Appunti di analisi funzionale [a.a. 1995 1996][prof. biagio ricceri][santi caltabiano][università di messina]

17-11-95

SPAZI VETTORIALI, SOTTOSPAZI VETTORIALI, VARIETÀ AFFINI [1711/Error
e.
L'argoment
o parametro
è
sconosciuto
.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K (R o C), vogliamo allora ricordare brevemente qualche
nozione sugli spazi vettoriali. Indichiamo con E l’elemento nullo di E (considerato come gruppo
abeliano). Definiamo traslato di un insieme, l’insieme che è definito dalla somma dei punti
dell’insieme con un fissato punto dello spazio cioè dato un sottoinsieme A non vuoto di E (cioè
AE e A=) e xoAE allora l’insieme x0+A:={x0+y : yA} è un traslato dell’insieme A.
Definiamo somma algebrica di due sottoinsiemi di uno spazio vettoriale, l’insieme definito dalla
somma dei vettori appartenenti ai due insiemi, cioè dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di E allora
l’insieme A+B=:{x+y : xA e yB} è la somma algebrica dei sottoinsiemi A e B. Definiamo
prodotto di uno scalare per un sottoinsieme di uno spazio vettoriale l’insieme definito dal
prodotto dei vettori dell’insieme per un fissato scalare di K cioè fissato un K e dato A
sottoinsieme non vuoto di E allora l’insieme
A:={x : xA} è il prodotto dello scalare  per A. Sia FE allora F si dice sottospazio
vettoriale di E se eredita la struttura di E, ossia se è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni
definite in E cioè se l’insieme F soddisfa alle due seguenti proprietà:
 x,yF  x+yF
 K e xF  xF
Banalmente dalle definzione si evince che E e {E} sono sottospazi vettoriali di E e vengono detti
ripettivamente sottospazio proprio e sottospazio banale. Sia GE diciamo allora che G è una
varietà affine se è il traslato di un qualunque s.sp.vett. di E ossia se x0E e FE sottospazio
vettoriale di E t.c. G=x0+F. Si osserva dalla definzione che banalmente i punti sono varietà affini,
poiché fissato x0E allora lo possiamo riguardare come {x0}=x0+{E}.

PROPRIETÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K
FE
Allora F è un sottospazio vettoriale di E  x,yF e , K  x+yF

APPUNTI DI ANALISI FUNZIONALE 1

Dim ()
Siano x,yE e ,K e poiché per Hp F è un sottospazio vettoriale segue allora dalla  che i
vettori x,yF segue allora dalla  che x+yF.
Dim ()
Dobbiamo provare che F è un sottospazio vettoriale di E e quindi dobbiamo provare che F soddisfa
la  e la . Per ipotesi abbiamo che:
x,yF , K  x+yF ()
Dalla () per ==1 segue che x,yF x+yF cioè è soddisfatta la .
Dalla () per =0 segue che  K e xF xF cioè è soddisfatta la 

FE s.sp. vett.
Valgono allora le seguenti due proprietà:
() F+F=F
() F=F con  K{0}
() F+F=F con ,K{0}
Dimostrazione () (esercizio)
Proviamo che F+FF:
sia zF+F  x,yF t.c. z=x+y e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che z=x+yF.
Proviamo che FF+F:
sia xF e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che:
1 1
x= x+ xF+F c.v.d.
2 2
Dimostrazione () (esercizio)
Proviamo che FF:
sia zF  xF t.c. z=x e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che z=xF.
Proviamo che FF:
sia xF e quindi essendo F un s.sp.vett. segue che:
x
x= F c.v.d.

Dimostrazione () (esercizio)
F+F=per ()=F+F=per ())=F c.v.d.



FE s.sp. vett., x0F
Ts: x0+F=F
Dim (esercizio)
Proviamo che x0+FF:
x0+FF+F=Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.=F
Proviamo che Fx0+F:
F=x0-x0+F x0-F+Fper Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.x0+F
c.v.d.

ESEMPI [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Evidentemente in R 2
dei sottospazi sono quelli banali cioé R 2
stesso e {(0,0), e come verificato
qui di seguito tutte e sole le rette passanti per l’origine. Fissato quindi m R, consideriamo l’ins.
A:={(x,mx) : x R} che è l’ins. definito dai punti della retta y=mx passante per l’origine.
Proviamo che A soddisfa alle proprietà  e .
Verifichiamo :
siano (x1,mx1),(x2,mx2)A e osserviamo che x1+x2 R si ha allora che
(x1,mx1)+(x2,mx2)=(x1+x2,m(x1+x2))A
Verifichiamo :
sia R e (x,mx)A e osserviamo che xR si ha allora che il vettore
(x,mx)=(x,m(x))A.
R . In maniera analoga si prova che le varietà affini di
E quindi A è un sottospazio vettoriale di 2

R sono i punti (cioè G=x +{(0,0)} con x R ) e tutte le rette.
2
0 0
2

Sia E uno spazio vettoriale su K
FE sottospazio vettoriale
Ts: EF
Dim
Per Hp F è sottospazio vettoriale di E  che  K e xF il vettore xF e quindi basta
scegliere =0 infatti E=0xF c.v.d.


GE sottospazio vettoriale di E
Ts: G è una varietà affine
Dim
La tesi è ovvia poiché possiamo scrivere G=E+G  G varietà affine

{Fi}iI famiglia di sottospazi di E
Ts: F:=  Fi è un sottospazio vettoriale di E.
i I
Dim
Per la Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. dobbiamo provare che:
, K e x,yF  x+yF
Siano quindi ,K e x,yF. Poiché x,yF  x,yF i iI e poiché gli Fi è un sottospazio
vettoriale  x+yFi iI  x+yF c.v.d.

GE varietà affine
Allora G è sottospazio vettoriale  EG
Dim ()
Poiché G è sottospazio vettoriale allora segue dalla proprietà Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto. che EG.
Dim ()
Poiché G è una varietà affine e quindi:
x0 E e FE sottospazio vettoriale di E t.c. G=x0+F
per Hp EG  yF t.c. E=x0+y  x0=-y e osservando che yF e che F è un sottospazio
vettoriale si ha che x0=-yF segue allora da Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. che
G=x0+F=F  G sottospazio vettoriale
c.v.d.

COMBINAZIONE LINEARE DI VETTORI [1711/Errore. L'argomento
parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, x ,...,x E
1 n e 1,...,nK (dove chiaramente n N
finito). Diciamo allora combinazione lineare (brevemente c.l.) dei vettori x1,...,xnE il vettore:


n
1x1+...+2xn=  ixi
i 1
dove 1,...,n sono i coefficienti della combinazione lineare. Facendo uso del principio di
induzione e della Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. risulta ovvio che un sottospazio
vettoriale contiene ogni combinazione lineare dei suoi vettori.

INVILUPPO LINEARE [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e AE non vuoto, diciamo allora inviluppo lineare
dell’insieme A e lo indichiamo con span(A) (e si legge span di A) l’intersezione di tutti i sottospazi
di E contenenti A cioè:
span(A):={F : F sottospazio di E e AF}
e quindi dalla proprietà Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. osserviamo chiaramente
che span(A) è il più piccolo sottospazio vettoriale di E contenente A. Ovviamente Aspan(A).

Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo lineare
di un insieme poiché ci dice che l’inviluppo lineare di un insieme è definito da tutte le possibili
combinazioni lineari dei vettori dell’insieme.

TEOREMA [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale
AE, A
Ts: span(A)={1x1+...+nxn : n N ; x ,...,x A;  ,..., K}
1 n 1 n
Dim
Poniamo G:={1x1+...+nxn : n N ; x1,...,xnA; 1,...,nK} e proviamo che G=span(A)
procedendo per doppia inclusione.
Proviamo che Gspan(A):
sia zG  che x1,...,xnA e 1,...,n K t.c. z= x +...+ x
1 1 n n e quindi poichè Aspan(A)  che
x1+...+xnspan(A) e poichè span(A) è un sottospazio vettoriale di E  z=1x1+...+nxnspan(A)
 Gspan(A).
Proviamo che span(A)G:
per dimostrare che span(A)G dobbiamo dimostrare che G è uno sottospazio vettoriale di E che
contiene l’insieme A. Dimostriamo che G è un sottospazio vettoriale e quindi facciamo uso della
proprietà Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. e proviamo che una combinazione
lineare di due arbitrari vettori di G sta ancora in G:


siano , K e x,yG si ha allora che:
n
x ,...,x A e 1,..., K t.c. x=   x
1 n n i i
i 1
m
y1,...,ymA e 1,...,m K t.c. y=  iyi
i 1
n m
e quindi x+y=  ixi+  iyi=1x1+...+nxn+1y1+...+mymG essendo una
i 1 i 1
combinazione lineare di vettori di A.
Chiaramente AG poiché se xA allora nella definizioni dei vettori che appartengono a G basta
considerare n=1 e =1 e si ha chiaramente che xG. E quindi G è un sottospazio che contiene A,
allora essendo per definizione span(A) il più piccolo sottospazio che contiene A segue che
necessariamente deve essere che span(A)G.

