Teoria dos conjuntos

Tópicos em teoria dos conjuntos
e relações matemáticas
O problema
Um grupo de exatamente 1 000 consumidores entraram em uma loja
durante um dia. Foi reportado que 420 consumidores eram mulheres, 525
abriram crediário na loja, 325 fizeram alguma compra, 40 mulheres abriram
crediário, mas não fizeram compras, 150 consumidores compraram e abri
ram crediário, 30 mulheres fizeram compras, mas não abriram crediário e
50 mulheres abriram crediário e compraram algum produto.
Pode-se concluir que as mulheres visitam mais as lojas sem intenção de
comprar? Ou de outra forma, as mulheres vão às lojas e compram menos ou
não abrem tanto crediário quanto os homens?
Explorando o problema
A resposta a este tipo de problema está diretamente relacionada à cons
trução de conjuntos e operações de conjuntos no contexto da Teoria dos
Conjuntos. Uma forma de resolver o problema é por meio da construção de
Diagramas de Venn.
A teoria dos conjuntos serve como um dos pilares da moderna Matemá
tica. Não somente fornece o veículo para o desenvolvimento de definições
precisas para importantes conceitos de relações e funções como também
serve como uma aritmética poderosa para manipular conjunto de objetos.
Assim, a teoria dos conjuntos ajuda na análise de um número significativo
de problemas nas áreas ambientadas em negócios que não são adaptáveis a
técnicasalgébricasconvencionais.Alémdisso,umconhecimentodosconcei
tos fundamentais da teoria de conjuntos pode pavimentar o caminho para a
compreensão de probabilidade e de métodos de inferência estatística.
Os conjuntos podem ser apresentados de forma analítica, como o con
junto N dos números naturais que pode ser apresentado como já vimos, da
seguinte forma:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
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58
Métodos Quantitativos Matemáticos
Ou, alternativamente, através do chamado Diagrama de Venn:
1 2
3 6 ...
4 5
Essa representação através do Diagrama de Venn será muito utilizada na
discussão acerca das relações e das funções. Aquelas discutidas ainda neste
capítulo e estas em capítulo subseqüente.
A solução do problema acima pode facilmente se dar com noções básicas
da Teoria dos Conjuntos e com a utilização de Diagramas de Venn.
Nas discussões sobre relações e funções, além desses instrumentos já ci
tados, serão fundamentais a construção de gráficos a partir do plano carte-
siano, que também será objeto de estudo neste capítulo.
Equacionando o problema
Um conjunto é uma coleção bem definida de distintos objetos. No pro
blema colocado temos um primeiro importante conjunto, chamado de
conjunto dos consumidores. Dele fazem parte todas as pessoas, mulheres e
homens, que freqüentaram uma determinada loja em certo dia. No proble
ma, esse conjunto foi relatado como tendo 1 000 elementos.
Um conjunto é, portanto, formado por elementos que tenham uma ca
racterística de interesse em comum. No caso, são pessoas que entraram na
loja naquele dia.
Se esses elementos podem ser divididos por características comuns entre
eles, em distintos novos conjuntos, esses novos conjuntos são parte do con
junto original e são chamados de subconjuntos.
Os consumidores podem ser divididos em vários novos subconjuntos,
como o subconjunto dos homens e o subconjunto das mulheres; o subcon
junto dos que compraram alguma mercadoria e o dos que não compraram
nada; e ainda o subconjunto dos que abriram um crediário e o dos que não
o abriram.
Cada um dos três grupos de subconjuntos apresentados acima divide
o conjunto original, também chamado de conjunto universo (U), em duas
partes excludentes; homens e mulheres; compradores e não-compradores;

Tópicos em teoria dos conjuntos e relações matemáticas
59
e aqueles que abriram crediário e os que não o abriram. Cada um desses
subconjuntos, dois a dois, não têm elementos em comum. O subconjunto
das mulheres só tem mulheres e o subconjunto dos homens só tem homens.
Esses subconjuntos são também chamados de conjuntos disjuntos. Sua
representação gráfica através do Diagrama de Venn pode ser apresentada
como abaixo:
U
Mulheres
Homens
No entanto, como as características desses três grupos de subconjuntos
são diferentes, pode haver interseção entre eles. Mulheres podem comprar
ou não, também elas podem abrir crediário ou não. Assim uma representação
completa do problema pode ser feita através do seguinte Diagrama de Venn:
A C
M
H
U = 1 000
40
Cada um dos espaços dentro do diagrama tem um significado. Por exem
plo, as mulheres que não compraram, mas abriram crediário (40) estão repre
sentadas no diagrama pela cor azul.
Conceitos e regras
Teoria dos conjuntos
O conceito de um conjunto, subconjunto e seus
elementos
Um conjunto é uma coleção bem-definida de objetos distintos. Nós esta
mos todos familiarizados com tais noções de um“conjunto”de pratos ou um
“conjunto” de clubes de futebol. Mas os objetos contidos em um conjunto

