[8] Nu P 04 3

901 Aufrufe

Veröffentlicht am

0 Kommentare
1 Gefällt mir
Statistik
Notizen
  • Als Erste(r) kommentieren

Keine Downloads
Aufrufe
Aufrufe insgesamt
901
Auf SlideShare
0
Aus Einbettungen
0
Anzahl an Einbettungen
4
Aktionen
Geteilt
0
Downloads
3
Kommentare
0
Gefällt mir
1
Einbettungen 0
Keine Einbettungen

Keine Notizen für die Folie

[8] Nu P 04 3

  1. 1. Verkehrstheorie Wartesysteme Kapitel 4.3 Netze und Protokolle Dr.-Ing. Jan Steuer Institut für Kommunikationstechnik www.ikt.uni-hannover.de © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  2. 2. Inhalt Einführung Little‘s Law Markov-Ketten M/M/1-System M/M/m-System (Wartesystem) Warteschlangennetze (2) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  3. 3. Problemstellung Dimensionierung von Nachrichtennetzen neue Netze Schätzung der Angebotsparameter, Definition der Qualitätsparameter, Ermittlung der Kosten; Design des Netzes, Struktur, Wegewahl , Berechnung der Kanalzahlen existierende Netze Messung der Angebotsparameter, der realen Qualitätsparameter, Prüfung der Meßwerte gegen die Planwerte (Soll-/Ist-Vergleich), Anpassung der Netzstruktur Angebotsparameter: Verteilung (Mittelwert, Varianz) Qualitätsparameter: Verlust, Wartezeiten, (Mittelwert, Varianz) Netzstruktur, Redundanz (3) Die Verkehrstheorie ist die mathematische Beschreibung des Teilnehmerverhaltens mit der Hilfe der Statistik. Häufig sind die Quellen des Fernsprechverkehrs die Fernsprechteilnehmer, die Quellen können aber auch Einrichtungen des Netzes, wie Register, Mailsysteme oder andere sein. Durch die Versuche, miteinander in Verbindung zu treten, und durch die Gespräche erzeugen sie den Verkehr. Ihr Verhalten, d. h., zu welchen Zeitpunkten und wie oft sie solche Versuche unternehmen, wie lange sie dabei und während der Gespräche die Vermittlungseinrichtungen in Anspruch nehmen, gibt dem Verkehr hauptsächlich seine Eigenschaften. Mit diesen ,,ursprünglichen” Eigenschaften und deren Beeinflussung durch die vermittlungstechnischen Einrichtungen befaßt sich die Verkehrstheorie; diese gibt der Vermittlungstechnik die Möglichkeit, ihre Anlagen dem Verkehr entsprechend wirtschaftlich zu dimensionieren. Ziel ist es die Ressourcen (Vermittlungssysteme, Übertragungssysteme, Supportsysteme) so zu dimensionieren, daß die Kosten minimal sind bei gegebenen Qualitätsparametern. Die Qualitätsparameter, die mittels der Verkehrstheorie bestimmt werden sind: der Verlust in der Hauptverkehrsstunde (Mittelwert, Varianz) die Wartezeit in der Hauptverkehrsstunde (Mittelwert, Varianz) Die Behandlung von existierenden Netzen und Systemen ist einfacher als die Dimensionierung von neuen Einrichtungen, da in den vorhandenen Systemen das Verhalten der Quellen direkt gemessen werden kann, während für neue Systeme die Eigenschaften der Quellen aufgrund von Erfahrungswerten festgelegt werden müssen. Um von den Erfahrungswerten zu den realen, im Einzelfall vorhandenen Werten zu kommen, sind häufig mehrere Iterationen erforderlich. Die Netzoptimierung wird vom Quellenverhalten, von der Netzstruktur, einschließlich geographischer Gegebenheiten, und den Forderungen aus der Sicherheit des Betriebes (Redundanz) beeinflußt. © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  4. 4. Netzoptimierung ja Optimierungs- Schätzung oder Messung Ende kriterium der zu optimierenden Parameter erfüllt? nein Struktur eines Festnetzes festlegen (Knotenzahl, Bündelzahl, Leitweglenkung) Zielfunktion berechnen (4) Die Netzoptimierung ist ein iterativer Prozeß, der durchaus mehrere Monate benötigen kann, bevor er in ein Gleichgewicht kommt. Das System oder Netz wird ausgehend von der ersten Schätzung aufgebaut und bezüglich seiner Leistungsfähigkeit nachgemessen. Anschließend erfolgt mit den dann gemessenen Quellendaten eine neue Berechnung des Netzes und daraus resultierend eine korrigierte Zusammenschaltung. Am Anfang einer Netznutzung kann sich auch das Quellverhalten noch stark ändern, so daß die Korrekturen mehrfach vorgenommen werden müssen. Auch bei einem Netz im Gleichgewichtszustand empfiehlt sich die periodische Kontrolle der Quellparameter, um sich an Änderungen anzupassen. Die Kontrollen können beispielsweise jährlich erfolgen. Bei der Beschaffung der Systeme ist darauf zu achten, daß die Netzelemente über Meßhilfen zur Erfassung ihrer Verkehrsdaten verfügen. © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  5. 5. Verlustsystem Abweisen von Anforderungen, falls keine Bedienstation frei ist Qualitätsparameter Verlustwahrscheinlichkeit Beispiele: ISDN, POTS A n 1 Y N 2 A R N Y t (5) Merkmale eines Verlustsystems Abweisen von Anforderungen, falls keine Bedieneinheit frei ist Qualitätsparameter: Verlust (Blockierungswahrscheinlichkeit), d. h. der Anteil der Anforderungen, die nicht vom System bearbeitet werden kann Beispiele ISDN (diensteintegrierendes digitales Netz) analoges Telefonnetz (POTS, plain old telephony Service) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  6. 