[8] Nu P 04 3

Verkehrstheorie
Wartesysteme
Kapitel 4.3

Netze und Protokolle
Dr.-Ing. Jan Steuer

Institut für Kommunikationstechnik
www.ikt.uni-hannover.de

© UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik

Inhalt

Einführung
Little‘s Law
Markov-Ketten
M/M/1-System
M/M/m-System (Wartesystem)
Warteschlangennetze

(2)


Problemstellung

Dimensionierung von Nachrichtennetzen
neue Netze
Schätzung der Angebotsparameter, Definition der Qualitätsparameter,
Ermittlung der Kosten; Design des Netzes, Struktur, Wegewahl ,
Berechnung der Kanalzahlen
existierende Netze
Messung der Angebotsparameter, der realen Qualitätsparameter,
Prüfung der Meßwerte gegen die Planwerte (Soll-/Ist-Vergleich),
Anpassung der Netzstruktur
Angebotsparameter: Verteilung (Mittelwert, Varianz)
Qualitätsparameter: Verlust, Wartezeiten, (Mittelwert, Varianz)
Netzstruktur, Redundanz

(3)

Die Verkehrstheorie ist die mathematische Beschreibung des Teilnehmerverhaltens mit der Hilfe der Statistik. Häufig
sind die Quellen des Fernsprechverkehrs die Fernsprechteilnehmer, die Quellen können aber auch Einrichtungen
des Netzes, wie Register, Mailsysteme oder andere sein. Durch die Versuche, miteinander in Verbindung zu treten,
und durch die Gespräche erzeugen sie den Verkehr. Ihr Verhalten, d. h., zu welchen Zeitpunkten und wie oft sie
solche Versuche unternehmen, wie lange sie dabei und während der Gespräche die Vermittlungseinrichtungen in
Anspruch nehmen, gibt dem Verkehr hauptsächlich seine Eigenschaften. Mit diesen ,,ursprünglichen” Eigenschaften
und deren Beeinflussung durch die vermittlungstechnischen Einrichtungen befaßt sich die Verkehrstheorie; diese gibt
der Vermittlungstechnik die Möglichkeit, ihre Anlagen dem Verkehr entsprechend wirtschaftlich zu dimensionieren.
Ziel ist es die Ressourcen (Vermittlungssysteme, Übertragungssysteme, Supportsysteme) so zu dimensionieren, daß
die Kosten minimal sind bei gegebenen Qualitätsparametern. Die Qualitätsparameter, die mittels der Verkehrstheorie
bestimmt werden sind:
der Verlust in der Hauptverkehrsstunde (Mittelwert, Varianz)
die Wartezeit in der Hauptverkehrsstunde (Mittelwert, Varianz)
Die Behandlung von existierenden Netzen und Systemen ist einfacher als die Dimensionierung von neuen
Einrichtungen, da in den vorhandenen Systemen das Verhalten der Quellen direkt gemessen werden kann, während
für neue Systeme die Eigenschaften der Quellen aufgrund von Erfahrungswerten festgelegt werden müssen. Um von
den Erfahrungswerten zu den realen, im Einzelfall vorhandenen Werten zu kommen, sind häufig mehrere Iterationen
erforderlich.

Die Netzoptimierung wird vom Quellenverhalten, von der Netzstruktur, einschließlich geographischer Gegebenheiten,
und den Forderungen aus der Sicherheit des Betriebes (Redundanz) beeinflußt.


Netzoptimierung

ja
Optimierungs-
Schätzung oder Messung
Ende
kriterium
der zu optimierenden
Parameter erfüllt?

nein

Struktur eines Festnetzes
festlegen (Knotenzahl,
Bündelzahl, Leitweglenkung)

Zielfunktion
berechnen

(4)

Die Netzoptimierung ist ein iterativer Prozeß, der durchaus mehrere Monate benötigen kann, bevor er in ein
Gleichgewicht kommt. Das System oder Netz wird ausgehend von der ersten Schätzung aufgebaut und bezüglich
seiner Leistungsfähigkeit nachgemessen. Anschließend erfolgt mit den dann gemessenen Quellendaten eine neue
Berechnung des Netzes und daraus resultierend eine korrigierte Zusammenschaltung. Am Anfang einer Netznutzung
kann sich auch das Quellverhalten noch stark ändern, so daß die Korrekturen mehrfach vorgenommen werden
müssen. Auch bei einem Netz im Gleichgewichtszustand empfiehlt sich die periodische Kontrolle der Quellparameter,
um sich an Änderungen anzupassen. Die Kontrollen können beispielsweise jährlich erfolgen.
Bei der Beschaffung der Systeme ist darauf zu achten, daß die Netzelemente über Meßhilfen zur Erfassung ihrer
Verkehrsdaten verfügen.


Verlustsystem

Abweisen von Anforderungen, falls keine Bedienstation
frei ist
Qualitätsparameter
Verlustwahrscheinlichkeit
Beispiele: ISDN, POTS

A n

1
Y
N
2 A
R
N
Y
t

(5)

Merkmale eines Verlustsystems
Abweisen von Anforderungen, falls keine Bedieneinheit frei ist
Qualitätsparameter: Verlust (Blockierungswahrscheinlichkeit), d. h. der
Anteil der Anforderungen, die nicht vom System bearbeitet werden kann
Beispiele
ISDN (diensteintegrierendes digitales Netz)
analoges Telefonnetz (POTS, plain old telephony Service)


Wartesystem

M Warteplätze N Bedieneinheiten (μ)
A, λ Y Y

z. B. Leitungen, Kanäle
Warteschlange

Qualitätsparameter: Verkehrsintensität oder
- Wartewahrscheinlichkeit > T Ausnutzung:
- mittlere Wartezeit
λ
ρ=
- Verlustwahrscheinlichkeit
μ
Anwendung:
λ Einfallrate für Bearbeitungswünsche
X.25, ATM, Lokale Netze
µ Bearbeitungsrate

(6)

