Spazi di hilbert [santi caltabiano]

1. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI
DI MESSINA
FACOLTÀ DI SCIENZE MM.FF.NN.
Corso di Laurea in Matematica
SPAZI DI HILBERT
Tesina di:
SANTI CALTABIANO
ANNO ACCADEMICO 1997-1998

2. Indice Generale
Capitolo 1 .......................................................................................................... 1
1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutiche ................................................ 1
1.2 Nozioni topologiche propedeutiche ........................................................ 6
Capitolo 2 ........................................................................................................ 36
2.1 Spazi a prodotto scalare. Proprietà. Esempi. ......................................... 36
2.2 Spazi di Hilbert. Proprietà. Esempi. ...................................................... 52
2.3 Funzionali lineari e continui di uno spazio di Hilbert. Teorema
fondamentale degli spazi di Hilbert. Teorema di rappresentazione di Riesz.. 61
2.4 Operatori autoconiugati. Proiettori. Teorema delle proiezioni. .............. 77
2.5 Disuguaglianza di Bessel. Serie di Fourier. Identità di Parseval. Criterio
di convergenza di una serie di Fourier .......................................................... 87
2.6 Teorema di Gram-Schmidt. Teorema di Riesz-Fischer. Spazi di Hilbert
separabili di dimensione infinita ................................................................... 95
Bibliografia ................................................................................................... 103
Indice Analitico ............................................................................................ 104
i

3. Capitolo 1
Nozioni e strumenti propedeutici
1.1 Nozioni di algebra lineare propedeutiche
Definizione 1.1.1
Sia E un K-spazio vettoriale e siano F,GE due sottospazi vettoriali, diciamo
allora che la somma F+G è diretta e scriviamo F  G se ogni vettore del
sottospazio vettoriale F+G si può scrivere in modo unico come somma di un
vettore di F e uno di G.
Teorema 1.1.1
Sia E un K-spazio vettoriale e siano F,GE due sottospazi vettoriali
Ts: F+G è diretta  FG={E}
Definizione 1.1.2
1

4. Sia E un K-spazio vettoriale e sia AE un insieme non vuoto, diciamo allora che
l’insieme A è convesso se:
x+(1-)yA x,yA e [0,1]
Banalmente ogni sottospazio vettoriale è convesso.
Proprietà 1.1.1
Sia E uno spazio vettoriale su K, sia AE un insieme convesso e sia x0E
Ts: x0+A è un convesso
Definizione 1.1.3
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e AE un sottoinsieme non vuoto,
diciamo allora inviluppo lineare dell’insieme A e lo indichiamo con span(A)
l’intersezione di tutti i sottospazi di E contenenti A. :E quindi per definizione
span(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale di E contenente A.
Proprietà 1.1.2
Sia E uno spazio vettoriale, sia AE un sottoinsieme non vuoto
Ts: span(A)={1x1++nxn : nN , x1,...,xnA , 1,...,nK}
2

5. Definizione 1.1.4
Sia E uno spazio vettoriale su K, sia AE un insieme non vuoto allora l’insieme
A si dice linearmente indipendente (brevemente l.i.) se comunque preso un
numero finito di vettori distinti di A questi sono linearmente indipendenti cioè:
x1,...,xnA con xixj se ij e 1,...,nK t.c. 1xi++nxn=E  i=0 i=1,...,n
Ovviamente EA.
Definizione 1.1.5
Sia E uno spazio vettoriale su K, sia AE un insieme non vuoto, diciamo allora
che A è una base di Hamel per E se è linearmente indipendente e se span(A)=E.
Definizione 1.1.6
Sia E uno spazio vettoriale su K, allora si può dimostrare che lo spazio E
ammette almeno una base di Hamel. Inoltre si può dimostrare che tutte le basi di
Hamel dello spazio E hanno la stessa cardinalità. Si definisce dimensione
algebrica dello spazio E e la si denota con dim(E), la cardinalità di una qualsiasi
base di Hamel di E.
3

6. Teorema 1.1.2
Sia E un K-spazio vettoriale di dimensione infinita e sia {xn}nN una succ. in E
Ts: { x nk }kN l.i. t.c. span({xn : nN})=span({ x nk : nN})
Definizione 1.1.7
Sia E un K-spazio vettoriale e sia p:EK un funzionale. Diciamo allora che:
 p è sub-additivo se p(x+y)p(x)+ p(y) x,yE
 p è positivamente omogeneo se p(x)= p(x) xE e >0
 p è assolutamente omogeneo se p(x)=|| p(x) xE e K
 p è una seminorma se è sub-additivo e assolutamente omogeneo. Si verifica
facilmente che ogni seminorma è non negativa.
 p è una norma se è una seminorma e se p(x)=0  x=E. Usualmente per
denotare il funzionale norma si riserva il simbolo  E
Proprietà 1.1.3
Sia E un K-spazio vettoriale e sia p:E[0,+[ una seminorma
4

7. Ts: |p(x)-p(y)|p(x-y) x,yE
Definizione 1.1.8
Siano E ed F due spazi vettoriali sul medesimo corpo K e sia T:EF un
operatore, diciamo allora che tale operatore è lineare se:
T(x+y)=T(x)+T(y) x,yE e ,K
Nel caso particolare in cui F=K allora a T si riserva il nome di funzionale
lineare. Si definisce nucleo di un operatore lineare l’insieme:
-
Ker(T):=T 1(0)
Si dimostra facilmente che Ker(T) è un sottospazio vettoriale di E.
Proprietà 1.1.4
Siano E, F e G tre spazi vettoriali sul medesimo corpo K e siano S:EF e
T:FG due operatori lineari
Ts: L’operatore T  S è lineare
5

8. 1.2 Nozioni topologiche propedeutiche
Definizione 1.2.1
Sia X uno spazio topologico diciamo allora che tale spazio è di Hausdorff se:
x,yX con xy UX intorno di x e VX intorno di y t.c. UV=
Definizione 1.2.2
Sia X uno spazio topologico e sia AX un insieme non vuoto, diciamo allora
che tale insieme A è denso in X se clX(A)=X.
Definizione 1.2.3
Sia X uno spazio topologico, diciamo allora che X é separabile se ammette un
sottoinsieme denso al più numerabile, cioè se:
{xn}nN in X t.c. clX({xn : nN})=X
Definizione 1.2.4
Sia X uno spazio topologico, sia x0X e sia {xn}nN una successione ordinaria in
X, diciamo allora che tale successione converge a x0 se:
UX intorno di x0 N t.c. xnU n
6

9. e scriviamo:
lim xn=x0
n 
Teorema 1.2.1 (unicità del limite)
Sia X uno spazio topologico di Hausdorff e sia {xn}nN una successione in X
Ts: Se {xn}nN ammette limite allora questo è unico
Definizione 1.2.5
Sia X un insieme non vuoto e sia A una famiglia di parti di X, diciamo allora che
la famiglia A è un ricoprimento di X se l’unione dei membri di A è uguale ad X.
Una sottofamiglia di A che ricopre X prende il nome di sottoricoprimento. Un
ricoprimento si dice finito se contiene un numero finito di membri.
Definizione 1.2.6
Diciamo che uno spazio topologico è compatto se ogni ricoprimento aperto
ammette un sottoricoprimento finito.
Teorema 1.2.2 (di Heine-Pincherle-Borel)
7

10. Sia KR n un insieme
Ts: K è compatto  K è chiuso e limitato
Definizione 1.2.7
Siano X ed Y due spazi topologici, sia f:XY una funzione e sia x0X, diciamo
allora che f è continua in x0 se:
VY intorno di f(x0) UX intorno di x0 t.c. f(U)V
Diciamo che f è continua su X se è continua in ogni punto di X. Denotiamo con
C0(X,Y) l’insieme delle funzioni continue da X in Y. Diciamo che una funzione
bigettiva definita tra X ed Y è un omeomorfismo se è continua assieme alla sua
inversa. In tal caso X ed Y si dicono omeomorfi.
Teorema 1.2.3
Siano X ed Y due spazi topologici, sia f:XY una funzione
Ts: Sono allora equivalenti:
(1) f è continua
-
(2) AY aperto f 1(A) è aperto
-
(3) CY chiuso f 1(C) è chiuso
8

11. Proprietà 1.2.1
Siano X, Y e Z tre spazi topologici, sia xX, siano f:XY e g:YZ funzioni
continue rispettivamente in x ed y:=f(x)
Ts: La composizione g  f è continua in x
Teorema 1.2.4 (di Weierstrass)
Sia X uno spazio topologico compatto e sia f:XY una funzione continua
Ts: f è dotata minimo e massimo
Definizione 1.2.8
Sia X uno spazio topologico e sia AX un insieme non vuoto, diciamo allora
che A è un retratto se:
f:XA funzione continua t.c. f|A = idA
La funzione f prende il nome di retrazione relativa ad A.
Definizione 1.2.9
9

12. Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X diciamo allora che
1 è meno fine di 2 e scriviamo 12 se 12. Diciamo che le topologie 1 e 2
sono equivalenti se 1=2.
Teorema 1.2.5
Sia X un insieme non vuoto e siano 1 e 2 due topologie su X
Ts: 12  Ogni 1-intorno è un 2-intorno
Definizione 1.2.10
Sia X un insieme non vuoto e sia a una famiglia di parti di X. Si verifica
facilmente che in generale data una famiglia di topologie su X allora
l’intersezione di queste topologie è ancora una topologia su X. Tenendo conto di
quanto detto si definisce topologia generata dalla famiglia a e la si denota con
a, l’intersezione di tutte su X, contenenti la famiglia a (di queste topologie
ovviamente ne esiste almeno poiché ad esempio basta considerare la topologia
discreta). E quindi per definizione a è la topologia meno fine contenente la
famiglia a. Se denotiamo con F la famiglia di parti di X costituita da tutte le
possibili intersezioni finite dei membri della famiglia a e con G la famiglia di
10

