Basica

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MATEMMATEMÁÁTICA BTICA BÁÁSICASICA
ARITMARITMÉÉTICA BTICA BÁÁSICASICA

CCÁÁLCULO DO M.M.CLCULO DO M.M.C
( UFSC – SC ) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A,
B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de
preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano
Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada
um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se
os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para
darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de
dias para o próximo alinhamento é: RESPOSTA: M.M.C (6, 10, 9) = 90
( UFSC – 2007 ) No ponto de ônibus da Praça X passa um ônibus para a
Linha Vermelha de 15 em 15 minutos e um ônibus para a Linha
Amarela de 25 em 25 minutos. Se os dois ônibus passaram juntos às
10 horas, na primeira vez em que voltarem a passar juntos pelo ponto
serão 10 horas e 40 minutos.
VERDADEIRO OU FALSO
RESPOSTA: FALSO

CCÁÁLCULO DO M.D.CLCULO DO M.D.C
Três rolos de arame que medem respectivamente 24m, 84m e 90m,
foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então
o comprimento de cada pedaço é:
RESPOSTA: M.D.C (24, 84, 90) = 6m

M.D.CM.M.CNúmeros
6 e 12 12 6
8 e 24 24 8
x e 2x; x ≠≠≠≠ 0 2x x
3 e 5 15 1
15 e 16 240 1Primos entre si
( UEPG – PR ) Considerando os números naturais p e q, diferentes de
zero, sobre o máximo divisor comum (m.d.c.) e o mínimo múltiplo
comum (m.m.c.), assinale o que for correto.
01. m.d.c. (p, 1) = p, se p ≠≠≠≠ 1
02. Se m.m.c. (p,q) = p.q então p e q são números primos.
04. Se p é múltiplo de q então m.m.c. (p, q) = p.
08. Se p é divisor de q então m.d.c. (p, q) = p.
16. m.m.c. (p, 2p) = 2p2
FF
FF
VV
VV
FF RESPOSTA:12

NNºº DE DIVISORES DE UM NDE DIVISORES DE UM NÚÚMEROMERO
QUANTIDADE DE
DIVISORES
INTEIROS
QUANTIDADE DE
DIVISORES
NATURAIS
NÚMERO
12 24
360 24 48
( UDESC – 2014 ) A quantidade de números naturais que são
divisores do mínimo múltiplo comum entre os números a = 540,
b = 720 e c = 1800 é igual a:
a) 75 b) 18 c) 30 d) 24 e) 60 RESPOSTA: e
108

FATORAFATORAÇÇÃOÃO

CASOS DE FATORACASOS DE FATORAÇÇÃOÃO
1) FATOR COMUM1) FATOR COMUM ax + bx = x(a + b)
Agrupamento:Agrupamento:
ax + bx + ay + by
x (a + b) + y (a + b)
(a + b)(x + y)
2) DIFEREN2) DIFERENÇÇA ENTRE 2 QUADRADOSA ENTRE 2 QUADRADOS
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
3) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO3) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

APLICAAPLICAÇÇÕESÕES
( UFSC 2012 ) O número A = 10150 – 1 é um múltiplo de 4.
VERDADEIRO OU FALSO
VERDADEIROVERDADEIRO
O número inteiro N = 1615 + 256 é divisível por 17.
VERDADEIROVERDADEIRO
1 1
N
32 10 7 32 10 7
= +
+ −
O número é um decimal ilimitado
periódico. Se N for escrtio sob a forma da fração
irredutível a/b então a + b é igual a: 1414

EQUAEQUAÇÇÕES DO 1ÕES DO 1ºº GRAUGRAU

FORMA: ax + b = 0FORMA: ax + b = 0
4
1
3
x
2
1x
:equaçãodaraizaDetermine =+
−

Complete as frases
I. Se x é um número real, então o triplo desse número é.....3x3x
II. Se x é um número real, então o quadrado desse
número é.....xx22
III. Se x é um número real, então a terça parte desse
número é..... xx
33
IV. Se n é um número inteiro, então a fórmula que
representa um número inteiro e par é.....2n2n
V Se n é um número inteiro, então a fórmula que
representa um número inteiro e ímpar é............2n + 12n + 1

I. Se x é um número inteiro, então o seu consecutivo
é..........x + 1x + 1
II. Se x é um número inteiro e par, então o seu
consecutivo é..........x + 2x + 2
III. Se x é um número inteiro e ímpar, então o seu
consecutivo é..........x + 2x + 2
IV. Se x é um número real, então o número que excede x
em 5 unidades é ..........x + 5x + 5
V. Se x e y são números reais, então a soma dos
quadrados desses dois números é ..........xx22 + y+ y22
VI. Se x e y são números reais, então a soma dos
quadrados desses dois números é ..........(x + y)(x + y)22