Merkmale eines theoretischen (reinen) Wartesystems
keine Abweisung von Anforderungen, sondern Speicherung in einer Warteschlange
unendliche Länge der Warteschlange
Qualitätsparameter :
Wartewahrscheinlichkeit
mittlere Wartezeit
Wahrscheinlichkeit für eine Wartezeit > T
Merkmale eines realen Wartesystems (Warte-Verlust-System)
keine Abweisung von Anforderungen, sondern Speicherung in einer Warteschlange
endliche Länge der Warteschlange, die als Speicher realisiert werden kann
Qualitätsparameter:
siehe theoretisches Wartesystem
zusätzlich Blockierungswahrscheinlichkeit
Beispiele
X.25 (z. B. in Form des Datex-P-Dienstes der Telekom AG)
Asynchroner Transfer Modus (ATM)
Lokale Netze (LAN)
Verkehrsintensität oder Ausnutzung
wichtige Größe zur Berechnung der Systeme
Stabilitätskriterium: l<m oder r<1 (instabil für l→m) (s. Schwartz, S. 21ff)


Systemmodell

Bedieneinheit
Warteschlange Ausgang
Ankünfte abgehend

Arrivals Output
leaving
Queue Server
Wir sprechen allgemein von „Kunden“ im System.
Beispiele:
• Schlange an der Kasse im Supermarkt
• Zu- und Abfluss in einem Gasspeicher
• Zu- und Abfluss in einem Wasserturm
• Anfragen an einen Dateiserver (Computernetz)
• Bedienen von Jobs in einem Multitasking-Computer
• Pakete in einem Datenkommunikationssystem
• Anrufe in einem Sprachkommunikationssystem (z.B. auch Callcenter)

(7)

Consider the simplest model of a queue, as depicted in Fig. 2— 1. To keep the discussion concrete, the queue in this
case is shown handling packets of data. These packets could also be calls queuing up for service in a circuit-
switched system. More generally, in the queuing literaturejargon, they would be ,,customers” queuing up for service.
The packets arrive randomly, at an average rate of l packets/time (we shall use units of packets/sec most often).
They queue up for service in the buffer shown and are then served, following some specified service discipline, at an
average rate of µ packets/time. In the example of Fig. 2— 1, only a single server is shown. More generally, multiple
servers may be available, in which case more than one packet may be in service at any one time.The concept of a
server is of course well known to all of us from innumerable waits at the supermarket, bank, movie house, automobile
toll booth, and so forth. In the context of a data network, the server is the transmission facility— an outgoing link, line,
or trunk (all three terms will be used interchangeably in the material following) that transmits data at a prescribed
digital rate of C data units/time. Most frequently, the data units are given in terms of bits or characters, and one talks
of a transmission rate or link capacity C in units of bits/sec or characters/sec. A transmission link handling 1000-bit
packets and transmitting at a rate of C= 2400 bps, for example, would be capable of transmitting at a rate of µ = 2.4
packets/sec. More generally, if the average packet length in bits is 1/µ‘ bits, and is given in units of bits/packet, µ =
µ´C packets/sec is the transmission capacity in units of packets/sec. (For circuit-switched calls, the ,, customer”
would be a call; 1 arrivals/sec represents the average call arrival rate, or the number of calls/sec handled on the
average. The parameter 1/µ, in units of sec/call, is called the average call holding time.)lt is apparent that as the
packet arrival rate l approaches the packet rate capacity µ, the queue will start to build up. For a finite buffer (the
situation in real life), the queue will eventually saturate at its maximum value as l exceeds m and continues to
increase. If the buffer is filled, all further packets (customers) are blocked on arrival. We shall demonstrate this
phenomenon quantitatively later in this chapter. If for simplicity the buffer is assumed to be infinite (an assumption we
shall make often to simplify analysis), the queue becomes unstable as l > µ. We will show that l <µ to ensure stability
in this case of a single server queue. In particular, we shall find the parameter r = l/µ playing a critical role in queueing
analysis. This parameter is often called the link utilization or traffic intensity. Note that it is defined as the ratio of load
on the system to capacity of the system. For a single-server queue, as p approaches and exceeds one, the region of
congestion is encountered, time delays begin to increase rapidly, and packets arriving are blocked more often.To
quantify the discussion of time delay, blocking performance, and packet throughput (the actual number of
packets/time that get through the system), and their connection with both µ (the packet rate capacity) and the size of
the buffer in Fig. 2— 1, one needs a more detailed model of the queueing system. Specifically, those performance
parameters among others will be shown to depend on the probabilities of state of the queue. The state is in turn
defined to be the number of packets on the queue (including the one in service if the queue is nonempty)


Ankunftszeiten und Bedienzeiten

tb1 tb2 tb3 tb4
Bedienzeiten
Quelle

ta34
ta12 ta23
Zwischenankunftszeiten

Zeit
t4
t3
t1 t2 Ankunftszeiten
Zwischenankunftszeit und Bedienzeit sind
Zufallsgrößen
durch ihre Verteilungen eindeutig festgelegt
1
λ=
mittlere Zwischenankunftszeit: t a mittlere Ankunftsrate:
ta
1
μ=
mittlere Bedienzeit: tb mittlere Bedienrate:
tb

Für diese Vorlesung werden grundsätzlich exponentiell verteilte Zeiten
angenommen! ( Gedächtnislosigkeit)

(8)


Poissonverteilung

Die Poissonverteilung kann aus der Exponentialverteilung
abgeleitet werden.