60
não precisam ser tão concretos como os dos exemplos mencionados. Con
ceitos abstratos – como todos os inteiros positivos, todos os pontos em um
intervalo [a, b] de uma reta, e todos os números racionais não-negativos –
também podem ser encontrados em um conjunto.
Os itens que pertencem a um conjunto, então, podem ser de qualquer
tipo: pessoas, coisas, localizações geográficas, figuras geométricas, resulta
dos de pesquisas. Cada objeto de um conjunto é chamado de elemento ou
membro do conjunto.
Para se formar um conjunto, a coleção de objetos deve encontrar dois
requerimentos.
Primeiro, o agregador deve estar bem-definido. Os itens individuais
devem ter uma característica ou características que os façam pertencer a um
conjunto particular. Uma regra ou método deve existir para que seja possível
determinar se um objeto, seja ele qual for, é ou não membro do conjunto
em questão.
Segundo, os elementos de um conjunto são distintos. Nenhum con
junto pode ter o mesmo elemento duas vezes. Quando um objeto já es
tiver listado como elemento de um conjunto este não poderá mais ser
repetido. O conjunto de letras da palavra CURITIBA, então, não é um con
junto que contém oito letras mas sim um conjunto com sete letras distin
tas: c, u, r, i, t, B, a. A seqüência que os elementos são listados quando são
enumerados é insignificante.
Notação dos conjuntos
Normalmente as letras maiúsculas tais como A, B, X e Y são usadas para
denotar os conjuntos, enquanto as letras minúsculas tais como a, b, x e y são
usadas para representar os elementos individuais de um conjunto.
Os conjuntos podem ser descritos de duas formas:
1. Listagem dos elementos. Todos os elementos do conjunto são lista
dos, separados por vírgulas e fechados por chaves.
2. Regra. A regra que pode ser usada para determinar se um objeto per
tence ou não a um conjunto é iniciada e encerrada por chaves.

61
Assim, o conjunto A, que contém os inteiros entre 5 e 10, pode ser escrito
como
A = {6, 7, 8, 9}
Essa notação é lida,“O conjunto A cujos elementos são 6, 7, 8 e 9”.
O mesmo conjunto pode ser denotado pela regra como
A = {x|x é um inteiro e está entre 5 e 10}
Essa notação pode ser lida,“A é um conjunto de todos os a’s tal que a seja
um inteiro entre 5 e 10”.
Elementos de um conjunto
Na notação de conjunto, o símbolo ∈ significa “é um elemento de”, ou
“pertence a”, ou “é um membro de” um conjunto. Já o símbolo ∉ significa
“não é um elemento de”ou“ não pertence a”um conjunto.
Exemplo 1
O conjunto X = {x|x é um inteiro positivo menor que 10 e x é exatamente
divisível por 4}. Então, 8 ∈ X mas 7 ∉ X.
Exemplo 2
A letra “a” representa o Sr. Costa e a letra B representa o conjunto de di
retores do Banco do Brasil. Então a ∈ B indica que o Sr. Costa é um membro
da diretoria do Banco; a ∉ B indica que o Sr. Costa não é um membro da
diretoria do banco.
Conjuntos finitos e infinitos
Seumconjuntotemumnúmerodefinidodeelementos,esteéchamadode
conjunto finito. É perfeitamente possível que um conjunto tenha um número
exageradamente grande de elementos e ainda seja um conjunto finito.
Se o número de elementos de um conjunto não tem limite, o conjunto é
dito como um conjunto infinito. Um exemplo simples de um conjunto infi
nito é o conjunto de números inteiros positivos.
Conjuntos finitos e infinitos enumeráveis são chamados de conjuntos
discretos. Um conjunto contínuo é um conjunto infinito não-enumerável.

