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                                          Uber die Linniksche Konstante
arXiv:0906.2749v1 [math.NT] 15 Jun 2009




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Inhaltsverzeichnis

1 Einf¨ hrung
      u                                                                                 ...
4 Beweis von Theorem 1.1                                                                                                  ...
Kapitel 1

Einfuhrung
    ¨

1.1     Abstract
Seien a und q teilerfremde nat¨rliche Zahlen. 1944 bewies Yu. V. Linnik ([18...
Meist werden die Funktionen g und f von verschiedenen Parametern abh¨ngen.
                                               ...
1.3      Einfuhrung in die Problematik
             ¨
Im Folgenden seien immer a, q ∈ N mit (a, q) = 1. Dirichlet bewies 1...
da man sonst einen Widerspruch zum Primzahlsatz bek¨me2 . Was obere Schranken
                                            ...
den folgenden drei Prinzipien. Das erste Prinzip ist dabei allgemein bekannt ([2, Satz
3.1.4]). Prinzip 2 und 3 gehen zur¨...
Den gleichen Wert f¨r L erh¨lt H. Iwaniec ([13]) auch f¨r jene q, deren Primteiler aus
                    u      a       ...
hat. Wenn diese Ausnahmenullstelle existiert, so ist sie reell, einfach und geh¨rt zu
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Außer den neun genannten Potentialen, haben wir zahlreiche weitere (zum Teil
recht naive) Ans¨tze ausprobiert, um die Zwis...
Kapitel 2

Die Arbeit von Heath-Brown

Wie in der Einf¨hrung erw¨hnt, basiert diese Diplomarbeit vollst¨ndig auf dem Ar-
 ...
Die Funktion (L /L)(s, χ) ist meromorph und hat bei den Nullstellen ρ von L(s, χ)
Pole erster Ordnung. Also gilt1 f¨r eine...
• Eine erste spezielle Methode, die in [12] benutzt wird, besteht darin zus¨tzlich
                                       ...
x ∈ (0, x0 ) die Funktion f zwei Mal stetig differenzierbar ist und |f (x)| ≤ B.

Wenn nun f Bedingung 1 erf¨llt, so ist f ...
2.1.3        Die Anwendung der beiden Lemmata ([12, §6])
F¨r den Beweis des Theorems von Linnik werden am Ende nur jene Nu...
Beweis. (vergleiche [12, §6])
                                                                          ε
Sei ε > 0 und s ...
an A1 und A2 nur maximal 20 solche ρ existieren, gibt es ein q3 = q3 (f, δ, ε), so dass
                                  ...
In Analogie zu vorher setzen wir

                     ρ = β + iγ , β = 1 − L −1 λ , γ = L −1 µ .

   In [12] werden Absch...
die auftauchende Menge A1 beides Mal leer und wir w¨hlen A2 = {ρ1 } bzw. A2 = ∅.
                                         ...
Beweis. Sei F die Laplace-Transformierte von f . Mit den Eigenschaften von g und
der Gleichung cos x + cos y = 2 cos x+y c...
mittels partieller Integration (vergleiche [12, S.312])

             16γ 5 −1 8γ 3 −3
F (z)   =         z −     z + 4γ 2 ...
Wir weisen auch darauf hin, dass die Werte in Tabelle H4 mit Hilfe von Verbesse-
rungspotential Nr. 2 ([12, S.332]) h¨tten...
wohl die Perronsche Formel, aus der man eine Summe                    b(n) leicht in Zusammen-
                           ...
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  1. 1. ¨ Uber die Linniksche Konstante arXiv:0906.2749v1 [math.NT] 15 Jun 2009 Diplomarbeit von Triantafyllos Xylouris Betreuer und Erstpr¨fer: u PD Dr. B. Z. Moroz, Universit¨t Bonn a Zweitpr¨fer: u Prof. Dr. S. Wewers, Universit¨t Hannover a Abgabetermin: 22. April 2009 Datum dieser Version: 12. Juni 2009 (weniger Druckfehler gegen¨ber der Version vom 22. April 2009) u 1
  2. 2. Inhaltsverzeichnis 1 Einf¨ hrung u 4 1.1 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Einf¨hrung in die Problematik . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Zusammenfassung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Kommentare zur Diplomarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Die Arbeit von Heath-Brown 12 2.1 Nullstellenfreie Regionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Verbesserung der Standardmethode durch [12] . . . . . . . . . 12 2.1.2 Zwei wichtige Lemmata ([12, §5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.3 Die Anwendung der beiden Lemmata ([12, §6]) . . . . . . . . . 16 2.1.4 Funktionen, die Bedingung 1 und 2 erf¨llen ([12, §7]) u . . . . . . 20 2.1.5 Absch¨tzungen f¨r λ2 , λ , wenn ρ1 , χ1 reell ([12, §8]) a u . . . . . . 22 2.2 Das Theorem von Linnik und die Nullstellen von L(s, χ) . . . . . . . . 23 3 Verbesserungen der Nullstellenabsch¨tzungen a 27 3.1 Absch¨tzung gewisser Suprema gem¨ß [12, §10] . . . . a a . . . . . . . . . 27 3.1.1 Absch¨tzung f¨r große t (≥ x1 ) . . . . . . . . . a u . . . . . . . . . 28 3.1.2 Absch¨tzung f¨r kleine t (∈ [0, x1 ]) . . . . . . . a u . . . . . . . . . 29 3.2 λ -Absch¨tzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 31 3.2.1 Anfangsungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.2 Fall 1: ord χ1 ≥ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.3 Fall 2: ord χ1 ∈ {2, 3, 4} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.4 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 λ2 -Absch¨tzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 39 3.3.1 Das wesentliche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.2 λ2 -Absch¨tzungen f¨r die F¨lle 1,2,3,4,6 und 8 a u a . . . . . . . . . 43 3.3.3 λ2 -Absch¨tzungen f¨r die F¨lle 5 und 7 . . . . a u a . . . . . . . . . 46 3.4 λ3 -Absch¨tzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 48 3.4.1 F¨r λ1 ∈ [0.52, 0.62] . . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . 48 3.4.2 F¨r λ1 ∈ [0.62, 0.72] oder χ1 und ρ1 beide reell u . . . . . . . . . 49 3.5 λ1 -Absch¨tzungen, Beweis von Theorem 1.2 . . . . . . a . . . . . . . . . 53 3.6 Absch¨tzungen der Nullstellendichte . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . 55 3.6.1 Beweis von (3.63) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.2 Beweis von (3.64) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6.3 Beweis von (3.67) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.7 Absch¨tzungen der Nullstellendichte - kleine λ . . . . a . . . . . . . . . 63 2
  3. 3. 4 Beweis von Theorem 1.1 69 4.1 Lemma 15.1 aus [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Fall 1: χ1 und ρ1 beide reell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3 Fall 2: χ1 reell und ρ1 komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4 Fall 3: χ1 komplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5 Verbesserungspotentiale, die nicht benutzt wurden 75 5.1 Verbesserungspotential Nr. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Verbesserungspotential Nr. 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 Verbesserungspotential Nr. 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4 Verbesserungspotential Nr. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.5 Verbesserungspotential Nr. 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3
