Disequazioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA
FACOLTÀ DI INGEGNERIA

AUTORE: DOTT. S. Caltabiano

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)

Indice Generale

1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle disequazioni ..................................... 1
1.1 Definizione di disequazione. Interpretazione grafica di una disequazione.
Risoluzione di una disequazione per via grafica ..................................................... 1
1.2 Applicazioni del teorema degli zeri per la risoluzione delle disequazioni ....... 2
1.3 Metodo grafico per lo studio delle variazioni del segno del prodotto di un
numero finito di funzioni reali ................................................................................ 4
1.4 Sistemi di disequazioni ................................................................................... 5
2 Disequazioni polinomiali razionali intere ........................................................... 8
2.1 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado 1 ....................................... 8
2.2 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado 2 ....................................... 8
2.3 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado n..................................... 11
3 Disequazioni logaritmiche ................................................................................ 13
3.1 Disequazioni logaritmiche in forma normale ................................................ 13
4 Disequazioni esponenziali ................................................................................ 15
4.1 Disequazioni esponenziali in forma normale ................................................ 15
5 Disequazioni trigonometriche ........................................................................... 17
5.1 Disequazioni trigonometriche elementari ..................................................... 17
5.2 Disequazioni riconducibili a disequazioni elementari ................................... 23
5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque disequazioni
trigonometrica ...................................................................................................... 24
5.4 Disequazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tg..................................... 25
5.5 Disequazioni risolvibili applicando le formule di prostafersi ........................ 26
5.6 Disequazioni risolvibili applicando le formule di Werner ............................. 27
6 Disequazioni riconducibili allo studio di disequazioni ordinarie. Disequazioni
irrazionali. Disequazioni contenenti espressioni in valore assoluto. Disequazioni
fratte. ........................................................................................................................ 29
Dott. S. Caltabiano ii


6.1 Disequazioni riconducibili a disequazioni polinomiali grado n ..................... 29
6.2 Disequazioni irrazionali ................................................................................ 31
6.3 Disequazioni contenenti espressioni in valore assoluto ................................. 35
6.4 Disequazioni fratte ....................................................................................... 41
7 Complementi sulle disequazioni trigonometriche ............................................. 45
7.1 Disequazioni simmetriche in sin e cos .......................................................... 45
7.2 Disequazioni trigonometriche non tipiche .................................................... 45
8 Esercizi di vario tipo......................................................................................... 48

Dott. S. Caltabiano iii


1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle disequazioni

1.1 Definizione di disequazione. Interpretazione grafica di una disequazione.
Risoluzione di una disequazione per via grafica
Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali. Si dice disequazione:
f(x)g(x) oppure f(x)g(x)
nel caso:
f(x)<g(x) oppure f(x)>g(x)
si parla di disequazione in senso stretto. In seguito per comodità di scrittura e per
linearità di discorso, le suddette scritture, saranno compendiate rispettivamente con:
f(x)   g(x) e f(x)   g(x)
Risolvere una disequazione, significa trovare (se esistono) gli intervalli nei cui punti
la disequazione è soddisfatta.
Diciamo che due disequazione sono equivalenti se sono soddisfatte dalle medesime
soluzioni.
E’ interessante dare un’interpretazione grafica delle disequazioni. Consideriamo ad
esempio il caso in cui il verso della disequazione è “<” cioè:
f(x)<g(x)
dire che un x0 soddisfa a tale disuguaglianza, evidentemente equivale ad affermare
che l’ordinata della f in x0, sta al disotto dell’ordinata della g in x0 e quindi la
disequazione è soddisfatta in tutti gli intervalli, in corrispondenza dei quali il grafico
della funzione f sta al disotto, di quello della funzione g.
L’interpretazione grafica appena data, risulta uno strumento validissimo, nei casi in
cui le funzioni f e g hanno un’espressione analitica molto diversa e di conseguenza
molto difficile da trattare analiticamente. Riportiamo qui di seguito i punti che
bisogna seguire per risolvere graficamente una disequazione:

Dott. S. Caltabiano 1


 in un sistema di riferimento cartesiano Oxy si rappresentano i grafici delle
funzioni f e g.
 si considerano gli intervalli corrispondenti alle porzioni di grafico della f che
stanno sotto o sopra il grafico della g, a seconda che il verso della disuguaglianza
sia < oppure >
Vediamo un esempio pratico. Consideriamo f(x)=x2–2 che è una parabola con
concavità verso l’alto, e g(x)=2x+6 che è una retta e consideriamo il caso in cui il
verso della disuguaglianza sia <. Rappresentiamo tali funzioni sul piano cartesiano e
vediamo chi è l’insieme delle x che soddisfa alla disequazione:
x2–4<2x+6
y y=x2–4

y=2x+6

x

Figura 1

proiettando le intersezioni delle due funzioni, sull’asse delle ascisse, si ottiene
immediatamente la visione dell’intervallo, che nel caso considerato è ]-2,4[, i cui
punti soddisfano alla nostra disequazione, poiché in esso il grafico della parabola sta
al disotto del grafico della retta.

1.2 Applicazioni del teorema degli zeri per la risoluzione delle disequazioni
Richiamiamo il teorema degli zeri:
“sia I è un intervallo reale, sia f:IR una funzione continua e supponiamo che x,yI
t.c. f(x)f(y)<0 allora z]x,y[ t.c. f(z)=0”


Se x,yI sono degli zeri per la f cioè f(x)=f(y)=0 e se non esistono altri zeri della f
nell’intervallo aperto ]x,y[ allora per il teorema degli zeri la funzione f nell’intervallo
aperto ]x,y[ deve avere segno costante. Questa semplice osservazione è un
validissimo strumento nello studio delle variazioni di segno di una funzione continua
per la quale siano noti tutti gli zeri. Vediamo qualche esempio pratico.
Consideriamo la funzione polinomiale:
f::RR con f(x):=(x+1)(x–1)(x–3)(x–5)
Lo studio della variazione di segno della f è sarà fatto nel paragrafo 2.3. Vediamo
adesso come si può accelerare notevolmente il procedimento con il metodo suddetto.
Le radici della f sono –1, 1, 3, 5, e quindi il domino della f (in questo caso R) viene
spezzato in cinque intervalli:
]–,–1[ ; ]–1,1[ ; ]1,3[ ; ]3,5[ ; ]5,+[
ed in ognuno la f mantiene segno costante. Evidentemente per scoprire il segno della
f in uno di questi intervalli basta calcolare la f in un punto interno all’intervallo in
questione:
preso –2]–,–1[  f(–2)=105>0  f strettamente positiva in ]–,–1[
preso 0]–1,1[  f(0)=–15<0  f strettamente negativa in ]–1,1[
preso 2]1,3[  f(2)=9>0  f strettamente positiva in ]1,3[
preso 4]3,5[  f(4)=–15<0  f strettamente negativa in ]3,5[
preso 6]5,+[  f(6)=105>0  f strettamente positiva in ]5,+[
Vediamo un altro esempio semplice, ma meno banale del precedente. Consideriamo
la funzione:
f::RR con f(x):=x+arctg(x)
La f è la somma della funzione identità e della funzione arcotangente. E quindi lo
studio delle variazioni di segno della f non può essere fatto con i metodi usuali.
Osserviamo che f(0)=0 ed è l’unico zero poiché la f è strettamente crescente.
Vediamo quindi il segno che la f assume a sinistra ed a destra dello 0:




preso – 3 ]–,0[  f(– 3 )=– 3 – <0  f strettamente negativa in ]–,0[
3

preso 3 ]0,+[  f( 3 )= 3 + >0  f strettamente positiva in ]0,+[
3

1.3 Metodo grafico per lo studio delle variazioni del segno del prodotto di un
numero finito di funzioni reali
Siano f1=f1(x), f2=f2(x), …, fn=fn(x) n funzioni reali e denotiamo con f(x)=
f1(x)f2(x)f2(x) il prodotto di queste n funzioni. Le variazioni di segno della funzione f
si ottengono confrontando le variazioni di segno delle singole funzioni. Per ottenere
graficamente tali variazioni di segno, si costruisce una tabella opportuna, procedendo
nel seguente modo:
 si riportano lungo una retta orizzontale, in ordine crescente, i punti in
corrispondenza dei quali le singole funzioni variano di segno
 si tracciano delle perpendicolari a partire dai punti in cui le singole funzioni
variano di segno
 per ogni funzione si traccia parallelamente una retta, che deve essere continua nei
tratti dove la funzione è non negativa, e tratteggiata nei tratti dove la funzione è
negativa
si ottiene così una tabella, che ci consente tramite il prodotto dei segni, di ottenere le
variazioni di segno della f. Facciamo un esempio pratico. Consideriamo:
f1(x)=(x–2)(x+2) ; f2(x)=3–x ; f1(x)=x+5
e poniamo:
f(x)=f1(x)f2(x)f3(x)=(x–2)(x+2)(3–x)(x+5)
che è una funzione polinomiale. Si fa quindi lo studio delle variazioni segno delle
singole funzioni f1, f2, f3 (tale trattazione sarà fatta in seguito) e si costruisce la tabella,
secondo lo schema mostrato sopra:



–5 –2 2 3
   
f1
f2
f3
f

Figura 2

1.4 Sistemi di disequazioni
Siano f1= f1(x), g1= g1(x), f2= f2(x), g2= g2(x),…, fn= fn(x), gn= gn(x) n coppie di
funzioni reali. Si definisce sistema di disequazioni:
 f1 ( x )  g 1 ( x )
 f ( x)  g ( x)
 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . .
 f n ( x )  g n ( x)

la soluzione del sistema è data dall’intersezione delle soluzioni delle singole
disequazioni. Per ottenere tale intersezione graficamente, si costruisce una tabella
opportuna, procedendo nel seguente modo:
 si riportano lungo una retta orizzontale, gli estremi degli intervalli (o un solo
estremo nel caso in cui l’intervallo sia non limitato inferiormente o superiormente)
delle soluzioni che soddisfano le singole disequazioni
 si tracciano delle perpendicolari a partire dai punti riportati sulla retta
 per ogni disequazione si tracciano dei tratti continui paralleli alla retta, in
corrispondenza delle soluzioni della medesima
il segmento continuo comune (se esiste) è proprio la soluzione del sistema assegnato.
Facciamo un esempio pratico. Consideriamo il sistema:
 x 2  25

2 x  4  x  1
x 1  3



si risolvono le singole disequazioni che compaiono nel sistema (tale trattazione sarà
fatta in seguito) e si costruisce la tabella, secondo lo schema mostrato sopra:

–5 –3 4 5
   
2
x <25
2x+4>x+1
x–1<3
soluzione

Figura 3

I seguenti quattro principi ci consentono di ottenere una disequazione
equivalente a partire da un’assegnata disequazione.

Teorema 1.1 (Primo principio di equivalenza)

Sommando algebricamente ad ambo i membri di una disequazione una stessa
espressione algebrica, che non perda di significato in corrispondenza di soluzioni
della disequazione data, si ottiene una disequazione equivalente.

Teorema 1.2 (Secondo principio di equivalenza)

Moltiplicando ambo i membri di una disequazione, per una stessa espressione
algebrica avente sempre lo stesso segno (cioè sempre positiva o sempre negativa), e
che non perda di significato in corrispondenza di soluzioni della disequazione data, si
ottiene una disequazione equivalente, rispettivamente con verso concorde se
l’espressione è strettamente positiva e con verso discorde se l’espressione è
strettamente negativa.

Teorema 1.3 (Terzo principio di equivalenza)

Assegnato n intero positivo. Elevando ambo i membri di una disequazione alla
potenza n o alla potenza 1/n:
 se n è dispari si ottiene una disequazione equivalente



 se n è pari si ottiene una disequazione equivalente se e solo se ambo i membri
della disequazione assegnata sono non negativi

Teorema 1.4 (Quarto principio di equivalenza)

Componendo ambo i membri di una disequazione con una funzione strettamente
monotona (cioè strettamente crescente o strettamente decrescente), si ottiene una
disequazione equivalente, con verso di disuguaglianza concorde se la funzione è
strettamente crescente, e con verso di disuguaglianza discorde se la funzione è
strettamente decrescente

Corollario 1.1

Se ambo i membri di una disequazione non si annullano mai ed hanno entrami lo
stesso segno (cioè sono entrambi strettamente positivi o strettamente negativi) allora
passando ai reciproci si ottiene una disequazione equivalente con verso di
disuguaglianza discorde
Dimostrazione
Conseguenza del secondo principio.



2 Disequazioni polinomiali razionali intere

Il termine “intere” è riferito al fatto che l’incognita compare soltanto con potenza
positiva, cioè non compare al denominatore. Le disequazioni razionali non intere,
sono dette disequazioni razionali fratte e verranno tratte in seguito. Il termine
“razionale” è riferito al fatto che non compaiono espressioni sotto il segno di radice.
Le disequazioni nelle quali compaiono espressioni sotto il segno di radice sono dette
irrazionale e verranno trattate in seguito.

2.1 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado 1
Si definisce disequazione razionale intera di grado 1:
ax+b   0 (1)
più precisamente in questo in caso la disequazione si dice in forma normale. Si
capisce immediatamente che grazie al primo principio ci si può sempre ricondurre
alla forma normale, ad esempio se abbiamo:
ax+b   cx+d
allora per il primo principio otteniamo:
(a–c)x+b–d   0
Per il primo e per il secondo principio la (1) è soddisfatta per:
b b
x   se a>0 ; x    se a<0
a a

Esercizi

1. 5x–3>0 4. 2x+3=1
2. 2x–3>3–x 5. 3x+1=3–2x
3. x+1<0 6. 7x–5=4+x

2.2 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado 2
Si definisce disequazione razionale intera di grado 2 (in forma normale):



ax2+bx+c   0
Per risolvere questa disequazione bisogna studiare il segno del polinomio di secondo
grado P2(x):=ax2+bx+c. Vogliamo fare osservare a priori che P2(x) si può scrivere
come prodotto di due polinomi di primo grado:

2  2 b c  2 b b2 b2 c
P2(x)=ax +bx+c=a  x  x   = a  x  x  2  2   =
 a a  a 4a 4a a

 2 2
b  b2 c  b  b 2  4ac 
=a  x    2   = a  x    =

 2a  4a a
 
 2a  4a 2  
 2
 b 
2
   b 
2
  
=a  x    2  = a  x     
 2a   =

 2a  4a 
  2a    

 b   b   b    b 
= a x 
   x    =a  x   x  
 2a 2a 
 2a 2a  
  2a 
 2a 

con :=b2–4ac. Ed inoltre posto:

b  b 
x1  e x2 
2a 2a
che sono quindi le radici del polinomio P2(x), e possono essere: reali e distinte se
>0, reali e coincidenti se =0 e complesse e coniugate se <0. In definitiva:
P2(x):=a(x–x1)(x–x2) (2)
quindi in questo caso lo studio delle variazioni di segno P2(x), si riconducono allo
studio delle variazioni di segno del prodotto di due polinomi di grado uno. Posto
:=b2–4ac dalla (2) si ricava:
 se >0 allora per la (2) P2(x) ha segno discorde al coefficiente a nell’intervallo
]x1,x2[, mentre ha segno concorde negli intervalli ]–,x1[ e ]x2,+[.
 se =0 allora per la (2) P2(x) ha ovunque segno concorde al coefficiente a, tranne
che nella radice –b/2a, poiché in essa P2(x) si annulla.
 se <0 allora per la (2) P2(x) ha ovunque segno concorde al coefficiente a.



