Kvant 2009 Jan

3. ¹1
2009
©
ßÍÂÀÐÜ
ÔÅÂÐÀËÜ Þ
ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË
ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ
 íîìåðå:
Íà ïóòè ê êâàíòîâîìó êîìïüþòåðó. À.Âàðëàìîâ, Þ.Ãàëüïåðèí
& Àôôèííàÿ ãåîìåòðèÿ. À.Çàñëàâñêèé
! «Ýëåêòðîíû, ôîíîíû, ìàãíîíû». Ì.Êàãàíîâ
# Ìåòîä èíòåðïðåòàöèé. À.Àíäæàíñ, Ä.Áîíêà
Ó÷ðåäèòåëè — Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ
íàóê, Ôîíä ïîääåðæêè ÍÎÂÎÑÒÈ ÍÀÓÊÈ
ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêè è ' Ïðåìèÿ çà íàðóøåíèÿ
îáðàçîâàíèÿ (Ôîíä Îñèïüÿíà),
ÈÔÒÒ ÐÀÍ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÌÈÐ
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ
Ñàìîçàêëèíèâàþùèåñÿ ñòðóêòóðû. À.Áåëîâ
Èíòåðâüþ ñ À.Êóçíåöîâûì
Ñ.Ñ.Êðîòîâ
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß
# Çàäà÷è Ì2116–Ì2123, Ô2123–Ô2129
À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ,
À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Ñ.À.Ãîðäþíèí,
$ Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2096–Ì2100, Ô2108–Ô2117
Í.Ï.Äîëáèëèí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»
ðåäàêòîðà), Â.Í.Äóáðîâñêèé,
À.À.Åãîðîâ, À.Â.Æóêîâ, ! ×àñòèöû è ïîëÿ
À.Ð.Çèëüáåðìàí, Â.Â.Êâåäåð (çàìåñòèòåëü
ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ï.À.Êîæåâíèêîâ, Ê Ì Ø
Â.Â.Êîçëîâ (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ ! Çàäà÷è
ðåäêîëëåãèè), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷,
Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Í.Õ.Ðîçîâ,
!# Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 6–8»
À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí,
!# Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñêàçêà
Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, Â.Ì.Óðîåâ, !$ Àáó-ë-Âàôà è öèðêóëü ïîñòîÿííîãî ðàñòâîðà. Ã.Ôèëèïïîâñêèé
À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ! Íåñêîëüêî ðèôìîâàííûõ ôèçè÷åñêèõ çàäà÷. Â.Àêèìîâ
ðåäàêòîðà)
ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ Ìåòîä ýêâèâàëåíòíûõ äåôîðìàöèé. Â.Ýïøòåéí
À.Â.Àíäæàíñ, Â.È.Àðíîëüä, Ì.È.Áàøìàêîâ, Îò òî÷êè ðîñû äî òî÷êè êèïåíèÿ. Â.Ïòóøåíêî, À.Ïÿòàêîâ
Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé, ! Ëåãåíäà îá èñêàæåíèè ñèãíàëà. Ñ.Äâîðÿíèíîâ
Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ,
Ë.Ä.Ôàääååâ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
Ïàðàäîêñû êîìàíäíûõ ñîðåâíîâàíèé. Ë.Èëüêîâ
ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ»
1970 ÃÎÄÀ % Îòðàæåíèå îò òîíêèõ öèëèíäðè÷åñêèõ çåðêàë. À.Àíäðååâ,
ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ À.Ïàíîâ
È.Ê.Êèêîèí ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ # Ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ â çàäà÷àõ äèíàìèêè. Â.Ëîñåâ, Â.Ïëèñ
ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ #! Ïàðàëëåëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå â çàäà÷àõ. Â.Ìèðîøèí
À.Í.Êîëìîãîðîâ
ÎËÈÌÏÈÀÄÛ
Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ,
Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí,
#$ XXX Òóðíèð ãîðîäîâ
Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ,
ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß
Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ,
Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé, #% Çàî÷íîå îòäåëåíèå Ìàëîãî ìåõìàòà ÌÃÓ
À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ,
Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, #' Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ
À.Ï.Ñàâèí,È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé (46, 55)
Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé, ß.À.Ñìîðîäèíñêèé,
Â.À.Ôàáðèêàíò, ß.Å.Øíàéäåð ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ
I Èëëþñòðàöèÿ ê ñòàòüå À.Áåëîâà
II Ìàòåìàòè÷åñêèå ýòþäû
Áþðî Êâàíòóì III Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà
IV Ïðîãóëêè ñ ôèçèêîé
© 2009, ÐÀÍ,
Ôîíä Îñèïüÿíà, «Êâàíò»  èçäàíèè æóðíàëà «Êâàíò» ôèíàíñîâîå ó÷àñòèå ïðèíèìàåò
ÎÀÎ «ÒÅÕÑÍÀÁÝÊÑÏÎÐÒ»
01_24.p65 1 30.01.09, 12:13

4. Íà ïóòè ê êâàíòîâîìó
êîìïüþòåðó
À.ÂÀÐËÀÌÎÂ, Þ.ÃÀËÜÏÅÐÈÍ
Ïàïåíüêà ïîñòàâèë íà ñòîë òàáàêåðêó. «Ïîäè-êà ñþäà, Ìèøà, ïîñìîòðè-êà», – ñêàçàë îí.
Ìèøà áûë ïîñëóøíûé ìàëü÷èê; òîò÷àñ îñòàâèë èãðóøêè è ïîäîøåë ê ïàïåíüêå. Äà óæ è áûëî
÷åãî ïîñìîòðåòü! Êàêàÿ ïðåêðàñíàÿ òàáàêåðêà! ïåñòðåíüêàÿ, èç ÷åðåïàõè. À ÷òî íà êðûøêå-
òî! Âîðîòà, áàøåíêè, äîìèê, äðóãîé, òðåòèé, ÷åòâåðòûé, – è ñ÷åñòü íåëüçÿ, è âñå ìàë ìàëà
ìåíüøå, è âñå çîëîòûå...
Â.Îäîåâñêèé. Ãîðîäîê â òàáàêåðêå
Í
À ÐÈÑÓÍÊÅ 1 ÂÛ ÂÈÄÈÒÅ ÇÍÀÌÅÍÈÒÛÉ ÐÎÇÅÒÒ- ÿ÷åéêè â ðÿä, âñåãî 32 òàêèõ ðÿäà. Ðàçìåð ýòîãî
ñêèé êàìåíü, íàéäåííûé â 1799 ãîäó â Åãèïòå, ýëåìåíòà ïàìÿòè ñîñòàâëÿë 0,28 ´ 0,35 ñì, è â íåì
áëèç ãîðîäà Ðîçåòòà. Íà ïëèòå èç òåìíîãî ãðàíèòà
ðàçìåðîì 114 ´ 72 ñì â ÷åñòü ãîäîâùèíû âõîæäåíèÿ
íà ïðåñòîë ôàðàîíà Ïòîëåìåÿ V Åïèôàíà (196 äî í.ý.)
Ðèñ.2. Ïåðâûé äèíàìè÷åñêèé ýëåìåíò ïàìÿòè
íàøëîñü ìåñòî äëÿ âñåé èíôîðìàöèè, çàïèñàííîé íà
Ðîçåòòñêîì êàìíå. Ñàì ïðîöåññ çàïèñè èíôîðìàöèè íà
÷èï çàíèìàë îêîëî 300 ìèêðîñåêóíä.
Âåõè êîìïüþòåðíîé ýðû
Ïðèíöèïèàëüíî íîâûé ïîäõîä ê õðàíåíèþ è ïåðåðà-
áîòêå èíôîðìàöèè áûë ñôîðìóëèðîâàí â 1936 ãîäó
Àëàíîì Òþðèíãîì â ñòàòüå «Î âû÷èñëèòåëüíûõ ÷èñëàõ
ïðèìåíèòåëüíî ê ïðîáëåìå âûáîðà ðåøåíèé». Â íåé
àâòîð èçëàãàåò îñíîâíûå èäåè ëîãè÷åñêîãî óñòðîéñòâà
óíèâåðñàëüíîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû, êîòîðàÿ âïîñ-
ëåäñòâèè ïîëó÷èëà íàçâàíèå ìàøèíû Òþðèíãà.
Ðèñ.1. Ðîçåòòñêèé êàìåíü Ïåðâîå ïîêîëåíèå âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, «ðåàëè-
çîâàííîå â æåëåçå», ïîÿâèëîñü ÷åðåç äåñÿòü ëåò. Îñíîâ-
áûëè âûñå÷åíû áëàãîäàðñòâåííûå ñëîâà: «Íîâîìó öàðþ, íûì ðàáî÷èì ýëåìåíòîì â íèõ ÿâëÿëèñü âàêóóìíûå
ïîëó÷èâøåìó öàðñòâî îò îòöà...» Ê ñ÷àñòüþ, òåêñò ýòîò ëàìïû – òàêèå æå, êàêèå èñïîëüçîâàëèñü è â ñòàðèííûõ
áûë íàïèñàí òðèæäû: äðåâíååãèïåòñêèìè èåðîãëèôà- òåëåâèçîðàõ. Ýòî áûëè äîèñòîðè÷åñêèå âðåìåíà êîìïü-
ìè – ñâÿùåííûìè çíàêàìè, óïîòðåáëÿâøèìèñÿ æðåöà- þòåðíîé ýðû. Áîëüøèíñòâî èç ýòèõ âû÷èñëèòåëüíûõ
ìè, åãèïåòñêèì äåìîòè÷åñêèì ïèñüìîì – øèðîêî ðàñ- ìàøèí ïðåäíàçíà÷àëèñü äëÿ ïðîâåðêè òîãî èëè èíîãî
ïðîñòðàíåííîé â òó ýïîõó ñêîðîïèñüþ è íà äðåâíåãðå- òåîðåòè÷åñêîãî óòâåðæäåíèÿ è ÿâëÿëèñü, ïî ñóùåñòâó,
÷åñêîì. Ýòî è ïîçâîëèëî â 1822 ãîäó Æ.Ô.Øàìïîëü- ýêñïåðèìåíòàëüíûìè óñòàíîâêàìè. Âåñ è ðàçìåðû ýòèõ
îíó ðàçãàäàòü òàéíó åãèïåòñêèõ èåðîãëèôîâ. «äèíîçàâðîâ» áûëè îãðîìíû: ÷àñòî ïîä íèõ ñòðîèëè
 1970 ãîäó èíæåíåðû ßïîíñêîé ýëåêòðè÷åñêîé îòäåëüíûå çäàíèÿ.
êîìïàíèè (NEC) ñîçäàëè ïåðâûé äèíàìè÷åñêèé ýëå- Ïðèìåðíî â ýòî æå âðåìÿ êà÷åñòâåííûé ïðîãðåññ áûë
ìåíò ïàìÿòè – ÷èï (ðèñ.2). Îí ñîñòîÿë èç 1024 ÿ÷ååê äîñòèãíóò è â ýëåêòðîíèêå. Òàê, â 1947 ãîäó Óîëòåð
(ìàëåíüêèå ïðÿìîóãîëüíè÷êè), ðàñïîëîæåííûõ ïî 32 Áðàòòåéí, Óèëüÿì Øîêëè è Äæîí Áàðäèí èçîáðåòàþò
01_24.p65 2 30.01.09, 12:13

5. ÍÀ ÏÓÒÈ Ê ÊÂÀÍÒÎÂÎÌÓ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÓ !
ïåðâûé ïîëóïðîâîäíèêîâûé òðàíçèñòîð (çà ÷òî â 1956 çàêîí Ìóðà (ýìïèðè÷åñêîå íàáëþäåíèå, ñäåëàííîå â
ãîäó óäîñòàèâàþòñÿ Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå). 1965 ãîäó Ãîðäîíîì Ìóðîì) â îäíîé èç ñâîèõ ôîðìó-
Îí áûë ñîçäàí ñ ïîìîùüþ òî÷å÷íîãî êîíòàêòà íà ëèðîâîê óñòàíàâëèâàåò ýêñïîíåíöèàëüíûé ðîñò ñî âðå-
ïîëóïðîâîäíèêîâîé ïîäëîæêå è èìåë ðàçìåðû ïîðÿäêà ìåíåì åìêîñòè íîâûõ ýëåìåíòîâ ïàìÿòè è ÷èñëà òðàí-
ñàíòèìåòðà. Âñêîðå òàêèå òðàíçèñòîðû íà÷èíàþò àê- çèñòîðîâ â ïðîöåññîðå. Åãî «äåéñòâèå» íà ïðîòÿæåíèè
òèâíî èñïîëüçîâàòüñÿ â ýëåêòðîíèêå â êà÷åñòâå óñèëè- òðèäöàòè ëåò ïðåäñòàâëåíî íà ðèñóíêå 3.
òåëåé ýëåêòðè÷åñêèõ ñèãíàëîâ èëè óïðàâëÿåìûõ ýëåê-
òðè÷åñêèìè ñèãíàëàìè ïðåðûâàòåëåé è ïðàêòè÷åñêè
ïîâñåìåñòíî âûòåñíÿþò âàêóóìíûå ëàìïû. Â 1958 ãîäó
Äæåê Êèðáè ñîçäàåò ïåðâûé ïîëóïðîâîäíèêîâûé ÷èï
(ìèêðîñõåìó), ñîñòîÿùèé âñåãî èç äâóõ òðàíçèñòîðîâ.
Ïðîõîäèò ñîâñåì íåìíîãî âðåìåíè, è ïîÿâëÿþòñÿ ìèê-
ðîñõåìû, îáúåäèíÿþùèå íà îáùåé ïîäëîæêå óæå äå-
ñÿòêè è ñîòíè òðàíçèñòîðîâ. Îäíîâðåìåííî ñ ïðîãðåñ-
ñîì â ñîçäàíèè íà îñíîâå ïîëóïðîâîäíèêîâîé ýëåêòðî-
íèêè ïðîöåññîðîâ äëÿ ïåðåðàáîòêè äàííûõ ðàçâèâàþò-
ñÿ òàêæå è ñïîñîáû èõ õðàíåíèÿ.  êà÷åñòâå òàêèõ
çàïîìèíàþùèõ óñòðîéñòâ íà÷èíàþò èñïîëüçîâàòüñÿ
ìàãíèòíûå ñåðäå÷íèêè è áàðàáàíû, äàëåêèå ïðåäêè
ñîâðåìåííûõ æåñòêèõ äèñêîâ.
Íàðÿäó ñ áóðíûì ðàçâèòèåì ìàòåðèàëüíûõ ýëåìåí-
Ðèñ.3. Èëëþñòðàöèÿ çàêîíà Ìóðà: ðîñò ÷èñëà òðàíçèñòîðîâ â
òîâ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí ñóùåñòâåííî ìåíÿþòñÿ è ìèêðîïðîöåññîðå ñ ãîäàìè (âðåìÿ óäâîåíèÿ – 2 ãîäà)
ëîãè÷åñêèå ðåøåíèÿ ïðè ïðîâåäåíèè âû÷èñëåíèé, à
òàêæå àðõèòåêòóðà èñïîëüçóåìûõ ïðîãðàìì. Âûäàþ- Áîëüøå òðàíçèñòîðîâ íà êâàäðàòíûé ñàíòèìåòð, áî-
ùèéñÿ ìàòåìàòèê Äæîí ôîí Íåéìàí â 1946 ãîäó ëåå âûñîêàÿ òàêòîâàÿ ÷àñòîòà (õàðàêòåðèçóþùàÿ áûñ-
ïðåäñòàâëÿåò ðàáîòó «Ïðåäâàðèòåëüíîå ðàññìîòðåíèå òðîäåéñòâèå êîìïüþòåðà) – ýòè òðåáîâàíèÿ ñòàëè íà-
ëîãè÷åñêîé êîíñòðóêöèè ýëåêòðîííî-âû÷èñëèòåëüíîãî âÿç÷èâîé èäååé ïðîèçâîäèòåëåé.  2004 ãîäó èíòåëîâ-
óñòðîéñòâà», â êîòîðîé íå òîëüêî îïèñûâàåò ñàìó ñêèé ïðîöåññîð Prescott, âûïîëíåííûé ïî 90-íàíîìåò-
ýëåêòðîííî-âû÷èñëèòåëüíóþ ìàøèíó, íî òàêæå ïîä- ðîâîé òåõíîëîãèè (ýòî îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî íà
ðîáíî îáñóæäàåò è èñïîëüçóåìóþ â åå ðàáîòå ëîãèêó, îäíîì êâàäðàòíîì ñàíòèìåòðå åãî ïëîùàäè áûëî ðàñ-
îáîñíîâûâàåò èñïîëüçîâàíèå äâîè÷íîé ñèñòåìû äëÿ ïîëîæåíî íåñêîëüêî ìèëëèîíîâ òðàíçèñòîðîâ), ñîäåð-
ïðåäñòàâëåíèÿ äàííûõ â ÝÂÌ. Ñ ýòîãî ìîìåíòà êîìïü- æàë â ñåáå 150 ìèëëèîíîâ òðàíçèñòîðîâ è ðàáîòàë ñ
þòåðû ñòàíîâÿòñÿ îáúåêòîì íàó÷íîãî èññëåäîâàíèÿ, è òàêòîâîé ÷àñòîòîé 3,4 ÃÃö.  2007–2008 ãîäó ïðîèçâî-
äàæå ñåãîäíÿ íåêîòîðûå ó÷åíûå ïðîäîëæàþò íàçûâàòü äèòåëè óæå ïåðåøëè íà 45-íàíîìåòðîâóþ òåõíîëîãèþ,
êîìïüþòåð «ìàøèíîé ôîí Íåéìàíà». à ê 2013 ãîäó îæèäàåòñÿ ïåðåõîä íà 25-íàíîìåòðîâóþ.
Âñå ýòè ôóíäàìåíòàëüíûå îòêðûòèÿ è èçîáðåòåíèÿ Òåì íå ìåíåå, ýòîò ïðÿìîé ïóòü ïîâûøåíèÿ áûñòðî-
çíàìåíóþò íà÷àëî âòîðîãî ïåðèîäà êîìïüþòåðíîé ýðû äåéñòâèÿ è îáúåìà ïàìÿòè êîìïüþòåðîâ ðàíî èëè
(1955–1964). ïîçäíî èñ÷åðïûâàåòñÿ. Íàïðèìåð, îäíèì èç î÷åâèä-
Íà îñíîâå èíòåãðàëüíûõ ñõåì ñîçäàþòñÿ êîìïüþòå- íûõ îãðàíè÷åíèé íà ïóòè äàëüíåéøåé ìèíèàòþðèçà-
ðû òðåòüåãî ïîêîëåíèÿ (1965–1974). Ìàññèâíûå ìàã- öèè ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîñòü ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ
íèòíûå íàêîïèòåëè èíôîðìàöèè çàìåíÿþòñÿ áîëåå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ñèãíàëà â öåïè: åå êîíêðåòíàÿ âå-
ìèíèàòþðíûìè è â òî æå âðåìÿ áîëåå åìêèìè ïîëóïðî- ëè÷èíà çàâèñèò îò ñïåöèôèêè òåõíè÷åñêîé ðåàëèçà-
âîäíèêîâûìè çàïîìèíàþùèìè óñòðîéñòâàìè. Îíè è öèè ïðîöåññîðà, îäíàêî îïðåäåëåííî íå ìîæåò ïðåâû-
ñåãîäíÿ èñïîëüçóþòñÿ â ïåðñîíàëüíûõ êîìïüþòåðàõ â ñèòü ñêîðîñòü ñâåòà ñ = 300000 êì/ñ. Õîòÿ ýòà âåëè÷è-
êà÷åñòâå îïåðàòèâíûõ çàïîìèíàþùèõ óñòðîéñòâ. Äîñ- íà ïðåäñòàâëÿåòñÿ íåäîñòèæèìî áîëüøîé, äàâàéòå âñå-
òèãíóòûå â ïîñëåäíåé òðåòè XX âåêà óñïåõè òåîðåòè- òàêè ñäåëàåì ïðîñòóþ îöåíêó. Òàêòîâàÿ ÷àñòîòà ν =
÷åñêîé êèáåðíåòèêè, ôèçèêè è òåõíîëîãèè ñïîñîáñòâî- = 3,4 ÃÃö îçíà÷àåò, ÷òî èíòåðâàë âðåìåíè ìåæäó äâó-
âàëè áûñòðîìó ðàçâèòèþ êîìïüþòåðíîé òåõíèêè, åå ìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè îïåðàöèÿìè îêàçûâàåòñÿ ïî-
ìèíèàòþðèçàöèè è ðåçêîìó óäåøåâëåíèþ. Âñå ýòî ðÿäêà t = 1 ν » 3 × 10 -10 c, ò.å. ýëåìåíòû ïðîöåññîðà, â
ñäåëàëî êîìïüþòåð äîñòóïíûì øèðîêîé ïóáëèêå. Ñ êîòîðûõ ïðîâîäÿòñÿ äâå ïîñëåäîâàòåëüíûå îïåðàöèè,
ñåðåäèíû 70-õ ãîäîâ êîìïüþòåðû ñòàíîâÿòñÿ âàæíûì íå ìîãóò íàõîäèòüñÿ íà ðàññòîÿíèè, ïðåâûøàþùåì
ýëåìåíòîì êàæäîäíåâíîé æèçíè. Íåñëûõàííûé ïðî- L = ct » 10 ñì. È ýòî, çàìåòüòå, äàæå â èäåàëüíîì
ãðåññ â òåõíîëîãèè ïîçâîëÿåò ñåãîäíÿ íà òîé æå ïëîùà- ñëó÷àå, êîãäà ñèãíàë ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ
äè â 3 êâàäðàòíûõ ñàíòèìåòðà, êîòîðóþ èñïîëüçîâàë ñâåòà â âàêóóìå! Òàêèì îáðàçîì, íåèçáåæíûì óñëîâè-
Êèðáè, ðàçìåùàòü â áîëüøèõ èíòåãðàëüíûõ ñõåìàõ åì óâåëè÷åíèÿ òàêòîâîé ÷àñòîòû (à ñëåäîâàòåëüíî, è
äåñÿòêè ìèëëèîíîâ òðàíçèñòîðîâ. Òàê, ñîâðåìåííûå óâåëè÷åíèè ÷èñëà òðàíçèñòîðîâ â ïðîöåññîðå) ÿâëÿåò-
ýëåìåíòû ïàìÿòè ïîçâîëÿþò õðàíèòü ñîäåðæèìîå âñåé ñÿ äàëüíåéøàÿ ìèíèàòþðèçàöèÿ. È èíæåíåðû óæå
êîëëåêöèè îäíîé èç êðóïíåéøèõ áèáëèîòåê ìèðà – äàâíî èäóò ïî ýòîìó ïóòè.