  4. 4. Kapitel 1 Einfuhrung ¨ 1.1 Abstract Seien a und q teilerfremde nat¨rliche Zahlen. 1944 bewies Yu. V. Linnik ([18], [19]), u dass die kleinste Primzahl p (≡ a mod q) in einer arithmetischen Progression kleiner als Cq L ist. Dabei sind C und L positive effektiv berechenbare Konstanten. Seitdem wurde der zul¨ssige Wert f¨r die Konstante L oft verbessert, zuletzt 1992 durch D. a u R. Heath-Brown auf L = 5.5 ([12]). Im selben Artikel gibt Heath-Brown verschiedene kleine Potentiale zur Verbesserung seiner Arbeit an. Mit diesen Potentialen verbessern wir die Zwischenresultate aus [12] und schließlich die Konstante auf L = 5.2. 1.2 Notationen Wir benutzen die folgenden Notationen, die in der analytischen Zahlentheorie ublich ¨ sind. Dazu seien x ∈ R, m, n, a, q ∈ N: • N = {1, 2, 3, . . .} und N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}. • Die Menge {a + jq | j ∈ N0 } nennen wir arithmetische Progression a mod q. • P = {2, 3, 5, 7, 11, . . .} (Primzahlen), p bzw. pi steht immer f¨r eine Primzahl, u • Λ(n) = log p, wenn n = pm und 0 sonst, • π(x) = 1, ψ(x) = Λ(n), π(x; q, a) = 1, p≤x n≤x p≤x, p≡a mod q x dt • li(x) = 2 log t , • (m, n) = ggT (m, n) = max{d ∈ N | d|m und d|n}, es wird keine Gefahr der Verwechslung mit einem Intervall bestehen, • kgV (m, n) = min{d ∈ N | m|d und n|d}, • ϕ(q) ist die Eulersche ϕ-Funktion, • µ(d) ist die M¨biussche µ-Funktion, o • x = [x] + {x} mit [x] = max{n ∈ Z | n ≤ x}. • Seien X ⊂ C und g : X → C, f : X → [0, ∞) Funktionen. Dann schreiben wir g(x) = O(f (x)) bzw. gleichbedeutend g(x) f (x) (auch f (x) g(x)), falls ∃ C ∈ R ∀ x ∈ X : |g(x)| ≤ Cf (x). Dabei wird X in der Regel aus dem Kontext ersichtlich sein. Die Konstante C nennen wir auch implizite Konstante. 4
  5. 5. Meist werden die Funktionen g und f von verschiedenen Parametern abh¨ngen. a Dann h¨ngt die implizite Konstante in der Regel auch von diesen Parametern a ab. Manchmal werden wir dies durch die Schreibweise OA (f (x)) bzw. A f (x) kennzeichnen, was bedeutet, dass C von A abh¨ngt.a g(x) Weiterhin schreiben wir g(x) = o(f (x)), falls f (x) → 0 f¨r x → ∞. u • Wenn wir f¨r ein s ∈ C schreiben s = σ + it, so gilt die stille Vereinbarung, u dass σ, t ∈ R. Wir schreiben Re{s} = σ und Im{s} = t. Wenn wir sagen, dass s komplex ist, so bedeutet dies, dass s ∈ R. / • Wir vereinbaren folgende Abk¨rzungen f¨r x, y > 0 : logy x := (log x)y und u u log xy := log(xy). • χ steht f¨r einen Dirichlet-Charakter (mod q) und χ0 f¨r den Hauptcharakter u u (mod q). Unter einem Charakter χ = χ0 verstehen wir einen Dirichlet-Charakter χ, der ungleich dem Hauptcharakter ist. Unter einer Dirichletschen L-Funktion verstehen wir die Funktion ∞ L(s, χ) = χ(n)n−s , n=1 abh¨ngig von der komplexen Ver¨nderlichen s. a a Mit ord χ bezeichnen wir die Ordnung des Charakters χ in der Gruppe der Dirichlet-Charaktere mod q. Ist ord χ = 2, so ist χ(n) reellwertig, wir sagen auch χ ist ein reeller Charakter. Ist ord χ ≥ 3, so nennen wir χ einen komplexen Charakter. Zus¨tzlich gelten die folgenden Vereinbarungen: a • Wir benutzen die Abk¨rzung L := log q. u • ε steht immer f¨r eine reelle und positive Konstante. Diese ist keineswegs immer u gleich und kann von Zeile zu Zeile variieren. • Wir beweisen die meisten Resultate nur unter der Bedingung q ≥ q0 , wobei q0 jeweils eine absolute hinreichend große Konstante ist. Das werden wir nicht immer explizit erw¨hnen. Weiterhin weisen wir darauf hin, dass jegliche implizite a Konstanten in den Kapiteln 2 bis 4 dieser Arbeit effektiv berechenbar sind. Schließlich geben wir hier eine Liste von ausgew¨hlten Bezeichnungen an, die wir im a Laufe der Arbeit definieren und benutzen werden: • p(a, q), P (q) (S.6) • K(s, χ) (S.14) • φ = φ(χ), Bedingung 1 und 2, Laplace-Transformierte F von f (S.14-15) • R0 (K), L1 (S.16) • R, A1 , A2 (S.16) • χj , ρj , βj , γj , λj , µj , ρ , β , γ , λ , µ (S.18) • γ, g(t), f (t), F (z) (S.21-22) • Σ, h(x), H(z), ρ , R1 , H2 (z) (S.23-25) • A(s1 , s2 , t), Asup (S.27) • K0 (s, χ) (S.34) • Tabellen 2-3 (S.38), Tabellen 4-10 (S.45-49), Tabellen 12-13 (S.66) • χ(j) , ρ(j) , β (j) , γ (j) , λ(j) , µ(j) , N (λ) (S.55) 5
  6. 6. 1.3 Einfuhrung in die Problematik ¨ Im Folgenden seien immer a, q ∈ N mit (a, q) = 1. Dirichlet bewies 1837, dass die arithmetische Progression {a + jq | j ∈ N0 } unendlich viele Primzahlen enth¨lt. Dies a wurde sp¨ter durch den Primzahlsatz f¨r arithmetische Progressionen (1896 durch de a u la Vall´e-Poussin) pr¨zisiert, n¨mlich e a a x x π(x; q, a) = + oq . (1.1) ϕ(q) log x log x Viel Interesse hat die Frage erzeugt, inwiefern (1.1) gleichm¨ßig in q ist (siehe z.B. a [14, Kapitel 17]). Man kann zwar keine genau Formel im Stile von (1.1) f¨r x ≈ q u erwarten, da die betrachtete arithmetische Progression in [1, q] nur ein Element hat. Eine nicht-triviale Formel daf¨r w¨rde bedeuten, dass man angeben kann, ob die Zahl u u a prim ist oder nicht, was nat¨rlich so ohne weiteres nicht geht. u Ist jedoch x groß genug in Abh¨ngigkeit von q, so ist die Aussage des Siegel-Walfisz a Theorems (1936) nicht-trivial: F¨r x ≥ 2 und A > 3 gilt (siehe z.B. [14, S.124]) u li(x) x π(x; q, a) = + OA , (1.2) ϕ(q) logA x wobei die implizite Konstante von A abh¨ngt, aber nicht effektiv berechenbar ist. Man a beachte, dass f¨r q A logA−2 x der Hauptterm in letzterer Gleichung von gr¨ßerer u o Ordnung ist als der Fehlerterm. Da nun der Hauptterm unabh¨ngig von a ist und wir a ε A beliebig groß w¨hlen k¨nnen, bedeutet dies, dass f¨r e(q ) ε x eine Gleichvertei- a o u ” lung“ der Primzahlen innerhalb der ϕ(q) verschiedenen arithmetischen Progressionen a mod q vorliegt. Aus der Verallgemeinerten Riemannschen Vermutung f¨r die Dirichletschen L-Funktionen1 u folgt noch mehr, n¨mlich f¨r x ≥ 2 ([22, S.426]) a u li(x) 1 π(x; q, a) = + O(x 2 log x). (1.3) ϕ(q) Dies liefert Gleichverteilung“ der Primzahlen in den verschiedenen arithmetischen ” Progressionen bereits ab q 2+ε ε x. Verwandt mit der Frage, ab wann in den obigen Gleichungen der Hauptterm von gr¨ßerer Ordnung ist als der Fehlerterm, ist die Frage, wie groß die erste Primzahl in o einer arithmetischen Progression ist. Mit anderen Worten: Sei q fest. Wie groß muss man x w¨hlen, damit f¨r alle a mit (a, q) = 1 gilt, dass π(x; q, a) > 0 ? Wir f¨hren a u u folgende Notationen ein: p(a, q) := min{p ∈ P | p ≡ a mod q} und P (q) := max{p(a, q) | a ∈ N, a ≤ q, (a, q) = 1} = min{p ∈ P | π(p; q, a) > 0 f¨r a ∈ N, a ≤ q, (a, q) = 1}. u Wir interessieren uns nun f¨r die Gr¨ßenordnung von P (q). Eine untere Schranke u o bekommt man sofort aus der Ungleichung π(P (q)) ≥ #{a ∈ N | a ≤ q, (a, q) = 1} = ϕ(q). Daraus folgt f¨r q → ∞, dass u P (q) ≥ (1 + o(1))ϕ(q) log q, (1.4) 1 Diese Vermutung besagt, dass f¨ r einen Charakter χ mod q die nicht-trivialen Nullstellen von u L(s, χ) auf der Geraden Re{s} = 1 liegen. 2 6
  7. 7. da man sonst einen Widerspruch zum Primzahlsatz bek¨me2 . Was obere Schranken a ε angeht, so liefert (1.2) sofort π(x; q, a) > 0 f¨r e(q ) ε x unabh¨ngig von a, also u a ε P (q) ε e(q ) . Setzt man die Verallgemeinerte Riemannsche Vermutung f¨r L(s, χ) voraus, bzw. u (1.3), so erh¨lt man a P (q) ε q 2+ε . Man vermutet sogar eine noch st¨rkere Version von (1.3), welche a P (q) ε q 1+ε zur Folge hat (siehe z.B. [14, S.419], [1, S.1]). S.S.Wagstaff (1979, [29]) vermutet ¨ letztendlich aufgrund von heuristischen Uberlegungen, dass P (q) ≈ ϕ(q) log2 q. In diesem Zusammenhang ist nun das folgende Ergebnis von Yu. V. Linnik bemer- kenswert (1944 - [18], [19]), n¨mlich a P (q) ≤ Cq L (1.5) mit effektiv berechenbaren positiven Konstanten C und L. Die Zahl L, die hier auf- taucht, wird manchmal Linniksche Konstante“ genannt und ist nat¨rlich nicht ein- u ” deutig, da letztere Ungleichung f¨r verschiedene L gelten kann3 . Wir werden in dieser u Arbeit das Resultat (1.5) auch als Theorem von Linnik“ bezeichnen. ” Linnik selbst gab keinen konkreten zul¨ssigen Wert f¨r L an. C. D. Pan holte dies a u 1957 nach. Der zul¨ssige Wert f¨r L wurde seitdem mehrmals verbessert. Es folgt eine a u Liste von bisher bewiesenen Verbesserungen. Tabelle 1. Zul¨ssige Werte f¨ r L a u L Jahr Autor Referenz 10000 1957 Pan [25] 5448 1958 Pan [26] 777 1965 Chen [4] 630 1971 Jutila [28, S.370] 550 1970 Jutila [15] 168 1977 Chen [5] 80 1977 Jutila [16] 36 1977 Graham [8] 20 1981 Graham [10] 17 1979 Chen [6] 16 1986 Wang [30] 13.5 1989 Chen und Liu [7] 5.5 1992 Heath-Brown [12] Wie wird nun das Theorem von Linnik bewiesen und wie kann man den zul¨ssigen a Wert f¨r L verbessern? Die Behandlungen dieses Theorems basieren in der Regel auf u 2 Wir erinnern daran, dass f¨r n ≥ 2 gilt u n ≤ ϕ(n) ≤ n − 1. 4 log n 3 Man kann die Linniksche Konstante“ auch als das Infimum von denjenigen Konstanten L defi- ” nieren, die in (1.5) zul¨ssig sind. Dann hat man Eindeutigkeit. a 7