6. Wartesystem M Warteplätze N Bedieneinheiten (μ) A, λ Y Y z. B. Leitungen, Kanäle Warteschlange Qualitätsparameter: Verkehrsintensität oder - Wartewahrscheinlichkeit > T Ausnutzung: - mittlere Wartezeit λ ρ= - Verlustwahrscheinlichkeit μ Anwendung: λ Einfallrate für Bearbeitungswünsche X.25, ATM, Lokale Netze µ Bearbeitungsrate (6) Merkmale eines theoretischen (reinen) Wartesystems keine Abweisung von Anforderungen, sondern Speicherung in einer Warteschlange unendliche Länge der Warteschlange Qualitätsparameter : Wartewahrscheinlichkeit mittlere Wartezeit Wahrscheinlichkeit für eine Wartezeit > T Merkmale eines realen Wartesystems (Warte-Verlust-System) keine Abweisung von Anforderungen, sondern Speicherung in einer Warteschlange endliche Länge der Warteschlange, die als Speicher realisiert werden kann Qualitätsparameter: siehe theoretisches Wartesystem zusätzlich Blockierungswahrscheinlichkeit Beispiele X.25 (z. B. in Form des Datex-P-Dienstes der Telekom AG) Asynchroner Transfer Modus (ATM) Lokale Netze (LAN) Verkehrsintensität oder Ausnutzung wichtige Größe zur Berechnung der Systeme Stabilitätskriterium: l<m oder r<1 (instabil für l→m) (s. Schwartz, S. 21ff) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  7. 7. Systemmodell Bedieneinheit Warteschlange Ausgang Ankünfte abgehend Arrivals Output leaving Queue Server Wir sprechen allgemein von „Kunden“ im System. Beispiele: • Schlange an der Kasse im Supermarkt • Zu- und Abfluss in einem Gasspeicher • Zu- und Abfluss in einem Wasserturm • Anfragen an einen Dateiserver (Computernetz) • Bedienen von Jobs in einem Multitasking-Computer • Pakete in einem Datenkommunikationssystem • Anrufe in einem Sprachkommunikationssystem (z.B. auch Callcenter) (7) Consider the simplest model of a queue, as depicted in Fig. 2— 1. To keep the discussion concrete, the queue in this case is shown handling packets of data. These packets could also be calls queuing up for service in a circuit- switched system. More generally, in the queuing literaturejargon, they would be ,,customers” queuing up for service. The packets arrive randomly, at an average rate of l packets/time (we shall use units of packets/sec most often). They queue up for service in the buffer shown and are then served, following some specified service discipline, at an average rate of µ packets/time. In the example of Fig. 2— 1, only a single server is shown. More generally, multiple servers may be available, in which case more than one packet may be in service at any one time.The concept of a server is of course well known to all of us from innumerable waits at the supermarket, bank, movie house, automobile toll booth, and so forth. In the context of a data network, the server is the transmission facility— an outgoing link, line, or trunk (all three terms will be used interchangeably in the material following) that transmits data at a prescribed digital rate of C data units/time. Most frequently, the data units are given in terms of bits or characters, and one talks of a transmission rate or link capacity C in units of bits/sec or characters/sec. A transmission link handling 1000-bit packets and transmitting at a rate of C= 2400 bps, for example, would be capable of transmitting at a rate of µ = 2.4 packets/sec. More generally, if the average packet length in bits is 1/µ‘ bits, and is given in units of bits/packet, µ = µ´C packets/sec is the transmission capacity in units of packets/sec. (For circuit-switched calls, the ,, customer” would be a call; 1 arrivals/sec represents the average call arrival rate, or the number of calls/sec handled on the average. The parameter 1/µ, in units of sec/call, is called the average call holding time.)lt is apparent that as the packet arrival rate l approaches the packet rate capacity µ, the queue will start to build up. For a finite buffer (the situation in real life), the queue will eventually saturate at its maximum value as l exceeds m and continues to increase. If the buffer is filled, all further packets (customers) are blocked on arrival. We shall demonstrate this phenomenon quantitatively later in this chapter. If for simplicity the buffer is assumed to be infinite (an assumption we shall make often to simplify analysis), the queue becomes unstable as l > µ. We will show that l <µ to ensure stability in this case of a single server queue. In particular, we shall find the parameter r = l/µ playing a critical role in queueing analysis. This parameter is often called the link utilization or traffic intensity. Note that it is defined as the ratio of load on the system to capacity of the system. For a single-server queue, as p approaches and exceeds one, the region of congestion is encountered, time delays begin to increase rapidly, and packets arriving are blocked more often.To quantify the discussion of time delay, blocking performance, and packet throughput (the actual number of packets/time that get through the system), and their connection with both µ (the packet rate capacity) and the size of the buffer in Fig. 2— 1, one needs a more detailed model of the queueing system. Specifically, those performance parameters among others will be shown to depend on the probabilities of state of the queue. The state is in turn defined to be the number of packets on the queue (including the one in service if the queue is nonempty) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  8. 