13. parti di X costituita da tutte le possibili unioni dei membri della famiglia F allora
si può dimostrare che:
a={,X}G
Sia osserva che nel caso in cui la famiglia a è chiusa rispetto all’intersezione
finita alla a=G e quindi in tal caso i membri della topologia a si riducono
all’unione dei membri della famiglia a.
Definizione 1.2.11
Siano (X1,1), …, (Xn,n) n spazi topologici, si considera allora sul prodotto
cartesiano X:=X1Xn la topologia generata dalla famiglia:
{AX : A11,…,Ann t.c. A=A1An}
che prende il nome di topologia prodotto. Si verifica agevolmente che in questo
caso la famiglia generante è chiusa rispetto all’intersezione finita e quindi gli
aperti della topologia prodotto sono definiti come unione di prodotti cartesiani di
aperti. In seguito per comodità alcuni risultati relativi al prodotto cartesiano di
spazi topologici verranno enunciati nel caso n=2 tuttavia tali risultati si
estendono in maniera naturale al caso n>2 e quindi continuano a valere.
Teorema 1.2.6
11

14. Siano X ed Y spazi topologici, sia WXY non vuoto, sia (x,y)XY
Ts: W è intorno di (x,y)  UX intorno di x e VY intorno di y t.c. UVW
Teorema 1.2.7
Siano X ed Y spazi topologici, sia {(xn,yn)}nN in XY e sia (x0 ,y0)XY
Ts: lim (xn,yn)=(x0 ,y0)  lim xn=x0 e lim yn=y0
n  n  n 
Definizione 1.2.12
Sia X un insieme non vuoto e sia d:XXR una funzione, diciamo allora che
tale funzione è una metrica su X se soddisfa alle seguenti proprietà:
(1) d(x,y)=d(y,x) x,yX
(2) d(x,y)d(x,z)+d(z,y) x,y,zX
(3) d(x,y)=0  x=y
Si veridica facilmente che la metrica d è non negativa. La coppia (X,d) prende il
nome di spazio metrico. Fissato un x0X e un r>0 si definisce sfera aperta di
centro x0 e raggio r, l’insieme:
B(x0,r)={xX : d(x, x0)<r}
12

15. Fissato un x0X e un r>0 si definisce sfera chiusa di centro x0 e raggio r,
l’insieme:
B (x0,r)={xX : d(x, x0)r}
Si definisce topologia indotta dalla metrica d la topologia generata dalla
famiglia di sfere:
{B(x,r) : xX e r>0}
ed è la topologia che si considera sullo spazio metrico (X,d). Se d e  sono due
metriche su X allora diciamo che d è meno fine di  se la topologia indotta da d
è meno fine della topologia indotta da . Diciamo quindi che le metriche d e 
sono equivalenti se lo sono le rispettive topologie indotte. Vediamo qualche
esempio concreto di spazio metrico, necessario per la nostra trattazione. Sulla
retta reale si considera:
dR:RR[0,+[ con d(a,b):=|a-b| a,bR
che si verifica essere una metrica su R inducente la topologia standard di R, ed è
detta metrica standard reale. Sul corpo complesso C si considera:
dC:CC[0,+[ con d(w,z):=|w-z|=[(Re(w-z))2+(Im(w-z))2]1/2 w,zC
13

16. che si verifica essere una metrica su C ed è detta metrica standard complessa,
inoltre la topologia da essa indotta è quella che si considera su C. Quindi
possiamo sempre considerare il corpo K munito della metrica standard.
Teorema 1.2.8
Sia (X,d) uno spazio metrico, sia xX e sia UX insieme non vuoto
Ts: U è un intorno di x   r>0 t.c. B(x,r)U
Proprietà 1.2.2
Sia X uno spazio metrico
Ts: X è di Hausdorff
Teorema 1.2.9
Sia X uno spazio metrico, sia {xn}nN successione in X e sia x0X
Ts: lim xn=x0  lim d(xn,x0)=0
n  n 
Teorema 1.2.10
14

17. Sia X uno spazio metrico, si AX un insieme non vuoto e sia x0X
Ts: x0clX(A)  {xn}nN in A t.c. lim xn=x0
n 
Teorema 1.2.11
Sia X un insieme non vuoto, siano d,:XX[0,+[ due metriche su X
Ts: d è meno fine di   Ogni successione in X -convergente è d-convergente
Definizione 1.2.13
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione ordinaria in X,
diciamo allora che tale successione è di Cauchy se:
>0 N t.c. d(xn,xm)< n,m
o equivalentemente se:
>0 N t.c. d(xn+p,xn)< n e pN
Proprietà 1.2.3
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X, sia {an}nN una
successione in R infinitesima t.c. d(xn+p ,xn)an n,pN
15

18. Ts: {xn}nN è di Cauchy
Proprietà 1.2.4
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X convergente
Ts: {xn}nN è di Cauchy
Proprietà 1.2.5
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X di Cauchy che
ammette un’estratta convergente
Ts: La successione {xn}nN è convergente
Definizione 1.2.14
Diciamo che uno spazio metrico è completo se ogni successione di Cauchy è
convergente.
Teorema 1.2.12
16

19. Sia X un insieme non vuoto e siano d,:XX[0,+[ due metriche su X e
supponiamo che ,k>0 t.c. d(x,y)c(x,y) x,yX e denotiamo con d e  le
topologie indotte rispettivamente da d e 
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
() La metrica d è meno fine della metrica 
() Se una successione in X è -di Cauchy allora è d-di Cauchy
Teorema 1.2.13
Sia X un insieme non vuoto e siano d,:XX[0,+[ due metriche su X e
supponiamo che  c,k>0 t.c. k(x,y)d(x,y)c(x,y) x,yX
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
() Le metriche d e  sono equivalenti
() Una successione in X è -di Cauchy se e solo se è d-di Cauchy
() X è d-completo se e solo se X è -completo
Definizione 1.2.15
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia AX un sottoinsieme, diciamo allora che
l’insieme A è limitato se:
17

20. >0 e x0X t.c. AB(x0,)
Proprietà 1.2.6
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione di Cauchy in X
Ts: {xn}nN è limitata
Corollario 1.2.1
Sia (X,d) uno spazio metrico e sia {xn}nN una successione in X convergente
Ts: {xn}nN è limitata
Proprietà 1.2.7
Sia AR insieme non vuoto e è limitato inferiormente
Ts: {n}nN in A t.c. lim n=inf(A)
n 
Dim
Per ipotesi A è limitato inferiormente e questo significa che la quantità inf(A) è
finita, poniamo allora per comodità di scrittura e  =inf(A). Vogliamo dimostrare
che e   A da ciò per il Teorema 1.2.10 seguirà l’asserto. Dobbiamo provare che
18

21. e  è di aderenza per A, fissiamo quindi UR e facciamo vedere che AU.
Per il Teorema 1.2.8 segue che >0 t.c. ]- e  , e  +[U. In corrispondenza ad 
per la seconda proprietà dell’inf tA t.c. t< e  + e pertanto osservando che e  -
< e  t< e  + cioè t]- e  , e  +[U si ha tAU e quindi AU.
Teorema 1.2.14 (di Bolzano-Weierstrass)
Sia {an}nN una successione in R limitata
Ts: {an}nN ammette un’estratta convergente
Teorema 1.2.15
Siano (X,d) ed (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione e sia x0X
Ts: Sono allora equivalenti:
(1) f è continua in x0
(2) >0 >0 t.c. (f(x),f(x0))< xX con d(x,x0)<
(3) {xn}nN in X t.c. lim xn=x0 allora lim f(xn)=f(x0)
n  n 
Teorema 1.2.16
19

22. Siano X, Y e Z spazi metrici, siano xX e yY, sia f:XYZ funzione continua
Ts: Le funzioni f(,y) e f(x,) sono continue
Definizione 1.2.16
Sia (X,d) uno spazio metrico, sia AX un insieme non vuoto e sia xA, si
definisce allora distanza del punto x dall’insieme A, la quantità non negativa:
d(x,A)= inf d(x,y)
xA
Definizione 1.2.17
Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione, diciamo allora
che f è lipschitziana se:
L>0 t.c. (f(x),f(y))Ld(x,y) x,yX
dove la costante L prende il nome di costante di lipschitz.
Proprietà 1.2.8
Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione lipschitziana
Ts: f è continua
Dim
20

23. Sia L>0 la costante di lipschitz di f. Fissiamo un qualunque x0E proviamo che
f è continua in x0, e quindi fissiamo un arbitrario >0 e dimostriamo che:
>0 t.c. (f(x),f(x0))< xX con d(x,x0)<
Scegliamo :=/L allora per la lipschitzianetà di f si ha:

(f(x),f(x0))  Ld(x,x0) < L = L =  xX con d(x,x0)<
L
Definizione 1.2.18
Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY una funzione, diciamo allora
che f è un’isometria se:
(f(x),f(y))=d(x,y) x,yX
cioè se f preserva le distanze. Nel caso in cui f è pure surgettiva gli spazi X ed Y
si dicono isometrici. Si osserva immediatamente che un’isometria è in
particolare una funzione di lipschitziana con costante di lipschitz 1.
Proprietà 1.2.9
Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici, sia f:XY un’isometria
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
() f è iniettiva
21