Definition: Sind beliebige Ereignisse voneinander unabhängig und gleichverteilt und
gibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Ereignisse im Intervall t an, dann ist X
poissonverteilt.
(λ ⋅ t ) −λ⋅t
k
P( X = k ) = pk = ⋅e
k!
λ: Rate, mit der die Ereignisse eintreten

μ = λ ⋅t
Mittelwert

σ = λ ⋅t
2
und Varianz

(9)

Eine Zufallsgröße heißt poissonverteilt, wenn sie die abzählbar unendlich vielen möglichen Werte k= 0, 1, 2, ... mit
den Wahrscheinlichkeiten
(λt )
k
⋅ e −λt ,k = 0,1,...
P ( X = k ) = pk =
k!
annimmt. (s. Bronstein, S. 663 oder s. Papoulis , S. 56f)


Leistungsgrößen

Ziel der Modellbildung ist die Ermittlung von
Leistungsgrößen:

• Zustandswahrscheinlichkeit p(k)
• Auslastung ρ
• Durchsatz γ
• Antwortzeit Tv
• Warteschlangenlänge N
• Füllung k

(10)


Inhalt

Einführung
Little‘s Law
Markov-Ketten
M/M/1-System
Warteschlangennetze

(11)


Durchschnittliche Anzahl Kunden im System

Bedieneinheit
Ankünfte abgehend

Arrivals Output
leaving
Queue Server

Die Fragestellung ist, wie viele Kunden sich „im
Durchschnitt“ oder „typischerweise“ im System befinden.
Dazu dient der Satz von Little

(12)


Ableitung von Little‘s Law
Wir nehmen an, dass wir das System vom Zeitpunkt t = 0 bis in die unendliche Zukunft
betrachten und die Zahl der Kunden im System beobachten.
Definitionen:
N(t) = Anzahl Kunden im System zur Zeit t
a(t) = Anzahl Kunden, die im Zeitraum [0,t] eingetroffen sind
Ti = Zeit, die der i-te Kunde im System verbringt
Dann ist die typische Anzahl Kunden im System beobachtet bis zur Zeit t:

1t
N (t ) = ∫ N (τ )dτ
t0
Wir nehmen an, dass N = lim N (t ) existiert
t →∞
a (t )
λ (t ) = und damit λ = lim λ (t )
t →∞
t
Ähnlich behandeln wir die Anzahl Kunden und die Verweilzeit im System:

∑
a (t )
Ti
T (t ) = und damit T = lim T (t )
i =0
t →∞
a (t )
(13)


Little’s Law

Allgemein gültige Gesetzmäßigkeit der Bedientheorie,
erstmals von Little bewiesen
Little’s Law lautet
Die mittlere Einfallrate von
Bedienwünschen

k = λ ⋅ Tv
Der mittlere Die mittlere
Füllgrad einer Verweildauer in der
Warteschlange Warteschlange

!!!Wichtig!!! Alle Werte sind Durchschnittswerte !!!Wichtig!!!

Der Satz von Little gilt für beliebige Ankunfts- und Bedienprozesse!

(14)


Inhalt

Einführung
Little‘s Law
Markov-Ketten
M/M/1-System
Warteschlangennetze

(15)


Markov-Ketten

P02
P( n −1) n
P12
P01

0 1 2 n-1 n

Pn ( n −1)
P10 P21
Pn 2
P20

Beschreibt einen zeitdiskreten oder zeitkontinuierlichen stochastischen
Prozess, der positive Integerzahlen annehmen kann
Die Aufenthaltsdauer in Zustand i ist exponentiell verteilt (im
zeitkontinuierlichen Fall)
Wenn der Prozess in Zustand i ist, gibt es eine feste Wahrscheinlichkeit
Pij dafür, dass er als nächstes im Zustand j ist.

∑ Pij = 1 und p j = ∑ pi Pij
j i

(16)

Die Aufenthaltsdauer im zeitkontinuierlichen Fall ist durch die Exponentialverteilung gegeben (Der Aufenthalt kann
auch so interpretiert werden, dass nach einer Ankunft das System im Zustand k ist und die Zeit bis zur nächsten
Ankunft/dem nächsten Verlassen des Zustands exponentiell verteilt ist).

Im zeitdiskreten Fall ist es so, dass in jedem Zeitintervall δt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde im Zustand
i aus Zustand j ankommt oder den Zustand i in den Zustand k verlässt, gegeben ist durch Pji, bzw. durch Pik. Wenn
die Wahrscheinlichkeiten unabhängig sind, entsprechen die Aufenthaltsdauern in den Zuständen einer
Exponentialverteilung (siehe Herleitung Poisson-Prozess).


Eigenschaften von Markov-Ketten

Nicht-reduzierbare Markov-Kette: Man kann in endlichen
Schritten von jedem Zustand in jeden anderen Zustand
übergehen
Reguläre Markov-Kette: Endliche Anzahl
Zustandsübergänge in jedem endlichen Zeitintervall
Aperiodische Markov-Kette: Es gibt keinen Zustand, der
nur nach gleichen Perioden wieder erreicht werden kann

p j = lim P{X (t ) = j ) | X (0) = i} existiert, ist stationär und
t →∞

unabhängig vom Anfangsszustand i
(d.h. man kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
berechnen, bei der es egal ist, wann man auf den Prozess
schaut“)

(17)

Hier ist wieder die Gedächtnislosigkeit der Verweildauer in einem Zustand wichtig. Der Markov-Prozess ist der
einzige gedächtnislose stochastische Prozess. Dies bedeutet, dass man nicht darauf achten muß, wie lange der
gerade in Bedienung befindliche Kunde bereits bedient wird, da die restliche Bedienzeit immer die gleiche
statistische Verteilung hat, unabhängig vom Zeitpunkt des Draufschauens. Wir werden bei M/G/1-Systemen sehen,
dass dort diese Voraussetzung nicht gilt und damit die mathematische Lösung des Problems ungleich schwerer ist.

Die Existenz einer Wahrscheinlichkeitsdichte ist eindeutig, wenn sie existiert. Dann spricht man von einer stationären
Verteilung. Wenn sie nicht existiert, sinde alle pj = 0 und die Markov-Kett hat keine Stationäre
Wahrscheinlichkeitsdichte. Ein Beispiel für eine Markov-Kette ohne stationäre Dichte ist der Poisson-Prozess nach
Folie 35 (Lassen Sie dazu t ∞ gehen!). Allerdings ist die Markov-Kette zum Poisson-Prozess auch nicht nicht-
reduzierbar, da man nicht von jedem Zustand in jeden anderen Zustand gelangen kann. Wir werden später Markov-
Ketten kennen lernen, bei denen eine stationäre Wahrscheinlichkeitsdichte existiert.


