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- 2. 1 目次 • 4.4 確率的識別モデル – 固定基底関数 – ロジスティック回帰 – 反復再重み付け最小二乗 • ニュートン・ラフソン法 – 多クラスロジスティック回帰 – プロビット回帰 – 正準連結関数
- 4. 3 誤差関数の最小化 • ロジスティック回帰の誤差関数は，最尤解を解 析的に導出することができない – cf. 最小二乗法 = 正規方程式 • ニュートン・ラフソン法によるE(w)の最小化 )(1)old()new( wHww E (4.92) Hはwに関するE(w)の2階微分を要素とするヘッセ行列
- 5. 補足: ニュートン・ラフソン法 • ニュートン法とも呼ばれる • 非線形関数の二次近似による解析手法 – 元々はf(x) = 0を求める最適化手法 4 𝑓′ 𝑥 = 0を考える 𝑓′(𝑥)の𝑥 = 𝑥0でのテーラー展開をすると 𝑓′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥0 + 𝑓′′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 𝑥 = 𝑥0 − 𝑓′(𝑥0) 𝑓′′(𝑥0) 𝑓′ 𝑥0 + 𝑓′′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 = 0より
- 6. 補足: 1次近似? 2次近似? • 最急降下法 vs. ニュートン・ラフソン法 – 1次近似 vs. 2次近似 • 凸関数でない場合，ニュートン・ラフソン法 (2 次近似) は局所最適解に捕まる • 以上をホワイトボードで説明 5
- 7. 6 二乗和誤差関数への適用 • 二乗誤差関数(3.12)を誤差関数とする線形回帰 モデル(3.3)にニュートン・ラフソン法を適用 – wの更新式は以下で与えられる N n TT nnn T tE 1 )()( tΦΦwΦww N n TT nnE 1 )( ΦΦwH (4.93) (4.94) tΦΦwΦΦΦww TTT )old(1)old()new( tΦΦΦ TT 1 (4.95) 反復せずに1回で正確な値が得られることに注目
- 8. 7 ロジスティック回帰への適用 • ロジスティック回帰の交差エントロピー誤差関 数(4.90)にニュートン・ラフソン法を適用 N n T nnn tyE 1 )()()( tyΦw N n TT nnnn yyE 1 )1()( RΦΦwH )1( nnnn yyR (4.96) (4.97) (4.98) ヘッセ行列は重み付け行列Rを通じてwに依存 ⇒ 繰り返し計算する必要
- 9. 8 ロジスティック回帰モデルにおける ニュートン・ラフソン法の更新式 • wの更新は以下のとおり )()( 1)old()new( tyΦRΦΦww TT )(1)old( tyRΦwz (4.99) (4.100) )()( )old(1 tyΦRΦΦRΦΦ TTT w RzΦRΦΦ TT 1 )( ここで このため，反復再重み付け最小二乗法 (IRLS) とも呼ばれる 重み付けベクトルwが新たに計算されるたびに， 重み付け行列Rを計算しなおして正規方程式を解く必要性
- 10. 演習4.15 9 • 交差エントロピー誤差関数はwの凸関数であり， 唯一の最適解をもつ • 証明の順序 – (1) Rが正定値行列であることを証明 – (2) 上を利用し，Hが正定値行列であることを証明 ホワイトボードで説明
- 11. 補足: 正定値行列のうれしさ • 正定値行列とは? – 実対称行列 – 全ての固有値が正 – 任意のベクトル𝒖に対して𝒖 𝑇 𝑯𝒖 > 0 • 誤差関数が凸関数 ⇔ ヘッセ行列が正定値 • 直感的説明 – あらゆる組み合わせの2階微分が正 10
- 13. 12 多クラスロジスティック回帰 最尤法を用いて直接パラメータ{wk}を決定する • 多クラスの分布に対して事後確率は， • 全ての活性化関数ajに関するykの微分は， j j k kk a a yCp )exp( )exp( )()|( T kka w )( jkjk j k yIy a y ここで活性化関数は， (4.104) (4.105) (4.106)
- 14. 13 演習4.17 • j=k のときと，j ≠ k の2通りについて計算 – ホワイトボードで計算 )( jkjk j k yIy a y