24. –
() f 1:f(X)X è un’isometria
() f:Xf(X) è un omeomorfismo
() Se f è surgettiva X ed Y sono omeomorfi.
Teorema 1.2.17
Siano (X,d) ed (Y,) due spazi isometrici e sia f:XY un’isometria surgettiva
Ts: Y è completo  X è completo
Dim 
Sia {xn}nN una successione di Cauchy in X. Essendo f un’isometria allora:
(1) (f(xn),f(xm))=d(xn,xm)) n,mN
e da questa si deduce agevolmente che la successione {f(xn)}nN è di Cauchy in
Y che è completo e quindi yY t.c. {f(xn)}nN converge ad y ed inoltre per la
suriettività di f xX t.c. y=f(x). Per la (1) e per il Teorema 1.2.9 segue che:
lim d(xn,x)= lim (f(xn),f(x))=0
n  n 
e quindi segue dal Teorema 1.2.9 che {xn}nN converge ad x.
Dim 
22

25. –
Basta osservare che per la Proprietà 1.2.9 la funzione f 1:YX è un’isometria
surgettiva e ripetere quindi il ragionamento fatto nell’implicazione precedente.
Definizione 1.2.19
Siano (X1,d1), (X2,d2),..., (Xn,dn) n spazi metrici, e chiamiamo X:=X1X2Xn.
Vogliamo fare osservare che a partire dalle metriche di si possono definire delle
metriche sul prodotto cartesiano X. Introduciamo le seguenti tre funzioni
1,2,3:XXR così definite:
1(x,y) := max di(xi,yi) x=(x1,....,xn),y=(y1,...,yn)X
1 i  n
n
2(x,y) :=  (d i ( xi , yi )) 2 x=(x1,....,xn),y=(y1,...,yn)X
i 1
n
3(x,y) :=  di(xi,yi) x=(x1,....,xn),y=(y1,...,yn)X
i 1
E’ facile verificare che le tre funzioni appena definite sono delle metriche sul
prodotto X e vengono dette metriche canoniche. In particolare la 2 viene detta
metrica euclidea. Si verifica inoltre che:
1(x,y)2(x,y)3(x,y)n1(x,y)n2(x,y)n3(x,y) x,yX
e quindi per il Teorema 1.2.13 valgono i seguenti fatti:
23

26.  le tre metriche canoniche sono equivalenti cioè inducono ad una stessa
topologia e si dimostra facilmente facendo uso del Teorema 1.2.5 e del
Teorema 1.2.6 che tale topologia è proprio la topologia prodotto su X.
 se una successione in X è di Cauchy rispetto ad una delle tre metriche
canoniche allora lo è anche rispetto alle altre due.
 se X è completo rispetto ad una delle tre metriche canoniche allora lo è anche
rispetto alle altre due.
Lemma 1.2.1
Siano (X,d) ed (Y,) spazi metrici, sia {(xn,yn)}nN in XY
Ts: {(xn,yn)}nN è di Cauchy  {xn}nN e {yn}nN sono di Cauchy
Dim
Consideriamo XY munito della metrica canonica 1 e quindi:
1((xn,yn),(x0,y0))=d(xn,x0)+(yn,y0) nN
e da questa si deduce agevolmente la tesi.
Teorema 1.2.18
Siano (X,d) e (Y,) due spazi metrici
24

27. Ts: XY è completo  X ed Y sono completi
Dim
Sia {(xn,yn)}nN una successione in XY allora per il Lemma 1.2.1 tale
successione è di Cauchy se e solo se le successioni {xn}nN e {yn}nN sono di
Cauchy rispettivamente in X ed Y e per il Teorema 1.2.7 tali successioni sono
convergenti se e solo se la successione {(xn,yn)}nN è convergente.
Teorema 1.2.19
Il corpo (K,dK) è uno spazio completo
Dim
Consideriamo dapprima il caso K=R. Sia {an}nN una successione di Cauchy in
R che è quindi limitata per la Proprietà 1.2.6 segue allora dal teorema di
Bolzano-Weierstrass la successione che {an}nN ammette un’estratta
convergente e quindi in definitiva per la Proprietà 1.2.5 segue che {an}nN è
convergente. Resta quindi dimostrato che R è completo. Sia adesso il caso K=C.
Poiché R è completo per il Teorema 1.2.18 segue che R2 è completo.
Consideriamo R2 munito della metrica canonica euclidea 2. Ci proponiamo di
25

28. dimostrare che (C,dC) è isometrico ad (R2,2) seguirà quindi dal Teorema 1.2.17
che (C,dC) è completo. Evidentemente basta considerare la funzione:
f:R2C con f(x,y)=x+iy (x,y)R2
infatti è banalmente surgettiva ed inoltre:
dC(f(x1,y1),f(x2,y2)) = dC(x1+iy1,x2+iy2) =…= [(x1-x2)2+(y1-y2)2]1/2 =
= 2((x1,y1),(x2,y2)) (x1,y1),(x2,y2)R2
come volevasi.
Definizione 1.2.20
Sia E un K-spazio vettoriale e sia  E
una norma su E, diciamo allora che la
coppia (E,  E ) è uno spazio normato. Consideriamo la funzione:
d:EER con d(x,y):= x-y E
x,yE
si verifica agevolmente che tale funzione è una metrica su E e prende il nome di
metrica indotta dalla norma  E . La topologia che si considera su E è quella
indotta dalla metrica.
Definizione 1.2.21
26

29. Sia (E,  E ) uno spazio normato e sia xE{E} diciamo allora vettore
normalizzato di x il vettore:
x
xE
tale vettore ha evidentemente norma 1.
Proprietà 1.2.10
Sia (E,  E ) uno spazio normato
Ts: La norma  E
è un funzionale continuo
Teorema 1.2.20
Sia (E,  E ) uno spazio normato, siano {xn}nN e {yn}nN due successioni di E
convergenti e siano {n}nN e {n}nN due successioni di K convergenti
Ts: lim [nxn+nyn ]= lim n lim xn+ lim n lim yn
n  n  n  n  n 
Proprietà 1.2.11
Sia E uno spazio normato; sia AE un insieme chiuso e sia x0E
Ts: x0+A è un chiuso
27

30. Definizione 1.2.22
Sia E uno spazio normato e sia AE un insieme non vuoto, si definisce allora
chiusura lineare di A e la si denota con span (A), l’intersezione di tutti i
sottospazi chiusi contenente A.
Proprietà 1.2.12
Sia E uno spazio normato e sia AE un insieme non vuoto
Ts: span (A)= span(A)
Definizione 1.2.23
Diciamo che uno spazio normato è di Banach se è completo.
Definizione 1.2.24
Sia (E,  E ) uno spazio normato, allora si può dimostrare che:
~ ~ ~
(1) ( E ,  E ) spazio di Banach e :E E isometria lineare t.c. (E ) = E
~
28

31. ~
In tali condizioni si dimostra che lo spazio E è unico a meno di isometria
lineare nel senso che se esiste un altro spazio di Banach che soddisfa alla (1)
~
allora questo deve necessariamente essere linearmente isometrico ad E . Lo
~
spazio ( E ,  E ) prende il nome di completamento dello spazio (E,  E ).
~
Teorema 1.2.21
Sia E uno spazio normato e sia FE sottospazio vettoriale di dimensione finita
Ts: F è chiuso
Corollario 1.2.2
Sia E uno spazio normato e sia x1,…,xnE e poniamo F:=span({x1,…,xn})
Ts: F è un sottospazio vettoriale chiuso
Dim
L’insieme {x1,...,xn} contiene al più n vettori linearmente indipendenti e questo
significa che lo spazio F ha al più dimensione n cioè dim(E)n e quindi segue
dal Teorema 1.2.21 che F è chiuso.
Definizione 1.2.25
29

32. Sia E uno spazio normato e sia {xn}nN una successione ordinaria in E. Diciamo
allora serie associata a {xn}nN la somma degli infiniti termini di {xn}nN cioè:

x1+x2++xn+=  xn
n 1
Fissato kN poniamo:
k
S k=  x n
n 1
che prende il nome di ridotta n-esima o somma parziale. Nasce così in
maniera naturale la successione {Sn}nN detta successione delle ridotte
associata alla serie data. Diciamo che la serie è convergente se la successione
delle ridotte ad essa associata è convergente, cioè se:
yE t.c. lim Sk=y
k 
dove il vettore y è la somma della serie e scriviamo quindi:

 xn=y
n 1
Diciamo che la serie è di Cauchy se lo è la successione delle ridotte ad essa
associata.
Proprietà 1.2.13
30

33. Sia E uno spazio normato, sia {xn}nN successione in E
 k+p
Ts:  xn é di Cauchy  >0 N t.c.  xn <  k> e k,pN
n1 n  k 1 E
Teorema 1.2.22
Siano E ed F due spazi normati, sia x0E, sia f:EF un operatore e sia y0F
Ts: f è continuo in x0  y0+f è continuo in x0
Teorema 1.2.23
Siano E ed F due spazi normati, sia T:EF un operatore lineare.
Ts: Sono allora equivalenti:
(1) T è continuo
(2)  k0 t.c. T(x) F
k x E
xE
(3) T è lipschitziano
Dim (1)(2)
Poiché T(E)=F allora per x=E la tesi è vera per ogni costante k>0, e quindi
possiamo supporre nel seguito xE. Per la continuità di T l’insieme:
-
(1) T 1( B (F,1))={xE : T(x) F
1}
31

34. è intorno di E e quindi:
-
(2) >0 t.c. B (E,)T 1( B (F,1))
Per la linearità di T la tesi è vera se esiste una costante k>0 tale che:
 x 
T
 kx 
 1 xE{E}
 E  F
questa per la (1) è vero se e solo se:
x -
T 1( B (F,1)) xE{E} xE{E}
kxE
per la (2) condizione sufficiente affinché tale affermazione sia vera è che:
x
 B (E,) xE{E}
kxE
cioè:
x x E 1
= = <  xE{E}
kxE E
kx E
k
2
e quindi per ottenere la tesi basta scegliere ad esempio k= .