Dividiamo gli insiemi di R
2
in quelli contenuti in una retta per O=(0,0) e in quelli non contenuti in
una retta per O.
Se A R 2
è contenuto in una retta per O allora evidentemente il suo inviluppo lineare è la retta
passante per O.
Se A R 2
non è contenuto in una retta per O allora evidentemente il suo inviluppo lineare è R.2

Consideriamo ora gli insiemi di R. 3

Se A R 3
non è contenuto in alcun piano per O=(0,0,0) ( e di conseguenza A non è contenuto in
nessuna retta per O ) allora evidentemente il suo inviluppo lineare è R. 3

Se A R 3
è contenuto in un piano per O e A non è contenuto in alcuna retta per O allora il suo
inviluppo lineare è il piano.
Se A R 3
è contenuto in una retta per O allora il suo inviluppo lineare è la retta.

INVILUPPO AFFINE [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme qualunque non vuoto di E diciamo
allora inviluppo affine dell’insieme A e lo indichiamo con aff(A), l’insieme dato dall’intersezione
di tutte le varietà affini che contengono A cioè:
aff(A):=  Gi
iI
dove {Gi}iI è la famiglia delle varietà affini (cioè iI xiE e FiE sottospazio vettoriale t.c.
Gi=xi+Fi ) t.c. AGi  iI. Ovviamente Aaff(A).


Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo affine
di un insieme poiché ci dice che l’inviluppo affine di un insieme è definito da tutte le combinazioni
lineari dei vettori dell’insieme che hanno la somma dei coefficienti della combinazione lineare
uguale a 1.

AE, A
 n 
Ts: aff(A)=  1x1+...+nxn : nN, x1,...,xnA, 1,...,nK t.c.  i=1 
 i 1 
Dim
Fissiamo un qualunque x0A allora l’insieme span(A-x0) è un sottospazio vettoriale di E per
definizione di inviluppo lineare. E quindi x0+span(A-x0) è una varietà affine e chiaramente
Ax0+span(A-x0) infatti preso un qualunque vettore xA e tenendo presente che A-x0span(A-x0)
si ha che x=x0+x-x0 x0+A-x0x0+span(A-x0 ). Chiaramente aff(A)x0+span(A-x0) infatti
x0+span(A-x0) è una varietà affine che contiene A e quindi per definizione contiene aff(A).
 n 
Poniamo G= 

1x1+...+nxn : nN, x1,...,xnA, 1,...,nK t.c.  i=1  e proviamo con la

i 1
doppia inclusione che x0+span(A-x0)=G.
Proviamo che x0+span(A-x0)G:
n n n 
sia xx0+span(A-x0) e quindi x è del tipo x=x0+  i(xi-x0)=x0+  ixi-x0  i= = 1-
i 1 i 1 i 1 
n  n  n n
 i x0+  ixi e poichè  1-  i +  i=1  xG.
 i 1  i 1  i 1
i 1
Proviamo che Gx0+span(A-x0):
n n n
sia xG e quindi x è del tipo x=  ixi con  i=1. Osserviamo che x0=1x0=  ix0 segue che
i 1 i 1 i 1
n n n n n
x=  ixi=x0-x0+  ixi=x0-  ix0+  ixi=x0+  i(xi-x0)  xx0+span(A-x0).
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

E quindi G=x0+span(A-x0) e poiché aff(A)x0+span(A-x0) si ha che:
aff(A)G (1)
Per dimostrare l’inclusione inversa cioé:
Gaff(A) (2)


facciamo vedere che G è contenuto in tutte le varietà affine che contengono A poiché seguirà da ciò
che Gaff(A) essendo per definizione aff(A) l’intersezione di tutte le varietà affini che contengono
A.
Sia V una varietà affine t.c. AV e dimostriamo che GV. Sia quindi xG  che x è del tipo
n n
x=  ixi con gli xiA e  i=1. Osserviamo che V essendo una varietà affine è per definizione
i 1 i 1
il traslato di uno spazio vettoriale cioè FE sottospazio vettoriale e y0 E t.c. V=y0+F e poichè
AV  Ay0 +F e poiché ogni xiA  che ogni xiy0+F  che i vettori xi-y0F  che essendo
F un s.sp.vett. contiene ogni combinazione lineare dei vettori xi-y0 e quindi tenendo presente che
n
 i=1 si ha:
i 1
n n n n n
x=  ixi=y0-y0+  ixi=y0-y0  i+  ixi=y0+  i(xi-y0)y0+F=V
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
1 2
Segue allora dalla ( ) e dalla ( ) che G=aff(A) che proprio quello che volevamo dimostrare.

Si evince dalla dimostrazione del teorema precedente la seguente altra importante
caratterizzazione dell’inviluppo affine di un insieme, che in particolare ci dice che l’inviluppo affine
è una varietà affine.

AE, A
x0A
Ts: aff(A)=x0+span(A-x0)

CONVESSITÀ [1711/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e AE diciamo allora che A è convesso se è vuoto, mentre
se non è vuoto deve accadere che:
x,yA x+(1-)yA [0,1]
cioè A è convesso se comunque presi due suoi punti x,yA allora il segmento che li congiunge che
è [x,y]:={x+(1-)yA : [0,1]} è contenuto in A. Chiaramente vista l’arbitrarietà di x,yA è
ovvio che [x,y]=[y,x].

La seguente semplice proprietà ci dice che i punti sono convessi.


x0E
Ts: Il singoltetto {x0} è convesso
Dim (esercizio)
x0+(1-)x0=x0+x0-x0=x0{x0} [0,1] c.v.d.

PROPRIETÀ (la somma algebrica di convessi è un convesso ) [1711/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
A e B due sottoinsiemi non vuoti di E convessi
Ts: l’insieme A+B è convesso
Dim (esercizio)
Prendiamo ad arbitrio due vettori z1,z2A+B:={x+y : xA e yB} e quindi:
ono x1A e y1 B t.c. z1=x1+y1
ono x2A e y2 B t.c. z2=x2+y2
Osserviamo inoltre che:
essendo x1,x2A e per la convessità di A si ha che x1+(1-)x2A [0,1]
essendo y1,y2B e per la convessità di B si ha che y1+(1-)y2A [0,1]
segue allora che [0,1] si ha:
z1+(1-)z2=(x1+y1)+(1-)(x2+y2)=[x1+(1-)x2]+[y1+(1-)y2]A+B

PROPRIETÀ (il traslato di un convesso è un convesso) [1711/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
AE,A, convesso
x0E
Ts: x0+A è convesso
Dim (esercizio)
La dimostrazione di tale proprietà segue direttamente dalla Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto. ponendo B:={x0}


c.v.d.

PROPRIETÀ (uno scalare per un convesso è un convesso ) [1711/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
AE,A, convesso
 K
Ts: A un convesso
Dim (esercizio)
Siano x,yA  x,yA e per la convessità di A segue che x+(1-)yA [0,1] 
(x)+(1-)(y)=[x+(1-)y]A [0,1].
z1+(1-)z2=(x0+x)+(1-)(x0+y)=x0+x+x0-x0+(1-)y=x0+[x+(1-)y]x0+A.

PROPRIETÀ (l’intersezione di convessi è un convesso) [1711/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
{C1}iI famiglia di convessi di E

Ts:  Ci è un convesso.
i I
Dim

Siano x,y  Ci  x,yCi iI e poiché per Hp i Ci sono convessi segue allora che x+(1-
i I

)yCi [0,1] iI  x+(1-)y  Ci [0,1] c.v.d.
i I

INVILUPPO CONVESSO [1711/Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme qualunque di E diciamo allora
inviluppo convesso dell’insieme A e lo indichiamo con conv(A), l’insieme dato dall’intersezione di
tutti i convessi che contengono A cioè:
conv(A):={C : AC e C convesso }
La proprietà precedente Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. ci dice che l’inviluppo


convesso conv(A) è un convesso ed essendo per definizione conv(A) l’intersezione di tutti i
convessi che contengono A allora Aconv(A) e quindi conv(A) è il più piccolo sottoinsieme di E
convesso che contiene A. E quindi in particolare se A è convesso allora necessariamente deve
essere che conv(A)=A.

