Este documento apresenta um resumo dos principais conceitos e equações da mecânica quântica, incluindo o princípio da incerteza de Heisenberg, estados quânticos, operadores, equação de Schrödinger, oscilador harmônico, spin, perturbações, átomo de hidrogênio e mecânica quântica relativista. O documento é dividido em 33 capítulos cobrindo esses tópicos fundamentais da mecânica quântica.

1. Mecˆnica Quˆntica
a a
Obra coletiva
Sum´rio
a
1 Introdu¸˜o
ca 5
2 Pr´-requisitos e requisitos paralelos
e 6
3 O princ´
ıpio da incerteza 7
4 O conceito de estado 9
5 O princ´
ıpio de superposi¸˜o
ca 10
6 Operadores 12
6.1 Valor m´dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
e
6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ca ca
7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger
ca o 18
7.1 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.2 A derivada no tempo de um operador . . . . . . . . . . . . . . 22
7.3 O comutador de p e q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
ˆ ˆ
8 Estados estacion´rios
a 24
9 Po¸o quadrado unidimensional infinito
c 26
10 Exemplos simples 29
10.1 Po¸o quadrado unidimensional
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10.2 Conectando as solu¸˜es . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.3 A equa¸˜o da continuidade . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.4 A barreira de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
10.4.1 Condi¸˜es de contorno
co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1

2. 11 Algumas t´cnicas matem´ticas
e a 45
11.1 A fun¸˜o delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ca
11.2 Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12 O espectro cont´
ınuo 47
13 O oscilador harmˆnico
o 50
13.1 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
14 Operadores unit´rios e simetrias
a 59
14.1 Exemplos de operadores unit´rios . . . . . . . . . . . . . . . . 61
a
14.2 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
15 Rota¸˜es e o momento angular
co 63
16 Autofun¸˜es do momento angular
co 67
16.1 As autofun¸˜es da componente z do momento angular . . . .
co . 67
16.2 Autofun¸˜es simultˆneas do momento angular total e da com-
co a
ponente z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
16.2.1 Constru¸˜o dos harmˆnicos esf´ricos . . . . . . . . .
ca o e . 70
16.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
17 Potenciais com simetria central 75
18 O ´tomo de Hidrogˆnio
a e 76
18.1 Determinando o comportamento assint´tico .
o . . . . . . . . . 78
18.2 As solu¸˜es da equa¸˜o radial . . . . . . . . .
co ca . . . . . . . . . 79
18.3 Algumas propriedades do ´tomo de hidrogˆnio
a e . . . . . . . . . 83
18.4 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
19 A nota¸˜o de Dirac
ca 87
20 O Spin 91
20.1 Elementos de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
20.2 As matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
20.3 Intera¸˜o Eletromagn´tica: Formalismo Hamiltoniano
ca e . . . . . 98
20.3.1 Apˆndice: O teorema de Euler . . . . . . . . .
e . . . . . 102
20.4 Acoplamento do spin com o campo magn´tico . . . .
e . . . . . 102
21 As desigualdades de Heisenberg 104
21.1 A rela¸˜o de incerteza energia x tempo . . . . . . . . . . . . . 106
ca
2

3. 22 Teoria das perturba¸˜es
co 109
22.1 Perturba¸˜o de estados estacion´rios . . . . . . . . . . . . . . 109
ca a
22.2 Exemplo trivial: Oscilador Harmˆnico com perturba¸˜o linear 113
o ca
22.3 Corre¸˜es de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
co
23 Perturba¸˜es de um n´
co ıvel degenerado 115
23.1 Reobtendo as f´rmulas gerais . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 116
23.2 Quando o n´ ´ degenerado. . . . . . . . . . . .
ıvel e . . . . . . . . 117
23.3 O efeito Zeeman anˆmalo . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 120
23.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
23.4.1 Unidades e fatores de convers˜o . . . . .
a . . . . . . . . 122
23.4.2 Exerc´ resolvido . . . . . . . . . . . .
ıcio . . . . . . . . 124
23.4.3 Exerc´ resolvido (Enrico Fermi, 1954)
ıcio . . . . . . . . 126
23.4.4 Prova simulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
23.4.5 Solu¸˜es de alguns problemas . . . . . .
co . . . . . . . . 130
23.4.6 Mais exerc´ ıcios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . 133
24 Perturba¸˜es dependentes do tempo
co 134
25 Perturba¸˜o peri´dica pr´xima ` ressonˆncia
ca o o a a 138
26 For¸as de van der Waals
c 142
26.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . 142
26.2 O trabalho de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
26.2.1 A equa¸˜o de van der Waals . . . . . .
ca . . . . . . . . . 143
26.3 Causa da Coes˜o . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . 143
26.3.1 A teoria de London . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
26.3.2 Referˆncias . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . 145
26.4 Rela¸˜o com a energia do ponto zero . . . . .
ca . . . . . . . . . 146
26.5 Tratamento perturbativo das for¸as de van der
c Waals . . . . . 149
26.6 Apˆndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . 153
27 Sistemas compostos 155
27.1 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
28 Part´ıculas idˆnticas
e 161
28.1 O princ´ıpio de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
28.1.1 Adi¸˜o de momento s angulares . . . . . . . . . . . . . 163
ca
3

4. 29 O caso quase-cl´ssico
a 164
29.1 Regra de transi¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
ca
29.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
29.3 Exemplo: oscilador harmˆnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
o
30 O po¸o duplo.
c 173
31 Sistemas de dois n´
ıveis 177
32 A mol´cula da amˆnia
e o 181
33 A Mecˆnica Quˆntica Relativista
a a 181
33.1 Introdu¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . 181
33.2 A equa¸˜o de Schr¨dinger livre . . . . . . . . . . .
ca o . . . . . . 182
33.3 A equa¸˜o de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . 182
33.4 A equa¸˜o de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . 183
33.4.1 Interpreta¸˜o probabil´
ca ıstica . . . . . . . . . . . . . . . 184
33.4.2 Determina¸˜o das matrizes de Dirac . . . .
ca . . . . . . 185
33.4.3 Formula¸˜o covariante da equa¸˜o de Dirac
ca ca . . . . . . 187
33.4.4 Corrente de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 188
33.4.5 Solu¸˜es especiais: part´
co ıcula em repouso . . . . . . . . 188
33.4.6 Solu¸˜es de energia negativa . . . . . . . . .
co . . . . . . 190
33.4.7 Intera¸˜o com o campo eletromagn´tico . . .
ca e . . . . . . 190
33.5 A anti-mat´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . 191
33.5.1 As solu¸˜es de onda plana . . . . . . . . . .
co . . . . . . 191
33.5.2 A fun¸˜o de onda do buraco . . . . . . . . .
ca . . . . . . 192
34 Apˆndice Matem´tico 1
e a 193
34.1 Operadores e suas representa¸˜es matriciais
co . . . . . . . . . . 193
34.1.1 Transforma¸˜es entre bases . . . . .
co . . . . . . . . . . 195
34.1.2 Matrizes equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
34.1.3 Autovalores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 197
34.2 Diagonaliza¸˜o de uma matriz . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . 199
34.2.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
34.2.2 Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
35 Apˆndice matem´tico 2
e a 204
35.1 A equa¸˜o de Laplace . . . . . . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . 204
35.2 O Oscilador Harmˆnico . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 207
35.3 O Campo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
35.3.1 Comportamento Assint´tico . . . .
o . . . . . . . . . . . 214
35.4 Apˆndice do apˆndice: O M´todo do Ponto
e e e Sela . . . . . . . . 219
4

