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Klausur-Training224. Wir wählen nun die Pivotzeile aus. Diese kann nur eine von den Zeilen sein, die unsereRestriktionen d...
Klausur-Training3310. Zum neuen Tableau kommen wir so:I. = I. + 300 * III. DB - 200 X1 - 300 X2 + 300 * 5 Y1 + 300*21X1+30...
Klausur-Training4417. Wir ermitteln die Zeile II. indem wir II. durch9613dividieren. Wir erhalten dann folgendeZeile II.:I...
Klausur-Training55Einsetzen in erste Gleichung und auflösen ergibt: X2 = 2852,3daraus folgt: X1 = 73,85Nun wollen wir aber...
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Studeo Musterlösung Simplex Algorithmus

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Eine ausführliche Musterlösung für Lineare Programmierung in BWL.

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Studeo Musterlösung Simplex Algorithmus

  1. 1. Klausur-Training11Die AufgabeEine Möbelfabrik fertigt Regale (X1) und Schreibtische (X2), wobei der Deckungsbetrag derRegale 200 EUR, der der Schreibtische 300 EUR beträgt. Ein Tischler schafft pro Stunde 6Regale oder 16 Schreibtische, ein Lackierer schafft 10 Regale oder 5 Schreibtische. ZurVerfügung stehen pro Woche 480 Tischlerstunden und 300 Lackiererstunden.Wieviel Regale und Schreibtische werden produziert, wenn der Deckungsbeitrag maximiertwerden soll?Die Lösung:Unser Ausgangstableau:1. Zielfunktion: DB = 200 X1 + 300 X2 -> Maximum!2. Restriktionen:a) RT =61X1 +161X2 ≤480b) RL =101X1 +51X2 ≤3003. Nichtnegativität:X1, X2, DB ≥ 0Unser SimplextableauI. DB - 200 X1 - 300 X2 = 0II. Y1 +61X1 +161X2 = 480III. Y2 +101X1 +51X2 = 3001. Wir starten im Nullpunkt des Koordinatensystems: Die Schlupfvariablen Y1 und Y2 betragen480 bzw. 300. für X1 = 0 und X2 = 0.2. Wir wählen eine Nichtbasisvariable, also aus X1 oder X2. Wir wählen die mit dem höchstenBetrag des Faktors vor der Variable, hier X2 (weil Faktor = 300). Denn die Erhöhung von X2um eine Einheit bewirkt die stärkste Änderung im Zielkriterium, unserer DB. Wir wollen,daß X2 möglichst groß wird, ohne allerdings die Restriktionen zu verletzen.3. Wir wählen die Pivotspalte aus. Das ist die Spalte mit der Nichtbasisvariablen, die in dieBasis gelangen soll. (In die Basis heißt, daß sie nur mit dem Faktor 1 in unserem Tableauauftaucht!) In unserem Falle ist das X2.
  2. 2. Klausur-Training224. Wir wählen nun die Pivotzeile aus. Diese kann nur eine von den Zeilen sein, die unsereRestriktionen darstellen (Zeilen II und III). Es ist jene Zeile mit der engsten Restriktion.Diese ermitteln wir, indem wir alle Variablen außer X2 (unsere Nichtbasisvariable, die wir indie Basis bringen wollen!) = 0 setzen und dann jeweils X2 ermitteln. Jene Zeile mit demgeringsten Wert ist unsere Pivotzeile:In unserem Falle sieht es so aus:II. 0 +61*0 +161X2 =480  7680III. 0 +101*0 +51X2=300  1500 -> engste Restriktion, weil wir nur 1500 von X2 erhaltenUnsere Pivotzeile ist demnach Zeile III.5. Diese kennzeichnen wir besonders. Wir ermitteln nun das Pivotelement. Dies ist der Faktorvor unserer Nichtbasisvariable X2 im Schnittpunkt von Pivotzeile und Pivotspalte. Inunserem Falle ist das Pivotelement51.6. Wir dividieren die gesamte Pivotzeile III. durch das Pivotelement und erhalten Zeile III.III. 5 Y2 +105X1 +55X2 = 300*5Übersichtlicher sieht es so aus:III. X2 + 5 Y2 +21X1 = 15007. Mit Hilfe dieser Zeile III. bearbeiten wir nunmehr unser Simplextableau: Unser Ziel ist dieEliminierung von X2 in allen anderen Gleichungen außer III. Wir subtrahieren von oderaddieren zu den anderen beiden Zeilen I. und II. die veränderte Pivotzeile, also III. , so oft,wie es notwendig ist, um X2 in beiden Gleichungen mitsamt Faktor zu eliminieren.8. Zur Zeile I. sind 300 * X2 zu addieren, d.h. zu Zeile I. muß 300 * III. ( es muß unbedingt dieneu gewonnene Zeile III., also III sein! ) addiert werden. Dadurch wäre X2 in der GleichungI. eliminiert.9. In Zeile II. sind161* X2 abzuziehen, d.h. von Zeile II muß161* III. (es muß unbedingt dieneu gewonnene Zeile III., also III sein! ) abgezogen werden. Nun ist X2 in Gleichung II.eliminiert.