Sia E spazio vettoriale su K
AE, A convesso
Ts: conv(A)=A
Dim (esercizio)
Vale sempre Aconv(A), proviamo quindi l’inclusione inversa. Per Hp A è un convesso e
banalmente AA e quindi poiché per definizone conv(A) è il più piccolo convesso contenente A
allora deve necessariamente essere che conv(A)A c.v.d.

COMBINAZIONE CONVESSA [1711/Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto.]
n
Sia E uno spazio vettoriale, x1,...,xn N, e 1,...,n[0,1] con  i=1 allora il vettore
i 1
1x1+...+nxn si dice combinazione convessa dei vettori x1,...,xn.
AE insieme convesso
Ts: A contiene ogni combinazione convessa dei suoi vettori.
Dim
n n
Dobbiamo provare che x1,...,xnA e 1,...,n[0,1] con  i=1   ixiA.
i 1 i 1
Dimostriamo per induzione.
Per n=2:
siano x1,x2A e 1,2[0,1] con 1+2=1  2=1-1 e quindi tenendo conto di questo del fatto
che A è convesso si ha che 1x1+2x2=1x1+(1-1)x2.
Supponiamo vera l’espressione per n=k e dimostriamo che è vera per k+1:
k 1
consideriamo x1,...,xk+1A e 1,...,k+1[0,1] con  i=1 e supponiamo k+10 poiché se
i 1

k+1=0 allora l’asserto seguirebbe direttamente dall’Hp induttiva. E ovviamente possiamo supporre


k 1
anche che k+11 poiché se k+1=1 allora dovendo essere  i=1 allora necessariamente si
i 1

k 1
avrebbe che 1=2=...=k=0 e quindi  xii=1x1+...+kxk+k+1xk+1=0x1+...+0xk+1xk+1=xk+1A.
i 1

E quindi se k+10 e k+11 si ha allora che:
1x1+...+k+1xk+1= dividiamo e moltiplichiamo i primi k termini per la quantità (1-k+1) =
k
1 x1 ... k x k i
k+1xk+1+(1-k+1) =k+1xk+1+(1-k+1)  xi
1  k 1 i 1 1  k 1
e quindi:
k
i
1x1+...+k+1xk+1=k+1xk+1+(1-k+1)  x ()
i 1 1  k 1 i
Teniamo presente che 1+...+k+1=1  1+...+k=1-k+1 e quindi:
k k
i 1 1
 =  i=
1  k 1 1  k 1 i1
(1-k+1)=1
1  k 1
i 1
k
i
segue allora dall’ipotesi induttiva che il vettore  x A
1  k 1 i
i 1
E quindi nella () ci siamo ricondotti al caso di due vettori già esaminato (cioè il caso n=2 ) 
1x1+...+k+1xk+1A c.v.d.
Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo
convesso di un insieme poiché ci dice che l’inviluppo convesso di un insieme è definito da tutte le
combinazioni convesse dei vettori dell’insieme.

AE, A
 n n 
Ts: conv(A)= 
  ixi : nN, x1,...,xnA; 1,...,n[0,1] t.c.  i=1 

i 1 i 1
Dim
 n n 
Chiamiamo C= 
  ixi : nN, x1,...,xnA; 1,...,n[0,1] t.c.  i=1  che è l’insieme di

i 1 i 1
tutte le combinazioni convesse dei vettori di A.
Chiaramente AC (poiché xA basta considerare n=1 e 1=1 e si ha xC). Vogliamo dimostrare
con la doppia inclusione che conv(A)=C.
Proviamo che conv(A)C:
proviamo che C è convesso, seguirà chiaramente da questo che conv(A)C poiché per definizione


conv(A) è il più piccolo convesso che contiene A. Siano z1,z2C e proviamo che z1+(1-)z2C
[0,1].
n n
Poiché z1C è del tipo z1=  ixi con x1,...,xnA, 1,...,n[0,1] con  i=1
i 1 i 1
n n
poiché z2C è del tipo z2=  iyi con y1,...,ymA, 1,..., m[0,1] con  i=1
i 1 i 1
Si ha allora che [0,1]:
n m
z1+(1-)z2=  ixi+  (1-)iyi ()
i 1 i 1
Osserviamo che:
n m n m
 i+  (1-)i=  i+(1-)  i=1+(1-)1=1
i 1 i 1 i 1 i 1
e quindi la () è una combinazione convessa di vettori di A  z1+(1-)z2C  che C è
convesso  conv(A)C.
Proviamo che Cconv(A):
conv(A) è un convesso segue allora dalla Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. che X
contiene tutte le combinazioni convesse dei suoi vettori e quindi essendo Acon(A) allora in
particolare conv(A) contiene le combinazioni convesse dei vettori di A e questo significa proprio
che Cconv(A) c.v.d.

20-11-95

INSIEME EQUILIBRATO [2011/Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, AE e A allora A si dice equilibrato se vale
l’inclusione  AA
 K
 1
cioé  K con 1 e xA  xA

AE, A equilibrato
Ts: EA
Dim (esercizio)


Per Hp A è equilibrato  xA xA e  K con 1 e quindi fissato un qualunque xA
allora in particolare per =0K si ha E=0KxA c.v.d.

Si osserva adesso che la famiglia di tutti gli insiemi equilibrati è chiusa rispetto alla
intersezione ed all’unione.

sia {Ai}iI una famiglia d’insiemi equilibrati di E
si ha allora che valgono:
 A:=  Ai è equilibrato
i I
 B:=  Ai è equilibrato
i I
Dimotrazione  (esercizio)
Dobbiamo provare che:
 K con 1 e xA  xA
Fissato quindi K con 1 e xA allora poiché xA  xA i iI e poiché per Hp gli Ai
sono equilibrati  xAi iI  xA c.v.d.
Dimotrazione  (esercizio)
 K con 1 e xB  xB
Fissato quindi K con 1 e xA allora poiché xB  kI t.c. xA k iI e poiché per Hp
gli Ai sono equilibrati  xAkB iI  xA c.v.d.

AE, A equilibrato
 K
Ts: A è equilibrato
Dim (esercizio)
zA e  K con ||1  zA
Sia quindi K con ||1 e zA  xA t.c. z=x segue allora che:
z=(x)=(x)A c.v.d.


INSIEME SIMMETRICO [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K, AE e A allora A si dice simmetrico se coincide col
suo simmetrico cioè A=-A. Chiaramente se A è simmetrico  -A è simmetrico.

AE, A simmetrico e convesso
Ts: EA
Dim (esercizio)
Sia xA e poiché A è simmetrico  -xA e poiché A è convesso  che il segmento [-x,x]A cioè
1
x+(1-)(-x)A [0,1] e quindi in particolare per = 2 si ha che:
1 1
x- x=EA c.v.d.
2 2

Segue direttamentre dalla Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. la seguente
semplice proprietà.

Sia E un K spazio vettoriale
AE e A
Ts: A equilibrato  -A equilibrato
AE e A
Ts: A equilibrato  A simmetrico
Dim
Dobbiamo provare che A=-A. Per Hp A è equilibrato  AA  K con ||1 e quindi per =-1
otteniamo:
-AA (1)
Essendo A equilibrato allora per la proprietà precedente anche il suo simmetrico (cioè -A) è
equilibrato  (-A)-A  K con ||1 e quindi per =-1 si ha:
A-A (2)
Segue quindi da (1) e da (2) che A=-A c.v.d.


Sia E uno spazio vettoriale sul corpo R
AE, A, simmetrico e convesso
Ts: A è equilibrato
Dim
In queste ipotesi per la Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. si ha che EA. E quindi
osservando che A è convesso si ha allora che xA il segmento [E,x]=[x,E]A cioè:
xA xA e [0,1] ()
Dobbiamo provare che  AA e quindi dobbiamo provare che preso un qualunque x0A
 R
 1
allora x0A  R con 1 cioè -11.
Consideriamo quindi i seguenti tre casi.
Caso 01:
posto x=x0 e = segue allora dalla () che x0A
Caso -10:
poichè -10  0-1 allora posto x=x0 e =- nella () che si ha che -x0A e poiché A è
simmetrico  x0A c.v.d.

INSIEME ASSOLUTAMENTE CONVESSO [2011/Errore. L'argomento
Sia E uno spazio vettoriale sul corpo K e A un sottoinsieme non vuoto di E allora A si dice
assolutamente convesso se è convesso ed equilibrato.