Dim (2)(3)
Per la linearità di T e dall’ipotesi segue che:
T(x)-T(y) F
= T(x-y) F
 k x-y E
x,yE
Dim (3)(1)
32

35. Conseguenza della Proprietà 1.2.8.
Teorema 1.2.24
Siano E ed F due spazi normati, sia T:EF un operatore lineare
Ts: T è un’isometria  T(x) F
= x E
xE
Definizione 1.2.26
Siano E ed F due spazi normati, denotiamo allora con L(E,F) l’insieme di tutti
gli operatori lineari e continui da E in F. Si verifica facilmente che con le ovvie
operazioni di somma e prodotto L(E,F) è un sottospazio vettoriale di FE. Inoltre
si dimostra che il funzionale:
T( x ) F
: L(E,F)K con (T)= sup T L(E,F)
xE  E  x E
è una norma su L(E,F) che prende il nome di norma operatoriale e si denota
quindi con  L (E,F)
. Fissato T L(E,F) allora per il Teorema 1.2.23 segue che:
k0 t.c. T(x) F
k x E
xE
si evince che per definizione la quantità T L ( E, F)
é la più piccola costante k
affinché valga tale disuguaglianza. Nel caso particolare in cui F=K allora lo
33

36. spazio L(E,K) cioè lo spazio di tutti i funzionali lineari e continui su E, si denota
con E* e prende il nome di duale topologico di E.
Definizione 1.2.27
Sia (E,  E ) uno spazio normato, diciamo allora che E è uno spazio
uniformemente convesso se:
x y
]0,2[ >0 t.c. x,y B(E,1) con x-y E
  1-
2 R
Definizione 1.2.28
Sia E uno spazio di Banach, diciamo allora che E è uno spazio riflessivo se:
E* z B (E,1) t.c. (z)=  E*
Enunciamo un fondamentale risultato della teoria degli spazi di Banach,
del qual però omettiamo la dimostrazione perché troppo tecnica e lontana dalla
presente trattazione.
Teorema 1.2.25 (di Milliman-Pettis)
34

37. Sia E uno spazio di Banach uniformemente convesso
Ts: E è riflessivo
35

38. Capitolo 2
Spazi di Hilbert
2.1 Spazi a prodotto scalare. Proprietà. Esempi.
Definizione 2.1.1
Sia H uno spazio vettoriale su K. Diciamo che la funzione (,)H:HHK è un
prodotto scalare o prodotto interno se soddisfa alle seguenti:
 (x+y,z)H=(x,z)H+(y,z)H x,y,zH
 (x,y)H=(x,y)H K e x,yH
 (x,y)H= ( y, x ) H x,yH
 (x,x)H0 xH
 (x,x)=0  x=H
La  e  ci dicono che il prodotto scalare è lineare rispetto alla prima variabile;
la  ci dice che il prodotto scalare di una coppia è uguale al coniugato della
36

39. coppia con l’ordine invertito; la  ci dice che il prodotto scalare è non negativo
sulla diagonale del quadrato HH e infine la  ci dice che sulla diagonale del
quadrato HH il prodotto scalare si annulla solo in corrispondenza della coppia
(H,H). Si osserva subito che facendo uso delle cinque proprietà si dimostra che
la funzione prodotto scalare soddisfa alle ulteriori due proprietà:
* (x,y+z)H=(x,y)H+(x,z)H x,y,zH
* (x,y)H= (x,y)H K e x,yH
Si osserva chiaramente dalla  * che nel caso in cui lo spazio H sia reale (cioè
H è un R-spazio vettoriale) la funzione prodotto scalare è lineare anche rispetto
alla seconda variabile (basta osservare che il coniugato di un numero reale
coincide con il numero reale). Lo spazio H munito del prodotto scalare si dice
spazio pre-hilbertiano o spazio a prodotto scalare e si indica con la coppia
(H,(,)H). Facciamo presente che in seguito faremo riferimento alle proprietà
caratteristiche del prodotto scalare mediante , , , , , *, *.
Proprietà 2.1.1
Sia (H,(,)H) un C-spazio pre-hilbertiano
Ts: (x,y)H = Re(x,y)H-iRe(x,-iy) x,yH
37

40. Dim
Sappiamo che:
(1) (x,y)H = Re(x,y)H+iIm(x,y)H x,yH
moltiplicando ambo i membri per i, per la proprietà  * del prodotto scalale
otteniamo:
(x,-iy)H = iRe(x,y)H-Im(x,y)H x,yH
passando alla parte reale otteniamo Re(x,-iy)H=-Im(x,y)H da cui segue che
Im(x,y)H=-Re(x,-iy)H e quindi in definitiva sostituendo nella (1) otteniamo
quanto voluto.
Proprietà 2.1.2
Sia H un C-spazio vettoriale e sia :HHC un funzionale tale che
(x,y):=Re(x,y)-iRe(x,-iy) (x,y) HH
Ts: Sono allora equivalenti:
(1)  è un prodotto scalare su H considerato come C-spazio vettoriale
(2) Re è un prodotto scalare su H considerato come R-spazio vettoriale
Dim
Conseguenza immediata delle proprietà dei numeri complessi.
38

41. Corollario 2.1.1
Sia H un C-spazio pre-hilbertiano e sia :HHR un funzionale e
consideriamo :HHC con (x,y):=(x,y)H -i(x,-iy) (x,y) HH
(1)  è un prodotto scalare su H considerato come C-spazio vettoriale
(2)  è un prodotto scalare su H considerato come R-spazio vettoriale
Dim
Basta osservare che Re= ed applicare di peso la Proprietà 2.1.2.
Proprietà 2.1.3 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)
Sia H uno spazio a prodotto scalare
Ts: (x,y)H ( x, x ) H ( y, y ) H
Dim
Se y=H la disuguaglianza è banale poiché ambo i membri sono nulli.
Consideriamo x,yH con yH e consideriamo inoltre un qualunque K si ha:
0(x+y,x+y)H=(x,x)H+(x, y)H+(y,x)H+(y,y)H=
=(x,x)H+ (x,y)H+(y,x)H+  2 (y,y)H=(x,x)H+ (x,y)H+ ( x, y ) H +  2 (y,y)H
39

42. posto:
( x, y ) H
=-
( y, y ) H
otteniamo:
2
( x, y ) H ( x, y ) H ( x, y ) H
0  (x,x)H– (x,y)H- ( x, y ) H + (y,y)H =
( y, y ) H ( y, y ) H 2
( y, y ) H
2 2 2 2
( x, y ) H ( x, y ) H ( x, y ) H ( x, y ) H
= (x,x)H – - + = (x,x)H-
( y, y) H ( y, y) H ( y, y) H ( y, y) H
da cui segue immediatamente la disuguaglianza promessa dalla tesi.
Definizione 2.1.2
Sia (H,(,)H) uno spazio pre-hilbertiano, e consideriamo il funzionale:
 H :H[0,+[ con x H
:= ( x, x ) H xH
vogliamo allora provare che questo funzionale è una norma su H.
Verifichiamo che:
x H
= x H
xH e K
Per le proprietà , e * del prodotto scalare segue che:
2
x H
= (x, x ) H =  ( x, x ) H =  ( x, x ) H =  ( x, x) H =
40

43. =  ( x, x ) H =  x H
xH e K
Verifichiamo che:
x+y H
 x H
+ y H
x,yH
Per le proprietà , *,  del prodotto scalare e per la disuguaglianza di
Cauchy-Schwarz segue che:
2
x y H
= (x+y,x+y)H= (x,x)H+(x,y)H+(y,x)H+(y,y)H =
= (x,x)H+(x,y)H+ ( x, y ) H +(y,y)H =
= (x,x)H+(y,y)H+2Re(x,y)H  (x,x)H+(y,y)H+2|(x,y)H| 
 (x,x)H+(y,y)H+2 ( x, x ) H ( y, y ) H =
2 2
= x H
+ y H
+2 x H
y H
=( x H
+ y H
)2
e quindi passando alle radici otteniamo quanto voluto. La proprietà:
x H
=0  x=H
segue direttamente dalla .
Resta quindi dimostrato che  H
è una norma su H ed è detta norma indotta dal
prodotto scalare. Diciamo metrica indotta dal prodotto scalare e la
indichiamo con dH la metrica indotta dalla norma  H
. La topologia che si
considera sullo spazio H è quella indotta dalla metrica dH.
41

44. Teorema 2.1.1
Sia H uno spazio pre-hilbertiano
Ts (,)H:HHK è continuo
Dim
Per dimostrare che il prodotto scalare è una funzione continua adoperiamo il
Teorema 1.2.15. Fissato un arbitrario (x0,y0)HH consideriamo una
successione {(xn,yn)}nN in HH convergente a (x0,y0) e proviamo quindi che la
successione {(xn,yn)H}nN converge a (x0,y0)H e per fare ciò adoperiamo il
Teorema 1.2.9 e dimostriamo che:
(1) lim (xn,yn)H-(x0,y0)H=0
n
Per la disuguaglianza Cauchy-Schwarz
(xn,yn)H-(x0,y0)H = (xn,yn)H-(xn,y0)H+(xn,y0)H-(x0,y0)H 
 (xn,yn)H-(xn,y0)H+(xn,y0)H-(x0,y0)H =
= (xn,yn-y0)H+(xn-x0,y0)H 
 xn H
yn-y0 H
+ xn-x0 H
y0 H
nN
e quindi abbiamo ottenuto che:
42