áèáëèîòåêè Êîíãðåññà ÑØÀ (à ýòî 150 ìèëëèîíîâ êíèã Îäíàêî íåäàëåê òîò ìîìåíò, êîãäà ìèíèàòþðèçàöèÿ
è äîêóìåíòîâ) – â îäíîì íîóòáóêå. Øèðîêî èçâåñòíûé âñòóïèò â êîíôëèêò ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ôèçè÷åñêè-
01_24.p65 3 30.01.09, 12:13

6. ÊÂÀÍT$ 2009/¹1
ìè ñâîéñòâàìè áàçîâûõ ýëåìåíòîâ ïðîöåññîðà (âî âñÿ- óæå ñàìè çàêîíû êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, ÿâíî èëè
êîì ñëó÷àå, ñåãîäíÿøíèõ). Ãëàâíûì áåäñòâèåì ÿâëÿåò- íåÿâíî èñïîëüçóåìûå ïðè ðàçðàáîòêå íîâûõ ïðîöåññî-
ñÿ ïåðåãðåâ ïðîöåññîðà èç-çà âîçðàñòàþùåé ïëîòíîñòè ðîâ.
âûäåëåíèÿ äæîóëåâà òåïëà – äàæå åñëè òîêè, ïðîòåêà- Âîò ïî÷åìó íà ïðîòÿæåíèè ïîñëåäíåãî äåñÿòèëåòèÿ
þùèå â ñîòíÿõ ìèëëèîíîâ òðàíçèñòîðîâ, è ÷ðåçâû÷àé- ó÷åíûå ïûòàþòñÿ ðàçðàáîòàòü ïðèíöèïèàëüíî íîâûå
íî ìàëû. Äðóãèì ñóùåñòâåííûì îãðàíè÷åíèåì íà ìè- èäåè ñîçäàíèÿ âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè, îñíîâàííûå
íèàòþðèçàöèþ ÿâëÿåòñÿ ðîñò âåëè÷èíû ýëåêòðè÷åñêî- íà èíîé, ïî ñðàâíåíèþ ñ Òþðèíãîì è ôîí Íåéìàíîì,
ãî ïîëÿ â èçîëèðóþùåì îêñèäíîì ñëîå ìåæäó ýëåêòðî- ëîãèêå è íîâîé ýëåìåíòíîé áàçå. Ýòî è ðàçâèòèå íîâûõ
äàìè òðàíçèñòîðà: â ñëèøêîì òîíêîé ïðîñëîéêå ìîæåò òàê íàçûâàåìûõ êâàíòîâûõ àëãîðèòìîâ âû÷èñëåíèÿ
ñëó÷èòüñÿ ýëåêòðè÷åñêèé ïðîáîé. Òðåòüå îãðàíè÷åíèå (êâàíòîâûé êîìïüþòèíã), è ñîçäàíèå íîâûõ ðàçìåðîì
íàêëàäûâàåòñÿ õàðàêòåðíûì ìàñøòàáîì ôëóêòóàöèè â â íàíîìåòðû ïðèáîðîâ (íàíîôèçèêà, íàíîòåõíîëîãèÿ).
ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèìåñåé – à èìåííî, ýòè Íèæå ìû ïîïûòàåìñÿ äàòü ÷èòàòåëþ ïðåäñòàâëåíèå î
ôëóêòóàöèè äîëæíû óñïåâàòü ñàìîóñðåäíÿòüñÿ íà ðàç- íåêîòîðûõ èäåÿõ, ñòîÿùèõ çà ýòèìè ñëîâàìè.
ìåðå ñàìûõ ìàëûõ ýëåìåíòîâ ïðîöåññîðà. Òàêèì îáðà-
çîì, ÷åì ìèíèàòþðíåå ïðîöåññîð, òåì áîëåå ñëàáûå Ãäå ëåæàò ãðàíèöû ìåæäó ìàêðî-
òîêè äîëæíû â íåì ïðîòåêàòü. Îäíàêî óìåíüøàòü è ìèêðîìèðàìè?
íàïðÿæåíèå ñîâñåì äî íóëÿ òîæå íåëüçÿ: íà÷èíàÿ ñ Êàê óæå ãîâîðèëîñü, áëèæàéøèì òåõíîëîãè÷åñêèì
íåêîòîðîãî ïðåäåëà ïîëåçíûå òîêè (ñèãíàëû) îêàçûâà- íîâøåñòâîì â êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèÿõ îæèäàåòñÿ
þòñÿ ñòîëü ìàëûìè, ÷òî ïðîñòî òåðÿþòñÿ íà ôîíå ïåðåõîä íà 25-íàíîìåòðîâóþ òåõíîëîãèþ. Ìíîãî ýòî
ðàçëè÷íîãî ðîäà øóìîâ, âñåãäà ïðèñóòñòâóþùèõ â èëè ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàñøòàáàìè êâàíòîâîãî
ýëåêòðè÷åñêèõ ñõåìàõ. Ïîýòîìó ïðîåêòèðîâùèêè íî- ìèðà? Äëÿ òîãî ÷òîáû äàòü îòâåò íà ýòîò âîïðîñ,
âûõ ïðîöåññîðîâ âîâñå íå çàèíòåðåñîâàíû ñïåöèàëüíî äàâàéòå âçãëÿíåì íà ðèñóíîê 4, ãäå ïðåäñòàâëåíû
ïîíèæàòü íàïðÿæåíèå, îäíàêî îíè âûíóæäåíû ýòî õàðàêòåðíûå ìàñøòàáû íàíîôèçèêè.
äåëàòü ïðè äàëüíåéøåé ìèíèàòþðèçàöèè.
Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî íå çà ãîðàìè òî âðåìÿ,
êîãäà êîíöåïöèÿ äàëüíåéøåãî óâåëè÷åíèÿ áûñòðîäåé-
ñòâèÿ ïðîöåññîðà çà ñ÷åò ìèíèàòþðèçàöèè è ðîñòà
÷èñëà òðàíçèñòîðîâ â íåì áóäåò èñ÷åðïàíà.
XXI âåê: â ïîèñêàõ íîâîé ïàðàäèãìû
Ââèäó óêàçàííûõ òðóäíîñòåé, âîçíèêøèõ íà ïóòè Ðèñ.4. Õàðàêòåðíûå ìàñøòàáû íàíîôèçèêè (1 íì = 10–9 ì)
ïðÿìîãî óâåëè÷åíèÿ òàêòîâîé ÷àñòîòû òðàäèöèîííîãî
ïðîöåññîðà, äâà âåäóùèõ ïðîèçâîäèòåëÿ Intel è AMD Ïåðâîé ìèêðîñêîïè÷åñêîé äëèíîé, êîòîðóþ ñëåäóåò
ñ 2005 ãîäà áûëè ôàêòè÷åñêè âûíóæäåíû ïåðåéòè ê èìåòü â âèäó ïðè ìèíèàòþðèçàöèè ýëåìåíòàðíûõ áëî-
ðåàëèçàöèè ïðèíöèïèàëüíî íîâîé àðõèòåêòóðû «ìîçãà êîâ ïðîöåññîðà, ÿâëÿåòñÿ äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà
êîìïüþòåðà» – ìíîãîÿäåðíîìó ïðîöåññîðó. Ñíà÷àëà ýëåêòðîíîâ le ïðè èõ äâèæåíèè âíóòðè ìåòàëëè÷åñêèõ
ýòî áûëè äâóõÿäåðíûå ïðîöåññîðû, à òåïåðü íà ïîäõî- ñëîåâ. Íàïîìíèì, ÷òî çàêîí Îìà îñíîâàí íà ïðåäïîëî-
äå ïðîöåññîðû ñ ÷åòûðüìÿ è áîëåå ÿäðàìè. Òàêèå æåíèè î äèôôóçíîì õàðàêòåðå äâèæåíèÿ, â ïðîöåññå
óñòðîéñòâà îáúåäèíÿþò äâà è áîëåå íåçàâèñèìûõ ïðî- êîòîðîãî ýëåêòðîí, äâèãàÿñü ïî ïðîâîäíèêó, èñïûòû-
öåññîðîâ, èìåþùèõ ïðè ýòîì îáùóþ ñâåðõîïåðàòèâ- âàåò ìíîãîêðàòíûå ðàññåÿíèÿ íà ïðèìåñÿõ èëè äðóãèõ
íóþ ïàìÿòü è åå êîíòðîëëåð. Òàêàÿ àðõèòåêòóðà ïîçâî- äåôåêòàõ. Ïðè ýòîì ñòàíîâèòñÿ íåñóùåñòâåííûì êîí-
ëÿåò ñóùåñòâåííî óâåëè÷èâàòü áûñòðîäåéñòâèå êîìïü- êðåòíîå ðàñïîëîæåíèå äåôåêòîâ – òðàíñïîðòíûå ñâîé-
þòåðà áåç óâåëè÷åíèÿ òàêòîâîé ÷àñòîòû è, ñëåäîâàòåëü- ñòâà îïðåäåëÿþòñÿ äëèíîé ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêò-
íî, èçáåãàòü ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ïðîáëåì. Îäíàêî íå ðîíîâ le , óñðåäíåííîé ïî ïîëîæåíèþ ïðèìåñåé. Ïîýòî-
ñëåäóåò äóìàòü, ÷òî ñ äâóìÿ ÿäðàìè áûñòðîäåéñòâèå ìó ìåòàëëè÷åñêèå ìîñòèêè ìåæäó ýëåìåíòàðíûìè òðàí-
ïðîñòî âîçðàñòàåò âäâîå. Ñèòóàöèÿ îêàçûâàåòñÿ ãîðàç- çèñòîðàìè â ìèêðîñõåìå ìîæíî ñ÷èòàòü îáû÷íûìè
äî áîëåå ñëîæíîé: ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ìíîãîÿäåðíîãî ðåçèñòîðàìè, ïîä÷èíÿþùèìèñÿ çàêîíó Îìà ëèøü äî
ïðîöåññîðà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò òèïà ðåøàåìîé òåõ ïîð, ïîêà èõ ðàçìåðû L îñòàþòñÿ ãîðàçäî áîëüøè-
çàäà÷è, îò ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ, îñíîâàííîãî íà ìè äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíîâ: L ? le (â
íîâûõ (èñïîëüçóþùèõ ïðåèìóùåñòâà ïàðàëëåëèçìà) èñïîëüçóåìûõ â ìèêðîñõåìàõ íàïûëåííûõ ìåòàëëè-
àëãîðèòìàõ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ áûñòðîäåéñòâèå äåé- ÷åñêèõ ïëåíêàõ le îêàçûâàåòñÿ ïîðÿäêà íàíîìåòðîâ).