Un’analisi sistematica di questo tipo, ci consente di costruire una tabella, che descrive
le variazioni di segno del trinomio di secondo grado ax2+bx+c al variare dei
parametri a,b,cR:
2 ax2+bx+c<0 ax2+bx+c>0
:=b –4ac
a<0 a>0 a<0 a>0
È sempre Non ammette Non ammette È sempre
<0
soddisfatta soluzioni soluzioni soddisfatta
È soddisfatta per È soddisfatta per
ogni valore di x, Non ammette Non ammette ogni valore di x,
=0
tranne che per soluzioni soluzioni tranne che per
x=–b/2a x=–b/2a
È soddisfatta dai È soddisfatta dai È soddisfatta dai È soddisfatta dai
valori della x che valori della x che valori della x che valori della x che
sono esterni sono interni sono interni sono esterni
>0
all’intervallo che all’intervallo che all’intervallo che all’intervallo che
ha per estremi le ha per estremi le ha per estremi le ha per estremi le
radici di P2(x) radici di P2(x) radici di P2(x) radici di P2(x)

Tabella 1

Esercizi

1. (x–2)(x+2)<0 x 2 1 2
2 x 2
13. +(x–2) >
2. –3(x–2)(x–1)<0 3 2
3. 4(x+2)(x+3)>0  x 2  3x  0

14. 
4. x2–1>0  x 2  3x  2  0

5. x2+2>0
 x 2  5 x  6  0
2
6. x –2>0 15. 
1  x  0
7. x2–3x>0
 3x  2 x  1 x  5
8. x2+2x>0  2  4  4

9. x2–5x+4>0 16.  2
 x 1  x  1  x
10. (x+1)2>3x+3  2
 2 2
11. x2–2x–1>0 x 2  5x  6  0
17. 
12. x2–x–1<0
1  2 x  3x



2.3 Disequazioni polinomiali razionali intere di grado n
Generalizziamo i due casi di disequazioni appena trattati. Si definisce disequazione
razionale intera di grado n (in forma normale):
anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0   0
Un polinomio Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0 ammette al più n radici reali, che
denotiamo con x1,…,xmR dove mn, allora facendo uso della regola di Ruffini,
sappiamo che si può scrivere:
Pn(x)=an(x–x1)(x–x2)…(x–xm)Q(x)
dove Q=Q(x) è un polinomio positivo non scomponibile nel campo reale (cioè non
ammette radici reali, ad esempio Q(x)=x2+1). E quindi la studio del segno del
polinomio Pn(x) si ottiene confrontano i segni dei singoli fattori.
Una particolare disequazioni di grado n si ha quando:
Pn(x)=xn+a
e si parla di disequazioni binomie di grado n. Se n è dispari per il terzo principio la
variazione di segno di Pn(x) sono equivalenti a quelle del polinomio di primo grado:
P1(x)=x+ n a
Se n è pari, nel caso a>0 Pn(x) è sempre strettamente positivo (poiché in tal caso Pn(x)
non ammette radici reali), mentre nel caso a<0, scomponendo Pn(x) si trova
facilmente che:
Pn(x)=(x– n  a )(x+ n  a )Q(x)
dove Q=Q(x) è un polinomio positivo non scomponibile nel campo reale, e quindi in
questo caso le variazioni di segno di Pn(x) sono equivalenti alle variazioni di segno di
un polinomio di secondo grado avente radici  n  a .
Un’altra particolare disequazioni di grado n si ha quando:
P2m(x)=ax2m+bxm+c
dove m è un numero intero positivo, nel caso m=2 si parla di disequazioni
biquadratiche. Si pone y=xm e si ottiene ay2+by+c che è un polinomio di secondo
grado nella variabile y e quindi dette y1 e y2 le sue radici si ha:



P2m(x)= a(y–y1)(y–y2)= a(xm–y1)(xm–y2)
e pertanto in questo caso lo studio del segno del polinomio P2m(x) si riconduce allo
studio del segno del prodotto di due equazioni binomie.

Esercizi

1. x3–6x2+11x–6>0 7. x5+2>
2. x5–x4–x+1<0 8. x6+2<0
3. x4+3x3–14x2–48x–32<0 9. x4–16<0
4. x4+x3–7x2–x+6>0 10. x4–5x2+4<0
5. x3–3x+2>0 11. x4–10x2+9>0
6. x4–5x3+5x2+5x–6<0 12. x8–17x4+16>0



3 Disequazioni logaritmiche

3.1 Disequazioni logaritmiche in forma normale
Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali e sia a un numero reale compreso tra 0 e 1
oppure strettamente maggiore di 1. Una disequazione logaritmica in forma
normale è del tipo:
loga f(x)   loga g(x) (3)
Il logaritmo ha senso se l’argomento è strettamente positivo e quindi dobbiamo
imporre che f(x)>0 e g(x)>0. E quindi in definitiva per il quarto principio, passando
all’esponenziale nella (3) e ricordando che se a>1 l’esponenziale è strettamente
crescente, mentre se 0<a<1 l’esponenziale è strettamente decrescente, il sistema
equivalente alla (3) è:
 f ( x)  0

 g ( x)  0
 f ( x )  g ( x ) se a  1 oppure f ( x )  g ( x ) se 0  a  1
  

Si osserva che nel sistema la base a influenza il verso della disuguaglianza, ma non
compare in esso.
Assegnata una costante bR un caso particolare della (3) è la disequazione:
loga f(x)   b (4)
infatti per ricadere nel caso della (3) basta porre g(x)=ab e di conseguenza il sistema
equivalente alla (4) è:
 f ( x)  0


 f ( x)   a b se a  1 oppure f ( x)   a b se 0  a  1

Nella maggior parte dei casi il logaritmo considerato è quello di Neperio, cioè il
logaritmo con base e e lo si denota con ln ed è detto per l’appunto logaritmo
neperiano.

Esercizi


1. log3(3x+6)>log3(x–2) 9. log1/3log2(x+1)<1
2. log1/2(3x–4)<log½(3x–4) 10. log10(x2–7x+11)<0
3. log½(2x–4)<2 11. 2log3(2–x)–log3(x+4)>log3(3x+14)
4. 2ln(x–1)<1 12. ln(x)–2ln(x+3)<ln(x3+15)
5. ln(x+1)+ln(x)<2ln(1–x) 13. ln(x2–6x+9)<ln(x)–ln(4)
6. log3log2(x+1)>0 14. 3ln(x–2)>ln(x)+ln(x2–14)
7. log10(x2–x+98)>2  x  1 x  1
15. ln  0
8. log10log10(2x-5)<0  5 2 



4 Disequazioni esponenziali

4.1 Disequazioni esponenziali in forma normale
Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, siano a, b numeri reali positivi e siano c,
dR.. Una disequazione esponenziale in forma normale è del tipo:
caf(x)   dbg(x) (5)
Si presentano i seguenti casi:
a) Se c>0 e d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure
strettamente maggiore di 1, la disequazione equivalente alla (5) si ottiene
applicando ad ambo i membri il logaritmo in base h:
logh(c)+f(x) logh(a)   logh(d)+g(x)logh (b)

che è una disequazione concorde alla (5) se h>1 e discorde se 0<h<1
b) Se c0 e d>0 la disequazione (5) è sempre soddisfatta se il verso della
disuguaglianza è <, mentre è impossibile se il verso della disuguaglianza è >
c) Se c>0 e d0 la disequazione (5) è sempre soddisfatta se il verso della
disuguaglianza è >, mentre è impossibile se il verso della disuguaglianza è <
d) Se c<0 e d<0 si moltiplicano ambo i membri per –1 e si ricade nel caso a)
Un caso particolare della (5) si ottiene ponendo b=c=1:
af(x)   d (6)
si presentano i seguenti casi:
a) Se d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure strettamente
maggiore di 1, la disequazione equivalente alla (6), per la tabella precedente è:
f(x)logh(a)   logh(d)
b) Se d0 la disequazione (6) è sempre soddisfatta se il verso della disuguaglianza è
>, mentre è impossibile se il verso della disuguaglianza è <

Esercizi



1. 22x–3>5 2
6. (1 / 2) 6 x  (1 / 2) 5 x1
2. (1/3)x+1>5 7. 2x–13x+1>9
3. 2x+4<–5 8. 52x>87x–2
4. 32x+7>–5
9. 352(2x–7)–452x–7+1>0
5. 32x–113x–7+28<0
10. 52x–65x–7+5>0



5 Disequazioni trigonometriche

Per la risoluzione delle disequazioni trigonometriche non esistono norme di
carattere generale. Esiste però una serie di disequazioni trigonometriche tipiche,
esposte di seguito, per le quali è possibile dare un criterio di risoluzione. La
conoscenza della risoluzione delle disequazioni tipiche, è necessaria se si vuole
impostare la soluzione di una qualsiasi disequazione trigonometrica.