45. (2) (xn,yn)H-(x0,y0)H xn H
yn-y0 H
+ xn-x0 H
y0 H
nN
Osserviamo adesso che per il Teorema 1.2.7 la successione {xn}nN è
convergente e quindi per il Corollario 1.2.1 è limitata e sempre per il Teorema
1.2.7 la successione {yn}nN è convergente a y0 e quindi per il Teorema 1.2.9 la
successione ordinaria reale { yn-y0 }
H nN
è infinitesima e pertanto da un noto
teorema di analisi 1 che ci dice che il prodotto di una successione infinitesima
per una successione limitata è ancora una successione infinitesima, si ha
(3) lim xn H
yn-y0 H
=0
n 
Analogamente:
(4) lim xn-x0 H
y0 H
=0
n 
E quindi per la (3) e per la (4) passando al limite nella (2) otteniamo la (1) come
volevasi.
Definizione 2.1.3
Siano (H1, (,) H1 ), …, (Hn, (,) H n ) n spazi a prodotto scalare e poniamo
H:=H1Hn. Si dimostra facilmente che il funzionale:
n
(,)H:HHK con (x,y)H:=  ( xi , y i ) Hi x=(x1,…,xn), y=(y1,…,yn)H
i 1
43

46. è un prodotto scalare sul prodotto cartesiano H. Esplicitando la metrica indotta
da (,)H si osserva che questa è la metrica canonica euclidea.
Definizione 2.1.4
Uno spazio normato si dice unitario se esiste su di esso un prodotto scalare
inducente la norma dello spazio. Banalmente ogni spazio a prodotto scalare è
unitario.
Definizione 2.1.5
Sia (E,  E ) uno spazio normato, diciamo allora che la norma  E
soddisfa
l’uguaglianza o la legge del parallelogramma se:
2 2 2 2
x+y E
+ x-y E
=2( x E
+ y E
) x,yE
Teorema 2.1.2
Sia (E,  E ) uno spazio normato
Ts: E è uno spazio unitario   E
soddisfa la legge del parallelogramma)
Dim 
Per ipotesi:
44

47. (,)E:EEK prodotto scalare t.c. x E
= ( x, x ) E xE
Per le proprietà del prodotto scalare segue che:
2 2
x+y E
+ x-y E
= (x+y,x+y)E+(x-y,x-y)H = … =
2 2
= 2(x,x)H+2(y,y)H=2 x E
+2 y E
=
2 2
= 2( x E
+ y E
) x,yH
Dim 
Consideriamo dapprima il caso in cui E è uno spazio normato reale. Vogliamo
provare allora che il funzionale:
1
E-
2 2
(1) :EER con (x,y):= [ x+y x-y E] x,yE
4
è un prodotto scalare che inducente la norma  E . Verifichiamo che  soddisfa
alla proprietà  del prodotto scalare. Fissati x,y,zE allora per definizione:
1
E-
2 2
(2) (x+y,z)= [ x+y+z x+y-z E]
4
Facendo uso dell’uguaglianza del parallelogramma osserviamo che:
E-
2 2 2 2 2
(3) x+y+z E = (x+z)+y E = 2 x+z E +2 y x+z-y E
Analogamente
E-
2 2 2 2 2
(4): x+z-y E = z-y+x E = 2 z-y E +2 x z-y-x E =
45

48. E-
2 2 2
= 2 z-y E +2 x x+y-z E
ed ancora:
E -2
2 2 2 2
(5) 2 x E = x+z E+ x-z z E
E -2
2 2 2 2
2 y E = y+z E+ y-z z E
Sostituendo la (4) nella (3), e successivamente sostituendo in tale espressione le
due relazioni della (5) ed in conclusione sostituendo il tutto nella (2) otteniamo:
1 1
E- E-
2 2 2 2
(x+y,z)= [ x+z x-z E ]+ [ y+z y-z E ]=(x,z)+(y,z)
4 4
Con procedimenti analoghi si prova che  soddisfa alla proprietà  del prodotto
scalare. La proprietà  è immediata poiché il coniugato di un numero reale è se
stesso. Per quanto riguarda la verifica della  e della  basta osservare che:
1 1 2 1
E-
2 2 2 2
(6) (x,x)= [ x+x x-x E ]= 2x E= 4 x E= x E xE
4 4 4
E quindi resta dimostrato che  è un prodotto scalare reale che ovviamente
induce alla norma di E, basta infatti passare alle radici nella (6). Consideriamo
adesso il caso in cui E uno spazio normato sul corpo complesso che possiamo
riguardare come un R-spazio vettoriale e quindi per quanto dimostrato possiamo
considerare su di esso il prodotto scalare  definito nella (1), prendiamo allora
in considerazione il funzionale:
46

49. :HHC con (x,y) = (x,y)-i(x,-iy) x,yE
che per il Corollario 2.1.1 è un prodotto scalare sul C-spazio vettoriale H e che
induce alla norma di E, infatti:
1 1
E- E-
2 2 2 2
(x,x)=(x,x)-i(x,-ix)= [ x+x x-x E ]+ i[ x+ix x-ix E ]=
4 4
2 1 2 1
E- E -|1-i|
2 2 2 2
= x E+ i[ (1+i)x (1-i)x E ]= x E+ i[|1+i| x x E] =
4 4
2 1
E-
2 2 2 2
= x E+ i[ 2 x 2 x E] = x E +0 = x E xE
4
e quindi estraendo le radici otteniamo quanto voluto.
Il seguente semplice ma importante risultato ci mostra una classe
notevolissima di spazi uniformemente convessi che è quella degli spazi a
prodotto scalare.
Teorema 2.1.3
Sia H uno spazio pre-hilbertiano
Ts: H è uniformemente convesso
Dim
Dobbiamo dimostrare che:
47

50. x y
]0,2[ >0 t.c. x,y B(H,1) con x–y H
  1-
2 H
Fissiamo quindi un ]0,2[ ed x,y B(H,1) tali che x-y H
 e andiamo a
trovare l’opportuno >0. Teniamo presente che essendo x,y B(H,1) allora:
(1) x H
1 e y H
1
2
inoltre essendo x-y H
 segue x  y H
 2
 e quindi:
2
(2) - x y H
- 2 
Dall’uguaglianza del parallelogramma dalla (1) osserviamo che:
2 2 2 2
x y H
+ x y H
= 2( x H
+ y H
)  2(1+1) = 4
segue allora dalla (2) che:
2 2
x y H
=4- x y H
 4-2
dividendo il primo e l’ultimo membro per 4 e passando alle radici otteniamo:
x y 2
 1
2 4
H
e pertanto risulta evidente che la scelta opportuna è:
2
=1- 1 
4
e si ha quanto voluto.
48

51. Diamo adesso alcuni esempi notevoli di spazi a prodotto scalare.
Esempio 2.1.1
Consideriamo il corpo K che come noto può essere riguardato come uno spazio
vettoriale su se stesso. Si verifica allora facilmente che il funzionale:
(x,y )K:= x y x,yK
è un prodotto scalare su K.
Esempio 2.1.2
Consideriamo lo spazio euclideo n-dimensionale H=Kn che come noto è uno
spazio vettoriale su K. Ogni fattore K è munito del prodotto scalare definito
nell’Esempio 2.1.1 e quindi per definizione sul prodotto cartesiano H si
considera il prodotto scalare:
n
(x,y )H:=  xi yi x=(x1,...,xn), y=(y1,...,yn)H
i 1
noto come prodotto scalare euclideo.
49

52. Esempio 2.1.3
Sia E uno spazio vettoriale su K di dimensione finita n, sia {x1,…,xn} una base di
x x
Hamel per E e fissato un qualunque xE denotiamo con 1 ,…,  n K le
componenti del vettore x rispetto alla base di Hamel {x1,…,xn}, si verifica allora
facilmente che il funzionale:
n
(x,y )E:=   ix iy x,yE
i 1
è un prodotto scalare su E. Evidentemente il prodotto scalare euclideo visto
nell’Esempio 2.1.2 è un caso particolare del prodotto scalare appena trattato.
Esempio 2.1.4
Consideriamo l’insieme:
  
l2:=  {xn}nN : xnK nN e  |xn|2<+ 
 n 1

si verifica facilmente che con le ovvie operazioni di somma e prodotto l2 è un
sottospazio vettoriale del K-spazio vettoriale RN. Si verifica inoltre che il
funzionale:

({xn},{yn})l2:=  xnyn {xn},{yn}l2
n1
50

53. è un prodotto scalare su l2.
Esempio 2.1.5
Consideriamo lo spazio H=C0([0,1],R), si può allora dimostrare che con le ovvie
operazioni di somma e prodotto tale spazio risulta essere un R-spazio vettoriale.
Allora si verifica facilmente che il funzionale:
1
(f,g)H:= 0 f(t)g(t)dt f,gH
è un prodotto scalare su H.
Esempio 2.1.6
Vogliamo dare adesso un esempio di spazio di Banach che non sia a prodotto
scalare. Poniamo E:=R2 e consideriamo su di esso il seguente funzionale che si
verifica agevolmente essere una norma:
 E :E[0,+[ con x E
=|x1|+|x2| x=(x1,x2)H
rispetto a tale norma lo spazio E è Banach infatti se si esplicita la metrica indotta
dalla norma  E
allora si osserva che questa altro non è che la metrica canonica
3 introdotta nella Definizione 1.2.19 e pertanto essendo R per il Teorema 1.2.19
51

