Problemas Inversos

Problemas Inversos
João Batista C. da Silva
IV Semana de Inverno de Geofísica
25 e 26 de julho de 2013

1 - INTRODUÇÃO
2 - FORMULAÇÃO
3 - CARACTERIZAÇÃO - SVD
4 - SOLUÇÃO - MQ, IG, RIDGE, SUAV
5 - SOLUÇÃO - VÍNCULOS DE ESCASSEZ
7 – PROBLEMAS DE GRANDE PORTE
6 - NÃO LINEAR
CONTEÚDO

OBJETIVO DA GEOFÍSICA
Obter informação sobre a subsuperfície
campos:
elétrico
eletromagnétic
o
magnético
gravimétrico
.
transmissão do calor.
perturbações elásticas.
radiação nuclear.
indiretamente

OBJETIVO DA GEOFÍSICA
Obter informação sobre a subsuperfície
indiretamente

Interpretação Geofísica Busca por Informação= Informação
Detecção
Localização
Delineação

Informação
Detecção
Localização
Delineação

g γ m
r2=
ρ V
γ
r2g =
m
r
Delineação

Problema mal-posto
Desbalanceamento
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados

Soluções:
Reduzir a demanda de informação
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados

Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Soluções:

Introduzir informação a priori
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Soluções:

Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados
Soluções:

AMBIGUIDADE
2 soluções diferentes de um problema

FALTA DE INFORMAÇÃO
AMBIGUIDADE
SINTOMA DIAGNÓSTICO
FEBRE
INFECÇÃO BACTERIANA
INFECÇÃO VIRÓTICA
EXEMPLO:

Paciente: Vlad Tepes
Médico: Dr. Bram Stoker
LEUCOGRAMA
Valores de referência
Leucócitos 4600/ mm3
4000 a 10000/mm3
Linfócitos 35 % 25 a 50 %
Monócitos 9 % 2 a 10 %
Neutrófilos 53 % 50 a 80 %
Eosinófilos 2 % 0 a 5 %
Basófilos 1 % 0 a 2 %
Laboratório Sangue Azul

LEUCOGRAMA
4000 a 10000/mm3

Num problema mal-posto
a solução não obedece a pelo
menos uma das condições:
Existência.
.
.
Unicidade
Estabilidade

Existência
N1 e N2 são números naturais.
Encontrar N1 e N2 , tal que:
N1 + N2 = 8,3

Unicidade
N1 e N2 são números naturais.
Encontrar N1 e N2 , tal que
N1 + N2 = 10

Estabilidade
Observar uma componente muito pequena de um
fenômeno ou propriedade
0,000001 x = y
0,000001 x = y + r
xc = y / 0,000001
x = y / 0,000001 + r/ 0,000001
x = xc + 1 00000 r

Problemas mal-postos ocorrem
em todas as áreas do conhecimento

Geologia
Introdução de informação a priori

Geologia
Introdução de informação a priori
Marcas de chuva
Concavidade indica
a parte superior

Problema mal-posto:
Desbalanceamento
informação
desejada
informação
contida nos
dados

AMBIGUIDADE FUNDAMENTAL DA
GEOFÍSICA

Anomalia
gravimétrica
Corpo anômaloModelo
interpretativo
x
z
xo
Gravimetria - Esfera
( ) ( ) ( )
g(x) γ V
z z
x x y y z z
o
o o o
=
−
− + − + −
.ρ
2 2 2 3
2
zo

0.02
0.04
0.06
0.08
Anomaliagravimétrica(mGal)
0
2
4
6
Profundidade(m)
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
0 5 10 150 5 10 150 5 10 15 m
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
d = 1

0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
Profundidade(m)
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
0 5 10 150 5 10 150 5 10 15 m
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
d = 3

0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
Profundidade(m)
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
0 5 10 150 5 10 150 5 10 15 m
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0
2
4
6
d = 5

O campo magnético é sensível ao
momento de dipolo total (m . V)
Magnetometria:
Gravimetria:
O campo gravimétrico é sensível à
massa (ρ . V)

Métodos eletromagnéticos:
e3
e2
e1
σ3
σ2
σ1
As medidas eletromagnéticas são sensíveis à
condutância (σ . V)

Métodos sísmicos:
e1
e2
e3µ3=
1
3v
µ2=
1
2v
µ1=
1
1v
O tempo de trânsito é dado por
2 . µ . e

A inversão de dados geofísicos é um
problema mal-posto
A solução não obedece a pelo menos
uma das condições:
Existência.
.
.
Unicidade
Estabilidade

( ) ( ) ( ) ''''''
,,, d zd xzxpzxzxGzxy iiii
o
∫Ω
=
x
z
+ +
+ + +
+
+ + + + ++
( )''
, zxp
Ω
( )zxy ii
o
Ω