62
Conjuntos iguais
DoisconjuntosAeB,sãoditosiguaisseesomentesecadaumdelescontiver
exatamente os mesmos elementos. A igualdade entre conjuntos é simbolizada
da seguinte forma A = B ou B = A. Se um dos conjuntos tiver pelo menos um
elemento que não pertença ao outro conjunto então os dois conjuntos não são
iguais. Esta desigualdade é simbolizada da seguinte forma A ≠ B ou B ≠ A.
Conjunto universo
Em qualquer análise, quando a teoria dos conjuntos é empregada, um con
junto básico que contém todos os elementos a serem considerados naquela
investigação está tacitamente assumido de existir. Este conjunto é chamado
de conjunto universo e é denotado pelo símbolo U. Todos os outros conjuntos
considerados na investigação são definidos neste conjunto básico.
Observe que um conjunto universo diferente é definido para cada pro
blema ou investigação diferente.
O conjunto vazio
O conjunto que não contém elementos é chamado de conjunto vazio e
é denotado pelo símbolo ∅ ou por { }.
Exemplo 3
O conjunto de todos os corredores que regularmente fazem 100 metros
em menos de 5 segundos é um exemplo de conjunto vazio.
Subconjuntos
Se todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjun
to B, A é chamado de subconjunto de B. A relação é simbolizada por A ⊂ B, e
se lê“A é subconjunto de B”ou“A está contido em B”. Também A ⊂ B indica
que todo elemento que pertencente ao conjunto A é também um elemento
de B. Todos os elementos de B podem ou não estar incluídos em A para que
a sentença“A é um subconjunto de B”seja verdadeira.
Exemplo 4
Dado A = {1,2}, B = {1, 2, 3} e C = {2, 3, 4}. O conjunto A é um subconjunto
do conjunto B, mas A não é subconjunto de C. Isto é, A ⊂ B mas A ⊄ C.

63
Representação Gráfica de Conjunto
Quando consideramos o conjunto universo e seus subconjuntos, é útil
fazer uma representação geométrica desses conjuntos e as relações entre eles.
Diagramas de Venn são usados para ilustrar de forma descritiva os conjuntos.
Um grande retângulo é comumente empregado para simbolizar o con
junto universo U, enquanto os círculos ou as elipses ou outras formas simples
são desenhadas dentro do retângulo para descrever subconjuntos de U.
A única condição é que os símbolos usados para representar os subcon
juntos devem estar dentro da caixa que representa o conjunto universo. O
tamanho e a forma das configurações não tem nenhuma influência direta
com o número de elementos do conjunto e dos subconjuntos.
A figura 1 mostra os subconjuntos A, B e C definidos em um conjunto
universo U e ilustra que B ⊂ A, A ⊄ B e B ⊄ C.
A
B
C
Figura 1 – Diagrama de Venn.
Número de subconjuntos de um conjunto
Uma vez que o conjunto universo U tenha sido definido em uma análise
particular, todos os conjuntos que podem ser formados de elementos de U
são conhecidos como subconjuntos de U. O número total de possíveis sub
conjuntos depende do número de elementos de U.
Um conjunto com n elementos tem 2n
possíveis subconjuntos.
Assim, um conjunto com 3 elementos tem 23
= 8 possíveis subconjuntos;
um conjunto com 10 elementos tem 210
= 1 024 subconjuntos.

64
Produto cartesiano de conjuntos
Um par ordenado é um par de objetos no qual a seqüência em que os
objetos aparecem deve ser considerada. A notação (a, b) é usada para repre
sentar um par ordenado em que a é o primeiro componente e b é o segundo
componente.
O par ordenado (a, b) é muito diferente do conjunto {a, b} que contém
dois elementos a e b. No conjunto {a, b} não existe o“primeiro componente”
porque a ordem na qual os elementos do conjunto são listados é irrelevante.
Assim, apesar do conjunto {a, b} ser igual ao conjunto {b, a} , o par ordenado
(a, b) não é igual ao par ordenado (b, a). Dois pares ordenados são iguais se e
somente se seus primeiros e segundos componentes forem os mesmos.
Sempre que tivermos dois conjuntos, podemos formar pares ordenados
pegando o primeiro componente dos elementos de um conjunto e o segun
do componente dos elementos do segundo conjunto.
Se A e B são dois conjuntos, o conjunto de todos os pares ordenados em
que o primeiro componente é pego do conjunto A e o segundo componente
é pego do conjunto B é chamado de produto cartesiano de A por B (refe
rência ao matemático René Descartes) e é denotado A x B, normalmente lido
como“A por B”. Em notação simbólica: A x B = {(a, b)| a ∈ A e b ∈ B}.
Se A e B são conjuntos finitos tal que A contenha m elementos a1
, a2
, ... ,
am
e B contém n elementos b1
, b2
, ... , bn
, A x B é um conjunto que contém os
seguintes m x n elementos:
(a1
, b1
) (a1
, b2
) ... (a1
, bn
)
(a2
, b1
) (a2
, b2
) ... (a2
, bn
)

(am
, b1
) (am
, b2
) ... (am
, bn
)
Se o primeiro elemento do par ordenado é pego do conjunto B e o se
gundo elemento do conjunto A, o conjunto produto cartesiano será B por A,
denotado B x A.
Exemplo 1
Seja o conjunto A que representa os resultados dos lançamentos de uma
moeda, A = {C, K} onde C é cara e K é coroa. Seja o conjunto B = {1, 2, 3, 4, 5, 6},

