1. Física 3 – ECyT – UNSAM
2012
Clases 3 y 4
Campo y Potencial Eléctrico Ley de Gauss
Introducción al electromagnetismo
Docentes:
Gerardo García Bermúdez
Salvador Gil
www.fisicarecreativa.com/unsam_f3
1

2. Ley de Gauss
Clase 3
 Revisión de los visto
 Campo Eléctrico
 Concepto de flujo de un campo
vectorial
 Ley de Gauss- Ley fundamental
 Aplicaciones
2

3. Electricidad y Magnetismo
Cuatro leyes básicas
 Ley de Coulomb – Las cargas eléctricas se atraen
o repelen
Ley de Gauss Magnetismo – No hay polo
magnéticos aislados
Ley de Ampere – Las corrientes generan campos
Magnéticos
Ley de Inducción de Faraday – Campos
magnéticos en movimiento generan campos
eléctricos. Tensiones eléctricas
3

4. Leyes básicas
q1 ⋅ q2
F = Ke
 Ley de Coulomb
d
2
– Gauss Las cargas
eléctricas se atraen
o repelen
Ley de Gauss
Magnetismo – No
hay polo magnéticos
aislados
4

5. Leyes básicas
Ley de Ampere – Las corrientes
generan campos Magnéticos
A Ley de Inducción de Faraday –
Un campo magnético variables
(flujos variable) genera un campo
eléctrico o tensión
5

6. Propiedades de las cargas
Conservación de la carga
Cuantización de la carga
q1 ⋅ q2 1 q1 ⋅ q2
Ley de Coulomb F12 = ke
d 2
=
4πε 0 d 2
Principio de superposición
 La materia es de naturaleza esencialmente
eléctrica, de hecho es la fuerza eléctrica la
que liga los electrones al núcleo 6

7. Principio de superposición de las
fuerzas eléctricas
 
FNeta (qa ) = ∑i Fi (qa )
Las fuerzas eléctricas son muchísimas más
fuertes que las fuerzas gravitatorias ~1040
1 q1 ⋅ q2
F12 = r
ˆ
4πε 0 r 2
7

8. Comparación entre las Fuerzas
Eléctricas y Gravitacionales.
 Junto a las fuerzas nucleares (Fuertes y
débiles) son las cuatro fuerzas básicas del
universo.
 Hay una gran semejanza matemática de la Ley de
Coulomb y la Ley de Gravitación Universal de
Newton.
q1 ⋅ q2 m1 ⋅ m2
Fe = ke 2
Fe = G 2
r r
 Semejanzas en r2 semejanzas en los productos mAmB y qAqB
 Diferencias en las constantes
 Diferencias en los signos. 8

9. Comparación entre las Fuerzas
Eléctricas y Gravitacionales
Átomo de hidrógeno
K=8.99 109 N/m2c2
q1 ⋅ q2

 G=6.67 10-11 N/m2kg2
Me=9.11 10-31 kg
Fe = k 2
r

 Mp=1.67 10-27 kg
 e= 1.6 10-19C m1 ⋅ m2
Fe = G
r2
Fe(N)= 8.2 10-8 N
Las interacciones
Fg(N)= 3.6 10-47 N Eléctricas son
Muchísimas más fuertes
Fe/Fg= 4.4 x 10-40 que las gravitatorias
9

10. Superpoción Lineal de las Fuerzas
Por lo tanto, la fuerza resultante sobre qa será
   
Fa = Fab + Fac + Fad + ..
kq a q i 
=∑ 2 rai
i rai
o escrita de la siguiente forma:
 1 qa qi 
Fa = ∑ rai
4πε0
3
i rai
Principio de superposición
10

11. CAMPO ELÉCTRICO
Campo Eléctrico;
Fuerza por unidad de
carga que se ejerce en
un punto P de espacio
 sobre una carga de prueba
 F
E = Lim q0
q 0 → 0 q0

CAMPO ELÉCTRICO de UNA CARGA PUNTUAL
 F
E=
Q Q0
1 Q ⋅ q0
F = q0
Q0, carga de prueba 4πε 0 r 2
 

E=
1 Q
r
2 ˆ
F = q0 ⋅ E
4πε 0 r
11

12. Líneas de Campo Eléctrico
Idea introducida por Faraday.
Las líneas de campo en cada punto tienen la
dirección del campo.
El número de líneas por unidad de área, es
proporcional a la intensidad del campo.
Dan una idea grafica de la dirección e
intensidad del campo
12

