Este documento describe la propagación de ondas electromagnéticas en medios dieléctricos. Explica que las ondas electromagnéticas siguen las ecuaciones de Maxwell y se pueden propagar a través de medios guiados u ondas libres. Deriva las ecuaciones de onda para campos eléctricos y magnéticos en medios dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos. También define conceptos clave como la constante de propagación, la longitud de onda y la frecuencia de las ondas electromagnéticas

1. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 1 de 35
Unidad 2. Propagación de ondas Electromagnéticas
Ing. José Miguel Hernández
Marzo, 2014
En la unidad anterior se vio que según las ecuaciones de Maxwell, para trasportar energía
electromagnética se debe hacer por medio de ondas electromagnéticas que se pueden transmitir
con ayuda de medios guiados (circuito eléctrico, guía de ondas, etc.) o en forma de propagación
libre en algún medio material o en el vacío o aire.
Consideremos un medio dieléctrico, disipativo, lineal, isotrópico y homogéneo sin carga (v = 0).
Las ecuaciones de Maxwell temporales y en forma armónica son
0

B

 HB 
0

SH
(2)
(4)
t
D
JH






 EJ 

 ED 
SS EjH

 )( 
vD 


 ED 
0

SE
(1)
v = 0
t
B
E




 
 HB 
SS HjE

  (3)

2. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 2 de 35
Al tomar el rotacional a ambos lados de la ecuación (3)
SS HjE

 )(
Si aplicamos la identidad vectorial

 AAA 2
)()(
SSSS HjEEE

 2
)()(
Pero SE

 = 0, y SS EjH

 )( 
Entonces SSSSS EjjHjEEE

 )()()( 2

Queda SS EjjE

 )(2

O sea 022


SS EE  (5)
)(2
 jj  (6)
Similarmente se puede demostrar que
022


SS HH  (7)
La constante de propagación es:  jjj  )( (8)
Cada una de las ecuaciones (5) y (7) representa tres ecuaciones de onda escalares, así por ejemplo
en coordenadas rectangulares

3. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 3 de 35
Similar para el campo magnético
En esta unidad se estudiará cuatro casos principalmente que corresponden a ondas
electromagnéticas en los siguientes medios:
.1. Dieléctrico disipativo (   0,  = r0,  = r0)
.2. Dieléctrico sin pérdidas (o dieléctrico perfecto), (  = 0,  = r0,  = r0, o bien  << )
.3. El Vacío (  = 0,  = 0,  = 0)
.4. Buenos conductores (   ,  = r0,  = r0, o bien  >> )
022
 xSxS HH 
022
 ySyS HH 
022
 zSzS HH 
022


SS HH 
022
 xSxS EE 
022
 ySyS EE 
022
 zSzS EE 
022


SS EE 

4. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 4 de 35
Generalidades de las ondas
Ecuación de onda escalar en un espacio unidimensional
Supongamos una onda dada por f(x, t) moviéndose en la dirección x.
0
),(1
),( 2
2
2
2




t
txf
u
txf  0
1
2
2
22
2






t
f
ux
f
(9)
Tiene soluciones de la forma
)(1 utxff 
)(2 utxff 
Onda progresiva hacia +x Onda regresiva hacia x
Solución general )()( 21 utxfutxffff  
(10)
Si se adopta dependencia armónica f(x,t) = Re[FS(x) ejt
], fFS, SFj
t
f



, SF
t
f 2
2
2



La (9) se convierte en 02
2
2
 S
S
F
dx
Fd

u

 
Las soluciones son de la forma
xj
S AeF 
 xj
S BeF 

Onda progresiva hacia +x Onda regresiva hacia x
Solución general
xjxj
SSS BeAeFFF  
 (11)
   )()(
ReRe),( xtjxtjtj
S BeAeeFtxf  

Para definir algunos términos, consideremos solo onda progresiva y que será de la forma
)cos( xtff m  
. fm: es la amplitud y se mide en las unidades correspondientes de la onda. Así, si f es campo
eléctrico, fm se mide en V/m. Si f es campo magnético, fm se mide en A/m.
)( xt   : es la fase de la onda y se mide usualmente en radianes.
: es la frecuencia angular en radianes/segundo (rad/s)
: Constante de fase o número de onda. En radianes/metro (rad/m).

5. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 5 de 35
Gráfica de f(x, t) en función de x
manteniendo t = constante
: longitud de onda
Gráfica de f(x, t) en función de t
manteniendo x = constante
T: período
Otras relaciones útiles
uT fu 
f
T
1

f : Frecuencia en ciclos/segundo (Hz).
Otras relaciones f 2
u

 

21

f
T



2

f(x, t) = fmcos(tx)
f(0, t)
t
T
f(x, 0)
x


6. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 6 de 35
)cos(),( xtftxf m  
)cos(),( xtftxf m  
Fase constante: )( xt   = constante 0






dt
dx
 u
dt
dx



f x 0( )
x
f(x,T/2)
x
f(x,T/4)
x

7. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 7 de 35
)cos(),( xtftxf m  
)cos(),( xtftxf m  
Fase constante: )( xt   =constante 0






dt
dx
 u
dt
dx



Resumen:
f x 0( )
x
f(x,T/4)
x
f(x,T/2)
x

8. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 8 de 35
.1. Una onda es una función tanto del tiempo como de la posición.
.2. No tiene principio ni fin. El instante t = 0 se escoge arbitrariamente como punto de referencia.
.3. Cuando el signo de (t  x) es negativo, la propagación de la onda ocurre en le dirección +x.
(Onda progresiva). Cuando el signo es positivo la propagación ocurre en la dirección x. (Onda
regresiva).
.4. Hay que tomar en cuenta las siguientes equivalencias.
)cos()2/(  sen
)()(  sensen 
)()2/cos(  sen
)cos()cos(  
Espectro electromagnético
La clasificación de las frecuencias en orden numérico se conoce como espectro EM
En la tabla que sigue se presenta el espectro de frecuencias. c = f
Denominación Banda Frecuencia, f Longitud de onda, 
Extremely Low frecuency
Very Low frecuency
Low frecuency
ELF
VLF
LF
< 3 kHz
3 – 30 kHz
30 - 300 kHz
> 100 km
100-10 km
10 – 1 km
Medium frecuency
High frecuency
Very High frecuency
MF
HF
VHF
0.3 – 3 MHz
3 – 30 MHz
30 – 300 MHz
1000 – 100 m
100 – 10 m
10 – 1 m
Ultra High frecuency
Super High frecuency
Extremely High frecuency
UHF
SHF
EHF
0.3 – 3 GHz
3 – 30 GHz
30 – 300 GHz
1000 – 100 mm
100 – 10 mm
10 – 1 mm
A frecuencias de microondas hay otra subdivisión
Banda Frecuencia Longitud de onda
L
S
C
X
1 -2 GHz
2 – 4 GHz
4 – 8 GHz
8 -12.4 GHz
300 – 150 mm
150 - 75 mm
75 – 37.5 mm
37.5 - 24.2 mm
Ku
K
Ka
.mm
12.4 – 18 GHz
18 – 26.5 GHz
26.5 – 40 GHz
40 – 300 GHz
24.2 – 16.6 mm
16.6 – 11.1 mm
11.1 – 7.5 mm
7.5 – 1 mm

9. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 9 de 35
A frecuencias superiores, correspondientes a Infrarrojo, visible, ultravioleta y rayos X
Denominación Banda Frecuencia Longitud de onda
Región submilimétrica
Infrarrojo
Visible
Ultravioleta
Rayos X
IR
V
UV
300 – 800 GHz
800 GHz – 400 THz
400 – 750 THz
750 – 25000 THz
1 – 0.4 mm
0.4 mm – 0.8 m
0.8 – 0.4 m
400 nm- 12 nm
120 – 0.6 Å (*)
(*) 1 Å = 1 amstrong = 1x10–10
m
1 kHz 1 MHz 1 GHz 1 THz Visible
ELF VLF LF MF HF VHF UHF SHF EHF IR IR
L S C X K
1000 km 1 km 1 m 1 mm 1 m
RADIO
Microondas
.1. Propagación de ondas EM en medios dieléctricos disipativos
Supongamos una onda que se propaga en la dirección x y que el campo eléctrico está orientado en
la dirección y.
ySyS aEE ˆ

Por la ecuación de onda
022
 ySyS EE 

10. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 10 de 35
0)(
)()()( 2
2
2
2
2
2
2









xE
z
xE
y
xE
x
xE
yS
ySySyS

Como no hay dependencia con respecto a y ni z. La ecuación se reduce a
0)(
)( 2
2
2
 xE
dx
xEd
yS
yS
 xx
yS eEeEE 
'00  
(12)
 j
 jjjjjj  2222
)()2())((
Comparando partes reales
 222
 (13)
222222
))((   jj
22222
  (14)
Sumando (13) + (14)
  