5. 35.4.1 Exemplo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
e ´
36 Apˆndice 3: Otica geom´trica e 223
36.1 Equa¸˜es de Maxwell . . . . . .
co . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
36.2 A equa¸˜o do eikonal . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
36.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
36.4 n ´ constante . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
36.5 Dois meios homogˆneos . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
36.6 Simetria esf´rica . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
36.7 Curvatura dos raios de luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
36.8 Lentes esf´ricas . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
36.9 A primeira refra¸˜o . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
36.10A segunda refra¸˜o . . . . . . .
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
36.11A equa¸˜o dos focos conjugados
ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
1 Introdu¸˜o
ca
Estas notas destinam-se a auxiliar o estudo dos alunos que est˜o assistindo o
a
meu curso, um curso introdut´rio de mecˆnica quˆntica no quarto semestre
o a a
do Curso de Ciˆncias Moleculares da Universidade de S˜o Paulo. Est˜o
e a a
evoluindo para um livro, mas ainda n˜o o s˜o.
a a
Em particular, n˜o h´ qualquer pretens˜o de originalidade. Trata-se aqui
a a a
de conhecimento estabelecido e amplamente exposto por muitos autores. Em
particular, apoiamo-nos extensamente na referˆncia principal, Landau, Lif-
e
shitz, [3] partes do qual s˜o aqui reproduzidas, mudando-se apenas a l´
a ıngua.
Os alunos que assistem este curso tiveram um semestre de f´ ısico-qu´ımica
onde utilizaram m´todos de mecˆnica quˆntica no estudo da espectroscopia
e a a
atˆmica e molecular, o que os coloca em uma situa¸˜o ins´lita: fizeram os
o ca o
exerc´ıcios antes de ter a teoria! Por isso este curso tem a preocupa¸˜o de apre-
ca
sentar uma formula¸˜o conceitualmente acurada daquelas partes da mecˆnica
ca a
quˆntica que s˜o mais usadas em f´
a a ısico-qu´ımica. Isto explica porque, por ex-
emplo, n˜o tratamos de fenˆmenos de espalhamento e porque, por outro lado,
a o
tratamos de simetrias, momento angular e m´todos perturbativos em maior
e
detalhe do que se costuma fazer em cursos dados em um quarto semestre.
Compare-se-o, por exemplo, com os excelentes tratamentos de Wichmann[11]
e Nussenzveig[12], que diferem notavelmente deste texto porque escolheram
estrat´gias diferentes: Wichmann realiza um soberbo tour pela fenomenologia
e
da f´ısica moderna, e n˜o faz praticamente c´lculos quˆnticos; Nussenzveig,
a a a
que ocupa menos de 1/3 do semestre com mecˆnica quˆntica, seleciona um
a a
n´ cleo muito mais restrito da mat´ria, essencialmente sistemas de dois n´
u e ıveis,
5

6. e produz um extrato de alta qualidade dos princ´ ıpios da teoria. Ambos quase
n˜o usam matem´tica que n˜o seja de dom´
a a a ınio p´ blico. Ambos s˜o forte-
u a
mente recomendados como leitura paralela.
O volume 3 das famosas Feynman Lectures[13] ´ um outro caso. O
e
esplˆndido livro de Feynman ´, ao contr´rio do que se diz, um texto avan¸ado,
e e a c
requerendo ou um talento excepcional, para aproveit´-lo como primeiro texto,
a
ou um consider´vel grau de maturidade em f´
a ısica, para acompanhar os vˆos o
do mestre. Os alunos podem come¸ar a lˆ-lo, diria eu, ap´s uns dois meses
c e o
deste curso. Ideal para uma leitura posterior ao curso.
Mais pr´ximo a este texto, mas muito mais extenso, com cerca de 650
o
p´ginas, est´ o livro de French e Taylor [14], cobrindo terreno semelhante.
a a
Se fosse mais curto eu n˜o precisaria produzir estas notas.
a
Finalmente, a influˆncia do livro onde eu estudei, Landau, Lifshitz[3],
e
´ dominante e deliberada. Em minha opini˜o trata-se do melhor texto ex-
e a
istente. Contudo, foi escrito para estudantes supostamente em n´ ıvel mais
avan¸ado do que aqueles aos quais me dirijo. Talvez eu pudesse resumir o ob-
c
jetivo deste curso assim: procura-se preparar os alunos para a leitura e uso do
magn´ ıfico “Landau”. Principalmente nos primeiros cap´ ıtulos, segui fielmente
o grande texto russo, com as adapta¸˜es que se fizeram necess´rias. Uma al-
co a
ternativa ` altura do “Landau” existe agora, em portuguˆs: o magn´
a e ıfico livro
do professor Toledo Piza[17].
2 Pr´-requisitos e requisitos paralelos
e
Solicita-se ao leitor que estude, antes de prosseguir na leitura destas notas, o
cap´ıtulo 1 do Volume III das Feynman Lectures on Physics, que cont´m uma
e
excelente descri¸˜o da experiˆncia da difra¸˜o por duas fendas, conhecida
ca e ca
como experiˆncia de Young, realizada com el´trons, em lugar da luz (que
e e
Young usou). Quando eu conseguir realizar isto t˜o bem quanto Feynman,
a
este pr´-requisito ser´ substitu´ por um cap´
e a ıdo ıtulo introdut´rio adicional. A
o
previs˜o de tempo para que isto aconte¸a ´ de, mais ou menos, da ordem da
a c e
idade do universo.
Dos requisitos paralelos, o mais importante ´ o estudo. A mecˆnica
e a
qˆ antica ´ uma experiˆncia nova e estranha, mais estranha do que a teo-
u e e
ria da relatividade, e requer h´bitos de pensamento novos, que precisam
a
ser adquiridos aos poucos, ao longo do curso, para n˜o dizer ao longo da
a
vida1 . Estudar s´ perto da prova n˜o basta, ´ quase in´ til. Jean Dieudonn´,
o a e u e
grande matem´tico francˆs da escola Bourbaki, menciona, em seu grande
a e
1
“The newer concepts of physics can be mastered only by long familiarity with their
properties and uses” (Dirac).
6

7. tratado Treatise on Analysis[16], a necessidade de adquirir-se a intui¸˜o do
ca
abstrato. Tamb´m aqui precisamos dela. De fato, Dirac, em sua grande
e
obra-prima[1], que muitos consideram o maior livro de f´ ısica desde os Prin-
cipia de Newton[15], diz: Mathematics is the tool specially suited for dealing
with abstract concepts of any kind and there is no limit to its power in this
field. For this reason a book on the new physics, if not purely descriptive of
experimental work, must be essentially mathematical.
Outro requisito paralelo ´ a leitura de um livro de qualidade, al´m destas
e e
notas. Sugiro desde logo a leitura do pref´cio e dos par´grafos 1, 2, 3 e 4 do
a a
livro de Dirac[1], que pode ser feita logo no come¸o do curso.
c
3 O princ´
ıpio da incerteza
A “experiˆncia de Young” para el´trons, em particular a forma¸˜o de uma
e e ca
figura de interferˆncia mesmo quando o feixe de el´trons ´ t˜o rarefeito que
e e e a
n˜o h´ d´ vida de que os el´trons chegam um a um na tela, mostra que a
a a u e
f´
ısica dos el´trons ´ incompat´ com o conceito de trajet´ria.
e e ıvel o
N˜o existe, na mecˆnica quˆntica, o conceito de trajet´ria
a a a o
Isto ´ o conte´ do do princ´
e u ıpio da incerteza, um dos fundamentos da mecˆnica
a
quˆntica, descoberto por Werner Heisenberg em 1927.
a
A maneira de se obter informa¸˜es sobre um sistema quˆntico (que chamare-
co a
mos, para simplificar, de el´tron) ´ realizar intera¸˜es entre ele e objetos
e e co
cl´ssicos, denominados aparelhos. Por hip´tese esses aparelhos podem ser
a o
descritos pela mecˆnica cl´ssica com a precis˜o que quisermos. Quando um
a a a
el´tron interage com um aparelho, o estado deste ultimo ´ modificado. A
e ´ e
natureza e magnitude dessa modifica¸˜o dependem do estado do el´tron, e
ca e
servem, por isso, para caracteriz´-lo quantitativamente. A intera¸˜o entre
a ca
o el´tron e o aparelho ´ denominada medida. Um aparelho n˜o precisa ser
e e a
macrosc´pico. O movimento de um el´tron numa cˆmara de Wilson ´ ob-
o e a e
servado por meio da trajet´ria nebulosa que ele deixa; a espessura dessa
o
trajet´ria ´ grande, comparada com as dimens˜es atˆmicas. Quando a tra-
o e o o
jet´ria de um el´tron ´ determinada com essa baixa precis˜o, ele ´ um objeto
o e e a e
inteiramente cl´ssico.
a
A mecˆnica quˆntica, ao menos em seu est´gio atual, ocupa um lugar
a a a
pouco usual entre as teorias f´ ısicas: ela cont´m a mecˆnica cl´ssica como um
e a a
caso limite, e, ao mesmo tempo, necessita desse caso limite para estabelecer
a sua linguagem.
7