  3. 3. Klausur-Training3310. Zum neuen Tableau kommen wir so:I. = I. + 300 * III. DB - 200 X1 - 300 X2 + 300 * 5 Y1 + 300*21X1+300*X2=0 + 300*1.500I. DB - 50 X1 + 1500Y1 = 450.000II. = II. -161* III. Y1 +61X1 +161X2 -1615 Y2 -161*21X1 -161X2 =480 -161* 1500II. Y1 +9613X1 -165Y2 = 386,2511. Das neue Tableau sieht so aus:I. DB - 50 X1 + 1500Y1 = 450.000II. Y1 +9613X1 -165Y2 = 386,25  X1 = 2852,3III. X 2 +21X1 + 5 Y2+ = 1.500  X1 = 3.00012. Interpretation:Dieses Tableau beschreibt nun die Situation am Eckpunkt auf der X2-Achse. Dort istX2=1500 und der DB=450.000. Nun sehen wir aber anhand der Gleichung I, daß sich derDeckungsbeitrag noch weiter erhöhen ließe, indem wir X1 um eine Einheit erhöhen. Dadurchwürde sich der DB um 50 erhöhen. Das kommt dadurch zustande, daß sich der DB durch dieErhöhung von X1 um eine Einheit um 200 erhöht, der DB andererseits aber durch dieReduzierung von X2 um21Einheiten (der Faktor vor X1 in Gleichung II.) um21*300 = 150abnimmt.Erläuterung:Wir erhalten die21für X1 aus der Gleichung III., nicht aus II., da nur in III. eine Erhöhung vonX1 eine Reduzierung von X2 erfordert!!13. Wir bestimmen nun erneut die Pivotspalte: es ist die mit der Nichtbasisvariablen X1.14. Die neue Pivotzeile ist Zeile II., wegen X1 = 2852,3 (für X2 = 0 und Y2 = 0), während in III.für X2 = 0 und Y2=0 X1 = 3000 wäre.15. Das neue Pivotelement ist demnach9613.16. Nun durchlaufen wir erneut die gesamte Prozedur der Schritte 6 - 12.
  4. 4. Klausur-Training4417. Wir ermitteln die Zeile II. indem wir II. durch9613dividieren. Wir erhalten dann folgendeZeile II.:II. = II. *1396: X1 +1396Y1 -1330Y2 = 2852,318. Zu Zeile I. addieren wir 50*II..19. Von Zeile III. ziehen wir21II. ab:Dann erhalten wir folgendes neues Tableau:I. DB +13700.14Y1 -131500Y2 = 592.615II. X1 +1396Y1 -1330Y2 = 2852,3III. X 2 +1348Y1 +1350Y2 = 73,85Ergebnis: Wir haben nun alle Zielvariablen in die Basis gebracht. Da die Schlupfvariablen Y1und Y2 jeweils = 0 sind, können wir das deckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm direktablesen.Für X1 = 2852,3 und X2 = 73, 83 ist unser Deckungsbeitrag maximal und beträgt 592.615.Eine Kontrollmöglichkeit oder auch ein einfacherer Weg(allerdings nicht für die Klausur zu empfehlen, wenn nach Simplex gefragt wird!!!!!)Aus der graphischen Methode wissen wir, daß unsere Lösung einer der drei Eckpunkte desLösungsraumes ist. Diese können wir einfach ermitteln:1. Lösung für Eckpunkt auf der X1 Achse: X1 = 2880 und X2 = 02. Lösung für Eckpunkt auf der X2 Achse: X1 = 0 und X2 = 15003. Lösung für Eckpunkt = Schnittpunkt der Restriktionsgeraden: einfaches GleichungssystemGleichung 1:61X1 +161X2 = 480Gleichung 2:101X1 +51X2 = 300Gleichung 2 nach X1 auflösen: => X1 = 3000-2X2
  5. 5. Klausur-Training55Einsetzen in erste Gleichung und auflösen ergibt: X2 = 2852,3daraus folgt: X1 = 73,85Nun wollen wir aber wissen, welches Programm uns den höchsten DB liefert.Wir setzen unsere Werte für X1 und X2 einfach in unsere Zielfunktion ein und errechnen denjeweiligen DB:Für Lösung 1: DB = 200*2880 + 0*300 = 576.000Für Lösung 2: DB = 200*0 + 300*1500 = 450.000Für Lösung 3: DB = 200*2852,3 + 300*73,85 = 592.615Für Lösung 3 ist unser DB maximal!

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