13. Fotocopias e Impresoras Láser
Fotocopiadora Impresora Láser
El cilindro se
carga
La imagen
reflejada descarga
selectivamente
El tonner se pega
en la zona cargada
Cilindro Fotosensible 13

14. Campo Eléctrico (para un dipolo eléctrico )
 Las líneas de campo son, si ambas cargas son de signo contrario:
+ -
14

15. Simetría
 Teorema: El Campo eléctrico siempre esta contenido
en el plano de simetría de una distribución de cargas
E E
+
+ + + +
Plano de Plano de
simetría simetría 15

16. Principio de superposición
Permite calcular el campo creado por una distribución

de cargas →
qi  dq (r )  SUMA
E = ke ∑i 3 ri = ke ⋅ ∫ r VECTORIAL
ri r3
Distribuciones Continuas: densidades de carga :
Volumétrica ρ =dQ/dV, {C/m3}
Superficial σ =dQ/dA, {C/m2}
Lineal λ =dQ/dL, {C/m}
16

17. Líneas de campo en esferas y
planos
Plano simetría
Esfera con carga
Plano positivo
negativa
Simetría esférica Simetría planar
17

18. Campo de un Dipolo
n n(n − 1) 2
Algo para recordar… (1 + x) n = 1 + x + + x + ......
1! 2!
1 q 1 q d /2 1 q
r = y +d /4 E
2 2 2 (1)
= senθ = = d
4πε 0 r1 4πε 0 r1 r1 8πε 0 r1
1 x 2 2 3
1 q d
Ex = E (1)
+E ( 2)
=
4πε 0 (1 + (d / 2 y ) 2 ) 3 / 2 y 3
x x
y θ
Ex 1 qd  3  d  
Ex = ⋅ 3 ⋅ 1 −   + ... 
θ 4πε 0 y  2  2 y 
  


r1 r2
y
+ - 1 p
d/2 d/2 Ex ≈ ⋅ 3 El campo disminuye
4πε 0 y más rápido que para
p ≡ q.d una carga puntual
18

19. Campo de un Dipolo Ejercicio
n n(n − 1) 2
Algo para recordar… (1 + x) n = 1 + x + + x + ......
1! 2!
1 q 1 q d /2 1 q
r = y +d /4 E
2 2 2 (1)
= senθ = = d
4πε 0 r1 4πε 0 r1 r1 8πε 0 r1
1 x 2 2 3
Ex 1 p
p ≡ q.d
El campo disminuye
y Ex ≈ ⋅ 3 más rápido que para
4πε 0 y una carga puntual
d/2
+ - x Ex E x ( x) = ?
r1 r2
1 p
Ex ≈ ⋅ 3
4πε 0 x
19

20. Campo de hilo cargado (L, Q)
1 λdx x
λ=Q/L
r =x +y
2 2 2
0 dE y =
1 dq
cos θ =
4πε 0 r 2 4πε 0 r 2 r
Ey
λ L/2 y0 ⋅ dx
y θ Ey =
4πε 0 ∫L / 2 ( x 2 + y02 )3 / 2
E y0 ⋅ dx
2λ L/2 1 λ L/2
θ
Ey =
4πε 0 ∫
0 2 2 3/ 2
( x + y0 )
=
2πε 0 y0 2 2
r ( L / 2) + y 0
r y0
El campo
disminuye
más
-x x 1 λ 1 lentamente
Ey ≈ que para una
4πε 0 y 1 + ( 2 y0 / L )
2
carga puntual
20
0

21. Campo eléctrico sobre el eje de un anillo cargado, Q, a
 1 dq
λ=Q/2π.a dE = r
2 ˆ
4πε 0 r
1 λadθ
dE =
4πε 0 r 2
θ dEx
dE
1 λadα
dE x = cos θ Simetría
4πε 0 r 2
1 λa cos θ 2π 1 λa cos θ 1 Q⋅x
Ex =
4πε 0 (a 2 + x 2 ) 3 / 2 ∫
0
dαE x =
2ε 0 (a + x )
2 2 3/ 2
=
4πε 0 (a 2 +21 2 ) 3 / 2
x

22. Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente
cargado.
1 dQ ⋅ x
dE x =
4πε 0 (a 2 + x 2 ) 3 / 2
σ =Q/πR2
Ex
1 σ ⋅ 2π ⋅ a ⋅ da ⋅ x
dE x =
4πε 0 (a 2 + x 2 ) 3 / 2
σ ⋅ x R a ⋅ da σ  x 
Ex =
2ε 0 ∫0 (a 2 + x 2 )3/ 2 = 2ε 0 1 − R 2 + x 2

 22




23. Campo eléctrico sobre el eje de un disco uniformemente
cargado de radios R∞
σ  x 
E x = Lim 1 − 
R →∞ 2ε  
0  R2 + x2 
Ex
El campo es
σ contante
Ex =
2ε 0
23

24. Campo entre dos placas paralelas
Ex = 0
------------------
σ ------------------
Ex =
2ε 0 σ
Superposición S Ex =
ε0
σ
Ex =
2ε 0 ++++++++++++++++
++++++++++++++++ Ex = 0 El campo uniforme
confinado entre las
placas
24

25. Resumen de Campo Eléctrico
 El Campo Eléctrico es un campo vectorial.
 Líneas de Campo: en cada punto tiene la dirección
y sentido de la fuerza eléctrica.  
 Simetrías E // F e
 Es una propiedad del punto
 Para calcular el campo de una distribución- 
Superposición →
qi  dq (r ) 
E = ke ∑i 3 ri = ke ⋅ ∫ r
 Densidad de carga: λ,σ, ρ ri r3
 Campo de un Dipolo: p=q.d
 Campo de una línea de carga , Anillo, Disco, etc.
25

26. Concepto de Flujo
Flujo ≈ Lat. Fluxus ≈ Fluir, manar.
El flujo de un campo de velocidad
está asociado al caudal o volumen
del liquido que para en la unidad
de tiempo.
v.dt Q=dVdt=
A = A.v.dt/dt
v
Q=A.v.

27. Concepto de Flujo
Caudal = volumen del Q=dVdt=
liquido que para en la
unidad de tiempo. = A.v.dt/dt
v.dt Q=A.v.
A v θ A’ A=A’.cos θ
A
v.dt
Q=A.v=A’.v.cosθ
v  
Q = A⋅v

28. FLUJO o descarga de un
líquido
dV = (v.dt ) ⋅ A = dΦ v ⋅ dt
 
  Φv = (v cos θ ) A = v ⋅ A
Φv = v ⋅ A = v ⋅ A
 
Φ v = ∫ v ⋅ dS
28

29. Definición de Flujo
Campo Vectorial
 La “cantidad” de campo que
atraviesa una superficie
imaginaria S. 
 Si tenemos un campo vectorial, B ( x, y , z )

B ( x, y , z )
podemos en general
definir un flujo que pasa por una
superficie S, asociado a dicho
 
campo, definido por:
Φ B = ∫∫ B ⋅ dS

B ( x, y , z )
S

30. Flujo Eléctrico- Ley de Gauss
 Es la cantidad de
“líneas de campo
que atraviesan las
superficie S.”
 Unidades de Flujo
E= N-m2/C
 
Φ E = ∫∫ E ⋅ dS El flujo eléctrico encerrado
por una superficie cerrada
S
es igual a la carga neta
encerrada dividida ε 0

31. Carl Friedrich Gauss 1777-1855
Matemático, astrónomo
y físico alemán.
Contribuyó
significativamente en
muchos campos,
teoría de números
análisis matemático,
geometría diferencial,
 geodesia,
 magnetismo
óptica.
"el príncipe de las
El cálculo de la órbita de Ceres
en 1801, como entretenimiento, matemáticas"
nombrado en 1807 director del "el matemático más
Observatorio Astronómico de
grande desde la
Göttingen
antigüedad" 31

32. Flujo de campo
ε0Φ(S1)= +q
ε0Φ(S2)= -q
ε0Φ(S3)= 0
 
ε 0 ∫ E ⋅ dS = ε 0 Φ E = qneta
S 32

33. Ley de Gauss y Conservación de
cargas
 Para un campo vectorial A cualquiera
 
∫∫ A.dS ∝ Intensidad de fuentes (sumideros)
S
  J
i=dq/dt i = ∫∫ J .dS J
s Q
Conservación de la carga
J J
dQ  
= ∫ J .dS
−∫
dt s 33

34. Ley de Gauss del magnetismo
 No hay polos magnéticos aislados
 Si B es campo magnético
 
∫∫ B.dS ∝ Intensidad de fuentes (sumideros)
S
 Como no hay polos magnéticos aislados
 
 Esta es ley de Gauss del magnetismo ∫∫ B.dS = 0
S
34

35. La ley de Gauss
La expresión anterior puede generalizarse
para cualquier distribución de carga. El valor
del la carga de segundo miembro es la carga
neta interior a la superficie.
  qin
Φ E ≡ ∫∫ E.dS =
ε0
La ley de Gauss y la ley de Coulomb tienen el mismo contenido
físico. Sin embrago para caso no estáticos se considera al ley de
Gauss como más fundamental. No tiene la implicancia de acción
instantánea, implícitas en la ley de Coulomb.