AE, A
A è assolutamente convesso  x,yA , K con +1 x+yA
Dim () necessità
Consideriamo x,yA,, K t.c. +1 e supponiamo 0 e 0.
Scriviamoci il vettore x+y come:
      
x+y=  x  
 y (+)
 ()
         
 

 
Osserviamo che e sono due complessi di modulo unitario e quindi essendo A equilibrato si
 


ha che i vettori:
 
x, yA
 
    
Poiché chiaramente , [0,1] e + = =1 segue allora
    
che nella () il vettore tra parentesi quadre è una combinazione convessa che appartiene ad A
(poiché A è convesso e quindi contiene tutte le combinazioni convesse dei suoi vettori) cioè posto
       
z=  x   y  si ha zA.
 
            
 

Teniamo presente che +1 e che A è assolutamente convesso ed in particolare (per
definizione) equilibrato e quindi z(+)A cioé x+yA.
Dim () sufficienza
Dobbiamo dimostrare che A è assolutamente convesso cioè che A è convesso ed equilibrato.
Proviamo che A è convesso:
siano x,yA e [0,1]. Poniamo allora =1- e osserviamo +1-=+1-=1 e quindi per
l’Hp si ha che x+(1-)yA [0,1]  A è convesso.
Proviamo che A è equilibrato:
dobbiamo provare che  AA e quindi dobbiamo provare che preso un qualunque x0A e
K
 1
 K con 1 allora il vettore x A, 0 ma questo segue direttamente dall’Hp poiché basta
prendere :=, =0 e x=x0 e si ha subito x0A c.v.d.

FE sottospazio vettoriale
Ts: F è assolutamente convesso
Dim (esercizio)
Fissati ad arbitrio x,yF e , K tali che ||+||1 allora per il risultato precedente dobbiamo
provare che x+yF, ma ciò segue banalmente dal fatto che F è un sottospazio vettoriale
c.v.d.

COMBINAZIONE ASSOLUTAMENTE CONVESSA [2011/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]


n
Sia E uno spazio vettoriale, x1,...,xn N, e 1,...,nK con  i1 allora il vettore
i 1
1x1+...+nxn si dice combinazione assolutamente convessa di x1,...,xn.

AE, A assolutamente convesso
Ts: A contiene ogni combinazione assolutamente convessa dei suoi elementi
Dim
n n
Dobbiamo provare che x1,...,xnA e 1,...,n K con   1    x A .
i i i
i 1 i 1
Procediamo per induzione .
Per n=2:
poiché A è assolutamente convesso segue allora direttamente da Errore. L'argomento parametro
è sconosciuto. che il vettore 1x1+2x2A.
Supponiamo che l’asserto sia vero per n=k e proviamo che è vero per k+1:
k 1
siano x1,...,xk+1A e 1,...,k+1K con  i1 e possiamo supporre k+10. Banalmente
i 1
possiamo scrivere il vettore 1x1+...+k+1xk+1 come:
 k  k 
  i  i xi 

k 1
  k 1  k 1  i 1 
1x1+...+k+1xk+1=  i  k 1   x k 1  k1

i
1  k  ()
i 1   i  k 1 
 i    i 

 i 1 i 1  i 1 

k 1
Osserviamo che è un numero complesso di modulo unitario e quindi essendo A in particolare
k 1

k 1 1 k
equilibrato si ha x k 1A. Osserviamo inoltre che k
++ k =1 segue allora
k 1
 i  i
i 1 i 1
k
 i x i
i 1
dall’ipotesi induttiva che il vettore k A. E quindi nella () il vettore tra parentesi quadre è
 i
i 1
una combinazione convessa di due vettori di A cioè siamo ricaduti nel caso n=2 e quindi:


 k  k 
  i  i xi 
 
  k 1 
 k 1 x k 1  i 1  i 1 
 k 1   k 1  k  A
  i  k 1 
 i   i 

 i 1 i 1  i 1 

k 1
infine osservando che  i1 si ha essendo A equilibrato che:
i 1
 k  k 
  i  i xi 
 
k 1  
1x1+...+k+1xk+1=  i  k k 1
 1 

k 1

i 1  i 1
x k 1  k 1  k 
 A c.v.d.
i 1   i  k 1 
 i   i 
 i 1
 i 1  i 1 


{Ci}iI famiglia di sotto insiemi di E assolutamente convessi

Ts:  Ci è assolutamente convesso
i I
Dim

Siano x,y  Ci e ,K t.c. +1. Poiché per Hp i Ci sono assolutamente convessi
i I

segue allora che x+yCi iI  x+y  Ci c.v.d.
i I

INVILUPPO ASSOLUTAMENTE CONVESSO DI UN INSIEME [2011/Err
ore.
L'argomen
to
parametro
è
sconosciut
o.]
Sia E uno spazio vettoriale su K e AE, allora l’inviluppo assolutamente convesso dell’insieme
A è l’intersezione di tutti gli insiemi assolutamente convessi contenenti A e si indica con
abconv(A). E quindi segue chiaramente dalla Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. che
abconv(A) è il più piccolo insieme assolutamente convesso contenente A.



Sia E spazio vettoriale su K
AE, A assolutamente convesso
Ts: abconv(A)=A
Dim (esercizio)
Vale sempre Aabconv(A), proviamo quindi l’inclusione inversa. Per Hp A è assolutamente
convesso e banalmente AA e quindi poiché per definizione abconv(A) è il più piccolo insieme
assolutamente convesso contenente A allora deve necessariamente essere che conv(A)A
c.v.d.

Vogliamo adesso provare il seguente importante teorema che caratterizza l’inviluppo
assolutamente convesso di un insieme, che ci dice che l’inviluppo assolutamente convesso di un
insieme è definito da tutte le combinazioni assolutamente convesse dei vettori dell’insieme.

AE, A
 n n 
Ts: abconv(A)= 
  ixi : nN, x1,...,xnA,1,...,nK,  i1 

i 1 i 1
Dim
 n n 
Poniamo C:= 
  ixi : n N, x1,...,xnA,1,...,n K,   1 

i e proviamo che vale
i 1 i 1
l’uguaglianza abconv(A)=C.
Proviamo che abconv(A)C:
Chiaramente AC. Proviamo che C è assolutamente convesso e quindi dobbiamo provare che:
K con +1  z +z C.
fissati z1,z2C e , 1 2
n n
Poiché z C  che x ,...,x A,  ,..., K,   1 t.c. z =   x
1 1 n 1 n i 1 i i
i 1 i 1
n n
Poiché z2C  che y1,...,ynA, 1,..., n K,  i1 t.c. z2=  iyi
i 1 i 1
si ha allora che:
n n n n
z1+z2=  ixi+  iyi =  ixi+  iyi
i 1 i 1 i 1 i 1
n n
e quindi osservando che evidentemente  i+  i+1 si ha che
i 1 i 1
z1+z2C.


E quindi C è un insieme assolutamente convesso che contiene A allora deve necessariamente essere
che abconv(A)C poiché abconv(A) è per definizione il più piccolo insieme assolutamente
convesso contenente A.
Proviamo che Cabconv(A):
poiché abconv(A) è assolutamente convesso allora per la Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto. contiene ogni combinazione convessa dei sui vettori e quindi essendo Aabconv(A)
allora in particolare abconv(A) contiene ogni combinazione convessa dei vettori di A e questo
significa proprio che Cabconv(V) c.v.d.

In E=R 2
consideriamo abconv((1,1),(-1,1)) che è un quadrato poiché
l’inviluppo assolutamente convesso dell’insieme A={(1,1),(-1,1)}
(cioè abconv((1,1),(-1,1))) deve contenere l’origine E=(0,0), i
simmetrici dei punti (1,1),(-1,1), i segmenti che li congiungono (lati e
diagonali) e tutti i segmenti che congiungono i punti così ottenuti.
Analogamente si vede che abconv((1,1),(-1,-1))=segmento che congiunge i due punti. In E= R 2

consideriamo abconv((1,1),(-1,1)) che è un quadrato poiché l’inviluppo assolutamente convesso
dell’insieme A={(1,1),(-1,1)} ( cioè abconv((1,1),(-1,1))) deve contenere l’origine E=(0,0), i
simmetrici dei punti (1,1),(-1,1), i segmenti che li congiungono (lati e diagonali) e tutti i segmenti
che congiungono i punti così ottenuti. Analogamente si vede che abconv((1,1),(-1,-1))=segmento
che congiunge i due punti.

INSIEME LINEARMENTE INDIPENDENTE [2011/Errore. L'argomento
Sia E uno spazio vettoriale su K, AE e A allora l’insieme A si dice linearmente
indipendente se comunque preso un numero finito di vettori distinti di A questi sono linearmente
indipendenti cioè:
x1,...,xnA con xixj se ij e 1,...,nK t.c.  x +...+ x =
1 i n n E  i=0 i=1,...,n
Ovviamente EA.