 112
2
222222222

















 11
2
22
2

















 11
2
2


 (15)
Operando (14)  (13)
  













 112
2
222222222

















 11
2
22
2

















 11
2
2


 (16)
Si consideramos solo la onda progresiva

11. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 11 de 35
Si consideramos la onda regresiva
Según se ve en las anteriores figuras, para que el campo sea finito en x =  se impone que E0´= 0.
E x t( ) exp  x( ) Emsin  t  x( )
E x t( ) exp x( ) Emsin  t  x( )
0.5 0 0.5 1 1.5 2
1.2
0.8
0.4
0.4
0.8
1.2
E x 0( )
E x 0.1 T( )
E x 0.2 T( )
x

t=0
t=0.1T
t=0.2T
Avance
0.5 0 0.5 1 1.5 2
1.2
0.8
0.4
0.4
0.8
1.2
E x 0( )
E x 0.1 T( )
E x 0.2 T( )
x

t=0t=0.1T
t=0.2T
Avance

12. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 12 de 35
Entonces    y
xtjx
y
tj
yS aeeEaexEtxE ˆReˆ)(Re),( )(
0
 


y
x
axteEtxE ˆ)cos(),( 0 
 

(17)
Usando (3): SS HjE

 
00
ˆˆˆ
11
0
x
zyx
SS
eE
zyx
aaa
jE
j
H













z
x
z
x
z
x
S aeHaeE
j
aeEjH ˆˆˆ)(
1
000










El cociente









j
j
jj
jj
jH
E






)(0
0
Se conoce como impedancia intrínseca del medio y se mide en ohmios.







 










j
j
j
1 4
2
1 












Argumento de  

















 





11
tan
2
1
tan
2
1
0 0   < 45



 tan)2tan(  : tangente de pérdidas
z
x
axte
E
txH ˆ)cos(),( 0




 

(18)
Note que la onda de campo magnético va en dirección perpendicular al campo eléctrico y ambos
en dirección perpendicular a la dirección de propagación. Por eso este tipo de onda se conoce
como onda transversal electromagnética (TEM, siglas en inglés).
Una atenuación de 1 neper (1 Np) corresponde a una reducción de e1
del valor original.
1 Np = 20log10e = 8.686 dB


u



2


13. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 13 de 35
La tangente de pérdidas tiene que ver con la relación entre las densidades de corriente de
conducción y de desplazamiento.
ScSSS EjE
j
jEjH







 


 1)(
Permitividad compleja '''1 





 j
jj
c 





 (19)
 '


 ''
Forma alternativa de la tangente de pérdidas







tan
'
''
 



S
S
Sd
S
Ej
E
J
J
(20)
.2. Propagación de ondas EM en medios dieléctricos sin pérdidas
En este caso se considera  << ,  = r0,  = r0, o bien 0


   0101
2
11
2
2
2





















   




 














 101
2
11
2
2
2
0

 







j
j
j
j
Comprobando argumento:   00tan
2
1 1
 

La tangente de pérdidas tan = 0.
yaxtEtxE ˆ)cos(),( 0  

(21)
zaxt
E
txH ˆ)cos(),( 0




(22)
SS EJ

 
SSd EjJ

  

14. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 14 de 35
En este caso puede verse que

E y

H están en fase temporal y no hay atenuación.


u



2

.3. Propagación de ondas EM en el vacío
En este caso  = 0,  = 0,  = 0
01
0
1
2
2
00



















c




 














 00
2
00
1
0
1
2
c: velocidad de la luz en el vacío
0
0
0
0
0
0





 


j
j
impedancia intrínseca del vacío = 376.73   120 
yaxtEtxE ˆ)cos(),( 0  

(23)
zaxt
E
txH ˆ)cos(),(
0
0




(24)
.4. Propagación de ondas EM buenos conductores
En este caso  >> ,  = 0,  = r0, o bien 1


22
1
2
11
2 0
0
0
0
2
0
0 








 



























22
1
2
11
2 0
0
0
0
2
0
0 








 



























Así 

 f
2

15. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 15 de 35





 2
2
u



2



 4590









j
j
j
En los buenos conductores

E se adelanta a

H en 45
y
x
axteEtxE ˆ)cos(),( 0 

 
(25)
z
x
axte
E
txH ˆ)45cos(),( 0
 





(26)
Según las ecuaciones anteriores, a medida que la onda

E (y

H ) se desplaza en un medio
conductor, su amplitud se atenúa por el factor x
e 
. La distancia x =  a la cual la amplitud
decrece en el factor e
= e1
se define como la profundidad pelicular.
1


f
11
 (27)
La profundidad pelicular es una medida del grado de penetración de una onda electromagnética
en el medio.
x
e 

x
ConductorAire
Propagación

16. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 16 de 35







jjfj 





 





