teoria de ondas

1. El concepto de onda
Una piedra cae a un estanque de aguas quietas. Centramos la atención en dos
fenómenos: al cabo de algún tiempo se escucha el sonido de la piedra
golpeando el agua y una ondulación (circular) se ha desplazado sobre la
superficie libre del líquido. Los dos procesos tienen en común el hecho de que
existe una propiedad física que ha sido perturbada (para la onda sonora es la
presión del aire sobre la superficie del estanque, para la ola es la tensión
superficial del agua) y al cabo de un cierto tiempo esa perturbación se percibe
en otra región del espacio. Notablemente no sólo que se trata de eventos
diferentes sino que además la velocidad con que se ha propagado cada
perturbación ni siquiera es la misma.
En términos generales, una perturbación es una modificación temporal de las
condiciones de un sistema físico en una dada región del espacio. Cuando las
propiedades modificadas se transportan o propagan decimos que se ha generado
una onda. Las propiedades de la onda tienen que ver con la naturaleza del
fenómeno físico y con las propiedades del medio circundante.
Las características de la propiedad física modificada, a su vez, definen la
naturaleza de la onda que se transmite.

2. Independientemente del medio en que se propaguen, las ondas
resultan en un transporte de energía y no de materia.
Las ondas que requieren de un medio material para transmitirse
(como por ejemplo las sonoras) se denominan ondas mecánicas,
en tanto que las que pueden transmitirse incluso en vacío (como la
luz) se llaman ondas electromagnéticas.
compresión rarefacción
k
k
Onda longitudinal
Onda transversal
La perturbación puede producirse y desarrollarse en la dirección de propagación
o en dirección perpendicular a esta.
Las ondas mecánicas pueden ser longitudinales o transversales. Las
ondas electromagnéticas son siempre transversales.

3. Ecuación de onda
Estas son funciones desplazadas
f(x) f(x+1,7x0) f(x-2x0)
x -1,7 x0 x x2x0
Si la perturbación se desplaza con velocidad v, su amplitud en una posición x en el instante t
viene dada entonces por la expresión
(x, t) = A f(xvt) + B f(x+vt)
f(x-vt)
t = 0
x [m]
t = 1,45103 seg
x [m]
0,5
t = 2,6 102 seg
x [m]

4. Un caso particularmente sencillo se presenta cuando la perturbación es de la forma
   vtxsenAtx  ,
A es la amplitud de la onda y v su velocidad de propagación; el parámetro  adimensionaliza
el argumento de la función seno ( recibe el nombre de número de onda y, obviamente,
tiene unidad m1).
Para ser una onda que se propaga, la función (1) debe ser periódica en tiempo y repetirse
espacialmente, de manera tal que debe cumplirse
(1)
sen (x+X, t) = sen (x, t) (2)
sen (x, t+) = sen (x, t) (3)
O sea
     








2n
vt-xsenn2vt-Xxsenvt-Xxsen
Comparando los argumentos del primer y último término de (4) parece evidente que debe
ser
(4)
Z


 n
n2
X (5)
Para n=1 obtenemos la distancia mínima entre dos de tales puntos, y a esta distancia se la
denomina longitud de onda, . En términos del número de onda  es



2 (6)

5. La distancia entre dos puntos en idéntico estado dinámico vale
X=nv (7)
donde  es el período de la onda. Para n=1, a partir de (5) y (7) es inmediata la relación
v =  (8)
o, en términos de la frecuencia f = 1/
v =f  (9)
En total, podemos escribir
   t-xsen2sentv-xsenAt)(x, 







 A
vtx
A (10)
En tres dimensiones definimos el vector propagación como
k =  ek (11)
donde  es el número de onda introducido en la expresión (1) y ek un vector unitario en la
dirección de propagación, la expresión de la amplitud de la oscilación de los puntos que
alcanza la onda en la posición r se escribirá
El conjunto de puntos que la onda alcanza en un determinado instante se
denomina frente de onda. La particular distribución espacial de puntos alcanzados por
este frente define la geometría de la onda: esférica, circular, cilíndrica, plana, etc.
   t-senAt,  rkr

(12)

6. Ecuaciones de Maxwell
Las leyes fundamentales del electromagnetismo están sintetizadas en un cuerpo
compacto de relaciones que se conocen como ecuaciones de Maxwell. En unidades MKS el
sistema de ecuaciones, en sus formas diferencial e integral, es el siguiente
Ecuación Forma diferencial Forma integral
Ley de Gauss (13)
Ley de conservación del
flujo magnético (14)
Ley de Faraday (15)
Ley de Ampere-Maxwell
(16)
L D   LQdSD
0 B   0dSB
t


B
E   SBE d
dt
d
dl









tL
D
jH 




 


  S
D
H d
t
d L`Il
Junto a las relaciones constitutivas (que definen las propiedades del medio)
D =  E (17)
B =  H (18)
j =  E (19)
constituyen la base de la teoría electromagnética clásica.

7. La solución de las ecuaciones de Maxwell en el vacío, libre de cargas y corrientes, resulta
en que cada componente del CE y del CM se propaga siguiendo la ley
 t-sent),( 0  rκErE

 t-sent),( 0  rκBrB

Oscilando en direcciones perpendiculares a la de propagación (onda plana) con
velocidad
    seg
m
109982
mNC10858AN104
11
v 8
221227
00






,
/,/
Maxwell propuso entonces que las ondas electromagnéticas se propagan
incluso en el vacío, y lo hacen con la velocidad de la luz; y a partir de este
razonamiento postuló que la luz misma debe ser una perturbación
electromagnética. En todo caso, con la misma velocidad pueden
propagarse ondas de diferente frecuencia a condición que el cociente /
(o equivalentemente el producto f) se mantenga constante.