SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 17
KALKULUS 1
MODUL 6

V. MAKSIMUM / MINIMUM ( EKSTREM FUNGSI )
5.1. Pengertian
Diketahui y = F(x) suatu fungsi yang kontinu dan mempunyai turunan pertama,
kedua dan ketiga pada domainnya.
Kita anggap turunan pertama, kedua, dan ketiga suatu fungsi y = F(x) masih
merupakan fungsi juga, berturut-turut f(x), g(x) dan h(x) :
y' = F'(x) = f(x),

y'' = F''(x) = f'(x),

y1= f(x)

y'''=F'''(x) = f''(x)= g'(x)= h(x)

y2 = g(x)

y3 = h(x)

fungsi

↔

grafik / kurva

ekstrem

↔

puncak

maksimum

↔

tertinggi

minimum

↔

terendah

harga nol

↔

titik potong dengan sumbu x

Kita bicarakan fungsi y = f(x) dengan gambarnya.
Yang akan kita bicarakan hanya titik–titik puncak (stasioner),
titik belok (datar dan miring).

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
A

P

Q

y = F(x)

B

C

(a)
T
y' = f(x)

C1

(b)

Q1
B1

(c)
y'' = g(x)
(d)
y''' = h(x)

Titik P & T

= titik puncak

Titik B, C, Q

= titik belok (B, C belok miring, Q belok datar)

A–P
Naik, y' > 0
T–C–Q
P-B-T turun, y' < 0
P

= Titik tertinggi relatif

T

= Titik terendah relatif

Q

= Titik belok mendatar

pada P → y''< 0

B, C = Titik belok miring
pada T → y'' > 0
Pada P, T, Q

→ y' = 0, dan

y'' = 0
pada Q →

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

y''' ≠ 0

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
y' ≠ 0
Pada B dan C

→

y'' = 0
y''' ≠ 0

xP

xB

xT

diperoleh dari y' = 0

diperoleh dari y'' = 0

xQ

xC

(a) = grafik fungsi yang dicari ekstrem dan titik beloknya
(b) = grafik fungsi turunan pertama
(c) = grafik fungsi turunan kedua
(d) = grafik fungsi turunan ketiga
Ciri-ciri titik tersebut (lihat gambar) sebagai berikut:
P titik tertinggi/maksimum:

y' = 0, y'' < 0

T titik terendah/minimum:

y' = 0, y'' > 0

Q titik belok datar:

y' = 0, y''= 0, y''' > 0

B titik belok miring ke kiri:

y' < 0, y'' = 0, y''' > 0

C titik belok miring ke kanan:

y' < 0, y'' = 0, y''' < 0

Sebenarnya masih ada lagi titik-titik khusus yaitu:
D

y' = +∞ → D = titik tertinggi / maksimum

E

y' = - ∞ → E = titik terendah / minimum
F
y' = tak tentu → F = titik terasing

Tetapi titik D, E, dan F disini tidak di bicarakan.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
Dari uraian dapat disimpulkan :
Syarat perlu ekstrem / belok datar y' = 0
Syarat cukup :

maksimum bila y'' < 0
minimum bila y'' > 0
y'' = 0
belok datar bila

y = F(x) →

y''' ≠ 0
Syarat perlu belok miring y'' = 0
miring kiri y' < 0
Syarat cukup:

y''' ≠ 0
miring kanan y' > 0

Contoh Soal-Jawab
1. Selidiki maksimum dan minimum f(x) = x ( 12 – 2x )2 dengan menggunakan metode
turunan kedua !
Jawab:
f1(x) = (12-2x)2 + 2x(-2)(12-2x) = (12-2x)(12-6x) = 12(6-x)(2-x)
Syarat ekstrem f1(x) = 0 = 12(6-x)(2-x)  x1 = 6 , x2 = 2
f11(x) = -12(2-x) + 12(6-x)(-1) = -24+12x-72+12x = 24(x-4)
f11(6) = 24 ( 6 – 4 ) > 0  f(6) = 0 = harga minimum di x = 6  (6,0) min.
f11(2) = 24 (2–4)<0  f(2) = 128 = harga maksimum di x = 2  (2,128) max.
Titik belok f11(x) = 0 = 24(x-4)  x = 4  y = 4(12-2.4)2 = 4.16 = 64  (4, 64)
( Batas grafiks cembung dan grafiks cekung ).

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
Grafiks:
- Perpotongan dengan sumbu y  x = 0  y = 0 (12-0)2 = 0  (0,0)
- Perpotongan dengan sumbu x  y = 0  0 = x ( 12 – 2x )2  (0,0) & (6, 0)
- Perilaku grafiks: ada 3 daerah:
- Daerah I: x < 2  y1 > 0 grafiks naik
- Daerah II: 2< x < 6  y1 < 0 grafiks turun
- Daerah III: x > 6  y1 > 0 grafiks naik
Y 128

O

2. Soal sama 1) untuk y = x2 +

6

x

250
x

Jawab:
y1 = 2x -

250
2( x 3 −125)
=
; y1 = 0  x = 5
2
2
x
x

y11 = 2 +

500
 y11 > 0 di x = 5  y = 75 = harga minimum
x3

Grafiks :

y
75

lim (x2 + 250 ) = ∞
+

x→ 0

x

lim (x2 + 250 ) = ∞

x→∞

x

O

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

5

x

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
3. Soal sama 1) untuk y = (x-2)5/3
Jawab:
y1 = 5/3 ( x – 2)2/3 ; y1 = 0  x = 2
y11 = 10/9 (x – 2)-1/3 =

10
 y11 = ∞ di x = 2
9( x − 2) 1 / 3

Untuk x < 2 y1 > 0

di x = 2

untuk x > 2  y1 > 0

titik belok datar

Grafiks:
Daerah x < 2  grafiks cembung ( y11< 0 ),
daerah x > 2  grafiks cekung ( y11> 0 ).