 

1
2
12
2
1
45 2
(28)
Note que la profundidad pelicular depende de la frecuencia, es decir que a mayor frecuencia, la
profundidad pelicular es más pequeña. Es decir que en el interior de un conductor el campo se
tiende a anular. Este fenómeno se conoce como efecto pelicular o efecto piel. Así. En un
conductor con sección circular, el campo eléctrico (y por la tanto la corriente de conducción) se
concentra cerca de la superficie.
Para el cobre, la profundidad pelicular, en función de la frecuencia es
 = 5.8107
S/m  = 0 = 4107
H/m
fff
3
77
100855.66
)108.5)(104(
11 






 m
f
0855.66
 mm f en Hz
Frecuencia, f, (Hz) 10 60 100 500 10103
100106
10109
Prof. pelicular,  (mm) 20.90 8.53 6.61 2.96 0.66 6.61x103
0.66106
Las expresiones de los campos al interior del conductor midiendo x desde la superficie hacia
adentro queda
y
x
a
x
teEtxE ˆ)cos(),( 0




(29)
y
x
a
x
te
E
txH ˆ)45cos(),( 0







(30)
La relación entre las resistencias ca y cd es

a
2
a
l
S
l
Rcd


 a
l
S
l
R
efectiva
ca
2


17. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 17 de 35


22
2
a
a
a
R
R
cd
ca

Puesto que  << a, a altas frecuencias, esto indica que Rca >> Rcd.
En todos los casos de propagación de una onda TEM en cualquier medio, los campos son
mutuamente perpendiculares. Si Eaˆ y Haˆ son las direcciones de las campos eléctrico y
magnético, respectivamente, se cumple que kaˆ es la dirección de propagación.
HEk aaa ˆˆˆ  EkH aaa ˆˆˆ  HkE aaa ˆˆˆ 
Potencia y vector de Poynting
La rapidez con que se propaga la energía (potencia) puede calcularse con ayuda de las ecuaciones
de Maxwell.
t
H
t
B
E








 (31)
t
E
EH





 (32)
Tomando en cuenta la identidad )()()(

 baabba (33)
Haciendo

 Ea

 Hb )()()(

 HEEHHE
t
H
E






t
E
EH






Eaˆ
Haˆ
kaˆ
Propagación

18. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 18 de 35


























t
E
EE
t
H
HHE )(
t
E
EEE
t
H
HHE










)(


























EE
t
HH
t
EEHE
22



















222
22
HE
t
EHE

 [W/m3
] (34)
Integrando (35) en un volumen y aplicando teorema de la divergencia
 


Vol Sup
Sdcdvc)( (35)
 










VolVolSup
dvHE
t
dvESdHE 222
22
)(

 [W] (36)
 










VolVolSup
dvHE
t
dvESdHE 222
22
)(

 (37)
Potencia que sale
del volumen
Potencia óhmica
disipada en el
volumen
Rapidez de decrecimiento de la
energía almacenada en los campos

19. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 19 de 35
La ecuación (37) se conoce como Teorema de Poynting. Y la ecuación

 HEP (38)
Define el vector de Poynting y es una potencia que sale del volumen (en W/m2
)
y
x
axteEtxE ˆ)cos(),( 0 
 

(39)
z
x
axte
E
txH ˆ)cos(),( 0




 

(40)
x
x
axtxte
E
HE ˆ)cos()cos(2
2
0




 

P (41)
Usando la identidad
)cos(
2
1
)cos(
2
1
coscos BABABA  (42)
  x
x
axte
E
HEtx ˆ)22cos(cos
2
),( 2
2
0




 

P (43)
Al promediar en el tiempo
x
x
promedio ae
E
x ˆcos
2
)( 2
2
0






P (44)
Psalida
Energía eléctrica
almacenada
Energía magnética
almacenada
Pérdidas óhmicas
Pentrada

20. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 20 de 35
También se puede comprobar que








*
Re
2
1
)( SSpromedio HExP (W/m2
) (45)
La potencia promedio temporal en una sección es



Sup
promediopromedio SdxxP )()( P (W) (46)
Reflexión de ondas planas
Solo se considera por lo pronto la reflexión de ondas con incidencia normal
i: incidente
r: reflejada
t: transmitida
y
z
x
S
Potencia