8. Ankunftszeiten und Bedienzeiten tb1 tb2 tb3 tb4 Bedienzeiten Quelle ta34 ta12 ta23 Zwischenankunftszeiten Zeit t4 t3 t1 t2 Ankunftszeiten Zwischenankunftszeit und Bedienzeit sind Zufallsgrößen durch ihre Verteilungen eindeutig festgelegt 1 λ= mittlere Zwischenankunftszeit: t a mittlere Ankunftsrate: ta 1 μ= mittlere Bedienzeit: tb mittlere Bedienrate: tb Für diese Vorlesung werden grundsätzlich exponentiell verteilte Zeiten angenommen! ( Gedächtnislosigkeit) (8) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  9. 9. Poissonverteilung Die Poissonverteilung kann aus der Exponentialverteilung abgeleitet werden. Definition: Sind beliebige Ereignisse voneinander unabhängig und gleichverteilt und gibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Ereignisse im Intervall t an, dann ist X poissonverteilt. (λ ⋅ t ) −λ⋅t k P( X = k ) = pk = ⋅e k! λ: Rate, mit der die Ereignisse eintreten μ = λ ⋅t Mittelwert σ = λ ⋅t 2 und Varianz (9) Eine Zufallsgröße heißt poissonverteilt, wenn sie die abzählbar unendlich vielen möglichen Werte k= 0, 1, 2, ... mit den Wahrscheinlichkeiten (λt ) k ⋅ e −λt ,k = 0,1,... P ( X = k ) = pk = k! annimmt. (s. Bronstein, S. 663 oder s. Papoulis , S. 56f) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  10. 10. Leistungsgrößen Ziel der Modellbildung ist die Ermittlung von Leistungsgrößen: • Zustandswahrscheinlichkeit p(k) • Auslastung ρ • Durchsatz γ • Antwortzeit Tv • Warteschlangenlänge N • Füllung k (10) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  11. 11. Inhalt Einführung Little‘s Law Markov-Ketten M/M/1-System M/M/m-System (Wartesystem) Warteschlangennetze (11) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  12. 12. Durchschnittliche Anzahl Kunden im System Bedieneinheit Warteschlange Ausgang Ankünfte abgehend Arrivals Output leaving Queue Server Die Fragestellung ist, wie viele Kunden sich „im Durchschnitt“ oder „typischerweise“ im System befinden. Dazu dient der Satz von Little (12) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  13. 13. Ableitung von Little‘s Law Wir nehmen an, dass wir das System vom Zeitpunkt t = 0 bis in die unendliche Zukunft betrachten und die Zahl der Kunden im System beobachten. Definitionen: N(t) = Anzahl Kunden im System zur Zeit t a(t) = Anzahl Kunden, die im Zeitraum [0,t] eingetroffen sind Ti = Zeit, die der i-te Kunde im System verbringt Dann ist die typische Anzahl Kunden im System beobachtet bis zur Zeit t: 1t N (t ) = ∫ N (τ )dτ t0 Wir nehmen an, dass N = lim N (t ) existiert t →∞ a (t ) λ (t ) = und damit λ = lim λ (t ) t →∞ t Ähnlich behandeln wir die Anzahl Kunden und die Verweilzeit im System: ∑ a (t ) Ti T (t ) = und damit T = lim T (t ) i =0 t →∞ a (t ) (13) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  14. 14. Little’s Law Allgemein gültige Gesetzmäßigkeit der Bedientheorie, erstmals von Little bewiesen Little’s Law lautet Die mittlere Einfallrate von Bedienwünschen k = λ ⋅ Tv Der mittlere Die mittlere Füllgrad einer Verweildauer in der Warteschlange Warteschlange !!!Wichtig!!! Alle Werte sind Durchschnittswerte !!!Wichtig!!! Der Satz von Little gilt für beliebige Ankunfts- und Bedienprozesse! (14) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  15. 15. Inhalt Einführung Little‘s Law Markov-Ketten M/M/1-System M/M/m-System (Wartesystem) Warteschlangennetze (15) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  16. 16. Markov-Ketten P02 P( n −1) n P12 P01 0 1 2 n-1 n Pn ( n −1) P10 P21 Pn 2 P20 Beschreibt einen zeitdiskreten oder zeitkontinuierlichen stochastischen Prozess, der positive Integerzahlen annehmen kann Die Aufenthaltsdauer in Zustand i ist exponentiell verteilt (im zeitkontinuierlichen Fall) Wenn der Prozess in Zustand i ist, gibt es eine feste Wahrscheinlichkeit Pij dafür, dass er als nächstes im Zustand j ist. ∑ Pij = 1 und p j = ∑ pi Pij j i (16) Die Aufenthaltsdauer im zeitkontinuierlichen Fall ist durch die Exponentialverteilung gegeben (Der Aufenthalt kann auch so interpretiert werden, dass nach einer Ankunft das System im Zustand k ist und die Zeit bis zur nächsten Ankunft/dem nächsten Verlassen des Zustands exponentiell verteilt ist). Im zeitdiskreten Fall ist es so, dass in jedem Zeitintervall δt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde im Zustand i aus Zustand j ankommt oder den Zustand i in den Zustand k verlässt, gegeben ist durch Pji, bzw. durch Pik. Wenn die Wahrscheinlichkeiten unabhängig sind, entsprechen die Aufenthaltsdauern in den Zuständen einer Exponentialverteilung (siehe Herleitung Poisson-Prozess). © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  17. 