65
os possíveis resultados do lançamento de um dado. Os conjuntos que seguem
são alguns dos conjuntos de produtos cartesianos que podem ser formados:
A x B = {(C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6), (K, 1), (K, 2), (K, 3), (K, 4),
(K, 5), (K, 6)}
B x A = {(1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, K), (2, K), (3, K), (4, K),
(5, K), (6, K)}
A x A = {(C, C), (C, K), (K, C), (K, K)}
Este conceito pode ser estendido para o produto cartesiano de n con
juntos. Se A, B e C forem conjuntos, várias construções podem ser feitas. O
produto cartesiano A x B pode ser usado para formar um novo conjunto, o
qual pode ser combinado com C para formar (A x B) x C. Ou B e C podem ser
combinados para formar B x C e uma segunda combinação (B x C) x A pode
ser feita e assim por diante.
Relações
A relação entre o conjunto A e o conjunto B, denotado por R, é qualquer
subconjunto do produto cartesiano A x B. O número de relações em qual
quer produto cartesiano depende do número de pares ordenados naquele
conjunto em particular. Se o número de pares ordenados for p, o número de
relações será 2p
.
Exemplo 2
Se A = {a1
, a2
} e B = {b1
, b2
} , o conjunto produto cartesiano A x B =Y contém
2.2 = 4 pares ordenados, como segue:
Y = A x B = {(a1
, b1
), (a1
, b2
), (a2
, b1
), (a2
, b2
)}
Todo subconjunto de pares ordenados deste produto cartesiano é uma
relação. Aqui temos 24
= 16 relações, como segue:
R1
={(a1
, b1
), (a1
, b2
), (a2
, b1
), (a2
, b2
)}
R2
={(a1
, b1
), (a1
, b2
), (a2
, b1
)}
R3
={(a1
, b1
), (a1
, b2
), (a2
, b2
)}
R4
={(a1
, b1
), (a2
, b1
), (a2
, b2
),}
R5
={(a1
, b2
), (a2
, b1
), (a2
, b2
)}

66
R6
={(a1
, b1
), (a1
, b2
)}
R7
={(a1
, b1
), (a2
, b1
)}
R8
={(a1
, b1
), (a2
, b2
)}
R9
={(a1
, b2
), (a2
, b1
)}
R10
={(a1
, b2
), (a2
, b2
)}
R11
={(a2
, b1
), (a2
, b2
)}
R12
={(a1
, b1
)}
R13
={(a1
, b2
)}
R14
={(a2
, b1
)}
R15
={(a2
, b2
)}
R16
= ∅
Exemplo 2
Um dado branco e um dado preto são lançados. B representa os possí
veis resultados do dado branco e P os possíveis resultados do dado preto.
Então B = P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. No conjunto produto cartesiano B x P existirão
6 .6 = 36 elementos que são pares ordenados. O produto pode ser denotado
simbolicamente como:
X = B x P = {(b, p)| b ∈ B e p ∈ P}
Existem 236
possíveis relações. Exemplos específicos para essas relações
que podem ser de especial interesse são:
R1
= {(b, p)| b = p e (b, p) ∈ B x P}
Os pares ordenados desta relação são:
R1
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
Ou nós podemos estar especialmente interessados na relação
R2
= {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1) (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 1),
(6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}
O conjunto acima representa os pares ordenados em que os valores do
dado branco são sempre maiores que os valores do dado preto.

67
Domínio e contradomínio de uma relação
O domínio da relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos
dos pares ordenados em R. O contradomínio da relação R é o conjunto de
todos os segundos elementos dos pares ordenados em R.
Funções
Uma função é um caso especial de uma relação. Qualquer subconjunto
de AxB é uma relação. A relação é uma função de A para B onde para cada
elemento do conjunto A existe um único elemento do conjunto B.
Em outras palavras, se cada elemento do domínio estiver associado com
um elemento no contradomínio a associação é chamada de função. Observe,
então, que o número de pares ordenados em uma função é igual ao número
de elementos no conjunto A, o conjunto que fornece o primeiro componen
te dos pares ordenados.
Exemplo 3
Nós vimos no Exemplo 2 que se A = {a1
, a2
} e B = {b1
, b2
} temos 16 relações
(ou subconjuntos) possíveis no conjunto de produto cartesiano A x B. Dessas
relações somente quatro estão em conformidade com a definição de uma
função. Essas quatro funções são:
R7
= {(a1
, b1
), (a2
, b1
)}
R8
= {(a1
, b1
), (a2
, b2
)}
R9
= {(a1
, b2
), (a2
, b1
)}
R10
= {(a1
, b2
), (a2
, b2
)}
Cada uma dessas funções consiste em dois pares ordenados, ou n (A)
pares ordenados. a1
aparece como o primeiro elemento uma vez e a2
apare
ce como primeiro elemento uma vez em cada função. Não há distintos pares
ordenados de uma função que têm a mesma primeira coordenada.
Operações com conjuntos
Como os números podem ser combinados pelas operações básicas da
Matemática – adição, subtração, multiplicação e divisão para formar um
novo número, os conjuntos também podem ser combinados para formar
um novo conjunto.