36. Superficies Gaussianas
Es una superficie cerrada (imaginaria)
que rodea una distribución de cargas.
  q  
Φ E ≡ ∫∫ E.dS = Φ E ≡ ∫∫ E.dS =0
ε0

37. Ley de Gauss- Ley de
Coulomb
 De la ley de Coulomb sabemos que:
 1 q
E= r
ˆ
4π 0 r
ε 2
 
 Por la simetría del problema: dS // E
 
ΦE = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ dS
S 
2
dS
ΦE = E ∫∫ dS = E 4π ⋅ r
 Ley de Gauss ΦE = q / ε0 37

38. Ley de Gauss – ¿Cuándo se usa?
Sólo es útil para situaciones donde hay
simetría.
Hay que usar la simetría para saber
dónde E es constante y cuál es su
dirección.
Hay que seleccionar una superficie
cerrada en la cual E sea constante o
donde el flujo sea cero (E perpendicular
a la superficie). 38

39. Cuando conviene usar la ley de
Gauss para calcular campos
 La Ley de gauss es de validez universal
 Es “útil” para calcular campo E, cuando
por simetría podemos suponer que sobre
una dada superficie E =constante y
conocemos su dirección.
 Hay que seleccionar una superficie
cerrada en la cual E sea constante o donde
el flujo sea cero (E perpendicular a la
superficie).

40. Ejemplo- Hilo delgado de carga
Este problema tiene Simetría cilíndrica.
• Tomamos una superficie Gauussina como se
ve el la figura.
• La carga encerrada es q=λ l

• Sobre las tapas Φ E=0, pues dS es
dS 
perpendicular a E
 
• Sobre la cara lateral dS es paralelo a E
1 λ
• Por lo tanto E=
2π 2πε 0 r
λ
Φ = ∫ EdS = E ⋅ 2π ⋅ r =
0
εo E = 1 λ r

ˆ
2πε o r

41. Ley de Gauss- Campo de una placa plana
  q
∫∫ E ⋅ dA = ε o E=
σ
2ε
q
EA =
εo
σA
E2A =
εo
σ
E=
2ε o 41

42. Ejemplo- Esférica maciza con una
distribución uniforme de carga
Radio a
r
r>a
 
Φ E = ∫ E ⋅ dS = ∫ E.dS = E.∫ dS
a S S S
2
Φ E = E.4π ⋅ r = Q / ε 0
1 Q
1/r2 E( r > a ) = ⋅ 2
4πε o r
a r

43. Ejemplo- Esférica maciza con una
distribución uniforme de carga
Radio a
E r<a
 
Φ E = ∫ E ⋅ dS = ∫ E.dS = E.∫ dS
r a
S S S
3
2 Q r
Φ E = E.4π ⋅ r =
ε0 a 3
1 Q
E( r <a ) = ⋅ 3 r
4πεo a
1 Q
E( r >a ) = ⋅
4π o
ε r
2

44. Ejemplo- Placa plana cargada
Esfera cargada uniformemente Palca plana con distribución
de carga uniforme
3
ρ ρa σ
Er <a = r Er >a = E=
3ε o 3ε o r 2 2ε o

45. Dos placas conductoras
cargadas
2σ 1 σ
E= =
ε0 ε0
45

46. Conclusiones
 La ley de Gauss es útil para
determinar campos cuando hay
simetría en el problema
 Ojo, Pero su validez es universal.