17. Eigenschaften von Markov-Ketten Nicht-reduzierbare Markov-Kette: Man kann in endlichen Schritten von jedem Zustand in jeden anderen Zustand übergehen Reguläre Markov-Kette: Endliche Anzahl Zustandsübergänge in jedem endlichen Zeitintervall Aperiodische Markov-Kette: Es gibt keinen Zustand, der nur nach gleichen Perioden wieder erreicht werden kann p j = lim P{X (t ) = j ) | X (0) = i} existiert, ist stationär und t →∞ unabhängig vom Anfangsszustand i (d.h. man kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnen, bei der es egal ist, wann man auf den Prozess schaut“) (17) Hier ist wieder die Gedächtnislosigkeit der Verweildauer in einem Zustand wichtig. Der Markov-Prozess ist der einzige gedächtnislose stochastische Prozess. Dies bedeutet, dass man nicht darauf achten muß, wie lange der gerade in Bedienung befindliche Kunde bereits bedient wird, da die restliche Bedienzeit immer die gleiche statistische Verteilung hat, unabhängig vom Zeitpunkt des Draufschauens. Wir werden bei M/G/1-Systemen sehen, dass dort diese Voraussetzung nicht gilt und damit die mathematische Lösung des Problems ungleich schwerer ist. Die Existenz einer Wahrscheinlichkeitsdichte ist eindeutig, wenn sie existiert. Dann spricht man von einer stationären Verteilung. Wenn sie nicht existiert, sinde alle pj = 0 und die Markov-Kett hat keine Stationäre Wahrscheinlichkeitsdichte. Ein Beispiel für eine Markov-Kette ohne stationäre Dichte ist der Poisson-Prozess nach Folie 35 (Lassen Sie dazu t ∞ gehen!). Allerdings ist die Markov-Kette zum Poisson-Prozess auch nicht nicht- reduzierbar, da man nicht von jedem Zustand in jeden anderen Zustand gelangen kann. Wir werden später Markov- Ketten kennen lernen, bei denen eine stationäre Wahrscheinlichkeitsdichte existiert. © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  18. 18. Geburts-Sterbeprozess Der Zustand k kann nur vom Vorgänger k-1 und Nachfolger k+1 erreicht werden und der Zustand k kann nur zum Vorgänger k-1 und Nachfolger k+1 verlassen werden Die Übergangswahrscheinlichkeiten können zustandsabhängig sein Pk −1, k Pk ,k +1 k-1 k k+1 Pk , k −1 Pk +1,k (18) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  19. 19. Detaillierte Gleichgewichtsgleichungen Für Geburts-Sterbeprozesse muss im stationären Fall die Übergangsraten von Zustand k in den Zustand k+1 gleich der Übergangsrate von Zustand k+1 in Zustand k sein. Die =p P Gleichgewichtsgleichung dazu ist: p P k k , k +1 k +1 k +1, k Die detaillierten Gleichgewichtsgleichungen sind ein Spezialfall der globalen Gleichgewichtsgleichungen, gelten aber nicht für jede Markov-Kette. Wenn sie jedoch gelten, dann erleichtern sie die Berechnung der stationären Wahrscheinlichkeitsdichte enorm. Pk −1, k Pk , k +1 k-1 k k+1 Pk ,k −1 Pk +1,k (19) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  20. 20. Inhalt Einführung Little‘s Law Markov-Ketten M/M/1-System M/M/m-System (Wartesystem) Warteschlangennetze (20) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  21. 21. Kendall-Notation für Wartesysteme A|B|m|n A := Verteilung der Zwischenankunftszeiten B := Verteilung der Bearbeitungszeiten m:= Anzahl der Bedieneinheiten n := Anzahl der Warteplätze Parameter für A,B M:= exponentielle Verteilung (Markov) E := r-stufige Erlangverteilung H:= r-stufige hyperexponentielle Verteilung D:= deterministisch G:= allgemeine Verteilung Beispiel: M|D|4|10 (21) Interpretation des Beispiels M|D|4|10 exponentielle Verteilung der Zwischenankunftszeiten Deterministische Bearbeitungszeiten vier Bedieneinheiten zehn Warteplätze Anmerkung Als Erweiterung der Kendall’schen Notation wird oft die Abfertigungsstrategie mit angegeben A | B | m | n - Warteschlagendisziplin , z. B. : M | M | 1 | 1 - FCFS © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  22. 22. Zustandsübergänge in der M/M/1-Queue μ nn +n- 21 λ Bedieneinheit 11 Unbegrenzte Warteschlange Warteschlangenbelegung Wir wollen zum Zeitpunkt t+ Δt den Zustand „n Plätze in der Warteschlange n+1 belegt“ erreichen. Wir postulieren, dass nur jeweils ein Vorgang zur Zeit bei den n Quellen und den Bedieneinheiten passieren kann. Aus dieser Überlegung ergibt sich das n-1 nebenstehende Diagramm. Erkenntnis: es sind nur Übergänge in benachbarte Zustände möglich! Zeit t t+Δt (22) Von n+1 nach n gelangen wir durch Freiwerden der Bedieneinheit und Nachrücken eines Auftrages aus der Warteschlange. Wir gehen davon aus. Dass die Bedieneinheit immer sofort nach dem Freiwerden einen neuen Auftrag übernehmen kann und wird. Von n nach n gelangen wir durch Einfallen eines neuen Bearbeitungswunsches und gleichzeitiges Feiwerden der Bedieneinheit. Von n-1 nach n gelangen wir durch alleiniges Einfallen eines neuen Bearbeitungswunsches. © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  23. 23. Detaillierte Gleichgewichtsgleichungen der M/M/1-Queue λτ λτ λτ λτ 0 1 2 n-1 n n+1 μτ μτ μτ μτ Die detaillierte Gleichgewichtsgleichung lautet: p n λτ = p n +1μτ Im Grenzübergang τ→0: p n λ = p n +1μ Mit ρ = λ /μ: p n +1 = ρ ⋅ p n (23) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  24. 24. Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte der M/M/1-Queue Durch Induktion ergibt sich: p n = ρ n p0 Nun brauchen wir nur noch p0 zu bestimmen. Dazu nehmen wir die Summe aller Wahrscheinlichkeiten, die sich zu 1 summieren müssen: ∞ ∞ p0 1 = ∑ p n = ∑ ρ n p0 = 1− ρ n =0 n =0 ⇒ p0 = 1 − ρ ⇒ p n = ρ n (1 − ρ ) pn ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass n Kunden im System sind. Damit ist auch die Wahrscheinlichkeitsdichte des M/M/1-Prozesses gegeben! (24) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  25. 