Geburts-Sterbeprozess

Der Zustand k kann nur vom Vorgänger k-1 und
Nachfolger k+1 erreicht werden und der Zustand k kann
nur zum Vorgänger k-1 und Nachfolger k+1 verlassen
werden
Die Übergangswahrscheinlichkeiten können
zustandsabhängig sein

Pk −1, k Pk ,k +1

k-1 k k+1

Pk , k −1 Pk +1,k

(18)


Detaillierte Gleichgewichtsgleichungen

Für Geburts-Sterbeprozesse muss im stationären Fall die
Übergangsraten von Zustand k in den Zustand k+1 gleich
der Übergangsrate von Zustand k+1 in Zustand k sein. Die
=p P
Gleichgewichtsgleichung dazu ist: p P
k k , k +1 k +1 k +1, k

Die detaillierten Gleichgewichtsgleichungen sind ein
Spezialfall der globalen Gleichgewichtsgleichungen,
gelten aber nicht für jede Markov-Kette. Wenn sie jedoch
gelten, dann erleichtern sie die Berechnung der
stationären Wahrscheinlichkeitsdichte enorm.
Pk −1, k Pk , k +1

k-1 k k+1

Pk ,k −1 Pk +1,k

(19)


Inhalt

Einführung
Little‘s Law
Markov-Ketten
M/M/1-System
Warteschlangennetze

(20)


Kendall-Notation für Wartesysteme

A|B|m|n
A := Verteilung der Zwischenankunftszeiten
B := Verteilung der Bearbeitungszeiten
m:= Anzahl der Bedieneinheiten
n := Anzahl der Warteplätze
Parameter für A,B
M:= exponentielle Verteilung (Markov)
E := r-stufige Erlangverteilung
H:= r-stufige hyperexponentielle Verteilung
D:= deterministisch
G:= allgemeine Verteilung
Beispiel: M|D|4|10

(21)

Interpretation des Beispiels M|D|4|10
exponentielle Verteilung der Zwischenankunftszeiten
Deterministische Bearbeitungszeiten
vier Bedieneinheiten
zehn Warteplätze
Anmerkung
Als Erweiterung der Kendall’schen Notation wird oft die Abfertigungsstrategie mit angegeben
A | B | m | n - Warteschlagendisziplin , z. B. : M | M | 1 | 1 - FCFS


Zustandsübergänge in der M/M/1-Queue

μ
nn
+n- 21
λ Bedieneinheit
11

Unbegrenzte Warteschlange
Warteschlangenbelegung

Wir wollen zum Zeitpunkt t+ Δt den
Zustand „n Plätze in der Warteschlange
n+1
belegt“ erreichen. Wir postulieren, dass
nur jeweils ein Vorgang zur Zeit bei den
n Quellen und den Bedieneinheiten passieren
kann. Aus dieser Überlegung ergibt sich das
n-1 nebenstehende Diagramm.

Erkenntnis: es sind nur Übergänge
in benachbarte Zustände möglich!
Zeit
t t+Δt

(22)

Von n+1 nach n gelangen wir durch Freiwerden der Bedieneinheit und Nachrücken eines Auftrages aus der
Warteschlange. Wir gehen davon aus. Dass die Bedieneinheit immer sofort nach dem Freiwerden einen neuen
Auftrag übernehmen kann und wird.
Von n nach n gelangen wir durch Einfallen eines neuen Bearbeitungswunsches und gleichzeitiges Feiwerden der
Bedieneinheit.
Von n-1 nach n gelangen wir durch alleiniges Einfallen eines neuen Bearbeitungswunsches.


Detaillierte Gleichgewichtsgleichungen der
M/M/1-Queue
λτ
λτ λτ λτ

0 1 2 n-1 n n+1

μτ
μτ μτ μτ

Die detaillierte Gleichgewichtsgleichung lautet:

p n λτ = p n +1μτ
Im Grenzübergang τ→0:
p n λ = p n +1μ
Mit ρ = λ /μ:
p n +1 = ρ ⋅ p n

(23)


Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte der
M/M/1-Queue

Durch Induktion ergibt sich:
p n = ρ n p0
Nun brauchen wir nur noch p0 zu bestimmen. Dazu nehmen wir die Summe aller
Wahrscheinlichkeiten, die sich zu 1 summieren müssen:
∞ ∞ p0
1 = ∑ p n = ∑ ρ n p0 =
1− ρ
n =0 n =0

⇒ p0 = 1 − ρ
⇒ p n = ρ n (1 − ρ )
pn ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Kunden im System sind. Damit ist auch die
Wahrscheinlichkeitsdichte des M/M/1-Prozesses gegeben!

(24)


Durchschnittliche Zahl Kunden im System

Die Durchschnittliche Anzahl Kunden im System, N, ist gegeben durch:

∞ ∞
N = lim E{N (t )} = ∑ n ⋅ p n = ∑ n ⋅ ρ n (1 − ρ ) =
t →∞ n =0 n =0
∂ ⎛ ∞ n⎞
∞
ρ (1 − ρ ) ∑ n ⋅ ρ n −1 = ρ (1 − ρ ) ⎜ ∑ρ ⎟=
∂ρ ⎝ n = 0 ⎠
n =0

∂⎛ 1 ⎞ 1
ρ (1 − ρ ) ⎟ = ρ (1 − ρ )
⎜
∂ρ ⎜ 1 − ρ ⎟ (1 − ρ ) 2
⎝ ⎠
ρ λ
= =
1− ρ μ −λ

(25)

Es handelt sich um eine Erwartungswertbildung, d.h. der allgemein gültigen Vorschrift zur Berechnung des
Durchschnittswertes.


Graph für N im M/M/1-System
20

15
Durchschn. Anz. N

10

5

0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
rho
Es ist sinnvoll, ρ als Nutzungsfaktor des Systems zu betrachten, d.h. ρ ist gleich dem
Langzeit-Anteil, während dessen die Bedieneinheit belegt ist. Damit ist auch klar, dass
ρ = 1 - p0 (also gleich der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Kunde im System ist).