ñòâèòåëüíî âîçðàñòàåò ïî÷òè âäâîå, â äðóãèõ çàäà÷àõ –  ïðîòèâîïîëîæíîì ïðåäåëå, L = le , äâèæåíèå ýëåê-
ýòî íå òàê. òðîíà èìååò áàëëèñòè÷åñêèé õàðàêòåð, ò.å. ýëåêòðîíû
Õîòÿ ðàçâèòèå ìíîãîÿäåðíûõ òåõíîëîãèé – ýôôåê- âìåñòî äèôôóçèè ñ ïîñòîÿííîé ñðåäíåé ñêîðîñòüþ
òèâíîå èíæåíåðíîå ðåøåíèå, îíî îñòàåòñÿ ïîëóìåðîé, ïðîñòî óñêîðÿþòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì íà ïðîòÿæå-
íå ÿâëÿåòñÿ êà÷åñòâåííî íîâûì íàïðàâëåíèåì äàëüíåé- íèè âñåãî ïðîâîäíèêà. Ïîíÿòíî, ÷òî ñâîéñòâà òàêèõ
øåãî ðàçâèòèÿ êîìïüþòåðíîé òåõíèêè. Íóæíî ÿñíî «íàíîïðîâîäîâ» áóäóò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò
îñîçíàâàòü, ÷òî, îñòàâàÿñü â ðàìêàõ ñòàðîé ïàðàäèãìû, ñâîéñòâ îáû÷íûõ îìè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêèõ
ñîâðåìåííàÿ òåõíîëîãèÿ âïëîòíóþ ïðèáëèæàåòñÿ ê öåïåé.
ïðåäåëàì ìàêðîìèðà, ãäå ñòàíîâÿòñÿ íåïðèìåíèìûìè Ñëåäóþùèì âàæíûì ìàñøòàáîì, óêàçûâàþùèì íà
01_24.p65 4 30.01.09, 12:13

7. ÍÀ ÏÓÒÈ Ê ÊÂÀÍÒÎÂÎÌÓ ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÓ #
ãðàíèöó ìåæäó êëàññè÷åñêèì ìàêðîìèðîì è êâàíòî- ñòàíîâèòñÿ ñðàâíèìîé ñ äðóãèìè ýíåðãåòè÷åñêèìè ìàñ-
âûì ìèêðîìèðîì, ñëóæèò äåáðîéëåâñêàÿ äëèíà âîëíû øòàáàìè (òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ kT èëè ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà
ýëåêòðîíà λ F = h p0 (çäåñü h – ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, a eV â ïîëå ïðèëîæåííîãî ê êîíäåíñàòîðó ïîòåíöèàëà),
p0 – èìïóëüñ ýëåêòðîíà). Õàðàêòåðíûìè ñâîéñòâàìè òî â ñèñòåìå ìîãóò ïðîÿâèòü ñåáÿ íîâûå ÿâëåíèÿ,
êâàíòîâîãî ìèðà ÿâëÿþòñÿ êâàíòîâàíèå è èíòåðôåðåí- ñâÿçàííûå ñ òàê íàçûâàåìûì îäíîýëåêòðîííûì òóííå-
öèÿ. Ïîýòîìó, êàê òîëüêî íàèìåíüøèé èç ðàçìåðîâ ëèðîâàíèåì.
ïðîâîäíèêà Lmin ñðàâíèâàåòñÿ ñ äåáðîéëåâñêîé äëè- Âûáîð ïðè êîíñòðóèðîâàíèè ýëåìåíòîâ íàíîýëåêòðî-
íîé âîëíû ( Lmin : λ F ), ýëåêòðîí îêàçûâàåòñÿ êàê áû íèêè ðàçëè÷íûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó èõ ãåîìåòðè÷åñ-
«çàïåðòûì» â ýòîì íàïðàâëåíèè è âåäåò ñåáÿ ñîãëàñíî êèìè ðàçìåðàìè, â ñðàâíåíèè ñ ïåðå÷èñëåííûìè âûøå
çàêîíàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ìàñøòàáàìè êâàíòîâîãî ìèðà, ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ
ñêàçàòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé íàíîïðîâîäíèê ñòàíî- ìíîãî÷èñëåííûõ íîâûõ âîçìîæíîñòåé äëÿ ðåàëèçàöèè
âèòñÿ «êâàíòîâîé ÿìîé», äâèæåíèå ýëåêòðîíà â êîòî- ïðèíöèïèàëüíî íîâîãî, ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêîé
ðîé êâàíòóåòñÿ. Âåëè÷èíà λ F ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ìèêðîýëåêòðîíèêîé, êâàíòîâîãî òðàíñïîðòà â òàêèõ
êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ â ìåòàëëå. Äëÿ íîðìàëüíîãî ñèñòåìàõ. Èõ êà÷åñòâåííî íîâûå ñâîéñòâà ìîãóò äàòü
ìåòàëëà îíà îêàçûâàåòñÿ ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ àíãñò- ñîâåðøåííî íåîæèäàííûå âîçìîæíîñòè äëÿ ïðèìåíå-
ðåì, ò.å. àòîìíîãî ìàñøòàáà. Â ïîëóïðîâîäíèêàõ, íèé. Íèæå ìû êðàòêî îáñóäèì ëèøü íåêîòîðûå èç
îäíàêî, λ F ìîæåò îêàçàòüñÿ íàìíîãî áîëüøåé, è êàíäèäàòîâ íà áàçîâûå ýëåìåíòû áóäóùåé íàíîýëåêò-
êâàíòîâàíèå äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ â òàêèõ íàíîïðî- ðîíèêè.
âîäíèêàõ ìîæåò ñóùåñòâåííî èçìåíèòü èõ ñâîéñòâà ïî
ñðàâíåíèþ ñ ìàññèâíûìè îáðàçöàìè, âûïîëíåííûìè Êâàíòîâûå ïðîâîäà
èç òîãî æå ìàòåðèàëà. Íàïðèìåð, êâàíòîâàíèå ïîïåðå÷- è êâàíòîâûå òî÷å÷íûå êîíòàêòû
íîãî äâèæåíèÿ ëèøü â îäíîì èç íàïðàâëåíèé ïîçâîëÿåò Ðàññìîòðèì, êàê ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ïðîòåêàåò ÷å-
ñîçäàòü íîâûé îáúåêò – äâóìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç, ðåç òàê íàçûâàåìûé êâàíòîâûé ïðîâîä – î÷åíü òîíêèé
êîòîðûé ñëóæèò ýëåìåíòàðíûì ñòðîèòåëüíûì áëîêîì ïðîâîäÿùèé êàíàë,
äëÿ ñîâðåìåííûõ ýëåêòðîííûõ ïðèáîðîâ. ñîäåðæàùèé íîñèòåëè
Åùå îäíèì âàæíûì ìàñøòàáîì äëèíû, îòñóòñòâóþ- çàðÿäà, îäíàêî ñâî-
ùèì â êëàññè÷åñêîì ìàêðîìèðå, ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâà- áîäíûé îò ïðèìåñåé
åìàÿ äëèíà êîãåðåíòíîñòè lφ . Äåëî â òîì, ÷òî èìïóëüñ èëè èíûõ äåôåêòîâ
ýëåêòðîíà ìåíÿåò ñâîå íàïðàâëåíèå ïðè ðàññåÿíèè íà êðèñòàëëè÷åñêîé ðå-
ïðèìåñÿõ, îäíàêî ñîõðàíÿåò ñâîþ àáñîëþòíóþ âåëè÷è- øåòêè (ðèñ.5). Êàê
íó, à çíà÷èò, ñîõðàíÿåòñÿ è ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà. Òàêîå óæå ãîâîðèëîñü, ïðè
ðàññåÿíèå íàçûâàþò óïðóãèì. Çàìåòèì, ÷òî â êâàíòî- Lmin = L^ Ù λ F ýëåê-
âîé ìåõàíèêå ïîìèìî ýíåðãèè ñóùåñòâóåò åùå îäíà òðîí îêàçûâàåòñÿ çà-
âàæíàÿ õàðàêòåðèñòèêà – ôàçà âîëíîâîé ôóíêöèè. ïåðòûì â êâàíòîâîé
Îáû÷íî äàæå ïîñëå ìíîãèõ àêòîâ óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ ÿìå, è åãî äâèæåíèå â
ýëåêòðîí ñîõðàíÿåò ñâîþ ôàçó è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò ïîïåðå÷íîì íàïðàâëå-
ïî-ïðåæíåìó ó÷àñòâîâàòü â ïðîöåññàõ êâàíòîâîé èí- íèè îêàçûâàåòñÿ êâàí-
òåðôåðåíöèè. Íàðÿäó ñ óïðóãèì ðàññåÿíèåì ýëåêòðîíà òîâàííûì. Ýòî îçíà-
íà ïðèìåñÿõ ìîæåò ïðîèñõîäèòü òàêæå åãî íåóïðóãîå ÷àåò, ÷òî ÷àñòü êèíå-
ðàññåÿíèå íà êîëåáàíèÿõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè òè÷åñêîé ýíåðãèè, ñî- Ðèñ.5. à) Îáû÷íûé ðåçèñòîð ñ
(ôîíîíàõ).  ðåçóëüòàòå èçìåíÿåòñÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðî- îòâåòñòâóþùàÿ ïîïå- ïðèìåñÿìè; á) áàëëèñòè÷åñêîå
íà, à ñ íåé è ôàçà – ïîýòîìó ýëåêòðîí áîëüøå íå ìîæåò äâèæåíèå â êâàíòîâîì ïðîâîäå;
ðå÷íîìó äâèæåíèþ, â) êâàíòîâûé òî÷å÷íûé êîíòàêò
ó÷àñòâîâàòü â ïðîöåññàõ èíòåðôåðåíöèè. Àíàëîãè÷íî, ìîæåò ïðèíèìàòü
íà ôàçó âîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà âëèÿþò è ñòîë- òîëüêî îïðåäåëåííûå äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ En , â òî
êíîâåíèÿ ñ ïåðåâîðîòîì ñïèíà, ïåðåâîäÿùèå ýëåêòðîí âðåìÿ êàê äâèæåíèå ýëåêòðîíà âäîëü ïðîâîäà îñòàåò-
â êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå, îáðàùåííîå âî âðåìåíè. Õàðàê- ñÿ ñâîáîäíûì. Òàê êàê ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà Å
òåðíàÿ äëèíà, íà êîòîðîé ôàçà âîëíîâîé ôóíêöèè åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, òî, ÷åì áîëüøå îêàçûâàåò-
ýëåêòðîíà èç-çà ðàññåÿíèÿ èçìåíÿåòñÿ íà 2π (÷òî ñÿ âåëè÷èíà En , òåì ìåíüøàÿ ÷àñòü êèíåòè÷åñêîé
îçíà÷àåò ïîëíóþ ïîòåðþ ôàçîâîé ïàìÿòè), íàçûâàåòñÿ ýíåðãèè ñîîòâåòñòâóåò ïðîäîëüíîìó äâèæåíèþ. ×åì
äëèíîé ôàçîâîé êîãåðåíòíîñòè lφ . Åñëè ãåîìåòðè÷åñ- ìåíüøå ýíåðãèÿ, òåì ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîñòàâ-
êèå ðàçìåðû ýëåìåíòà ïðîöåññîðà ñòàíîâÿòñÿ ìåíüøè- ëÿþùàÿ èìïóëüñà è, ñëåäîâàòåëüíî, òåì áîëüøå äëè-
ìè lφ , â ïðèáîðå ìîãóò ïðîÿâëÿòüñÿ èíòåðôåðåíöèîí- íà âîëíû. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó óðîâíþ ïîïåðå÷-
íûå ÿâëåíèÿ. íîãî êâàíòîâàíèÿ En ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ïëîñêàÿ âîë-
Íàïîìíèì, íàêîíåö, ÷òî â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå íà ñ äëèíîé λ n – âîëíîâàÿ ìîäà.