AE linearmente indipendente
Ts: se BA allora B è linearmente indipendente


Dim (ovvia)

AE linearmente indipendente
siano x1,...,xnA con xixj se ij, y1,...,ymA con yiyj se ij, 1,...,n, 1,...,mK{0K} tali che
n m
 ixi=  jyj
i 1 j1
Ts: m=n e  una permutazione iji di {1,..,n} t.c. xi= y j e i=  j i=1,...,n
i i
Dim
Poniamo I={1,...,n}, J={1,...,m} e consideriamo I*={iI : jiJ t.c. xi= y j }.
i
Consideriamo inoltre l’applicazione f:I*J con f:iji e sia J* il suo codominio cioé J*=f(I*).
Vogliamo provare quindi che f è una permutazione di {1,...,n} (cioé una biezione da I in I) che
soddisfa alle proprietà promesse dalla tesi.
Poniamo per convezione  zi=E.
i
n m
Osserviamo che  ixi=  iyi e quindi:
i 1 j1
n m
E=  ixi-  jyj=  (i-  ji )xi+  ixi-  iyi
i 1 j1 i I * i I I * iJ J *

che è una combinazione lineare di vettori di A nulla e quindi essendo gli elementi della
combinazione lineare a due a due distinti, ed essendo A è linearmente indipendente allora
coefficienti di tale combinazione lineare devono essere nulli cioé:
i-  ji =0K iI* (si ricorda che iI* !jiJ*), i=0K iII*, i=0K iJJ*
e quindi necessariamente (essendo per Hp 1,...,n, 1,...,m non nulli) deve essere che II*= e
JJ*=  I=I* e J=J* e quindi f:IJ e poiché J=J*:=f(I)  f surgettiva. Verifichiamo infine che
l’applicazione f:IJ è iniettiva cioè se ik allora ji jk. Se ik essendo x1,...,xn a due a due distinti (e
poiché I=I*)  xixk ma xi= y j e xk= y j  y j  y j ed essendo y1,...,ym a due a due distinti 
i k i k
jijk. Ed ovviamente essendo f una biezione tra I e J allora card(I)=cad(J) cioé n=m
c.v.d.
Facendo uso della Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. possiamo dimostrare la
seguente semplice caratt. degli insiemi linearmente indipendenti che ci dice che un’insieme è
linearmente indipendente se e solo se ogni combinazione lineare dei vettori dell’insieme ammette
rappresentazione unica (ovviamente a meno dell’ordine degli addendi).


AE, A
sono allora equivalente:
(1) A è linearmente indipendente
(2) xspan(A) ammette rappresentazione univoca
Dim (1)(2) (esercizio)
Sia xspan(A) ed osserviamo che nel caso x=E la tesi è ovvia, consideriamo quindi il caso xE..
Supponiamo che esistano due rappresentazioni del vettore x, cioé:
n
x1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c. x=   x i i (1)
i 1
m
y1,...,ymA con yiyk ik e 1,...,n K t.c. x=   y j j (2)
j1
e dimostriamo quindi che le due rappresentazioni di x coincidono. Evidentemente essendo xE
allora i i non possono essere tutti nulli ed evidentemente non è restrittivo suppore che tali i siano
tutti non nulli, infatti se così non fosse allora basterebbe cosiderare:
1:=  i1 con i1:=min{i : 1in e i0}
2:= i 2 con i2:=min{i : i1<in e i0}
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
r:=  i r con ir:=min{i : ir-1<in e i0} con (ovviamente) rn
ed ovviamente (poiché per i i nulli si ha ixi=0xi=E):
n r
x=  ixi=  k x i k
i 1 k 1
E quindi per quanto sopra osservato possiamo supporre che i 1,...,n K{0}, ed analogamente
possiamo supporre che 1,...,m K{0}.
n m
Per (1) e (2) si ha che  ixi=  jyj segue allora da Errore. L'argomento parametro è
i 1 j1
sconosciuto. che:
m=n e iji permutazione di {1,..,n} t.c. xi= y j e i=  j i=1,...,n
i i
e questo evidentemente ci dice proprio che le due rappresentazioni coincidono.
Siano x1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c.  x ++ x =
1 1 n n E dobbiamo provare allora che
1=...=n=0. Se per assurdo fosse 10 allora evidentemente si avrebbe che:
 2   3   n 
x1= x2+ x3++ xn
 1   1   1 


ma ovviamente si può scrivere anche x1=1x1 e quindi x1 ammetterebbe due rappresentazioni distinte
e siamo ad un assurdo e quindi necessariamente deve essere che 1=0. Analogamente si prova che
2=3=...=n=0 c.v.d.

COROLLARIO [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
AE, A
sono allora equivalente:
(1) A è linearmente indipendente
(2) xA non si può esprimere come combinazione lineare di altri vettori di A
Teniamo presente che per Hp A è linearmente indipendente e che quindi per il teorema precedente
ogni combinazione lineare di vettori di A si può scrivere in modo unico (ovviamente a meno
dell’ordine degli addendi). Fissato ad arbitrio xAspan(A) osserviamo che banalmente si può
scrivere x=1x e quindi necessariamente per unicità di scrittura x non si può esprimere come c.l. di
altri vettori di c.v.d.
Dim (2)(1)
Siano x1,...,xnA con xixk ik e 1,...,n K t.c.  x ++ x =
1 1 n n E dobbiamo provare allora che
1=...=n=0. Se per assurdo fosse 10 allora evidentemente si avrebbe che:
 2   3   n 
x1= x2+ x3++ xn
 1   1   1 
e siamo ad un assurdo per l’Hp e quindi necessariamente deve essere che 1=0. Analogamente si
prova che 2=3=...=n=0 c.v.d.

Richiamiamo adesso alcune nozioni già date nel corso di Algebra.

RELAZIONE D’ORDINE ED INSIEMI PARZIALMENTE ORDINATI [2011/Errore
.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia X un qualunque insieme. Diciamo allora che in X è definita una relazione d’ordine (parziale)
e si indica con il simbolo (di minore o uguale )  se tale relazione gode delle seguenti tre proprietà:
(1) Proprietà riflessiva:
xx
(2) Proprietà antisimmetrica:


se persi x,yX con xy e yx  x=y
(3) Proprietà transitiva:
se presi x,y,z X con xy e yz  xz
In tal caso l’ins. X si dice parzialmente ordinato (brevemente p.o.) e si indica con la coppia (X,).
Diciamo che gli elementi x,yX sono confrontabili se xy o yx. Siano x,yX due elementi
confrontabili allora con la scrittura xy intendiamo yx.

CATENA [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia (X,) e X allora un sottoinsieme AX si dice catena o totalmente ordinato se tutti i suoi
elementi sono confrontabili (cioè (A,) è totalmente ordinato).

MAGGIORANTE E MINORANTE DI UN INSIEME [2011/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia (X,) e AX non vuoto. Se yX t.c. xy xA diciamo che l’elemento y di X è un
maggiorante dell’insieme A. Se yX t.c. yx xA diciamo che l’elemento y di X è un
minorante dell’insieme A.

INSIEMI LIMITATI SUPERIORMENTE, INSIEMI LIMITATI [2011/Errore.
INFERIORMENTE ED INSIEMI LIMITATI L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia (X,) e AX non vuoto. Diciamo che A è limitato superiormente se ammette maggiorante.
Analogamente diciamo che A è limitato inferiormente se ammette minorante. Diciamo che A è
limitato se è limitato inferiormente e superiormente.

MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME [2011/Errore. L'argomento
Sia (X,) e AX non vuoto. Se m''A t.c. xm'' xA allora l’elemento m'' si dice massimo per
l’insieme A e si denota usualmente con maxA:=m''. Ovviamente se tale elemento m'' esiste è unico.
Se m'A t.c. m'x xA allora l’elemento m' si dice minimo per l’insieme A e si denota
usualmente con minA:=m'. Ovviamente se tale elemento m' esiste è unico.


ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE DI UN INSIEME [2011/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia (X,) parzialmente ordinato, AX non vuoto e supponiamo che e x''X tale che:
(1) x'' maggiorante per A
(2) yx'' yX maggiorante per A
diciamo allora che tale x é l’estremo superiore di A e si denota con supA:=x''. Ovviamente posto
K'':={yX : xy xA} (cioè K'' è l’insieme dei maggioranti di A) allora supA:=minK'' cioè
supA è il più piccolo dei maggioranti di A. Ovviamente se tale elemento x'' esiste è unico
Analogamente supposto che x'X tale che:
(1) x' minorante per A
(2) x'y yX minorante per A
diciamo allora che tale x' é l’estremo inferiore di A e si denota con infA:=x'. Ovviamente posto
K':={yX : yx xA} (cioè K' è l’insieme dei minorante di A) allora infA:=maxK' cioè infA è il
più piccolo dei minoranti di A. Ovviamente se tale elemento m' esiste è unico

Sia (X,) un insieme p.o.
AX, A
allora A ammette massimo  A ammette estremo superiore e supAA
Dim  (esercizio)
Per Hp A ammette massimo  m''A t.c. xm'' xA  m'' maggiorante di A  A ammette
estremo superiore ed ovviamente supA=m''A c.v.d.
Dim  (esercizio)
Per Hp supAA e quindi essendo in particolare supA un maggiorante di A segue che xsupA
xA  maxA=supA c.v.d.

Analogamente si dimostra la seguente proprietà.

Sia (X,) un insieme p.o.
AX, A
allora A ammette minimo  A ammette estremo inferiore e infAA


ELEMENTO MASSIMALE ED ELEMENTO MINIMALE [2011/Errore
.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Sia (X,) (cioè X è parzialmente ordinato). Se x*X tale che preso xX e x*x  x*=x, diciamo
allora che tale elemento x* è un massimale rispetto al dato ordine (parziale o totale). Analogamente
se x*X tale che preso xX e xx*  x*=x, diciamo allora che tale elemento x* è un minimale
rispetto al dato ordine. Si faccia bene attenzione al fatto che dire che x* è elemento massimale per
X non significa necessariamente che x* è il massimo dell’insieme poiché se così fosse allora
dovrebbe accadere che:
xX  xx*
cioé si avrebbe che x* confrontabile con ogni elemento di X e questo evidentemente non è
necessariamente vero se x* è un elemento massimale. Chiaramente se x*X è il max dell’insieme
X allora x* chiaramente è un elemento massimale. Analoghe osservazioni valgono per un
l’elemento minimale.

Sia X un ins. non vuoto e consideriamo l’ins. delle parti di X che si indica solitamente con P(X)
oppure con 2X. Introduciamo allora in P(X) la seguente relazione:
dati A,BP(X) allora AB  AB
si verifica banalmente che questa è una relazione d’ordine parziale cioè che soddisfa alle tre
proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva, e viene detta relazione di inclusione.
Evidentemente in P(X) con la relazione di ordine parziale sopra definita, una catene è una famiglia
{A}iI di sottoinsieme di X tali che A1A2...Ak... e banalmente tale catena ammette maggiorante
che come subito si intuisce è dato dal unione dei membri della famiglia. Si verifica banalmente che
anche la relazione d’inclusione inversa cioé:
A,BP(X) allora AB  AB (ovvero BA)
è una relazione d’ordine parziale in P(X).

ASSIOMA DELLA SCELTA [2011/Errore. L'argomento parametro è
sconosciuto.]
Dato un insieme X  una funzione :P(X)X t.c. (A)A AP(X)


Naturalmente in un insieme parzialmente ordinato non è detto che esistano elementi
minimali e massimali, né per un suo sottoinsieme elementi minoranti e maggioranti, estremo
inferiore e superiore, minimo e massimo. Tuttavia il seguente lemma dovuto a Zorn equivalente
all’assioma della scelta (cioé se assumiamo il lemma di Zorn come assioma fondamentale allora
l’assioma della scelta si può dimostrare mediante tale lemma) ci garantisce una condizione
sufficiente per l’esistenza di elementi massimali (risp. minimali).

LEMMA DI ZORN [2011/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia (X,) cioè un insieme parzialmente ordinato. Se ogni catena in X ammette almeno un
maggiorante (risp. minorante) in X allora X possiede almeno un elemento massimale (risp.
minimale)

La seguente proprietà ci assicura che data una famiglia di insiemi chiusa rispetto
all’intersezione finita allora in corrispondenza di una sua sottofamiglia numerabile se ne può
costruire un’altra non crescente rispetto alla relazione di inclusione e i cui termini sono contenuti
nei corrispondenti della sottofamiglia di partenza. Ad esempio come abbiamo già osservato le
rispettive famiglie degli insiemi convessi, equilibrati ed assolutamente convessi sono chiuse rispetto
all’intersezione e quindi banalmente in particolare sono chiuse rispetto all’intersezione finita e
pertanto a tale famiglie possiamo applicare la proprietà suddetta dimostrata qui di seguita.

Sia X
F famiglia di insiemi di X chiusa rispetto all’intersezione finita
{An}nN sottofamiglia (numerabile) di F
Ts: {Bn}nN sottofamiglia di F t.c. BnAn nN e Bn+1Bn nN
Dim (esercizio)
Fissato n N poniamo:
n
Bn:=  Ai
i=1
Verifichiamo quindi che la successione {Bn}nN che così nasce soddisfa alle condizioni promesse
nella tesi. Ovviamente i membri della {Bn}nN appartengono ad F cioé BnF n N, poiché per
costruzione i Bn sono intersezione di un numero finito di membri di F (che è per Hp chiusa rispetto
all’intersezione finita). Banalmente BnAn ed è altrettanto ovvio osservare che tale famiglie
{Bn}nN è non crescente rispetto alla relazione di inclusione, infatti:

n+1 n
Bn+1:=  Ai=  Ai:=Bn c.v.d.
i=1 i=1

Sia X
F famiglia di insiemi di X chiusa rispetto all’unione finita
{An}nN sottofamiglia (numerabile) di F
Ts: {Bn}nN sott.fam. di F t.c. AnBn nN, BnBn+1 nN e  An=  Bn
nN nN
Dim (esercizio)
Fissato n N poniamo:
n
Bn:=  Ai
i=1
Verifichiamo quindi che la successione {Bn}nN che così nasce soddisfa alle condizioni promesse
nella tesi. Ovviamente i membri della {Bn}nN appartengono ad F cioé BnF n N, poiché per
costruzione i Bn sono unione di un numero finito di membri di F (che è per Hp chiusa rispetto
all’unione finita). Banalmente AnBn ed è altrettanto ovvio osservare che tale famiglie {Bn}nN è
non decrescente rispetto alla relazione di inclusione, infatti:
n n+1
Bn:=  Ai  Ai:=Bn+1
i=1 i=1
Verifichiamo quindi procedendo per doppia inclusione che l’unione dei membri di {An}nN è
uguale all’unione dei membri di {Bn}nN.
Proviamo che  An  Bn:
nN nN
ovvio poiché AnBn n . N
Proviamo che  Bn  An:
nN nN
n*
sia x  Bn  n*N t.c. xB :=  A   A
n* i n c.v.d.
nN i=1 nN
22-11-95

BASE DI HAMEL [2211/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Sia E uno spazio vettoriale su K, AE (finito o non finito) e A, diciamo allora che A è una base
di Hamel per E se è linearmente indipendente e se span(A)=E.

Dato uno sp. vett. E, allora considerato l‘insieme delle parti di tale spazio cioè P(E),
sappiamo che possiamo considerare in esso la relazione di inclusione che come abbiamo già


osservato è una relazione di ordinamento parziale. Vogliamo allora dimostrare il seguente teorema
che caratterizzare completamente una base di Hamel in un qualunque spazio vettoriale, ed in
particolare esprime la massimalità di una base di Hamel nella famiglia degli insiemi l.i. (cioè se
AE è una base di Hamel e BE l.i. tale che AB allora necessariamente deve essere che A=B).

AE, A
allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
(1) A è una base di Hamel per E
(2) A è un insieme l.i. massimale rispetto alla famiglia degli insiemi l.i.
Dim (1)  (2)
Ovviamente essendo A base di Hamel  A linearmente indipendente. Dimostriamo che A è
massimale nella famiglia degli insiemi linearmente indipendenti. Sia quindi BE linearmente
indipendente tale che AB e facciamo vedere che A=B. Supponiamo per assurdo che AB 
x0 BA e quindi poiché span(A)=E allora il vettore x0 lo possiamo esprimere come:
n
x0=  ixi dove x1,...,xnAB con xixj se ij, 1,...,n K
i 1
Osserviamo che essendo per Hp B l.i. allora ogni combinazione lineare dei suoi vettori ammette una
rappresentazione unica e quindi in particolare essendo x0B allora lo possiamo esprimere
unicamente come x0=1x0 e quindi:
n
x0=  ixi=1x0
i 1
e pertanto necessariamente j=1,...,n t.c. i=0 se ij , j=1 e xj=x0 e quindi x0=xjA assurdo
poiché x0BA. Resta così provata la tesi.
Dim (2)  (1)
Bisogna provare solo che span(A)=E. Procediamo per assurdo, ovvero supponiamo che sia
span(A)E  che x0Espan(A), ovviamente ciò significa che x0A  AAx0. Vogliamo
fare vedere che Ax0 è l.i., cioé:
x1,...,xn,x0Ax0 t.c. xixj se ij, x0+1x1+...+nxn=E  i=0 i=1,...,n e =0
se per assurdo fosse 0 allora x0 sarebbe combinazione lineare dei vettori x1,...,xnA e quindi
sarebbe un elemento del sottospazio span(A) e ciò non è possibile e pertanto otteniamo che:
1x1+...+nxn=E


segue allora da questa e dalla lineare indipendenza dei vettori x1,...,xn che 1=2=...=n=0. E quindi
Ax0 è un insieme l.i. che contiene propriamente A e ciò è assurdo poiché per Hp A è massimale
c.v.d.