  8. 8. den folgenden drei Prinzipien. Das erste Prinzip ist dabei allgemein bekannt ([2, Satz 3.1.4]). Prinzip 2 und 3 gehen zur¨ck auf Linnik ([18], [19]): u Prinzip 1 ( Nullstellenfreie Region“) Es gibt eine effektiv berechenbare posi- ” tive Konstante c1 , so dass L(s, χ) (1.6) χ mod q h¨chstens eine Nullstelle in der Region o c1 c1 σ ≥1− := {σ + it ∈ C | σ ≥ 1 − } log q(2 + |t|) log(q(2 + |t|)) hat. Wenn diese Ausnahmenullstelle (auch genannt: Siegel-Nullstelle“ oder Siegel- ” ” Landau-Nullstelle“) existiert, so ist sie reell, einfach und geh¨rt zu einem reellen o Charakter χ = χ0 . Prinzip 2 ( Deuring-Heilbronn Ph¨nomen“) Es gibt eine effektiv berechen- a ” bare positive Konstante c2 , so dass, wenn die Ausnahmenullstelle in Prinzip 1 existiert und gleich 1 − λ1 (log q)−1 ist, dann hat die Funktion (1.6) keine weiteren Nullstellen in der Region c2 log(λ−1 ) 1 σ ≥1− . log q(2 + |t|) Letzteres Ph¨nomen wird auch als Nullstellen-Abstoßung“ bezeichnet, weil die Exis- a ” tenz einer Ausnahmenullstelle nah bei s = 1 erzwingt, dass alle weiteren Nullstellen viel weiter links“ von s = 1 liegen m¨ssen. Letztere werden sozusagen abgestoßen“. u ” ” Prinzip 3 ( Log-Freie Absch¨tzung der Nullstellendichte“) Es gibt zwei a ” 1 effektiv berechenbare positive Konstanten c3 und c4 , so dass f¨r T ≥ 1 und σ ∈ [ 2 , 1] u gilt: N (σ, T, χ) ≤ c3 (qT )c4 (1−σ) . χ mod q Dabei ist N (σ, T, χ) = #{ρ ∈ C | L(ρ, χ) = 0, Re{ρ} ≥ σ, |Im{ρ}| ≤ T }. Der Wert der Konstanten L, f¨r die man das Theorem von Linnik beweisen kann, u h¨ngt direkt von den Konstanten c1 , c2 , c3 und c4 ab. Dabei ist es durchaus m¨glich a o und sp¨ter auch der Fall, dass zu obigen Prinzipien verwandte Theoreme zu Verbes- a serungen f¨r die zul¨ssige Konstante L f¨hren. Ein solches verwandtes Theorem w¨re u a u a z.B. der Nachweis einer bis auf zwei Nullstellen nullstellenfreien Region. Unter gewissen Voraussetzungen kann man den zul¨ssigen Wert f¨r L verbessern. Hat a u q beschr¨nkten Kubikanteil4 , so ist a L = 4.5 zul¨ssig (Z. Meng, [21]). Seien c1 und λ1 so definiert wie in Prinzip 1 und 2. Existiert a die Ausnahmenullstelle und ist λ1 ≤ λ(ε) f¨r ein hinreichend kleines von q unabh¨ngi- u a ges λ(ε) > 0, so ist L=3+ε zul¨ssig (Heath-Brown, [11]). Gilt Prinzip 1 f¨r beliebig großes c1 (und ab q ≥ q0 (c1 )) a u und existiert die Ausnahmenullstelle nicht, so bekommt man (siehe Bemerkung in [12, S.269]) L = 2.4 + ε. 4 Sei q = uv 3 mit u, v ∈ N. Weiterhin gelte p3 u f¨ r alle p ∈ P. Dann nennen wir v 3 (eindeutig) u den Kubikanteil von q. 8
  9. 9. Den gleichen Wert f¨r L erh¨lt H. Iwaniec ([13]) auch f¨r jene q, deren Primteiler aus u a u einer festen endlichen Menge stammen. Schließlich erinnern wir noch einmal an die weiter oben erw¨hnte Aussage, dass unter der Voraussetzung der Verallgemeinerten a Riemannschen Vermutung f¨r L(s, χ) man u L=2+ε bekommt. Nach diesen Vorbemerkungen m¨chten wir jetzt Ziel und Inhalt der vorliegenden o Diplomarbeit benennen. Die letzte Verbesserung der zul¨ssigen Linnikschen Konstan- a te auf L = 5.5 wurde durch Heath-Brown im Jahr 1992 bewiesen. Im besagten Artikel werden am Ende ([12, S.332-337]) neun Verbesserungspotentiale angegeben, mit de- nen die Argumente des Artikels leicht verbessert bzw. verfeinert werden k¨nnen. Wir o gehen in dieser Diplomarbeit die neun Potentiale durch und verbessern damit die Zwischenergebnisse in [12], sowie den zul¨ssigen Wert f¨r die Konstante L. a u An dieser Stelle m¨chten wir noch erw¨hnen, dass die Konstanten, die Heath- o a Brown in [12] f¨r die verschiedenen nullstellenfreien Regionen bekommt, im Allgemei- u nen deutlich besser sind, als die analogen Resultate anderer Autoren. Eine Ausnahme bildet der (recht spezielle) Fall, dass man Prinzip 1 nur f¨r reelle Charaktere χ = χ0 u und reelle Nullstellen betrachtet. F¨r diesen Fall beweist J. Pintz mit einer anderen u Vorgehensweise die Konstante c1 = 4 + o(1) ([27]), was schon recht besser ist als die Absch¨tzung mit der Konstanten 2.427 . . . aus [12, Lemma 8.2]. Heath-Brown weist a darauf hin ([12, S.269 oben]), dass dies vermuten l¨sst, dass es weiterhin Raum f¨r a u Verbesserungen gibt f¨r die aus seiner Methode erhaltenen nullstellenfreien Regionen. u In diesem Zusammenhang weisen wir daraufhin, dass wir in dieser Arbeit zwar viele Zwischenergebnisse aus [12] verbessern konnten. Dies trifft aber nicht auf den eben genannten Wert c1 = 2.427 . . . zu. 1.4 Zusammenfassung der Ergebnisse Wir verbessern die Konstante von L = 5.5 auf L = 5.2: Theorem 1.1. Es gilt P (q) q 5.2 mit einer effektiv berechenbaren impliziten Konstanten. Die bestm¨gliche Konstante, die wir erreichen k¨nnten, ist dabei nicht die glatte“ o o ” Zahl L = 5.2, sondern eine nichtglatte“ Zahl leicht unterhalb von 5.2. Außerdem ” weisen wir darauf hin, dass man die Anzahl der Computerberechnungen in dieser Arbeit h¨tte exzessiv erh¨hen k¨nnen. Aufgrund gewisser Untersuchungen vermuten a o o wir, dass man dann die zul¨ssige Konstante bis auf L = 5.14 h¨tte verbessern k¨nnen. a a o Dies haben wir jedoch nicht bewiesen. Weiterhin sind in dieser Arbeit mehrere kleine Zwischenergebnisse enthalten, die die entsprechenden Zwischenergebnisse aus [12] geringf¨gig verbessern. An dieser Stel- u le m¨chten wir nur das Folgende hervorheben, bei dem wir eine Verbesserung der auf- o tretenden Konstanten von 0.348 ([12, Theorem 1, S.268]) auf 0.440 bekommen haben: Theorem 1.2. Es gibt eine effektiv berechenbare Konstante q0 in R, so dass f¨r u q ≥ q0 die Funktion (1.6) h¨chstens eine Nullstelle in der Region o 0.440 σ ≥1− , |t| ≤ 1 log q 9
  10. 10. hat. Wenn diese Ausnahmenullstelle existiert, so ist sie reell, einfach und geh¨rt zu o einem reellen Charakter χ = χ0 . Bemerkung. Durch eine kleine Variation der Schlussweise von Heath-Brown beweisen Liu und Wang (1998, [20, S.345-346]) Theorem 1.2 mit der Konstanten 0.364. 