O problema inverso geofísico é
subdeterminado e portanto não
apresenta solução única
Diagnóstico:
( ) ( ) ( ) ''''''
,,, d zd xzxpzxzxGzxy iiii
o
∫Ω
=

Solução:
Informação
demandada
pelo intérprete
Informação
contida nos
dados

N1 + N2 = 10
É possível determinar a média de ambos os números (5)
Introduzir informação a priori:
Não é necessário conhecer o valor de um dos números
para determinar o outro
É suficiente conhecer algumas características dos números

1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1
N1 e N2 estão o mais próximo possível um do outro
N1 e N2 são números naturais
N1 + N2 = 10

N1 + N2 = 10
N1 e N2 são números naturais
N1 ≤ N2
Um e somente um dos números é primo
1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 8 7 6 5 4 3 2 1

Na Interpretação Geofísica:
A informação a priori deve provir do
conhecimento geológico
Toda e qualquer informação relevante
deve ser usada

As condições matemáticas que levam a
Informação Geológica
EstabilidadeUnicidade
Podem ser interpretadas em termos de

Vínculos passíveis de serem
introduzidas no problema geofísico
inverso
• Suavidade
• Suavidade ponderada
• Compacidade
• Concentração no entorno de eixos e pontos
• Escassez (Sparsity):
• Variação total

Valores de parâmetros adjacentes devem
estar o mais próximo possível
i
h
hi +1
hi +2
...
...
h
i +1
h
i
h
i +2
≅≅
z
x
SUAVIDADE

z
x
Petróleo
Pinch out
SUAVIDADE

ESCASSEZ - Compacidade
As fontes anômalas não apresentam
cavidades em seu interior
z
x

ESCASSEZ
Concentração no entorno de eixos
z
x

F’
F
z
x
Concentração no entorno de eixos

Escassez na propriedade física
0 5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
SUAVIDADE
+
+
+ 0 5 10 15 20
ESCASSEZ
+
+
+
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Valores altos de parâmetros
devem ser escassos
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+

Escassez na propriedade física
A/m
0
0 5 10 15 20
5
10
15
20
0
0 5 10 15 20
5
10
15
20
SUAVIDADE ESCASSEZ

hi
hi +1
...
...hi +2
Escassez no gradiente dos
parâmetros
Gradientes altos entre parâmetros adjacentes
devem ser escassos
z
x

F’
F
parâmetros
z
x

Petróleo
F’
F
parâmetros
z
x

Problema não linear × problema linear
x
F(x)
x
F(x)
constante
)(
=
∂
∂
x
xF
f(x)
)(
=
∂
∂
x
xF
Função linear Função não linear

z
y
Observações
Fonte gravimétrica
x
Célula elementar
O problema linear
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
cy
cy
h
h
jjj
jijiji
j
ji
j
j
j
j
b
t
dzdydx
zzyyxx
zz
pg '''
'''
'
2
3222
γ

( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
cy
cy
h
h
jjj
jijiji
j
ji
j
j
j
j
b
t
dzdydx
zzyyxx
zz
pg '''
'''
'
2
3222
γ
=
aij
∑=
j
i jpg γ ia j , i=1,2 ...N
g =A p

Problema inverso linear:
Simples
Aplicável a uma classe restrita de problemas
Pode ou não ser mal-posto
Solução tem forma explícita

( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
∞
∞
p
0
jjj
jijiji
j
ji
oj
oj
j
dzdydx
zzyyxx
zz
dg '''
'''
'
2
3222
γ
x
+ +
+
+...y1
o
y2
o
y3
o
yN
o
mGal
...p1 p2 pM
Profundidade
O problema não linear

=g F (p)
=g F’(p) (p-po)
p-po= [F’(p)]-1
g
p= po + [F’(p)]-1
g
∑=
j
ig γ f (pj), i=1,2 ...N
p=po
p=po
p=po
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−
+
− −+−+−
−
=
bx
bx
∞
∞
p
0
jjj
jijiji
j
ji
i
i
j
dzdydx
zzyyxx
zz
dg '''
'''
'
2
3222
γ

Analogia com uma equação escalar:
a x + 4 = b
x = a -1
( b-4 )
a x8
+ log(x)+ c e sin(x)
= d
x =
log(x)= d- a x8
- c e sin(x)
)sin( x
ceaxd
ex
−−
=
8
x = f (x) xk+1 = f (xk)

Problema inverso não linear:
Complexo
Aplicável a uma ampla classe de problemas
Em geral resolvido iterativamente
Pode ou não ser mal-posto

Formulação de
problemasinversos

A resolução de um problema inverso
consiste de três etapas:
Formulação do problema
Construção da solução
Avaliação da solução

Analisar a qualidade das soluções
SoluçõesSoluções
Escolher o estabilizador matemático em
consonância com a informação geológica
disponível
Problema geológico
Simplificações
Modelo Interpretativo
Relação funcional
Problema matemático