Diamo ora la dimostrazione di un teorema che garantisce l’esistenza di una base di Hamel
per un qualunque spazio vettoriale.

DE un insieme l.i.
Ts: esiste almeno una base di Hamel che contiene D
Dim
Consideriamo la famiglia:
E:=AE : A è l.i. e DA
che è ovviamente non vuota poiché almeno DE. Consideriamo quindi su tale famiglia E
l’ordinamento parziale definito dalla relazione di inclusione, cioè:
A1,A2 E, A1A2  A1A2.
Ci proponiamo di dimostrare che tale famiglia E ammette elemento massimale e a tale scopo
facciamo uso del lemma di Zorn e dimostriamo quindi che ogni catena ammette maggiorante. Sia
quindi CE una catena arbitraria in E, e verifichiamo che essa ammette maggiorante.
Consideriamo:
~
A :=  C
CC
~
e verifichiamo che A è il maggiorante cercato della catena C e quindi dobbiamo verificare che
~ ~ ~ ~
A E e che C A CC. Affinché A E deve essere D A e A linearmente indipendente. Fissato
un qualunque CC allora per definizione si ha che
~ ~
DC A . Ovviamente A è l.i. infatti siano:
~
x1,...,xn A t.c. xixj se ij, 1x1+...+nxn=E
~
allora dal momento che ogni xi A si ha che i=1,...,n CiC t.c. xiCi e poiché tutti i Ci sono
confrontabili ne esisterà uno che contiene ogni xi ed essendo tale insieme un membro di C sarà l.i.
~ ~
per cui si conclude proprio che i=0 i=1,...,n. Banalmente per come è definito A si ha C A
~
CC. E quindi A è un maggiorante della catena C e pertanto dal lemma di Zorn segue che E
ammette elemento massimale cioè:
A*E t.c. se BE e AB allora A=B


Ovviamente essendo A*E allora DA* e A* linearmente indipendente. Banalmente A* è anche
massimale nella famiglia degli insiemi l.i., infatti preso BE l.i. t.c. A*B allora essendo DA* 
DB  BE e pertanto essendo A* elemento massimale di E allora A*=B. E quindi segue Errore.
L'argomento parametro è sconosciuto. che A* è una base di Hamel per E c.v.d.

Dimostriamo adesso che due basi di Hamel dello stesso spazio vettoriale hanno la medesima
cardinalità cioè sono equipotenti

PROPOSIZIONE [2211/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
siano A,BE due basi di Hamel per E
Ts: card(A)=card(B)
Dim
Distinguiamo i due casi rispettivamente il caso in cui A e B sono finiti (cioè hanno cardinalità
finita) ed il caso in cui A e B sono finiti. Consideriamo quindi il caso in caso in cui A e B sono finiti
cioé m,n N finiti t.c. card(A)=n<+ e card(B)=m<+. In tale situazione A e B sono del tipo
A:=x1,...,xne B:=y1,...,ym ed essendo A base di Hamel ogni yj è combinazione lineare dei vettori
di A, ovvero:
n
j=1,...,m 1j,...,njK t.c. y =   x
j ij i (1)
i 1
Consideriamo il sistema lineare omogeneo nelle incognite 1,...,m:
11   12  ...... 1m   0
1 2 m

21 1  22 2 ...... 2 m m  0
..........................................
..........................................

n1 1  n2 2 ......  nm m  0
se per assurdo fosse n<m allora tale sistema ammetterebbe una soluzione non nulla che chiamiamo
(1,...,m). Moltiplicando ambo i membri della (1) per j e sommando sull’indice j otteniamo:
m m n n m n  m 
 jyj=  j  ijxi=   jijxi=    jij

xi

(2)
j1 j1 i 1 i 1 j1 i 1 j1

e quindi essendo (1,...,m) soluzione del sistema omogeneo allora:
m
 jij=0 (3)
j1
segue pertanto dal primo membro della (2) e dalla (3) che:


m
 jyj=E
j1

ma dal momento che B è l.i., affinché tale scrittura sia vera dovrebbe essere nulla la
m-upla (1,...,m) e si perviene ad un assurdo quindi deve essere nm. Ovviamente scambiando il
ruolo di A e di B si ottiene nm e quindi n=m.
Mettiamoci adesso nel caso in cui A e B non sono finiti. Fissato ad arbitrio un vettore xA,
osserviamo che essendo B una base di Hamel di E allora possiamo esprimere xA come
combinazione lineare finita di vettori di B cioè:
n
y1x,...,ynxB e 1x,...,nxK t.c. x=  ixyix
i 1
Consideriamo l’insieme finito:
F(x):=y1x,...,ynx
Ovviamente  F(x)B, vogliamo allora verificare che è una base di Hamel di E.
xA
Per Hp A è una base di Hamel di E  che ogni elemento zE è combinazione lineare di elementi di
A cioè:
n
x1,...,xnA e 1,...,nK t.c. z=  ixi
i 1
e poiché ogni xi è c.l. di elementi di F(xi), segue allora che zE è c.l. di elementi di  F(x) e
xA
chiaramente tale insieme è l.i. in quanto è un sottoinsieme di B che è l.i. e quindi  F(x)B è
xA
una base di Hamel e per la sua massimalità deve essere  F(x)=B. Un risultato più generale
xA
 
dell’algebra ci garantisce che card

 Xi card(I) dove {Xi}iI è una famiglia di insiemi finiti ed

i I

 
I è un insieme infinito di indici segue allora che card  F(x) card(A) e quindi
 xA 
card(B)card(A). Naturalmente scambiando il ruolo di A e di B si ottiene card(A)card(B) ed il
teorema risulta dimostrato.

24-11-95

Abbiamo visto nella lezione precedente che in uno spazio vettoriale tutte le basi di Hamel
hanno la stessa cardinalità e quindi ha senso dare la seguente definizione.

DIMENSIONE ALGEBRICA DI UNO SPAZIO VETTORIALE [2411/Error
e.

L'argoment
o parametro
è
sconosciuto
.]
Sia E uno spazio vettoriale su K, si definisce dimensione algebrica di E la cardinalità di una sua
qualsivoglia base di Hamel. Vi è una notevole differenza tra gli spazi di dimensione finita e quelli di
dimensione infinita, poiché le proprietà di cui godono sono diverse, ad esempio uno spazio di
dimensione n si può identificare con K n
mentre uno di dimensione infinita no.

SPAZIO VETTORIALE QUOZIENTE [2411/Errore. L'argomento
Sia E uno spazio vettoriale su K, FE sottospazio vettoriale. Introduciamo su E una relazione così
definita:
x,yE xy  x-yF.
Verifichiamo che tale relazione è di equivalenza:
 (Riflessività) xx, infatti x-x=EF
 (Simmetria) xy  yx, infatti se x-yF poiché F è sottospazio vettoriale anche
y-xF e quindi yx.
 (Transitività) xy, yz  xz, infatti se x-yF ed y-zF anche x-y+y-z=x-zF
ovvero xz.
Ovviamente il fatto che la relazione sia di equivalenza ci garantisce che induce una partizione di
classi di elementi equivalenti, nasce quindi uno sp. quoziente così definito:
E/F=[x], [y],... (si legge E modulo F oppure E quozientato F)
dove appunto [x]=zE : zx={zE : z-xF}. Se in E/F si considerano le operazioni così definite
(viste nel corso di algebra):
 [x]+[y]=[x+y] [x],[y]E/F
 [x]=[x] K
allora rispetto a tali operazioni E/F è uno spazio vettoriale. Detta adesso [w] la classe nulla di E/F
(cioè [x]+[w]=[x] [x]E/F) vogliamo verificare che [w]=F. Procediamo per doppia inclusione.
Verifichiamo che [w]F:
[x]+[w]=[x+w] e poiché [w] è la classe nulla  [x]=[x+w]  (x+w)x 
x+w-x=wF  [w]F
Verifichiamo che F[w]:
consideriamo un arbitrario xF e y,zE t.c. yz  y-zF ed essendo F un sottospazio vettoriale
allora x+y-zF  (x+y)z e quindi:


[x+y]=[z] (1)
Analogamente poiché y-zF  (x+y)-(x+z)F  (y+x)(x+z) e quindi:
[x+y]=[x+z] (2)
segue allora dalla (1) e dalla (2) che [z]=[x+z]=[x]+[z]  x[w] F[w]

OPERATORI LINEARI [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
Si ricorda che data una applicazione (o trasformazione) a questa si riserva il nome di operatore se è
definita tra spazi vettoriali e in particolare prende il nome di funzionale se è a valori in K. Siano E
ed F due spazi vettoriali su K, sia T:EF un operatore, diciamo allora che T è un operatore (o
funzionale se F= K) lineare se:
T(x+y)=T(x)+T(y) , K e x,yE
Si verifica facilmente che la composizione di operatori lineari è un operatore lineare,
oppure che la somma di operatori lineari è un operatori lineare, oppure che il prodotto
di uno scalare per un operatore lineare è un operatore lineare.