8. O problema t´ ıpico da mecˆnica quˆntica consiste em predizer o resultado
a a
de uma medida a partir dos resultados de um certo n´ mero de medidas ante-
u
riores. Al´m disso, veremos mais tarde que, em compara¸˜o com a mecˆnica
e ca a
cl´ssica, a mecˆnica quˆntica restringe os valores das quantidades f´
a a a ısicas me-
didas (por exemplo, a energia ). Os m´todos da mecˆnica quˆntica permitem
e a a
a determina¸˜o desses valores admiss´
ca ıveis.
O processo de medida na mecˆnica quˆntica tem uma propriedade muito
a a
importante: a medida sempre afeta o el´tron medido, e ´ imposs´
e e ıvel, por
quest˜es de princ´
o ıpio, tornar o efeito da medida sobre o el´tron arbitraria-
e
mente pequeno (como pode ser suposto na f´ ısica cl´ssica). Quanto mais exata
a
a medida, mais intenso ´ o efeito sobre o el´tron, e ´ somente em medidas de
e e e
pouca precis˜o que o efeito da medida sobre o el´tron pode ser considerado
a e
pequeno.
´
E um dos postulados fundamentais da mecˆnica quˆntica que as coor-
a a
denadas, ou seja, a posi¸˜o de um el´tron pode sempre ser determinada
ca e
com precis˜o arbitr´ria 2 . Suponhamos que, a intervalos definidos ∆t, sejam
a a
feitas medidas sucessivas das coordenadas de um el´tron. Os resultados n˜o
e a
estar˜o, em geral, sobre uma curva lisa. Ao contr´rio, quanto menor o valor
a a
de ∆t, mais descont´ ınuos e desordenados ser˜o os resultados, de acordo com
a
o fato de que n˜o existe uma trajet´ria para o el´tron. Uma trajet´ria ra-
a o e o
zoavelmente lisa s´ ´ obtida se as coordenadas do el´tron forem medidas com
oe e
pouca precis˜o, como no caso de uma cˆmara de Wilson. Para informa¸˜es
a a co
sobre o que ´ uma cˆmara de Wilson, veja
e a
http://rd11.web.cern.ch/RD11/rkb/PH14pp/node29.html#28
Se, mantendo-se imutada a precis˜o das medidas de posi¸˜o, diminuirmos
a ca
os intervalos ∆t entre as medidas, ent˜o medidas adjacentes dar˜o valores
a a
vizinhos `s coordenadas. Contudo, os resultados de uma s´rie de medidas
a e
sucessivas, embora estejam em uma regi˜o reduzida do espa¸o, estar˜o dis-
a c a
tribu´
ıdas, nessa regi˜o, de uma forma totalmente irregular, e nunca em cima
a
de uma curva lisa. Em particular, quando ∆t tende a zero, os resultados
das medidas adjacentes de nenhuma maneira tende a a estar sobre uma reta.
Ora, a velocidade tem a dire¸˜o da reta que, na f´
ca ısica cl´ssica, ´ obtida nesse
a e
limite. Esta circunstˆncia mostra que, na mecˆnica quˆntica, n˜o existe a ve-
a a a a
locidade da part´ıcula no sentido cl´ssico do termo, isto ´, o limite de (∆r/∆t)
a e
quando ∆t → 0.
Enquanto, na mecˆnica cl´ssica, a part´
a a ıcula tem posi¸ao e velocidade
c˜
bem definidas em cada instante, na mecˆnica quˆntica a situa¸˜o ´ bem
a a ca e
2
Isto n˜o est´ em contradi¸˜o com as rela¸˜es de incerteza. Elas dizem que n˜o ´
a a ca co a e
poss´ determinar simultaneamente posi¸˜o e momento .
ıvel ca
8

9. diferente. Se, como resultado de uma medida, determinam-se as coordenadas
de um el´tron, ent˜o sua velocidade ´ totalmente indefinida. Se, ao contr´rio,
e a e a
determina-se a velocidade de um el´tron, ent˜o ele n˜o pode ter uma posi¸˜o
e a a ca
definida no espa¸o. Assim, na mecˆnica quˆntica, a posi¸˜es e a velocidade
c a a co
de um el´tron s˜o quantidades que n˜o podem ter, simultaneamente, valores
e a a
definidos.
4 O conceito de estado
Na mecˆnica cl´ssica conhece-se o estado de um sistema quando s˜o con-
a a a
hecidas todas as posi¸˜es e todas as velocidades dos pontos do sistema, em
co
um determinado instante. A partir desses dados ´ poss´ predizer todo o
e ıvel
futuro, e reconstruir todo o passado do sistema. Ou seja, conhece-se o es-
tado de um sistema quando se pode prever o futuro do sistema com a maior
precis˜o poss´ (no caso da mecˆnica cl´ssica essa precis˜o ´ total).
a ıvel a a a e
Na mecˆnica quˆntica tal descri¸˜o ´ imposs´
a a ca e ıvel, uma vez que as co-
ordenadas e as velocidades n˜o podem existir simultaneamente. Assim, a
a
descri¸˜o de um estado na mecˆnica quˆntica ´ feita em termos de menos
ca a a e
quantidades do que na mecˆnica cl´ssica. Segue-se disso uma conseq¨ˆncia
a a ue
muito importante. Enquanto a descri¸˜o cl´ssica permite prever o movi-
ca a
mento futuro com total precis˜o, a descri¸˜o menos detalhada da mecˆnica
a ca a
quˆntica n˜o permite essa precis˜o. Isto significa que, mesmo que se conhe¸a
a a a c
o estado de um el´tron, seu comportamento em instantes sucessivos ´, em
e e
princ´
ıpio, incerto. A mecˆnica quˆntica n˜o pode fazer previs˜es exatas.
a a a o
Para um dado estado inicial do el´tron, uma medida subseq¨ente pode dar
e u
v´rios resultados. O problema t´
a ıpico da mecˆnica quˆntica ´ determinar a
a a e
probabilidade de se obter cada um dos resultados poss´ ıveis, ao realizar uma
medida (ocasionalmente a probabilidade de se obter um determinado valor
pode ser 1, e a de todos os outros zero!).
Os processos de medida na mecˆnica quˆntica podem ser divididos em
a a
duas classes. Em uma, que cont´m a maioria das medidas, est˜o aquelas
e a
que, para qualquer estado do sistema, conduzem apenas a resultados mais ou
menos prov´veis. A outra classe cont´m medidas tais que, dado um qualquer
a e
dos resultados poss´ ıveis dessa medida, existe um estado do sistema no qual a
medida d´, com certeza, aquele valor. Essas medidas s˜o ditas previs´
a a ıveis, e
desempenham um papel importante na formula¸˜o da mecˆnica quˆntica. As
ca a a
propriedades f´ ısicas do sistema que s˜o determinadas por medidas desse tipo
a
s˜o chamadas quantidades f´
a ısicas ou observ´veis do sistema.(Ver Landau,
a
Lifshitz)
Veremos no que segue que, dado um conjunto de quantidades f´ ısicas, nem
9