Soleiras
Problema geológico:
Localizar e delinear soleiras numa bacia sedimentar

Soleiras
1) Não há contraste lateral ou vertical entre os sedimentos
2) Não há contraste entre os sedimentos e o embasamento
ou o efeito correspondente foi previamente removido
Simplificações:

Profundidade(km)
0 2 4 6 8
0.0
0.5
1.0
1.5
10
4 6 80 2
1
2
3
4
mGal
10
x ( km )
Anomalia gravimétrica
Soleiras
Modelo interpretativo

x
+ +
+
+...y1
o
y2
o
y3
o
yN
o
mGal
( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−+−+−
−
=
bxo ∞
-∞
jjj
jijiji
j
ji
j
dzdydx
zzyyxx
zz
pg '''
'''
'
2
3222
γ
+bzoj
−bxoj
+bzoj
Profundidade

( ) ( ) ( )[ ]
∫ ∫ ∫∑
+
−+−+−
−
=
bxo ∞
-∞
jjj
jijiji
j
ji
j
dzdydx
zzyyxx
zz
pg '''
'''
'
2
3222
γ
+bzoj
−bxoj
+bzoj
Profundidade
=
aij
∑=
j
i jpg γ ia j , i=1,2 ...N
g =A p

Problema matemático
yAp =
Apy −min 2

Solução de mínimos quadrados
yAp =
( ) yAAAp T1T −
=ˆ
Apy −min 2
x
+ +
+
+...y1 y2
y3
yN
mGalProfundidade
( ) yAAAp T1T −
=ˆ

0.0
0.5
1.0
1.5
0 2 4 6 8 10
Profundidade(km)
x ( km )
Fontes verdadeiras
Solução de mínimos quadrados
0
0.02
0.05
0.06
0.03
0.07
0.04

Vínculo de suavidade
0.0
0.5
1.0
1.5
0 2 4 6 8 10
Profundidade(km)
x ( km )
Fontes verdadeiras
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.04
0.02
0
0.02
0.04
0.06

x ( km )
100 2 4 6 8
0.0
1.0
1.5
2.0
Profundidade(km)
Vínculo de escassez
Concentração ao longo de eixos

O método dos mínimos
quadrados

x
z
Espaços Euclideanos Espaços Topológicos

INEXISTÊNCIA
x
z

Existência
Unicidade
Estabilidade

Apy −min
2
x
z
?
A p = y
p
y

∂/∂p1
∂/∂p2
∂/∂pM
min (yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
(yo
-Ap)T
{
{(yo
-Ap)2 = 0
-AT
yo
+ AT
Ap = 0
( AT
A ) p = AT
yo
p = ( AT
A)-1
AT
yo
-AT
= 0(yo
-Ap)
^^
^ ^
^
^

p = ( AT
A)-1
AT
yo
Mínimos quadrados elimina o problema
da inexistência de solução causada:
Por um número maior de observações não redundantes
que parâmetros
Pela presença de ruído
p = A-1
yo

p
y
?
Modelo interpretativo simples

que parâmetros

que parâmetros
(Modelo interpretativo simples)
Não elimina a instabilidade

p = ( AT
A)-1
AT
yo
x
y
det ( AT
A) ≈ 0
^

Problemas mal-postos
×
Problemas bem-postos

Problemas mal-postos × Problemas bem-postos
1) Caracterização física
A) Estimar a órbita de um corpo celeste

B) Tomografia simplificada
v1 v2
v1 = 1
v2 = 2
7.9
9.9 0.5
0.4 v1
v2
=
10.9
8.7
v1
v2
=
1
2
7.9
9.9 0.5
0.4 v1
v2
=
10.9
8.75
v1
v2
=
-1.5
51.5

C) Interpretação gravimétrica
( ) ( ) ( )
g(x) γ
z z
x x y y z z
o
o o o
=
−
− + − + −
m
2 2 2 3
2
x
z
mGal

C) Interpretação gravimétrica
x
z
mGal
( ) ( ) ( )
g(x) γ
z z
x x y y z z
o
o o o
=
−
− + − + −
m
2 2 2 3
2

O problema mal-posto ocorre quando:
que o número de parâmetros a ser determinados
1) O número de observações independentes é menor
2) Dois ou mais parâmetros podem ser grupados na
expressão do funcional ajustante

v1 v2 7.9
9.9 0.5
0.4 v1
v2
=
10.9
8.7

OBSERVAÇÕES REDUNDANTES
1
0
2
0
1
0
2
1
3
0
6
1
1
2
2
2
det = 0

1
0
1
0
1
0
0
1
3
0
2
1
1
2
0
2
det = 0
PARÂMETROS ACOPLADOS
2x + 1x

Interpretação gravimétrica
x
z
( ) ( ) ( )
g(x) γ
z z
x x y y z z
o
o o o
=
−
− + − + −
ρV
2 2 2 3
2
mGal