5.1 Disequazioni trigonometriche elementari
Sono disequazioni trigonometriche elementari (in forma normale):
sin(x)   m (7)

cos(x)   m (8)

tg(x)   m (9)

dove mR.. La risoluzione di queste disequazione, avviene per via grafica. Esistono
due metodi. Il primo metodo è quello mostrato nel paragrafo 1.1 nel caso in cui f è
una funzione trigonometrica e g vale costantemente m (cioè il grafico della g è la retta
parallela all’asse delle ascisse, di equazione y=m). Descriviamo dettagliatamente il
secondo metodo, detto metodo trigonometrico, singolarmente per la (7), per la (8) e
per la (9).
Metodo trigonometrico per la (7):
 si disegna la circonferenza trigonometrica (cioè la circonferenza di raggio 1, con
origine nel centro degli assi coordinati O=(0,0))
 se m–1 la (7) non è mai verificata o è sempre verificata, a seconda che il verso
della disuguaglianza sia rispettivamente < o >. Se m1 la (7) è sempre verificata o
non è mai verificata, a seconda che il verso della disuguaglianza sia
rispettivamente < o >. Se –1<m<1 si traccia la retta y=m, e si riportano
(procedendo in verso antiorario) gli intervalli di [0,2], corrispondenti agli archi



che stanno sotto o sopra, la retta, a seconda che il verso della disuguaglianza, sia
rispettivamente < o >
 si aggiunge agli estremi degli intervalli, la periodicità 2k con kZ..
Consideriamo ad esempio il caso in cui in verso della disuguaglianza nella (7) sia < e
con 0<m<1. Denotiamo con  l’angolo =arcsin(m), e procediamo come suddetto:
y

y=m
–

x

Figura 4

Quindi la disequazione è soddisfatta per:
0<x< e –<x<2
aggiungendo la periodicità:
2k<x<+2k e –+2k<x<2+2k
Un’analisi sistematica di questo tipo, ci porta a dare una scrittura generale, che
descrive tutte le soluzioni della (7), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi in
cui –1<m<1, denoteremo con  l’angolo arcsin(m) ridotto al primo quadrante:
Studio della disequazione sin(x)   m al variare di m

Valore di m Verso disuguaglianza < Verso disuguaglianza >
-1m Nessuna soluzione Sempre verificata
2k<x<++2k
-1<m<0 ++2k<x<2–+2k
2–+2k<x<2+2k
0m<1 2k<x<+2k + 2k<x<–+2k



–+ 2k<x<+2k
m1 Sempre verificata Nessuna soluzione

Tabella 2

 si disegna la circonferenza trigonometrica
 se m–1 la (8) non è mai verificata o è sempre verificata, a seconda che il verso
della disuguaglianza sia rispettivamente < o >. se m1 la (8) è sempre verificata o
non è mai verificata, a seconda che il verso della disuguaglianza sia
rispettivamente < o >. Se –1<m<1 si traccia la retta x=m, e si riportano
(procedendo in verso antiorario) gli intervalli di [0,2], corrispondenti agli archi
che stanno a sinistra o a destra, la retta, a seconda che il verso della
disuguaglianza, sia rispettivamente < o >
 si aggiunge agli estremi degli intervalli, la periodicità 2k con kZ..
con 0<m<1. Denotiamo con  l’angolo =arccos(m), e procediamo come suddetto:
y
x=m


x

2–

Figura 5

<x<2–


+2k<x<2–+2k
descrive tutte le soluzioni della (8), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi in
cui –1<m<1, denoteremo con  l’angolo arccos(m) ridotto al primo quadrante:
Studio della disequazione cos(x)   m al variare di m

-1m Nessuna soluzione Sempre verificata
2k<x<–+2k
-1<m<0 –+2k<x<++2k
++2k<x<2+2k
2k<x<+2k
0m<1 +2k<x<2–+2k
2–+2k<x<2 +2k
m1 Sempre verificata Nessuna soluzione

Tabella 3

 si disegna la circonferenza trigonometrica
 si disegna la retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto di
coordinate (0,1) (detto origine degli archi)
 si segna il punto di coordinate M=(1,m), si riportano gli intervalli rispettivamente
di [0,/2] e [3/2,2], corrispondenti agli archi per i quali la tg sta sopra o sotto il
punto M, a seconda che il verso della disuguaglianza, sia rispettivamente < o >
 si aggiunge agli estremi degli intervalli, la periodicità k con kZ..
Quest’ultimo punto, ci consente di ottenere, il risultato della disequazione, anche nel
II (intervallo [/2,]) e nel IV (intervallo [,3/2]) quadrante, basta scegliere k=1
(ossia si somma agli estremi degli intervalli ).
con m0. Denotiamo con  l’angolo =arctg(m), e procediamo come suddetto:



y
m


x

Figura 6

0<x< e 3/2<x<2
k<x<+k e 3/2+k<x<2+k
descrive tutte le soluzioni della (9), al variare di m. Nella tabella che segue,
denoteremo con  l’angolo arctg(m) ridotto al primo quadrante:
Studio della disequazione tg(x)   m al variare di m


3 k<x< +k
m<0 +k<x<2–+k 2
2
2–+ k<x<2+k
k<x<+k

m0 3 +k<x< + k
+k<x<2+k 2
2

Tabella 4

Nella trattazione delle disequazioni elementari, abbiamo considerato soltanto angoli
positivi cosicché gli intervalli che soddisfano alla disequazine siano contenuti in



[0,2]. Tuttavia in alcuni casi per avere come soluzione un unico intervallo si
sfruttano anche gli archi negativi. Ad esempio:
cos(x)>0
in [0,2] è soddisfatta in ]0,/2[ e ]3/2,2[ oppure equivalentemente in ]–/2,/2[.
Un altro esempio:
 
cos x   >0
 4
come vedremo nel paragrafo 5.2 si risolve ponendo t=x+/4 e si ottiene cos(t)>0 che
è soddisfatta per –/2<t</2 cioè –/2<x+/4</2  –/2–/4<x</2–/4 cioè –
3/4<x</4 oppure equivalentemente (riportando gli archi corrispondenti di [0,2])
3/2–/4<x<2 e 0<x</4.
Per concludere questo paragrafo, facciamo osservare che per confrontare (questo
termine è riferito al confronto del segno o delle soluzioni comuni), due o più funzioni
trigonometriche è necessario scegliere l’intervallo, la cui ampiezza è data dal minimo
comune multiplo (brevemente m.c.m.) dei periodi delle funzioni trigonometriche, la
periodicità si ottiene aggiungendo k per questo m.c.m, agli estremi degli intervalli..
Ad esempio sin(x) e tg(x) che hanno periodo rispettivamente 2 e , vanno
confrontate nell’intervallo [0,2]. Ed ancora le funzioni sin(x/3) e cos(x/2) che hanno
rispettivamente periodo 6 e 4, vanno confrontate, nell’intervallo [0,12].

Esercizi

Risolvere nell’intervallo [0,2] le seguenti disequazioni, indicando per ciascuno di
essi la soluzione in R.
1. 2sin(x)+1>0 2 sin( x)  1  0
18. 
2. 2sin(x)– 3 <0 cos( x)  0
3. 5sin(x)+2<0 2sin( x )  1  0
19. 
4. 2 cos(x)–1>0 cos( x)  0

5. 2cos(x)+ 3 <0



6. 3 tg(x)–3<0 2sin( x )  1  0
20. 
7. tg(x)–1>0 cos( x)  0
8. (2sin(x)+1)cos(x)<0 2 cos( x)  3  0
21. 
9. sin(2x)cos(x)>0  sin( x )  0
10. sin(4x)cos(2x)<0 2 sin( x)  2  0
22. 
11. sin(x)cos(x)>0 2 cos( x)  1  0
12. sin(x)cos(x)–2cos(x)<0
2 sin( x)  3  0
13. sin(x)cos(x)+2cos(x)>0 23. 
tg ( x )  0
14. cos(x)tg(x)>0
 3tg ( x)  1  0
15. cos(x)tg(x)<0 
24.  1
16. cos(4x)+cos(2x)>2cos(x)  sin( x )   0
 2
17. sin(4x)–sin(2x)<sin(x)
2 cos( x)  3  0
25. 
tg ( x)  1  0

5.2 Disequazioni riconducibili a disequazioni elementari
Sia f=f(x) una funzione reale. La disequazioni in questione è del tipo:
sin[f(x)]   m

cos[f(x)]   m

tg[f(x)]   m

dove mR.. Si pone t=f(x) e si ottiene una disequazione trigonometrica elementare, si
risolve questa disequazione, successivamente nella scrittura che descrive la soluzione
di quest’ultima, si sostituisce f(x) a t e si ottengono uno o due disequazioni del tipo:
a<f(x)<b oppure f(x)   c dove a,b,cR

l’unione delle soluzioni di queste ci da la soluzione della disequazione di partenza.
Ad esempio, risolvere in [0, 2]:
 
cos x   >0
 4



posto t=x+/4  –/2<t</2  –/2<x+/4</2  –/2–/4<x</2–/4
(riportando gli archi corrispondenti di [0,2])  3/2–/4<x<2 e 0<x</2–/4.