2

4. Soal sama 1) untuk y = (x-2)4/3
Jawab:
y1 = 4/3 ( x – 2)1/3 ; y1 = 0  x = 2
y11 = 4/9 (x – 2)-2/3 =

4
 y11 = ∞ di x = 2
9( x − 2) 2 / 3

Untuk x < 2 y1 < 0
untuk x > 2  y1 > 0

y = 0 harga minimum di x = 2

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
Grafiks 4):

2

5. Soal sama 1) untuk y = (x-2)2/3
Jawab:
y1 = 2/3 ( x – 2)-1/3 ; y1 = ∞  x = 2 harga kritis
y11 = -2/9 (x – 2)-4/3 = -

2
 y11 = ∞ di x = 2
9( x − 2) 4 / 3

Untuk x < 2 y1 < 0

di x = 2

untuk x > 2  y1 > 0

y = 0 harga minimum relatif

Grafiks:
Daerah grafiks dibelah jadi 2:
Daerah I : x < 2  y11 < 0  grafiks cembung
Daerah II : x > 2  y11 < 0  grafiks cembung

2

6. Soal sama 1) untuk y = (x-2)1/3
Jawab:
y1 = 1/3 ( x – 2)-2/3 ; y1 = ∞  x = 2 harga kritis
y11 = -2/9 (x – 2)-5/3 = Untuk x < 2 y1 < 0

2
 y11 = ∞ di x = 2
9( x − 2) 5 / 3

di x = 2

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
untuk x > 2  y1 > 0

titik belok miring

Grafiks:
Mirip dengan soal 2), tetapi di sini terjadi titik belok miring.
Daerah grafiks dibelah jadi 2:
Daerah I : x < 2  y11 > 0  grafiks cekung (ekstrem minimum)
Daerah II : x > 2  y11 < 0  grafiks cembung (ekstrem maksimum)

2

Menggambar grafiks dengan menggunakan turunan/deferensial

Gambarlah grafik fungsi polinom f(x) = y = a x3 + b x2 + c x + d,
a, b ,c , d konstanta, a ≠ 0.

Jawab:
a). Titik potong dengan sumbu y  x = 0  y = d  (0,d)
b). Titik potong dengan sumbu x  y = 0  a x3 + b x2 + c x + d = 0 
ada tiga titik potong.
c). Titik stasioner : dy/dx = 3 ax2 + 2 bx + c = 0  ada dua titik puncak.
Daerah grafik terbelah tiga oleh garis absis koordinat puncak.
Pada umumnya bila a < 0: grafik dari kiri turun kemudian naik terakhir turun
(

);

a>0:(

)

d). Titik belok d2y/dx2 = 0 = 6 ax + 2 b  x = - b/(3a)  (- b/(3a) , y)
Titik belok: biasanya terletak di antara dua titik puncak, atau merupakan

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
batas antara grafiks cekung dan grafiks cembung.

Contoh Soal:
Gambarlah grafik fungsi polinom f(x) = y = 3x – x3 !
Jawab:

y = 3x – x3

- Titik potong dengan sumbu y  x = 0  y = 0  (0,0)
- Titik potong dengan sumbu x  y = 0  3x – x3 = 0 
x (3 – x2) = 0  x1=0, x2= -√3, x2= √3
jadi tiga titik potong: (0,0), (-√3,0), ( √3,0)
- Titik stasioner: dy/dx = 0 = 3 – 3x2  3(1+x)(1-x)=0  x1=-1, x2= 1
x1=-1  y1 = 3.(-1) - (-1)3 = -3 + 1 = -2  (-1,-2) (ttk puncak)
x2= 1  y2 = 3.(1) - (1)3 = 3 - 1 = 2  ( 1, 2 ) (ttk puncak)
Karena koef x3 < 0, maka grafik

:(

)

- Titik belok d2y/dx2 = - 6 x = 0  x = 0  y = 3.0 – 03 = 0  (0,0)

y

,-√3

,-1

(1,2)

0

.

,1

,√3

x

- -2

.(-1,-2)
Soal: Buktikan gambar grafik y = x3 - 3x seperti di bawah ini !
y

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
,-√3

,-1

0

,1

,√3

x

.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
5.2. Aplikasi Ekstrem Fungsi
Yang baru saja kita bicarakan adalah tentang ekstrem fungsi, kita kenakan pada
grafik fungsi tersebut yang di gambarkan sebagai ordinat puncak dan titik belok.
Pengertian ekstrem fungsi banyak digunakan dalam bidang fisika, kimia, biologi,
ekonomi, kerekayasaan, dan sebagainya.
Biasanya masalah-masalah / persoalan yang bersifat kuantitatif yang dapat
di’fungsi’kan, dengan demikian dapat dicari ekstremnya. Dalam hal ini arti
ekstrem aplikasinya dapat berarti terbanyak-tersedikit, terjauh-terdekat, terbesarterkecil, dan sebagainya. Berikut ini beberapa contoh kegunaan pengertian
ekstrem.
Contoh:
1. Petruk dan Bagong membagi uang Rp. 1000,-. Bila bagian Petruk dan
Bagong dikalikan akan mencapai ekstrem. Berapakah bagian masingmasing? Dan berapakah ekstrem tersebut? Ekstrem maksimum atau ekstrem
minimum?
Jawab: Masalah tersebut kita matematikkan demikian:
misalnya uang Petruk = p dan uang Bagong = b,
maka p + b = 1000.
Misal p . b = z berarti z = (1000–b).b = -b2 + 1000b
z sebagai fungsi dari b.

z mencapai ekstrem bila

dz
= - 2b + 1000 = 0
db

b = 500 p = 500

d2z
= -2 < 0
db 2

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
Jadi uang masing-masing adalah Rp. 500,Ekstrem hasil kali uang mereka adalah Rp. 250.000,Dan jenis ekstrem adalah masksimum, karena z'' = -2 < 0

2. Kawat sepanjang 100 m dipotong menjadi dua, yang satu
dibentuk lingkaran dan yang lain dibentuk bujur sangkar.
Tentukan panjang masing-masing agar jumlah luas daerah
lingkaran dan bujur sangkar tersebut maksimum ! ( π = 22/7 )
Jawab:
A
ֽ

- Potongan kawat AC dibentuk
C
ֽ

Bֽ

lingkaran
- Potongan kawat CB dibentuk
bujur sangkar.