54. uno spazio completo allora per il Teorema 1.2.18 segue che (E,  E ) è completo.
Tuttavia lo spazio (E,  E ) non è uno spazio unitario cioè non esiste un prodotto
scalare su E che induce la norma  E
e per dimostrare ciò facciamo uso del
Teorema 2.1.2 e dimostriamo quindi che esiste almeno una coppia di punti in
corrispondenza dei quali la norma  E
non soddisfa l’uguaglianza del
parallelogramma. Basta considerare ad esempio x=(0,1) e y=(1,0) infatti:
2 2 2 2 2 2
(1) x+y E+ x-y E= (0,1)+(1,0) E+ (0,1)-(1,0) E= (1,1) E+ (-1,1) E=
2 2
=2 +2 =4+4=8
2 2 2 2
(2) 2 x E +2 y E =2 (0,1) E +2 (1,0) E =2+2=4
ed è evidente che non sussiste l’uguaglianza tra (1) e (2).
2.2 Spazi di Hilbert. Proprietà. Esempi.
Definizione 2.2.1
Diciamo che uno spazio a prodotto scalare è di Hilbert se è di Banach.
Teorema 2.2.1
Sia H uno spazio di Hilbert
52

55. Ts: H è riflessivo
Dim
Per il Teorema 2.1.3 H è uniformemente convesso e quindi segue direttamente
dal teorema di Milliman-Pettis che H è riflessivo.
Teorema 2.2.2
Sia (H,(,)H) uno spazio a prodotto scalare
~
Ts: Il completamento ( H ,  ~)
H
è uno spazio unitario
Dim
Facciamo uso del Teorema 2.1.2 e dimostriamo che la norma  H soddisfa
~
~
l’uguaglianza del parallelogramma. Fissiamo quindi due arbitrari vettori u,v H .
Per definizione di completamento:
~ ~
:H H isometria lineare t.c. (H) = H
~
Poiché u,v H = (H) allora per il Teorema 1.2.10 segue che:
{un}nN e {vn}nN in (H) t.c. lim un=u e lim vn=v
n  n 
Poiché un,vn(H) nN allora:
nN xn,ynH t.c. un=(xn) e vn=(yn)
Per la linearità di  e per il Teorema 1.2.24 segue che:
53

56. un+vn 2
~+
H
un-vn 2
~
H
= (xn)+(yn) 2
~+
H
(xn)-(yn) 2
~
H
=
= (xn+yn) 2
~+
H
(xn-yn) 2
~
H
=
= xn+yn 2
H
+ xn-yn 2
H
=2 xn 2
H
+2 yn 2
H
=
2 2
= 2 un ~ +2
H
vn ~
H
nN
per il Teorema 1.2.20, per la Proprietà 1.2.10 e per il Teorema 1.2.15, passando
al limite per n otteniamo quanto voluto.
Corollario 2.2.1
Sia (H,(,)H) uno spazio a prodotto scalare
~
Ts: Il completamento ( H ,  ~)
H
è uno spazio di Hilbert
Teorema 2.2.3
Siano (H1, (,) H1 ), …, (Hn, (,) H n ) n spazi a prodotto scalare e H:=H1Hn.
Ts: H è di Hilbert  H1,..,Hn sono di Hilbert
Dim
54

57. Abbiamo già fatto osservare che la metrica indotta dal prodotto scalare (,)H è la
metrica euclidea e pertanto applicando di peso il Teorema 1.2.18 si ottiene
l’asserto.
Esempio 2.2.1
Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.1 che lo spazio K con:
(x,y )K:= x y x,yK
è uno spazio a prodotto scalare, ed è anche di Banach infatti la metrica indotta
dal prodotto scalare in questione è proprio la metrica standard dK(x,y)=|x-y|
x,yK e rispetto a tale metrica per il Teorema 1.2.19 il corpo K risulta essere
completo.
Esempio 2.2.2
Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.2 che lo spazio H=Kn con:
n
(x,y )H:=  xi yi x=(x1,...,xn), y=(y1,...,yn)Kn
i 1
è uno spazio a prodotto scalare, inoltre nell’Esempio 2.2.1 abbiamo osservato
che il fattore K è di Hilbert e quindi segue dal Teorema 2.2.3 che H è di Hilbert.
55

58. Esempio 2.2.3
Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.4 che lo spazio H=l2 con:

({xn}nN,{yn}nN)l2:=  xnyn {xn}nN,{yn}nNl2
n1
è un prodotto scalare su l2, e rispetto ad esso lo spazio l2 risulta essere uno spazi
di Hilbert. Rimandiamo la dimostrazione della completezza dello spazio l2 al
Corollario 2.6.1.
Esempio 2.2.4
Vogliamo dare adesso un esempio di spazio a prodotto scalare che non sia di
Hilbert. Abbiamo osservato nell’Esempio 2.1.5 che lo spazio H=C0([0,1],R) con:
1
(f,g)H:= 0 f(t)g(t)dt f,gH
è uno spazio a prodotto scalare, vogliamo allora dimostrare che rispetto a tale
prodotto lo spazio H non è uno spazi di Hilbert. La norma indotta dal prodotto
scalare in questione è:
1/ 2
 1 2 
f H
=
 0 |f(t)| dt 
 fH
 
56

59. Dobbiamo provare che esiste una successione di Cauchy in H che non è
convergente. Per ogni fissato nN consideriamo la funzione reale:
n se x  [0, e  n ]
fn:[0,1]R con fn(x):=  x[0,1]
 ln(1/x) se x  [e  n ,1]
e proviamo quindi che la successione {fn}nN è di Cauchy. Si tenga presente che
per costruzione le funzioni fn sono non negative. Preliminarmente vogliamo
verificare che:
(1) fn(x)  ln(1/x) x]0,1] e nN
-n -n
Fissato nN ed un x]0,1]. Se x]0,e ] allora fn(x)=n ed inoltre 0<xe e
quindi passando al logaritmo otteniamo ln(x)-n cioè n-ln(x)=ln(1/x) e quindi
fn(x)ln(1/x). Mentre se x]e-n,1] allora per definizione fn(t)=ln(1/x).
Osserviamo che:
2 1 en 1
fn+p-fn =
H 0 |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt= 0 |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt+ e  n |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt =
en 1
= 0 |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt+ e  n |ln(1/t)-ln(1/t)|2dt=
en
= 0 |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt n,pN
cioè:
2 en
(2) fn+p-fn H
= 0 |fn+p(t)-fn+p(t)|2dt n,pN
57

60. Per la sub-additività del funzionale modulo e dalla (1) segue che:
|fn+p(x)-fn (x)|  |fn+p(x)|+|fn (x)| = fn+p(x)+fn (x)  ln(1/x)+ln(1/x) =
= 2ln(1/x)= -2ln(x) x]0,1]
quadrando ed integrando tra 0 e e-n, e successivamente confrontando con la (2)
otteniamo:
e n
2 en  
fn+p-fn H
 0 4[ln(t)]2dt = … = 4  t[ln(t)]2-2tln(t)+2t  =
 0
= … = 4[(n+1)2+1]e-n n,pN
e pertanto essendo {4(n+1)2e-n}nN una successione infinitesima allora per la
Proprietà 1.2.3 segue che la successione {fn}nN è di Cauchy. Per concludere il
nostro esempio dobbiamo fare vedere che la successione {fn}nN non è
convergente e quindi fissata una qualunque funzione hH dobbiamo provare
che {fn}nN non converge ad h. A tale scopo consideriamo:
1
 :H[0,+[ con f := 0 |f(t)|dt fH
che si verifica essere una norma su H. Vogliamo osservare che:
(3) f  f H
fH
58

61. Fissiamo una qualunque fH e consideriamo la funzione u:[0,1]R con u(x)=1
x[0,1] allora facendo uso della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
otteniamo:
1 1
f = 0 |f(t)|dt= 0 |f(t)|u(t)dt |f| H
u H
= f H
u H
=
= f H
(1-0)1/2= f H
come volevasi. Dalla (3) in particolare otteniamo che f-g  f-g H
f,gH
e questo per il Teorema 1.2.12 è condizione sufficiente per affermare che la
topologia indotta da  è meno fine della topologia indotta da  H
e quest’ultima
affermazione per il Teorema 1.2.11 equivale a dire che se una successione in H
convergente rispetto a  H
allora è convergente anche rispetto a  . Alla luce di
quanto detto se riusciamo ad dimostrare che la successione {fn}nN non converge
ad h rispetto alla norma  , allora necessariamente questa non convergerà ad h
neanche rispetto alla norma  H
. Osserviamo che:
1 en 1
(4) fn-h H
= 0 |fn(t)-h(t)|dt = 0 |fn(t)-h(t)|2dt+ e  n |fn(t)-h(t)|2dt 
en
 0 |fn(t)-h(t)|2dt nN
Per il Teorema di Heine-Pincherle-Borel l’intervallo [0,1] è compatto e quindi
per il Teorema di Weierstrass la f è limitata e pertanto la quantità:
59

62. := sup |h(x)|
x[ 0,1]
è finita. Essendo come noto la funzione modulo || una norma allora per la
Proprietà 1.1.3 vale:
|fn(x)-h(x)|  ||fn(x)|-|h(x)||  |fn(x)|-|h(x)|  fn(x)- x[0,1] e nN
integrando tra 0 e e-, e successivamente confrontando con la (4) otteniamo:
e  en e 
fn-h  0 [fn(t)-]dt = 0 [fn(t)-]dt+ e  n [fn(t)-]dt =
en e  en e 
= 0 [n-]dt+ e  n [ln(1/t)-]dt = 0 [n-]dt- e  n [ln(t)+]dt =
e 
 
= … = [n-]e-n-  t ln(t)-t+  =e-n[2n-2+1]+e- n
  en
l’ultimo membro della catena tende a e->0 per n e pertanto segue che il
termine fn-h non è infinitesimo e questo per il Teorema 1.2.9 significa
proprio che la successione {fn}nN non converge ad h rispetto alla norma  ,
come volevasi.
60