(26)


Durchschnittliche Wartedauer

Die Durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System T ist gegeben durch (Little‘s Theorem):
ρ
N 1
T= = =
λ λ (1 − ρ ) μ −λ
Die Durchschnittliche Wartedauer in der Schlange W ist gegeben durch (Little‘s Theorem):
ρ
1 1 1
W =T − = −=
μ μ −λ μ μ −λ

Schließlich ist die durchschnittliche Anzahl Kunden in der Schlange NQ:
ρ2
N Q = λW =
1− ρ

(27)


Inhalt

Einführung
Little‘s Law
Markov-Ketten
M/M/1-System
Warteschlangennetze

(28)


M/M/m system description

μ
m Bedieneinheiten

μ
Ankünfte abgehend

λ
Arrivals Output
leaving
Queue
:
μ
Infinite length!
m Servers

Whenever a customer arrives in the system, he is
• Queued when all servers are busy
• Passed on to the next available server when at the head of queue or when at least
one server is free upon arrival

(29)

The system is such that a single queue with infinite length is connected to m servers. When a customer arrives in the
system and at least one server is busy, he is forwarded to an arbitrary free server. If all servers are busy, the
customer is queued and has to wait , until it is at the head of the queue and a server becomes free. The customer,
then, is routed to this free server.

The M/M/m-system, therefore, is identical to the M/M/1-system, except that m servers are available. In particular, the
number of places in queue is unlimited.

The mean arrival rate of customers into the system is denoted by λ and each server has a mean service rate of μ.
Both, arrival and service processes, are Poisson.


The M/M/m Markov chain

λτ λτ
λτ λτ
λτ

0 1 2 m-1 m m+1

μτ (m-1)μτ mμτ
mμτ
2μτ

⎧ (mρ ) n
n<m
⎪ p0 ;
λp n −1 = nμpn n < m ⎪ n!
⎪
⇒ pn = ⎨
λp n −1 = mμpn n ≥ m
⎪
⎪p m ρ ;
mn
n≥m
⎪ 0 m!
⎩
λ
where ρ = <1
mμ

(30)

Now that we have the Markov chain, we need to search for the detailed balance equations. The solution can be found
by iteration, as in the case of the M/M/1-System:
for n ≤ m :
λpn −1 = nμpn
λ λ⎛ λ λn
⎞
⎜ ⎟
pn = p n −1 = pn − 2 ⎟ = Κ = p0
nμ ⎜ (n − 1) μ
nμ n! μ n
⎝ ⎠
λ λn λn
with ρ = ⇒ ρ n = n n ⇒ n = (mρ ) n
mμ mμ μ
(mρ ) n
we get p n = p0
n!

The part for n>m is analogous


Solution for M/M/m system
Determination of p0

m −1 ( mρ ) n mm ρ n
∞ ∞
∑ pn = 1 = ∑ p0 + ∑ p0 =
n! m!
n =0 n =0 n=m
m −1 ( mρ ) (mρ ) n 1
n ∞
p0 + ∑ p0 + ∑ p0
m! m n − m
n!
n =1 n=m
−1
⎡ m −1 (mρ ) n 1⎤
∞ ( mρ ) n
⇔ p0 = ⎢1 + ∑ +∑ ⎥
m! m n − m ⎥
⎢ n =1 n!
⎣ ⎦
n=m
−1
⎡m −1 (mρ ) n (mρ ) m ⎤
=⎢∑ + ⎥
m!(1 − ρ ) ⎥
⎢ n!
⎣ ⎦
n =0

(31)

Some explanations for the last step in the slide above:
n
(mρ ) n 1 ∞ ⎛ mρ ⎞ mm ∞ n
∞ 1
∑ρ
= ∑⎜ =
⎟
∑
m! m n − m n = m ⎝ m ⎠ m!m − m m! n = m
n=m

The sum can be solved to:

ρ m −1 ρ m
∞ ∞ m −1 1
∑ρ = ∑ρ − ∑ ρ = − =
n n n
1− ρ ρ −1 1− ρ
n=m n =0 n =0

And the final result is:

(mρ ) n 1 (mρ ) m
∞
=
∑
m! m n − m m!(1 − ρ )
n=m

Note that the calculation of p0 is necessary to compute the probabilities for all other states of the system. This
computation requires somewhat more effort compared to an M/M/1-system. However, with given parameters, it can
be done easily with a small computer programm. All subsequent computations are straight forward and simple.


M/M/m delay situation

What is critical is the probability to find all servers busy, i.e. the case when an arriving
customer has to wait in queue:

p0 m m ρ n p0 (mρ ) m ∞ n − m
∞ ∞
∑ρ
P{Queueing} = PQ = ∑ pn = ∑ =
m! m!
n=m n=m n=m

p0 (mρ ) m
PQ =
m!(1 − ρ )

This is known as the Erlang-C formula (or Erlang‘s delay formula).
• Often used in telephone systems (call center example, manual exchange office)
• Used to estimate the probability to find e.g. all operators in a call center busy.
• The customer remains in queue, i.e. it continously tries to get a free server.

(32)

The danish mathematician A.K. Erlang was the foremost pioneer of queueing theory. The Erlang delay formula above
is named after him to honour his merits in queueing theory.


Comparison of M/M/m and M/M/1 systems

Note that

ρ
NQ
=
1− ρ
PQ
represents the expected number found in queue by an arriving customer conditioned on the
fact that all servers are busy. It is independent of the number of servers for a given ρ=λ/(mμ)!
Hence, as long as customers are waiting in queue, the queue size of the M/M/m systems
behaves identically as in an M/M/1-system with service rate mμ!

(33)


Inhalt

Einführung
Little‘s Law
Markov-Ketten
M/M/1-System
Warteschlangennetze

(34)


Warteschlangennetze

Bisher nur einzelne Bedieneinheiten betrachtet
reale System lassen oft nur durch Zusammenschaltung
mehrere Bedieneinheiten modellieren
Unterscheidung
offene Netze: Aufträge können von außerhalb ankommen und
das System wieder verlassen
geschlossene Netze: Aufträge bewegen sich nur innerhalb des
Systems
gemischte Netze
Notation der Zustandswahrscheinlichkeiten
p(k1,k2,...,kN)

(35)

Die Zustandswahrscheinlichkeiten der einzelnen Knoten werden durch

∑ p(k , k
pi (k ) = ,..., k N )
1 2
N

∑ k j = K & ki = k
j =1

angegeben.