âåëè÷èíà çàðÿäà ýëåêòðîíà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê áåñêî- Ýëåêòðîí, äâèãàÿñü â êâàíòîâîì ïðîâîäå, ñêîðåå
íå÷íî ìàëàÿ, è ïîýòîìó ïîòîê çàðÿäà â ïðîöåññå íàïîìèíàåò ñîâîêóïíîñòü ðàçëè÷íûõ ìîä â âîëíîâîäå,
çàðÿäêè èëè ðàçðÿäêè êîíäåíñàòîðà ïðåäïîëàãàåòñÿ ÷åì ÷àñòèöó, äèôôóíäèðóþùóþ ñêâîçü ïðèìåñè â
íåïðåðûâíûì. Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè åìêîñòü Ñ åäèíè÷íî- îáû÷íîì ïðîâîäíèêå (ðèñ.6). Êàæäàÿ ìîäà äàåò ñâîé
ãî ýëåìåíòà ïðîöåññîðà íàñòîëüêî ìàëà, ÷òî ýëåêòðî- âêëàä â ïåðåíîñ çàðÿäà. Ïîëíàÿ æå ïðîâîäèìîñòü
ñòàòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îäíîãî ýëåêòðîíà íà íåì e2 2C îïðåäåëÿåòñÿ ñóììîé âñåõ ýòèõ âêëàäîâ. Âêëàä åäèíè÷-
01_24.p65 5 30.01.09, 12:13

8. $ ÊÂÀÍT$ 2009/¹1
íîãî êâàíòîâîãî êàíàëà â ïåðåíîñ çàðÿäà ìîæíî
îöåíèòü ïðèâû÷íûì íàì ìåòîäîì ðàçìåðíîñòåé.
 èäåàëüíîì ñëó÷àå åãî ïðîâîäèìîñòü íå äîëæíà
çàâèñåòü îò ñâîéñòâ ñàìîãî êâàíòîâîãî ïðîâîäà,
Ðèñ.6. à) Âîëíîâûå ìîäû â êâàíòîâîì ïðîâîäå; Ðèñ.8. Êâàíòîâàÿ òî÷êà (QD) – ìàëàÿ ìåòàëëè÷åñêàÿ êàïëÿ, ðàñïîëîæåí-
á) îáû÷íûé ðåçèñòîð ñ ïðèìåñÿìè íàÿ íà èçîëèðóþùåé ïîäëîæêå; âîêðóã íåå – ìåòàëëè÷åñêèå ýëåêòðîäû
à äîëæíà áûòü ïðîñòî êîìáèíàöèåé óíèâåðñàëüíûõ ïîòåíöèàë êâàíòîâîé òî÷êè. Âòîðàÿ ïàðà ýëåêòðîäîâ –
ôèçè÷åñêèõ ïîñòîÿííûõ. Åäèíñòâåííàÿ òàêàÿ êîìáè- ýòî èñòî÷íèê è ñòîê, êîòîðûå ïîñòàâëÿþò è óäàëÿþò
íàöèÿ ñ ðàçìåðíîñòüþ ñîïðîòèâëåíèÿ – ýòî h e2 , ýëåêòðîíû ñ êâàíòîâîé òî÷êè.
êîòîðîé, ïîíÿòíî, â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå âîçíèêíóòü Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà êâàíòîâîé òî÷êå ïðèñóòñòâóåò
áûëî áû íåîòêóäà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî e2 h ÿâëÿåòñÿ N èçáûòî÷íûõ ýëåêòðîíîâ è, òàêèì îáðàçîì, åå ïîëíûé
ïðåäåëüíîé âåëè÷èíîé ïðîâîäèìîñòè, êîòîðàÿ â ïðèí- çàðÿä Q = Ne.  îòñóòñòâèå âíåøíåãî ýëåêòðîñòàòè÷åñ-
öèïå ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè êîãî ïîëÿ ýòîìó çàðÿäó ñîîòâåòñòâóåò ýëåêòðîñòàòè-
îäíîé ìîäû â êâàíòîâîì ïðîâîäå. Íà ðèñóíêå 7 ïðåä- ÷åñêàÿ ýíåðãèÿ êâàíòîâîé òî÷êè Q2 2C = N 2e2 2C ,
ãäå Ñ – åìêîñòü êâàíòîâîé òî÷êè (îáû÷íî î÷åíü
ìàëàÿ). Ýòà ýíåðãèÿ âîçíèêàåò áëàãîäàðÿ îòòàëêèâà-
íèþ ðàñïðåäåëåííûõ ïî ïîâåðõíîñòè òî÷êè èçáûòî÷-
íûõ çàðÿäîâ.
Åñëè ê çàòâîðó ïðèëîæåíî êîíå÷íîå íàïðÿæåíèå
U, òî ýëåêòðîñòàòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ êâàíòîâîé òî÷êè
ñêëàäûâàåòñÿ èç äâóõ ñëàãàåìûõ – íàéäåííîé âûøå
ýíåðãèè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî îòòàëêèâàíèÿ èçáûòî÷-
íûõ çàðÿäîâ è ðàáîòû âíåøíåãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
ïî ïåðåíîñó ýòèõ çàðÿäîâ èç áåñêîíå÷íîñòè íà êâàí-
òîâóþ òî÷êó:
N 2e2
E N,U = - UNe .
2C
Ðèñ.7. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå âîïëîùåíèå êâàíòîâîãî òî÷å÷íî-
ãî êîíòàêòà è çàâèñèìîñòü åãî ïðîâîäèìîñòè îò íàïðÿæåíèÿ Êàê âèäíî, E(N, U) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé
íà çàòâîðå ïðè ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóðàõ îò ÷èñëà ýëåêòðîíîâ N. Ôîðìàëüíî åå ìèíèìóì äîñòè-
ãàåòñÿ ïðè N = CU e – òàì, ãäå ïðîèçâîäíàÿ dE dN
ñòàâëåí ðåàëüíûé êâàíòîâûé òî÷å÷íûé êîíòàêò. Åãî ðàâíà íóëþ.
ïðîâîäèìîñòü G ïðè òåìïåðàòóðå æèäêîãî ãåëèÿ Ò = Òóò ñàìîå âðåìÿ âñïîìíèòü, ÷òî N äîëæíî áûòü
= 1,7 Ê âìåñòî òîãî ÷òîáû áûòü ïîñòîÿííîé, â ñîãëàñèè öåëûì ÷èñëîì. Ïîýòîìó â çàâèñèìîñòè îò íàïðÿæåíèÿ
ñ ïðåäñòàâëåíèÿìè êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîííîé òåîðèè, íà çàòâîðå, âîçìîæíû ðàçëè÷íûå ñèòóàöèè (ñì. ðèñ.8).
äèñêðåòíî èçìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò íàïðÿæåíèÿ íà  ïåðâîì ñëó÷àå, êîãäà U = Ne C , ìèíèìóì ïàðàáîëû
çàòâîðå, êîòîðîå êîíòðîëèðóåò ýôôåêòèâíóþ øèðèíó äåéñòâèòåëüíî ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíîìó ñîñòîÿíèþ ñ
ïðîâîäÿùåãî êàíàëà. Âûñîòà êàæäîé òàêîé ñòóïåíüêè öåëûì ÷èñëîì ýëåêòðîíîâ N. Îäíàêî êîãäà íàïðÿæå-
ñîîòâåòñòâóåò 2e2 h . Êâàíòîâàíèå ïðîâîäèìîñòè òî- íèå ïà çàòâîðå äîñòèãàåò âåëè÷èíû U = N + 1 2 e C ,
÷å÷íîãî êîíòàêòà îáû÷íî èñ÷åçàåò ïðè L Ú 2 íì; îíî ìèíèìóì ïîëíîé ýíåðãèè äîëæåí áûë áû ñîîòâåòñòâî-
òàêæå ðàçìûâàåòñÿ è ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû. âàòü ïîëóöåëîìó ÷èñëó ýëåêòðîíîâ, ÷òî íåâîçìîæíî.
Êóëîíîâñêàÿ áëîêàäà Áëèæàéøèå ïî ýíåðãèè ê ýòîìó ôîðìàëüíîìó ìèíèìó-
è îäíîýëåêòðîííûé òðàíçèñòîð ìó ðåàëèçóåìûå ñîñòîÿíèÿ – ýòî ñîñòîÿíèÿ ñ öåëûìè
÷èñëàìè ýëåêòðîíîâ N è N + 1. Âàæíî, ÷òî îáà ýòèõ
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà òàê íàçûâàåìîé êâàíòîâîé òî÷- ñîñòîÿíèÿ èìåþò îäíó è òó æå ýíåðãèþ:
êè – ìàëîé ìåòàëëè÷åñêîé êàïëè (åå ðàçìåð äîëæåí
æ CU 1 ö æ CU 1 ö
áûòü ïîðÿäêà 1 íì èëè äàæå åùå ìåíüøå), ðàñïîëîæåí- EçN = - ,U ÷ = E ç N = + ,U ÷ =
íîé íà èçîëèðóþùåé ïîäëîæêå (ðèñ.8). Ìåòàëëè÷åñ- è e 2 ø è e 2 ø
êèå ýëåêòðîäû âûïîëíÿþò ðàçíûå ôóíêöèè. Ïåðâûé CU 2 e2
= + .
ýëåêòðîä – ýòî çàòâîð, ìåíÿþùèé ýëåêòðîñòàòè÷åñêèé 2 8C
01_24.p65 6 30.01.09, 12:13

9. ÍÀØÀ ÎÁËÎÆÊÀ 7
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ïðè ïðîâîäèìîñòè êâàíòîâîé òî÷êè g îò íàïðÿæåíèÿ íà
çíà÷åíèè íàïðÿæåíèÿ íà çàòâîðå U = Ne C ñîñòîÿíèÿ çàòâîðå U, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñóíêå 9.
êâàíòîâîé òî÷êè ñ N è N + 1 ýëåêòðîíàìè ðàçäåëåíû Ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî îäíîýëåêòðîííûå òðàíçèñòî-
ýíåðãåòè÷åñêîé ùåëüþ e2 2C , è, ñëåäîâàòåëüíî, çà- ðû ïîçâîëÿò â ñêîðîì áóäóùåì ñîçäàòü ëîãè÷åñêèå
êîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè êàê áû áëîêèðóåò ïåðåíîñ ñõåìû, ðàáîòàþùèå ñî ñëàáåéøèìè èç âîçìîæíûõ
ýëåêòðîíîâ ìåæäó èñòî÷íèêîì è ñòîêîì – êâàíòîâàÿ òîêîâ è, ñîîòâåòñòâåííî, â êîòîðûõ ýíåðãèÿ áóäåò
òî÷êà îêàçûâàåòñÿ «çàïåðòîé». Íàîáîðîò, ïðè íàïðÿ- ðàññåèâàòüñÿ ìèíèìàëüíî.
