a matriz não
admite inversa é chamada de
singular.
ASSINALE V OU F
UFSC - 2011
( )V
UFSC - 2011
( )F

30. UEL – 2010
UDESC – 2009

32. Regra de Chió Abaixamento de ordem de
um determinante
A =
1 2 4 2
3 7 5 6
1 10 4 5
3 8 2 3
 
 
 
 −
 
 
7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2)
10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2)
8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2)
− − − 
 − − − − 
 − − − 
det A= (-1)1+1
1 7 0
8 8 3
2 10 3
− 
 − 
 − − 
det A = - 4
1) Procurar o elemento 1 na matriz.
2) Eliminamos a linha e a coluna em que se encontra o número 1.
3) Formamos uma nova matriz com os elementos restantes.
4) De cada elemento restante subtrai-se o produto dos números da linha
e da coluna eliminada, que estão nos pés das perpendiculares traçadas
desses elementos.
5) O determinante é o produto do número (-1)i + j pelo determinante da
matriz resultante

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SISTEMAS LINEARESSISTEMAS LINEARES

34. REGRA DE CRÄMER
x = y = z =∆∆∆∆x
∆∆∆∆s
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s
∆∆∆∆z
∆∆∆∆s
Resolver o sistema abaixo usando a regra
de Crämer



=−
=+
7y2x
142y3x
∆s = ∆x = ∆y =
17
214
−12
23
− 72
143
∆S = - 7 ∆x = - 28 ∆y = - 7
y =
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s
x =
∆∆∆∆x
∆∆∆∆s
14
7
7
7
28
==
−
−
=
−
−
=
yx
yx
Solução: {(4,1)}



=−
=+
712(4)
142(1)3(4)
De fato:

35. x = y = z =∆∆∆∆x
∆∆∆∆s
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s
∆∆∆∆z
∆∆∆∆s
Determine as raízes do sistema
S =





=+−
=+−
−=−+
3zy2x
1zy
32zyx
112
110
211
−
−
−
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x == - 2
113
111
213
−
−
−−
= - 2
132
110
23-1 −
∆∆∆∆y = ∆∆∆∆z == - 4
312
110
311
−
−
−
= - 6
y =
∆∆∆∆y
∆∆∆∆s
x =
∆∆∆∆x
∆∆∆∆s
321
2
6
2
4
2
2
===
−
−
=
−
−
=
−
−
=
zyx
zyx
Solução: {(1,2,3)}
z =
∆∆∆∆z
∆∆∆∆s

36. PUC – PR

37. A figura a seguir mostra os cartazes da loja de eletrodomésticos “PREÇO BOM”,
que está fazendo uma promoção de venda “casada” para vender dois
eletrodomésticos. Com base nos dados fornecidos pelos cartazes, determine o
valor, em reais, da décima parte do preço do forno de microondas.
UFSC – SC

38. Um agricultor comprou mudas de acerola, banana e maracujá, pelos
respectivos preços: R$3,00, R$2,00, R$1,00. Sabendo-se que ele gastou
um total de R$ 69,00 e que as mudas que custaram menos de R$3,00,
cada uma, são num total de 4, quantas mudas ele comprou?
a – acerola
b – banana
m - maracujá
3a + 2b + m= 69
b + m = 4
m = 4 - b
3a + 2b + 4 – b = 69
3a + b = 65
3
b65
a
−
=
0 < b < 4
b só pode ser 2
Então, a = 21
m = 4 - 2
m = 2 Portanto: a + b + m = 25

39. RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃO POR ESCALONAMENTOÃO POR ESCALONAMENTO



−=+
=+−
1zy
22zyx





=++
=++
=++
72zyx-
204z3y2x
6zyx





=+
=+
=++
52z3x
2zy-x
1zy2x
SISTEMA 1: SOLUÇÃO: S = {(5, 1, 2)}
SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO
SISTEMA 2:





=−
=++
=+
1zy
1zy2x
1yx





=
−=−
=+−
63z
1zy
6zyx
SOLUÇÃO: S = {(1-3k, -1-k, k)}
SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO
SISTEMA 3:
SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO
SOLUÇÃO: S = {(1, 2, 3)}
SISTEMA 4:
SISTEMA IMPOSSÍVEL
NÃO POSSUI SOLUÇÃO
SISTEMA 5:
SOLUÇÃO: S = {(-k, k+1, k)}
SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO

40. 


=+
=+
62y2x
3yx
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =
26
13
22
11
62
31
∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0



=−
=+
7y2x
142y3x
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =
17
214
−12
23
− 72
143
∆∆∆∆S = - 7 ∆∆∆∆x = - 28 ∆∆∆∆y = - 7



=+
=+
54y4x
3yx
∆∆∆∆s = ∆∆∆∆x = ∆∆∆∆y =
45
13
44
11
54
31
∆∆∆∆S = 0 ∆∆∆∆x = 7 ∆∆∆∆y = - 7
Soluções: {(2,1); (3,0); (4,-1)....}
Solução: {(4,1)}
Não há solução
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0
Sistema Possível Determinado
Sistema Possível Indeterminado Sistema Impossível
RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃO POR CRAMERÃO POR CRAMER

41. ( UFSC ) Para que o sistema abaixo seja
impossível, o valor de a é:





=++
=++
=++
32zyx
2azyx
14z3yx
0
211
a11
431
= a = 2
POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0
( UEPG-PR ) O sistema linear é:





=++
=++
=++
b4z2y3x
33zyax
2zyx
01. impossível para a≠≠≠≠ 2 e b = 5
02. impossível para a = 2 e b ≠≠≠≠ 5
04. possível e determinado para
a = 2 ∀∀∀∀ b ∈∈∈∈ R
08. possível e indeterminado para
a = 2 e b = 5
16. possível e determinado para a ≠≠≠≠ 2
GABARITO: 26

42. POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO
∆∆∆∆s ≠≠≠≠ 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x = 0 ∆∆∆∆y = 0
∆∆∆∆s = 0 ∆∆∆∆x ≠≠≠≠ 0 ou ∆∆∆∆y ≠≠≠≠ 0
EXERCÍCIOS UFSC – ASSINALE V ou F
( ) UFSC – 2005 O par ordenado (5, 2) é a única solução do sistema



=+
=+
276y3x
92yx
FF
( ) UFSC – 2012FF
( ) UFSC - 2012FF

43. POSSÍVEL
IMPOSSÍVEL
Admite solução
Não admite solução
DETERMINADO
INDETERMINADO

44. GABARITO: 09

45. RESOLURESOLUÇÇÃO E CLASSIFICAÃO E CLASSIFICAÇÇÃOÃO
NNººEQUAEQUAÇÇÕESÕES ≠≠ NNººDE INCDE INCÓÓGNITASGNITAS
GABARITO: 11

46. SISTEMAS HOMOGÊNEOSSISTEMAS HOMOGÊNEOS
GABARITO: 09

47. (ACAFE – 2012.1) Dado o sistema de equação abaixo, analise as
afirmações a seguir.








=+−+−
=−−+−
=−−−−
=−+++
=+−+−
0aw2z3y2x2v
0wzyx3v
0wzyxv
0wzyxv
0wzyxv I. O sistema é homogêneo.
II. O sistema será possível e indeterminado para
qualquer valor de a.
III. O sistema não admite a solução trivial.
IV. O sistema será possível e determinado para
a = - 2
GABARITO: A