63. 2.3 Funzionali lineari e continui di uno spazio di Hilbert.
Teorema fondamentale degli spazi di Hilbert. Teorema
di rappresentazione di Riesz.
Proprietà 2.3.1
Sia H spazio a prodotto scalare, sia y H e consideriamo il funzionale :HK
con (x):=(x,y)H xH
Ts: H* e  H*
= y H
Dim
La linearità di  è conseguenza immediata delle proprietà  e  del prodotto
scalare mentre la continuità segue immediatamente dal Teorema 2.1.1 e dal
Teorema 1.2.16. Ci rimane da provare che la norma del funzionale  coincide
con la norma del vettore y. Se y=H allora l’uguaglianza della tesi è banalmente
soddisfatta consideriamo quindi il caso in cui yH. Proviamo che:
(1)  H*
 y H
Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz segue che:
(x):=(x,y)H ( x, x ) H ( y, y ) H = x H
y H
xH
segue:
61

64.  ( x)
 y H
xH{H}
x H
e quindi passando al sup su H{H} otteniamo la (1). Viceversa proviamo che:
(2) y H
  H*
Poiché il funzionale lineare  è continuo allora per il Teorema 1.2.23 segue che:
(3)  (x)  H*
x H
xH
Denotiamo adesso con x0 il vettore normalizzato di y e calcoliamo il funzionale
 su tale vettore:
 y   y  y y 2
(x0)=   := ,y  = (y,y)H= y H
= y
 y   y H y yH H
H H H
e quindi dalla (3) in corrispondenza a tale vettore x otteniamo la (2).
Definizione 2.3.1
Sia H uno spazio a prodotto scalare e siano x,yH, diciamo allora che i vettori x
ed y sono ortogonali se hanno prodotto scalare nullo cioè se (x,y)H=0.
Proprietà 2.3.2
Sia H spazio a prodotto scalare e siano x1,…,xnH vettori a due a due ortogonali
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
62

65. 2 2 2
() x1++xn H
= x1 H
+ + xn H
() 1,…,nK allora i vettori 1x1,…, nxn sono a due a due ortogonali
() Se x1,…,xn sono non nulli allora sono linearmente indipendenti
Dim
Verifichiamo la (). Consideriamo per semplicità il caso n=2, che banalmente si
estende per induzione.
2
x1+x2 H
= (x1+x2,x1+x2)H=(x1,x1)H+(x1,x2)H+(x2,x1)H+(x2,x2)H=(x1,x1)H+(x2,x2)H=
2 2
= x1 H
+ x2 H
Verifichiamo la (). Fissati i,j{1,…,n} con in allora:
(ixi,jxj)H = i  j (xi,xj)H =i  j 0=0
Verifichiamo la (). Siano 1,...,nK tale che:
n
(1)  ixi=H
i 1
e proviamo quindi che 1=…=n=0. Fissiamo un qualunque indice j=1,...,n e
facciamo vedere che j=0. Moltiplicando ambo i membri della (1) per il vettore
xj otteniamo:
 n  n
2
0=

 ixi,xj  =  i(xi,xj)H = j(xj,xj)H = j xj
 H i 1 H
i 1
63

66. 2
cioè j xj H
=0 ed essendo per ipotesi xjH  xj H
0 e quindi deve
necessariamente essere che j=0.
Definizione 2.3.2
Sia H uno spazio a prodotto scalare e sia AH. un insieme non vuoto Diciamo
complemento ortogonale di A e lo indichiamo con A  l’insieme costituito dai
vettori di H che sono ortogonali ad ogni vettori di A cioè:
A  :={yH : (y,x)H=0 xA}
In particolare nel caso A:={x} cioè nel caso in cui A è un singoletto allora:
x  :={yH : (y,x)H=0}
Proprietà 2.3.3
Sia H uno spazio a prodotto scalare e siano A,BH insiemi non vuoti
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
() A (A  ) 
() Se AB allora B   A 
() Se A B  allora B A 
Dim
64

67. Verifichiamo la (). Sia xA e proviamo quindi che x è ortogonale ad ogni
vettore di A  . Sia y A  e pertanto essendo xA allora (x,y)H=0.
Verifichiamo la (). Sia x B  e proviamo quindi che x è ortogonale ad ogni
vettore di A. Fissato un qualunque yA allora segue dall’ipotesi che yB e
pertanto essendo x B  segue che (x,y)H=0 come volevasi.
Verifichiamo la (). Poiché A B  segue allora dalla () che (B  )   A  e
quindi segue dalla () che B A  .
Lemma 2.3.1
Sia H uno spazio a prodotto scalare, sia xH
Ts: x  è un sottospazio vettoriale chiuso di H
Dim
Consideriamo il funzionale:
:HK con (y):=(y,x)H xH
che per la Proprietà 2.3.1 è lineare e continuo. Osserviamo allora che:
x  ={yH : (y,x)H=0}=:Ker()
e pertanto x  è un sottospazio vettoriale di H ed chiuso per la continuità di .
65

68. Proprietà 2.3.4
Sia H uno spazio a prodotto scalare e sia AH insieme non vuoto
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
() H A 
() A A  {H} e se HA allora A A  ={H}
() A  =  x  ed è un sottospazio vettoriale chiuso di H
x A
( ) A  =[span(A) ]  =[ span (A) ] 
Dim
Verifichiamo la (). Basta osservare che H è ortogonale ad ogni vettore.
Verifichiamo la (). Se A A  = la tesi è immediata. Consideriamo quindi il
caso in cui A A  . Sia xA A   (x,x)H=0  x=H cioè x{H}. Per la
() e per l’ipotesi segue che {H}A A  e quindi avendo già osservato che
A A  {H} si ottiene quanto voluto.
Verifichiamo la (). Sia y A   (y,x)H=0 xA  y x  xA. Infine
ricordando che l’intersezione di chiusi è un chiuso e che l’intersezione di
sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale allora avendo dimostrato che A 
si può scrivere come intersezione dei complementi ortogonali dei vettori di A,
per il Lemma 2.3.1 segue che A  è un sottospazio vettoriale chiuso.
66

69. Verifichiamo la (). Proviamo che A  =[span(A) ]  . Poiché Aspan(A) allora
per la Proprietà 2.3.3 segue che [span(A) ]   A  . Viceversa sia x A  
{x} A  segue dalla Proprietà 2.3.3 che A{ x} = x  e quindi essendo x  per
Lemma 2.3.1 un sottospazio vettoriale allora span(A) x  segue dalla Proprietà
2.3.3 che {x}[span(A) ]  cioè x[span(A) ]  . Proviamo adesso che
A  =[ span (A) ]  . Poiché Aspan(A) span (A) segue allora dalla Proprietà
2.3.3 che [ span (A) ]   A  . Viceversa sia x A  e proviamo quindi che x è
ortogonale ad ogni vettore di span (A). Sia y span (A) segue allora dal
Teorema 1.2.10 che esiste {yn}nN in span(A) convergente ad y. Abbiamo già
dimostrato che A  =[span(A) ]  : e quindi essendo x A  allora x[span(A) ] 
e pertanto (x,yn)H=0 nN e quindi in definitiva passando al limite per n per
il Teorema 2.1.1 e per il Teorema 1.2.15 otteniamo che (x,y)H=0 come volevasi.
Teorema 2.3.1 (esistenza dell’elemento di minima norma)
Sia H uno spazio di Hilbert, sia KH un insieme chiuso e convesso
Ts: ! z0K t.c. z0 H
:= inf x H
xK
Dim
67

70. Poniamo:
:= inf x H
xK
Per la Proprietà 1.2.7 segue che:
(1) {zn}nN in K t.c. lim zn H
=
n 
Essendo K un convesso allora:
x y x y 1  1 
(2) = + = x+  1-  yK x,yK

2 2 2 2  2 

Per la disuguaglianza del parallelogramma, per la (1) e per la (2) segue che:
2
2 2 2 2 2 2 x y
x-y H
= 2( x H
+ y H
)- x+y H
= 2( x H
+ y H
)-4 
2 E
 2( x 2
H
+ y 2
H
)-42 x,yK
cioè:
(3) x-y 2
H
2( x 2
H
+ y 2
H
)-42 x,yK
E quindi in corrispondenza a {zn}nN dalla (3) otteniamo:
zn-zm 2
H
 2( zn 2
H
+ zm 2
H
)-42 n,mN
per la (1) passando al limite:
zn-zm 2
H
 0
n 
m 
68

71. e questo evidentemente ci dice che lo successione {zn}nN è d Cauchy in H che è
completo per ipotesi e quindi:
z0H t.c. lim zn=z0
n 
Essendo K un chiuso per il Teorema 1.2.10 segue che z0K. Per la Proprietà
1.2.10 il funzionale norma è continuo e quindi segue dal Teorema 1.2.15 che:
(4) lim zn H
= z0 H
n 
e quindi confrontando la (1) con la (4) otteniamo z0 H
=. Ci rimane da
verificare l’unicità dell’elemento di minima norma. Supponiamo che esistano
z1,z2K tali che z1 H
= z2 H
= allora per la (3) osserviamo che:
z1-z2 2
H
 2( z1 2
H
+ z2 2
H
)-42 = 2(2+2)-42 = 42-42 = 0
e quindi passando alle radici si ha z1-z2 H
=0 e questo per una proprietà
caratteristica della norma ci dice proprio che z1=z2 come volevasi.
Lemma 2.3.2
Sia H uno spazio di Hilbert, sia FH un sottospazio vettoriale chiuso, sia xH
Ts: ! zxF t.c. x-zx H
:= inf x-x H
e x-zx F 
xF
Dim
69