P1 = 2πR, L1 = πR2, P2 = 4 x, L2 = x2
P1 + P2 = 2πR + 4 x = 100  x = 25 – ½ πR ............... (i)
L = L1 + L2 = πR2 + (25 - ½ πR)2
dL/dR = 2πR + 2(25 - ½ πR).(- ½ π) = 2πR - 25π + ½ π2 R
Syarat ekstrem: dL/dR = 0, jadi 2πR - 25π + ½ π2 R = 0
Atau 4R- 50 + π R = 0  R = 50/(4 + π) = 50/(4+22/7) = 7 ..(ii)
(ii) masuk (i) diperoleh x = 25 – ½ . 22/7 . 7 = 25 – 11 = 14
Jadi panjang msing-masing: P1 = 2πR = 2 . 22/7 . 7 = 44 m //
P2 = 4 x = 4 . 14

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

= 56 m //

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
3. Sebuah container, volumenya = 72 m3, panjang = 2 kali lebarnya. Tentukan ukuran
container tersebut agar bahan yang digunakan sehemat-hematnya.
Jawab:
V = 2 x2 y = 72  y = 36/x2

Container
y

Bahan sehemat-hematnya, berarti
x

luas (selubung) minimum.

2x
L = 2 . 2x2 + 2 . xy + 2 . 2xy
Untuk y = 36/x2 , maka

L = 4x2 + 2x (36/x2) + 4x(36/x2)
L = 4x2 + 216/x

L' = 8 x – 216/x2 = 0  x3 = 27  x = 3; y = 36/9 = 4
Jadi ukuran container: panjang = 6 m, lebar = 3 m, tinggi = 4 m

4. Sebuah kaleng susu berbentuk silinder, luas = 924 cm2.
Tentukan ukuran silinder, agar isi silinder tersebut sebanyak-banyaknya.
Jawab:
Luas = 2πR2 + 2πRt = 924

Silinder

t=

462 − πR 2
πR

V = πR2t = πR2 .

t

462 − πR 2
= 462 R – πR3
πR

R
V' = 462 - 6πR2 = 0  R2 = 462/6π = 49  R = 7
t=

462 − πR 2
462 − π.7 2
=
= 14
πR
π.7

Jadi ukuran silinder tersebut: R = 7 cm, dan tinggi = 14 cm //

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
5.

Dalam daerah ½ lingkaran jari-jari
R, dibuat empat persegi panjang
y
x

seperti gambar disamping.

R

Tentukan luas maksimum daerah
empat persegi tersebut.

Jawab:
Misal sisi-sisi 4 persegi tersebut x dan y, maka

x2 + ( ½ y )2 = R2 
Luas

= L = x y = 2x .

dL/dx = 0  2

y=2

R2 −x2

R2 −x2

2
2 -1/2
R 2 − x 2 + 2x . ½ (R – x ) . (-2x) = 0

R2 – x2 = x2  x = ½ R√2
Jadi Luas

maksimum = 2x .
2. ½ R√2 .

R2 −

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

R2 −x2 =

1 2
R = R2
2

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
6.

C

Pada lingkaran jari-jari R dibuat ∆
Singgung ABC sama kaki (AC=BC)
Tentukan luas minimum ∆ tersebut.
Q

N

Jawab:

R
Misal AB = 2x dan CP = t, maka
CN = t – R,

A

P
R
t 2 − 2tR

=

x

B

R
x
=
CQ
t

∆CQN ∞ ∆CPB


R
(t − R ) − R
2

2

=

x

t

x
2x 2 R
 R2 t2 = x2 (t2 – 2tR)  t = 2
t
x −R2

( x 2 − R 2 ).6 x 2 R − 2 x 3 R.2 x
2x 3 R
Luas ∆ ABC = L = x t = 2
 L' =
=0
(x 2 − R 2 ) 2
x −R2
6x 4 R − 6 x 2 R 3 − 4x 4 R
= 0  2 x4 R = 6 x2 R3 
(x 2 − R 2 ) 2

x2 = 3 R2  x = R√3
Luas ∆ ABC =

2x 3 R
2.3R 2 R 3.R
=
= 3 R2 √3 //
2
2
3R 2 − R 2
x −R

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
Soal-Soal
1. Tentukan maksimum/minimum dari bentuk x2 + y2–4x + 6y –3 = 0.
2. Tentukan ekstrem f(x) = cos2x + 2 sinx, ½ π < x < π.
Ekstrem tersebut maksimum atau minimum ?
3. Kaleng berbentuk silinder: bila volume 1 liter, tentukan perbandingan tinggi dan jarijari
kaleng itu agar bahan (luasnya) untuk membuat sehemat-hematnya.
4.

C

∆ABC sama kaki, AB = 6 cm dan DC = 4 cm
Dibuat 4 persegi panjang PQRT.
Tentukan maksimum luas 4 persegi panjang
tersebut.

T
A P

R
D

Q

B

5.
D

C

A

B

Diketahui titik C pada ellips:
x2 y2
+
=1
8
6

Titik A, B, D pada sumbu-sumbu.
ABCD = 4 segi panjang.
Tentukan maksimum kuas daerah ABCD tersebut !

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I
6.