1.5 Kommentare zur Diplomarbeit Allgemeines Diese Diplomarbeit basiert vollst¨ndig auf dem Artikel [12] von Heath-Brown. Jedoch a haben wir versucht die Arbeit so zu erstellen, dass sie m¨glichst ohne die Hinzunah- o me des hiesigen Artikels nachvollziehbar ist. Zu diesem Zweck stellen wir in Kapitel 2 einige wesentliche Lemmata und Methoden aus [12] zusammen. In Kapitel 3 diskutie- ren wir einen Teil der Verbesserungspotentiale und verbessern oder erweitern damit einige Zwischenresultate aus [12]. In Kapitel 4 benutzen wir die Resultate aus Kapitel 3, um Theorem 1.1 zu beweisen. Jene Verbesserungspotentiale, aus denen wir keine nennenswerten Verbesserungen“ f¨r die Endkonstante L bekommen, diskutieren wir u ” abschließend kurz in Kapitel 5. An gewissen Stellen dieser Arbeit mag sich der Leser fragen, warum wir mal sehr genau und mal recht grob vorgegangen sind. Da die gesamte Arbeit sehr rechenlastig ist, haben wir in der Regel versucht nur so viele Rechnungen und Fallunterscheidungen durchzuf¨hren, als f¨r unser optimales Endergebnis (also L = 5.2) notwendig ist. Die u u Entscheidung an welchen Stellen wir genauer und an welchen ungenauer vorgehen w¨rden ergab sich in der Regel nicht durch Zufall, sondern resultierte aus bereits u gemachten genaueren Rechnungen. An dieser Stelle m¨chten wir noch einmal auf die in der Notation vereinbarte o Abk¨rzung u L = log q hinweisen. Weiterhin beweisen wir jegliche Resultate meist nur f¨r q ≥ q0 , wobei q0 u immer eine effektiv berechenbare hinreichend große Konstante ist. Zum Beitrag der Verbesserungspotentiale f¨ r das Endresultat L = 5.2“ u ” Von den neun Verbesserungspotentialen in [12, S.332-337], nennen wir sie VB1 bis VB9, lieferten VB1, VB3 und VB6 Verbesserungen, die nicht nennenswert“ waren5 . ” VB8 lieferte zwar eine Verbesserung von mehreren Hundertstel“ (wir beziehen uns ” immer auf die Konstante L), aber dies nur f¨r einen Teil der auftretenden F¨lle, f¨r u a u o ¨ den wir keine weitere Verbesserung n¨tig hatten. Ahnliches gilt f¨r VB4. Deswegen u haben wir VB1, VB3, VB4, VB6 und VB8 am Ende nicht benutzt. Die Anwendung von VB2 in §3.2, sowie in Verbindung mit VB5 in §3.3 und §3.4.1, liefert ca. 0.15-0.20 Verbesserung“. Weiterhin benutzen wir VB2 in §3.4.2 f¨r eine u ” etwas erweiterte Analyse von [12, §10], was ca. 0.05 Verbesserung“ liefert. VB7 (§3.6) ” liefert eine Verbesserung von ca. 0.02 und VB9 (§3.7) nochmal um ca. 0.05. Man beachte, dass s¨mtliche genannten Verbesserungswerte nur als ungef¨hre Gr¨ßen- a a o ordnungen zu verstehen sind. Eine genaue Zuordnung, welches Potential wieviel zum Endergebnis L = 5.2 beitr¨gt, ist aufgrund der Zusammenh¨nge untereinander, sowie a a aufgrund der vielen auftretenden F¨lle, ohne weiteres nicht m¨glich. a o 5 Unter nicht nennenswerten“ Verbesserungen verstehen wir jene, die zu weniger als ca. 0.005 ” Verbesserung f¨r die zul¨ssige Endkonstante L f¨hrten. Selbstverst¨ndlich m¨ssen wir dabei betonen, u a u a u dass diese Potentiale, so wie wir sie verwendet haben, keine hilfreichen Verbesserungen lieferten. 10
  11. 11. Außer den neun genannten Potentialen, haben wir zahlreiche weitere (zum Teil recht naive) Ans¨tze ausprobiert, um die Zwischenergebnisse und damit die Endkon- a stante L zu verbessern. Interessanterweise schlugen alle fehl (bis auf einen Ansatz, der leichte Verbesserungen versprach; jedoch h¨tte man dann nicht VB2 anwenden a k¨nnen und damit lohnte sich dieser auch nicht). Es blieb also nur das, was Heath- o Brown schon vorgeschlagen hatte. Zu den Berechnungen Weiterhin m¨ssen wir betonen, dass diese Arbeit - genauso wie der Artikel [12] (ver- u gleiche Bemerkung in letzterem Artikel auf Seite 269 unten) - sich stark auf Com- puterberechnungen st¨tzt. Dies ist notwendig, da wir ja die best-m¨gliche Konstante u o erzielen m¨chten. Deswegen darf man die Terme in den auftretenden Ungleichungen o nicht zu sehr vereinfachen, sondern rechnet mit den komplizierten Termen weiter. Die Berechnungen wurden mit dem Computer-Algebra-Programm Maple 12.0 auf einem Laptop mit einem Intel Core Duo 2 GHz-Prozessor und 2 GB Ram durch- gef¨hrt. Auf Anfrage stellen wir gerne jegliche benutzten Prozeduren und durchgef¨hr- u u ten Rechnungen zur Verf¨gung. u Im Laufe der Arbeit war es n¨tig (und zwar immer dann, wenn die Methode aus o §3.1 angewendet wurde) eine große Anzahl von gewissen Integralen zu berechnen. Einerseits berechneten wir eine explizite Form dieser Integrale (was angesichts einer existierenden Stammfunktion m¨glich war) und ließen Maple damit die Werte der In- o tegrale berechnen. Andererseits verwendeten wir zur Kontrolle die normale zugeh¨rige o Maple-Prozedur, welche numerisch integriert. Die Werte, die aus den beiden verschie- denen Methoden resultierten, stimmten dabei bis zur ca. neunten Stelle6 uberein. ¨ Diese Fehlertoleranz ist nicht uberraschend, da wir im Falle der numerischen Inte- ¨ grationen mit 10 Stellen Rechengenauigkeit rechneten. Allgemein ließen wir Maple mit mindestens 10 Stellen Rechengenauigkeit rechnen, was eine h¨here Genauigkeit o darstellt, als wir f¨r unsere Resultate benutzten. u 1.6 Danksagung Ich m¨chte Herrn PD Dr. B. Z. Moroz f¨r die Betreuung und konstante Unterst¨tzung o u u w¨hrend der gesamten Bearbeitungszeit dieser Diplomarbeit eingehend danken. a 6 Die Nummerierung der Stellen beginnen wir dabei ab der ersten Stelle, die ungleich Null ist. 11
  12. 12. Kapitel 2 Die Arbeit von Heath-Brown Wie in der Einf¨hrung erw¨hnt, basiert diese Diplomarbeit vollst¨ndig auf dem Ar- u a a tikel [12]. Deswegen m¨chten wir in diesem Kapitel gewisse Lemmata und Methoden o aus [12] vorstellen, die wir sp¨ter ben¨tigen. Bei zwei Lemmata werden wir die kur- a o zen Beweise miteinf¨gen, weil die entsprechenden Sachverhalte in [12] eher beil¨ufig u a erkl¨rt werden und nicht einwandfrei zitierbar sind. a Schließlich werden wir auch den Zusammenhang zwischen den Nullstellen der Dirich- letschen L-Funktionen und dem Theorem von Linnik skizzieren. 2.1 Nullstellenfreie Regionen 2.1.1 Verbesserung der Standardmethode durch [12] Wir m¨chten hier erst die ubliche Methode ( Standardmethode“) vorstellen, mit der o ¨ ” man Prinzip 1 aus §1 beweist, um dann aufzuzeigen wie diese in [12] verbessert wird. Wir betrachten also f¨r einen Charakter χ die Funktion L(s, χ). Der Einfachheit hal- u ber setzen wir voraus, dass χ2 = χ0 und dass q groß genug ist. Außerdem betrachten wir nur Nullstellen ρ mit |Im{ρ}| ≤ L (= log q). Man beachte, dass der Beweis f¨r u die verbleibenden F¨lle, als auch der Beweis f¨r Prinzip 2, v¨llig analog abl¨uft. a u o a Nun also zur Standardmethode. Man betrachtet die reellwertige Funktion ∞ L Λ(n) χ(n) w(σ + it) := Re − (σ + it, χ) = Re (σ > 1, t ∈ R). L n=1 nσ nit Aus der Ungleichung 0 ≤ 2(1 + cos θ)2 = 3 + 4 cos θ + cos 2θ folgert man dann (setze θ = arg(χ(n)) − t log n, wobei ei arg(χ(n)) = χ(n), multipliziere mit Λ(n)n−σ und summiere uber n) ¨ ζ L L 0 ≤ −3 (σ) − 4Re (σ + it, χ) − Re (σ + 2it, χ2 ) (σ > 1, t ∈ R). (2.1) ζ L L 12
  13. 13. Die Funktion (L /L)(s, χ) ist meromorph und hat bei den Nullstellen ρ von L(s, χ) Pole erster Ordnung. Also gilt1 f¨r eine Nullstelle ρ u lim s→ρ w(s) = −∞. Re{s−ρ}≥0 Die Idee ist nun grob gesagt die Folgende. Dazu lassen wir die Voraussetzung σ > 1 in (2.1) mal kurz außer Acht: Sei ρ0 = σ0 + it0 eine nicht-triviale Nullstelle von L(s, χ). Setzen wir t = t0 in (2.1) und lassen wir dort das σ von rechts gegen σ0 ge- hen, so wird der zweite Term in (2.1) wegen der Poleigenschaft gegen −4∞“ gehen, ” der erste Term geht gegen etwas, dass ≤ +3∞“ ist und der dritte Term ist nach ” oben beschr¨nkt. Insgesamt bek¨men wir 0 ≤ −∞ + C“, also einen Widerspruch, a a ” wenn σ hinreichend nah bei σ0 ist. Das Ergebnis: Die Nullstelle ρ0 darf nicht zu nah“ ” an irgendeinem Wert σ +it liegen, der in die Ungleichung (2.1) eingesetzt werden darf. Wir m¨chten die eben genannte Idee pr¨zisieren. Dazu brauchen wir konkrete Absch¨tzun- o a a gen der drei Terme auf der rechten Seite von (2.1). Diese erh¨lt man im Wesentlichen a aus der Partialbruchzerlegung von (L /L)(s, χ) (vergleiche z.B. [12, S.273], [24, Solu- tion 6.5.9]). F¨r 1 < σ < 2, |t| ≤ L , ε > 0 und q ≥ q0 (ε) gilt u ζ 1 − (σ) < + εL , (2.2) ζ σ−1 L 1 1 − Re (σ + it, χ) <− Re + ( + ε)L . (2.3) L ρ s−ρ 2 Wegen Re{1/(s − ρ)} ≥ 0 folgt aus der letzten Ungleichung L 1 1 − Re (σ + it0 , χ) <− + ( + ε)L , (2.4) L σ − σ0 2 L 1 − Re (σ + 2it0 , χ2 ) < ( + ε)L . (2.5) L 2 Aus (2.1)-(2.5) folgt dann f¨r 1 < σ < 2, dass u 3 4 5 0≤ − + ( + 8ε)L σ − 1 σ − σ0 2 und daraus f¨r eine Konstante C > 0, dass σ0 < 1 − CL −1 . u Welche Ver¨nderungen nimmt nun Heath-Brown an diesem Standardargument a vor, um die nullstellenfreie Region f¨r L(s, χ) zu verbessern? u 1 • Offensichtlich spielt die Konstante 2 in (2.3) eine wichtige Rolle f¨r die Weite u der resultierenden nullstellenfreien Region bzw. f¨r den Wert der Konstanten u C. Indem Heath-Brown die meisten Nullstellen in der Summe in (2.3) wegl¨sst, a ist er in der Lage die Konstante auf 1 (bzw. in manchen Spezialf¨llen 1 ) zu 6 a 8 verbessern ([12, Lemma 3.1]). 1 W¨hle dazu eine Nullstelle ρ von L(s, χ), setze s − ρ = reiθ (r ≥ 0, θ ∈ R) und k gleich der a Nullstellenordnung von ρ. Aus der Poleigenschaft von ρ folgt, dass es eine in ρ holomorphe Funktion w1 (s) gibt, so dass in einer Umgebung von ρ gilt −k cos θ w(s) = Re{w1 (s)} + Re = O(1) − k . s−ρ r Letzteres geht f¨r r → 0 und cos θ ≥ 0 gegen −∞. Diese beiden Bedingungen sind aber genau die u genannten Bedingungen s → ρ und Re{s − ρ} ≥ 0. 13