- 15. 14 尤度関数 • 尤度関数は以下のとおり – Ckに属する特徴ベクトルΦnに対する目的変数ベクト ルtnがk番目の要素が1で，他の要素が0 )( nknk yy N n K k N n K k t nk t nkK nknk yCpp 1 1 1 1 1 )|(),...,|( wwT ここで Tはtnkを要素tnkとする目的変数のN x K行列 (4.107)
- 16. 15 交差エントロピー誤差関数 • 尤度関数(4.107)の負の対数を取る • 勾配は，ソフトマックス関数の微分(4.106)を 用いて以下のとおりになる (演習4.18) N n K k nknkKK ytpE 1 1 11 ln),...,|(ln),...,( wwTww (4.108) N n nnjnjKw tyEj 1 1 )(),...,( ww (4.109)
- 18. 17 演習4.18 (きれいに書くと) j nj N n nj nk K k nknk nkj K a a y yt y E ww ww 1 1 1 )ln( ),...,( N n K k nnjkjnk nk nk yIy y t 1 1 )( N n K k K k njnkkjnkn ytIt 1 1 1 N n N n nnjnjnjnjn tyyt 1 1 )()(
- 19. 18 多クラスのヘッセ行列 • MxMサイズのヘッセ行列のj,k成分は以下になる • 2階微分が求まったので，IRLSによって最適化 可能 • なお，多クラスに対するヘッセ行列も正定値行 列であり，誤差関数は唯一の最小解を持つ (演 習4.20; パス) N n T nnnjkjnkK yIyEjk 1 1 )(),...,( wwww (4.110)
- 20. 小休止: バッチ学習と逐次学習 • バッチ学習 – データ点すべてに対する誤差関数𝐸を考える – 非線形最適化問題として解く • 1次近似: 最急降下法 • 2次近似: ニュートン・ラフソン法 • 逐次学習 (オンライン学習) – 各データ点に対する誤差関数𝐸 𝑛を考える • ただし，𝐸 = 𝐸 𝑛𝑛 – 確率的勾配降下法 (3.22) で最適化 • 学習率𝜂を適切に設定する必要あり • 収束しなかったら試行を繰り返す 19
- 21. バッチ学習と逐次学習の違い • 違い – 誤差関数の形 – パラメータ更新の方向 • 逐次学習では，なぜ学習率を適切に設定する必 要があるのか? 20
- 22. 21 誤差関数が凸関数の場合，誤差関数最 適化という観点ではバッチ学習の方が 同等かそれ以上の結果が得られる 凸関数 + 凸関数 = 凸関数 はおｋ？ 誤差関数が凸じゃないなら逐次学習の 方がうまい局所最適に落ちることもあ るかもね．それはあくまで問題依存
- 23. 凸 + 凸 = ? 22 -4 -2 0 2 4 0510152025 x y -4 -2 0 2 4 0510152025
- 24. 凸! 23-4 -2 0 2 4 0510152025 x y -4 -2 0 2 4 0510152025 -4 -2 0 2 4 0510152025 -4 -2 0 2 4 0510152025
- 25. 証明: 凸 + 凸 = 凸 • 凸関数f(x)とg(x) • h(x) = f(x) + g(x) • Jensenの不等式を利用 24 𝑓 𝜆1 𝑥1 + 𝜆2 𝑥2 ≤ 𝜆1 𝑓 𝑥1 + 𝜆2 𝑓(𝑥2) 𝑔 𝜆1 𝑥1 + 𝜆2 𝑥2 ≤ 𝜆1 𝑔 𝑥1 + 𝜆2 𝑔(𝑥2) 𝑓 𝜆1 𝑥1 + 𝜆2 𝑥2 + 𝑔 𝜆1 𝑥1 + 𝜆2 𝑥2 ≤ 𝜆1(𝑓 𝑥1 + 𝑔 𝑥1 ) + 𝜆2(𝑓 𝑥2 + 𝑔 𝑥2 ) 𝜆1 𝑥1 + 𝜆2 𝑥2 ≤ 𝜆1 𝑥1 + 𝜆2 (𝑥2)
- 26. 25 誤差関数が凸関数の場合，誤差関数最 適化という観点ではバッチ学習の方が 同等かそれ以上の結果が得られる 凸関数 + 凸関数 = 凸関数 はおｋ？ 誤差関数が凸じゃないなら逐次学習の 方がうまい局所最適に落ちることもあ るかもね．それはあくまで問題依存
- 27. 26 4.3.5 プロビット回帰
- 28. プロビット回帰 • 目的: 活性化関数の出力𝑎 𝑛に閾値を設定したい • 𝜃の値が確率密度𝑝(𝜃)から得られる場合，活性化 関数は以下で得られる 27 𝑡 𝑛 = 1 𝑤𝑒𝑛 𝑎 𝑛 ≥ 𝜃 𝑡 𝑛 = 0 𝑜𝑡𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒 𝑓 𝑎 = 𝑝 𝜃 𝑑𝜃 𝑎 −∞ (4.112) (4.113)