Zusammenschaltung mehrerer
Bedieneinheiten
Reihenschaltung
μ1 μ2

Parallelschaltung
μ1

μ2

Gemischte Zusammenschaltung
μ2
μ1
μ3

(36)

Bei der Zusammenschaltung mehrere Bedieneinheiten sind zur Beschreibung des Systems nicht nur die
Übergangsraten, sondern auf die Wahrscheinlichkeiten der Zustandsübergänge anzugeben.
Dies ist bei Parallelschaltung wichtig, da dort zwei Zustandsübergänge möglich sind.

Auf die gemischte Zusammenschaltung angewandt bedeutet dies:
Übergangsrate von System 1 zu System 2: µ1 p12
Übergangsrate von System 1 zu System 3: µ1 p13
Übergangsrate von System 2 zu System 1: µ2 p21= µ2, da p21= 1
Übergangsrate von System 3 zu System 1: µ3 p31= µ3,, da p31= 1


Gleichungen für die Leistungsgrößen unter
Verwendung der Zustandswahrscheinlichkeiten
Durchsatz λi eines Knotens i:
∞
λi = ∑ pi ( k ) ⋅ μi ( k )
k =1

Gesamtdurchsatz des Systems λ :
N
λ = ∑ λi
i =1
im offenen Netz ist der Gesamtdurchsatz im
Gleichgewichtszustand gleich der Rate der das Netz
verlassenden oder erreichenden Bearbeitungsaufträge

(37)


∞
Auslastung ρi eines ρi = ∑ pi (k )
k =1
single-server Knotens te λ
mittlereBedienzeit Ankunftsra
= = =
m:=Zahl der Bedieneinheiten
mittlereZwischenankunftszeit Bedienrate mµ

mittlere Anzahl von Aufträgen ∞
k i = ∑ k ⋅ pi ( k )
im i-ten Knoten:
k =1

∞
Qi = ∑ ( k − 1) ⋅ pi ( k )
mittlere Warteschlangenlänge
k =1

ki
ti =
λi
mittlere Antwortzeit

(38)


Literatur
• Bolch, Gunter:
Leistungsbewertung von Rechensystemen mittels analytischer Warteschlangenmodelle, Stuttgart: Teubner,
1989
• Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.:
Taschenbuch der Mathematik
23. Auflage, Frankfurt/Main: Thun, 1987
• Kleinrock, L.:
Queueing Systems, Vol. 1 : Theory
New York: Wiley & Sons, 1975
• Schuberth, W.:
Verkehrstheorie Elektronischer Kommunikationssysteme
Wien : Dr. Alfred Hüthig Verlag Heidelberg, 1986
• Schwartz, Mischa:
Telecommunication networks
Addison-Wesley Publishing Company, 1987
• Siemens AG:
Tabellenbuch Fernsprechverkehrstheorie
Berlin, München: 1981
• Tanenbaum, Andrew S.:
Computer-Netzwerke
Attenkirchen: Wolfram’s Fachverlag, 1992
Außerdem:
• Kleinrock, L.:
Communication Nets
New York: Dover, 1964
• Schassberger, R.:
Warteschlangen
New York; Wien: Springer Verlag, 1973
• Störmer u. a.:
Verkehrstheorie
München: Oldenbourg Verlag, 1966
• Uhl, Tadeus:
Verkehrstheoretische Untersuchungen und Dimensionierung von Rechner- und Datennetzen unter
besonderer Berücksichtigung von Protokollen
Düsseldorf: VDI-Verlag, 1992


Weitere Folien zur Information

Die weiteren Folien enthalten zusätzliche Informationen

(40)


Warteschlangendisziplinen

FCFS (FIFO) First Come, First Served
LCFS (LIFO) Last Come, First Served
SIRO Served In Random Order
RR Round Robin
statische Prioritäten
dynamische Prioritäten
Verdrängung

(41)

FIFO (First in, First out) oder auch FCFS (First come, First serve)
Bearbeitung in der Reihenfolge des Eintreffens
gerechte Bearbeitung
geringe Streuung der Wartezeitverteilung
LIFO (Last in, First out) oder auch LCFS (Last come, First serve)
Bearbeitung in entgegengesetzter Reihenfolge des Eintreffens
sehr große Streuung der Wartezeitverteilung
SIRO (Serve-In-Random-Order) Zufällige Reihenfolge
Bearbeitung unabhängig von der Reihenfolge des Eintreffens
große Streuung der Wartezeitverteilung
Round Robin
Auftrag für eine Zeitspanne t bearbeiten
Rückschreiben des Auftrags in die Warteschlange
solange fortsetzen , bis der Auftrag fertig ist
Prioritätsmechanismen
Bereitstellung unterschiedlicher Prioritätsklassen zur schnellen Bearbeitung wichtiger Anforderungen
Einführung getrennter Warteschlangen für Anforderungen unterschiedlicher Priorität
Bevorzugung der Warteschlangen mit höherer Priorität
Vergabe der Prioritäten
statisch
Fest vorgegebene Prioritäten
Innerhalb einer Prioritätsklasse, d.h. alle Anforderungen haben gleiche Priorität, erfolgt die
Herausnahme der Aufträge aus der Warteschlange nach dem FCFS-Prinzip.
Dynamisch
Die Prioritäten der Aufträge ändern sich mit der Zeit.
Unterscheidung verschiedener Verfahrensweisen bei Anforderungen mit höherer Priorität
unterbrechende Priorität: Unterbrechung der Bearbeitung bei Eintreffen einer Anforderung
mit höherer Priorität. Weiterführen der Bearbeitung nach Beendigung der bevorrechtigten
Anforderung
nicht unterbrechende Priorität. Bearbeitung der höher priorisierten Anforderung nach
Abschluß der laufenden Aufgabe

Zufallsvariable

Ergebnis eines Zufallsexperimentes: Zufallsvariable
Unterscheidung
diskrete Zufallsvariablen
kontinuierliche Zufallsvariablen
im folgenden werden diskrete Zufallsvariablen betrachtet
Wahrscheinlichkeit für den diskreten Wert X=k oder xi=k:
pk= P(X=k) oder pk = P(xi=k)
Es muß gelten

und

∑
P( X = k) ≥ 0 P( X = k ) = 1
k

(42)