25. Durchschnittliche Zahl Kunden im System Die Durchschnittliche Anzahl Kunden im System, N, ist gegeben durch: ∞ ∞ N = lim E{N (t )} = ∑ n ⋅ p n = ∑ n ⋅ ρ n (1 − ρ ) = t →∞ n =0 n =0 ∂ ⎛ ∞ n⎞ ∞ ρ (1 − ρ ) ∑ n ⋅ ρ n −1 = ρ (1 − ρ ) ⎜ ∑ρ ⎟= ∂ρ ⎝ n = 0 ⎠ n =0 ∂⎛ 1 ⎞ 1 ρ (1 − ρ ) ⎟ = ρ (1 − ρ ) ⎜ ∂ρ ⎜ 1 − ρ ⎟ (1 − ρ ) 2 ⎝ ⎠ ρ λ = = 1− ρ μ −λ (25) Es handelt sich um eine Erwartungswertbildung, d.h. der allgemein gültigen Vorschrift zur Berechnung des Durchschnittswertes. © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  26. 26. Graph für N im M/M/1-System 20 15 Durchschn. Anz. N 10 5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 rho Es ist sinnvoll, ρ als Nutzungsfaktor des Systems zu betrachten, d.h. ρ ist gleich dem Langzeit-Anteil, während dessen die Bedieneinheit belegt ist. Damit ist auch klar, dass ρ = 1 - p0 (also gleich der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Kunde im System ist). (26) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  27. 27. Durchschnittliche Wartedauer Die Durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System T ist gegeben durch (Little‘s Theorem): ρ N 1 T= = = λ λ (1 − ρ ) μ −λ Die Durchschnittliche Wartedauer in der Schlange W ist gegeben durch (Little‘s Theorem): ρ 1 1 1 W =T − = −= μ μ −λ μ μ −λ Schließlich ist die durchschnittliche Anzahl Kunden in der Schlange NQ: ρ2 N Q = λW = 1− ρ (27) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  28. 28. Inhalt Einführung Little‘s Law Markov-Ketten M/M/1-System M/M/m-System (Wartesystem) Warteschlangennetze (28) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  29. 29. M/M/m system description μ m Bedieneinheiten Warteschlange Ausgang μ Ankünfte abgehend λ Arrivals Output leaving Queue : μ Infinite length! m Servers Whenever a customer arrives in the system, he is • Queued when all servers are busy • Passed on to the next available server when at the head of queue or when at least one server is free upon arrival (29) The system is such that a single queue with infinite length is connected to m servers. When a customer arrives in the system and at least one server is busy, he is forwarded to an arbitrary free server. If all servers are busy, the customer is queued and has to wait , until it is at the head of the queue and a server becomes free. The customer, then, is routed to this free server. The M/M/m-system, therefore, is identical to the M/M/1-system, except that m servers are available. In particular, the number of places in queue is unlimited. The mean arrival rate of customers into the system is denoted by λ and each server has a mean service rate of μ. Both, arrival and service processes, are Poisson. © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  30. 30. The M/M/m Markov chain λτ λτ λτ λτ λτ 0 1 2 m-1 m m+1 μτ (m-1)μτ mμτ mμτ 2μτ ⎧ (mρ ) n n<m ⎪ p0 ; λp n −1 = nμpn n < m ⎪ n! ⎪ ⇒ pn = ⎨ λp n −1 = mμpn n ≥ m ⎪ ⎪p m ρ ; mn n≥m ⎪ 0 m! ⎩ λ where ρ = <1 mμ (30) Now that we have the Markov chain, we need to search for the detailed balance equations. The solution can be found by iteration, as in the case of the M/M/1-System: for n ≤ m : λpn −1 = nμpn λ λ⎛ λ λn ⎞ ⎜ ⎟ pn = p n −1 = pn − 2 ⎟ = Κ = p0 nμ ⎜ (n − 1) μ nμ n! μ n ⎝ ⎠ λ λn λn with ρ = ⇒ ρ n = n n ⇒ n = (mρ ) n mμ mμ μ (mρ ) n we get p n = p0 n! The part for n>m is analogous © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  31. 31. Solution for M/M/m system Determination of p0 m −1 ( mρ ) n mm ρ n ∞ ∞ ∑ pn = 1 = ∑ p0 + ∑ p0 = n! m! n =0 n =0 n=m m −1 ( mρ ) (mρ ) n 1 n ∞ p0 + ∑ p0 + ∑ p0 m! m n − m n! n =1 n=m −1 ⎡ m −1 (mρ ) n 1⎤ ∞ ( mρ ) n ⇔ p0 = ⎢1 + ∑ +∑ ⎥ m! m n − m ⎥ ⎢ n =1 n! ⎣ ⎦ n=m −1 ⎡m −1 (mρ ) n (mρ ) m ⎤ =⎢∑ + ⎥ m!(1 − ρ ) ⎥ ⎢ n! ⎣ ⎦ n =0 (31) Some explanations for the last step in the slide above: n (mρ ) n 1 ∞ ⎛ mρ ⎞ mm ∞ n ∞ 1 ∑ρ = ∑⎜ = ⎟ ∑ m! m n − m n = m ⎝ m ⎠ m!m − m m! n = m n=m The sum can be solved to: ρ m −1 ρ m ∞ ∞ m −1 1 ∑ρ = ∑ρ − ∑ ρ = − = n n n 1− ρ ρ −1 1− ρ n=m n =0 n =0 And the final result is: (mρ ) n 1 (mρ ) m ∞ = ∑ m! m n − m m!(1 − ρ ) n=m Note that the calculation of p0 is necessary to compute the probabilities for all other states of the system. This computation requires somewhat more effort compared to an M/M/1-system. However, with given parameters, it can be done easily with a small computer programm. All subsequent computations are straight forward and simple. © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  32. 32. M/M/m delay situation What is critical is the probability to find all servers busy, i.e. the case when an arriving customer has to wait in queue: p0 m m ρ n p0 (mρ ) m ∞ n − m ∞ ∞ ∑ρ P{Queueing} = PQ = ∑ pn = ∑ = m! m! n=m n=m n=m p0 (mρ ) m PQ = m!(1 − ρ ) This is known as the Erlang-C formula (or Erlang‘s delay formula). • Often used in telephone systems (call center example, manual exchange office) • Used to estimate the probability to find e.g. all operators in a call center busy. • The customer remains in queue, i.e. it continously tries to get a free server. (32) The danish mathematician A.K. Erlang was the foremost pioneer of queueing theory. The Erlang delay formula above is named after him to honour his merits in queueing theory. © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  33. 