Paradigma de um problema geofísico linear:
ypcpc =+ 2211
1
2c
y
1p
2c
c
2p +−=
p1
p2
Problemas mal-postos × Problemas bem-
postos2) Caracterização geométrica

Solução estável Solução instável Solução não única
2 observações

Instabilidade
Solução estável Solução instável
p1
p2 p2
p1
1
2c
y
1p
2c
c
2p +−=

Observações redundantes: retas sub-
paralelas no espaço de parâmetros
x
z
mGal

Para garantir a existência:
minimiza-se:
y1pcpc =+ 212111
o
y2pcpc =+ 222121
o
pcpc − 212111y1
o
−( )2
+ pcpc − 222121y2
o
−( )2
ao invés de resolver o sistema:
no sentido dos mínimos quadrados

p1
p2
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
p1
p2

Problemas mal-postos × Problemas bem-postos
3) Caracterização matemática
Decomposição em valores singulares
Ax = y
Ax = λx, x ≠ 0
A é uma matriz N × N
Ax – λx = 0
(A – λΙ) x = 0
det (A – λΙ) = 0
Autovetores e autovalores

det (A – λΙ) = 0
∑ ci λN-i
= 0
0
N
Equação característica de A
As raízes desta equação são os autovalores de A e os
vetores x associados a cada autovalor são os autovetores

Autovalores e autovetores
Interpretação geométrica
4
8 4
8
Matriz de dados:
obs 1
obs 2
var 2var 1
2 4 6 80
6
4
2
0
8
var 1
var 2

4
8 4
8
det = 0 (4-λ)2
= 64
λ1 = 12
λ2 = - 4
4-12
8 4-12
8 x1
x2
=
0
0
-8 x1 + 8 x2 = 0
1
1
x1 =
4+4
8 4+4
8 x1
x2
=
0
0
8 x1 + 8 x2 = 0
-1
1
x2 =
Primeiro autovetor:
Segundo autovetor:
- λ
- λ

2 4 6 80
6
4
2
0
8
v1= λ1 x1 = 12 x1
v2= λ2 x2 = 4 x2
v1
v2
Os autovetores de uma
matriz simétrica são
ortogonais

Y P
T
.
.
T(p)=y, p∈P; y∈YEspaço nulo de uma transformação
F
é o subespaço F ⊂ P, tal que T(p) = , ∀ p ∈ Fφ
p
y = φy

Espaço nulo de um operador linear
A p*
= y
A po
= 0
A p*
+ λ A po
= y
A ( p*
+ λ po
) = y
λ

A decomposição em valores singulares
na caracterização de problemas mal-postos
Exemplo – tomografia simplificada
p1
p3
p4
p2
d
t1= d p1 + d p4
t2= d p2 + d p3
1 0 0 1
0 1 1 0
p1
p2
p3
p4
=
12
d
t1
d
t2

1 0 0 1
0 1 1 0
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
A
U S
VT

1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
U S
VT
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
U S
VT

1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
U S
VT
Combinações de parâmetros que podem ser determinadas:
α1 = v1
T
p
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p2 +p3 )=

Combinações de parâmetros que podem ser determinadas:
α1 = v1
T
p
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p2 +p3 )
=
=α2 = v2
T
p
2
√2
0 0 2
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p1 +p4 )
p1
p3
p4
p2
12

Combinações de parâmetros que não podem ser determinadas
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
U S
VT
=α3 = v3
T
p
2
√2
0 0 2
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p1 - p4 )

=
p1
p3
p4
p2
12
=α3 = v3
T
p
2
√2
0 0 2
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p1 - p4 )
α4 = v4
T
p 2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
2
√2 ( p2 – p3 )

ESPAÇO NULO DA MATRIZ A:
1 0
0 1
2
√2
0
0 0 0
0 02
√2
2
√2
0 02
√2
002
√2
2
√2
002
√2
2
√2
2
√2
0 02
√2
p1
p2
p3
p4
=
d
t1
d
t2
p1
p3
p4
p2
12

Mínimos quadrados e a Decomposição
em Valores Singulares
Análise de estabilidade
p = ( AT
A)-1
AT
yo
A = U S VT
p = ( VSUT
USVT
)-1
VSUT
yo
p = ( VSSVT
)-1
VSUT
yo
p = ( VS2
VT
)-1
VSUT
yo
p = VS-2
VT
VSUT
yo
p = VS-2
SUT
yo
p = VS-1
UT
yo

Mínimos quadrados e a Decomposição
em Valores Singulares
p = VS-1
UT
yo
p = V S-1
β
p = V γ
=
v11 γ1 + v12 γ2
v21 γ1 + v22 γ2
v11 v12
v21 v22
γ1
γ2
v11 v12
v21 v22
γ1
γ2
= +
v11
v21
γ1
v12
v22
γ2ivp = ∑
M
=i 1
iγ
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si

p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
p = ∑
M
=i 1
ivβi + δi
si
Dados contaminados com ruído
β = UT
yo
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
+ ivδi
si
∑
M
=i 1