  14. 14. • Eine erste spezielle Methode, die in [12] benutzt wird, besteht darin zus¨tzlich a zur Funktion (L /L)(s, χ) auch ihre k-te Ableitung (k) L (s, χ) L zu verwenden ([12, §4]). Man erh¨lt dann verschiedene neue Ungleichungen von a ahnlichem Typ wie (2.1)-(2.3). Durch geschicktes Kombinieren solcher Unglei- ¨ chungen erh¨lt man letztendlich Verbesserungen der nullstellenfreien Region. a Diese Methode wird in unserer Arbeit jedoch gar nicht vorkommen. Der Grund ist, dass sich f¨r uns die nachfolgend genannte zweite Methode in Verbindung u mit Verbesserungspotential Nr. 2 als uberlegen erwies. ¨ • Eine zweite, sehr hilfreiche Methode aus [12] liegt darin, anstelle von ∞ L χ(n) −Re (s, χ) = Λ(n)Re L n=1 ns die Variante ∞ χ(n) K(s, χ) := Λ(n)Re f (L −1 log n) n=1 ns zu betrachten. Dabei wird f aus einer gewissen Menge von Funktionen gew¨hlt, a die ab einer Stelle x0 > 0 gleich Null sind und die eine zu Re{1/(s − ρ)} ≥ 0 analoge Bedingung erf¨llen. u Ein Vorteil dieser Methode ist, dass man f aus einer gr¨ßeren Menge von Funk- o tionen w¨hlen kann, insbesondere so w¨hlen kann, dass die resultierenden Kon- a a stanten bestm¨glich werden. Außerdem wird man, da f gr¨ßtenteils gleich Null o o ist, in den zu (2.1) analogen Ungleichungen auch Werte f¨r s einsetzen k¨nnen, u o die links von Re{s} = 1 liegen, was wiederum vorteilhaft ist. Im folgenden Abschnitt m¨chten wir die beiden f¨r K(s, χ) resultierenden Ana- o u loga zu (2.2) und (2.3) zitieren. 2.1.2 Zwei wichtige Lemmata ([12, §5]) Sei χ ein Charakter mod q mit χ = χ0 . Heath-Brown ordnet dem Charakter χ den Wert φ(χ) zu durch (vergleiche [12, Lemma 2.5])  4 falls q kubik-frei2 oder ord χ ≤ L ,  1 φ = φ(χ) =  1 3 sonst. Dieses φ stammt aus einer Absch¨tzung f¨r die Funktion L(s, χ), welche eben f¨r a u u gewisse Spezialf¨lle verbessert werden kann. a Es sei erw¨hnt, dass nahezu s¨mtliche Zwischenergebnisse und damit auch die letzt- a a endlich zul¨ssige Linniksche Konstante L von der Gr¨ße des φ abh¨ngen. Je kleiner a o a das φ, desto besser die Ergebnisse. In diese Richtung zeigt Meng in [21] durch Durch- gehen des Artikels [12] mit φ = 1 , dass f¨r q mit beschr¨nktem Kubikanteil (Definition 4 u a von Kubikanteil in der Fußnote auf S.8) gilt: P (q) q 4.5 . In dieser Arbeit werden 1 wir jedoch wie in [12] meist φ = 3 nehmen m¨ssen.u Wir definieren noch die beiden folgenden Bedingungen an eine Funktion f . Bedingung 1 ([12, S.280]) Sei x0 > 0 und sei f : [0, ∞) → R eine stetige Funkti- on mit f (x) = 0 f¨r x ≥ x0 . Weiterhin sei B > 0 eine Konstante, so dass f¨r alle u u 2 Das bedeutet, dass f¨r alle Primzahlen p gilt p3 q. u 14
  15. 15. x ∈ (0, x0 ) die Funktion f zwei Mal stetig differenzierbar ist und |f (x)| ≤ B. Wenn nun f Bedingung 1 erf¨llt, so ist f (t) als stetige Funktion, die f¨r t ≥ x0 gleich u u Null ist, auch beschr¨nkt. Aus der Beschr¨nktheit von f (t) auf (0, x0 ) folgt außer- a a dem, dass auch f (t) auf (0, x0 ) beschr¨nkt ist (siehe [12, (5.1)]) und dass die beiden a Grenzwerte lim f (x) und lim f (x) in R existieren. x→0+ x→x− 0 Bedingung 2 ([12, S.286]) Es sei f (t) ≥ 0 f¨r t ∈ [0, ∞). Die Laplace-Transformierte u ∞ F (z) := e−zt f (t) dt 0 von f erf¨lle f¨r Re{z} ≥ 0 die Ungleichung Re{F (z)} ≥ 0. u u Allgemein gilt f¨r die gesamte Arbeit, dass mit F (z) immer die Laplace-Transformierte u der Funktion f (t) gemeint ist, wobei letztere Funktion aus dem Zusammenhang er- sichtlich sein wird. In §2.1.4 werden wir konkrete Beispiele f¨r Funktionen f vorstellen, die diese beiden u Bedingungen erf¨llen. Wir kommen jetzt zu den beiden Lemmata. u Lemma 2.1 (Lemma 5.3 aus [12]). Sei s = σ + it ∈ C mit 1 (log L ) 2 |σ − 1| ≤ , |t| ≤ L . L Weiterhin sei f eine Funktion, die Bedingung 1 erf¨llt. Dann gilt u ∞ χ0 (n) L Λ(n) f (L −1 log n) = L (F ((s − 1)L )) + O , n=1 ns log L wobei die implizite Konstante beim Groß O“ nur von f abh¨ngt. a ” Lemma 2.2 (Lemma 5.2 aus [12]). Sei χ = χ0 ein Charakter mod q und φ = φ(χ) so definiert wie zu Beginn dieses Unterabschnitts. Ferner sei s = σ + it ∈ C mit 1 (log L ) 2 |σ − 1| ≤ , |t| ≤ L . (2.6) L Weiterhin sei f eine Funktion, die Bedingung 1 erf¨llt und f¨r die f (0) ≥ 0 gilt. Dann u u gibt es f¨r jedes ε > 0 ein δ ∈ (0, 1), das von f , aber nicht von χ, q oder s abh¨ngt, u a und ein q0 = q0 (f, ε) in N, so dass f¨r alle q ≥ q0 gilt u ∞ χ(n) f (0) Λ(n)Re f (L −1 log n) ≤ −L Re{F ((s−ρ)L )}+ φL +εL . n=1 ns 2 |1+it−ρ|≤δ Dabei erstreckt sich die Summation uber jene nicht-trivialen Nullstellen ρ von L(s, χ), ¨ welche die Bedingung |1 + it − ρ| ≤ δ erf¨llen. Jede Nullstelle taucht gem¨ß Ihrer u a Vielfachheit auf. In [12] wird in der Aussage von Lemma 2.2 anstelle von 1 f (0)φL + εL der Term 2 f (0)( 1 φ+ε)L angegeben. Betrachtet man den Beweis des Lemmas, so handelt es sich 2 ¨ offensichtlich um einen Druckfehler. Man beachte, dass diese kleine Anderung jedoch praktisch keinen Unterschied macht: Ist f (0) > 0, so sind beide Terme ¨quivalent“, a ” was durch eine Anpassung des ε folgt. Einen Unterschied gibt es nur f¨r f (0) = 0, u 1 dann w¨re f (0)( 2 φ + ε)L = 0, was nicht zul¨ssig ist. Die benutzten Funktionen f a a werden sp¨ter immer die Bedingung f (0) > 0 erf¨llen. a u Man beachte, dass das Lemma trivialerweise auch dann gilt, wenn man φ durch eine gr¨ßere Zahl ersetzt. Wenn wir sp¨ter also nicht wissen, ob φ = 1 oder φ = 1 ist, so o a 3 4 1 werden wir den gr¨ßeren Wert 3 nehmen. o 15
  16. 16. 2.1.3 Die Anwendung der beiden Lemmata ([12, §6]) F¨r den Beweis des Theorems von Linnik werden am Ende nur jene Nullstellen ρ u relevant sein, die Re{ρ} ≥ 1 − CL −1 und |Im{ρ}| ≤ CL −1 erf¨llen, wobei C eine u absolute positive Konstante ist. Deswegen reicht es aus nur Nullstellen im folgenden Viereck zu betrachten, welches von einem K ∈ N abh¨ngt a log log L R0 (K) := {σ + it ∈ C | 1 − ≤ σ ≤ 1, |t| ≤ K}. (2.7) 3L F¨r K werden wir sp¨ter die von q abh¨ngige Konstante L1 = L1 (q) aus folgendem u a a Lemma w¨hlen. a Lemma 2.3 (Lemma 6.1 aus [12]). Es gibt ein q0 in N und eine von q abh¨ngige a positive ganze Zahl L1 mit L1 ≤ 10 L , so dass f¨r q ≥ q0 die Funktion 1 u L(s, χ) χ mod q keine Nullstellen hat in den beiden Vierecken R0 (10L1 )R0 (L1 ). Mit Hilfe von Lemma 2.3 formulieren wir jetzt Lemma 2.2 insoweit neu, wie wir es sp¨ter f¨r die Anwendung brauchen werden. Dabei speisen wir die Tatsache mit ein, a u dass man bei Lemma 2.2 gewisse endlich viele Nullstellen ρ, die nicht der Bedingung |1 + it − ρ| ≤ δ gen¨gen, mit in die Summe reinnehmen darf, weil die entsprechenden u zus¨tzlichen Terme dann vernachl¨ssigbar klein sind. Dieser Sachverhalt wird in [12, a a S.287 Mitte] kurz angesprochen, aber nicht explizit ausformuliert. Ein weiterer zentraler Aspekt, der in die Neuformulierung