æåíèè U = N + 1 2 e C ýëåêòðîíû ìîæíî ïåðåíîñèòü
íà êâàíòîâóþ òî÷êó «áåñïëàòíî», òàê êàê ñîñòîÿíèÿì ñ ***
N è N + 1 ýëåêòðîíàìè ñîîòâåòñòâóåò îäíî è òî æå Ìû äàëè î÷åíü êîðîòêèé è ïîâåðõíîñòíûé îáçîð
çíà÷åíèå ýíåðãèè – êâàíòîâàÿ òî÷êà îêàçûâàåòñÿ «îò- âñåãî ëèøü íåñêîëüêèõ âîïðîñîâ óâëåêàòåëüíîé îáëà-
êðûòîé». ñòè ñîâðåìåííîé íàóêè. Ïî-àíãëèéñêè îíà íàçûâàåòñÿ
Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî ìåòàëëè÷åñêàÿ êàïëÿ ðàçìåðîì nanoscience (íàíî-íàóêà), ïî-ðóññêè ìû ãîâîðèì î
ïîðÿäêà äåñÿòè àíãñòðåì ìîæåò ðàáîòàòü êàê ýôôåê- íàíîôèçèêå, íàíîõèìèè è äðóãèõ íàíîäèñöèïëèíàõ.
òèâíûé òðàíçèñòîð – òî ïðîïóñêàÿ òîê, òî çàïèðàÿñü. Íàçîâåì åùå íåñêîëüêî äðóãèõ âîçìîæíûõ «êàíäèäà-
Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, kT = e2 2C , òîê, ïðîòå- òîâ» â ñòðîèòåëüíûå áëîêè íàíîïðèáîðîâ, èññëåäîâà-
êàþùèé ñêâîçü òàêîé, «îäíîýëåêòðîííûé òðàíçèñòîð», íèå ñâîéñòâ êîòîðûõ ñåãîäíÿ íàõîäèòñÿ íà ïåðåäíåì
÷ðåçâû÷àéíî ìàë ïðè âñåõ íàïðÿæåíèÿõ íà çàòâîðå, êðàå íàóêè. Ñðåäè íèõ ãðàôåí – ìîíîñëîé ãðàôèòà, â
êðîìå îñîáûõ çíà÷åíèé U N = N + 1 2 e C . Âáëèçè êîòîðîì ýëåêòðîíû îáðàçóþò äâóìåðíûé ãàç ñ ðåëÿòè-
ýòèõ çíà÷åíèé â ïðîâîäèìîñòè äîëæíû íàáëþäàòüñÿ âèñòñêèì ñïåêòðîì (ò.å. äâèæóòñÿ ïîäîáíî êâàíòàì
ðåçêèå âñïëåñêè. Âû ìîæåòå èõ óâèäåòü íà ýêñïåðèìåí- ñâåòà); óãëåðîäíûå è íåóãëåðîäíûå íàíîòðóáêè; íàíî-
òàëüíî èçìåðåííîé çàâèñèìîñòè äèôôåðåíöèàëüíîé ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû; ãèáðèäíûå ïðèáîðû
äëÿ êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé, îñíîâàííûå íà ñâåðõïðî-
âîäÿùèõ è íîðìàëüíûõ ýëåìåíòàõ; òàê íàçûâàåìûå
ñïèíòðîííûå ïðèáîðû, äåéñòâèå êîòîðûõ îñíîâàíî íà
ìàíèïóëÿöèÿõ ñ îòäåëüíûìè ýëåêòðîííûìè è àòîìíû-
ìè ñïèíàìè; íàíîñâåðõïðîâîäíèêè, íàíîìàãíèòû è
ìíîãèå äðóãèå. Äëÿ ïîëíîãî ïîíèìàíèÿ ñâîéñòâ ýòèõ
ñèñòåì íåîáõîäèìî ðåøèòü öåëûé ðÿä ôóíäàìåíòàëü-
íûõ è ïðèêëàäíûõ ïðîáëåì. Ãëàâíûå èç íèõ ñâÿçàíû
ñ îñîáåííîñòÿìè êâàíòîâîãî òðàíñïîðòà, âëèÿíèÿ íà
íåãî ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ íà äåôåêòàõ, ôîíîíàõ, à
òàêæå ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ó÷åòà
ðîëè êîíòàêòîâ è îêðóæàþùåé íàíîïðèáîð ýëåêòðî-
ìàãíèòíîé ñðåäû. Âñå ýòè çàäà÷è åùå äàëåêè îò çàâåð-
Ðèñ.9. Ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðåííàÿ çàâèñèìîñòü äèôôå-
øåíèÿ. Ïîýòîìó èññëåäîâàíèþ êàæäîé èç ýòèõ ñèñòåì
ðåíöèàëüíîé ïðîâîäèìîñòè êâàíòîâîé òî÷êè îò íàïðÿæåíèÿ ïîñâÿùåíî ìíîãî íàó÷íûõ ðàáîò, ôîðìèðóþùèõ ïåðåä-
íà çàòâîðå íèé êðàé ñîâðåìåííîé íàóêè è òåõíèêè.
ÍÀØÀ ÎÁËÎÆÊÀ
Ñêîëüêî ëó÷åé ó ñîëíå÷íîãî áëèêà?
(Ñì. 4-þ ñ. îáëîæêè)
Îïòè÷åñêèå ïðèáîðû (êèíî- è ôîòîàïïàðàòû, òåëåñêî-
ïû, ìèêðîñêîïû è ò.ï.) âñåãäà èñêàæàþò èçîáðàæàåìûå
èìè îáúåêòû. Íàïðèìåð, íà ôîòîãðàôèÿõ ÿðêèõ ëàìï,
âñïûøåê ýëåêòðîñâàðêè èëè ñîëíå÷íûõ áëèêîâ ýòè ÿð-
êèå îáúåêòû ÷àñòî îêðóæåíû ñèììåòðè÷íî ðàñõîäÿùè-
ìèñÿ ëó÷àìè. Åñëè íà ôîòîãðàôèè òàêèõ îáúåêòîâ íå-
ñêîëüêî, òî ÷èñëî ðàñõîäÿùèõñÿ ëó÷åé è èõ îðèåíòàöèÿ
îäèíàêîâû.
Ðèñ.1. Îáúåêòèâ ôîòîàïïàðàòà ñ èðèñîâîé äèàôðàãìîé èç
Ïðè÷èíîé ïîÿâëåíèÿ íà ôîòî ëó÷åé âîêðóã ÿðêèõ ñåìè (ñëåâà) èëè øåñòè (ñïðàâà) ëåïåñòêîâ
îáúåêòîâ ÿâëÿåòñÿ äèôðàêöèÿ ñâåòà – ñïîñîáíîñòü ýëåêò-
ðîìàãíèòíûõ âîëí îãèáàòü ãðàíèöû ïðåïÿòñòâèé è ïðîíè- ×àùå âñåãî äèàôðàãìà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ çàõîäÿ-
êàòü â îáëàñòü ãåîìåòðè÷åñêîé òåíè.  îïòè÷åñêèõ ïðèáî- ùèõ äðóã çà äðóãà òîíêèõ íåïðîçðà÷íûõ ñåðïîâèäíûõ
ðàõ äèôðàêöèÿ ïðîèñõîäèò, êàê ïðàâèëî, íà êðàÿõ äèàô- ïëàñòèíîê-ëåïåñòêîâ, îáðàçóþùèõ îòâåðñòèå â âèäå ïðà-
ðàãìû, èñïîëüçóåìîé äëÿ èçìåíåíèÿ îñâåùåííîñòè è
ãëóáèíû ðåçêîñòè èçîáðàæåíèé. (Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 12)
01_24.p65 7 30.01.09, 12:13

10. ÊÂÀÍT$ 2009/¹1
Àôôèííàÿ ãåîìåòðèÿ
À.ÇÀÑËÀÂÑÊÈÉ
Õ
ÎÒß ÂÑÅ ØÊÎËÜÍÈÊÈ ÏÐÎÕÎÄßÒ ÃÅÎÌÅÒ- ñÿ ïàðàëëåëüíûìè), â ðåçóëüòàòå ÷åãî íà ñòåíå âîçíè-
ðèþ, ìàëî êòî ìîæåò ÷åòêî ñôîðìóëèðîâàòü, êàåò èçîáðàæåíèå ýòîãî ÷åðòåæà. Åñëè ïëîñêîñòè ñòåê-
÷òî èìåííî îíè ïðè ýòîì èçó÷àþò. Çàäàâàÿ ëà è ñòåíû ïàðàëëåëüíû, èçîáðàæåíèå â òî÷íîñòè
øêîëüíèêàì ýòîò âîïðîñ, ÿ îáû÷íî ïîëó÷àë â îòâåò ÷òî- ïîâòîðÿåò ÷åðòåæ, íî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îíî ìîæåò
íèáóäü âðîäå: «Ãåîìåòðèÿ èçó÷àåò ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîé- ïîäâåðãàòüñÿ çíà÷èòåëüíûì èñêàæåíèÿì. Íàïðèìåð,
ñòâà ôèãóð». Ïðè ýòîì íà ñëåäóþùèé âîïðîñ: «À êàêèå ðàâíûå îòðåçêè ìîãóò ïåðåéòè â íåðàâíûå, íå ñîõðàíÿ-
èìåííî ñâîéñòâà ôèãóð ÿâëÿþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèìè?» – þòñÿ âåëè÷èíû óãëîâ è ò.ä. Îäíàêî íåòðóäíî âèäåòü,
îòâåòà ïîëó÷èòü óæå íå óäàâàëîñü. ÷òî ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ÷åðòåæà ñîõðàíÿþòñÿ è íà
Íà ñàìîì äåëå, îáúåêòîì èçó÷åíèÿ òðàäèöèîííîé èçîáðàæåíèè.
øêîëüíîé ãåîìåòðèè ÿâëÿþòñÿ òå ñâîéñòâà ôèãóð, 1. Ëþáîé ïðÿìîé ÷åðòåæà ñîîòâåòñòâóåò ïðÿìàÿ íà
êîòîðûå íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ ïîäîáèÿ. èçîáðàæåíèè, ïðè÷åì ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì ñîîòâåò-
Íàïðèìåð, äâà ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêà, îäèí èç ñòâóþò ïàðàëëåëüíûå.
êîòîðûõ íàðèñîâàí ìåëîì íà äîñêå, à äðóãîé êàðàíäà- 2. Ñîõðàíÿþòñÿ îòíîøåíèÿ äëèí ïàðàëëåëüíûõ îò-
øîì â òåòðàäè, ñ òî÷êè çðåíèÿ ãåîìåòðèè îäèíàêîâû. ðåçêîâ.
Îäíàêî ÷àñòî èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò áîëåå ãëóáîêèå 3. Îòíîøåíèå ïëîùàäè ëþáîé ôèãóðû ê ïëîùàäè åå
îáðàçà ïîñòîÿííî äëÿ âñåõ ôèãóð.
Îòìåòèì åùå îäíî âàæíîå ñâîéñòâî ïàðàëëåëüíîé
ïðîåêöèè.