Garis AB melalui titik P(4,2).
B
Tentukan :
P(4,2)

a). minimum panjang AB
b). minimum luas ∆OAB

O

A

7. Kurva dengan persamaan y = x3 – 3x + 2. Tentukan koordinat:
a). titik tertinggi
b). titik terendah
c). titik belok (miring).
8. Lingkaran, jari-jari = 3. Dibuat ∆ singgung (lingkaran) sama kaki. Tentukan minimum
luas daerah segitiga tersebut.
9. Hasil kali dua bilangan asli = 36. Tentukan minimum kuadrat jumlah kedua bilangan
itu.
10. Di dalam bola jari-jari R dibuat kerucut tegak, puncak dan lingkaran kerucut pada
bidang bola. Tentukan maksimum volume kerucut tersebut.
11. Di luar bola jari-jari R dibuat kerucut tegak singgung bola. Tentukan minimum
volume kerucut tersebut.
12. Segitiga ABC siku-siku di A, BC = 10 cm. Tentukan:
a). nilai minimum keliling tersebut.
b). nilai maksimum luas tersebut.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB

Dra. Sumardi H.M.Sc
KALKULUS I

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt? (19)

04 turunan
04 turunan04 turunan
04 turunan
 
Kalkulus 2 integral
Kalkulus 2 integralKalkulus 2 integral
Kalkulus 2 integral
 
Bab ii-pers-kuadrat-c-fungsi-kuadrat
Bab ii-pers-kuadrat-c-fungsi-kuadratBab ii-pers-kuadrat-c-fungsi-kuadrat
Bab ii-pers-kuadrat-c-fungsi-kuadrat
 
Penerapan Integral Tentu
Penerapan Integral TentuPenerapan Integral Tentu
Penerapan Integral Tentu
 
15. soal soal diferensial
15. soal soal diferensial15. soal soal diferensial
15. soal soal diferensial
 
INTEGRAL
INTEGRALINTEGRAL
INTEGRAL
 
Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )
Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )
Bab 7. Aplikasi Integral ( Kalkulus 1 )
 
Rumus cepat-matematika-fungsi-kuadrat
Rumus cepat-matematika-fungsi-kuadratRumus cepat-matematika-fungsi-kuadrat
Rumus cepat-matematika-fungsi-kuadrat
 
Kalkulus 2
Kalkulus 2Kalkulus 2
Kalkulus 2
 
Grafik fungsi rasional
Grafik fungsi rasionalGrafik fungsi rasional
Grafik fungsi rasional
 
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga
Integral Lipat Tiga
 
Modul kalkulus
Modul kalkulusModul kalkulus
Modul kalkulus
 
Media PPT Materi Diferensial
Media PPT Materi DiferensialMedia PPT Materi Diferensial
Media PPT Materi Diferensial
 
Integral
IntegralIntegral
Integral
 
Kalkulus Peubah Banyak 01
Kalkulus Peubah Banyak 01Kalkulus Peubah Banyak 01
Kalkulus Peubah Banyak 01
 
materi-2-kalkulus
materi-2-kalkulusmateri-2-kalkulus
materi-2-kalkulus
 
Turunan (Differensial)
Turunan (Differensial)Turunan (Differensial)
Turunan (Differensial)
 
Aplikasi integral-luas-volume
Aplikasi integral-luas-volumeAplikasi integral-luas-volume
Aplikasi integral-luas-volume
 
Matematika kelas xi turunan fungsi
Matematika kelas xi turunan fungsiMatematika kelas xi turunan fungsi
Matematika kelas xi turunan fungsi
 

Ähnlich wie Kalkulus 1-120325042516-phpapp02 (20)

Penerapan turunan
Penerapan turunanPenerapan turunan
Penerapan turunan
 
Penerapan turunan
Penerapan turunanPenerapan turunan
Penerapan turunan
 
Materi kalkulus 2
Materi kalkulus 2Materi kalkulus 2
Materi kalkulus 2
 
Modul-turunan.pdf
Modul-turunan.pdfModul-turunan.pdf
Modul-turunan.pdf
 
Kalkulus 1
Kalkulus 1Kalkulus 1
Kalkulus 1
 
Aplikasi
AplikasiAplikasi
Aplikasi
 
Documentgurtg
DocumentgurtgDocumentgurtg
Documentgurtg
 
Pembahasan un-smk-2009-2010-matematika
Pembahasan un-smk-2009-2010-matematikaPembahasan un-smk-2009-2010-matematika
Pembahasan un-smk-2009-2010-matematika
 
Pembahasan un-smk-2009-2010-matematika
Pembahasan un-smk-2009-2010-matematikaPembahasan un-smk-2009-2010-matematika
Pembahasan un-smk-2009-2010-matematika
 
integrasi
integrasiintegrasi
integrasi
 
Pertemuan-2.pptx
Pertemuan-2.pptxPertemuan-2.pptx
Pertemuan-2.pptx
 
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsi
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsiModul matematika-kelas-xi-turunan-fungsi
Modul matematika-kelas-xi-turunan-fungsi
 
Persamaanlinierduavariabel
PersamaanlinierduavariabelPersamaanlinierduavariabel
Persamaanlinierduavariabel
 
Transformasi
TransformasiTransformasi
Transformasi
 
persamaan linier dua variabel
persamaan linier dua variabelpersamaan linier dua variabel
persamaan linier dua variabel
 
siiiiii
siiiiiisiiiiii
siiiiii
 
KNAR13 - MATEMATIKA MINAT SMA (KLIPING)
KNAR13 - MATEMATIKA MINAT SMA (KLIPING)KNAR13 - MATEMATIKA MINAT SMA (KLIPING)
KNAR13 - MATEMATIKA MINAT SMA (KLIPING)
 
Kalkulus 2
Kalkulus 2Kalkulus 2
Kalkulus 2
 
Pembahasan Prediksi UN Matematika SMA IPA 2018 Paket 2
Pembahasan Prediksi UN Matematika SMA IPA 2018 Paket 2Pembahasan Prediksi UN Matematika SMA IPA 2018 Paket 2
Pembahasan Prediksi UN Matematika SMA IPA 2018 Paket 2
 
Mat 257
Mat 257Mat 257
Mat 257
 

Kürzlich hochgeladen

Kisi kisi Ujian sekolah mata pelajaran IPA 2024.docx
Kisi kisi Ujian sekolah mata pelajaran IPA 2024.docxKisi kisi Ujian sekolah mata pelajaran IPA 2024.docx
Kisi kisi Ujian sekolah mata pelajaran IPA 2024.docx
FitriaSarmida1
 