10. sempre ´ poss´ med´
e ıvel ı-las simultaneamente, isto ´, nem sempre ´ poss´
e e ıvel
que todas tenham valores definidos ao mesmo tempo. Vimos que este ´ o e
caso para a posi¸˜o e a velocidade de um ponto material, por exemplo.
ca
Um papel fundamental ´ desempenhado por conjuntos de quantidades
e
f´
ısicas com a seguinte propriedade: elas podem ser medidas simultaneamente
mas, se elas tˆm todas valores definidos, nenhuma outra quantidade f´
e ısica
independente pode ter um valor definido nesse estado.
Tais conjuntos de quantidades f´
ısicas s˜o denominados conjuntos completos
a
de observ´veis compat´
a ıveis. Um conjunto completo fornece uma descri¸˜oca
m´xima do sistema, e, portanto, caracteriza um estado do sistema.
a
5 O princ´
ıpio de superposi¸˜o
ca
Seja q o conjunto das coordenadas de um sistema quˆntico 3 , e dq o produto
a
4
das diferenciais dessas coordenadas . Por exemplo, se q = {x, y, z}, dq =
dxdydz.
O estado de um sistema ´ descrito por uma fun¸˜o complexa ψ(q) das
e ca
coordenadas. O quadrado do m´dulo dessa fun¸˜o determina a distribui¸˜o
o ca ca
de probabilidades dos valores das coordenadas:
|ψ(x, y, z)|2 dxdydz
´ a probabilidade de que uma medida realizada sobre o sistema encontre os
e
valores das coordenadas entre x e x + dx, y e y + dy, z e z + dz. A fun¸˜o ψ
ca
´ denominada fun¸˜o de onda do sistema.
e ca
O conhecimento da fun¸˜o de onda permite, em princ´
ca ıpio, calcular a
probabilidade dos v´rios resultados de qualquer medida (n˜o necessariamente
a a
das coordenadas). Essas probabilidades s˜o express˜es bilineares em ψ e ψ ∗
a o
(* representando a opera¸˜o de tomar o complexo conjugado), do tipo
ca
dqψ(q)∗φ(q)ψ(q)
ou
∂
dqψ(q)∗ ψ(q)
∂q
por exemplo.
O estado de um sistema varia, em geral, com o tempo. Em conseq¨ˆncia,
ue
a fun¸˜o de onda ´ uma fun¸˜o tamb´m do tempo, ψ(q, t). Se a fun¸˜o
ca e ca e ca
3
Abuso de linguagem. Todos os sistemas s˜o quˆnticos. A express˜o correta seria
a a a
“sistema incorretamente descrito pela f´
ısica cl´ssica”.
a
4
Ou melhor, o elemento de volume em termos dessas coordenadas.
10

11. de onda ´ conhecida em um instante inicial, segue, do conceito da descri¸˜o
e ca
completa, que ela est´, em princ´
a ıpio, determinada em cada instante sucessivo.
A dependˆncia precisa da fun¸˜o de onda com o tempo ´ determinada por
e ca e
uma equa¸˜o denominada equa¸˜o de Schr¨dinger .
ca ca o
A probabilidade de que as coordenadas de um sistema tenham qualquer
valor, ´ 1. Devemos, ent˜o, ter
e a
|ψ(q)|2dq = 1 ,
pois a integral acima ´ exatamente esta probabilidade.
e
Seja ψ(q) a fun¸˜o de onda de um sistema. Considere a fun¸˜o
ca ca
ψ ′ (q) = ψ(q)eiα
onde α ´ um n´ mero real. Como as probabilidades dos v´rios resultados s˜o
e u a a
express˜es da forma
o
dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q)
e como
dqψ ∗ (q)φ(q)ψ(q) = dqψ ′∗ (q)φ(q)ψ ′(q) ,
vemos que ψ ′ (q) ´ uma descri¸˜o da fun¸˜o de onda do sistema t˜o boa
e ca ca a
quanto ψ(q). Diz-se , por isso, que a fun¸˜o de onda de um sistema est´
ca a
definida a menos de uma fase, ou seja, que, se ψ(q) ´ fun¸˜o de onda de um
e ca
sistema, ψ ′ (q) tamb´m ´.5
e e
Seja S um sistema f´ ısico que pode existir tanto num estado de fun¸˜oca
de onda ψ1 (q) como no estado de fun¸˜o de onda ψ2 (q). A medida de uma
ca
quantidade f´ ısica f d´, por hip´tese, o resultado f1 , com probabilidade 1, se
a o
o sistema estiver em ψ1 , e o resultado f2 , tamb´m com probabilidade 1, se o
e
sistema estiver em ψ2 . Postula-se ent˜o que:
a
(1)Toda fun¸˜o da forma c1 ψ1 + c2 ψ2 , onde c1 e c2 s˜o n´ meros complexos,
ca a u
´ tamb´m um estado do sistema.
e e
(2)Neste estado, uma medida de f dar´ ou o resultado f1 ou o resultado f2 .
a
5
Na realidade, h´ quantidades f´
a ısicas tamb´m da forma
e
dqψ ∗ (q)φ(q)ξ(q)
onde ξ(q) ´ outra fun¸˜o de onda. Como essas quantidades tamb´m devem permanecer
e ca e
inalteradas, ´ necess´rio acrescentar que a trasforma¸˜o
e a ca
ψ ′ (q) = eiα ψ(q)
deve ser tal que o mesmo α ´ usado para todas as fun¸˜es de onda.
e co
11

12. Este postulado ´ denominado princ´
e ıpio de superposi¸˜o. Segue dele que
ca
a equa¸˜o de Schr¨dinger deve ser linear em ψ.
ca o
Considere um sistema composto de duas partes, e suponha que o estado
do sistema seja dado de uma maneira tal que cada uma de suas partes possui
uma descri¸˜o completa.6 Ent˜o as probabilidades das coordenadas q1 , da
ca a
parte 1, s˜o independentes das probabilidades das coordenadas q2 , da parte
a
2. Seja ψ12 (q1 , q2 ) a fun¸˜o de onda do sistema todo, e ψ1 (q1 ) e ψ2 (q2 ) as
ca
fun¸˜es de onda das partes 1 e 2, respectivamente. Ent˜o,
co a
ψ12 (q1 , q2 ) = ψ1 (q1 )ψ2 (q2 ) ,
pois, ent˜o,
a
|ψ12 (q1 , q2 )|2 = |ψ1 (q1 )|2 |ψ2 (q2 )|2
o que significa que as probabilidades s˜o independentes.
a
Se, al´m disso, essas partes n˜o interagirem, vale ainda a rela¸˜o
e a ca
ψ12 (q1 , q2 , t) = ψ1 (q1 , t)ψ2 (q2 , t)
6 Operadores
Seja f uma quantidade f´ ısica que caracteriza o estado de um sistema quˆntico.
a
Os valores que uma dada quantidade f´ ısica pode assumir s˜o chamados de
a
autovalores . O conjunto dos autovalores ´ o espectro. Na mecˆnica cl´ssica
e a a
7
as quantidades f´
ısicas s˜o cont´
a ınuas. Na mecˆnica quˆntica, n˜o necessaria-
a a a
mente. Pode haver espectros discretos ou espectros cont´ ınuos. Vamos supor,
para simplificar, que o espectro de f seja discreto. Os autovalores de f ser˜oa
denotados por fn , (n = 0, 1, 2..). A fun¸˜o de onda do sistema, no estado
ca
em que f tem o valor fn , ser´ denotada por ψn . Essas fun¸˜es s˜o chamadas
a co a
autofun¸˜es de f . Para cada uma delas,
co
dq|ψn |2 = 1
Um dos princ´
ıpios b´sicos da mecˆnica quˆntica ´ este:
a a a e
(I) O conjunto das autofun¸˜es de uma quantidade f´
co ısica f ´ completo. Isto
e
´, dada uma fun¸˜o de onda qualquer ψ do sistema, podemos expand´ em
e ca ı-la
autofun¸˜es de f assim:
co
ψ= an ψn
n
6
Isto quer dizer que a fun¸˜o de onda de cada uma das partes tem um “futuro” total-
ca
mente previs´ıvel, ou seja, que as duas partes do sistema s˜o independentes.
a
7
Natura non facit saltus, Isaac Newton.
12