47. Potencial Eléctrico
Clase 4
 Revisión de los visto
 Campo Eléctrico- Ley de Gauss
 Trabajo y energía
 Concepto de Potencial eléctrico
 Campo y Potencial
 Aplicaciones
47

48. Expresión Matemática
de la Ley de Gauss
   Electricidad: El flujo de
∫S E⋅ dS = qin ε 0
campo = carga al
interior
 
∫ B.dS = 0
de una superficie
Gaussiana
S
 Magnetismo No hay
dQ   polos aislados
= − ∫ J .dS
dt S  Conservación de cargas
48

49. Ley de Gauss
El flujo de campo eléctrico a través de
cualesquier superficie cerrada
(gaussiana), es igual a la carga neta
encerrada, por la misma, entre la
 
constante ε0.
ε 0 ∫ E ⋅ dS = ε 0 Φ E = qneta
S
49

50. Ley de Gauss - Conductores
Si aplicamos la Ley de Gauss a
un conductor, cargado y
estado estacionario
(Electrostática) Entonces: No
hay campo en su interior.
Si tomamos una sup.
Gaussiana, cercana a la
superficie externa  qneta=0
La carga en el conductor esta  
en la superficie. ε 0 ∫ E ⋅ dS = qneta
S

51. Ejemplo 3
51

52. Superficies esféricas Gaussianas
a) carga puntual positiva a) carga puntual negativa
Flujo Positivo Flujo Negativo
52

53. Campo eléctrico de una carga
puntual
Considere una carga puntual q. El flujo en una esfera de radio r
será:  
dA E
ε 0 ∫ E ⋅ dS = ε 0 Φ E = Qneta
S
r Por la simetría del problema:
 
Q
E∝ry E=E(r)
  Q
Φ = ∫ E ⋅ dS = E ∫ dA = E 4π r 2 =
ε0
y Q .q 1
Q1 F = q. E =
E = 4πε0 r 2
4πε0 r 2
53

54. Campo eléctrico de una carga
puntual
 
ε 0 ∫ E ⋅ dS = ε 0 Φ E = qneta
S
  2
Φ = ∫ E ⋅ dS = E ∫ dA = E 4π r =
q 1 1
ε0 E=
4πε0 r 2
La ley de Gauss es equivalente a la ley de Coulomb
  1 Q.q
ε 0 ∫ E ⋅ dS = Qneta F = q. E =
4πε 0 r 2 54
S

55. Textos
 R. Halliday, D. Resnick y M. Krane, Física para estudiantes de
ciencias e ingeniería, 4ª ed., vol. II (México, 1992).
 Sears, F. et al., Física Universitaria: Volumen II (Addison Wesley
Longman, México D.F., 1999).
 G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997.
 D. Giancoli, Física: Principios y aplicaciones, Prentice Hall,
México, 1997.
 Gettys, Keller, Skove Fisica Clásica y Moderna Mc Graw-Hill
México, 1996
 http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.htm
 http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/
55

56. Trabajo para mover una carga
2 2
   
W1, 2 = ∫ F .dl = − q ∫ E.dl
1 1
   W1, 2 2
 
q.E q.E q.E V12 ≡ = − ∫ E.dl
1 2 q 1
F F F
Diferencia de Potencial=
Trabajo por unidad de carga
56

57. Trabajo para mover una carga
 
∆W = q.E.∆l
  
q.E q.E q.E ∆W  
∆V = = − E.∆l
F F F q
∂V
Ex = − Potencial= Trabajo por
∆V = − E x .∆x ∂x unidad de carga
∂V ∂V  ∂V   
Ey = −
∂y
Ez = −
∂z
E = − 
 ∂l  max E = −∇V 57

58. Trabajo para mover una carga
  W1, 2 2
 
E = −∇V V12 ≡ = − ∫ E.dl
∂V ∂V q 1
Ey = − Ez = −
∂y ∂z
∂V
Ex = −
∂x Si tomamos el
Si conocemos el Potencial en infinito
potencial, podemos como cero, el potencial
calcular el campo y si es el trabajo para traer
sabemos el campo, una carga desde
podemos calcular el infinito
potencial 58

59. Si tomamos el
Potencial en infinito
como cero, el potencial
Carga Puntual es el trabajo para traer
  una carga desde
1 1
E = −∇V E=
4πε0 r 2
infinito
2
W1, 2  
V12 ≡ = − ∫ E.dl
∆V = 12 q 1
2 r2
  1 r2 dr
∆ 12
V = −∫ Edr = −∫ Edr = − ∫ =
1 r
4πε0 r1
r
2
1
1 1 1 1
1 1
∆ 12
V = 2− 1 =
V V  −  V2 = 2− 1 = −
V V  − 
4πε0 r1 r2  4πε0 r2 ∞
59