Esercizi

1. 2sin(7x)>1 4. tg(ln(x))>1
  1 5. cos(cos(x))+2>0
2. cos 3 x    
 3 2 6. 2sin(ex+1)+1>0
3. tg(x2–1)>1

5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque disequazioni
trigonometrica
Per risolvere una qualunque disequazione trigonometrica nella quale gli argomenti
delle funzioni trigonometriche, sono multipli o frazioni di x, si procede come segue:
 si verifica se x= è soluzione o meno della disequazione
 applicando le formule di addizione, di sottrazione, di duplicazione, di bisezione e
di prostafersi, si ottiene una disequazione in sin(x), cos(x) e tg(x)
 si esprimo sin(x), cos(x) e tg(x) in funzione di tg(x/2)
 si pone t=tg(x/2) e si ottiene così una disequazione polinomiale nella variabile t
 si risolve la disequazione polinomiale nella variabile t
 nella scrittura che descrive la soluzione della disequazione polinomiale, si
sostituisce tg(x/2) al posto di t e si ottiene così un certo numero di disequazioni
trigonometriche elementari. L’unione delle soluzioni di queste ci dà la soluzione
della disequazione trigonometrica assegnata.
Benché questo metodo rappresenti uno strumento validissimo, nella risoluzione delle
disequazioni trigonometriche, in molti casi esso riconduce a delle disequazioni
polinomiali di grado elevato e di conseguenza tediose da trattare. Tratteremo in
seguito alcuni tipi di disequazioni trigonometriche, aventi ognuna un metodo



risolutivo opportuno, che consente di risolvere il tipo di disequazione in questione, in
maniera più sbrigativa rispetto al metodo standard descritto sopra.
I seguenti esercizi non sono finalizzati alla risoluzione, ma servono soltanto a
titolo di esempio, per mostrare come il suddetto metodo standard, nella maggior parte
dei casi, conduca a delle espressioni difficili, se non addirittura impossibili da trattare
analiticamente.

Esercizi

1. 3sin2(x)>1
2. 3cos2(x)+sin(x)>0
3. sin(x)cos(x)>0

5.4 Disequazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tg
Una disequazione trigonometrica lineare è del tipo:
asin(x)+bcos(x)+ctg(x)+d   0 (10)

dove a,b,c,dR. Per risolvere questo tipo di disequazioni, bisogna ricorrere al metodo
descritto nel paragrafo 5.3. Esiste tuttavia un caso particolare della (10) riconducibile
immediatamente a disequazioni di tipo elementare. Se a=1, b=  1, c=0, la diventa:
sin(x)  cos(x)+d   0

moltiplicando ambo i membri per 2 /2 (ricordando che sin(/4)=cos(/4)= 2 /2),
dalle formule di addizione e sottrazione del seno, segue che:

  d 2
sin x    0
 4 2 
facilmente risolvibile.

Esercizi

1. sin(x)–cos(x)>0 10. sin(x)–cos(x)>0
2. sin(x)+cos(x)>0 11. sin(x)+cos(x)– 2 >0



3. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2>0 12. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2<0
4. sin(x)–cos(x)+1>0 13. 3sin(x)–cos(x)<3
5. sin(x)+cos(x)–1<0 14. 2 3 cos(x)+2sin(x)> 6 + 2
6. cos(x)+sin(x)– 2 >0    
15. sin x    cos x    1
2  3  3
7. sin(x)+cos(x)– >0
2  x
16. 2 3 sin 2   +sin(x)+ 3 –2<0
8. 3 sin(x)–cos(x)>0 2
9. 4sin(x)–3cos(x)>0  x
17. 2 cos 2   +sin(x)–2>0
 2

5.5 Disequazioni risolvibili applicando le formule di prostafersi
In molti casi, l’applicazione delle formule di prostafersi consente di trasformare una
disequazione trigonometrica complessa, in una disequazione equivalente, facilmente
risolvibile. In genere, la formula di prostafersi si applica fra due termini, in modo che
si ottenga un prodotto contenente una funzione con lo stesso argomento di una già
esistente nella disequazione data.
Le seguenti disequazioni sono risolvibili applicando le formule di prostafersi:
a b 
sin(ax)  sin(bx)   csin  x
 2 
a b 
sin(ax)  sin(bx)   ccos x
 2 
ab 
cos(ax)  cos(bx)   ccos x
 2 
ab 
cos(ax)  cos(bx)   csin x
 2 
sin( x  a)  sin( x  b)   c

cos( x  a)  cos( x  b)   c

dove a,b,cR. Ad esempio se applichiamo la formula di prostafersi alla prima
disequazione otteniamo:


a  b  a  b  a b 
sin x cos x   csin x
 2   2   2 
e quindi:

 a  b   a  b   
sin  x cos x   c  0
 2   2  
che una disequazione che sappiamo risolvere. Analogamente si procede per le
rimanenti tre disequazioni.

Esercizi

1. cos(4x)+cos(2x)<2cos(x) 14. cos(8x)–cos(4x)<2sin(6x)
2. sin(4x)–sin(2x)>sin(x) 15. cos(2x)+cos(4x)<2cos(x)
3. sin(5x)+sin(3x)>–sin(x)     2
16. sin  x   sin  x  
4. sin(5x)+sin(3x)>cos(x) 4  4  2
5. sin(7x)–sin(x)<cos(4x)    
17. sin  x   cos  x   1
6. sin(7x)+sin(x)<sin(4x) 3  4 
7. sin(5x)–sin(x)<sin(2x)  5  3
18. sin  x   sin x  
8. sin(3x)+sin(5x)<sin(4x)  6  2
9. sin(3x)+sin(5x)<–cos(x)     6 2
19. cos  x   cos  x  
10. sin(5x)–sin(x)>cos(3x) 6  2  4
11. cos(5x)+cos(x)<cos(3x)     
20. 6 cos  x   cos  x  <
12. cos(5x)–cos(x)<–sin(3x)  4  4 
13. cos(3x)+cos(5x)>–cos(4x) 2sin(2x)

5.6 Disequazioni risolvibili applicando le formule di Werner
In molti casi, l’applicazione delle formule di Werner consente di trasformare una
disequazione trig. complessa, in una disequazione equivalente, facilmente risolvibile.
Le seguenti disequazioni sono risolvibili applicando le formule di Werner:
sin(x+a)sin(x+b)   c

cos(x+a)cos(x+b)   c



sin(x+a)cos(x+b)   c

Esercizi

1. 2sin(2x+)sin(2x)>0    2
3. cos 3 x   sin(3 x) 
  1  12  4
2. sin 2 x   cos(2 x) 
 6 4



6 Disequazioni riconducibili allo studio di disequazioni

ordinarie. Disequazioni irrazionali. Disequazioni contenenti

espressioni in valore assoluto. Disequazioni fratte.