13. onde os an s˜o n´ meros complexos.
a u
(II)Fazendo-se uma medida de f em ψ, a probabilidade de se obter o valor
fn ´ dada por |an |2 .
e
Em conseq¨ˆncia, devemos ter
ue
|an |2 = 1
n
pois n |an |2 ´ a probabilidade de, medindo-se f , obter-se qualquer um dos
e
valores poss´
ıveis.
Temos, ent˜o, o resultado
a
an a∗ =
n dqψψ ∗
n
Por outro lado, temos
ψ∗ = a∗ ψn
n
∗
logo,
dqψψ ∗ = ψ a∗ ψn dq
n
∗
n
= a∗
n
∗
ψn ψdq
n
= a∗ an
n
n
de onde se conclui que
∗
an = ψn ψdq
Finalmente, usando ψ = m am ψm , temos
∗ ∗
an = dqψn am ψm = am ψn ψm dq
m m
de onde se conclui que
∗
dqψn ψm = δnm
Diz-se ent˜o que as autofun¸˜es s˜o ortogonais.
a co a
6.1 Valor m´dio
e
Vamos introduzir agora o conceito de valor m´dio f da quantidade f´
e ısica f em
um dado estado. Sejam fn os valores poss´ıveis de f , ou seja, seus autovalores
13

14. . Sejam |an |2 as probabilidades de cada um dos autovalores , no estado em
quest˜o. Define-se ent˜o o valor m´dio como
a a e
f= fn |an |2
n
Usa-se tamb´m a nota¸˜o f , para a mesma quantidade. Queremos encon-
e ca
trar uma express˜o para f em termos da fun¸˜o de onda do estado consider-
a ca
ado. Seja ψ esta fun¸˜o. Para fazer isso vamos associar ` quantidade f´
ca a ısica
ˆ que atua sobre as fun¸˜es de onda. Seja fψ a fun¸˜o
f um operador linear f co ˆ ca
ˆ ˆ
obtida quando f atua sobre ψ. Queremos, de f , que
f= ˆ
dqψ ∗ (f ψ)
para qualquer estado ψ (lembre-se que estipulamos que as quantidades f´
ısicas
deveriam ser express˜es bilineares na fun¸˜o de onda). Ent˜o,
o ca a
f= fn an a∗ =
n dqψ ∗ an fn ψn
n n
onde usamos an = dqψ ∗ ψn , obtido anteriormente. Vemos, primeiramente,
que
fψ = an fn ψn
n
Ora,
ψ= an ψn ,
n
de maneira que f ´ linear, e que
e
ˆ
f ψn = fn ψn
Sumarizando:
ˆ
f ψn = fn ψn (1)
ˆ
f = ˆ
dqψ ∗ f ψ (2)
∗
an = dqψn ψ (3)
∗
dqψn ψm = δnm (4)
Os valores assumidos por uma quantidade f´ ısica s˜o reais. Portanto, os val-
a
ores m´dios f de uma quantidade f´
e ısica s˜o tamb´m reais, como se vˆ de
a e e
2
f = n fn |an | . Note-se (exerc´ ıcio f´cil), que, se o estado for uma auto-
a
fun¸˜o de f , o valor m´dio f coincide com o autovalor de f nesse estado.
ca e
14

15. Do fato de f ser real segue uma propriedade importante dos operadores
associados a quantidades f´
ısicas:
∗
ˆ ∗ ˆ
f= dqψ ∗ f ψ = f = dqψ ∗ f ψ (5)
Ora,
∗ ∗
ˆ
dqψ ∗ (f ψ) = ˆ
ψ ∗ (f ψ)dq = ˆ
ψ(f ψ)∗ dq = ˆ
ψ f ∗ ψ ∗ dq (6)
ˆ e ˆ a ˆ e ˆ
onde f ∗ ´ definido assim: se f ψ = φ, ent˜o f ∗ ´ o operador tal que f ∗ ψ ∗ =
φ∗ .8 Ent˜o,
a
ˆ ˆ
ψ ∗ fψdq = ψ f ∗ ψ ∗ dq
ˆ ˆ
Vamos definir o operador transposto t f do operador f . Sejam ψ e φ fun¸˜es
co
tˆ
arbit´rias. Ent˜o f ´ tal que
a a e
ˆ
ψ ∗ (t f)φdq = ˆ
φf ψ ∗ dq
Por exemplo, para ψ = φi,
ˆ
ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ
ψ ∗ (t f ∗ )ψdq
Da condi¸˜o de realidade de f, Eq.(6), temos
ca
ˆ
ψ ∗ f ψdq = ˆ
ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ
ψ ∗ (t f ∗ )ψdq (7)
Comparando os dois extremos vemos que
ˆ ˆ
f = (t f )∗
Operadores com esta propriedade s˜o ditos hermiteanos. Logo, os operadores
a
associados a quantidades f´ ısicas s˜o operadores lineares hermiteanos.
a
Podemos, formalmente, considerar quantidades f´ ısicas complexas, isto ´,
e
cujos autovalores s˜o complexos. Por exemplo, dadas as coordenadas x e
a
y,podemos considerar a quantidade x + iy. Seja f uma quantidade desse
tipo, e seja f ∗ a quantidade cujos autovalores s˜o os complexo-conjugados dos
a
` ˆ
autovalores de f . A quantidade f corresponde o operador f. Denotemos por
8 ˆ ∂
a ˆ
Por exemplo, seja f = −i ∂x . Ent˜o, dado ψ qualquer, temos f ψ = −i ∂ψ . O operador
∗
∂x
ˆ ˆ ˆ
f ∗ deve ser tal, ent˜o, que f ∗ ψ ∗ = (−i ∂ψ )∗ = i ∂ψ . Logo, f ∗ = i ∂x .
a ∂
∂x ∂x
15

16. ˆ
f + o operador correspondente ` quantidade f ∗ . Este operador ´ denominado
a e
o adjunto de fˆ.
O valor m´dio da quantidade f ∗ ´ dado por
e e
f∗ = ˆ
ψ ∗ f + ψdq
onde apenas adaptamos a defini¸˜o de m´dia de um operador.
ca e
Ora,
ˆ
f = ψ ∗ fψdq
logo,
∗
∗
f = ˆ
ψ ∗ f ψdq = ˆ
ψ f ∗ ψ ∗ dq = ˆ
ψ ∗ (t f)∗ ψdq
Mas ∗
∗
f∗ = fn |an |2 =
∗
fn |an |2 =f
n n
Ou seja,
ˆ
ψ ∗ f + ψdq = ˆ
ψ ∗ (t f)∗ ψdq
Comparando, temos
ˆ ˆ
f + = (t f)∗
Em palavras, o adjunto ´ o transposto do conjugado.
e
A condi¸˜o de hermiticidade de um operador, escrita anteriormente como
ca
ˆ ˆ
(t f ) = f ∗
pode agora ser escrita:
ˆ ˆ
f = f+
e os operadores hermiteanos s˜o aqueles que coincidem com os adjuntos. Da´
a ı
serem chamados tamb´m de auto-adjuntos.
e
Vamos agora mostrar que a ortogonalidade das autofun¸˜es de um op-
co
erador hermiteano pode ser demonstrada diretamente. Sejam fn e fm dois
ˆ
autovalores diferentes do operador hermiteano f . Sejam ψn e ψm as auto-
fun¸˜es correspondentes. Ent˜o,
co a
ˆ
f ψn = fn ψn (8)
ˆ
fψm = fm ψm (9)
∗
Multiplicando a primeira por ψm , temos
∗ ˆ ∗ ∗
ψm f ψn = ψm fn ψn = fn ψm ψn
16