Óòâåðæäåíèå 1. Ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî ïàðàë-
ëåëüíîé ïðîåêöèåé ïåðåâåñòè â ïðàâèëüíûé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü äàí òðåóãîëüíèê ABC, ëåæà-
ùèé â ïëîñêîñòè π . Âîçüìåì ïëîñêîñòü π¢ , ïåðåñåêà-
þùóþ π ïî ïðÿìîé AB, è ðàñïîëîæåííûé â íåé
ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ABC¢ . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðîåê-
öèÿ π íà π¢ ïàðàëëåëüíî ïðÿìîé CC¢ – èñêîìàÿ.
Óïðàæíåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîé òðåóãîëüíèê ìîæíî
ïåðåâåñòè â ëþáîé äðóãîé êîìïîçèöèåé (ïîñëåäîâàòåëüíûì
ïðèìåíåíèåì) íåñêîëüêèõ ïàðàëëåëüíûõ ïðîåêöèé.
Óêàçàíèå. Ïîêàæèòå, ÷òî êîìïîçèöèåé äâóõ ïðîåêöèé
ìîæíî ïåðåâåñòè îäèí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê â äðóãîé.
Èç óòâåðæäåíèÿ 1 âûòåêàåò, ÷òî ëþáîå ñâîéñòâî
òðåóãîëüíèêà, êîòîðîå îòíîñèòñÿ òîëüêî ê îòíîøåíèÿì
äëèí ïàðàëëåëüíûõ îòðåçêîâ èëè ïëîùàäåé, äîñòàòî÷-
íî äîêàçàòü äëÿ òðåóãîëüíèêà ñïåöèàëüíîãî âèäà,
íàïðèìåð, ïðàâèëüíîãî. Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå
âåðíî äëÿ ïàðàëëåëîãðàììîâ, òàê êàê ìîæíî ðàçðåçàòü
êàæäûé ïàðàëëåëîãðàìì äèàãîíàëüþ íà äâà ðàâíûõ
ñâîéñòâà, êîòîðûå ñîõðàíÿþòñÿ íå òîëüêî ïðè ïîäîáè- òðåóãîëüíèêà è ñïðîåöèðîâàòü «ïîëîâèíó» îäíîãî ïà-
ÿõ, íî è ïðè äðóãèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.  ïåðâóþ ðàëëåëîãðàììà â «ïîëîâèíó» äðóãîãî.  ÷àñòíîñòè,
î÷åðåäü ýòî îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìûì àôôèííûì ñîâåðøåííî î÷åâèäíîé ñòàíîâèòñÿ òåîðåìà î òîì, ÷òî
ïðåîáðàçîâàíèÿì, ñ êîòîðûìè ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è
äàæå â îáû÷íîé øêîëüíîé ïðîãðàììå. Íàïðèìåð, äåëÿò äðóã äðóãà â îòíîøåíèè 2 : 1 – ïîñêîëüêó â íåé
äåëàÿ ÷åðòåæ êóáà, ìû íå ïûòàåìñÿ, äà è íå ñìîãëè áû ãîâîðèòñÿ ëèøü îá îòíîøåíèÿõ îòðåçêîâ, ëåæàùèõ íà
èçîáðàçèòü âñå åãî ãðàíè êâàäðàòàìè, íî ðèñóåì èõ â îäíîé ïðÿìîé, à ýòè îòíîøåíèÿ ïðè ïàðàëëåëüíîé
âèäå ïàðàëëåëîãðàììîâ, ò.å. ñóùåñòâåííûì ñâîéñòâîì ïðîåêöèè íå ìåíÿþòñÿ, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü åå äëÿ
äëÿ íàñ ÿâëÿåòñÿ íå ðàâåíñòâî èëè ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà.
ðåáåð êóáà, à èõ ïàðàëëåëüíîñòü. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî çàäà÷.
Ïàðàëëåëüíàÿ ïðîåêöèÿ è åå ñâîéñòâà Çàäà÷à 1. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãî-
íàëåé òðàïåöèè, òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ åå áîêîâûõ ñòî-
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåêîòîðûé ÷åðòåæ, ñäåëàííûé íà ðîí è ñåðåäèíû îñíîâàíèé ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.
ñòåêëå, îñâåùàåòñÿ ñîëíöåì (ñîëíå÷íûå ëó÷è ñ÷èòàþò- Ðåøåíèå. Ïóñòü áîêîâûå ñòîðîíû òðàïåöèè AB è CD
01_24.p65 8 30.01.09, 12:13

11. ÀÔÔÈÍÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß '
ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå E. Ñïðîåöèðîâàâ òðåóãîëüíèê óãîëüíèêà, à ïðÿìûå, ñî-
AED â ðàâíîáåäðåííûé, ïåðåâåäåì äàííóþ òðàïåöèþ åäèíÿþùèå ñåðåäèíû åãî
òàêæå â ðàâíîáåäðåííóþ, äëÿ êîòîðîé ÷åòûðå óêàçàí- ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòî-
íûõ òî÷êè ëåæàò íà îñè ñèììåòðèè. ðîí, ïåðåñåêàþòñÿ â åãî
 íåêîòîðûõ ó÷åáíèêàõ óòâåðæäåíèå ýòîé çàäà÷è öåíòðå òÿæåñòè (ðèñ.2).
íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î òðàïåöèè. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî, Äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ
ðåøàÿ çàäà÷ó, ìû ôàêòè÷åñêè äîêàçàëè åùå îäíî ñâîéñòâ ïîëíîñòüþ àíàëî-
ñâîéñòâî òðàïåöèè: îòðåçîê, ïàðàëëåëüíûé îñíîâàíè- ãè÷íû ðåøåíèþ çàäà÷è.
ÿì è ïðîõîäÿùèé ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé, Çàäà÷à 6. Íà ñòîðîíàõ
äåëèòñÿ ýòîé òî÷êîé ïîïîëàì. AB, BC, CA òðåóãîëüíè-
Çàäà÷à 2. Íà ñòîðîíàõ ïàðàëëåëîãðàììà ABCD êà ABC âçÿòû òî÷êè C¢ , Ðèñ. 2
ïëîùàäè S âçÿòû òî÷êè A¢, B ¢, C ¢, D¢ , òàêèå ÷òî AC ¢ BA¢ CB ¢ 1
AB BC CD DA A¢ , B¢ òàê, ÷òî = = = . Äîêàæèòå,
BC ¢ = , CD¢ = , DA¢ = , AB ¢ = . Íàé- AB BC CA 3
3 3 3 3 ÷òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî ïðÿìûìè
äèòå ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî ïðÿ- 1
ìûìè AA¢ , BB¢ , CC¢ , DD¢ . AA¢ , BB¢ è CC¢ , ðàâíà ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà
7
Ðåøåíèå. Äîñòàòî÷íî ðåøèòü çàäà÷ó äëÿ êâàäðàòà ñî ABC.
ñòîðîíîé 1.  ýòîì ñëó÷àå óêàçàííûé ÷åòûðåõóãîëüíèê Ðåøåíèå. Ïóñòü ABC – ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ñî
òîæå áóäåò êâàäðàòîì. Ïðè ýòîì äëèíà îòðåçêà BB¢
7
10 ñòîðîíîé 1. Òîãäà AA ¢ = BB ¢ = CC ¢ = . Îáîçíà÷èì
ðàâíà , à îòíîøåíèå îòðåçêîâ, íà êîòîðûå îí 3
3 òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ AA¢ è BB¢ , BB¢ è CC¢ ,
äåëèòñÿ ïðÿìûìè AA¢ è CC¢ , ðàâíî 1 : 6 : 3. Ïîýòîìó
ñòîðîíà ìàëåíüêîãî êâàä- CC¢ è AA¢ ÷åðåç C ¢¢, A¢¢, B ¢¢ . Òðåóãîëüíèêè A¢C ¢¢B è
10 A¢B 1
ðàòà ðàâíà , à åãî B ¢CB ïîäîáíû ñ êîýôôèöèåíòîì k = = . Ñëå-
5 B ¢B 7
2 1 1
ïëîùàäü (ðèñ.1). äîâàòåëüíî, BC ¢¢ = , B ¢A¢¢ = C ¢¢A¢ = , A¢¢C ¢¢ =
5 7 3 7
Çàäà÷à 3. Íà îñíîâàíèè 1
= C ¢¢B¢¢ = B ¢¢A¢¢ = ,
AB òðåóãîëüíèêà ABC 7
îòëîæåíû ðàâíûå îòðåç- ò.å. ïëîùàäü òðåóãîëü-
êè AA¢ = BB ¢ = a è ÷åðåç íèêà A¢¢B ¢¢C ¢¢ â 7 ðàç
òî÷êè A¢ è B¢ ïðîâåäåíû ìåíüøå ïëîùàäè ABC
ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå (ðèñ.3). Ýòî îòíîøåíèå
Ðèñ. 1 ñòîðîíàì BC è AC ñîîò- îñòàåòñÿ âåðíûì äëÿ
âåòñòâåííî. Êàêóþ ëè- ëþáîãî òðåóãîëüíèêà.
íèþ îïèñûâàåò òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ ïðè Çàäà÷à 7. Äîêàæè-
èçìåíåíèè âåëè÷èíû a? òå, ÷òî, ïîëüçóÿñü
Çàäà÷à 4. Âåðøèíû òðåóãîëüíèêà A¢B ¢C ¢ ëåæàò íà òîëüêî ëèíåéêîé,
ñòîðîíàõ òðåóãîëüíèêà ABC è äåëÿò èõ â îäíîì è òîì íåëüçÿ ïîñòðîèòü ïðà- Ðèñ. 3
æå îòíîøåíèè. Äîêàæèòå, ÷òî öåíòðû òÿæåñòè, âèëüíûé òðåóãîëüíèê.
ò.å. òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí, îáîèõ òðåóãîëüíèêîâ Ïîäðîáíåå î ñâîéñòâàõ ïàðàëëåëüíîé ïðîåêöèè ìîæ-
ñîâïàäàþò. íî ïðî÷åñòü â ñòàòüå «Ïàðàëëåëüíàÿ ïðîåêöèÿ» (ñì.
Çàäà÷à 5. ×åðåç êàæäóþ âåðøèíó òðåóãîëüíèêà «Êâàíò» ¹ 4 çà 2001 ã.).
ABC ïðîâåäåíû äâå ïðÿìûå, äåëÿùèå ïðîòèâîïîëîæ-
íóþ ñòîðîíó íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. Äîêàæèòå, ÷òî Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà
òðè ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå ïðîòèâîïîëîæíûå âåðøè- àôôèííûõ ïðåîáðàçîâàíèé
íû ïîëó÷åííîãî øåñòèóãîëüíèêà, ïåðåñåêàþòñÿ â îä- Ñâîéñòâî 1 ïàðàëëåëüíîé ïðîåêöèè ïðèíèìàåòñÿ çà
íîé òî÷êå. îñíîâó ñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ.
Ðåøåíèå. Â ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ýòè òðè ïðÿ- Îïðåäåëåíèå. Àôôèííûì (îò ëàòèíñêîãî affinis –
ìûå ñîâïàäàþò ñ åãî îñÿìè ñèììåòðèè, ñëåäîâàòåëüíî, ðîäñòâåííûé) íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå (ò.å. âçàèì-
â îáùåì ñëó÷àå îíè ñîâïàäóò ñ ìåäèàíàìè äàííîãî íî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå) ïëîñêîñòè, ïåðåâîäÿùåå
òðåóãîëüíèêà. êàæäóþ ïðÿìóþ â ïðÿìóþ.