miteinfließen wird, ist der Fakt, dass man, wenn f die Bedingung 2 erf¨llt, jegliche Nullstellen ρ mit Re{ρ} ≤ u Re{s} in Lemma 2.2 weglassen darf. Lemma 2.4 ( Arbeitsversion“ von Lemma 5.2 aus [12]). Sei χ = χ0 ein Charakter ” mod q und seien L1 und R := R0 (L1 ) (abh¨ngig von q) so definiert wie in Lemma a 2.3 und (2.7). Weiterhin sei s ∈ R0 (9L1 ) und die Anzahl der Nullstellen2 von L(s, χ) in R, die rechts von s liegen, sei maximal 10, genauer: # A1 := # {ρ ∈ R | L(ρ, χ) = 0, Re{s} < Re{ρ}} ≤ 10, wobei das # “ die Z¨hlung mit Vielfachheit andeutet. Weiter sei A2 eine beliebige a ” Menge mit A2 ⊆ {ρ ∈ R | L(ρ, χ) = 0, Re{ρ} ≤ Re{s}} und # A2 ≤ 10. Nun sei f eine Funktion, die Bedingung 1 und 2 erf¨llt. Dann gilt f¨r ε > 0 und u u q ≥ q0 (f, ε), dass f (0) K(s, χ) ≤ −L Re{F ((s − ρ)L )} + φL + εL , 2 ρ∈A1 ∪A2 wobei ∞ χ(n) K(s, χ) = Λ(n)Re f (L −1 log n). n=1 ns 2 Damit ist die Anzahl der Nullstellen gez¨hlt mit ihrer Vielfachheit gemeint. Allgemein gilt f¨r a u die gesamte Arbeit, dass wir eine Nullstelle ρ der Vielfachheit k ∈ N so behandeln, als handelte es sich um k separate Nullstellen, die eben alle den gleichen Wert haben. 16
  17. 17. Beweis. (vergleiche [12, §6]) ε Sei ε > 0 und s ∈ R0 (9L1 ). Wir benutzen die Aussage in Lemma 2.2 mit 2 anstelle von ε und bekommen feste Parameter δ = δ(f ) und q1 = q1 (f, ε). In der Summe m¨ssen wir die Bedingung ρ ∈ {w ∈ C | |1 + it − w| ≤ δ} durch ρ ∈ A1 ∪ A2 ersetzen. u Der Beweis der folgenden zwei Ungleichungen liefert also die Aussage des Lemmas. − Re{F ((s − ρ)L )} ≤ − Re{F ((s − ρ)L )} |1+it−ρ|≤δ |1+it−ρ|≤δ, ρ∈R, (Re{ρ}≤Re{s}⇒ρ∈A2 ) ε ≤ − Re{F ((s − ρ)L )} + ρ∈R, 2 (Re{ρ}≤Re{s}⇒ρ∈A2 ) ε = − Re{F ((s − ρ)L )} + . 2 ρ∈A1 ∪A2 Zur ersten Ungleichung. Sei ρ gegeben mit |1+it−ρ| ≤ δ. Wegen der Voraussetzung s ∈ R0 (9L1 ) und δ < 1 ≤ L1 folgt |Im{ρ}| ≤ |t| + δ < 10L1 . Aus Lemma 2.3 folgt dann, dass log log L Re{ρ} < 1 − oder ρ ∈ R. 3L Tritt der zweite Fall auf, also ρ ∈ R, so m¨ssen wir nichts weiter machen. Soll- u te der erste Fall eintreten, dann gilt Re{s − ρ} ≥ 0 und nach Bedingung 2 folgt −Re{F ((s − ρ)L )} ≤ 0, so dass wir nach oben absch¨tzen k¨nnen, indem wir diesen a o Term weglassen. Zus¨tzlich lassen wir jegliche ρ weg, welche die beiden Bedingungen Re{ρ} ≤ Re{s} a und ρ ∈ A2 erf¨llen, was wieder nach Bedingung 2 geht. Es folgt die Ungleichung. / u Zur zweiten Ungleichung. Sei ρ ∈ R eine Nullstelle von L(s, χ) mit |1 + it − ρ| > δ. Ist Re{ρ} ≤ Re{s}, so erf¨lle ρ die Bedingung ρ ∈ A2 . Wir m¨ssen zeigen, dass die zu u u ε diesen Nullstellen ρ geh¨rigen Terme einen Beitrag von maximal 2 liefern. Zun¨chst o a haben wir mit der Dreiecksungleichung log log L δ |Im{s − ρ}| = |i(t − Im{ρ})| ≥ |1 + it − ρ| − |1 − Re{ρ}| > δ − > 3L 2 f¨r q ≥ q2 = q2 (δ). Damit ist |Im{(s−ρ)L }| ≥ 2 L und |Re{(s−ρ)L }| ≤ 1 log log L . u δ 3 Schreiben wir nun (s − ρ)L = u + iv, dann folgt mit partieller Integration3 (siehe auch [12, S.280-281]) x0 Re{F ((s − ρ)L )} = f (t)e−ut cos(vt) dt 0 sin(vx0 ) sin(0) = f (x0 )e−ux0 − f (0)e0 v v x0 −ut −ut sin(vt) − f (t)e − uf (t)e dt (2.8) 0 v f,δ L −1 (logx0 L ) log log L . Dabei haben wir benutzt, dass f auf (0, x0 ) beschr¨nkt ist, was weiter oben erw¨hnt a a wurde. Jede anf¨ngliche Nullstelle ρ liefert also f¨r q → ∞ einen Beitrag von of,δ (1). a u Beachte, dass f und δ fest und unabh¨ngig von q sind. Da wegen der Voraussetzungen a 3 Normalerweise wird f¨ r die partielle Integration vorausgesetzt, dass die zu differenzierende Funk- u tion auf dem Intervall einschließlich der Integrationsgrenzen definiert und differenzierbar ist. Unsere Art die partielle Integration anzuwenden, obwohl f nicht in 0 und x0 definiert ist, ist trotzdem kor- rekt, was man schnell aus Bedingung 1 folgern kann (der gleiche Sachverhalt wird in [12, S.280-281] benutzt). Eine Begr¨ndung w¨re f außerhalb von [0, x0 ] passend zu einer Funktion f fortzusetzen, u a so dass f auf [0, x0 ] differenzierbar und f = f auf (0, x0 ) ist. 17
  18. 18. an A1 und A2 nur maximal 20 solche ρ existieren, gibt es ein q3 = q3 (f, δ, ε), so dass ε der Beitrag dieser Nullstellen insgesamt ≤ 2 ist, wenn q ≥ q3 . F¨r das Lemma w¨hlen u a wir q0 = max{q1 , q2 , q3 } und wir sind fertig. Die Zahl 10 im vorigen Lemma war willk¨rlich gew¨hlt. F¨r sp¨ter h¨tte es auch 3 u a u a a getan. Der Beweis h¨tte mit jeder festen Zahl N ∈ N geklappt. a Wir benennen jetzt einige der Nullstellen in diesem Viereck R so, wie es Heath- Brown in [12, S.285 und 287] macht. Man beachte dabei, dass wenn wir im Folgenden von einer speziellen Nullstelle ρ einer Funktion L(s, χ) sprechen, so tun wir das unter der impliziten Voraussetzung, dass diese Nullstelle uberhaupt existiert. ¨ Zu einem festen q betrachte man s¨mtliche in R liegenden Nullstellen ρ der Funktion4 a P (s) := L(s, χ). (2.9) χ mod q, χ=χ0 Sei ρ1 eine Nullstelle von P (s) in R mit maximalem Realteil und χ1 ein dazugeh¨riger o Charakter (also L(ρ1 , χ1 ) = 0). W¨hle nun eine Nullstelle ρ2 von a P (s)(L(s, χ1 )L(s, χ1 ))−1 in R mit maximalem Realteil und schreibe χ2 f¨r den zugeh¨rigen Charakter5 . Ma- u o che so weiter, bis es in R keine weiteren Nullstellen mehr gibt. Mit anderen Worten betrachtet man im (k + 1)-ten Schritt die Nullstellen von P (s)(L(s, χ1 )L(s, χ1 ) . . . L(s, χk )L(s, χk ))−1 in R und w¨hlt ρk+1 unter diesen Nullstellen so, dass Re{ρk+1 } maximal ist. Wir a halten die zentralen Eigenschaften der eben gew¨hlten Nullstellen und Charaktere a fest. Das w¨re einerseits a χi = χj , χj f¨r i = j u und andererseits wegen Lemma 2.3 die Aussage f¨r q ≥ q0 , dass wenn χ = χ0 , χi , χi u ist f¨r 1 ≤ i < k und L(ρ, χ) = 0, dann gilt u Re{ρ} ≤ Re{ρk } oder |Im{ρ}| ≥ 10L1 . (2.10) F¨r die sp¨tere Anwendung setzen wir u a ρk = βk + iγk , βk = 1 − L −1 λk , γk = L −1 µk . Wir betrachten noch eine weitere Nullstelle. Angenommen L(s, χ1 ) hat eine weitere Nullstelle ρ = ρ1 in R oder die Nullstellenordnung der Nullstelle ρ1 von L(s, χ1 ) ist ≥ 2. Dann w¨hlen wir folgendermaßen eine Nullstelle ρ ∈ R von L(s, χ1 ): a • Fall 1: Ist die Nullstellenordnung von ρ1 gr¨ßer oder gleich 2, so w¨hlen wir o a ρ = ρ1 . • Fall 2: Sind wir nicht in Fall 1 und ist χ1 reell und ρ1 komplex, so w¨hlen wir a ρ unter den Nullstellen in R{ρ1 , ρ1 } so, dass Re{ρ } maximal ist. • Fall 3: Sind wir nicht in Fall 1 oder Fall 2, so w¨hlen wir ρ unter den Nullstellen a in R{ρ1 } so, dass Re{ρ } maximal ist. 4 Beachtet man die nullstellenfreie Region der Riemannschen ζ-Funktion, welche sich bekanntlich auf L(s, χ0 ) ubertr¨gt, so folgt, dass L(s, χ0 ) keine Nullstellen in R hat, wenn q groß genug ist. ¨ a 5 Zus¨tzlich zu den Nullstellen von L(s, χ ) wurden auch jene von L(s, χ ) herausgenommen“. a 1 1 ” Das liegt daran, dass ρ ∈ R genau dann eine Nullstelle von L(s, χ) ist, wenn ρ eine Nullstelle von L(s, χ) ist. Kennt man also die Nullstellen von L(s, χ1 ), dann auch jene von L(s, χ1 ). 18