PPT SOSIALISASI PENGELOLAAN KINERJA GURU DAN KS 2024.pptx
PPT SOSIALISASI PENGELOLAAN KINERJA GURU DAN KS 2024.pptxPPT SOSIALISASI PENGELOLAAN KINERJA GURU DAN KS 2024.pptx
PPT SOSIALISASI PENGELOLAAN KINERJA GURU DAN KS 2024.pptx
MaskuratulMunawaroh
 
.....................Swamedikasi 2-2.pptx
.....................Swamedikasi 2-2.pptx.....................Swamedikasi 2-2.pptx
.....................Swamedikasi 2-2.pptx
furqanridha
 
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx
furqanridha
 

Kürzlich hochgeladen (20)

Panduan Memahami Data Rapor Pendidikan 2024
Panduan Memahami Data Rapor Pendidikan 2024Panduan Memahami Data Rapor Pendidikan 2024
Panduan Memahami Data Rapor Pendidikan 2024
 
AKSI NYATA TOPIK 1 MERDEKA BELAJAR. PPTX
AKSI NYATA TOPIK 1 MERDEKA BELAJAR. PPTXAKSI NYATA TOPIK 1 MERDEKA BELAJAR. PPTX
AKSI NYATA TOPIK 1 MERDEKA BELAJAR. PPTX
 
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
Kisi kisi Ujian sekolah mata pelajaran IPA 2024.docx
Kisi kisi Ujian sekolah mata pelajaran IPA 2024.docxKisi kisi Ujian sekolah mata pelajaran IPA 2024.docx
Kisi kisi Ujian sekolah mata pelajaran IPA 2024.docx
 
MODUL AJAR BAHASA INGGRIS KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INGGRIS KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR BAHASA INGGRIS KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INGGRIS KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR SENI MUSIK KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
Aksi Nyata Disiplin Positif Keyakinan Kelas untuk SMK
Aksi Nyata Disiplin Positif Keyakinan Kelas untuk SMKAksi Nyata Disiplin Positif Keyakinan Kelas untuk SMK
Aksi Nyata Disiplin Positif Keyakinan Kelas untuk SMK
 
MODUL PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
Ceramah Antidadah SEMPENA MINGGU ANTIDADAH DI PERINGKAT SEKOLAH
Ceramah Antidadah SEMPENA MINGGU ANTIDADAH DI PERINGKAT SEKOLAHCeramah Antidadah SEMPENA MINGGU ANTIDADAH DI PERINGKAT SEKOLAH
Ceramah Antidadah SEMPENA MINGGU ANTIDADAH DI PERINGKAT SEKOLAH
 
contoh-kisi-kisi-bahasa-inggris-kelas-9.docx
contoh-kisi-kisi-bahasa-inggris-kelas-9.docxcontoh-kisi-kisi-bahasa-inggris-kelas-9.docx
contoh-kisi-kisi-bahasa-inggris-kelas-9.docx
 
Prakarsa Perubahan dan kanvas ATAP (1).pptx
Prakarsa Perubahan dan kanvas ATAP (1).pptxPrakarsa Perubahan dan kanvas ATAP (1).pptx
Prakarsa Perubahan dan kanvas ATAP (1).pptx
 
BAHAN PAPARAN UU DESA NOMOR 3 TAHUN 2024
BAHAN PAPARAN UU DESA NOMOR 3 TAHUN 2024BAHAN PAPARAN UU DESA NOMOR 3 TAHUN 2024
BAHAN PAPARAN UU DESA NOMOR 3 TAHUN 2024
 
Memperkasakan Dialog Prestasi Sekolah.pptx
Memperkasakan Dialog Prestasi Sekolah.pptxMemperkasakan Dialog Prestasi Sekolah.pptx
Memperkasakan Dialog Prestasi Sekolah.pptx
 
KELAS 10 PERUBAHAN LINGKUNGAN SMA KURIKULUM MERDEKA
KELAS 10 PERUBAHAN LINGKUNGAN SMA KURIKULUM MERDEKAKELAS 10 PERUBAHAN LINGKUNGAN SMA KURIKULUM MERDEKA
KELAS 10 PERUBAHAN LINGKUNGAN SMA KURIKULUM MERDEKA
 
TUGAS RUANG KOLABORASI 1.3 PRAKARSA PERUBAHAN
TUGAS RUANG KOLABORASI 1.3 PRAKARSA PERUBAHANTUGAS RUANG KOLABORASI 1.3 PRAKARSA PERUBAHAN
TUGAS RUANG KOLABORASI 1.3 PRAKARSA PERUBAHAN
 
Aksi Nyata Menyebarkan (Pemahaman Mengapa Kurikulum Perlu Berubah) Oleh Nur A...
Aksi Nyata Menyebarkan (Pemahaman Mengapa Kurikulum Perlu Berubah) Oleh Nur A...Aksi Nyata Menyebarkan (Pemahaman Mengapa Kurikulum Perlu Berubah) Oleh Nur A...
Aksi Nyata Menyebarkan (Pemahaman Mengapa Kurikulum Perlu Berubah) Oleh Nur A...
 