Îòìåòèì åùå íåñêîëüêî ñâîéñòâ îïèñàííîé êîíôè- Èç îïðåäåëåíèÿ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ïàðàëëåëüíûå
ãóðàöèè. Çàíóìåðóåì ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå âåðøè- ïðÿìûå ïðè àôôèííîì ïðåîáðàçîâàíèè ïåðåõîäÿò â
íû òðåóãîëüíèêà ñ òî÷êàìè íà ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòî- ïàðàëëåëüíûå. Äåéñòâèòåëüíî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå
ðîíàõ, öèôðàìè 1–6 è îáîçíà÷èì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ îáðàçîâ ïðÿìûõ íå ñîîòâåòñòâîâàëà
ïðÿìûõ i è j êàê Pij . Òîãäà òðåóãîëüíèêè P P25 P36
14 áû íèêàêàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè.
è P P23 P45 ãîìîòåòè÷íû äàííîìó îòíîñèòåëüíî
16 Àôôèííàÿ ãåîìåòðèÿ èçó÷àåò ñâîéñòâà ãåîìåòðè÷åñ-
åãî öåíòðà òÿæåñòè, ñòîðîíû øåñòèóãîëüíèêà êèõ ôèãóð, ñîõðàíÿþùèåñÿ ïðè àôôèííûõ ïðåîáðàçî-
P P46 P P24 P35 P26 ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì äàííîãî òðå-
13 15 âàíèÿõ. Â ýòîé ñòàòüå ìû îïèøåì ýòè ñâîéñòâà è
01_24.p65 9 30.01.09, 12:13

12. ÊÂÀÍT$ 2009/¹1
ïîêàæåì, êàê àôôèííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîìîãàþò âîé ðåøåòêè ñ íåîãðàíè÷åííî óìåíüøàþùèìèñÿ ñòîðî-
ïðè ðåøåíèè çàäà÷. íàìè, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîäåðæèò òî÷êó M. Ýòîé
Èç îïðåäåëåíèÿ ñðàçó âûòåêàåò, ÷òî êîìïîçèöèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîîòâåòñòâóåò àíàëîãè÷íàÿ ïîñëå-
(ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå) äâóõ àôôèííûõ ïðå- äîâàòåëüíîñòü ïàðàëëåëîãðàììîâ âòîðîé ðåøåòêè, êî-
îáðàçîâàíèé òàêæå áóäåò àôôèííûì ïðåîáðàçîâàíèåì òîðàÿ îïðåäåëÿåò åäèíñòâåííóþ ïðèíàäëåæàùóþ âñåì
è ïðåîáðàçîâàíèå, îáðàòíîå àôôèííîìó, òîæå àôôèí- ïàðàëëåëîãðàììàì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷êó M¢ .
íîå. Ñîâîêóïíîñòü ïðåîáðàçîâàíèé, óäîâëåòâîðÿþùàÿ Ñëåäîâàòåëüíî, îáðàç ëþáîé òî÷êè îïðåäåëÿåòñÿ
ýòèì ñâîéñòâàì, íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé. Î÷åâèäíî, ÷òî îäíàçíà÷íî. Òåîðåìà äîêàçàíà.
ãðóïïà àôôèííûõ ïðåîáðàçîâàíèé âêëþ÷àåò, â ÷àñòíî- Ïðèìå÷àíèå. Íà ñàìîì äåëå, ïðîâåäåííîå ðàññóæäå-
ñòè, âñå ïîäîáèÿ. Îäíàêî ïîäîáèÿìè ýòà ãðóïïà íå íèå ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì, òàê êàê â íåì ïðåäïîëàãàåòñÿ,
èñ÷åðïûâàåòñÿ, ÷òî ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. ÷òî ïðè àôôèííîì ïðåîáðàçîâàíèè áëèçêèå òî÷êè
Òåîðåìà 1. Äëÿ ëþáûõ äàííûõ òðåóãîëüíèêîâ ABC îñòàþòñÿ áëèçêèìè, ò.å. àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå
è A¢B ¢C ¢ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå àôôèííîå ïðåîá- íåïðåðûâíî. Íåïðåðûâíîñòü àôôèííîãî ïðåîáðàçîâà-
ðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå A â A¢ , B â B¢ , C â C¢ . íèÿ ìîæíî âûâåñòè èç åãî îïðåäåëåíèÿ, íî çäåñü ìû
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå èñêîìîãî ïðåîáðà- ýòîãî äåëàòü íå áóäåì.
çîâàíèÿ ôàêòè÷åñêè äîêàçàíî óòâåðæäåíèåì 1. Äîêà- Ôàêòè÷åñêè, ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïðåäûäóùåãî ðàçäå-
æåì åäèíñòâåííîñòü. Íà ïðÿìîé AC îòìåòèì âñå òî÷êè, ëà ìû ïîëüçîâàëèñü óòâåðæäåíèåì ñóùåñòâîâàíèÿ èç
ðàññòîÿíèå îò êîòîðûõ äî òî÷êè C êðàòíî äëèíå òåîðåìû 1.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû, èñïîëüçóÿ óòâåð-
îòðåçêà AC, è ïðîâåäåì ÷åðåç íèõ ïðÿìûå, ïàðàëëåëü- æäåíèå åäèíñòâåííîñòè, ïîêàæåì, êàê óñòðîåíî ïðîèç-
íûå BC. Àíàëîãè÷íî, íà ïðÿìîé BC îòìåòèì òî÷êè, âîëüíîå àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå, è ñ ïîìîùüþ ýòîãî
ðàññòîÿíèå îò êîòîðûõ äî C êðàòíî BC, è ïðîâåäåì ðåøèì åùå íåñêîëüêî çàäà÷.
÷åðåç íèõ ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå AC.  ðåçóëüòàòå âñÿ Âîïðîñ äëÿ ñàìîïðîâåðêè: ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ
ïëîñêîñòü ðàçîáüåòñÿ íà ïàðàëëåëîãðàììû ñî ñòîðîíà- áóäóò àôôèííî ýêâèâàëåíòíû
ìè, ðàâíûìè AC è BC, è óãëîì, ðàâíûì óãëó ACB. – äâà ïàðàëëåëîãðàììà;
Äîêàæåì, ÷òî âåðøèíû ýòèõ ïàðàëëåëîãðàììîâ ïåðå- – äâå òðàïåöèè;
õîäÿò â âåðøèíû ïàðàëëåëîãðàììîâ, ïîñòðîåííûõ – äâà ÷åòûðåõóãîëüíèêà?
àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïî òðåóãîëüíèêó A¢ B ¢C ¢ . Äåé-
Ïðèìåðû àôôèííûõ ïðåîáðàçîâàíèé
ñòâèòåëüíî, ÷åòâåðòàÿ âåðøèíà D ïàðàëëåëîãðàììà ñ
âåðøèíàìè A, B, C ïåðåéäåò â ÷åòâåðòóþ âåðøèíó D¢ Âûÿñíèì òåïåðü, êàê óñòðîåíî ïðîèçâîëüíîå àô-
ïàðàëëåëîãðàììà ñ âåðøèíàìè A¢ , B¢ , C¢ , òàê êàê ôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå. Ïðåæäå âñåãî ïðèâåäåì ïðè-
ïðÿìûå AD è BD, ïàðàëëåëüíûå BC è AC, ïåðåéäóò â ìåð àôôèííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, íå ÿâëÿþùåãîñÿ ïî-
ïðÿìûå A¢ D¢ è B ¢D¢ , ïàðàëëåëüíûå B ¢C ¢ è A¢ D¢ . äîáèåì.
Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç D ïàðàëëåëüíî AB, ïåðåé- Îïðåäåëåíèå. Ñæàòèåì îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé l ñ
äåò â ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç D¢ ïàðàëëåëüíî êîýôôèöèåíòîì k íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâî-
A¢B ¢ , à åå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ AC è BC, ÿâëÿþùèåñÿ äÿùåå ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M â òàêóþ òî÷êó M¢ , ÷òî
âåðøèíàìè ïàðàëëåëîãðàììîâ ïåðâîé ðåøåòêè, – â òî÷êè M è M¢ ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò l, ïðÿìàÿ
àíàëîãè÷íûå âåðøèíû ïàðàëëåëîãðàììîâ âòîðîé ðå- MM¢ ïåðïåíäèêóëÿðíà l è OM ¢ = kOM , ãäå O –
øåòêè. Ïîâòîðÿÿ ýòî ðàññóæäåíèå, ïîñòðîèì îáðàçû òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ MM¢ è l.
âñåõ âåðøèí ïàðàëëåëîãðàììîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî öåíòðû Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè k 1 ñæàòèå îòíîñèòåëüíî
âñåõ ïàðàëëåëîãðàììîâ ïåðâîé ðåøåòêè ïåðåõîäÿò â ïðÿìîé íå «ñæèìàåò», à íàîáîðîò «ðàñòÿãèâàåò» ïëîñ-
öåíòðû ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàëëåëîãðàììîâ âòîðîé êîñòü.
ðåøåòêè. Ïðîâåäÿ ÷åðåç íèõ ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå Óòâåðæäåíèå 2. Ñæàòèå îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ÿâ-
ñòîðîíàì ïàðàëëåëîãðàììîâ, ïîëó÷èì ðåøåòêè èç ïà- ëÿåòñÿ àôôèííûì ïðåîáðàçîâàíèåì.
ðàëëåëîãðàììîâ âäâîå ìåíüøåãî ðàçìåðà, êîòîðûå Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî ñæàòèå îòíîñèòåëü-
òàêæå ñîîòâåòñòâóþò äðóã äðóãó (ðèñ.4). íî l ñîõðàíÿåò ïàðàëëåëüíîñòü è ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü
ïðÿìûõ ïðÿìîé l. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì ïðÿìóþ AB,
íàêëîííóþ ê l è ïåðåñåêàþùóþ åå â òî÷êå O. Îïóñ-
òèì ïåðïåíäèêóëÿðû AM è BN íà l, ïîñòðîèì îáðàç
A¢ òî÷êè A ïðè ñæàòèè è íàéäåì òî÷êó B¢ ïåðåñå÷å-
íèÿ ïðÿìûõ OA¢M BN. Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ
è
OAM è OBN , OA¢M è OB ¢N âûòåêàåò, ÷òî B¢ –
îáðàç òî÷êè B, ò.å. ñæàòèå
ïåðåâîäèò ïðÿìóþ â ïðÿ-
ìóþ. Îòíîøåíèå òàíãåíñîâ
óãëîâ AOM è A¢OM íå
Ðèñ. 4
çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ òî÷-
Ýòîò ïðîöåññ óìåíüøåíèÿ ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììîâ êè O è ðàâíî k, ñëåäîâà-
ìîæíî ïîâòîðÿòü íåîãðàíè÷åííî. Ðàññìîòðèì òåïåðü òåëüíî, ïàðàëëåëüíûå ïðÿ-
ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M ïëîñêîñòè. Îíà îïðåäåëÿåò ìûå ïåðåõîäÿò â ïàðàë-
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ ïàðàëëåëîãðàììîâ ïåð- ëåëüíûå (ðèñ.5). Ðèñ. 5
01_24.p65 10 30.01.09, 12:13