6.1 Disequazioni riconducibili a disequazioni polinomiali grado n
Sia f=f(x) una funzione reale. La disequazioni in questione è del tipo:
an [f(x)]n+an–1 [f(x)]n–1+…+ a1 f(x)+a0 
0 (11)
Si pone t= f(x) e si ottiene le seguente disequazione polinomiale:
antn+an–1tn–1+…+ a1t+a0   0 (12)
detta disequazione ausiliaria. Si risolve questa disequazione di grado n nella
variabile t, successivamente nella scrittura che descrive la soluzione della (12), si
sostituisce f(x) al posto di t e si ottiene così un certo numero di disequazioni del tipo:
a<f(x)<b oppure f(x)   c dove a,b,cR

l’unione delle soluzioni di queste ci da la soluzione della (11).
Vediamo un caso particolare della (11). Ricordiamo che un polinomio si dice
omogeneo se tutti i monomi che lo costituiscono hanno lo stesso grado, essendo il
grado di un monomio la somma degli esponenti delle incognite che lo costituiscono.
Una disequazione omogenea di grado n, nella quale le incognite sono due funzioni, di
cui una non si annulla mai, per il secondo principio, si scinde in due sistemi
contenenti disequazioni del tipo (11). Il primo sistema è costituito dalla funzione non
nulla posta maggiore di zero e dalla disequazione di partenza divisa per la funzione
non nulla, elevata ad n, che è quindi del tipo (11) e concorde a quella di partenza. Il
secondo sistema è costituito dalla funzione non nulla posta minore di zero e dalla
disequazione di partenza divisa per la funzione non nulla elevata ad n, che è quindi
del tipo (11) e discorde a quella di partenza. A titolo d’esempio consideriamo il caso



n=3. Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali e supponiamo che la g e non si annulli
mai e consideriamo:
af3(x)+bf2(x)g(x)+ cf(x)g2(x)+ dg3(x)   0
che è una disequazione omogenea di grado tre, nelle variabili f(x) e g(x), ed è
equivalente ai sistemi (cioè le sue soluzioni sono date dall’unione delle soluzioni dei
due sistemi):

 g ( x)  0
  g ( x)  0

 3 e  3
ah ( x )  bh 2 ( x)  ch( x )  d   0
 ah ( x )  bh 2 ( x)  ch( x )  d   0

dove si è posto per comodità h(x)=f(x)/g(x). Evidentemente nel caso n pari il secondo
sistema non ha soluzioni, poiché in tal caso gn(x)>0 sempre e per lo stesso motivo,
nel primo sistema possiamo togliere la condizione g(x)>0.

Esercizi

1. log 2 ( x)  5 log 2 ( x )  6  0 24. 2sin2(x)+5cos2(x)–4 >0
2
x 
2
2. log 3 ( x)  4 log 3 ( x)  3  0 25. tg 2   1  1  0
2 
3 2
3. log1 / 2 ( x )  log1 / 2 ( x )  4  0 26. 2tg2(x)+3tg(x)–1<0
4. 22x–32x+2>0 27. 3tg2(x)–2 3 tg(x)–3>0
5. 372x+7x–4<0 28. 3 tg3(x)+(4– 3 )tg2(x)–(4– 3 )tg(x)–
6. 22x–122x+320
3 <0
2
7. 2sin (x)–1<0
29. tg4(x)+2tg2(x)–3>0
8. 4sin2(x)–2( 3 +1)sin(x)+ 3 <0
30. 3 sin(x)–cos(x)>0
2
9. 2sin (x)+(2+ 2 )sin(x)+ 2 <0 31. 4sin(x)–3cos(x)<0
4 2
10. 2sin (x)–3sin (x)+ 1<0
32. 6sin2(x)– 3 sin(x)cos(x)–cos2(x)>0
11. 7sin(x)+2cos2(x)–5>0
2 2
33. sin3(x)– 3 sin2(x)cos(x)–cos3(x)>0
12. cos (x)+5sin (x)–sin(x)<0
2
34. sin4(x)–4sin2(x)cos2(x)+3cos4(x)>0
13. 3cos(x)+sin (x)–3>0
35. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin(x)cos(x)–



 x 1>0
14. 4 sin 2    3 cos( x )  3  0
 2 36. 4sin4(x)+4sin2(x)cos2(x)>1
15. 4sin4(x)+cos2(x)–3<0 37. 3cos2(x)+2 sin(x)cos(x)>3
16. 2sin3(x)–(3 2 +2)sin2(x)– 38. 2sin2(x)–5sin(x)cos(x)–+3cos2(x)>0

(3 2 +2)sin(x)–2<0 39. 3 cos2(x)–2sin(x)cos(x)–

17. 4cos2(x)–2( 3 + 2 )cos(x)+ 6 <0 3 sin2(x)>0
18. 8cos4(x)–10cos2(x)+ 3<0 40. 3 sin2(x)–2sin(x)cos(x)–
19. 2 cos3(x)–(3– 2 )cos2(x)–(3– 3 cos2(x)>0
2 )cos2(x)+ 2 <0 41. sin2(x)–4sin(x)cos(x)+ 3cos2(x)>0
2x 42. 2sin2(x)–4sin(x)cos(x)–3cos2(x)<0
20. 4 cos    cos( x )  1  2  0
 2 43. 2sin2(x)+(3+ 3 )sin(x)cos(x)+3(1–
 x 3 )cos2(x)<0
21. 2 3 cos 2   +cos(x)+ 3 –2<0
 2
44. sin4(x)+3sin2(x)cos2(x)–cos4(x)>0
 x
22. 2 sin 2   +cos(x)–2>0 45. cos(2x)+sin(x)–1<00
2
23. 2cos2(x)–sin2(2x)+ 2 >0

6.2 Disequazioni irrazionali
Una disequazione irrazionale è del tipo:
n f ( x) 
 g(x) (13)

dove f=f(x) e g=g(x) sono funzioni reali ed nN. Se n è dispari allora per il 3o
principio, elevando ambo i membri della (13) ad n otteniamo la disequazione
equivalente:
f(x)   gn(x)
Se n è pari si distinguono due casi. Consideriamo il caso in cui il verso della
disuguaglianza nella (13) sia <. Per l’esistenza della radice bisogna imporre f(x)0 ed
inoltre affinché abbia senso la (13), dobbiamo imporre pure che sia g(x)>0. In queste



condizioni per il terzo principio, una disequazione equivalente alla (13), si ottiene
elevando ambo i membri della (13) ad n:
f(x)<gn(x)
E quindi in definitiva la (13) con verso di disuguaglianza <, è equivalente al sistema:
 f ( x)  0

 g ( x)  0
 n
 f ( x)  g ( x)
Consideriamo adesso il caso in cui il verso della disuguaglianza nella (13) sia >. Per
l’esistenza della radice bisogna imporre f(x)0. In queste condizioni si osserva che la
(13) è sicuramente soddisfatta quando g(x)<0. Quindi un insieme di soluzioni della
(13) è dato dal sistema:
 g ( x)  0

 f ( x)  0
Se adesso imponiamo che sia g(x)0, per il terzo principio, una disequazione
equivalente alla (13), si ottiene elevando ambo i membri della (13) ad n:
f(x)>gn(x)
cioè altre soluzioni della (13) sono date dal sistema:
 f ( x)  0

 g ( x)  0
 n
 f ( x)  g ( x)
si osserva che la prima disequazione, è contenuta implicitamente nelle altre due, e di
conseguenza può essere omessa da quest’ultimo sistema. E quindi in definitiva le
soluzioni della (13) con verso di disuguaglianza >, sono date dall’unione delle
soluzioni dei seguenti due sistemi:

 g ( x)  0  g ( x)  0
 e  n
 f ( x)  0  f ( x)  g ( x)
Vediamo alcuni casi particolare della (13).
Se la funzione g è costante e vale costantemente kR la (13) diventa:



n f ( x) 
k

se n è dispari il sistema equivalente è:
f(x)   kn
Se n è pari distinguiamo i versi < e >. Per il verso < la disequazione non è mai
soddisfatta se k0, mentre nel caso k>0 il sistema equivalente è:
 f ( x)  0
 n
 f ( x)  k
Per il verso > la disequazione è soddisfatta per gli stessi valore d’esistenza della
funzione irrazionale (cioè per f(x)0) se k<0, mentre nel caso k0 il sistema
equivalente è:
f(x)>kn
Un altro caso particolare della (13) è il seguente:
A( x)  B( x)   C ( x ) (14)

con A=A(x), B=B(x) e C=C(x) funzioni reali. Posto h(x)=C(x)  B(x ) si ottiene:

A(x) 
 h(x)

che è una disequazione del tipo (13), si costruisce quindi il sistema equivalente,
successivamente si esplicita la definizione della h=h(x) e di conseguenza si
aggiungono le disequazioni che essa comporta. Si ottiene così un sistema equivalente
alla (14). Nel caso di una disequazione, nella quale compaiono più di due espressioni
sotto il segno di radice, non esiste un procedimento standard. Quello che bisogna fare
è usare i tre principi (soprattutto il terzo principio), per cercare di ricondursi a un
sistema equivalente, contenente disequazioni del tipo (13), (14).
Fissati m,nN un’espressione apparentemente più generale della (13) è la seguente:

 f ( x)m / n   g(x)
infatti quest’ultima la possiamo scrivere come:
n
 f ( x)m 
 g(x)