  19. 19. In Analogie zu vorher setzen wir ρ = β + iγ , β = 1 − L −1 λ , γ = L −1 µ . In [12] werden Absch¨tzungen f¨r die Realteile der Nullstellen ρ1 , ρ2 , ρ3 und ρ a u bewiesen. Wie in §2.1.1 angeschnitten wurde, wird dies durch zwei verschiedene Me- thoden erreicht. In dieser Arbeit werden wir nur die zweite in §2.1.1 erw¨hnte Methode a benutzen. Wir m¨chten die Struktur dieser Methode exemplarisch hier vorstellen, in- o dem wir den Beweis eines Teils von Prinzip 1 damit skizzieren: Lemma Angenommen es ist χ2 = χ0 und q ≥ q0 . Dann gibt es eine Konstante C > 0, 1 so dass L(s, χ) χ mod q, χ=χ0 keine Nullstellen hat in σ ≥ 1 − L −1 C, |t| ≤ 1. Beweis. Da f¨r hinreichend großes q die Beziehung u R = R0 (L1 ) ⊇ {σ + it ∈ C | σ ≥ 1 − L −1 C, |t| ≤ 1} gilt, folgt das Lemma aus der Aussage λ1 > C. Dies gilt es nun zu beweisen. 1. Schritt (Anfangsungleichung) Man w¨hle eine scharfe Anfangsungleichung“ aus, beispielsweise a ” 0 ≤ 2(1 + cos(θ))2 = 3 + 4 cos θ + cos 2θ. (2.11) Mit χ1 (n) = ei arg(χ1 (n)) folgt Re{χ1 (n)n−iγ1 } = cos(arg(χ1 (n))−γ1 log n). Setzt man also θ = arg(χ1 (n)) − γ1 log n dann bekommt man χ1 (n) χ2 (n) 1 0 ≤ 3 + 4Re + Re . (2.12) niγ1 n2iγ1 Sei jetzt f eine Funktion, die Bedingung 1 und 2 erf¨llt und β ∈ R. Dann multipliziere u die letzte Ungleichung mit χ0 (n)Λ(n)f (L −1 log n)n−β , summiere uber n und erhalte ¨ das Analogon zu (2.1), n¨mlich (f¨r die Definition von K(s, χ) siehe Lemma 2.4) a u 0 ≤ 3K(β, χ0 ) + 4K(β + iγ1 , χ1 ) + K(β + 2iγ1 , χ2 ). 1 (2.13) Sp¨ter bleibt die Aufgabe die Anfangsungleichung optimal zu w¨hlen. Beispiels- a a weise h¨tte man 0 ≤ (k + cos θ)2 (l + cos θ)2 = . . . w¨hlen k¨nnen, wobei k, l ≥ 0 a a o Parameter sind, die im Nachhinein optimal gew¨hlt werden. Ein Nachteil dieser kom- a plizierteren Ungleichung ist die erh¨hte Anzahl der resultierenden K-Terme“, welche o ” dann in der zu (2.13) analogen Ungleichung auftauchen. Dies zieht eine notwendige Diskussion mehrerer F¨lle nach sich und f¨hrt nicht notwendigerweise zu besseren a u Ergebnissen (in diesem speziellen Fall aber sp¨ter doch). a 2. Schritt (β w¨hlen und mittels Lemmata Ungleichung aufstellen) a Wir m¨ssen einen Wert f¨r β festlegen und w¨hlen β = β1 (sp¨ter wird β = max{β2 , β } u u a a besser sein, dies erfordert aber Zusatz¨berlegungen). Aus Lemma 2.1 folgt f¨r ein u u ε > 0 und q groß genug, dass K(β1 , χ0 ) ≤ L F (−λ1 ) + εL . Was die Absch¨tzung von K(β1 + iγ1 , χ1 ) bzw. K(β1 + 2iγ1 , χ2 ) mittels Lemma 2.4 a 1 angeht (hier brauchen wir χ2 = χ0 ), so ist dies recht leicht, da wir β = β1 gew¨hlt 1 a haben. Ber¨cksichtigen wir die Definition von ρ1 , so ist n¨mlich im letzteren Lemma u a 19
  20. 20. die auftauchende Menge A1 beides Mal leer und wir w¨hlen A2 = {ρ1 } bzw. A2 = ∅. a 1 Mit φ ≤ 3 folgt f (0) K(β1 + iγ1 , χ1 ) ≤ (−F (0) + + ε)L 6 bzw. f (0) K(β1 + 2iγ1 , χ2 ) ≤ ( 1 + ε)L . 6 Nach Anpassung des ε erh¨lt man insgesamt a 5 0 ≤ 3F (−λ1 ) − 4F (0) + f (0) + ε. (2.14) 6 3. Schritt (Ausrechnen und optimieren) W¨re nun λ1 ≤ λ12 f¨r einen konkreten Wert λ12 > 0, dann w¨rde wegen der Mono- a u u tonie von F (−λ1 ) folgen, dass 5 −ε ≤ 3F (−λ12 ) − 4F (0) + f (0). 6 F¨nden wir nun eine Funktion f , die Bedingung 1 und 2 erf¨llt, und f¨r die die a u u letzte rechte Seite negativ ist, so ist dies f¨r hinreichend kleines ε > 0 und q ≥ u q0 (ε) ein Widerspruch. Also haben wir unter diesen Voraussetzungen bewiesen, dass λ1 > λ12 =: C. W¨hlt man speziell die zu γ = 1.9 geh¨rige Funktion f (genaueres a o dazu im n¨chsten Abschnitt), so bekommt man C = 0.144. Die Optimierung nach a der Funktion f erfolgt dabei am besten mittels Computer. Dazu m¨ssen wir aber erst u wissen, welche Funktionen f uberhaupt zur Verf¨gung stehen. Deswegen besch¨ftigen ¨ u a wir uns im n¨chsten Abschnitt mit a 2.1.4 Funktionen, die Bedingung 1 und 2 erfullen ([12, §7]) ¨ Zur Anwendung des zentralen Lemmas 2.4 ben¨tigt man Funktionen f , die Bedingung o 1 und 2 erf¨llen. Bedingung 1 stellt keine H¨rden, Bedingung 2 aber sehr wohl. Heath- u u Brown kreiert in [12, §7] passende Funktionen f , indem er ∞ f (t) = g(x)g(t − x) dx (2.15) −∞ w¨hlt. Dabei sei die Funktion g(x) : R → R stetig und f¨r x ∈ R erf¨lle sie a u u g(x) = g(−x), sowie g(x) ≥ 0. Außerdem sei g(x) = 0 f¨r |x| ≥ γ, wobei γ eine u positive Konstante sei. Um zu zeigen, dass f Bedingung 2 erf¨llt, wird folgendes funktionentheoretisches u Lemma ben¨tigt, welches ein Korollar vom Maximumsprinzip holomorpher Funktio- o nen ist. Lemma 2.5 (Lemma 4.1 aus [12]). Seien F1 (z) und F2 (z) holomorphe Funktionen in H = {z ∈ C | Re{z} ≥ 0} und sei Re{F1 (z)} ≥ |F2 (z)| auf Re{z} = 0. Weiter- hin seien F1 und F2 in H gleichm¨ßig konvergent gegen 0 f¨r |z| → ∞. Dann ist a u Re{F1 (z)} ≥ |F2 (z)| auf ganz H . Damit beweist man Lemma 2.6 (S.289 in [12]). Sei f so definiert wie in (2.15) und g erf¨lle die obigen u Bedingungen. Zus¨tzlich erf¨lle f Bedingung 1. Dann erf¨llt f Bedingung 2. a u u 20
  21. 21. Beweis. Sei F die Laplace-Transformierte von f . Mit den Eigenschaften von g und der Gleichung cos x + cos y = 2 cos x+y cos x−y schlussfolgern wir f¨r y ∈ R 2 2 u ∞ Re{F (iy)} = f (t) cos(yt) dt 0 ∞ ∞ = g(x)g(t − x) cos(yt) dx dt 0 −∞ ∞ ∞ ∞ 0 = g(x)g(t − x) cos(yt) dx dt + g(x)g(t − x) cos(yt) dx dt 0 0 0 −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = g(x)g(t − x) cos(yt) dt dx + g(x)g(t + x) cos(yt) dt dx 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ = g(x)g(l) cos(y(l + x)) dl dx + g(x)g(l) cos(y(l − x)) dl dx 0 −x 0 x ∞ ∞ ∞ ∞ = g(x)g(l) cos(y(l + x)) dl dx + g(x)g(l) cos(y(l − x)) dl dx 0 0 0 0 ∞ 2 = 2 g(t) cos(ty) dt ≥ 0. 0 In Lemma 2.5 w¨hlen wir nun F1 = F und F2 = 0 und beachten, dass F (z) in H a gleichm¨ßig gegen 0 geht, wenn |z| → ∞. Letzteres folgt z.B. aus [12, (5.3),(5.4)] a (beachte, dass f Bedingung 1 erf¨llt). Damit gilt das Lemma. u In der Menge der oben genannten f findet Heath-Brown optimale Elemente durch einen Variationsansatz“: Ziel ist es ja Ausdr¨cke wie die rechte Seite von (2.14) bei u ” festem λ1 durch geschickte Wahl eines f zu minimieren. Geht man davon aus, dass die Funktion ∞ f1 (t) = g1 (x)g1 (t − x) dx −∞ ¨ in diesem Sinne optimal ist, so bedeutet dies, dass kleine Anderungen an g1 dazu f¨hren, dass sich die rechte Seite von (2.14) vergr¨ßert. Aus einem solchen Sachver- u o halt l¨sst sich u.a. extrahieren, dass g1 eine gewisse Differentialgleichung 2. Ordnung a erf¨llen sollte ([12, (7.10)]). Die Analyse f¨hrt letztendlich zu Funktionen f , die aus u u den folgenden Funktionen g resultieren6 (x ∈ (−γ, γ)) g(x) = γ 2 − x2 , g(x) = cos(c1 x) − cos(c1 γ), (2.16) g(x) = cosh(c1 γ) − cosh(c1 x), (2.17) wobei g(x) = 0 gesetzt wird f¨r x ∈ (−γ, γ) und c1 , γ gewisse Parameter sind (verglei- u / che [12, Lemma 7.1-7.5]). F¨r unsere Untersuchungen werden wir nun nur diejenigen u f benutzen, die aus g(x) = γ 2 − x2 resultieren. F¨r diese Funktionen f gilt f (t) = 0 u f¨r t ≥ 2γ und f¨r t ∈ [0, 2γ) u u γ 1 5 2γ 2 3 4γ 3 2 16γ 5 f (t) = g(x)g(t − x) dx = − t + t − t + . (2.18) t−γ 30 3 3 15 Es folgt, dass f Bedingung 1 erf¨llt, also nach obigem Lemma auch Bedingung 2. F¨r u u 6 die zugeh¨rige Laplace-Transformierte F gilt F (0) = 8γ und f¨r z ∈ C{0} folgt o 9 u 6 Man beachte dabei, dass wenn man f¨ r ein θ ∈ R{0} die Funktion g (x) = θg (x) anstelle von u 2 1 g1 (x) verwendet, dies zu f2 (t) = θ2 f1 (t) f¨hrt. Es folgt f¨r die Laplace-Transformierten F2 (z) = u u θ2 F1 (z). Also sind die beiden Ungleichungen vom Typ (2.14), die man aus diesen beiden Funktionen erh¨lt, nach Anpassung der ε identisch. a 21