33. Comparison of M/M/m and M/M/1 systems Note that ρ NQ = 1− ρ PQ represents the expected number found in queue by an arriving customer conditioned on the fact that all servers are busy. It is independent of the number of servers for a given ρ=λ/(mμ)! Hence, as long as customers are waiting in queue, the queue size of the M/M/m systems behaves identically as in an M/M/1-system with service rate mμ! (33) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  34. 34. Inhalt Einführung Little‘s Law Markov-Ketten M/M/1-System M/M/m-System (Wartesystem) Warteschlangennetze (34) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  35. 35. Warteschlangennetze Bisher nur einzelne Bedieneinheiten betrachtet reale System lassen oft nur durch Zusammenschaltung mehrere Bedieneinheiten modellieren Unterscheidung offene Netze: Aufträge können von außerhalb ankommen und das System wieder verlassen geschlossene Netze: Aufträge bewegen sich nur innerhalb des Systems gemischte Netze Notation der Zustandswahrscheinlichkeiten p(k1,k2,...,kN) (35) Die Zustandswahrscheinlichkeiten der einzelnen Knoten werden durch ∑ p(k , k pi (k ) = ,..., k N ) 1 2 N ∑ k j = K & ki = k j =1 angegeben. © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  36. 36. Zusammenschaltung mehrerer Bedieneinheiten Reihenschaltung μ1 μ2 Parallelschaltung μ1 μ2 Gemischte Zusammenschaltung μ2 μ1 μ3 (36) Bei der Zusammenschaltung mehrere Bedieneinheiten sind zur Beschreibung des Systems nicht nur die Übergangsraten, sondern auf die Wahrscheinlichkeiten der Zustandsübergänge anzugeben. Dies ist bei Parallelschaltung wichtig, da dort zwei Zustandsübergänge möglich sind. Auf die gemischte Zusammenschaltung angewandt bedeutet dies: Übergangsrate von System 1 zu System 2: µ1 p12 Übergangsrate von System 1 zu System 3: µ1 p13 Übergangsrate von System 2 zu System 1: µ2 p21= µ2, da p21= 1 Übergangsrate von System 3 zu System 1: µ3 p31= µ3,, da p31= 1 © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  37. 37. Gleichungen für die Leistungsgrößen unter Verwendung der Zustandswahrscheinlichkeiten Durchsatz λi eines Knotens i: ∞ λi = ∑ pi ( k ) ⋅ μi ( k ) k =1 Gesamtdurchsatz des Systems λ : N λ = ∑ λi i =1 im offenen Netz ist der Gesamtdurchsatz im Gleichgewichtszustand gleich der Rate der das Netz verlassenden oder erreichenden Bearbeitungsaufträge (37) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  38. 38. ∞ Auslastung ρi eines ρi = ∑ pi (k ) k =1 single-server Knotens te λ mittlereBedienzeit Ankunftsra = = = m:=Zahl der Bedieneinheiten mittlereZwischenankunftszeit Bedienrate mµ mittlere Anzahl von Aufträgen ∞ k i = ∑ k ⋅ pi ( k ) im i-ten Knoten: k =1 ∞ Qi = ∑ ( k − 1) ⋅ pi ( k ) mittlere Warteschlangenlänge k =1 ki ti = λi mittlere Antwortzeit (38) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  39. 39. Literatur • Bolch, Gunter: Leistungsbewertung von Rechensystemen mittels analytischer Warteschlangenmodelle, Stuttgart: Teubner, 1989 • Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik 23. Auflage, Frankfurt/Main: Thun, 1987 • Kleinrock, L.: Queueing Systems, Vol. 1 : Theory New York: Wiley & Sons, 1975 • Schuberth, W.: Verkehrstheorie Elektronischer Kommunikationssysteme Wien : Dr. Alfred Hüthig Verlag Heidelberg, 1986 • Schwartz, Mischa: Telecommunication networks Addison-Wesley Publishing Company, 1987 • Siemens AG: Tabellenbuch Fernsprechverkehrstheorie Berlin, München: 1981 • Tanenbaum, Andrew S.: Computer-Netzwerke Attenkirchen: Wolfram’s Fachverlag, 1992 Außerdem: • Kleinrock, L.: Communication Nets New York: Dover, 1964 • Schassberger, R.: Warteschlangen New York; Wien: Springer Verlag, 1973 • Störmer u. a.: Verkehrstheorie München: Oldenbourg Verlag, 1966 • Uhl, Tadeus: Verkehrstheoretische Untersuchungen und Dimensionierung von Rechner- und Datennetzen unter besonderer Berücksichtigung von Protokollen Düsseldorf: VDI-Verlag, 1992 © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  40. 40. Weitere Folien zur Information Die weiteren Folien enthalten zusätzliche Informationen (40) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  41. 41. Warteschlangendisziplinen FCFS (FIFO) First Come, First Served LCFS (LIFO) Last Come, First Served SIRO Served In Random Order RR Round Robin statische Prioritäten dynamische Prioritäten Verdrängung (41) FIFO (First in, First out) oder auch FCFS (First come, First serve) Bearbeitung in der Reihenfolge des Eintreffens gerechte Bearbeitung geringe Streuung der Wartezeitverteilung LIFO (Last in, First out) oder auch LCFS (Last come, First serve) Bearbeitung in entgegengesetzter Reihenfolge des Eintreffens sehr große Streuung der Wartezeitverteilung SIRO (Serve-In-Random-Order) Zufällige Reihenfolge Bearbeitung unabhängig von der Reihenfolge des Eintreffens große Streuung der Wartezeitverteilung Round Robin Auftrag für eine Zeitspanne t bearbeiten Rückschreiben des Auftrags in die Warteschlange solange fortsetzen , bis der Auftrag fertig ist Prioritätsmechanismen Bereitstellung unterschiedlicher Prioritätsklassen zur schnellen Bearbeitung wichtiger Anforderungen Einführung getrennter Warteschlangen für Anforderungen