Sistemas numéricos

1. Sistemas Numéricos

2. Sistemas Numéricos
• Existem diversos sistemas numéricos, o mais
comum que utilizamos no dia-a-dia é o
sistema decimal.
• O sistema decimal é chamado assim por ser
baseado em 10 dígitos (de 0 a 9). Diz-se de
base 10.
• Os outros sistemas numéricos são compostos
de bases diferentes.

3. Sistema Decimal
• Para entender melhor outros sistemas numéricos,
é necessário relembrar algumas regras do
sistema decimal.
• Um número no sistema decimal pode ser
decomposto em um somatório de produtos de
potências de base 10.
• Exemplos:
1234 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1
1234 = 1 x 103 + 2 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100
16920 = 1 x 104 + 6 x 103 + 9 x 102 + 2 x 101 + 0 x 100

4. Sistema Decimal
• Para somar 2 números decimais basta seguir
os passos dos próximos slides.
– Esses passos todos já viram no ensino básico.
• Como exemplo vamos somar os números
1234 e 493.
• Os mesmos passos são utilizados para outros
sistemas numéricos.

5. Somando 2 números decimais
1 2 3 4
+ 4 9 3
Alinham-se os 2 números a direita,
um abaixo do outro.

6. Somando 2 números decimais
1 2 3 4
+ 4 9 3
7
Da direita para a esquerda, somam-se os
dígitos.

7. Somando 2 números decimais
1 2 3 4
+ 4 9 3
12 7
Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o da
esquerda sobe para o próximo dígito.

8. Somando 2 números decimais
1
1 2 3 4
+ 4 9 3
2 7
Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o da
esquerda sobe para o próximo dígito.

9. Somando 2 números decimais
1
1 2 3 4
+ 4 9 3
7 2 7
A soma continua incluindo os dígitos que
vieram de somas anteriores.

10. Somando 2 números decimais
1
1 2 3 4
+ 4 9 3
1 7 2 7
Em alguns casos, um dos números não possui os
dígitos mais a esquerda, é só considerar zero.

11. Somando 2 números decimais
1
1 2 3 4
+ 4 9 3
1 7 2 7
Após somar todos os dígitos, tem-se o
resultado final da soma.

12. Sistema Binário
• Sistema de base 2, ou seja, 2 dígitos (0 e 1).
• Sistema utilizado internamente pelos
computadores.
– Dígito 0 significa a ausência de corrente elétrica.
– Dígito 1 significa a presença de corrente elétrica.
• Assim como no sistema decimal, vários dígitos
podem formar um número maior.
– Exemplo: o número 11001011 em binário
corresponde ao número 203 em decimal.

13. Sistema Binário
• Assim como os números decimais podem ser
decompostos em potências de base 10, um
número binário pode ser decomposto em
potências de base 2.
• Exemplos:
1110 = 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
1110 = 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1
1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14

14. Sistema Binário
• Tabela de alguns números binários:
Decimal Binário
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
Decimal Binário
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111
Decimal Binário
16 10000
17 10001
18 10010
19 10011
20 10100
21 10101
22 10110
23 10111

15. Sistema Binário
• Para converter um número de binário para
decimal basta decompô-lo em suas bases:
– Exemplo:
1101101=1x26+1x25+0x24+1x23+1x22+0x21+1x20
1101101=1x64+1x32+0x16+1x8+1x4+0x2+1x1
1101101=1x64+1x32+1x8+1x4+1x1
1101101=64+32+8+4+1
1101101=109

16. Sistema Binário
• Para converter um número de decimal para
binário, é preciso encontrar quais as bases
binárias que o formam.
• Veremos os passos nos próximos slides.
• Como exemplo vamos converter o número
233 para binário.

17. Sistema Binário
233 Base Binária Valor Decimal
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Primeiro monta-se a tabela de bases binárias

18. Sistema Binário
233
128+105
Base Binária Valor Decimal
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Agora decompôe-se o resto do número (105) na maior base
menor que ele.
Neste caso a base escolhida é 128.

19. Sistema Binário
233
128+105
128+64+41
Base Binária Valor Decimal
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Nos próximos passos decompõe-se o número decimal na maior base
binária menor que o número.
Neste caso a base escolhida é 64.

20. Sistema Binário
233
128+105
128+64+41
128+64+32+9
Base Binária Valor Decimal
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
A decomposição continua até que o número inicial seja
totalmente decompostos em bases binárias.

21. Sistema Binário
233
128+105
128+64+41
128+64+32+9
128+64+32+8+1
Base Binária Valor Decimal
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
A decomposição continua até que o número inicial seja
totalmente decompostos em bases binárias.