60. Física 3 – ECyT – UNSAM
2010
Clase 5
Introducción al electromagnetismo
Docentes:
Gerardo García Bermúdez
Salvador Gil
www.fisicarecreativa.com/unsam_f3
60

61. Potencial
 En general:  
∆W1,1 = − ∫ E.dl = 0
C
 El trabajo para mover una carga de 1 a
2 no depende del camino.
 La fuerza eléctrica (el potencial
electrico) es conservativo
61

62. Si tomamos el
Potencial en infinito
como cero, el potencial
Carga Puntual es el trabajo para traer
  una carga desde
1 1
E = −∇V E=
4πε0 r 2
infinito
2
W1, 2  
V12 ≡ = − ∫ E.dl
1 Q q
V (r ) = 1
4πε0 r
Por el teorema de 1 dq
superposición
V (r ) =
4πε0 ∫∫∫ r SUMA Escalar
v
→
qi  
dq (r ) 
E = ke ∑i 3 ri = ke ⋅ ∫ r SUMA
ri r3
VECTORIAL
62

63. Trabajo y Energía Campo eléctrico no uniforme y
trayectoria no rectilínea
Debemos dividir la trayectoria
B en pequeños desplazamientos

F infinitesimales, de forma que

d r qo
ext B   B  
 WAB = ∫ Fext ⋅ dr = − qo ∫ E ⋅ dr
 A A A
E qoE
ext
El potencial en este caso WAB B  
será
VB − VA = = − ∫ E ⋅ dr
qo A
63

64. 
Dipolo en campo E Uniforme

F 
d
θ
+
q E E
 -
F
  
F=q.E τ = F .d .senθ = q.d .E.senθ τ = p× E
U
dW = F .d .senθ ⋅ dθ = q.d .E.senθ ⋅ dθ
  θ
dW = − p.E .d (cos θ ) U (θ ) = p.E 0 180º
64

65. DÍPOLO ELÉCTRICO
Es un sistema de dos cargas iguales y de signo contrario que se encuentran a pequeña distancia
Dipolo en un campo eléctrico
uniforme Momento
dipolar
Energía de un dipolo eléctrico
Trabajo necesario
   para girarlo en
τ = p×E contra de un campo
eléctrico
 
U = −p⋅ E
65

66. Polarización Eléctrica
 Cuando se coloca una
carga positiva, los
átomos se polarizan o
alinean con el campo
 Se rompe la simetría
original, y los átomos
se polarizarán,
quedando la nube
electrónica con carga
negativa orientada
hacia la localización de
la carga positiva  
introducida. p =α ⋅E α= Polarizabilidad
66

67. Dipolos
 Esta orientación se conoce como polarización en donde un polo
de los átomos está más positivamente cargado y el otro más
negativamente cargado.
 Cada átomo polarizado de esta forma se convierte en un dipolo.
 Los dipolos de los átomos tienden a contrarrestar el efecto del
campo eléctrico producido por la carga positiva introducida.
 Por lo tanto, el campo eléctrico en cualquier punto del material
será distinto al campo eléctrico que mediríamos cuando
colocamos la misma carga eléctrica positiva en el espacio libre, sin
la presencia del material y sus átomos formando dipolos.
67

68. POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS
PUNTUALES
Para una distribución discreta de cargas
1 qn
V = ∑ Vn = ∑r
n 4πε0 n n
Para una distribución continua de cargas
V = ∫ dV =
1 dq  
4πεo ∫r ⇔ E = −∇V
Ley de Gauss
  En un dado problema,
ε 0 ∫ E ⋅ dS = Qneta ¿qué ley uso o qué
S
r
 
V (r ) = − ∫ E.dl
calculo primero, el campo
∞ E o el potencial V(r)? 68

69. Cascarón Esférico hueco
Hay simetría  Ley de Gauss
Primero el campo E
 Q r≥R
k e 2
R E (r ) =  r
0 r≤R

Q
E(r)
69

70. Cascarón Esférico hueco
Potencial eléctrico
Después el potencial en el interior y el
exterior de un
cascarón esférica
de carga.
r
V (r ) = − ∫ E (r ' ).dr '
∞
 Q
k e 2
E (r ) =  r
0