unterschiedlicher Priorität Bevorzugung der Warteschlangen mit höherer Priorität Vergabe der Prioritäten statisch Fest vorgegebene Prioritäten Innerhalb einer Prioritätsklasse, d.h. alle Anforderungen haben gleiche Priorität, erfolgt die Herausnahme der Aufträge aus der Warteschlange nach dem FCFS-Prinzip. Dynamisch Die Prioritäten der Aufträge ändern sich mit der Zeit. Unterscheidung verschiedener Verfahrensweisen bei Anforderungen mit höherer Priorität unterbrechende Priorität: Unterbrechung der Bearbeitung bei Eintreffen einer Anforderung mit höherer Priorität. Weiterführen der Bearbeitung nach Beendigung der bevorrechtigten Anforderung nicht unterbrechende Priorität. Bearbeitung der höher priorisierten Anforderung nach © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik Abschluß der laufenden Aufgabe
  42. 42. Zufallsvariable Ergebnis eines Zufallsexperimentes: Zufallsvariable Unterscheidung diskrete Zufallsvariablen kontinuierliche Zufallsvariablen im folgenden werden diskrete Zufallsvariablen betrachtet Wahrscheinlichkeit für den diskreten Wert X=k oder xi=k: pk= P(X=k) oder pk = P(xi=k) Es muß gelten und ∑ P( X = k) ≥ 0 P( X = k ) = 1 k (42) Beschreibung diskreter Zufallsvariablen Fx ( x ) = P ( xi ≤ x ) Verteilungsfunktion: i Die Verteilungsfunktion F gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Wert der Zufallsvariablen xi kleiner oder gleich einer vorgegebenen Zahl x ist Sie ist aufgrund der Eigenschaften von P eine auf das Intervall 0 ≤ F ≤ 1 beschränkte, nicht abnehmende Funktion Im Fall der diskreten Zufallsvariablen ist sie eine Treppenkurve. m x = ∑ P ( xi ) ⋅xi Erwartungswert: i =1 (zentrales Moment erster Ordnung) Zentrales Moment bedeutet, das Moment der Zufallsvariablen bezogen auf den Erwartungswert. m ∑ P ( xi ) ⋅( xi − E ( xi )) 2 E [( xi − E ( xi )) 2 ] = σ 2 = Varianz: i =1 (zentrales Moment zweiter Ordnung) Die Varianz ist der mittlere quadratischen Fehler bei Approximation der Zufallsvariablen durch ihren Erwartungswert. m E [( xi − E ( xi )) ] = ∑ P ( xi ) ⋅( xi − E ( xi )) n n zentrales Moment n-ter Ordnung: σ i =1 Variationskoeffizient: (normierte Standardabweichung) c= x © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  43. 43. Verteilungsfunktionen Exponentialverteilung Hyperexponentialverteilung Erlang-k-Verteilung Hypoexponentialverteilung Gammaverteilung verallgemeinerte Erlang-Verteilung Cox-Verteilung (Bem.: Zur Beschreibung werden häufig der Mittelwert und die Varianz herangezogen) (43) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  44. 44. Exponentialverteilung am Beispiel der Zwischenankunftszeiten t − F (≤ t ) = P(T ≤ t ) = 1 − e am am: mittlerer Einfallsabstand Wahrscheinlichkeit F(=<t) Parameter: am Einfallabstand 1 .. 10 sek 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Zeit t 2 4 6 8 10 (44) Die Exponentialverteilung ist eine wichtige Verteilung in der Verkehrstheorie. Sie kommt sehr häufig zur Anwendung, ⎧λ ⋅ e − λx für x ≥ 0 ⎫ wenn zeitliche zufällige Abstände gemessen werden f ( x) = ⎨ ⎬ für x < 0 ⎭ ⎩0 Die Exponentialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für genau ein Ereignis innerhalb des Intervalls t. Definition: eine stetige Zufallsgröße heißt exponentialverteilt, wenn sie folgenden Dichte (Ableitung der Verteilungsfunktion) hat: am*f(t) 1 (s. Bronstein, Kap.5) 0.8 0.6 0.4 0.2 t -- 1 2 3 4 5 6 am © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  45. 45. Normierte Exponentialverteilung F(=>t) 1 0.8 t − F (≤ t ) = P(T ≤ t ) = 1 − e am 0.6 mit am = 1[ s]: 0.4 t − F (≤ t ) = P(T ≤ t ) = 1 − e 1[ s ] 0.2 t/am 1 2 3 4 5 6 in 63% aller Fälle ist die Zeit bis zum Einfall des nächsten Ereignisses kleiner als der mittlere Einfallsabstand (45) Die Normierung findet auf den Mittelwert der zeitlichen Dauer bis zum Eintreffendes des erwarteten Ereignisses statt, hier der mittleren Einfalldauer. Der Vorteil dieser Normierung ist die Reduzierung der prinzipiell unendlichen Kurvenschar auf eine einzelne Kurve. Bemerkenswerte Punkte dieser Kurve sind an der Stelle t/am = 1(dort ist die Zeit gleich dem mittleren Einfallabstand). Bereits in 63% aller Fälle ist der Abstand zwischen zwei Ereignissen kleiner als am. Nach t>6am ist die Wahrscheinlichkeit für den Einfall eines Ereignisses schon fast 1, das Ereignis ist also nahezu sicher. © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  46. 46. Zusammenfassung und Teilung von Poissonverteilungen λ1 λ2 λ1 + λ2 + λ3 λ3 q1λ λ q2λ q3λ (46) Das Zusammenfügen von Poissonverkehren zu einem neuen Poissonverkehr ist plausibel: Wenn drei Gruppen mit je 100 Teilnehmern (näherungsweise als Gruppen mit unendlich vielen Teilnehmern betrachtet) zu einer mit 300 Tln zusammengefaßt werden, dann ist auch diese Zahl nahezu unendlich. Damit ist auch wieder die Voraussetzung für Poissonverkehr geschaffen, wenn sonst keine Bedingungen verändert werden (Unabhängigkeit der Ereignisse) Das Teilen jedoch ist nicht ganz so einsichtig. Der Verkehr wird z.B. geteilt, wenn er als Poissonverkehr einem Bündel angeboten wird, und mit Hilfe des Bündels in den Verkehr der Belastung und den Rest aufgeteilt. Diese beiden Verkehre sind nun aber keinesfalls mehr poissonverteilt. Die Aufteilung darf nicht durch Kappen erfolgen, sondern muß z.B. durch alternernierendes Zuweisen zu zwei Bündeln realisiert werden. Warum wird diese Aufteilung in der Praxis nicht vorgenommen, obwohl sich damit viel einfacher rechnen lassen würde? Antwort: der Bündelgewinn wird nicht ausgenutzt © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  47. 