geografia 7 ano - relevo, altitude, topos do mundo
Transformando radicais em forma polar usando trigonometria hiperbólica
1. FORMA POLAR DE UM RADICAL (INTRODUÇÃO)
Neste texto faremos uma abordagem sobre como transformar um radical do tipo:
na forma polar. Como o número
é real, usaremos a trigonometria
hiperbólica para obter a sua forma polar.
A trigonometria hiperbólica é baseada em uma hipérbole equilátera cuja equação é do
tipo:
e cujo gráfico é mostrado a seguir:
Figura 01: Hipérbole equilátera, centrada na origem.
Tomando um ponto A qualquer sobre a curva desta equação, podemos obter as
projeções ortogonais nos eixos “x” e “y” e seus respectivos valores, de acordo com
figura abaixo:
2. Figura 02: Projeções do segmento AO sobre os eixos coordenados
Na trigonometria hiperbólica, define-se:
(I)
(II)
(Relação fundamental) (III)
Como a equação da curva é
, tomemos
De acordo com a figura, o valor do segmento azul (projeção do segmento OA sobre o
eixo das abscissas) pode ser obtido pela seguinte relação trigonométrica:
(VI)
Analogamente, o valor do segmento em vermelho (projeção do segmento OA sobre o
eixo das ordenadas) pode ser obtido pela seguinte relação trigonométrica:
(VII)
Observação: Note que os ângulos
e
são diferentes, pois o segundo é o ângulo
hiperbólico, já o primeiro é o ângulo formado pelo segmento OA com o eixo horizontal
do plano cartesiano.
a) Relação entre os ângulos
e :
De acordo com as relações (II), (IV) e (VI), temos que:
3. (II)
(IV)
(VI)
Igualando as três relações, obtemos que:
Isolando o valor de
, temos que:
(VII)
Como
Somando
, então:
aos dois membros da equação, temos:
Daí:
Substituindo em VII, vem:
Analogamente, podemos obter uma fórmula similar com a outra relação
trigonométrica:
Utilizando a trigonometria hiperbólica, é possível transformar qualquer radical
da forma
em uma forma “polar”, utilizando as próprias funções
trigonométricas hiperbólicas. Para tal feito, iremos definir a norma do radical
como sendo
quocientes:
. Além disso, vamos definir os seguintes
4. Observe que as duas relações satisfaz:
Como
. Assim, podemos dizer que:
, podemos dividir os dois membros desta equação por
:
Daí:
Isolando “r”, obtemos finalmente a expressão polar para o referido radical:
Ou simplesmente:
Onde:
5. RAÍZES ENÉSIMAS DE R
Neste tópico iremos determinar uma expressão polar para as raízes enésimas de
r, ou seja:
Baseada na fómula de Moivre dos números complexos, pode-se demonstrar que:
Ou simplesmente:
Onde:
Ou:
Este procedimento faz com que todo radical escrito na forma
pode ser
decomposto em uma soma de radicais simples. Observe os exemplos abaixo:
Exemplo 01: Determine o valor de
na forma polar.
Solução:
Seja
Observe que:
.
Cálculo da norma de r:
Cálculo de
e escreva o resultado