CARACTERIZAÇÃO
2 4 6 80
6
4
2
0
8

Instabilidade
Autovalor nulo
Espaço nulo
Ambiguidade
Autovalor quase nulo
Espaço “quase nulo”
SVD

Transformação deproblema
mal-posto em bem-posto

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
p1
p2

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
p1
p2
p1

p2
p1
v1
v2
INVERSA GENERALIZADA

min pT
p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)=δ
Ridge Regression

min pT
p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
τ =min pT
pµ+
Solução via Função Penalty
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) µ

pT
p+
+
µ .
µ .
=
=
τ|| yo
-Ap ||2
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
=
p1
p2

Ridge Regression
min || p ||2
sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || p ||2
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + µ 2 p = 0^ ^
-AT
yo
+ AT
A p + µ p = 0^ ^
(AT
A + µ Ι ) p = AT
yo^
p = (AT
A + µ Ι )-1
AT
yo^
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ 2∇p{pT
} p

DECOMPOSIÇÃO EM VALORES SINGULARES
MÍNIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1
µ
si
+
M r
si si
M

MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1
µ
si
+
p2
p1

MINIMOS
QUADRADOS
INVERSA
GENERALIZADA
RIDGE
REGRESSION
p = ∑
M
=i 1
ivβisi
1
p = ∑
=i 1
ivβisi
1
r
p = ∑
M
=i 1
ivβi
si
1
µ
si
+
p2
p1
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || p ||2

1900 1950 1960 1980
Instrumentos pouco
precisos
1990

Calculadoras
rudimentares
1900 1950 1960 1980 1990

1
Instrumentos pouco
precisos
1900 1950 1960 1980 1990

1
1
3
4
5
2
Calculadoras
rudimentares
1900 1950 1960 1980 1990

w
h
x
z
A/2
A
0
h ≅ 0,65 w
Calculadoras
rudimentares
1900 1950 1960 1980 1990

Metodologia simples
Calculadoras
rudimentares
Instrumentos pouco
precisos
1900 1950 1960 1980 1990

Instrumentos mais
precisos
1900 1950 1960 1980 1990

= +
SEPARAR UMA ANOMALIA COMPLEXA EM SUAS
COMPONENTES

Metodologia simples
Filtros
1900 1950 1960 1980 1990

19601900 1950 1960 1980
Advento do computador
Mínimos quadrados
Inversa generalizada
Ridge regression
1900 1950 1960 1980 1990

19601900 1950 1960 1980
Advento do computador
1900 1950 1960 1980 1990
Redução na busca de informação
Mínimos quadrados
Ambiguidade reconhecida
Introdução de Informação a priori
Vínculos locais - geológicos
Vínculos globais - matemáticos
Inversa generalizada
Ridge regression
Aproximação inicial
Modelos simples

p1
Problema não linear:
Sequencia de problemas lineares
Incógnitas: passo dos parâmetros
Aplicação da I.G. ou ridge ao passo
Passos pequenos
A aproximação inicial como vínculo geológico e matemático

1900 1950 1960 1980 1990
Necessidade de métodos
de modo:
que incorporassem informação:
matematicamente simples
geológica
global
prático
efetivo

y
x
z
hj
2
j
Modelo interpretativo – Bacias
ρ j

y
x
z
hj
2
j
Caracterização física do novo vínculo - Bacias
ρ j
hj ≈ hj+1
hj+1

p2
p1
Caracterização geométrica do novo vínculo
p1 p2=

( )∑
−
=
+ −=Φ
1
1
2
1
M
i
ii
pp
Funcional estabilizante
pM-1pM
−
p2p3
−
p1p2
−

pM-1pM
−p2p3
−p1p2
−

Φ =
b

1-1000
001-10
001-1




pM-1pM
−
p2p3
−
p1p2
−

pM
p2
p1

=.
p bR =.
Φ = bT
b = pT
RT
Rp

min pT
RT
Rp
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)=δ
Suavidade

min pT
RT
Rp
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
τ =min pT
RT
Rpµ+
Solução via Função Penalty
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) µ

|| Rp ||2
τ|| yo
-Ap ||2
p1
p2 +
+
µ .
µ .
=
=

Caracterização matemática do novo vínculo

SUAVIDADE
min ||Rp ||2
sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || Rp ||2
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
RT
R p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + µ 2RT
R p= 0^ ^
-AT
yo
+ AT
A p + µ RT
Rp = 0^ ^
(AT
A + µ RT
R ) p = AT
yo^
p = (AT
A + µ RT
R )-1
AT
yo^
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ 2∇p{pT
RT
} Rp

1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
p1
Inversa
GeneralizadaRidge
p2
Suavidade

RIDGE REGRESSION
p2
p1
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || p ||2