72. Per ipotesi F è un sottospazio vettoriale e quindi in particolare è un convesso
segue allora dalla Proprietà 1.1.1 che il traslato F-x è un convesso ed inoltre per
la Proprietà 1.2.11 è pure un chiuso e quindi segue direttamente dal teorema di
esistenza dell’elemento di minima norma che esiste un unico vettore zxF la cui
distanza da x e eguaglia la distanza di x da F. Proviamo adesso che il vettore x-
zx F  . Per semplicità poniamo w:=x-zx e dimostriamo quindi che tale vettore è
ortogonale ad ogni vettore di F. Prendiamo quindi un arbitrario vettore yF e
facciamo vedere che (w,y)H=0 e chiaramente possiamo supporre yH poiché nel
caso y=H l’asserto è banale. Sia  un qualunque scalare di K e quindi essendo F
un sottospazio vettoriale allora il vettore zx+yF e poiché per costruzione la
quantità w H
è l’inf delle distanze dei vettori di F da x, allora:
2 2 2 2
w H
 x-(zx+y) H
= x-zx-y H
= w-y H
= (w-y,w-y)H =
=…= (w,w)H- (w,y)H- (w, y ) H +  2 (y,y)H
posto:
( w, y ) H
:=
( y, y ) H
e sostituendo:
70

73. 2
(w, y ) H (w, y ) H ( w, y ) H
w 2
H
 (w,w)H- (w,y)H- (w, y ) H + 2
(y,y)H =
( y, y ) H ( y, y ) H ( y, y ) H
2 2 2 2
( w, y ) H ( w, y ) H ( w, y ) H ( w, y ) H
= (w,w)H- - + = w 2
H
-
( y, y ) H ( y, y ) H ( y, y ) H ( y, y ) H
segue:
2
( w, y ) H
0
( y, y ) H
2
essendo yH allora (y,y)H>0 ed essendo ( w, y ) H una quantità non negativa
2
allora necessariamente deve essere che ( w, y ) H =0 segue (w,y)H=0 cioè il
vettore w ortogonale a al vettore y come volevasi.
Teorema 2.3.2 (fondamentale degli spazi di Hilbert)
Sia H uno spazio di Hilbert e sia FH un sottospazio chiuso
Ts: H=F F  e F=( F  ) 
Dim
Per la Proprietà 2.3.4 si ha che F F  ={H} e per il Teorema 1.1.1 questo
significa che F+ F  è somma diretta. Ci rimane da provare che H=F+ F  .
Banalmente F+ F  H.. Viceversa per il Lemma 2.3.2 esiste un vettore zxF tale
71

74. che x-zx F  e quindi banalmente x=zx+(x-zx)F+ F  . Ci rimane da dimostrare
che F=( F  )  . Segue direttamente dalla Proprietà 2.3.3 che F( F  )  .
Viceversa sia x( F  )  , allora essendo H=F  F  esistono unici zxF e wx F 
tali che x=zx+wx e quindi risulta evidente che se riusciamo a dimostrare che
wx=H allora otteniamo quanto voluto, poiché in tal caso si avrebbe che x=zxF.
Essendo x( F  )  osserviamo allora che:
0 = (x,wx)H = (zx+wx,wx)H = (zx,wx)H+(wx,wx)H = 0+(wx,wx)H = (wx,wx)H
e questo per la proprietà  del prodotto scalare è vero se e solo se wx=H.
Corollario 2.3.1
Sia H uno spazio di Hilbert, sia AH un insieme non vuoto
Ts: span (A)=H  A  ={H}
Dim 
Per la Proprietà 2.3.4 e dall’ipotesi segue che A  =[ span (A) ]  = H  ={H}.
Dim 
Per la Proprietà 2.3.4 e dall’ipotesi osserviamo che [ span (A) ]  = A  ={H} e
quindi segue dal teorema fondamentale degli spazi di Hilbert che:
72

75. H = span (A)+[ span (A) ]  = span (A)+{H} = span (A)
Nelle applicazioni della teoria generale riveste grande importanza la
conoscenza della forma generale dei funzionali lineari negli spazi concreti. Per
forma generale dei funzionali lineari di una data classe si intende un'espressione
analitica che contiene parametri di vario genere (numeri, vettori, funzioni, ecc.)
la quale, per valori fissati dei parametri, dà un funzionale della classe data;
inoltre i funzionali cosi ottenuti esauriscono tutti i funzionali considerati. Qui di
seguito è riportato uno dei più noti teoremi di rappresentazione dovuto al
matematico ungherese Frederic Riesz.
Lemma 2.3.3
Sia H uno spazio a prodotto scalare siano y,zH
Ts: Se (x,y)H=(x,z)H xH allora y=z
Dim
Per ipotesi (x,y)H=(x,z)H xH  che (x,y-z)H=0 xH  y-z H  ={H} 
y-z=H cioè y=z.
Lemma 2.3.4
73

76. Sia H uno spazio di Hilbert e sia FH un sottospazio vettoriale chiuso
Ts: F  {H}
Dim
Supponiamo per assurdo che F  ={H} allora per il teorema fondamentale degli
spazi di Hilbert segue che H=F+ F  =F+{H}=F e siamo ad un assurdo.
Teorema 2.3.3 (di rappresentazione di Riesz)
Sia H uno spazio di Hilbert, sia H*
Ts: ! yH t.c. (x):=(x,y)H xH
Dim
Se  è identicamente nullo allora evidentemente basta scegliere y=H.
Consideriamo quindi il caso in cui  non è identicamente nullo. Poniamo:
-
F:= 1(0)={xH : (x)=0}
che come sappiamo è un sottospazio vettoriale di H ed è chiuso per la continuità
di  ed inoltre F è contenuto propriamente in H, infatti se per assurdo F=H allora
essendo per definizione F il nucleo del funzionale  segue che Ker()=H cioè 
è identicamente nullo e siamo ad un assurdo. Per il Lemma 2.3.4 segue che
z F  con zH e denotiamo con z0 il vettore normalizzato di z che ovviamente
74

77. appartiene ancora ad F  essendo questo per la Proprietà 2.3.4 un sottospazio
vettoriale. Osserviamo che evidentemente (z0)0 infatti se per assurdo (z0)=0
 z0Ker()=F e pertanto essendo z0 F  segue che z0 F  F ma per la
Proprietà 2.3.4 F  F={H} e quindi z0=H e siamo ad un assurdo.
Consideriamo un generico vettore xH e prendiamo in considerazione il vettore:
wx:=x(z0)-z0(x)
che ovviamente appartiene ad F infatti per la linearità di  segue che:
 
(wx) =   x(z0)-z0(x)  = (x)(z0)-(z0)(x)=0
 
E pertanto essendo z0 F  si ha allora che:
0 = (wx,z0)H = (x(z0)-z0(x),z0)H = (x(z0),z0)H-(x)(z0,z0)H =
= (x,  ( z 0 ) z0)H-(x) z0 2
H
= (x,  ( z 0 ) z0)H-(x) xH
e quindi scelto y:=  ( z 0 ) z0 dalla precedente otteniamo (x)=(x,y)H xH. Ci
rimane da provare l’unicità del vettore rappresentativo y del funzionale . Sia
quindi ~ H tale che (x)=(x, ~ )H xH dobbiamo provare allora che y= ~ .
y y y
Poiché (x)=(x,y)H xH e (x)=(x, ~ )H xH  (x,y)H=(x, ~ )H xH segue
y y
allora dal Lemma 2.3.3 che y= ~ . Ed il teorema è dimostrato.
y
75

78. Facendo uso del teorema di rappresentazione di Riesz vogliamo
dimostrare il seguente risultato che in particolare ci dice che ogni spazio di
Hilbert reale è linearmente isometrico al suo duale topologico.
Teorema 2.3.4
Sia H uno spazio di Hilbert reale e consideriamo l’operatore
:(H,  H
)(H*,  H*
) tale che ad ogni fissato yH fa corrispondere il
funzionale reale lineare e continuo (y):HR con (y)(x):=(x,y)H xH.
Ts:  è un’isometria surgettiva
Dim
La surgettività di  è conseguenza immediata del teorema di Riesz. Proviamo la
linearità di . Si tenga presente che H è uno spazio di Hilbert su R e quindi
come già osservato in questo caso il prodotto scalare è lineare anche rispetto alla
seconda variabile. Si ha allora che:
(y1+y2)(x) = (x,y1+y2)H = (x,y1)H+(x,y2)H = ((y1)+(y2))(x) =
= (y1)(x)+(y2)(x) y1,y2H e ,R
Ci rimane da provare che  è un’isometria. Segue dalla Proprietà 2.3.1 che:
(y) H*
= y H
yH
76

79. e questo per il Teorema 1.2.24 equivale ad affermare che  è un’isometria.
2.4 Operatori autoconiugati. Proiettori. Teorema delle
proiezioni.
Lemma 2.4.1
Sia H uno spazio a prodotto scalare, sia yH e sia TL(H,H)
Ts: Il funzionale (T(),y)H è lineare e continuo
Dim
Per la Proprietà 2.3.1 il funzionale (,y)HH* e quindi (T(),y)H risulta essere
composizione di applicazioni lineare e continue segue allora dalla Proprietà
1.1.4 e dalla Proprietà 1.2.1 che (T(),y)HH*.
Definizione 2.4.1
Sia H uno spazio di Hilbert, sia T:HH un operatore lineare e continuo,
vogliamo allora dimostrare che esiste un unico operatore da H in H che
denotiamo con T* detto coniugato di T, tale che:
(1) (T(x),y)H = (x,T*(y))H x,yH
77