In effetti l’espressione più generale della (13) è:
n f ( x)  m g ( x ) (15)

dove m,nN. Analogamente a quanto visto per la (13), si distinguono i casi n, m pari
o dispari, si impongono le opportune condizioni d’esistenza e si applica il terzo
principio d’equivalenza. Risolviamo ad esempio la (15) nel caso n=m=2. Imposte le
condizioni d’esistenza per il terzo principio d’equivalenza possiamo quadrare ambo i
membri della (15) e di conseguenza il sistema equivalente è:
 f ( x)  0

 g ( x)  0
 f ( x )  g ( x)

Si osserva che la seconda disequazione è implicitamente contenuta nella prima e nella
terza disequazione e quindi in definitiva il sistema equivalente è:
 f ( x)  0

 f ( x )  g ( x)

Esercizi

1. 2 x  5  x 2  3 x  2 11. 2 cos( x )  1  1  2 sin 2 ( x)

2. x  3  x 2  2 x 12. cos(2 x )  2 sin( x)  1  0

3. x  25  x 2  1 13. 1  2 sin( x )  3  4 cos 2 ( x)
4. x2  8 x 0  
14. sin x    sin( x)  cos( x )  2
5. 3 2 x  1  x 2  x  0  4

 5x  4  x  2  0 15. 2 x  8  x  5  x  3

6.  x 2  1 x  1 16. x  1  1  2 x  2  x  2
  1 0
 2 3
17. 2 x  8  x  5  x 2  3  x  3
 3x  4  x  2

7.  18. 1  x  2 x 2  x  3  1
2  x  x  0

19. 2cos(x)–1<



8. lg( x )  lg( x 2  1)  lg( x  1) 2 cos( x)  1  1  cos( x)

9. 1+ 2(ln( x)) 2  3 ln( x)  2  ln( x) 20. ln(x2–1)<

2 2 ln 2 ( x 2  1)  ln( x 2  1)
10. lg( x  1)  lg( x  1)

6.3 Disequazioni contenenti espressioni in valore assoluto
Ricordiamo che la funzione modulo è così definita:
 x se x  0
x 
 x se x  0
Dalla definizione si evince, che valgono le seguenti identità:

x  x 2 =max{–x,x} xR (16)

x=sgn(x) x

x =sgn(x)x

xy  x y x,yR

Inoltre assegnato un numero reale m>0, valgono le seguenti relazioni:
x  m se e solo se –m<x<m (17)

x  m se e solo se x<–m o x>m (18)
Assegnata una disequazione, in cui compaiono due o più espressioni in valore
assoluto, si procede come segue:
 si studiano le variazioni di segno di ogni espressione in modulo
 in corrispondenza ad ogni variazione, si scrive la diseq. data, esplicitando i moduli
 le soluzioni della diseq. assegnata, sono date dall’unione delle soluzioni dei
sistemi suddetti.
Consideriamo ad esempio la disequazione:

x 2  4  3  x  x  5  7x  0

costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo:



–5 –2 2 3
   
2
x –4
3–x
x+5

Figura 7

Quindi le soluzioni della disequazione data, sono date dall’unione delle soluzioni dei
seguenti sistemi:
 x  5
 2
( x  4)  (3  x )  ( x  2)  7 x  0
 5  x  2 e 2  x  3
 2
( x  4)  (3  x )  ( x  2)  7 x  0
 2  x  2
 2
 ( x  4)  (3  x)  ( x  2)  7 x  0
x  3
 2
( x  4)  (3  x )  ( x  2)  7 x  0
Vediamo un altro esempio:

x 2  1 sin( x ) >0

costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo:

–1 0 1
  
x
2
x –1

Figura 8

seguenti sistemi:



 x  1
 2
( x  1) sin ( x)  0
 1  x  0
 2
 ( x  1) sin( x)  0
0  x  1
 2
 ( x  1) sin ( x )  0
x  1
 2
( x  1) sin( x)  0
Vediamo un ultimo esempio:

x2  4  2 x  x  1  x 1  2 x  3  x2  1

si studiano le variazioni di segno, rispettivamente delle funzioni:
x2  4
2 x  x 1  x 1

2x 3
si costruisce la tabella che descrive le variazioni di segno delle espressioni in modulo:

–2 –3/2 –1 0 3/2 2
     
x2–4
2 x  x  1  x 1

2x 3

Figura 9

seguenti sistemi:
 x  2 e x  2

 2
 x  4  2 x  x  1  x  1  (2 x  3)  x 2  1




 2  x  3 / 2 e 3 / 2  x  2


 ( x 2  4)  2 x  x  1  x  1  (2 x  3)  x 2  1

 3 / 2  x  3 / 2


 ( x 2  4)  2 x  x  1  x  1  (2 x  3)  x 2  1

L’analisi fatta ci mostra che in generale un a disequazione contenete espressioni in
valore assoluto, si riconduce alla soluzione di più sistemi.
Vediamo un caso particolare. Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, e
consideriamo la disequazione:
f ( x)   g ( x ) (19)
Per quanto suddetto segue che le soluzioni della (19) sono date dall’unione delle
soluzioni dei sistemi:
 f ( x)  0  f ( x)  0
 e 
 
 f ( x)  g ( x )  f ( x)  g ( x)
Tuttavia la (19) può essere ricondotta ad un sistema equivalente, rispettivamente nel
< e nel caso >, avente un numero inferiore di disequazione. Nel caso in cui il verso
della disuguaglianza nella (19) sia <, allora per la (17) la (19) si può scrivere come:
–g(x)<f(x)<g(x)
e questa è equivalente al sistema:
 g ( x )  f ( x )

 f ( x )  g ( x)
Nel caso in cui il verso della disuguaglianza nella (19) sia >, allora per la (18) le
soluzioni della (17) sono date dall’unione delle disequazioni:
f(x)<–g(x) e f(x)>g(x)
Concludiamo facendo osservare, che per l’identità (16), ogni disequazione contenente
espressioni in modulo, può essere ricondotta ad una disequazione irrazionale.
Tuttavia quest’ultimo metodo non viene mai usato, poiché esso riconduce a
disequazioni irrazionali, i cui procedimenti di risoluzione, sono indubbiamente meno



standard di quelli adoperati per la risoluzione delle disequazioni contenenti
espressioni in valore assoluto.

Esercizi

1. 3x  2  2 x 35. sin( x)  cos( x )  1  0

2. x 2  1  3 36. 2 sin 2 x  1

3. ( x  1) 2  x( x  4)  3( x  1)  2 3
37. sin 2 ( x  1)  –2( 3 +1)sin(x–
2
4. x 2  2 x  3  0
1)+ 3 <0
2
5. x  3  x  4  x  ( x  3)( x  1) +
x
38. 4 cos 2  cos x  1  2  0
9x<3 2
6. x 2  3  x 2  4  2 x  x  3( x  1) + 39. x sin x  1  0

9x<3 46. 2tg2 x +3 tg (x) –1<0

7. x  x  1  x 2  x 40. 3 sinx)– cos(x ) >0
8. x 2  3  x  x 2  4  2 x + 41. 4 sin(x) +cos(x)>0

x  3 x  1  1  9x  3 42. cos(x ) +2cos(x)>0

9. ( x  1) 2  x 43. 6sin2(x)– 3 sin(x) cos(x ) –cos2(x)>0

2
44. sin4 x –4sin2(x)cos2 x +3cos4(x)>0
10. ( x  1)  x
45. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin x cos x –
11. ( x  1) 2  ( x  3) 2 +
1>0
2 2 2
( x  16  8 x )  x  1  x  3
46. 3 x 3  3 x 2  x  27  x  3
12. 7 x  2 x
47. x 2  3x  2  2 x  1
13. 2 2 x  3  2 x  2 x  0
48. 2 x  5  x 2  3 x  2
14. 2 2 x  3  2 x  2 x  0
49. x  25  x 2  1