0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000
-23.000
-18.000
-13.000
-8.000
-3.000
Bougueranomaly(mGal)
mGalkm
0 302010 40 50 km
-40
-30
-20
-10
0
4
3
2
1
0
5
Ridge

0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000
-23.000
-18.000
-13.000
-8.000
-3.000
Bougueranomaly(mGal)mGalkm
0 302010 40 50 km
-40
-30
-20
-10
0
4
3
2
1
0
5
Ridge

p2
p1
SUAVIDADE
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || Wp ||2

0.00 6.00 12.00 18.00 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00
X (km)
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Depth(km)
-38.000
-33.000
-28.000
-23.000
-18.000
-13.000
-8.000
-3.000
Bougueranomaly(mGal)
mGalkm
0 302010 40 50 km
-40
-30
-20
-10
0
4
3
2
1
0
5
Suavidade

O vínculo da suavidade ainda é o mais aplicado na Geofísica
EXEMPLOS

TOMOGRAFIA SÍSMICA POÇO-APOÇO

0 10 20 30 40 50 60 70 km
10
20
0
N
GRAVIMETRIA – MAPEAMENTO DO EMBASAMENTO

km
7.0
6.2
5.4
4.6
3.8
3.0
2.2
1.4
0.8
0.4
0.1
BACIA DE
ALMADA

1950
1960
1980
1990
1950
1960
1980
1990
URSS OCIDENTE
Ridge
Suavidade
Ridge, suavidade e a
minimização da norma
de todas as derivadas
dos parâmetros
Tikhonov

min pT
Wp p
sujeito a
(yo
-Ap)T
Wy (yo
-Ap) = δ
τ =min pT
Wp p(yo
-Ap)T
Wy (yo
-Ap) µ+ µ

min (p-po
)T
Wp(p-po
)(yo
-Ap)T
Wy (yo
-Ap) µ+ µ∇p = 0
)()(ˆ oTTo
ApyWyAWpAWyApp −+ µ+= −1
)()(ˆ oTo
Apyµ WyAWpApp −++ Wp A= −1T -1-1 -1

Vínculos passíveis de serem
introduzidas no problema geofísico
inverso
• Suavidade
• Compacidade

1900 1950 1960 1980 1990
Métodos que concentram as distribuições anômalas de
propriedade física em subsuperfície em algumas regiões

• Compacidade

y
x
z
Concentrar as distribuições anômalas de propriedade
física em subsuperfície em algumas regiões

x (km)
0.
1.
2.
3.
4.
0.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
0.24
0.19
0.14
0.09
0.05
0.00
AnomaliaBouguer(mGal)Profundidade(km)
0. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 28.
SUAVIDADE

pi
=
Φ =
pi
2
pi
2
+ ε
~
~∑
M
i 1
pi
2
pi
2
+ ε
~
~ = número de células com ≠ 0pi
~
0, se = 0pi
~
1, se ≠ 0pi
~

=
Φ =
pi
2
pi
2
+ ε
~
~∑
M
i 1
= número de células com ≠ 0pi
~min
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
=
Φ =
pi
2
pi
2
+ ε∑
M
i 1
= pT
W p W=
1
pi
2
+ ε
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
min pT
W p

Inversão Compacta
min pT
W p sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
W p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + µ 2 W p = 0^ ^
-AT
yo
+ AT
A p + µ W p = 0^^
(AT
A + µ W ) p = AT
yo^
p = (AT
A + µ W )-1
AT
yo^
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ 2∇p{pT
} Wp

p = (AT
A + µ W )-1
AT
yo^
^p = [AT
A + µ W( p ) ]-1
AT
yo^p^p^
x = f (x) Problema de ponto fixo
xn+1 = f (xn )
^pn+1 = [AT
A + µ W( pn ) ]-1
AT
yo^
^pn+1 = pn + [AT
A + µ W( pn ) ]-1
AT
(yo
–Apn)^ ^ ^

x (km)
0.
1.
2.
3.
4.
0.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
0.24
0.19
0.14
0.09
0.05
0.00
0. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 28.
GRAVIMETRIA - SUAVIDADE

x (km)
0.
1.
2.
3.
4.
0.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
0. 4. 8. 12. 16. 20. 24. 28.
GRAVIMETRIA - COMPACIDADE

-20 -10 0 10 20 30 40
0
5
10
15
20
x(km)
An.Bouguer(mGal)
0 5 10 15 20
0
10
20
z(km)

INVERSÃO MAGNÉTICA
150
-150
nT
0.05
-0.05
0 10 km

REFLEXÃO SÍSMICA E INVERSÃO DE DADOS MT

Suavidade Variação total
min || Rp ||2 min || Rp ||1
( )∑
−
=
+ −
1
1
2
1
M
i
ii
ppmin | |∑
−
=
+ −
1
1
1
M
i
ii
ppmin