17. e
∗ ˆ ∗
dqψm f ψn = fn dqψm ψn (10)
ˆ ∗
Tomando o complexo conjugado de (9) e multiplicando por ψn , temos ψn f ∗ ψm =
∗
fm ψn ψm . Integrando,
ˆ ∗
dqψn f ∗ ψm = fm ∗
dqψn ψm (11)
∗ ˆ ˆ ∗
dqψm f ψn − dqψn f + ψm = (fn − fm ) ∗
dqψn ψm (12)
Mas
ˆ ∗
dqψn f ∗ ψm = ˆ
dqψm (t f )∗ ψn =
∗ ∗ ˆ
dqψm f + ψn = ∗ ˆ
dqψm f ψn
ˆe
pois f ´ hermiteano. Logo, o primeiro termo de (12) ´ zero. Conseq¨ ente-
e u
mente,
∗
(fn − fm ) ψn ψm dq = 0
e, como fn = fm , segue que
∗
dqψn ψm = 0 (n = m)
6.2 Adi¸˜o e subtra¸˜o de operadores
ca ca
Sejam f e g duas quantidades f´ısicas que podem ter valores definidos simul-
ˆ ˆ
taneamente. Sejam f e g seus operadores. Os autovalores da soma f + g s˜o a
ˆ + g , e sejam ψn
a soma dos autovalores de f e de g. Considere o operadorf ˆ
co ˆ ˆ
as autofun¸˜es comuns a f e g . Ent˜o,
a
ˆ
f ψn = fn ψn
g ψn = gn ψn
ˆ
e, portanto,
ˆ ˆ
(f + g )ψn = (fn + gn )ψn
Este resultado pode ser generalizado para fun¸˜es de onda quaisquer, assim:
co
ˆ ˆ ˆ
(f + g )ψ = f ψ + g ψ
ˆ
Neste caso, tem-se
f +g = ˆ ˆ
ψ ∗ (f + g )ψdq = ˆ
ψ ∗ fψdq + ψ ∗ g ψdq = f + g
ˆ
17

18. A multiplica¸˜o de operadores ´ definida assim:
ca e
ˆˆ ˆg
(f g )ψ = f (ˆψ)
ca ˆ ˆ
Suponhamos que ψn seja autofun¸˜o comum a f e g . Ent˜o,
a
ˆˆ ˆg ˆ ˆ
f g ψn = f (ˆψn ) = f (gn ψn ) = gn f ψn = gn fn ψn
e
ˆˆ ˆ ˆ
g fψn = g (f ψn ) = g (fn ψn ) = fn (ˆψn ) = fn gn ψn
ˆ g
Logo, para as autofun¸˜es simultaneas, temos
co
ˆˆ ˆ ˆ
(f g − g f )ψn = 0
Isto n˜o ´ suficiente para se concluir que o operador
a e
ˆˆ ˆ ˆ
f g − gf = 0 .
Contudo, como o conjunto das autofun¸˜es ψn ´ completo, temos, dada uma
co e
fun¸˜o de onda arbitr´ria, que
ca a
ψ= an ψn
n
e
ˆˆ ˆ ˆ
(f g − g f )ψ = ˆˆ ˆ ˆ
an (f g − g f)ψn = 0
n
ˆˆ ˆ ˆ e
Logo, o operador f g − g f ´ zero como operador, pois leva qualquer fun¸˜o
ca
ao valor zero. Note-se que isto foi demonstrado para dois operadores que
possuem um conjunto completo de autofun¸˜es comuns. No caso geral, esse
co
comutador,
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ
[f, g ] ≡ f g − g f
´ diferente de zero.
e
7 A energia e a equa¸˜o de Schr¨dinger
ca o
A fun¸˜o de onda determina completamente o estado f´
ca ısico do sistema. Isto
significa que, dada a fun¸˜o de onda ψ de um sistema no instante t, n˜o
ca a
somente todas as propriedades do sistema naquele instante est˜o descritas,
a
mas tamb´m as propriedades em qualquer instante subseq¨ ente (tudo isso,
e u
naturalmente, em termos do conceito de descri¸˜o completa admitido pela
ca
mecˆnica quˆntica). Matematicamente isto quer dizer que a derivada primeira
a a
18

19. no tempo, ∂ψ no instante t ´ determinada pelo valor de ψ no mesmo instante.
∂t
e
Como a teoria ´ linear, essa rela¸˜o ´ tamb´m linear. Vamos escrevˆ-la assim:
e ca e e e
∂ψ ˆ
i¯
h = Hψ (13)
∂t
ˆ e
onde H ´ um operador linear a ser determinado. A maneira mais direta de
ˆ e
descobrir a natureza de H ´ impˆr que, no limite cl´ssico, as leis de Newton
o a
sejam obtidas. Usando argumentos de mecˆnica avan¸ada mostra-se que H
a c ˆ
deve ser o hamiltoniano do sistema, ou seja, a energia escrita em termos dos
momento s pi e das coordenadas qi do sistema, fazendo-se ainda a substitui¸˜o
ca
∂
pi = −i¯
h (14)
∂qi
A equa¸˜o (13) ´ denominada equa¸˜o de Schr¨dinger , e desempenha,
ca e ca o
na mecˆnica quˆntica, papel semelhante ao da segunda lei de Newton na
a a
mecˆnica cl´ssica.
a a
Exemplos:
(2) A part´
ıcula livre unidimensional:
p2
E =
2m
∂
p =
ˆ −i¯
h
∂x
∂ ∂
p2
ˆ = −i¯
h −i¯
h
∂x ∂x
ˆ ¯ 2 ∂2
h
H = −
2m ∂x2
ˆ ¯ 2 ∂2ψ
h
Hψ = −
2m ∂x2
Equa¸˜o de Schr¨dinger completa:
ca o
∂ψ ¯ 2 ∂2ψ
h
i¯
h =− . (15)
∂t 2m ∂x2
(2) A part´
ıcula livre tri-dimensional:
1
E = p2 + p2 + p2
2m x y z
∂
px
ˆ = −i¯h
∂x
∂
py
ˆ = −i¯h
∂y
19

20. ∂
pz
ˆ = −i¯
h
∂z
ˆ ¯2
h ∂2 ∂2 ∂2
H = − 2
+ 2+ 2
2m ∂x ∂y ∂z
ˆ ¯2 2
h
Hψ = − ∇ ψ
2m
Equa¸˜o de Schr¨dinger completa:
ca o
∂ψ ¯2 2
h
i¯
h =− ∇ ψ (16)
∂t 2m
(3) Part´
ıcula sobre a a¸˜o de um potencial:
ca
Seja V (x, y, z) a energia potencial da part´
ıcula. Na mecˆnica quˆntica o operador energia
a a
ˆ
potencial, V (r) ´ definido por:
e
ˆ
V (r)ψ(r) ≡ V (r)ψ(r)
ca ˆ
ou seja, a a¸˜o do operador V (r) sobre a fun¸˜o ψ(r) consiste simplesmente em multi-
ca
plic´-la pelo n´ mero V (r). Exemplo:
a u
Oscilador harmˆnico unidimensional:
o
ˆ 1 2
V (x)ψ(x) = V (x)ψ(x) = kx ψ(x)
2
ˆ ¯2 2
h 1
Hψ = − ∇ ψ + kx2 ψ
2m 2
7.1 Exerc´
ıcios
1. Sejam ψ1 (x) e ψ2 (x, respectivamente, autofun¸˜es de H, com autovalores
co
E1 e E2 . ψi (x) = ψi (x, t = 0). Seja Ψ(x, t = 0) = a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x).
Determinar Ψ(x, t) para t > 0.
Solu¸˜o:
ca
Temos
i ˆ
ψ(x, t) = e− h Ht ψ(x, t = 0)
¯ (17)
Portanto,
i ˆ i i
Ψ(x, t) = e− h Ht (a1 ψ1 (x) + a2 ψ2 (x))) = a1 e− h E1 t ψ(x, t = 0)+a2 e− h E2 t ψ2 (x, t = 0)
¯ ¯ ¯
(18)
(a) Mostre que, nas condi¸˜es acima,
co
i ˆ i
exp − Htψ1 (x) = exp − E1 tψ1 (x)
h
¯ h
¯
(b) Demonstre a Eq.(17).
(c) As fun¸˜es exp i(k1 x − ω1 t), exp i(k2 x − ω2 t) e exp −i(k1 x + ω1 t) s˜o solu¸˜es
co a co
20