68
Todos os conjuntos envolvidos na combinação são subconjuntos do
mesmo conjunto universo. O novo conjunto formado será também subcon
junto do mesmo conjunto universo.
As operações básicas usadas com conjuntos são: complemento, inter
seção e união entre conjuntos.
Complemento de conjuntos
O complemento do conjunto A em relação ao conjunto universo U é o
conjunto que contém todos os elementos de U que não estão em A.
Exemplo 1
Suponha que o conjunto universo U tenha como seus elementos todas as
23 letras do alfabeto. Se A é o subconjunto de U que contém todas as vogais,
então todas as consoantes formam outro subconjunto, também um subcon
junto de U que é conhecido como o complemento de A com relação a U. O
símbolo Ac
, que se lê“não A”ou“o complemento de A”, é usado para represen
tar o complemento de A (ver figura 2). A relação pode ser simbolizada
Ac
= {x|x ∈ U e x ∉ A}
A
Ac
U
Figura 2.
Exemplo 2
O complemento do conjunto de todos os números racionais com relação
ao conjunto universo de todos os números reais é o conjunto de todos os
números irracionais.
Exemplo 3
O complemento do conjunto de empregados da Companhia XYZ que
tem 45 anos de idade ou mais com relação ao conjunto universo de todos

69
os empregados da Companhia XYZ é o conjunto cujos elementos são
aqueles empregados da Companhia XYZ que tem menos de 45 anos de idade.
Exemplo 4
O complemento do conjunto universo com relação a ele mesmo é o con
junto vazio ∅ e o complemento do conjunto vazio ∅ com relação ao conjun
to universo é o próprio conjunto universo U.
Interseção
A interseção de dois conjuntos A e B, denotada por A ∩ B, lê-se“A interse
ção com B”ou“A inter B”, é o conjunto dos elementos que pertencem a ambos
os conjuntos A e B. Simbolicamente,
A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}
A interseção de dois conjuntos é mostrada na figura 3. A ∩ B (a interseção
de A e B é mostrada pela área pintada).
U
B
A
A ∩ B
B
A
A ∩ B
U
Figura 3.
Exemplo 5
Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {3, 4, 7} , então A ∩ B = {4}.

70
Exemplo 6
Se o conjunto A é um conjunto cujos elementos são todos os carros ama
relos estacionados em um estacionamento particular e os elementos do
conjunto B são todos os da marca M estacionados no mesmo estacionamen
to, a interseção de A e B, A ∩ B é o conjunto de todos os carros da marca M e
amarelos estacionados no estacionamento particular.
Exemplo 7
Se o conjunto A contém todos os carros amarelos estacionados em um
determinado estacionamento e o conjunto B contém todos os carros da
marca M estacionados no mesmo estacionamento, então Bc
contém todos
os carros que não são da marca M e A ∩ Bc
contém todos os carros amarelos
exceto os da marca M e amarelos. (ver figura 4).
B
A
U
Figura 4.
A notação da interseção pode facilmente ser generalizada a situações
que envolvem mais de dois conjuntos. Assim, a intersecção dos conjuntos
A1
, A2
, ... , An
, escrito A1
∩ A2
∩ ... ∩ An
é o conjunto dos elementos comuns a
todos os conjuntos A1
, A2
, ... , An.
Exemplo 8
Definimos um conjunto universo U cujos elementos são todos mem
bros da força de trabalho. No conjunto A estão os elementos que são empre
gados da Companhia XYZ, no conjunto B estão todos os membros femininos
da força de trabalho e no conjunto C estão todos os membros da força de
trabalho que possuem menos de 25 anos. A intersecção desses conjuntos
A ∩ B ∩ C será o conjunto de mulheres empregadas na companhia XYZ que
têm menos de 25 anos.

71
Conjuntos disjuntos
Se dois conjuntos A e B não tiverem elementos em comum, A ∩ B = ∅ os
conjuntos são ditos conjuntos disjuntos. Em um Diagrama de Venn, como é
mostrado na figura 5, os conjuntos disjuntos são mostrados como não tendo
nenhuma área sobreposta.
U
A
B
Figura 5.
Exemplo 9
Se o conjunto universo U contém 52 cartas de um baralho e se dois sub
conjuntos forem definidos como
R = {cartas vermelhas} e B ={cartas pretas}
Então R ∩ B = ∅. Os conjuntos R e B são conjuntos disjuntos.
União
A união de A e B (denotada por A ∪ B) quando A e B são dois conjuntos
definidos em um conjunto universo U, contém aqueles elementos que
pertencem a A ou a B ou a ambos.
A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}
A ∪ B (a união de A e B é mostrada na área pintada)