2pˆ1pˆ 3pˆ
p3 – p2
p2 – p1
^ ^
^ ^
x
z

D
dj = |pj+1 – pj|
≤
21
1
21
1
1 ∑∑
−
=
−
=
+ =−=Φ
M
j
j
M
j
jj dpp
2
1
1
2








==Φ ∑
−
=
M
j
jdD
2
11
2








≤ ∑∑ ==
L
j
j
L
j
j dd

D
dj = |pj+1 – pj|
=
1
1
1
1
1 ∑∑
−
=
−
=
+ =−=Φ
M
j
j
M
j
jj dpp
1
1








==Φ ∑
−
=
M
j
jdD

1
1
∑
−
=
M
j
jd
1
1
∑
−
=
M
j
jd
1
1
∑
−
=
M
j
jd ≥
Suavidade Variação total

Variação total
min || Rp ||1 sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = || yo
-Ap ||2
+ µ || Rp ||1
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ || Rp ||1
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ ∇p{|| Rp ||1 }

∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ ∇p{|| Rp ||1 }
β

km
10 km 10 km
BACIA DE
ALMADA

0.4
0.6
0.5
Inversão sísmica

Tempo
Offset
Tempo
Offset
Reconstrução de famílias CMP
Sintético
Tempo
Offset
Mínimos quadrados Escassez

Que valor atribuir ao parâmetro de regularização?

1) Missão da regularização: estabilizar a solução.
3) O funcional estabilizador incorpora informação a priori factual?
2) Solução geofísica: tem que ser estabilizada
NÃO: Menor valor SIM: Maior valor
SOLUÇÃO ESTÁVEL
AJUSTE ACEITÁVEL

SOLUÇÃO ESTÁVEL
AJUSTE ACEITÁVEL
µ
µ2µ1

O problema inverso não linear

A p = yo
Problema linear:
Para garantir existência de uma solução,
minimiza-se a forma quadrática:
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
tomando-se o gradiente em relação a p e igualando ao vetor nulo,
o que leva à equação linear:
AT
A p = AT
yo

A (p) p = yo
Problema não linear:
Para garantir existência de uma solução,
minimiza-se a forma contendo derivadas de ordem arbitrária:
[yo
-f (p) ]T
[yo
-f (p)]
que, mesmo após tomar o gradiente,
não leva a uma equação linear:
Desse modo, não há uma expressão explícita para o estimador
de p:

p1
p2
Problema não linear
p1
p2

Solução analítica
Linear Não linear
Solução por iteração

Φ(p)+ µ . = τ(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)
Problema linear
Φ(p)+ µ . = τ[yo
-f (p)]T
[yo
- f (p)]
Incorporação de informação a priori

4.00
+ µ . =
Problema linear
+ =
µ .

pT
Wp = p1 p2 pM
p1
p2
pM
w1
w2
wM
w1 p1 w2 p2 wM pM
p1
p2
pM
=
w1 (p1)2
+ w2( p2)2
+ wM (pM)2
min Φ(p) = pT
Wp
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap)=δ
Problema linear Problema não linear
Forma explícita:
p=(AT
A+µW)-1
AT
yo
?
Forma explícita:
min Φ(p) = pT
Wp
sujeito a
[yo
- f (p)]T
[yo
- f (p)]=δ

p = ( AT
A + µ W)-1
AT
yo
τ
Problema linear

Metodologia: encontrar uma estratégia de
descida para o mínimo de τ
min Φ(p) = pT
Wp
sujeito a
[yo
- f (p)]T
[yo
-f (p)]=δ
τ =[yo
-f (p)]T
[yo
-f (p)] + µ pT
Wpmin

Métodos de busca
Métodos de gradiente
Nelder-Mead
Simulated annealing
Algoritmos genéticos
Máxima declividade
Newton / Gauss-Newton
Marquardt
Principais estratégias

τ = [yo
- f (p)]T
[yo
- f (p)] + µ pT
Wp
Estratégia de Newton
Ψ(p) + µ Φ(p) = τ

4
10
22
28
2
10
20
28
34
28
22
18
32
26
20
p1
p2
16
Instabilidade do método de Newton

Grande raio de curvatura Grande passo

[ Ψ’’ + µ Φ’’ ] (p-po)= - [ Ψ’ + µ Φ’ ]
[ Ψ’’ + µ Φ’’ + λ I ] (p-po)= - [ Ψ’ + µ Φ’]
Estratégia de Marquardt
Newton:
λ
O parâmetro λ estabiliza o passo do processo iterativo
Marquardt:

p1
p2
10
15
5
15
10
15
19
10
5
10
10
7
Estabilidade do método de Marquardt
p1
p2

Confusão entre: parâmetro de regularização e
parâmetro de Marquardt
Problema linear estabilizado pela norma euclideana (Ridge regression):
min pT
p
sujeito a
[yo
-Ap]T
[yo
-Ap]=δ
Problema não linear não estabilizado (passo de Gauss-Newton):
[yo
-f (p)]T
[yo
-f (p)]min
p = ( AT
A + µ I )-1
AT
yo^
∆p = [ AT
(pk) A(pk) + λ I ]-1
AT
(pk)∆yo^
Marquardt