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR BAHASA INDONESIA KELAS 5 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
PPT SOSIALISASI PENGELOLAAN KINERJA GURU DAN KS 2024.pptx
PPT SOSIALISASI PENGELOLAAN KINERJA GURU DAN KS 2024.pptxPPT SOSIALISASI PENGELOLAAN KINERJA GURU DAN KS 2024.pptx
PPT SOSIALISASI PENGELOLAAN KINERJA GURU DAN KS 2024.pptx
 
.....................Swamedikasi 2-2.pptx
.....................Swamedikasi 2-2.pptx.....................Swamedikasi 2-2.pptx
.....................Swamedikasi 2-2.pptx
 
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Swamedikasi 3.pptx
 

Kalkulus 1-120325042516-phpapp02

  • 1. KALKULUS 1 MODUL 6 V. MAKSIMUM / MINIMUM ( EKSTREM FUNGSI ) 5.1. Pengertian Diketahui y = F(x) suatu fungsi yang kontinu dan mempunyai turunan pertama, kedua dan ketiga pada domainnya. Kita anggap turunan pertama, kedua, dan ketiga suatu fungsi y = F(x) masih merupakan fungsi juga, berturut-turut f(x), g(x) dan h(x) : y' = F'(x) = f(x), y'' = F''(x) = f'(x), y1= f(x) y'''=F'''(x) = f''(x)= g'(x)= h(x) y2 = g(x) y3 = h(x) fungsi ↔ grafik / kurva ekstrem ↔ puncak maksimum ↔ tertinggi minimum ↔ terendah harga nol ↔ titik potong dengan sumbu x Kita bicarakan fungsi y = f(x) dengan gambarnya. Yang akan kita bicarakan hanya titik–titik puncak (stasioner), titik belok (datar dan miring). PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 2. A P Q y = F(x) B C (a) T y' = f(x) C1 (b) Q1 B1 (c) y'' = g(x) (d) y''' = h(x) Titik P & T = titik puncak Titik B, C, Q = titik belok (B, C belok miring, Q belok datar) A–P Naik, y' > 0 T–C–Q P-B-T turun, y' < 0 P = Titik tertinggi relatif T = Titik terendah relatif Q = Titik belok mendatar pada P → y''< 0 B, C = Titik belok miring pada T → y'' > 0 Pada P, T, Q → y' = 0, dan y'' = 0 pada Q → PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB y''' ≠ 0 Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 3. y' ≠ 0 Pada B dan C → y'' = 0 y''' ≠ 0 xP xB xT diperoleh dari y' = 0 diperoleh dari y'' = 0 xQ xC (a) = grafik fungsi yang dicari ekstrem dan titik beloknya (b) = grafik fungsi turunan pertama (c) = grafik fungsi turunan kedua (d) = grafik fungsi turunan ketiga Ciri-ciri titik tersebut (lihat gambar) sebagai berikut: P titik tertinggi/maksimum: y' = 0, y'' < 0 T titik terendah/minimum: y' = 0, y'' > 0 Q titik belok datar: y' = 0, y''= 0, y''' > 0 B titik belok miring ke kiri: y' < 0, y'' = 0, y''' > 0 C titik belok miring ke kanan: y' < 0, y'' = 0, y''' < 0 Sebenarnya masih ada lagi titik-titik khusus yaitu: D y' = +∞ → D = titik tertinggi / maksimum E y' = - ∞ → E = titik terendah / minimum F y' = tak tentu → F = titik terasing Tetapi titik D, E, dan F disini tidak di bicarakan. PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 4. Dari uraian dapat disimpulkan : Syarat perlu ekstrem / belok datar y' = 0 Syarat cukup : maksimum bila y'' < 0 minimum bila y'' > 0 y'' = 0 belok datar bila y = F(x) → y''' ≠ 0 Syarat perlu belok miring y'' = 0 miring kiri y' < 0 Syarat cukup: y''' ≠ 0 miring kanan y' > 0 Contoh Soal-Jawab 1. Selidiki maksimum dan minimum f(x) = x ( 12 – 2x )2 dengan menggunakan metode turunan kedua ! Jawab: f1(x) = (12-2x)2 + 2x(-2)(12-2x) = (12-2x)(12-6x) = 12(6-x)(2-x) Syarat ekstrem f1(x) = 0 = 12(6-x)(2-x)  x1 = 6 , x2 = 2 f11(x) = -12(2-x) + 12(6-x)(-1) = -24+12x-72+12x = 24(x-4) f11(6) = 24 ( 6 – 4 ) > 0  f(6) = 0 = harga minimum di x = 6  (6,0) min. f11(2) = 24 (2–4)<0  f(2) = 128 = harga maksimum di x = 2  (2,128) max. Titik belok f11(x) = 0 = 24(x-4)  x = 4  y = 4(12-2.4)2 = 4.16 = 64  (4, 64) ( Batas grafiks cembung dan grafiks cekung ). PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 5. Grafiks: - Perpotongan dengan sumbu y  x = 0  y = 0 (12-0)2 = 0  (0,0) - Perpotongan dengan sumbu x  y = 0  0 = x ( 12 – 2x )2  (0,0) & (6, 0) - Perilaku grafiks: ada 3 daerah: - Daerah I: x < 2  y1 > 0 grafiks naik - Daerah II: 2< x < 6  y1 < 0 grafiks turun - Daerah III: x > 6  y1 > 0 grafiks naik Y 128 O 2. Soal sama 1) untuk y = x2 + 6 x 250 x Jawab: y1 = 2x - 250 2( x 3 −125) = ; y1 = 0  x = 5 2 2 x x y11 = 2 + 500  y11 > 0 di x = 5  y = 75 = harga minimum x3 Grafiks : y 75 lim (x2 + 250 ) = ∞ + x→ 0 x lim (x2 + 250 ) = ∞ x→∞ x O PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB 5 x Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 6. 