72
U
B
B
A
A
U
Figura 6.
Exemplo 10
Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}, então A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
Exemplo 11
Se o conjunto A contém todos os carros amarelos de um estacionamento e o
conjunto B contém todos os carros da marca M deste estacionamento, a união
de A e B, A ∪ B, contém todos os carros amarelos mais os carros da marca M de
outras cores do estacionamento.
A notação de união pode ser estendida para os casos que envolvem mais
do que dois conjuntos. A união dos conjuntos A1
, A2
, ..., An
, denotada como
A1
∪ A2
∪ ... ∪ An
, é o conjunto de elementos que estão pelo menos em um
dos conjuntos A1
, A2
, ..., An
.
Exemplo 12
Considere os seguintes conjuntos definidos em um conjunto universo U
cujos elementos são todos os moradores de Curitiba.
A = {x|x é um professor universitário}
B = {x|x é uma pessoa casada}
C = {x|x tem menos de 35 anos}
Então o conjunto A ∪ B ∪ C representa todos os moradores de Curitiba
que são ou professores ou casados ou abaixo de 35 anos. (ver figura 7A).
O conjunto de moradores que são casados, professores e abaixo de 35
anos é denotado da seguinte forma: A ∩ B ∩ C (ver figura 7B).

73
O conjunto de moradores que são ou professores ou casados, mas são
abaixo de 35 anos pode ser descrito pela seguinte notação: (A ∪ B) ∩ C (ver
figura 7C).
Ou o conjunto de moradores que são professores, não são casados, mas
estão acima dos 35 anos de idade pode ser simbolizado por: A ∩ (Bc
∩ Cc
)
(ver figura 7D).
A ∪ B ∪ C A ∩ B ∩ C
U
B
C
U
A
B
C
A
Figura 7A. Figura 7B.
(A ∪ B) ∩ C A ∩ (Bc
∩ Cc
)
U U
Figura 7C. Figura 7D.
B
C
A
B
C
A
Partição
Uma coleção de subconjuntos é dita exaustiva se sua união contiver cada
um dos elementos no conjunto universo em que eles estão definidos. Um
grupo de conjuntos que são mutuamente excludentes e exaustivos é chama
do de uma partição. Tal partição está mostrada na figura 8.

74
U
B
C
A
D
Figura 8.
Exemplo 13
Dado um conjunto universo U = [1, 2, 3, 4, 5], a coleção de subconjuntos
A = [1, 2], B = [3] e C = [4, 5] formam uma partição de U.
Um conjunto universo U pode ser particionado de diferentes modos, é
claro. Por exemplo: a coleção de subconjuntos D = [1], E = [3, 5] e F = [2, 4]
também forma uma partição do conjunto universo dado acima.
Dados dois conjuntos A e B, que não são disjuntos, o conjunto A pode ser
particionado em dois subconjuntos disjuntos (A ∩ B) e (A ∩ Bc
). Além disso, a
união dos dois conjuntos, A ∪ B, pode ser particionada em três subconjuntos
disjuntos (A ∩ Bc
), (A ∩ B), (Ac
∩ B), conforme ilustrado na figura 9.
A = (A ∩ B) U (A ∩ Bc
) e (A U B) = (A ∩ Bc
) U (A ∩ B) U (Ac
∩ B)
U
BA
A ∩ B Ac
∩ BA ∩ Bc
Figura 9.

75
Número de elementos
em grupos de conjuntos finitos
O número de elementos em qualquer conjunto A pode ser denotado por
n(A). Por exemplo, se A = {1, 2 , 3 , 4} então n(A) = 4.
Nós estamos freqüentemente interessados em saber o número de ele
mentos em várias combinações dos conjuntos finitos. As observações que
seguem serão úteis em tais situações.
1. O conjunto nulo não contém elementos, isto é:
n(∅) = 0.
2. Um conjunto não-vazio não pode ter um número negativo de ele
mentos, isto é:
n(A) > 0 se A não for vazio.
3. Se A e B forem dois conjuntos disjuntos, eles não têm elementos em
comum, e o conjunto A ∩ B é um conjunto vazio, isto é:
n(A ∩ B) = 0 se A e B forem conjuntos disjuntos.
4. Se A e B forem dois conjuntos disjuntos, o número de elementos em A
∪ B é igual ao número de elementos em A mais o número de elemen
tos em B, isto é:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) se A ∩ B = ∅.
5. Para qualquer um dos dois conjuntos A e B, o número de elementos
em A ∪ B é igual ao número de elementos em A mais o número de
elementos em B menos o número de elementos que são comuns aos
dois conjuntos, isto é:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).
6. Para qualquer dois conjuntos A e B que não sejam disjuntos, o conjun
to A pode ser particionado em dois conjuntos disjuntos A ∩ B e A ∩ Bc
.
(ver figura 10). Assim:
n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc
).