Beschreibung diskreter Zufallsvariablen
Fx ( x ) = P ( xi ≤ x )
Verteilungsfunktion: i

Die Verteilungsfunktion F gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Wert der
Zufallsvariablen xi kleiner oder gleich einer vorgegebenen Zahl x ist
Sie ist aufgrund der Eigenschaften von P eine auf das Intervall 0 ≤ F ≤ 1
beschränkte, nicht abnehmende Funktion
Im Fall der diskreten Zufallsvariablen ist sie eine Treppenkurve.

m
x = ∑ P ( xi ) ⋅xi
Erwartungswert:
i =1
(zentrales Moment erster Ordnung)
Zentrales Moment bedeutet, das Moment der Zufallsvariablen bezogen auf den
Erwartungswert.
m
∑ P ( xi ) ⋅( xi − E ( xi )) 2
E [( xi − E ( xi )) 2 ] = σ 2 =
Varianz:
i =1

(zentrales Moment zweiter Ordnung)
Die Varianz ist der mittlere quadratischen Fehler bei Approximation der Zufallsvariablen
durch ihren Erwartungswert.
m
E [( xi − E ( xi )) ] = ∑ P ( xi ) ⋅( xi − E ( xi )) n
n
zentrales Moment n-ter Ordnung:
σ
i =1
Variationskoeffizient: (normierte Standardabweichung)
c=
x

Verteilungsfunktionen

Exponentialverteilung
Hyperexponentialverteilung
Erlang-k-Verteilung
Hypoexponentialverteilung
Gammaverteilung
verallgemeinerte Erlang-Verteilung
Cox-Verteilung

(Bem.: Zur Beschreibung werden häufig der Mittelwert und
die Varianz herangezogen)

(43)


Exponentialverteilung am Beispiel der
Zwischenankunftszeiten
t
−
F (≤ t ) = P(T ≤ t ) = 1 − e am

am: mittlerer Einfallsabstand
Wahrscheinlichkeit F(=<t)
Parameter: am Einfallabstand 1 .. 10 sek
1

0.8

0.6

0.4

0.2

Zeit t
2 4 6 8 10

(44)

Die Exponentialverteilung ist eine wichtige Verteilung in der Verkehrstheorie. Sie kommt sehr häufig zur Anwendung,
⎧λ ⋅ e − λx für x ≥ 0 ⎫
wenn zeitliche zufällige Abstände gemessen werden
f ( x) = ⎨ ⎬
für x < 0 ⎭
⎩0
Die Exponentialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für genau ein Ereignis innerhalb des Intervalls t.

Definition: eine stetige Zufallsgröße heißt exponentialverteilt, wenn sie folgenden Dichte (Ableitung der
Verteilungsfunktion) hat:
am*f(t)

1

(s. Bronstein, Kap.5)

0.8

0.6

0.4

0.2

t
--
1 2 3 4 5 6 am


Normierte Exponentialverteilung
F(=>t)

1

0.8

t
−
F (≤ t ) = P(T ≤ t ) = 1 − e am
0.6

mit am = 1[ s]:
0.4

t
−
F (≤ t ) = P(T ≤ t ) = 1 − e 1[ s ]
0.2

t/am
1 2 3 4 5 6
in 63% aller Fälle ist die Zeit bis zum Einfall des nächsten Ereignisses kleiner als der mittlere Einfallsabstand

(45)

Die Normierung findet auf den Mittelwert der zeitlichen Dauer bis zum Eintreffendes des erwarteten Ereignisses statt,
hier der mittleren Einfalldauer. Der Vorteil dieser Normierung ist die Reduzierung der prinzipiell unendlichen
Kurvenschar auf eine einzelne Kurve.
Bemerkenswerte Punkte dieser Kurve sind an der Stelle t/am = 1(dort ist die Zeit gleich dem mittleren
Einfallabstand). Bereits in 63% aller Fälle ist der Abstand zwischen zwei Ereignissen kleiner als am.

Nach t>6am ist die Wahrscheinlichkeit für den Einfall eines Ereignisses schon fast 1, das Ereignis ist also nahezu
sicher.


Zusammenfassung und Teilung
von Poissonverteilungen

λ1
λ2 λ1 + λ2 + λ3

λ3
q1λ
λ q2λ

q3λ

(46)

Das Zusammenfügen von Poissonverkehren zu einem neuen Poissonverkehr ist plausibel:
Wenn drei Gruppen mit je 100 Teilnehmern (näherungsweise als Gruppen mit unendlich vielen Teilnehmern
betrachtet) zu einer mit 300 Tln zusammengefaßt werden, dann ist auch diese Zahl nahezu unendlich.
Damit ist auch wieder die Voraussetzung für Poissonverkehr geschaffen, wenn sonst keine Bedingungen
verändert werden (Unabhängigkeit der Ereignisse)
Das Teilen jedoch ist nicht ganz so einsichtig. Der Verkehr wird z.B. geteilt, wenn er als Poissonverkehr einem
Bündel angeboten wird, und mit Hilfe des Bündels in den Verkehr der Belastung und den Rest aufgeteilt. Diese
beiden Verkehre sind nun aber keinesfalls mehr poissonverteilt.
Die Aufteilung darf nicht durch Kappen erfolgen, sondern muß z.B. durch alternernierendes Zuweisen zu zwei
Bündeln realisiert werden.
Warum wird diese Aufteilung in der Praxis nicht vorgenommen, obwohl sich damit viel einfacher rechnen lassen
würde? Antwort: der Bündelgewinn wird nicht ausgenutzt


Hyperexponentialverteilung Hk

• k: Anzahl der parallelen Stufen
μ1 • Nachbildung der gewünschten
Verteilung durch Parallelschalten
von exponentiell verteilten
μ2 Einzelprozessen (Phasen)
• Ein Auftrag wird mit der
Wahrscheinlichkeit qk von der
Phase k bedient
• es ist nur eine Phase zur Zeit aktiv
μκ

k
FX ( x ) = ∑ q j ⋅ (1 − e
− μ j ⋅x
), x ≥ 0
j =1

(47)

zur Approximation nicht exponentieller Verteilung mit einem
Variationskoeffizienten c > 1