22. Sistema Binário
233
128+64+32+8+1
27+26+25+23+20
Base Binária Valor Decimal
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Após a decomposição, os valores são convertidos
para suas potências de base 2.

23. Sistema Binário
233
128+64+32+8+1
27+26+25+23+20
1x27+1x26+1x25+1x23+1x20
Base Binária Valor Decimal
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Agora as potências utilizadas são multiplicadas por 1.

24. Sistema Binário
233
128+64+32+8+1
27+26+25+23+20
1x27+1x26+1x25+1x23+1x20
1x27+1x26+1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20
Base Binária Valor Decimal
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Neste caso, algumas potências como 24 e 22 não aparecem.
As potências faltantes são inseridas sendo multiplicadas por zero.

25. Sistema Binário
233
128+64+32+8+1
27+26+25+23+20
1x27+1x26+1x25+1x23+1x20
1x27+1x26+1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20
11101001
Base Binária Valor Decimal
20 1
21 2
22 4
23 8
24 16
25 32
26 64
27 128
28 256
Terminada a decomposição em potências.
Base separar os multiplicadores para obter o número binário.

26. Somando dois números binários
• Para somar dois número binários, utiliza-se o
mesmo esquema de somar dois números
decimais.
• Como exemplo, vamos somar os números
10011010010 e 111101101.

27. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

28. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

29. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

30. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

31. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

32. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

33. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.

34. Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
10 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,
e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

35. Somando dois números binários
1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,
e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

36. Somando dois números binários
1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,
e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

37. Somando dois números binários
1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
0 1 0 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,
e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.

38. Somando dois números binários
1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
Em alguns casos, um dos números não possui os
dígitos mais a esquerda, é só considerar zero.

39. Somando dois números binários
1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

40. Somando dois números binários
1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
Após somar todos os dígitos, tem-se o
resultado final da soma.

41. Outros Sistemas Numéricos
• Sistema Hexadecimal:
– Base 16
– Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
– Exemplo: A12C0D4
– Muito utilizado para ler números grandes de sistemas
computacionais
• Sistema Octal:
– Base 8:
– Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7
– Exemplo: 705242
– Pouco utilizado na prática

42. Outros Sistemas Numéricos
• Se você tem um número qualquer, por exemplo, 1001, como saber
em qual sistema numérico ele está?
– No caso do 1001, ele pode pertencer a qualquer um dos 4 sistemas
numéricos vistos, pois todos eles possuem os dígitos 0 e 1.
• Para dizer explicitamente a base em que se encontra um número, é
só adicionar o número da base do sistema numérico no final do
número:
– Binário: 10012
– Decimal: 100110
– Hexadecimal: 100116
– Octal: 10018
• No caso dos números decimais, é comum não mostrar o número da
base.

43. Octal = base 8
sistema de numeração cuja base é 8, ou seja, utiliza 8 símbolos para a
representação de quantidade. No ocidente, estes símbolos são os algarismos
arábicos: 0 1 2 3 4 5 6 7
Conversão – Octal par Binário e Decimal
Ex.: 45(8) = ? (2) = ? (10)
4=100 (2)
5=101 (2)
Logo = 100101(2)
1 50 40 31 20110
(2) =
1x25+0x24+0x23+1x22+0x21+1x20
Ou
132 016 08 14 02 11
(2) =
Logo= 37(10)

44. Conversão –Binário para Octal e Decimal
Ex.: 1011(2) = ? (8)
Divide por milhar
001 (2) =1 (8)
011(2) =3 (8)
Logo = 1011(2) = 13 (8) = 11 (10)

45. Conversão – Octal para Decimal
Ex.: 56(8) = ? (10)
5 (8) =101 (2)
6 (8) =110 (2)
Logo = 101110(2) =132 016 18 14 12 01
(2)
= 46 (10)

46. Conversão – Decimal para Octal
Ex.: 101(10) = 1100101(2) =? (8)
Separa de 3 em 3
001 100 101(2)
4 2 1
Octal Binário
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
1 4 5

47. Conversão – Hexadecimal para Decimal
Ele é muito utilizado para representar números binários de uma forma
mais compacta, pois é muito fácil converter binários pra hexadecimal e
vice-versa. Dessa forma, esse sistema é bastante utilizado em aplicações
de computadores e microprocessadores (programação, impressão e
displays).
Ex.: 50B
5x162+0x161+11X160 = 1280+11=1291
Conversão – Binário para Hexa
Ex.: 101111(2)
Separa de 4 em 4 bits
10 1111(2) = 1 81 41 211
(2)
=2F