- 29. 28 erf関数 • erf関数 (誤差関数とも呼ばれる．注意) • プロビット関数はerf関数で表現可能 a da 0 2 )2/exp( 2 )erf( )erf( 2 1 1 2 1 )( aa (4.115) (4.116) (4.115)は，要するにプロビット関数の累積分布関数 ⇒ 累積分布関数を活性化関数の出力として用いる
- 31. プロビット関数 • 𝜃 の分布を平均0，分散1のガウス分布とすると， 対応する累積分布関数は以下のとおり – プロビット関数 30 a dNa )1,0|()( (4.114)
- 32. プロビット回帰まとめ • プロビット回帰 (probit regression) – プロビット関数を活性化関数とする一般化線形モデル – ロジスティック回帰と似ている – ロジスティック回帰に比べ，外れ値に敏感 – 活性化関数に標準ガウス分布の累積分布関数を使用 • パラメータの学習 – ロジスティック回帰と同じ方法でできる • 𝑦𝑛の計算方法が変わるだけ
- 33. 32 拡張 • いずれもデータは正しくラベル付けされていると仮定 ⇒ 目的変数値tが間違った値に反転する確率εを用いて， 誤ったラベル付けの影響を組み込むことが可能 ))(1()()1()|( xxx tp )()21( x (4.117)
- 35. 34 正準連結関数 • 一般化線形モデル – f(・)を活性化関数，f-1(・)を連結関数と呼ぶ • 誤差関数の微分が誤差yn – tnとΦnの積で表現可能 N n nnnn ytytpE 1 )}1ln()1(ln{)|(ln)( wtw (4.90) N n K k nknkKK ytpE 1 1 11 ln),...,|(ln),...,( wwTww (4.108) N n nnn tywE 1 )()( (4.91) N n nnjnjKw tyEj 1 1 )(),...,( ww (4.109) ロジスティック回帰 多ロジスティック回帰
- 36. 35 目的変数の条件付き確率分布 • 目的変数の条件付き確率分布 – 目的変数の分布も指数型分布族だと仮定 )(ln]|Ε[ g d d sty (4.118) s t g s t h s stp exp)( 1 ),|( )(y ここでyとηの関係を とする (4.119)
- 37. 36 目的変数の対数尤度関数 N n N n nn nn s t gstpsp 1 1 const)(ln),|(ln),|(ln t s t g s t h s stp exp)( 1 ),|( パラメータに影響されない (4.121) N n n n n n nn n n a da dy dy d s t g d d sp 1 )(ln),|(ln tw nnnnn N n afyyt s )()( 1 1 モデルパラメータwに関する微分は， 対数尤度関数は， (4.122) (4.119)より − 1 𝑠 𝑦𝑛
- 38. 37 一般化線形モデルの誤差関数 • (4.123)で表されるような連結関数f-1(y)を選択すれば， 簡略化できる • 一般化線形モデルの誤差関数 – ガウス分布の場合s=β-1 – ロジスティックシグモイドの場合s=1 N n nnn ty s E 1 }{ 1 )( w n T na w )()(1 yyf (4.123) これよりf(ψ(y)) = y，yで微分するとf’(ψ)ψ’(y) = 1 また，a = f-1(y)なので，a=ψであり，f’(a)ψ’(y) = 1 (4.124) 一般化線形モデルにおいて，誤差関数の微分が 誤差とΦの積で表現可能ということを示した
- 39. 38 ポイントのまとめ • ニュートン・ラフソン法を用いた最適化 – 二乗誤差: 閉じた解が求まる – クロスエントロピー誤差: 閉じた解が求まらない • ヘッセ行列にパラメータが含まれているため反復する必要 ⇒ 反復再重み付け最小二乗 • 多クラスロジスティック回帰 – 誤差関数が凸関数になり，2クラスの場合と同様にパラメータを 求めることができる • プロビット回帰 – 活性化関数を変えてみよう • 正準連結関数 – 一般化線形モデルの一般化 – なぜ微分が「誤差」と「特徴ベクトル」の積になるのか
- 40. 39 目次 (再掲) • 4.4 確率的識別モデル – 固定基底関数 – ロジスティック回帰 – 反復再重み付け最小二乗 • ニュートン・ラフソン法 – 多クラスロジスティック回帰 – プロビット回帰 – 正準連結関数 • おまけ – バッチ学習と逐次学習 – 凸+凸=凸
- 41. 40 おしまい