 Q
k e r≥R
 r
V (r ) = 
k Q
 eR
 r≤R
70

71. 2a
Dipolo -q - + q
P=2a.q
No hay simetría – Primero V(r)
   2 2 2
r1 = a + r r1 = a + r − 2a ⋅ r ⋅ cosθ
Recordando la definición de p = 2 a ⋅ q r1 ≈ r (1 − (a / r ) ⋅ cosθ )
momento dipolar eléctrico
r2 ≈ r (1 + (a / r ) ⋅ cosθ )
q 2 a ⋅ cos θ
V=
4πεo r
2

1 p ⋅ cos θ 1 p.r ˆ
r1 V= =
r r1 4πεo r
2
4πεo r 2
θ No se requiere trabajo para llevar
- + una carga de prueba desde el
infinito hasta el dipolo a lo largo
V = 0 para α = 90º de la línea perpendicular al punto
medio entre las dos cargas. 71

72. Campo creado por un dipolo
Z
r+a
 Dipolo = carga positiva y carga
negativa de igual valor (q) r-a
situadas a una distancia muy r
pequeña ( d = 2a ). - + Y
-a a
 q   −q  
E = k   3 (r − a ) + k   3 (r + a )
r−a r+a X
 
p = qd Momento dipolar -

+
 Aproximación r>> l
d
  
  p ⋅ cosθ  k  ( p ⋅ r ) r
  
E = − ∇ V = − k∇  2  = 3 3 − p
 r  r  r r  72

73. CONDUCTOR EN EQULIBRIO
ELECTROSTÁTICO
Conductor: Material que se caracteriza por tener cargas
libres que pueden moverse en su interior.
Si sometemos un conductor a un campo eléctrico externo, su carga
libre se redistribuye hasta anular el campo eléctrico en su interior. En
estas condiciones se dice que el conductor está en Equilibrio
Electrostático (E’ = Eo).
+
+
+ Cualquier exceso de carga se colocará en
+
+ la superficie del conductor, ya que el campo
+ eléctrico externo no es lo suficientemente
+
 + intenso como para vencer las fuerzas de
E' +
+
ligadura.
+
+ 
+ Eo
73

74. Condiciones que se deben cumplir en todo conductor
Toda la carga libre de un conductor se coloca en su
I superficie.
Conductor Dado un conductor, supongamos una
superficie gaussiana justo en el interior de
la superficie del conductor. Como E =0
dentro del conductor, también será nulo
en todos los puntos de la superficie
gaussiana. Por lo tanto el flujo a través de
la superficie del conductor es cero.
Por el Teorema de Gauss qint
Φ= Como Φ = 0 qint = 0
εo
Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie
del conductor
74

75. El campo eléctrico en la superficie del conductor es
perpendicular a dicha superficie y vale σ
 εo
E
Para hallar el campo eléctrico en la
superficie del conductor consideremos
un elemento infinitesimal plano, con
densidad superficial de carga σ. Como
superficie gaussiana tomamos un
cilindro con una cara en el exterior y
otra en el interior del conductor
Si el conductor está en equilibrio electrostático, el E en la superficie
debe ser perpendicular a dicha superficie. Así, sólo hay flujo a través de
la cara superior.
  q
Φ = ∫ E ⋅ ds = E s = int σ
εo E=
qint = σ s
εo
75

76. Esfera cargada
Distribución esférica, r ≥R
1 Q
E=
4πε0 r 2
Distribución uniforme, r ≤R
1 Q ⋅r E(r)
E=
4πε0 R 3
R 76

77. Esfera cargada
Distribución esférica, r ≥R
1 Q 1 Q
E= V (r ) =
4πε0 r 2 4πε0 r
Carga uniforme, campo r ≤R
2
1Q ⋅ r V ( r ) = − 1 1 Q ⋅ r +V ( R )
E=
4πε0 R 3
4πε0 2 R 3
1 Q 3 r 
2
V (r ) =  − 2 
4πε0 R 2 2 R 
  R 77

78. Ejercicio: Ley de Gauss:
Cascarón Esférico
Calcular Campo y
Potencial en todo
el espacio
r
R1 R2
78

79. Cascaron esférica
Usando la ley de Gauss y las propiedades de simetría:
1 q
E= Para r >R1
4πε0 r 2
Para r ＜ R2
E=0 3 3
ρ = 3 q 4π ( R1 − R2 )
Entre a r ＜ R2
1 ρ 4π 3 ρ
E= r = r
4πε0 r 3
2
3ε 0 79