3. Soal sama 1) untuk y = (x-2)5/3 Jawab: y1 = 5/3 ( x – 2)2/3 ; y1 = 0  x = 2 y11 = 10/9 (x – 2)-1/3 = 10  y11 = ∞ di x = 2 9( x − 2) 1 / 3 Untuk x < 2 y1 > 0 di x = 2 untuk x > 2  y1 > 0 titik belok datar Grafiks: Daerah x < 2  grafiks cembung ( y11< 0 ), daerah x > 2  grafiks cekung ( y11> 0 ). 2 4. Soal sama 1) untuk y = (x-2)4/3 Jawab: y1 = 4/3 ( x – 2)1/3 ; y1 = 0  x = 2 y11 = 4/9 (x – 2)-2/3 = 4  y11 = ∞ di x = 2 9( x − 2) 2 / 3 Untuk x < 2 y1 < 0 untuk x > 2  y1 > 0 y = 0 harga minimum di x = 2 PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 7. Grafiks 4): 2 5. Soal sama 1) untuk y = (x-2)2/3 Jawab: y1 = 2/3 ( x – 2)-1/3 ; y1 = ∞  x = 2 harga kritis y11 = -2/9 (x – 2)-4/3 = - 2  y11 = ∞ di x = 2 9( x − 2) 4 / 3 Untuk x < 2 y1 < 0 di x = 2 untuk x > 2  y1 > 0 y = 0 harga minimum relatif Grafiks: Daerah grafiks dibelah jadi 2: Daerah I : x < 2  y11 < 0  grafiks cembung Daerah II : x > 2  y11 < 0  grafiks cembung 2 6. Soal sama 1) untuk y = (x-2)1/3 Jawab: y1 = 1/3 ( x – 2)-2/3 ; y1 = ∞  x = 2 harga kritis y11 = -2/9 (x – 2)-5/3 = Untuk x < 2 y1 < 0 2  y11 = ∞ di x = 2 9( x − 2) 5 / 3 di x = 2 PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 8. untuk x > 2  y1 > 0 titik belok miring Grafiks: Mirip dengan soal 2), tetapi di sini terjadi titik belok miring. Daerah grafiks dibelah jadi 2: Daerah I : x < 2  y11 > 0  grafiks cekung (ekstrem minimum) Daerah II : x > 2  y11 < 0  grafiks cembung (ekstrem maksimum) 2 Menggambar grafiks dengan menggunakan turunan/deferensial Gambarlah grafik fungsi polinom f(x) = y = a x3 + b x2 + c x + d, a, b ,c , d konstanta, a ≠ 0. Jawab: a). Titik potong dengan sumbu y  x = 0  y = d  (0,d) b). Titik potong dengan sumbu x  y = 0  a x3 + b x2 + c x + d = 0  ada tiga titik potong. c). Titik stasioner : dy/dx = 3 ax2 + 2 bx + c = 0  ada dua titik puncak. Daerah grafik terbelah tiga oleh garis absis koordinat puncak. Pada umumnya bila a < 0: grafik dari kiri turun kemudian naik terakhir turun ( ); a>0:( ) d). Titik belok d2y/dx2 = 0 = 6 ax + 2 b  x = - b/(3a)  (- b/(3a) , y) Titik belok: biasanya terletak di antara dua titik puncak, atau merupakan PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 9. batas antara grafiks cekung dan grafiks cembung. Contoh Soal: Gambarlah grafik fungsi polinom f(x) = y = 3x – x3 ! Jawab: y = 3x – x3 - Titik potong dengan sumbu y  x = 0  y = 0  (0,0) - Titik potong dengan sumbu x  y = 0  3x – x3 = 0  x (3 – x2) = 0  x1=0, x2= -√3, x2= √3 jadi tiga titik potong: (0,0), (-√3,0), ( √3,0) - Titik stasioner: dy/dx = 0 = 3 – 3x2  3(1+x)(1-x)=0  x1=-1, x2= 1 x1=-1  y1 = 3.(-1) - (-1)3 = -3 + 1 = -2  (-1,-2) (ttk puncak) x2= 1  y2 = 3.(1) - (1)3 = 3 - 1 = 2  ( 1, 2 ) (ttk puncak) Karena koef x3 < 0, maka grafik :( ) - Titik belok d2y/dx2 = - 6 x = 0  x = 0  y = 3.0 – 03 = 0  (0,0) y ,-√3 ,-1 (1,2) 0 . ,1 ,√3 x - -2 .(-1,-2) Soal: Buktikan gambar grafik y = x3 - 3x seperti di bawah ini ! y PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 10. ,-√3 ,-1 0 ,1 ,√3 x . PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 11. 5.2. Aplikasi Ekstrem Fungsi Yang baru saja kita bicarakan adalah tentang ekstrem fungsi, kita kenakan pada grafik fungsi tersebut yang di gambarkan sebagai ordinat puncak dan titik belok. Pengertian ekstrem fungsi banyak digunakan dalam bidang fisika, kimia, biologi, ekonomi, kerekayasaan, dan sebagainya. Biasanya masalah-masalah / persoalan yang bersifat kuantitatif yang dapat di’fungsi’kan, dengan demikian dapat dicari ekstremnya. Dalam hal ini arti ekstrem aplikasinya dapat berarti terbanyak-tersedikit, terjauh-terdekat, terbesarterkecil, dan sebagainya. Berikut ini beberapa contoh kegunaan pengertian ekstrem. Contoh: 1. Petruk dan Bagong membagi uang Rp. 1000,-. Bila bagian Petruk dan Bagong dikalikan akan mencapai ekstrem. Berapakah bagian masingmasing? Dan berapakah ekstrem tersebut? Ekstrem maksimum atau ekstrem minimum? Jawab: Masalah tersebut kita matematikkan demikian: misalnya uang Petruk = p dan uang Bagong = b, maka p + b = 1000. Misal p . b = z berarti z = (1000–b).b = -b2 + 1000b z sebagai fungsi dari b. z mencapai ekstrem bila dz = - 2b + 1000 = 0 db b = 500 p = 500 d2z = -2 < 0 db 2 PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 12. Jadi uang masing-masing adalah Rp. 500,Ekstrem hasil kali uang mereka adalah Rp. 250.000,Dan jenis ekstrem adalah masksimum, karena z'' = -2 < 0 2. Kawat sepanjang 100 m dipotong menjadi dua, yang satu dibentuk lingkaran dan yang lain dibentuk bujur sangkar. Tentukan panjang masing-masing agar jumlah luas daerah lingkaran dan bujur sangkar tersebut maksimum ! ( π = 22/7 ) Jawab: A ֽ - Potongan kawat AC dibentuk C ֽ Bֽ lingkaran - Potongan kawat CB dibentuk bujur sangkar. P1 = 2πR, L1 = πR2, P2 = 4 x, L2 = x2 P1 + P2 = 2πR + 4 x = 100  x = 25 – ½ πR ............... (i) L = L1 + L2 = πR2 + (25 - ½ πR)2 dL/dR = 2πR + 2(25 - ½ πR).