21. estacion´rias da equa¸˜o de Schr¨dinger de uma part´
a ca o ıcula livre. Escreva essa
equa¸˜o de Schr¨dinger e mostre que isso ´ verdade. A soma das trˆs ´
ca o e e e
uma solu¸˜o da mesma equa¸˜o, logo ´ a fun¸˜o de onda de um estado de
ca ca e ca
part´ıcula livre. Se o sistema se encontra neste estado, quais os valores da
energia que podem ser obtidos numa medida da energia do sistema, e qual
´ a probabilidade relativa deles. Por que eu estou falando de probabilidades
e
relativas, em vez de em probabilidades simplesmente?
2.A fun¸˜o de onda de uma part´
ca ıcula livre de massa m, em movimento ao
longo do eixo x, ´, em t = 0, dada por
e
1/4
2α 2
ψ(x) = e−αx (19)
π
(a) Verifique se ela est´ normalizada.
a
(b)Usando
∞ 2π − k2
dxe−αx e−ikx =e 4α (20)
−∞ α
expanda ψ(x) (da Eq.19) em autofun¸˜es simultˆneas do momento e da en-
co a
ergia , exp ikx. Se a expans˜o for escrita
a
1/4
2α 2
∞
e−αx = dka(k)eikx
π −∞
mostre que
1/4
1 2α π − k2
a(k) = e 4α
2π π α
e que, portanto,
1/4
1 2α π ∞ k2 i¯ k2 t
h
ψ(x, t) = dke− 4α eikx e− 2m (21)
2π π α −∞
(c) Agora, num esfor¸o de reportagem, calcule a integral em Eq.(21). (Use a
c
Eq.(20) trivialmente modificada). Vocˆ deve achar
e
1/4
2α m αm 2
ψ(x, t) = e− m+2iα¯ t x
h (22)
π m + 2iα¯ t
h
(d)Verifique que a fun¸˜o de onda ψ(x, t) da Eq.(22)satisfaz a equa¸˜o de
ca ca
Schr¨dinger para a part´
o ıcula livre.
21

22. 7.2 A derivada no tempo de um operador
ˆe
Diremos que um operador f˙ ´ a derivada no tempo do operador f se, sendo
ˆ
ˆ ˆ
f o valor m´dio de f num estado arbitr´rio, e f˙ o valor m´dio de f˙ nesse
ˆ e ˆ a e
mesmo estado, tivermos
d ˆ ˆ
f = f˙ (23)
dt
Explicitando, devemos ter
d ˆ d ˆ
∂f ψ∗ ˆ
f = ˆ
dqψ ∗ f ψ = dqψ ∗ ψ+ dq fψ + ˆ∂ψ
dqψ ∗ f (24)
dt dt ∂t ∂t ∂t
Usando a equa¸˜o de Schr¨dinger , obtemos
ca o
∂ψ ∗ i ˆ∗ ∗
= H ψ
∂t h
¯
∂ψ −i ˆ
= Hψ
∂t h
¯
Usando esses resultados em (24), temos
d ˆ ˆ
∂f i i
f = dqψ ∗ ψ+ ˆ ˆ
dq H ∗ ψ ∗ f ψ − ˆ ˆ
dqψ ∗f Hψ (25)
dt ∂t h
¯ h
¯
O termo que cont´m a derivada parcial do operador s´ existe quando a express˜o do
e o a
operador cont´m parˆmetros que dependam do tempo. Por exemplo, se tiv´ssemos uma
e a e
part´
ıcula livre de massa vari´vel, seu hamiltoniano seria
a
ˆ ¯2
h
H=− ∇2 (26)
2m(t)
e a derivada em quest˜o seria dada por
a
ˆ
∂H ¯ 2 dm 2
h
= ∇
∂t 2m2 (t) dt
Na grande maioria dos casos este termo ´ inexistente.
e
ˆ e
Voltando ` Eq.(25), e usando o fato de que H ´ hermiteano, temos
a
ˆ ˆ
dq H ∗ ψ ∗ f ψ = ˆˆ
dqψ ∗ H f ψ = ˆˆ
dqψ ∗ H f ψ (27)
e, conseq¨ entemente,
u
d ˆ ˆ i
∂f
f = ψ∗ ˆ ˆ i ˆˆ
+ Hf − f H ψ (28)
dt ∂t h
¯ h
¯
22

23. Como, por defini¸˜o,
ca
d ˆ ˆ
f = dqψ ∗ f˙ψ
dt
temos que
ˆ
ˆ ∂f + i H f − f H
f˙ = ˆ ˆ ˆˆ (29)
∂t h
¯
ˆ
Como dissemos, o caso mais importante ´ aquele em que ∂ f = 0 (diz-se ent˜o
e ∂t
a
que o operador n˜o tem dependˆncia expl´
a e ıcita no tempo.) Neste caso,
ˆ i ˆ ˆ ˆˆ
f˙ = Hf − f H (30)
h
¯
ˆ
Vemos ent˜o que, se [H, f ] = 0, f˙ = 0, e
a ˆ ˆ
ˆ
f = constante . (31)
Na mecˆnica quˆntica, a constˆncia de uma quantidade f´
a a a ısica no tempo quer
dizer isto: que o valor m´dio dessa quantidade independe do tempo. Con-
e
ˆ Temos, evidentemente, que [H, H] = 0, logo, se H n˜o
sidere o operador H. ˆ ˆ ˆ a
depende explicitamente do tempo,
ˆ
˙ i ˆ ˆ
H = [H, H] = 0 (32)
h
¯
d ˆ
e dt H = 0. A quantidade f´ ısica associada ao hamiltoniano ´ a energia .
e
Logo, a energia se conserva, na mecˆnica quˆntica.
a a
Como |ψ 2 |dq = 1, sendo a integral estendida a todo o espa¸o, temos que
c
d d ∂ψ ∗ ∂ψ
0= dq|ψ|2 = dqψ ∗ ψ = ψ + ψ∗ (33)
dt dt ∂t ∂t
Eliminando as derivadas no tempo pelo uso da equa¸˜o de Schr¨dinger , temos:
ca o
i ˆ ˆ i ˆ ˆ
0= dqψ H ∗ ψ ∗ − dqψ ∗ Hψ = dqψ ∗ (t H)∗ ψ − dqψ ∗ Hψ
h
¯ h
¯
i ˆ ˆ
= ψ∗ H + − H ψ
h
¯
ˆ ˆ ˆ e
Segue ent˜o que H = H + , ou seja, que H ´ hermiteano.
a
7.3 O comutador de p e q
ˆ ˆ
h∂
Como px = −i¯ ∂x , temos
ˆ
∂ψ(x) ∂
[ˆ, px ]ψ(x) = x(−i¯ )
x ˆ ˆ h − (−i¯ ) (xψ(x))
h (34)
∂x ∂x
23

