1) O documento descreve conceitos básicos de ângulos e classificação de ângulos;
2) Apresenta os tipos de ângulos em triângulos e polígonos regulares e suas propriedades;
3) Discutem segmentos notáveis em triângulos e áreas de figuras planas como triângulos, círculos e suas partes.
2. O
A
B
O →→→→ vértice do ângulo
AO e OB lados do ângulo
αααα
Ângulo AÔB = αααα
ÂNGULOSÂNGULOS
O
A
B
AGUDO
0º < αααα < 90ºαααα
ÂNGULOSÂNGULOS -- CLASSIFICACLASSIFICAÇÇÃOÃO
O
A
B
RETO
m(AÔB) = 90º
OBTUSO
90º < ββββ < 180º
O
A
B
ββββ
3. 2 ÂNGULOS PODEM SER:2 ÂNGULOS PODEM SER:
O
ββββ
αααα + ββββ = 90º
αααα
COMPLEMENTARES SUPLEMENTARES REPLEMENTARES
O
αααα
αααα + ββββ = 180º
ββββ
O
αααα
ββββ
αααα + ββββ = 360º
x°
80°
30°
SuplementoComplemento Replemento
60° 150° 330°
10° 100° 280°
90°- x 180°- x 360°- x
8. ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO
AAAA
CCCC
BBBB
A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
αααα
A
C
B
αααα ==== AAAA ++++ BBBB
9. f
A
C
B
e = A + Be = A + Be = A + Be = A + B
g
e
f = A + Cf = A + Cf = A + Cf = A + C
g = B + Cg = B + Cg = B + Cg = B + C
ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO
AAAA
CCCC
BBBB
A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNOTEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
10. B
A
D
76º 115º
C
x
y y
76 + y = 11576 + y = 11576 + y = 11576 + y = 115 y = 39y = 39y = 39y = 39ºººº⇒⇒⇒⇒
115 + y = x115 + y = x115 + y = x115 + y = x
115 + 39 = x115 + 39 = x115 + 39 = x115 + 39 = x
x = 154x = 154x = 154x = 154ºººº⇒⇒⇒⇒
Exemplo
• Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD.
Calcular a medida x do ângulo indicado.
11. ÂNGULOS NUM TRIÂNGULOÂNGULOS NUM TRIÂNGULO
A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180A + B + C = 180ºººº
αααα
A
C
B
αααα ==== AAAA ++++ BBBB
CASOS IMPORTANTESCASOS IMPORTANTES
xxxxxxxx
xxxx
60°
60°
60°
EQUILEQUILÁÁTEROTERO ISISÓÓSCELESSCELES
xxxxxxxx
RETÂNGULORETÂNGULO
αααα
ββββ
αααα ++++ ββββ = 90= 90= 90= 90°°°°
13. ESTUDO DOS POLESTUDO DOS POLÍÍGONOSGONOS Lados AB, AC, CD, DE, EF e FA.
Os vértices A, B, C, D, E e F.
Os ângulos internos A, B, C, D, E e F.
αααα é ângulo externo relativo ao vértice A.
Diagonal BD.
A
B C
D
EF
α
15. ESTUDO DOS POLESTUDO DOS POLÍÍGONOSGONOS
A
B C
D
EF
α
d =
n(n – 3)
2
NNÚÚMERO DE DIAGONAISMERO DE DIAGONAIS
PolPolíígonos Regulares com n ladosgonos Regulares com n lados
n par:n par: n/2 diagonais passamn/2 diagonais passam
pelo centropelo centro
nn íímpar:mpar: não hnão háá diagonais quediagonais que
passam pelo centropassam pelo centro
ÂNGULO NOS POLÂNGULO NOS POLÍÍGONOSGONOS
A2
A3
A4
A5
An
A1
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
Si = 180°(n – 2)
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
Se = 360°
ai + ae = 180°
ai
ae
16. ÂNGULO NOS POLÂNGULO NOS POLÍÍGONOSGONOS
A2
A3
A4
A5
An
A1
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS
Si = 180°(n – 2)
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOSSOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS
Se = 360°
ai + ae = 180°
ai
ae
d =
n(n – 3)
2
POLPOLÍÍGONOS REGULARESGONOS REGULARES
B
A
C
D
EF
ai
ai
ai ai
ai
ai
ai =
Si
n
ae =
Se
n
17. ÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIAÂNGULOS NUMA CIRCUNFERÊNCIA
O
A
B
ββββββββ
P
αααααααα
m(APB) = ββββ =
αααα
2
P
A
B
Q
R
m(APB) = m(AQB) = m(ARB) =
AB
2
21. TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIÂNGULO RETÂNGULO –– RELARELAÇÇÕES MÕES MÉÉTRICASTRICAS
a2 = b2 + c2HIP2 = CAT2 + CAT2
CAT1 . CAT2 = HIP . ALT b . c = a . h
CAT2 = HIP . PROJ b2 = a . n
ALT2 = PROJ1 . PROJ2
c2 = a . m
h2 = m . n
22. POLPOLÍÍGONOS REGULARESGONOS REGULARES –– TRIÂNGULO EQUILTRIÂNGULO EQUILÁÁTEROTERO
O
A B
a
L
C
LLh
60°°°°
4
3L
A
2
=
2
3L
h =
.h
3
1
a =
.h
3
1
r =
.h
3
2
R =
O
r
O
R
24. TRIÂNGULO EQUILTRIÂNGULO EQUILÁÁTERO e QUADRADOTERO e QUADRADO
O
A B
a= r
L
C
LLh
60°°°°
4
3L
A
2
=
2
3L
h =
R
.h
3
1
r = .h
3
2
R =
2
LA =2Ld =
O
A B
r
R
L
CD
L
L
L
.L
2
1
r =
2
2L
R =
25. O
a
LA B
POLPOLÍÍGONOS REGULARESGONOS REGULARES –– HEXHEXÁÁGONO REGULARGONO REGULAR
C
DE
F
L
L
L
L
L
120°°°°
LL
2
3L
a =
2
3L
r =
O
r
4
3L
6A
2
=
4
3L
6.A
2
=
O
R
R = L
26. ÁÁREA DE FIGURAS PLANASREA DE FIGURAS PLANAS
b
h
2
b.h
A =
c)b).(pa).(pp(pA −−−=
α.sen
2
b.a
A =
a
c
αααα
b
TRIÂNGULOSTRIÂNGULOS
h A = b.ha
b
a A = b.a
D
d
2
D.d
A =
2
b).h(B
A
+
=
B
b
h
27. CCÍÍRCULO E SUAS PARTESRCULO E SUAS PARTES
O
R A = ππππR2
COROA CIRCULARCOROA CIRCULAR
A = ππππ(R2 - r2)
SETOR CIRCULARSETOR CIRCULAR
°
=
360
Rπα 2
A
SEGMENTO CIRCULARSEGMENTO CIRCULAR
A = ASETOR – ATRIÂNGULO