2. Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), m, n ≥ 1, é uma
disposição tabular formada por m.n elementos dispostos em
m linhas e n colunas. As matrizes são representadas através
de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras
duplas || ||
4. TIPOS DE MATRIZES
MATRIZ QUADRADA (An)
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
DIAGONAL
PRINCIPAL
i = j
DIAGONAL
SECUNDÁRIA
i + j = n + 1
TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ
Seja A uma matriz de ordem m x n,
denomina-se transposta de A a matriz de
ordem n x m obtida, trocando-se de forma
ordenada as linhas pelas colunas.
Representa-se por At
049
132
A2x3 = At
3x2 =
01
43
92
085
813
532
A =
SIMÉTRICA
A = At
08-5
803-
5-30
A =
ANTI SIMÉTRICA
A = - At
5. MATRIZ IDENTIDADE (In)
100
010
001
DIAGONAL
PRINCIPAL
IGUAL A UM
DEMAIS
ELEMENTOS
IGUAIS A
ZERO
I3 =
ASSINALE V OU F
O número de elementos de uma matriz quadrada
de ordem 12 é 48.
UFSC - 2003
( )F
UFSC - 2005
V( )
UFSC - 2009
( )V
UFSC - 2006
V( ) Chamamos “traço de L” e anotamos tr(L) a
soma dos elementos da diagonal principal
de uma matriz quadrada L; então
tr(L) = tr(Lt
).
NEUTRA NA MULTIPLICAÇÃO
DE MATRIZES
A.I = A
B.I = B
C.I = C
7. OPERAÇÕESOPERAÇÕES
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃOADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
nxmmxnnxm CBA =±
−
+
124
016
842
123
=
926
139
Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
Comutativa: A + B = B + A
(A + B)t
= At
+ Bt
MULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃO
DE UM NÚMERODE UM NÚMERO
POR UMA MATRIZPOR UMA MATRIZ
–2 1
3 2
M =
3.M =
3.23.3
3.13.–2
=
–6 3
9 6
3.M
11. PRODUTO DE MATRIZES
pxmpxnnxm CB.A =
nn =
Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento, ou
seja podemos ter A.B = 0 mesmo com A ≠ 0 B ≠ 0.
.
00
11
=
−10
10 0 0
0 0
Na multiplicação de matrizes não vale a COMUTATIVIDADE, ou
seja, geralmente A.B ≠ B.A .
A.I = I.A = A
A2
= A.A
OPERAÇÕESOPERAÇÕES
12. ( UEPG – 2010 ) As matrizes A, B e C são do tipo m x 4, n x r e 5 x p,
respectivamente. Se a matriz transposta de (AB)C é do tipo 3 x 6, assinale o que
for correto.
01. n.r = m.p
02. m = r + 1
04. p = 2m
08. n = r
16. n + r = p + m
GABARITO: 18
16. ( UEL – 2010 – SEGUNDA FASE ) O determinante da matriz
−
x0x
0x2
021
é positivo se:
a) x > −4
b) x < 0
c) x < 2
d) x < −4 ou x > 0
e) x > −2 ou x < −6
17. 1) CASOS ONDE O DETERMINANTE É NULO
0 3 9
0 8 3
0 4 1
0− =
0
241
2104
152
=
0
141
383
939
=−
0
743
189
431
=−
Fila de elementos
Igual a zero
2 Filas paralelas
Iguais
2 Filas paralelas
proporcionais
Uma das filas é a
soma de duas
outras
2) Se trocarmos a posição de duas filas paralelas, o determinante
trocará de sinal.
18. 3) Se multiplicarmos uma fila por um número real, o determinante será
multiplicado por esse número.
4) Seja k, um número real e A uma matriz de ordem n
det (k.A) = kn
. det A
Gabarito: -48
5) O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua
transposta.
19. 6) O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal.
Gabarito: 70
7) Se A e B são duas matrizes de ordem n o determinante do produto de
A por B é o produto dos determinantes da matriz A pelo determinante da
matriz B, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B)
Gabarito: 70
20. IFSC - 2013
Após assistir a uma aula sobre determinantes de matrizes, Pedro decidiu
codificar sua senha bancária. A senha é composta pelos números A, B, C
e D, justapostos nessa ordem e codificados através dos determinantes
abaixo:
10000
01000
00400
00020
00003
D
20168
1284
3342
2021
C
1000
11200
32830
25171
B
121
213
421
A
−
−
=
−
−−
−−
−
=
−
−
==
Sobre a senha de Pedro, assinale no cartão-resposta o número correspondente à
proposição correta ou à soma das proposições corretas.
01. A senha possui dois dígitos nulos.
02. A senha possui seis dígitos.
04. O último dígito da senha é zero.
08. Os dígitos da senha estão em ordem crescente.
16. A + B +C + D = 45 .
32. Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5.
Gabarito: 50
21.
22. MATRIZ INVERSA
A . A-1
= In
detA
1
detA 1
=−
• Se det A ≠ 0 a matriz possui
inversa, sendo assim chamada
de inversível.
• Se det A = 0 a matriz não
admite inversa é chamada de
singular.
ASSINALE V OU F
UFSC - 2001
( )F
UFSC - 2004
( )V
UFSC - 2013
( )V
23. MATRIZ INVERSA
A . A-1
= In
detA
1
detA 1
=−
• Se det A ≠ 0 a matriz possui
inversa, sendo assim chamada
de inversível.
• Se det A = 0 a matriz não
admite inversa é chamada de
singular.
ASSINALE V OU F
UFSC - 2011
( )V
UFSC - 2011
( )F
26. Regra de Chió Abaixamento de ordem de
um
determinante
A =
1 2 4 2
3 7 5 6
1 10 4 5
3 8 2 3
−
7 (3.2) 5 (3.4) 6 (3.2)
10 (1.2) 4 (1.4) 5 (1.2)
8 (3.2) 2 (3.4) 3 (3.2)
− − −
− − − −
− − −
det A= (-1)1+1
1 7 0
8 8 3
2 10 3
−
−
− −
det A = - 4
1) Procurar o elemento 1 na matriz.
2) Eliminamos a linha e a coluna em que se encontra o número 1.
3) Formamos uma nova matriz com os elementos restantes.
4) De cada elemento restante subtrai-se o produto dos números da linha
e da coluna eliminada, que estão nos pés das perpendiculares traçadas
desses elementos.
5) O determinante é o produto do número (-1)i + j
pelo determinante da
matriz resultante
![Uma matriz do tipo m x n (lê-se: m por n), m, n ≥ 1, é uma
disposição tabular formada por m.n elementos dispostos em
m linhas e n colunas. As matrizes são representadas através
de parênteses ( ), colchetes [ ] ou através de barras
duplas || ||](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)