  22. 22. mittels partieller Integration (vergleiche [12, S.312]) 16γ 5 −1 8γ 3 −3 F (z) = z − z + 4γ 2 (1 + e−2γz )z −4 + 4z −6 (−1 + e−2γz + 2γze−2γz ). 15 3 (2.19) Wir weisen daraufhin, dass f¨r die gesamte restliche Diplomarbeit eine Funktion f u immer f¨r die Funktion in (2.18) stehen wird f¨r ein gewisses γ > 0. An gewissen u u Stellen werden wir sp¨ter nur das γ > 0 anstelle des f angeben, wodurch letzteres a dann ja eindeutig bestimmt ist. Der gr¨ßte Vorteil der obigen speziellen Wahl f¨r g sind die sp¨ter viel schneller o u a durchf¨hrbaren Computerberechnungen, welche aufgrund der Einfachheit von f (t) u und F (z) resultieren. Zus¨tzlich l¨sst sich f¨r großes |Im{z}| die Funktion F (z) viel a a u leichter nach oben absch¨tzen. Dies wird vorteilhaft sein. Außerdem zeigen ein paar a numerische Proberechnungen, dass mit denjenigen Funktionen f , die aus (2.16) oder (2.17) resultieren, h¨chstens nur minimal bessere Werte erzielbar sind, als mit unserer o Wahl f¨r die Funktion g. Dabei muss man beachten, dass die Graphen aller drei u Versionen von g qualitativ recht identisch aussehen“. Ein paar weitere Bemerkungen ” zu Funktionen, die Bedingung 1 und 2 erf¨llen, sind in §5.1 zu finden. u 2.1.5 Absch¨tzungen fur λ2 , λ , wenn ρ1 , χ1 reell ([12, §8]) a ¨ In diesem Abschnitt m¨chten wir zwei Tabellen aus [12, §8] vorstellen. Generalvoraus- o setzung ist dabei, dass χ1 und ρ1 beide reell sind (insbesondere existieren). Weiterhin wird vorausgesetzt, dass λ1 ≥ λ(ε) f¨r ein gewisses λ(ε) > 0 (ansonsten k¨nnte man u o nach [11] im Theorem von Linnik L = 3 + ε nehmen). Aus [12, §8] werden wir sp¨ter u.a. die beiden Tabellen Tabelle H4“:=[12, Table 4 a ” (§8)] und Tabelle H7“:=[12, Table 7 (§8)] ben¨tigen. Wir m¨chten hier zusammen- o o ” fassen, was diese Tabellen aussagen. Erkl¨rung der Tabelle H4: Diese Tabelle ist ein Korollar von [12, Lemma 8.3], a welches unter der Voraussetzung gilt, dass ρ komplex ist. Ist jedoch ρ reell, so liefert [12, Lemma 8.2] bessere Werte, so dass also letztendlich diese Tabelle f¨r beide F¨lle u a gilt. Was die Tabelle aussagt, wird kurz vor der Tabelle erkl¨rt: Beispielsweise besagt a der Eintrag 0.7, 1.724, 4.5, 0.85, dass wenn λ1 ≤ 0.70, dann ist λ ≥ 1.724. Zuerst wur- de dabei letztere Aussage nur f¨r den Fall bewiesen, dass λ1 ∈ [0.65, 0.70]. Da aber u f¨r kleinere λ1 noch bessere Absch¨tzungen gelten, gilt letztendlich die Absch¨tzung u a a λ ≥ 1.724 immer wenn λ1 ≤ 0.70 (man beachte, dass die oben genannten General- voraussetzungen stets angenommen werden). Erkl¨rung der Tabelle H7: Hier gilt Analoges wie bei der vorigen Tabelle. a Diesmal wurde diese Tabelle unter der Voraussetzung χ4 = χ0 und λ2 ≤ λ bewiesen. 2 F¨r den Fall χ4 = χ0 bekommt man verm¨ge [12, Table 6 (§8)] bessere Werte (bis auf u 2 o den Fall λ1 ≤ 0.10). Genauso bekommt man bessere Werte durch [12, Table 2-4 (§8)], wenn λ2 > λ ist. Insgesamt folgt wieder, dass diese Tabelle in allen F¨llen g¨ltig ist a u (ausgenommen wenn λ1 ≤ 0.10). Im Gegensatz zu Tabelle H4 wurde f¨r diese sofort bewiesen, dass z.B. (2. Zeile) aus u λ1 ≤ 0.12 folgt, dass λ2 ≥ 2.56. Die in diesen Tabellen auftauchenden Werte f¨r λ, a und K sind Parameter, die bei u den jeweiligen Rechnungen benutzt wurden. Sie sind nicht Inhalt der letztendlich bewiesenen Aussage. 22
  23. 23. Wir weisen auch darauf hin, dass die Werte in Tabelle H4 mit Hilfe von Verbesse- rungspotential Nr. 2 ([12, S.332]) h¨tten verbessert werden k¨nnen. Dies ist f¨r den a o u Beweis von Theorem 1.1 aber nicht notwendig, also werden wir dies nicht tun. 2.2 Das Theorem von Linnik und die Nullstellen von L(s, χ) Ein faszinierender Aspekt der analytischen Zahlentheorie ist sicher die Tatsache, dass man diskrete“ Ph¨nomene, wie die nat¨rlichen Zahlen und spezieller die Primzahlen, a u ” mit kontinuierlichen“ Funktionen behandeln kann. Wir stellen hier den Zusammen- ” hang zwischen den Primzahlen in arithmetischen Progressionen und den Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen dar. Dies wird in drei wesentlichen Schritten ge- schehen. Wir folgen dabei pr¨zise der Herleitung in [12, §13]. Dabei f¨gen wir keine a u Beweise ein, sondern zitieren und kommentieren nur die wichtigen Zwischenresultate. Seien a, q ∈ N und (a, q) = 1. Man beginnt mit der Summe log p Σ= h(L −1 log p), p p≡a mod q wobei das Gewicht h(x) definiert ist als   0  f¨r u x ≤ L − 2K, x − (L − 2K) f¨r u L − 2K ≤ x ≤ L − K,  h(x) :=  L−x  f¨r u L − K ≤ x ≤ L, 0 f¨r u x≥L  mit Konstanten L, K > 0 und L − 2K > 0. Wir m¨ssen zeigen, dass f¨r q ≥ q0 die u u Summe Σ unabh¨ngig vom gew¨hlten a positiv ist. Daraus folgt P (q) ≤ q L f¨r q ≥ q0 a a u und daraus wiederum P (q) q L f¨r alle q. u Um mit der Summe Σ besser arbeiten zu k¨nnen, ist es vorteilhaft, sie uber die o ¨ Primzahlpotenzen gehen zu lassen anstatt nur uber die Primzahlen. Dies ist mit einem ¨ vernachl¨ssigbaren Fehler m¨glich: a o Λ(n) L−2K Σ= h(L −1 log n) + O(q − 2 ). n n≡a mod q Nun kommt der erste wesentliche Schritt, n¨mlich die Einf¨hrung der Charaktere a u χ, wodurch man die Summation uber eine einzige Restklasse a mod q in den Griff ¨ bekommt. Diese beeindruckende Methode geht zur¨ck auf Dirichlet. Man benutzt die u bekannte Gleichung (n ∈ N) 1 1 falls n ≡ a mod q, χ(a)χ(n) = ϕ(q) 0 sonst. χ mod q Es folgt ∞ 1 Λ(n)χ(n) L−2K Σ= χ(a) h(L −1 log n) + O(q − 2 ). (2.20) ϕ(q) n=1 n χ mod q Der zweite wesentliche Schritt ist die Umschreibung der inneren Summen in (2.20) als komplexe Linienintegrale. Dies ist der eigentliche (und einzige) Moment, in dem die Verbindung zwischen der Zahlentheorie und der Funktionentheorie hergestellt wird. Bekanntlich gilt es sehr oft, dass die Verbindung dadurch hergestellt wird, dass man Summen als komplexe Linienintegrale aufschreibt. Das klassischste Beispiel hierf¨r ist u 23
  24. 24. wohl die Perronsche Formel, aus der man eine Summe b(n) leicht in Zusammen- n≤x hang setzt mit der zugeh¨rigen Dirichletschen Reihe o ∞ b(n)n−s , n=1 ohne dass diese in s = 0 konvergieren muss (vergleiche [2, S.26f]). Mit vernachl¨ssigbarem Fehler ersetzt man nun in der inneren Summe von (2.20) a den Charakter χ durch den primitiven Charakter χ , der χ induziert. Dies wird ge- macht, da man die gleich in Erscheinung tretenden Funktionen (L /L)(s, χ) f¨r pri- u mitives χ besser handhaben kann. Man hat schließlich f¨r χ = χ0 und den zu χ u geh¨rigen primitiven Charakter χ , dass o ∞ 2+i∞ Λ(n)χ (n) 1 L L −1 h(L −1 log n) = − (s, χ ) H((1 − s)L ) ds, n=1 n 2πi 2−i∞ L (2.21) wobei f¨r die Laplace-Transformierte H von h gilt u 2 1 − e−Kz H(z) = e−(L−2K)z . (2.22) z Weiterhin hat man f¨r χ = χ0 , dass χ immer 1 ist, also u ∞ Λ(n) L −1 χ (n)h(L −1 log n) = H(0) + O(L −1 ). (2.23) n=1 n Letzteres beweist man mit partieller Summation und dem Primzahlsatz. Kombiniert man (2.20), (2.21) und (2.23), so hat man Σ durch die Kombination ver- schiedener recht kompliziert anmaßender Terme ersetzt. Bisher ist auch noch nichts ge- wonnen, da man die Integranden wegen des Verhaltens von H((1−s)L ) auf Re{s} = 2 keineswegs vern¨nftig absch¨tzen kann. u a Damit k¨men wir zum dritten Schritt. Bei den ϕ(q)−1 Integralen verschiebt man die a 1 Integrationslinie von Re{s} = 2 auf Re{s} = − 2 . Mit dem Residuensatz und leichter Absch¨tzung des verschobenen Integrals kann man mit vernachl¨ssigbarem Fehler das a a anf¨ngliche Integral durch eine gewichtete Summe uber die nicht-trivialen Nullstellen a ¨ von L(s, χ ) ersetzen. Diese sind die selben, wie die nicht-trivialen Nullstellen von L(s, χ). Man ist am Ziel und hat damit Σ mit Hilfe der Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen abgesch¨tzt: a Lemma 2.7 (Lemma 13.1 aus [12]). Seien L, K > 0 mit L ≥ 2 + 2K und Σ, h und H definiert wie oben. Dann gilt   H(0) 1  L −1 Σ − ≤ |H((1 − ρ)L )| + O(L −1 ) . ϕ(q) ϕ(q) ρ χ=χ0 Die Summe geht dabei uber die nicht-trivialen Nullstellen ρ von L(s, χ). ¨ Nun hat H(z) solche Gestalt, dass in letzterer Summe der Beitrag der Nullstellen, die zu weit weg von s = 1 sind, extrem gering ist. Benutzt man die Absch¨tzung [12, a (1.4)] f¨r die Nullstellendichte der Dirichletschen L-Funktionen in gewissen Regionen, u so folgt, dass die meisten Nullstellen in der letzten Summe mit vernachl¨ssigbarem a Fehler weggelassen werden k¨nnen, genauer: o 24

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