A soma das idades de um pai e seu filho é 38 anos. Daqui a
7 anos o pai terá o triplo da idade do filho. A idade do pai
será:
Gabarito: 39 anosGabarito: 39 anos
( UFSC 2014 ) Se a soma de quatro números primos
distintos é igual a 145, então o menor deles é 3.
VERDADEIRO OU FALSO
FALSOFALSO

SISTEMA DE EQUASISTEMA DE EQUAÇÇÕESÕES
DO 1DO 1ºº GRAUGRAU

ResoluResoluççãoão –– Exemplos:Exemplos:



=−
=+
9y2x
6yx
a)



=−
=+
32y7x
83y2x
b)
S = {(5, 1)}
S = {(1, 2)}






−=+
=−
4
y
5
x
2
9
y
3
x
1
c) S = {(1/3, -1/2)}

Rasgou-se uma das fichas onde foram registrados o consumo e a
despesa correspondente de três mesas de uma lanchonete, como
indicado abaixo.
UFRGSUFRGS -- RSRS
Nessa lanchonete, os sucos têm um preço único, e os sanduiches
também. O valor da despesa da mesa 3 é
a) R$ 5,50
b) R$ 6,00
c) R$ 6,40
d) R$ 7,00
e) R$ 7,20
Gabarito: aGabarito: a

UFSCUFSC –– SCSC
Pedro, Luiz, André e João possuem, juntos, 90 CDs. Se tirarmos a
metade dos CDs de Pedro, dobrarmos o número de CDs de Luiz,
tirarmos 2 CDs de André e aumentarmos em 2 o número de CDs de
João, eles ficarão com a mesma quantidade de CDs. Determine o
número inicial de CDs de André. Gabarito: 22Gabarito: 22
UFRGSUFRGS –– RSRS
O dispensador de dinheiro do caixa eletrônico de um banco foi
abastecido apenas com cedulas de R$5,00 e de R$20,00. Um cliente,
ao realizar um saque, constatou que o dispensador liberou 6 cedulas.
Entre elas, havia pelo menos uma de cada valor. Com base nesses
dados, é correto afirmar que a única alternativa que apresenta uma
quantia que poderia ter sido sacada pelo cliente é
a) R$ 90,00 b) R$ 95,00 c) R$ 100,00
d) R$ 110,00 e) R$ 120,00

EQUAEQUAÇÇÕES DO 2ÕES DO 2ºº GRAUGRAU

Forma: axForma: ax22
+ bx + c = 0; a+ bx + c = 0; a ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00
FFóórmula Resolutiva:rmula Resolutiva:
2a
Δbx ±−=
4acbΔ 2
−=
∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2
∆∆∆∆ = 0 x1 = x2
∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ
Exemplos:Exemplos:
a) 2xa) 2x22 –– 5x + 2 = 05x + 2 = 0
b) xb) x22 –– 6x + 9 = 06x + 9 = 0
c) xc) x22 –– 4x + 5 = 04x + 5 = 0
x1 = 2 ou x2 = 1/2
x1 = x2 = 3
x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ

+ bx + c = 0; a+ bx + c = 0; a ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00
2a
Δbx ±−=
4acbΔ 2
−=
∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2
∆∆∆∆ = 0 x1 = x2
∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ
UFPRUFPR -- PRPR
A soma das áreas dos três quadrados ao
lado é igual a 83 cm2. Qual é a área do
quadrado maior?
a) 36cm2 b) 20cm2 c) 49cm2 d) 42cm2
e) 64cm2
Gabarito: cGabarito: c

+ bx + c = 0; a+ bx + c = 0; a ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00
2a
Δbx ±−=
4acbΔ 2
−=
∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2
∆∆∆∆ = 0 x1 = x2
∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ
UDESCUDESC -- SCSC
a) 0,5cm
b) 1cm
c) 14,5cm
d) 0,25cm
e) 2cm
Para divulgar seus cursos de graduação,
uma Universidade deseja confeccionar
alguns panfletos. Sabe-se que as
dimensões de cada panfleto são 12 cm x
18 cm e que as margens superior, inferior,
direita e esquerda devem ser iguais a x
cm. Se a maior área de impressão em cada
panfleto é 187 cm2 , então x é igual a:

+ bx + c = 0; a+ bx + c = 0; a ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00
2a
Δbx ±−=
4acbΔ 2
−=
∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2
∆∆∆∆ = 0 x1 = x2
∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ
UFPRUFPR -- PRPR
a) R$ 55,00
b) R$ 60,00
c) R$ 65,00
d) R$ 70,00
e) R$ 75,00
Gabarito: bGabarito: b
Durante o mês de dezembro, uma loja de
cosméticos obteve um total de R$ 900,00 pelas
vendas de um certo perfume. Com a chegada do
mês de janeiro, a loja decidiu dar um desconto
para estimular as vendas, baixando o preço
desse perfume em R$ 10,00. Com isso, vendeu
em janeiro 5 perfumes a mais do que em
dezembro, obtendo um total de R$ 1.000,00 pelas
vendas de janeiro. O preço pelo qual esse
perfume foi vendido em dezembro era de:

FFóórmula de Bhrmula de Bhááskara: Demonstraskara: Demonstraççãoão
axax22 + bx + c = 0+ bx + c = 0
axax22 + bx =+ bx = -- cc MultiplicaMultiplica--se os dois membros por 4ase os dois membros por 4a
4a4a22xx22 + 4abx =+ 4abx = -- 4ac4ac AdicionaAdiciona--se bse b22 aos dois membrosaos dois membros
4a4a22xx22 + 4abx + b+ 4abx + b22 = b= b22 -- 4ac4ac
(2ax + b)(2ax + b)22 = b= b22 -- 4ac4ac
2a
4acbb
x
4acbb2ax
4acbb2ax
2
2
2
−±−
=
−±−=
−±=+

+ bx + c = 0; a+ bx + c = 0; a ≠≠≠≠≠≠≠≠ 00
2a
Δbx ±−=
4acbΔ 2 −=
a
b
xx 21
−
=+
∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2
∆∆∆∆ = 0 x1 = x2
∆∆∆∆ < 0 x1, x2 ∉ℜ∉ℜ∉ℜ∉ℜ
Soma e Produto:Soma e Produto:
a
c
xx 21
=.

PORCENTAGEMPORCENTAGEM

RAZÃO E PROPORÇÃO
b
a
RAZÃO - comparação
PROPORÇÃO – igualdade de razões
b
a c
d
= a . d = b . c

PROPORÇÃO
01) Em uma cidade de 250.000 habitantes, aproximadamente 10.000 foram vacinados
contra o vírus H1N1, número muito menor do que as autoridades de saúde previam. Se
tomarmos aleatoriamente 50 habitantes dessa cidade, quantos deles se espera que
tenham sido vacinados contra o vírus H1N1?
a) 2 habitantes.
b) 6 habitantes.
c) 8 habitantes.
d) 12 habitantes.
e) 15 habitantes.
250000
10000 x
50
=
25
1 x
50
= x = 2 habitantes

PROPORÇÃO
02) O gráfico abaixo apresenta a distribuição em ouro, prata e bronze das 90 medalhas
obtidas pelo Brasil em olimpíadas mundiais desde as Olimpíadas de Atenas de 1896
até as de 2004. Considerando-se que o ângulo central do setor circular que representa
o número de medalhas de prata mede 96°, o número de medalhas desse tipo
recebidas pelo Brasil em olimpíadas mundiais, nesse período de tempo, é:
a) 22
b) 24
c) 26
d) 28
e) 30
x
90 360
96
= x = 24 medalhas90 med ------- 360°
x med ------- 96°

03) Para testar a eficiência de um tratamento contra o câncer, foi selecionado um
paciente que possuía um tumor de formato esférico, com raio de 3 cm. Após o início do
tratamento, constatou-se, através de tomografias, que o raio desse tumor diminuiu a
uma taxa de 2 mm por mês. Caso essa taxa de redução se mantenha, qual dos valores
abaixo se aproxima mais do percentual do volume do tumor original que restará após 5
meses de tratamento?
a) 29,6% b) 30,0% c) 30,4% d) 30,8% e) 31,4%
3cm
TUMOR INICIAL RAIO DIMINUI 2 mm por mês TUMOR FINAL
(5 meses depois)
1cm ------- 10mm
r = 2cm
V=
4⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅r3
3
VOLUME INICIAL
V=
4⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅33
3
VINICIAL = 36ππππ
VOLUME FINAL
V=
4⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅⋅π⋅23
3 32ππππ/3
VOLUME
ESFERA
REGRA DE TRÊS
36ππππ 100%
VFINAL = 32ππππ/3
x
x = 29,6%

Em 6 dias de trabalho, com 16 máquinas fabricam-se 720 uniformes. Em quantos
dias, com 12 máquinas, serão fabricados 2160 uniformes?
Dias Máquinas Uniformes
6 16 720
x 12 2160
GRANDEZAS A B C
COMPARAÇÕES
A --- B
A --- C
G.I.P
G.D.P
x . 12 . 720 = 6 . 16 . 2160
x = 24

Um motociclista percorre 200 km em 2 dias, se rodar durante 4 horas por dia.
Em quantos dias esse motociclista percorrerá 500km, se rodar 5 horas por dia?
km dias horas/dia
200 2 4
500 x 5
GRANDEZAS B A C
COMPARAÇÕES
A --- B
A --- C
G.D.P
G.I.P
x . 200 . 5 = 500 . 2 . 4
x = 4