(- ½ π) = 2πR - 25π + ½ π2 R Syarat ekstrem: dL/dR = 0, jadi 2πR - 25π + ½ π2 R = 0 Atau 4R- 50 + π R = 0  R = 50/(4 + π) = 50/(4+22/7) = 7 ..(ii) (ii) masuk (i) diperoleh x = 25 – ½ . 22/7 . 7 = 25 – 11 = 14 Jadi panjang msing-masing: P1 = 2πR = 2 . 22/7 . 7 = 44 m // P2 = 4 x = 4 . 14 PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB = 56 m // Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 13. 3. Sebuah container, volumenya = 72 m3, panjang = 2 kali lebarnya. Tentukan ukuran container tersebut agar bahan yang digunakan sehemat-hematnya. Jawab: V = 2 x2 y = 72  y = 36/x2 Container y Bahan sehemat-hematnya, berarti x luas (selubung) minimum. 2x L = 2 . 2x2 + 2 . xy + 2 . 2xy Untuk y = 36/x2 , maka L = 4x2 + 2x (36/x2) + 4x(36/x2) L = 4x2 + 216/x L' = 8 x – 216/x2 = 0  x3 = 27  x = 3; y = 36/9 = 4 Jadi ukuran container: panjang = 6 m, lebar = 3 m, tinggi = 4 m 4. Sebuah kaleng susu berbentuk silinder, luas = 924 cm2. Tentukan ukuran silinder, agar isi silinder tersebut sebanyak-banyaknya. Jawab: Luas = 2πR2 + 2πRt = 924 Silinder t= 462 − πR 2 πR V = πR2t = πR2 . t 462 − πR 2 = 462 R – πR3 πR R V' = 462 - 6πR2 = 0  R2 = 462/6π = 49  R = 7 t= 462 − πR 2 462 − π.7 2 = = 14 πR π.7 Jadi ukuran silinder tersebut: R = 7 cm, dan tinggi = 14 cm // PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 14. 5. Dalam daerah ½ lingkaran jari-jari R, dibuat empat persegi panjang y x seperti gambar disamping. R Tentukan luas maksimum daerah empat persegi tersebut. Jawab: Misal sisi-sisi 4 persegi tersebut x dan y, maka x2 + ( ½ y )2 = R2  Luas = L = x y = 2x . dL/dx = 0  2 y=2 R2 −x2 R2 −x2 2 2 -1/2 R 2 − x 2 + 2x . ½ (R – x ) . (-2x) = 0 R2 – x2 = x2  x = ½ R√2 Jadi Luas maksimum = 2x . 2. ½ R√2 . R2 − PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB R2 −x2 = 1 2 R = R2 2 Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 15. 6. C Pada lingkaran jari-jari R dibuat ∆ Singgung ABC sama kaki (AC=BC) Tentukan luas minimum ∆ tersebut. Q N Jawab: R Misal AB = 2x dan CP = t, maka CN = t – R, A P R t 2 − 2tR = x B R x = CQ t ∆CQN ∞ ∆CPB  R (t − R ) − R 2 2 = x  t x 2x 2 R  R2 t2 = x2 (t2 – 2tR)  t = 2 t x −R2 ( x 2 − R 2 ).6 x 2 R − 2 x 3 R.2 x 2x 3 R Luas ∆ ABC = L = x t = 2  L' = =0 (x 2 − R 2 ) 2 x −R2 6x 4 R − 6 x 2 R 3 − 4x 4 R = 0  2 x4 R = 6 x2 R3  (x 2 − R 2 ) 2 x2 = 3 R2  x = R√3 Luas ∆ ABC = 2x 3 R 2.3R 2 R 3.R = = 3 R2 √3 // 2 2 3R 2 − R 2 x −R PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 16. Soal-Soal 1. Tentukan maksimum/minimum dari bentuk x2 + y2–4x + 6y –3 = 0. 2. Tentukan ekstrem f(x) = cos2x + 2 sinx, ½ π < x < π. Ekstrem tersebut maksimum atau minimum ? 3. Kaleng berbentuk silinder: bila volume 1 liter, tentukan perbandingan tinggi dan jarijari kaleng itu agar bahan (luasnya) untuk membuat sehemat-hematnya. 4. C ∆ABC sama kaki, AB = 6 cm dan DC = 4 cm Dibuat 4 persegi panjang PQRT. Tentukan maksimum luas 4 persegi panjang tersebut. T A P R D Q B 5. D C A B Diketahui titik C pada ellips: x2 y2 + =1 8 6 Titik A, B, D pada sumbu-sumbu. ABCD = 4 segi panjang. Tentukan maksimum kuas daerah ABCD tersebut ! PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I
  • 17. 6. Garis AB melalui titik P(4,2). B Tentukan : P(4,2) a). minimum panjang AB b). minimum luas ∆OAB O A 7. Kurva dengan persamaan y = x3 – 3x + 2. Tentukan koordinat: a). titik tertinggi b). titik terendah c). titik belok (miring). 8. Lingkaran, jari-jari = 3. Dibuat ∆ singgung (lingkaran) sama kaki. Tentukan minimum luas daerah segitiga tersebut. 9. Hasil kali dua bilangan asli = 36. Tentukan minimum kuadrat jumlah kedua bilangan itu. 10. Di dalam bola jari-jari R dibuat kerucut tegak, puncak dan lingkaran kerucut pada bidang bola. Tentukan maksimum volume kerucut tersebut. 11. Di luar bola jari-jari R dibuat kerucut tegak singgung bola. Tentukan minimum volume kerucut tersebut. 12. Segitiga ABC siku-siku di A, BC = 10 cm. Tentukan: a). nilai minimum keliling tersebut. b). nilai maksimum luas tersebut. PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR - UMB Dra. Sumardi H.M.Sc KALKULUS I