76
A = A ∩ B ∪ A ∩ Bc
; daí n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc
)
U
BA
A ∩ BA ∩ Bc
Figura 10.
7. Para qualquer conjunto universo U em que os conjuntos A e B são de
finidos, o conjunto universo pode ser particionado em dois conjuntos
disjuntos A ∪ B e (A ∪ B)c
(ver figura 11). Assim:
n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c
U = (A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c
; daí, n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c
U
BA
(A ∪ B)c
A∪B
Figura 11.
8. O conjunto (A ∪ B)c
e o conjunto (Ac
∩ Bc
) são iguais porque eles con
têm precisamente os mesmos elementos (ver figura 12). Assim:
n(Ac
∩ Bc
) = n(A ∪ B)c
E, como n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c
,
n(Ac
∩ Bc
) = n(U) – n(A ∪ B)

77
A
B
U(Ac
∩ Bc
) = (A ∪ B)c
A
B
UBc
U
A
B
Ac
Figura 12
Exemplo 1
Dado A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7, 8}, então n(A) = 5 e n(B) = 3. Podemos
perceber que A e B não possuem elementos em comum. Assim, A ∩ B = ∅ e
n(A ∩ B) = 0. Também, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e n(A ∪ B) = n(A) + n(B) =
5 + 3 = 8.

78
Exemplo 2
Dado A = {2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6} , então n(A) = 4 e n(B) = 3.
Neste caso, A ∩ B = {2, 4} e n(A ∩ B) = 2.
O conjunto A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6} e n(A ∪ B) = 5. Quando A e B não forem
disjuntos, o número de elementos de A ∪ B não será a soma de n(A) e n(B)
mas sim, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B). Daí 5 = 4 + 3 – 2.
Os Diagramas de Venn são muito úteis para se determinar o número de
elementos nas combinações de conjuntos finitos, como mostrará o exemplo
seguinte.
Exemplo 3
Em um dia, 325 pessoas pararam em bancas de jornal. Dessas, 185 compra
ram o Jornal A, 150 compraram o Jornal B e 95 compraram ambos. Quantas
pessoasnãocompraramnenhumjornal?QuantaspessoascompraramoJornal
A, mas não compraram o Jornal B? Quantas pessoas compraram o Jornal B mas
não o A? Quantas pessoas compraram pelo menos um dos jornais?
O Diagrama de Venn, na figura 13, nos ajudará a responder a essas ques
tões. Primeiro vamos definir o conjunto A que contém todos os compradores
do Jornal A e o conjunto B que contém todos os compradores do Jornal B.
Então, cuidadosamente, rotulamos as regiões no Diagrama deVenn. Usando
a informação que 95 pessoas compraram ambos jornais – isto é, n(A ∩ B) = 95 –
nós colocaremos este número na região que corresponde a A ∩ B.
Depois, como n(A) = n(A ∩ B) + n(A ∩ Bc
) daí n(A ∩ Bc
) = 185 – 95 = 90;
então colocaremos esse na região apropriada.
Também,n(B)=n(A∩B)+n(Ac
∩B)daítemosquen(Ac
∩B)= 150 – 95 = 55.
Novamente, colocaremos esse número na região apropriada.
Para se determinar o número de pessoas que não compraram jornal, nós
particionaremos o conjunto universo U em dois conjuntos disjuntos, isto é:
U = (A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c
Daí, nós temos:
n(U) = n(A ∪ B) + n(A ∪ B)c

79
Além disso, temos que:
(A ∪ B) = (A ∩ Bc
) ∪ (A ∩ B) ∪ (Ac
∩ B)
Então, nesse caso:
n(A ∪ B) = 90 + 95 + 55 = 240
A partir desse resultado obteremos:
n(A ∪ B)c
= 325 – 240 = 85.
Em resumo, nós determinamos que 85 pessoas não compraram nenhum
dos dois jornais, 90 compraram somente o Jornal A, 55 compraram somente
o Jornal B. Além disso, 90 + 55 = 145 compraram exatamente um dos dois
jornais; 325 – 85 = 240 compraram pelo menos um dos dois jornais.
U
A ∩ B
95
Ac
∩ B
55
A ∩ Bc
90
A B
(A ∪ B)c
85
Figura 13.
Ampliando seus conhecimentos
Augustos de Morgan nasceu em 1806, na Índia, e morreu em 1871.
Foi matemático e professor na Inglaterra, um dos fundadores da BAAS (Bri
tishAssociationfortheAdvancementScience).EstudounoTrinityCollege,enão
entrou para Cambridge e Oxford por se recusar a participar do exame religioso.
Era cego de um olho e teve muitos problemas durante sua vida profissional
em virtude de posições radicais em defesa da liberdade religiosa, intelectual
e acadêmica.
Escreveu trabalhos sobre fundamentos de álgebra, cálculo diferencial,
lógica e teoria das probabilidades. Também foi um dos responsáveis pela cria
ção da lógica simbólica moderna.
(Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/biografias.php>.)