24. que leva a
[ˆ, px ]ψ(x) = i¯ ψ(x)
x ˆ h (35)
Logo, temos a igualdade entre operadores:
[ˆ, px ] = i¯ ˆ
x ˆ h1 (36)
onde ˆ ´ o operador unidade, definido por
1e
ˆ =ψ
1ψ (37)
qualquer que seja ψ.
Obviamente isto vale tamb´m para as outras componentes. Numa forma
e
geral. temos:
[ˆi , qj ] = −i¯ δij ˆ
p ˆ h 1 (38)
S˜o as chamadas rela¸˜es de Heisenberg.
a co
8 Estados estacion´rios
a
Na equa¸˜o de Schr¨dinger
ca o
∂ψ(r, t) ˆ
i¯
h = Hψ(r, t) (39)
∂t
procuremos solu¸˜es da forma
co
ψ(r, t) = u(r)T (t) , (40)
que s˜o um produto de uma fun¸˜o s´ de r por uma fun¸˜o s´ de t. Explici-
a ca o ca o
tando a forma do hamiltoniano,
2
ˆ h
¯
H=− ∇2 + V (r) (41)
2m
reescrevemos a Eq.(39) assim:
∂ h2 2
¯
i¯
h u(r)T (t) = − ∇ u(r)T (t) + V (r)u(r)T (t) (42)
∂t 2m
que pode ser reescrita:
dT (t) h2 2
¯
i¯ u(r)
h = −T (t) ∇ u(r) + V (r)u(r)T (t) (43)
dt 2m
24

25. Dividindo por u(r)T (t), temos
1 dT 1 h2 2
¯
i¯
h =− ∇ u + V (r) (44)
T dt u 2m
O primeiro membro n˜o depende de r, ou seja, s´ pode depender de t. Ele
a o
´ igual ao segundo membro, que n˜o pode depender de t. Logo, o primeiro
e a
membro n˜o depende nem de r nem de t: n˜o dpende ent˜o de nada: ´
a a a e
constante. O segundo membro, por for¸a da equa¸˜o, ´ igual ao primeiro, e
c ca e
ent˜o tamb´m constante. Designemos esta constante por E. Teremos ent˜o
a e a
1 dT
i¯
h =E (45)
T dt
ou
dT i
= − Edt (46)
T h
¯
que ´ integrada facilmente, dando
e
i
T (t) = Ke− h Et
¯ (47)
Logo,
i
ψ(r, t) = Ku(r)e− h Et
¯ (48)
Note-se que
ˆ ∂ ∂ i
Hψ(r, t) = i¯ ψ(r, t) = i¯
h h Ku(r)e− h Et = Eψ(r, t)
¯
∂t ∂t
o que mostra duas coisas importantes:
i
1. Os ψ(r, t) da forma u(r)e− h Et s˜o autofun¸˜es do hamiltoniano.
¯ a co
2.E ´ o autovalor do hamiltoniano, e, portanto, a energia do sistema, quando
e
neste estado.
Estados da forma
i
ψ(r, t) = u(r)E − h Et
¯ (49)
s˜o chamados estados estacion´rios. O nome ´ devido ao fato de que a den-
a a e
sidade de probabilidade de posi¸˜o, |psi(r, t)|2 , ´ independente do tempo,
ca e
pois
i ∗ i
|ψ(r, t)|2 = u(r)e− h Et
¯ u(re− h Et = |u(r)|2
¯ (50)
i
pois |e− h Et |2 = 1.
¯
Os estados estacion´rios s˜o extremamente importantes na descri¸˜o quˆntica
a a ca a
da natureza, n˜o s´ por representarem os estados que tˆm energia definida,
a o e
25

26. mas tamb´m porque o conjnto dos autoestados do hamiltoniano, que s˜o os
e a
estados estacion´rios, ´ completo. Isto significa que qualquer estado pode ser
a e
representado como uma combina¸˜o linear de estados estacion´rios.
ca a
A determina¸˜o dos estados estacion´rios de um determinado hamiltoni-
ca a
ano ´ feita normalmente resolvendo-se a equa¸˜o, dita equa¸˜o de Schr¨dinger
e ca ca o
independente do tempo,
ˆ
Hu(r) = Eu(r) (51)
Resolver esta equa¸˜o significa n˜o s´ determinar u(r), mas o par(E , u(r)).
ca a o
O n´ mero E ´ o autovalor de H
u e ˆ associado ` autofun¸˜o u(r). Problemas desse
a ca
tipo s˜o chamados, em matem´tica, problems de autovalores .
a a
9 Po¸o quadrado unidimensional infinito
c
Este ´ o problema mais simples envolvendo um sistema localizado. Uma
e
part´ıcula move-se livremente ao longo do eixo x, exceto pelo fato de que,
nas posi¸˜es x = 0 e x = a, existem paredes impenetr´veis: exige-se, isto
co a
´, que a probabilidade de a part´
e ıcula estar fora do intervalo 0 ≤ x ≤ a seja
estritamente 0. Formalmente isto se realiza exigindo que a fun¸˜o de onda
ca
da part´ ıcula seja nula nas paredes, que podem ser consideradas infinitamente
espessas. Portanto, ψ(x) = 0 para x ≥ a e para x ≤ 0.
Procuremos os estados estacion´rios. Na regi˜o interna as paredes, temos
a a `
h2 d2
¯
− ψ(x) = Eψ(x) (52)
2m dx2
onde E ´ um n´ mero positivo ou nulo. (O “fundo do po¸o” ´ o ponto de
e u c e
energia zero, por defini¸˜o). A Eq.(52) pode ser reescrita como
ca
d2 2m
− 2
ψ(x) = 2 Eψ(x) (53)
dx h
¯
e, introduzindo
2m
k2 = E (54)
h2
¯
temos
d2 ψ(x)
= −k 2 ψ(x) (55)
dx2
Esta ´ uma equa¸˜o diferencial bem conhecida. Sua solu¸˜o geral ´:
e ca ca e
ψ(x) = A sin kx + B cos kx. (56)
26

27. Temos, adicionalmente, as condi¸˜es de contorno
co
ψ(0) = ψ(a) = 0 (57)
Para satisfazer ψ(0) = 0, basta tomar B = 0, pois o seno se anula automati-
camente em x = 0. Ent˜o, antes de usar a segunda condi¸˜o de contorno,
a ca
temos
ψ(x) = A sin kx (58)
A segunda condi¸˜o de contorno exige que
ca
A sin ka = 0 (59)
e sabemos que o seno se anula em qualquer arco da forma nπ, com n inteiro
qualquer. Logo, devemos ter
ka = nπ (60)
ou seja, k tem seus valores restritos aos da forma
nπ
kn = (61)
a
onde acrescentamos um ´ ındice a k para maior clareza. Em suma, as solu¸˜es
co
da equa¸˜o de Schr¨dinger (52) que satisfazem as condi¸˜es de contorno (57)
ca o co
s˜o
a
nπ
ψn (x) = A sin x (62)
a
com n = 0, 1, 2 . . ..9
Note-se que ´ a condi¸˜o de a fun¸˜o de onda se anular em x = a que
e ca ca
restringe os valores de k, e portanto os valores da energia , j´ que
a
h 2 kn
¯ 2 h2 n2 π 2
¯
En = = . (63)
2m 2m a2
Diferentemente do que acontece na f´
ısica cl´ssica, a energia n˜o varia contin-
a a
uamente: do valor En passa-se, a seguir, ao valor En+1 , e
h2 π 2
¯ h2 π 2
¯
En+1 − En = 2
(n + 1)2 − n2 = (2n + 1) (64)
2m a 2m a2
Temos, isto ´, um espectro discreto para a energia . Espectros discretos para
e
a energia est˜o sempre ligados ao fato de o sistema ser localizado, isto ´, ter
a e
9
Na realidade inteiros negativos s˜o tamb´m admitidos, mas, como sin −nπ x =
a e a
nπ
−sin a x , as fun¸˜es de onda correspondentes a n negativos s˜o as mesmas que as
co a
de n positivos, pois ψ(x) e −ψ(x) representam o mesmo estado.
27