80. Electrostática
Campo electrostático y potencial
80

81. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES
Vamos a suponer una región del espacio en la que existe un
campo eléctrico, representado por sus líneas de campo. El
trabajo necesario para desplazar una carga de prueba, qo,
una distancia infinitesimal a la largo de una de estas líneas
será
 
dW = − F ⋅ dr
En términos de incrementos
 
  ∆r perpendicu lar a E ∆V = 0 V constante
∆V = − E ⋅ ∆r
 
∆r paralelo a E Variación máxima de
potencial
81

82. Superficies equipotenciales
Es el lugar geométrico de todos los puntos que se
encuentran al mismo potencial. Cumplen la condición de
encontrarse en un plano perpendicular al campo eléctrico
El trabajo desarrollado para mover una partícula de un
punto A a otro punto B a lo largo de una superficie
equipotencial es nulo, ya que
WAB
VB − VA =
qo
A lo largo de una
superficie VA = VB WAB = 0
equipotencial
82

83. Ejemplos de superficies equipotenciales
83

84. Conductor en un campo eléctrico
 El campo interior siempre
es nulo.
 Deforma las líneas de
campo exterior.
 Se produce una
redistribución de carga en
la superficie debido a la
fuerza eléctrica.
 Sobre la superficie del
conductor el campo es
siempre perpendicular a
al superficie 84

85. Potencial eléctrico
 La fuerza eléctrica se puede expresar en función
del campo eléctrico.     
F (r ) = q E (r ) F = −∇U (r )
 Por ser conservativa
U Energía potencial
 Potencial eléctrico V = Se puede
q Carga
elegir el
origen de
 Campo eléctrico = gradiente del potencial potencial
eléctrico   
E = −∇V (r )
 Unidades : el Voltio V = [V ] = [ J / C ] 85

86. Superficies equipotenciales
V ( x, y, z ) = cte
El potencial es constante en todos sus puntos.
   
E ⋅ ∆r|| = −∇V ⋅ ∆r|| = Vi − Vi = 0 U1
El vector gradiente
es ortogonal a S.
VN
V2
El gradiente va de V1
menores a mayores V0
valores de V.
   
E ⋅ ∆r⊥ = −∇ V ⋅ ∆r⊥ = − (V j − Vi ) < 0
V j > Vi Vectores campo eléctrico 86

87. Superficies equipotenciales
Superficie
equipotencial Campo eléctrico
Campo Campo
Campo uniforme producido por producido por un
una carga dipolo
puntual
87

88. Referencias
 Física para estudiantes de ciencias e ingeniería - R. Halliday, D.
Resnick y M. Krane, 4ª ed., vol. II (México, 1992).
 Física II - SERWAY R. FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Ed.
CENGAGE LEARNING- Mexico 2003
 Física Universitaria: Volumen II Sears, F. et al., (Addison Wesley
Longman, México D.F., 1999).
 G. Wilson, Física, Prentice Hall, México, 1997.
 Física: Principios y aplicaciones, D. Giancoli, Prentice Hall, México,
1997.
 Física Clásica y Moderna Gettys, Keller, Skove -Mc Graw-Hill
México, 1996
 http://www.anselm.edu/internet/physics/cbphysics/downloadsII.html
 http://www.fisicarecreativa.com/unsam_f3/
88

89. Problema 1
 Calcular Campo y Potencial para:
 Ley de Gauss (Calculamos E, por la simetría del
problema)
Dentro del
conductor
E=0
+ - + E
-
+
- +
a
-
+
+
b -
-
+Q
+
a
-
+ b r
+ -
- V(r)
+
a b 89 r

90. Problema 2
+Q
r 2 = x 2 + (d / 2) 2
r
d/2 E
-2Q
x
d/2
+Q
− 2Q Q 1 1 
V ( x) = k
x
+ 2k = 2kQ  − 
r
1
[
= x 2 + ( d / 2) 2 ] −1 / 2 1  1 d2 
≈ 1 −
x  2 4x2 
r x r 
1 1 1  1 d2  1 d2
− =≈ 1 − 2
− =− 2
r x x  2 4x  x 8x
Qd 2 Qd 2
V ( x) = −2k 3 E ( x) = −3k 4
8x 4x 90

91. Problema 3
91

92. 92

93. Agradecimiento
Algunas figuras y dispositivas fueron tomadas
de:
 Clases de E. y M.de V.H. Ríos – UNT
Argentina
 Clases E. y M. del Colegio Dunalastair Ltda.
Las Condes, Santiago, Chile
 Ángel López
FIN
93