Erlang-k-Verteilung

kμ
kμ kμ
Phase 1 Phase 2 Phase k

• Serienschaltung von k identischen Stufen (Phasen)
• jede Stufe für sich ist exponentiell verteilt

( kμ x ) j k −1
FX ( x ) = 1 − e − kμ x ⋅ ∑ , x ≥ 0, k = 1, 2, ...
j!
j =0

(48)

Zur Approximation nichtexponentieller Verteilungen mit Variationskoeffizienten c<1


Hypoexponentialverteilung

kμ kμ
kμ 1 1
1

jμ jμ jμ
1 1 1

rμ
rμ rμ
1
1 1

(49)

Durch Kombination der Hyperexponential- und der Erlang-k-Verteilung können beliebig komplexe Strukturen erzeugt
werden

Zusammenfassung der Kenngrößen der Verteilungen:

Mittelwert X
Verteilung Parameter Varianz var(X) Variationskoeffizient cX
μ 1 1 1
Exponential
μ μ2
μ ,k 1 1 1
Erlang k
≤1
μ
k = 1,2 ,... kμ 2 k
k k
∑μ ∑μ
k
∑ μ i2 − 1 >
qi 1 qi 1 q
k , μ i ,qi = 2⋅ − 2μ 2 ⋅
Hyperexponential
μ μ2
2
i=1 i=1
i i i=1 i


Leistungsgrößen

Zustandswahrscheinlichkeit p(k)
Wahrscheinlichkeit, mit der sich k Aufträge im System befinden
Auslastung ρ
für eine Bedieneinheit gilt:

Ankunftsrate λ
mittlere Bedienzeit
ρ= = =
μ
mittlere Zwischenankunftszeit Bedienrate

für m Bedieneinheiten gilt entsprechend

λ
ρ=
Bem.: Das System ist stabil für ρ<1
m⋅ μ

(50)

Mit Hilfe der Auslastung läßt sich ein stabiles System definieren, für das < 1 gelten muß, d.h. es dürfen im Mittel
nicht mehr Aufträge pro Zeiteinheit ankommen als bedient werden können. Hier werden nur stabile Systeme
betrachtet


Leistungsgrößen

Durchsatz γ
mittlere Zahl von Kunden, die pro Zeiteinheit bedient werden
Beim stabilen System gilt analog zur Auslastung: γ = λ
Antwortzeit Tv
Antwortzeit ist die Verweildauer der Kunden im System, also Wartezeit
Tw plus Bedienzeit
Warteschlangenlänge N
Zahl der Kunden in der Warteschlange
Füllung k
Zahl der Kundenim System

(51)

Anmerkungen
Bei realen Wartesystemen kann sich der Durchsatz allerdings von der Ankunftsrate unterscheiden, da dort
der Verlust von Paketen zulässig ist
Alle Leistungsgrößen gelten für allgemeine Wartesysteme im stationären Zustand oder im statistischen
Gleichgewicht


Average numbers of customers in M/M/m
queue
The average number of customers in an M/M/m queue is given by
∞ ∞
N Q = ∑ (n − m) p n = ∑ npm + n =
n=m n =0
m+n
(mρ ) m ∞ n
mm p
∞
∑ nρ =
= p0
∑ np0
m! m! n =0
n =0

(mρ ) m ρ
p0
m! (1 − ρ ) 2
With PQ form the Erlang-C formula, we get

p0 (mρ ) m ρ
PQ = ⇒ N Q = PQ
m!(1 − ρ ) 1− ρ

(52)


Average delay in M/M/m systems

The average waiting time in queue is given by Little‘s Law:

ρ ⋅ PQ
NQ
W= =
λ λ (1 − ρ )
The average time in system per customer is, therefore:

ρ ⋅ PQ λ
PQ
1 1 1
with ρ =
T= +W = + = +
μ μ λ (1 − ρ ) μ mμ − λ mμ
Using Little‘s law again, the average number of customers in the system is:

λPQ ρ ⋅ PQ
λ λ
N = λT = = mρ + with ρ =
+
μ mμ − λ 1− ρ mμ
In an M/M/1-system, we have:
ρ
N=
1− ρ

(53)

The comparison of N in the M/M/m and the M/M/1 system shows again that the queue behaviour of the M/M/m
system is equal to that of the M/M/1 system, under the assumption that all servers are busy.


Exponentialverteilung

t
−
F (≤ t ) = P(T ≤ t ) = 1 − e am

am: mittlerer Einfallsabstand
Wahrscheinlichkeit F(=<t)
Parameter: am Einfallabstand 1 .. 10 sek
1

Verständnisfrage:
Für welche der
0.8

Kurven ist am größer,
für die unterste oder
0.6
die oberste?

0.4

am steigt
0.2

Zeit t
2 4 6 8 10

(54)

Die Exponentialverteilung ist eine wichtige Verteilung in der Verkehrstheorie. Sie kommt sehr häufig zur Anwendung,
wenn zeitliche zufällige Abstände gemessen werden − λx
⎧λ ⋅ e für x ≥ 0 ⎫
f ( x) = ⎨ ⎬
für x < 0 ⎭
⎩0

Die Exponentialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für genau ein Ereignis innerhalb des Intervalls t.

am*f(t)
Definition: eine stetige Zufallsgröße heißt exponentialverteilt, wenn sie folgenden Dichte (Ableitung der
Verteilungsfunktion) hat:
1

(s. Bronstein, Kap.5)

0.8

0.6

0.4

0.2

t
--
1 2 3 4 5 6 am


[8] Nu P 04 3

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Andere mochten auch

Andere mochten auch (18)

Ähnlich wie [8] Nu P 04 3

Ähnlich wie [8] Nu P 04 3 (9)

Mehr von Rafael Scudelari

Mehr von Rafael Scudelari (20)

[8] Nu P 04 3