Problema linear ou não linear
Parâmetro de regularização
Parâmetro de Marquardt

A confusão entre parâmetro de regularização e
parâmetro de Marquardt pode levar o intérprete
desavisado a uma perigosa cilada:
Usar somente o parâmetro de Marquardt com duplo papel de
estabilizar o passo e os parâmetros diminuindo-o ao longo das
iterações

Bacias marginais e oceânicas
50.000 a 500.000 km2

Levantamentos de alta resolução
Uso do tensor gravimétrico/magnético
Espaçamento de 100m
5 componentes
Interpretação 3D
100 células em z
Bacias marginais e oceânicas
50.000 a 500.000 km2

250.000.000 Observações
25.000.000.000 Parâmetros
Limitação física dos computadores:
Aquecimento
Energia

MÉTODOS MAIS EFICIENTES DE INTERPRETAÇÃO
Ap = y

[ Ψ’’ + µ Φ’’] (pk+1-
pk
)= - [ Ψ’ + µ Φ’]
Newton:
[ Ψ’’(pk
) + µ Φ’’(pk
)] (pk+1
– pk
) = - [ Ψ’(pk
) + µ Φ’(pk
)]
Ak
bk
yk=
Carga computacional:
Formação da matriz A
Inversão da matriz A (ou resolução do sistema)

Gradiente Conjugado:
Forma a matriz A
Resolve eficientemente o sistema
Quasi-Newton:
Formação aproximada da matriz A
Inversão aproximada da matriz A
Métodos algorítmicos:
Não forma a matriz A
Não inverte a matriz A

min
Gradiente conjugado
x ∈ Rn
Construir uma base para Rn
na qual a minimização de f (x) é
extremamente simples
i ≠ j

Direções ortogonais: 0=j
T
i xx

Direções A-ortogonais: 0=j
T
i xx A
T
ix
T
jxe São direções conjugadas

0
4000
8000
12000
Tempo(s)
0 400 800 1200 1600 2000
Número de parâmetros
Gauss-Jordan
Gradiente conjugado

Quasi-Newton
Newton
f (x)= f (xo) +
∂f (xo)
∂x
1 ∂2
f (xo)
2 ∂x2
+ (x-xo)2
(x-xo)
∂f (xo)
∂x
∂2
f (xo)
∂x2
+ (x-xo) = 0
∂2
f (xo)
∂x2
(x-xo) =
∂f (xo)
∂x
Hk
(pk+1
-pk
) = -qk

Hk+1
(pk+1
-pk
) = qk+1
- qk
∂2
f (xk+1)
∂x2
=
(xk+1 - xk)
∂f (xk+1)
∂x
∂f (xk)
∂x∂2
f (xo)
∂x2
(xk+1-xk) =
∂f (xo)
∂x
Hk
(pk+1
-pk
) = -qk
Newton Quasi-Newton
Hk+1
sk
= yk
Hk+1
= Hk
+ uvT
?

Rk+1
Rk
+(1/sk
T
yk
)[(sk
-Rk
yk
) sk
T
+sk
(sk
-Rk
yk
)T
]-(1/sk
T
yk
)2
(sk
-Rk
yk
)T
yk
sk
sk
T
=
+
kk
T
k
k
T
kkk
k
T
k
T
kk
sHs
HssH
sy
yy
−1+kH kH=
R = H-1
Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

=
Φ = ∑
M
i 1
0, se pi = 0
= momento de inércia em relação ao eixo
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
pi di
2 ,
se pi ≠ 0
~
pi

min
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
= pT
W p
sujeito a
(yo
-Ap)T
(yo
-Ap) = δ
min pT
W p
=
Φ = ∑
M
i 1
= momento de inércia em relação ao eixo
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
=
Φ = ∑
M
i 1
pi + ε~
pi
2~
pi
2~
di
2
W=
pi + ε~
di
2

Mínimo Momento de Inércia
min pT
W p sujeito a || yo
-Ap ||2
= δ
τ = [yo
-Ap]T
[yo
-Ap] + µ pT
W p
∇p τ = -2AT
[yo
-Ap] + µ 2 W p = 0^ ^
-AT
yo
+ AT
A p + µ W p = 0^^
(AT
A + µ W ) p = AT
yo^
p = (AT
A + µ W )-1
AT
yo^
∇p τ =2∇p{ [yo
-Ap]T
} [yo
-Ap] + µ 2∇p{pT
} Wp

Por favor, como faço para
chegar à Rua das Flores?
É muito fácil. Para chegar ao início dela,
encontre o ponto da Avenida Rio Branco
situado a uma distância mínima (na norma L2)
do Obelisco da Avenida Central.

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