80
Atividades de aplicação
1. Escreva em símbolos:
a) O Brasil (b) está na América do Sul (A).
b) Angola (a) não está na América do Sul (A).
c) A Venezuela (v) não pertence às regiões brasileiras (R).
d) O Nordeste (n) pertence às regiões brasileiras (R).
2. Classifique de falso ou verdadeiro:
a) Equador ∈ América do Sul.
b) Sudeste ∉ regiões brasileiras.
c) França ∈ regiões brasileiras.
d) Centro-Oeste ∈ América do Sul.
3. Escreva que o conjunto x é um número ímpar descrevendo os seus
elementos e pela regra.
4. Escreva a regra que descreve o conjunto M = {3, 4, 5, 6, 7 ...}.
5. Diga se o conjunto A = {d, c, a, e, b} é igual ou diferente do conjunto
B = {a, b, c, d, e}.
6. Sejam os conjuntos A= {5, 6}, B = {5, 6, 7, 8} e C= {5, 7, 8}. A afirmação
A ⊂ B mas A ⊄ C é falsa ou verdadeira?
7. Conjunto unitário é o conjunto que só tem um elemento. Classifique
os seguintes conjuntos como conjunto vazio ou conjunto unitário.
a) A = {polígonos que possuem três lados}.
b) B = {x | x é um número natural maior que 5 e menor que 6}.
c) C = {x | x é um número par maior ou igual a 3 e menor que 5}.
8. Diga se a afirmação é falsa ou verdadeira: “O conjunto B pertence ao
conjunto A.”
A
B

81
9. Seja o conjunto A = {letras da palavra CONJUNTO}. Quantos possíveis
subconjuntos possuem o conjunto A.
10. A afirmação“O conjunto vazio não é subconjunto do conjunto univer
so porque não tem nenhum elemento”é falsa ou verdadeira?
11. Se A e B são dois conjuntos, então o produto cartesiano A x B nunca
será igual ao produto cartesiano B x A. Falso ou verdadeiro?
12. Se B é o conjunto que representa o lançamento de um dado branco e
P o conjunto que representa um dado preto, quantos elementos terá
o produto cartesiano B x P?
13. Com base no problema anterior diga se o conjunto PxB é igual ao con
junto B x P.
14. Ainda com base no problema 12, quantas relações podem ser constru
ídas do produto cartesiano B x P?
15. Cada relação tem como elemento um par ordenado. Quais são as rela
ções unitárias do produto cartesiano B x P?
16. Descreva como caracterizar quais das relações do produto cartesiano
B x P podem ser definidas como função?
17. As funções definidas acima são casos especiais de relações.Verdadeiro
ou falso?
18. Na relação B x P definida no problema acima quem é o domínio da
relação?
19. O conjunto vazio é subconjunto de todo conjunto. O conjunto vazio é
subconjunto dele mesmo?
20. Qual é o menor produto cartesiano possível?
21. Seja I o conjunto das pessoas idosas, ou seja pessoas com 60 anos de
idade ou mais. Defina o seu complemento Ic
.
22. Represente o conjunto I e o conjunto Ic
em um Diagrama de Venn.
23. Sejam A = {5, 7, 9} e B o conjunto dos números menores do que 9 e
maiores ou iguais a 5. Detemine a interseção de A com B.
24. Represente o resultado acima em um Diagrama de Venn.

82
25. Se O são as cartas de ouros de um baralho de 52 cartas e V as cartas
vermelhas. Determine O ∩ V.
26. Represente o conjunto O ∩ V em um Diagrama de Venn.
27. Dois conjuntos disjuntos têm como complemento de sua união o con
junto vazio. Falso ou verdadeiro?
28. Determine a união dos conjuntos do exercício 23.
29. Determine a união dos conjuntos do exercício 25.
30. Dado o conjunto universo U = {1, 2, 3}, quantas partições desse con
junto podem ser construídas?
Dado A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 4, 6, 8}:
31. Determine n(A) e n(B).
32. Determine n(A ∩ B).
33. Determine n(A ∪ B).
Dado A = {1,2, 3, 4, 5} e B = {1, 5, 7}:
34. Determine n(A ∩ B).
35. Determine n(A ∪ B).
36. Determine o número de elementos de cada um dos conjuntos do pro
blema exposto no início do capítulo referente ao número de homens e
mulheres que visitaram a loja durante um dia. Represente o resultado
através de um Diagrama de Venn.

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