15. 4 x  3  2 x  2 2 x  3  2 x  2 x1  0 50. x 2  8 x 0

x x x 1
16. 4  3  2 x  2 2x  3  2 2  0 51. 2 x  8  x  5  x  3

52. x  1 1 2x  2  x2
17. ln x  0
53. 3 2 x  1  x2  x  0
18. ln 25  x 2  1
54. 1  x  2 x 2  x  3 1
2
19. ln 25  x 1
 5 x  4   x  2 2  0
2 
20. ln( x  1)  1  2 ln( x) – 
55.  x 2  1 x  1
  1  0
ln( x  3)  1  0  2
 3

21. ln( x 2  x  2)  1  2 ln( x  x ) –  3x 4  x 2

56. 
ln  x  3  3  1  1 2  x  x  0


22. ln ( x  1) 2  ln x  1  1 57. lg x  lg( x 2  1)  lg x  1

23. ln x  ln( x)  ln x  0 58. 1+ 2 ln 2 ( x 2  1)  3 ln( x 2  1)  2 <
1
24. sin( x)  ln x 2  1
2
1
25. cos( x)  59. ln( x 2  1)  ln 2 ( x 2  1)  ln x 2  1
2
1 60. 4 x  7  2 x  19  7 x  1
26. sin x 
2
1 61. 2 7 x  1  1  7 2 x  7 x  7
27. sin x  1 
2
1 62. 7 x  1  1  7 2 x  7 x  7
28. cos( x ) 
2
63. 2 cos( x)  1  1  2 sin 2 ( x)
1
29. cos x 
2
64. 2 sin( x)  1  1  2 sin 2 ( x)



3 65. cos 2 x  2 sin x  1  0
30. cos x 2  1 
2
66. 1  2 sin( x )  3  4 cos 2 ( x )
31. tg ( x)  1
 
x 67. sin x    sin x  cos x  2
32. tg  1  4
2
68. 2cos(x)–1<
33. tg x  1
2 cos( x )  1  1  cos( x )
 x
34. 2 cos 2    sin( x )  2 >0
 2

6.4 Disequazioni fratte
Siano f=f(x)e g=g(x) funzioni reali. Si dice disequazione fratta (in forma normale):
f ( x) 
0 (20)
g ( x) 
Le variazioni di segno della funzione g sono equivalenti alle variazioni di segno della
funzione 1/g a meno dei punti in cui g si annulla e quindi in definitiva lo studio della
(20) si riconduce allo studio del segno del prodotto della funzione f e della funzione
1/g (vedi paragrafo 1.3), ovvero si studia separatamente il segno del numeratore f e
del denominatore g e successivamente si costruisce la tabella che riporta le variazioni
di segno, facendo quindi il prodotto dei segni si ottengono gli intervalli di risoluzione.

Esercizi

x 1  x 1  3 x 1
1. 1 
x3 30.  1 1

x 2  5x  6  x 2 x
2. 0 
x 2  3 x  10
 x 3  47 
2
x  5x  6 31. ln(1  x)  ln  
 (2  x )(4  x ) 
3. 0  
x2  7x  6
32. 2 ln( 2 x  1)  ln( x  2)  ln(5  2 x )
x 2  7 x  12
4. 0 33. 3ln(x–2)>ln(x)+ln(x2–14)
x 2  7x  8



1  5 x 1  5x 34. ln 3  2 x  ln(3  2 x )  2 ln(3) <
5. 
1  5x 1  5x
2 ln 2 x  1
2
x 1
6. 0 35. log(2x–1)+log(3x–8)–log(x)–log(x–
x 1
2)>log(5)–log(3)
2x  1
7. 2
x3 ln 2 ( x )  1
36. 0
ln 2 ( x )  ln( x)  6
x3
8. 2
x5  2x  1
37. log 2  30
x 2x  1  x 
9.  1
4 3 38. 2 log( x)  log( x  1)  log x
x2 x  x 2  10 x  16 
10.   3x 39. log10   1
x  1 2x  3  x 1 
 
2x  1 x 2  1
11.   5x  x 2  5x  4 
2z  1 x 40. log10  2 
 x  5x  6   0
 
 1 x4
 3 x2
12.  x  1 2 41. x lg( x 2  1)  0
sin( x )
x 3  8  0 e

x2
 x 2  2x 42. e 30
 1 x3
  ( x 2  1)(lg( e x )  2)
 x2  4 x x 43. 0

 x2  x  2 e 
x
2
e x2
2
13.  0
 x2 x  x 1
 44. 0
2 ln x
 x ( x  1) ( x  x  1)  0 e 3

 x2  4
45. 0
ln( x)  1
x 2  1 2x 2  1 x3
14.   2 1
x 1 x 1 x 1 46. 1
sin( x)
2 5 4 3
15.   
x  3 x  3 x x 1 1
47.  2
cos( x)
4  x2 2  x2
16.  2
x 4  2x 2  1 x2  1



x 8  17 x 4  16 48.
1
 1
17. 0
x 10  242 x 5  243 tg ( x )

x4 1 1
49.  cos( x)  1
1 cos( x)
18. 25 x2 
1 x 5
2sin( x)  1
2x 50. 0
2 cos( x)  2
1
19. x   x 1 2sin ( x)  2
x 51. 0
2 cos( x)  1
x
20. 1 2 sin ( x )  1
x6 52. 0
3tg ( x )  1
1
21. x  1 
x 1 tg ( x)  3
53. 0
2 sin( x)  1
22. 3 x  2  x  2 >
tg ( x)  2  3
16 54. 0
tg ( x )  1
3x  2  x2
2 sin x  1  cos( x)
x 1 55. 0
23. 1 cos 2 x  1
x 5 x5
2 sin x  1  cos( x )
x 1 56. 0
24. 3 x  1  5 x  1 
3x  1  5 x  1 cos 2 x  3sin ( x )  1

x2  4 x  3 ln 2 (e x  1)  2 ln( e x  1)  1
25. 0 57. 0
2x  3  x 1 lg 2 (sin ( x ))  3
3
2 x 1 x  sin 2 ( x )  1 
26. 0 58. 
 sin x
 0

x4 x2  e 2 
2x  1 sin( x)  cos 2 ( x )
27. 2 59. 0
x3 sin( x)
x  1 3x  6 tg 4 ( x)  tg 2 ( x)
28.  1 60. 0
2 3
( x 25  3)



3 tg x 2tg x
29. x  2  x  0 e e
x 61. 0
1  e sin (ln( x ))



7 Complementi sulle disequazioni trigonometriche

7.1 Disequazioni simmetriche in sin e cos
Una disequazione trigonometrica in sin(x) e cos(x) si dice simmetrica, se questa non
cambia di forma scambiano sin(x) con cos(x) e viceversa. Per risolvere questo tipo di
disequazioni si procede come segue:

 si pone x  y 
4
 si applicano le formule di addizione e sottrazione e la formula fondamentale
sin2(y)+cos2(y)=1. Si ottiene così una disequazione del tipo (11)

 si sostituisce nelle soluzioni di quest’ultima y  x  e si ricavano quindi le
4
soluzioni della disequazione di partenza

Esercizi

1. 2sin(x)+2cos(x)–sin(x)cos(x)<1 7. sin(x)+cos(x)+sin(x)cos(x)>1
2. 2 sin3(x)+ 2 cos3(x)+1<0 8. 2(2 3 –1)[cos(x)+sin(x)+
3. 3sin(x)+3cos(x)–5sin(x)cos(x)<3 2sin(x)cos(x)]–11<0
4. sin(2x)+2 2 (sin(x)+cos(x))<5 9. ( 3 –1)(sin(x)+cos(x))–2sin(2x)>0
5. sin(x)+cos(x)–sin(x)cos(x)–1<0 10. sin(x)–cos(x)+2 2 sin(x)cos(x)<0
6. sin(x)+cos(x)–2sin(x)cos(x)<1

7.2 Disequazioni trigonometriche non tipiche
Abbiamo già detto che non esistono norme di carattere generale, per la risoluzione
delle disequazioni trigonometriche. Gli esercizi esposti qui di seguito sono delle
disequazioni trigonometriche che non rientrano fra quelle tipiche finora trattate, o per
lo meno non vi rientrano direttamente, nel senso che per risolverle, bisogna applicare


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