30
100
= 0,330% =
50
100
= 0,550% =
5
100
= 0,055% =
Porcentagem
Chamamos de porcentagem toda razão centesimal,
ou seja, razão da forma
100
x

AUMENTOS E DESCONTOS
AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA
MULTIPLICAR SEU VALOR POR:
1,2
AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 2% SIGNIFICA
1,02
DIMINUIR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA
0,8
Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço de um determinado produto é
equivalente a um único aumento de:
1,1 . 1,2 = 1,32 32%

Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em 10% o preço de cada
jaqueta de couro do seu estoque. Terminada a estação, fez uma promoção com
20% de desconto, passando o preço da jaqueta para R$ 176,00. O preço inicial
de cada jaqueta, antes do aumento, era:
1º MODO
prepreçço inicialo inicial -- xx
aumento de 10%
x + 10%x
x + 0,1x
1,1x
desconto de 20%
1,1x – 20%(1,1)x
1,1x – 0,2(1,1)x
1,1x – 0,22x
0,88x
prepreçço finalo final –– 0,88x0,88x
0,88x = 176
x = 176/0,88
x = 200
2º MODO
AUMENTAR x em 10% é
multiplicá-lo por 1,1 e
diminuir em 20% é
multiplicar por 0,8
(1,1).(0,8)x = 0,88x(1,1).(0,8)x = 0,88x
0,88x = 1760,88x = 176
x = 200x = 200

A base de um retângulo foi aumentada de 25% e sua altura foi
diminuída de x%. Determine o valor de x, sabendo que a área do
retângulo não se alterou.
b
h
A1 = b . h
1,25b
h – x%h
A2 = 1,25b . (h – x%h)
A1 = A2
b.h = 1,25b . (h – x%h)
b.h = 1,25b . h(1 – x%)
1 = 1,25(1 – x%)
0,8 = 1 – x%
x = 1 – 0,8
x% = 0,2
x = 20%

Um corretor de imóveis oferece um terreno por R$ 100.000,00 à
vista. A compra também pode ser realizada por meio do pagamento
de duas parcelas iguais de x reais; a primeira parcela deve ser paga
no ato da compra e a segunda um ano depois. Determine o valor de
x, sabendo que é cobrada uma taxa de juros de 20% ao ano sobre o
saldo devedor.
TOTAL: 100 000
1ª parcela: x
Saldo Devedor: 100 000 - x
2ª parcela: 100 000 – x + 20%(100 000 – x)
1ª parcela = 2ª parcela
x = 100 000 – x + 20%(100 000 – x)
x = 100 000 – x + 0,2(100 000 – x)
x = 100 000 – x + 20 000 – 0,2x
2,2x = 120 000
x ≅≅≅≅ 54 545

JUROS
Calcule o valor dos juros e do capital mais juros (montante) de R$ 100,00
aplicados por três anos a uma taxa de juros de 20% ao ano no regime de juros
simples.
JUROS SIMPLES
MONTANTE
(C + J)
JUROS POR PERÍODO
PERÍODO
1 0,20.100 = 20 120
2 0,20.100 = 20 140
3 0,20.100 = 20 160
J = 60
M = 160
FÓRMULAS DO JUROS SIMPLES
J = C.i.t
M = C + J

JUROS
Calcule o valor dos juros e do capital mais juros (montante) de R$ 100,00
aplicados por três anos a uma taxa de juros de 20% ao ano no regime de juro
composto.
JURO COMPOSTO
MONTANTE
(C + J)
JUROS POR PERÍODO
PERÍODO
1 0,20.100 = 20 120
2 0,20.120 = 24 144
3 0,20.144 = 28,8 172,8
J = 72,8
M = 172,8
FÓRMULA DO JURO COMPOSTO
M = C(1 + i)t

Uma pessoa possui um capital de R$ 100.000,00 e deseja obter, ao final de 3 anos,
um rendimento de R$ 24.000,00. Sabendo-se que nas aplicações financeiras os
juros são compostos e capitalizados anualmente, a aplicação a ser escolhida
deve ter uma taxa anual aproximada de:
a) 7% b) 9% c) 5% d) 6% e) 8%
Dados: log 1,24 = 0,093 e 100,031 = 1,07
M = C(1 + i)t
124 000 = 100 000(1 + i)3
124 = 100 (1 + i)3
1,24 = (1 + i)3
log 1,24 = log (1 + i)3
0.093 = 3 log (1 + i)
0.031 = log (1 + i)
100,031 = (1 + i)
1,07 = 1 + i
0,07 = i
i = 7%

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