NUCLEO RADIALE DI UN OPERATORE LINEARE [2411/Errore.
L'argomento
parametro è
sconosciuto.]
Siano E ed F due spazi vettoriali su K, sia T:EF un operatore lineare. Diciamo
allora nucleo radiale dell’operatore lineare T l’insieme:
-
Ker(T):=T 1(F)={xE : T(x)=F}
cioè l’ins. dei vettori di E che si trasformano tramite T in F. Ovviamente Ker(T) non è mai vuoto
poichè per la Errore. L'argomento parametro è sconosciuto. almeno EKer(T). Si osserva che
banalmente che Ker(T) è un sottospazio vettoriale di E, infatti fissati x,yKer(T) e , K si ha
che:
T(x+y)=per la linearità=T(x)+T(y)=F+F=F
ovvero x+yKer(T).

Siano E ed F K-spazi vettoriali
T:EF lineare
Ts: T(E)=F
Dim (esercizio)


Poiché Ker(T) è un sottospazio vettoriale di E allora necessariamente deve essere che EKer(T) 
T(E)=F c.v.d.
Dimostriamo adesso alcune proprietà degli operatori lineari.

Siano E,F due spazi vettoriali su K
T:EF operatore lineare
Allora T è iniettivo  Ker(T)={E}.
Dim  (ovvia)
Poiché per Hp T è iniettivo  T(x)=E  x=E  Ker(T)={E} c.v.d.
Dim 
Supponiamo per assurdo che T non sia iniettivo cioè che x,yE con xy t.c. T(x)=T(y) e poiché T
è lineare segue che T(x-y)=F  x-yKer(T)={E}  x-y=E  x=y assurdo poiché avevamo
scelto xy c.v.d.

La seguente proposizione ci dice che l’immagine inversa di un punto tramite un applicazione
lineare è una varietà affine.

PROPOSIZIONE [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
T:EF un operatore lineare
y0T(E)
Ts.: T-1(y0)=x0+Ker(T) (dove x0 è un punto arbitrario di T-1(y0))
Dim
Dimostriamo che T-1(y0)x0+Ker(T):
sia xT-1(y0)  T(x)=y0 ,possiamo esprimere x come x=x0+(x-x0) osservando allora che T(x-
x0)=T(x)-T(x0)=y0-y0=F  x-x0 Ker(T) segue allora che il vettore
x=x0+(x-x0)x0+Ker(T)  T-1(y0)x0+Ker(T)
Dimostriamo che x0+Ker(T)T-1(y0):
Sia xx0+Ker(T)  x è del tipo x=x0+z con zKer(T) e quindi osservando che
T(x)=T(x0+z)=T(x0)+T(z)=y0+F=y0  xT-1(y0)  x0+Ker(T)T-1(y0) c.v.d.

Si tenga presente che generalmente la restrizione di un’applicazione lineare ad un insieme
qualunque non è una applicazione lineare ma se l’insieme è un sottospazio allora la linearità si


conserva. Tale risultato si desume agevolmente dalla seguente prop. che ci dice che il trasformato di
un sottospazio vettoriale tramite un operatore lineare è un sottospazio.

GE sottospazio vettoriale
Ts: T(G) è un sottospazio di F
Dim (ovvia)
Dobbiamo dimostrare che:
z,wT(G) e , K  z+wT(G)
Siano quindi z,wT(G) e ,K. Poiché z,wT(G)  x,yG t.c. T(x)=z e T(y)=w e quindi
tenendo presente che T è lineare per Hp si ha:
z+w=T(x)+T(y)=T(x+y)
ed essendo G un sottospazio  che x+yG  z+w=T(x+y)T(G) c.v.d.

T:E K funzionale lineare
Ts: T è surgettivo oppure è identicamente nullo
Dim (esercizio)
Si tenga presente che K si può rigurdare come uno sp. vett. su se stesso ed evidentemente gli unici
sott.sp. che ammette sono quello banale cioé {0} e se stesso. E quindi poiché per la proprietà
precedente T manda sott.sp. in sott.sp. allora può accadere che T(E)={0} (cioé T(x)=0 xE)
oppure T(E)= K (cioé T surgettivo).

T:EF un operatore lineare iniettivo
-
Ts: T 1:T(E)E è un operatore lineare
Dim (ovvia)
Siano . K e y ,y T(E)  x ,x E t.c. y =T(x ) e y =T(x ) ed ovviamente per l’inettività
1 2 1 2 1 1 2 2
-1 -1
x1=T (y1) e x2=T (y2). Segue allora che:


- - -
T 1(y1+y2)=T 1(T(x1)+T(x2))=per la linearità =T 1(T(x1+x2))=per l’iniettività=
-1 -1
x1+x2=T (y1)+T (y2) c.v.d.

Ts: gr(T):={(x,T(x)) : xE} è un sottospazio vettoriale del prodotto EF
Dim (ovvia)
z1+z2gr(T) z1,z2gr(T) e , K
Siano , K e z ,z gr(T)  x ,x E t.c. z =(x ,T(x )) e z =(x ,T(x )). Per Hp E è uno spazio
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2

vettoriale  x1+x2E  T(x1+x2)T(E) si ha allora che:
z1+z2=(x1,T(x1))+(x2,T(x2))=(x1+x2,T(x1)+T(x2))=per la linearità dell’operatore
T=(x1+x2,T(x1+x2))gr(T) c.v.d.

AE convesso
Ts: T(A) è convesso
Dim (esercizio)
z1,z2T(A) z1+(1-)z2T(A) [0,1]
Siano quindi z1,z2T(A)  x,yA t.c. z1=T(x) e z2=T(y). Tenendo presente che per la convessità
di A il vettore x+(1-)yA, si ha allora che:
z1+(1-)z2=T(x)+(1-)T(y)=per la linearità di T=T(x+(1-)y)T(A) c.v.d.

AE equilibrato
Ts: T(A) è equilibrato


Dim (esercizio)
zT(A) e  K con ||1  zT(A)
Sia zT(A) e K con ||1. Poiché zA è del tipo z=T(x) per un opportuno xA. Teniamo
presente che per Hp A è equilibrato e quindi xA, si ha allora che:
z=T(x)=per la linearità di T=T(x)A c.v.d.
COROLLARIO [2411/Errore. L'argomento parametro è sconosciuto.]
AE assolutamente convesso
Ts: T(A) è assolutamente convesso

AE, A
Ts: T(span(A))=span(T(A))
Dim (esercizio)
Proviamo che T(span(A))span(T(A)):
Sia yT(span(A))  xspan(A) t.c. y=T(x) e poiché xspan(A)  x1,...,xnA e 1,...,n K
n
t.c. x=  ixi e quindi osserviamo che:
i 1
 n  n
y=T(x)=T

 ixi =per la linearità=  iT(xi)

i 1 i 1
cioé siamo riusciti a scrivere y come c.l. di vettori di T(A) e pertanto yspan(T(A)).
Proviamo che span(T(A))T(span(A)):
n
sia yspan(T(A))  y1,...,ynT(A) e 1,...,n K t.c. y=   y i i e poiché y1,...,ynT(A) 
i 1
x1,...,xnA t.c. y1=T(x1), y2=T(x2), ..., yn=T(xn) e quindi:
n n  n 
y=  iyi=  iT(xi)=per la linearità=T  ixi 
i 1 i 1  i 1 
cioé siamo riusciti a scrivere y come immagine di un vettore di span(A) e pertanto yT(span(A))
c.v.d.



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