47. Hyperexponentialverteilung Hk • k: Anzahl der parallelen Stufen μ1 • Nachbildung der gewünschten Verteilung durch Parallelschalten von exponentiell verteilten μ2 Einzelprozessen (Phasen) • Ein Auftrag wird mit der Wahrscheinlichkeit qk von der Phase k bedient • es ist nur eine Phase zur Zeit aktiv μκ k FX ( x ) = ∑ q j ⋅ (1 − e − μ j ⋅x ), x ≥ 0 j =1 (47) zur Approximation nicht exponentieller Verteilung mit einem Variationskoeffizienten c > 1 © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  48. 48. Erlang-k-Verteilung kμ kμ kμ Phase 1 Phase 2 Phase k • Serienschaltung von k identischen Stufen (Phasen) • jede Stufe für sich ist exponentiell verteilt ( kμ x ) j k −1 FX ( x ) = 1 − e − kμ x ⋅ ∑ , x ≥ 0, k = 1, 2, ... j! j =0 (48) Zur Approximation nichtexponentieller Verteilungen mit Variationskoeffizienten c<1 © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  49. 49. Hypoexponentialverteilung kμ kμ kμ 1 1 1 Phase 1 Phase 2 Phase k jμ jμ jμ 1 1 1 Phase 1 Phase 2 Phase k rμ rμ rμ 1 1 1 Phase 1 Phase 2 Phase k (49) Durch Kombination der Hyperexponential- und der Erlang-k-Verteilung können beliebig komplexe Strukturen erzeugt werden Zusammenfassung der Kenngrößen der Verteilungen: Mittelwert X Verteilung Parameter Varianz var(X) Variationskoeffizient cX μ 1 1 1 Exponential μ μ2 μ ,k 1 1 1 Erlang k ≤1 μ k = 1,2 ,... kμ 2 k k k ∑μ ∑μ k ∑ μ i2 − 1 > qi 1 qi 1 q k , μ i ,qi = 2⋅ − 2μ 2 ⋅ Hyperexponential μ μ2 2 i=1 i=1 i i i=1 i © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  50. 50. Leistungsgrößen Zustandswahrscheinlichkeit p(k) Wahrscheinlichkeit, mit der sich k Aufträge im System befinden Auslastung ρ für eine Bedieneinheit gilt: Ankunftsrate λ mittlere Bedienzeit ρ= = = μ mittlere Zwischenankunftszeit Bedienrate für m Bedieneinheiten gilt entsprechend λ ρ= Bem.: Das System ist stabil für ρ<1 m⋅ μ (50) Mit Hilfe der Auslastung läßt sich ein stabiles System definieren, für das < 1 gelten muß, d.h. es dürfen im Mittel nicht mehr Aufträge pro Zeiteinheit ankommen als bedient werden können. Hier werden nur stabile Systeme betrachtet © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  51. 51. Leistungsgrößen Durchsatz γ mittlere Zahl von Kunden, die pro Zeiteinheit bedient werden Beim stabilen System gilt analog zur Auslastung: γ = λ Antwortzeit Tv Antwortzeit ist die Verweildauer der Kunden im System, also Wartezeit Tw plus Bedienzeit Warteschlangenlänge N Zahl der Kunden in der Warteschlange Füllung k Zahl der Kundenim System (51) Anmerkungen Bei realen Wartesystemen kann sich der Durchsatz allerdings von der Ankunftsrate unterscheiden, da dort der Verlust von Paketen zulässig ist Alle Leistungsgrößen gelten für allgemeine Wartesysteme im stationären Zustand oder im statistischen Gleichgewicht © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  52. 52. Average numbers of customers in M/M/m queue The average number of customers in an M/M/m queue is given by ∞ ∞ N Q = ∑ (n − m) p n = ∑ npm + n = n=m n =0 m+n (mρ ) m ∞ n mm p ∞ ∑ nρ = = p0 ∑ np0 m! m! n =0 n =0 (mρ ) m ρ p0 m! (1 − ρ ) 2 With PQ form the Erlang-C formula, we get p0 (mρ ) m ρ PQ = ⇒ N Q = PQ m!(1 − ρ ) 1− ρ (52) © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  53. 53. Average delay in M/M/m systems The average waiting time in queue is given by Little‘s Law: ρ ⋅ PQ NQ W= = λ λ (1 − ρ ) The average time in system per customer is, therefore: ρ ⋅ PQ λ PQ 1 1 1 with ρ = T= +W = + = + μ μ λ (1 − ρ ) μ mμ − λ mμ Using Little‘s law again, the average number of customers in the system is: λPQ ρ ⋅ PQ λ λ N = λT = = mρ + with ρ = + μ mμ − λ 1− ρ mμ In an M/M/1-system, we have: ρ N= 1− ρ (53) The comparison of N in the M/M/m and the M/M/1 system shows again that the queue behaviour of the M/M/m system is equal to that of the M/M/1 system, under the assumption that all servers are busy. © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik
  54. 54. Exponentialverteilung t − F (≤ t ) = P(T ≤ t ) = 1 − e am am: mittlerer Einfallsabstand Wahrscheinlichkeit F(=<t) Parameter: am Einfallabstand 1 .. 10 sek 1 Verständnisfrage: Für welche der 0.8 Kurven ist am größer, für die unterste oder 0.6 die oberste? 0.4 am steigt 0.2 Zeit t 2 4 6 8 10 (54) Die Exponentialverteilung ist eine wichtige Verteilung in der Verkehrstheorie. Sie kommt sehr häufig zur Anwendung, wenn zeitliche zufällige Abstände gemessen werden − λx ⎧λ ⋅ e für x ≥ 0 ⎫ f ( x) = ⎨ ⎬ für x < 0 ⎭ ⎩0 Die Exponentialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für genau ein Ereignis innerhalb des Intervalls t. am*f(t) Definition: eine stetige Zufallsgröße heißt exponentialverteilt, wenn sie folgenden Dichte (Ableitung der Verteilungsfunktion) hat: 1 (s. Bronstein, Kap.5) 0.8 0.6 0.4 0.2 t -- 1 2 3 4 5 6 am © UNI Hannover, Institut für Allgemeine Nachrichtentechnik

×