E

H

P
Medio 1: 1, 1, 1 Medio 2: 2, 2, 2
Interfaz
iE

tE

rE

rH

iH

ikaˆ
rkaˆ
tkaˆ
tH

x
y
z

21. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 21 de 35
En la figura se presenta una incidente ( iE

, iH

) viajando en dirección xaˆ en el medio 1.
En forma fasorial
y
x
iiS aeEE ˆ1
0


 (47)
z
xi
z
x
iiS ae
E
aeHH ˆˆ 11
1
0
0




 (48)
La onda reflejada ( rE

, rH

) viajando en la dirección xaˆ en el medio 1.
En forma fasorial
y
x
rrS aeEE ˆ1
0


 (49)
z
xr
z
x
rrS ae
E
aeHH ˆ)ˆ( 11
1
0
0




 (50)
La onda transmitida ( tE

, tH

) viajando en la dirección xaˆ en el medio 2.
En forma fasorial
y
x
ttS aeEE ˆ2
0


 (51)
z
xt
z
x
ttS ae
E
aeHH ˆˆ 22
2
0
0




 (52)
En el medio 1 la onda resultante es
ri EEE

1 (53)
ri HHH

1 (54)
En el medio 2
tEE

2 (55)
tHH

2 (56)
En la interfaz x = 0, las condiciones de frontera requieren que las componentes tangenciales de
los campos sean continuas. Como las ondas consideradas son transversales, los campos son
tangenciales a la interfaz. Esto es:
),0(),0(),0( tEtEtE tri

  000 tri EEE  (57)

22. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 22 de 35
),0(),0(),0( tHtHtH tri

  000 tri HHH  (58)
Pero
1
0
0

i
i
E
H 
1
0
0

r
r
E
H 
2
0
0

t
t
E
H 
Sustituyendo estas relaciones en (58)
2
0
1
0
1
0

tri EEE

1
0
1
0
2
0

irt EEE

1
0
12
0201

 irt EEE


020201 irt EEE   (60)
De (57) 000 irt EEE  (61)
Simultaneando (60) y (61)
(60)  (61)x1: 020201 irt EEE  
010101 irt EEE  
012021 )()( ir EE  
0
21
12
0 ir EE




 (62)
(60) +(61)x2: 020201 irt EEE  
020202 irt EEE  
02021 2)( it EE  
0
21
2
0
2
it EE



 (63)
Se define el coeficiente de reflexión, 
21
12
0
0





i
r
E
E
(64)
Se puede comprobar que 
0
0
i
r
H
H
(65)
Y el coeficiente de transmisión, 
21
2
0
0 2





i
t
E
E
(66)

23. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 23 de 35
Observe que:
.1. 1+  = 
.2. Tanto  como  son adimensionales y pueden ser complejos
.3. 0    1
Casos especiales de interés
.A. Medio 1 es dieléctrico sin pérdidas (1 = 0)
Medio 2 es conductor perfecto (2  , 2 = 0)
1
0
1
1
0
0





i
r
E
E
0
)0(2
21





Lo anterior indica que la onda se refleja en su totalidad. Es de esperarse ya que los campos en un
conductor se anulan rápidamente de modo que en este caso no hay onda transmitida ( 02 

E ).
Para las ondas EM un conductor actúa como un espejo lo es para la luz visible.
La onda reflejada se combina con la incidente para formar como onda total una onda estacionaria
con un nodo, ( 0

E ) en la interfaz. Una onda de esta clase no viaja. De donde se desprende el
nombre.
  y
x
r
x
irSiSS aeEeEEEE ˆ11
001

 

1111  jj  00 ir EE 
  y
xjxj
iS aeeEE ˆ11
01

 

    y
xtjxtj
i
tj
S
aeeEeEE ˆReRe 11 ()(
011
 


  yi axtxtEE ˆ)cos()cos( 1101  

  yi axtsensenxtxtsensenxtEE ˆcoscoscoscos 111101  

yi axsentsenEE ˆ)()(2 101 

(67)
Para campo magnético 00 ir HH 
  z
xjxj
iS aeeHH ˆ11
01

 


24. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 24 de 35
  zi axtxtHH ˆ)cos()cos( 1101  

  zi axtsensenxtxtsensenxtHH ˆcoscoscoscos 111101  

z
i
axt
E
H ˆ)cos()cos(
2
1
1
0
1 



(68)
2 1 0 1
500
500E x 0( )
E x
T
8







E x
T
4







E x
5T
8







x
2 1 0 1
4
2
2
4
H x 0( )
H x
T
8







H x
T
4







H x
5T
8







x

25. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 25 de 35
.B. Ambos medios dieléctricos cualesquiera con medio 1 carente de pérdidas. Medio 2
también sin pérdidas. Lo anterior implica que  es real. Supongamos que  > 0.
1111  jj  Er0 = Ei0 222  j
  y
xjxj
irSiSS aeeEEEE ˆ11
01

 

    y
xtjxtj
i
tj
S
aeeEeEE ˆReRe 11 ()(
011
 


  yi axtxtEE ˆ)cos()cos( 1101  

  yi axtsensenxtxtsensenxtEE ˆcoscoscoscos 111101  

  yi axtsensenxtEE ˆ)1(coscos)1( 1101  

(69)
  z
xjxj
irSiSS aeeHHHH ˆ11
01

 

  z
xtjxtj
i
tj
SS aeeHeHH ˆRe 11 ()(
011
 






  zi axtxtHH ˆ)cos()cos( 1101  

  z
i
axtsensenxtxtsensenxt
E
H ˆcoscoscoscos 1111
1
0
1 



  z
i
axtsensenxt
E
H ˆ)1(coscos)1( 11
1
0
1 



(70)
    y
xj
iy
xj
ttSS aeEaeEEE ˆˆ 22
002

 


      y
xtj
iy
xtj
t
tj
tS aeEaeEeEE ˆˆRe 22 (
0
(
02

 


yi axtEE ˆ)cos( 202  

(71)
z
i
axt
E
H ˆ)cos( 2
2
0
2 




(72)

26. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 26 de 35
A la ecuación (69) en la práctica se le denomina onda estacionaria y a su envolvente en rojo se le
conoce como patrón de onda estacionaria. Se puede demostrar que la onda (69) es parcialmente
estacionaria y parcialmente viajera. Para un coeficiente de reflexión j
e , se puede
demostrar que
2 1 0 1
2
1
1
2
H x 0( )
H x
T
8







H x
T
4







H x
3T
8







G1 x( )
G2 x( )
x
Campo magnético
2 1 0 1
2
1
1
2
E x 0( )
E x
T
8







E x
T
4







E x
3T
8







F1 x( )
F2 x( )
x
Campo Eléctrico

27. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 27 de 35
    
iaestacionarOnda
yi
viajeraOnda
yi atxEaxtEtxE ˆ)2/cos()2/cos(2ˆ)cos()1(),( 10101  

(73)
Determinación de los máximos y mínimos del patrón
xjj
i
xj
i
xj
i
xj
i
xj
r
xj
i eeEeEeEeEeEeExE 
 
000000)( (74)
xj
i eE 
0 Fasor que gira en sentido horario al aumentar x.
xjj
i eeE 
0 Fasor que gira en sentido antihorario al aumentar x.
Emax se obtiene cuando los fasores de (74) están en fase, esto es,
xmx   con m = 0, 2, 4, . . .





4
2
2
2 kk
xm



 k = 0, 1, 2, . . . (75)
Emin se obtiene cuando los fasores de (74) están con diferencia de fase 180 =  radianes, esto es,
xmx   con m = 1, 3, 5, . . .





4
)12(
2




km
xm k = 0, 1, 2, . . . (76)
Por la ecuación (65), las ecuación para H en el medio 1 es
xj
i eE 
0
)(
0
 
 xj
i eE
)(1 xE Emax
Emin
)(
0
 
 xj
i eE
xj
i eE 
0
)(
0
 
 xj
i eE
xj
i eE 
0

28. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 28 de 35
xjj
i
xj
i
xj
i
xj
i
xj
r
xj
i eeHeHeHeHeHeHxH 
 
000000)( (77)
Hmax se obtiene cuando los fasores de (77) están con defase de , 3, 5, . . .,
xmx   con m = 1, 3, 5, . . .
Hmin se obtiene cuando los fasores de (77) están con defase de 0, 2, 4, . . .
xmx   con m = 0, 2, 4, . . .
Puede verse que los máximos de H corresponden a los mínimos de E y que los mínimos de H
corresponden a los máximos de E. (Ver gráficas de página 26)
En resumen:
Hmin ocurre para Emax y viceversa.
La onda transmitida 2 es puramente viajera
A la relación
min,1
max,1
min,1
max,1
H
H
E
E
s  se le conoce como razón de onda estacionaria, también conocida
como VSWR (Voltage Standing Wave Ratio), razón de voltaje de onda estacionaria. También se
conoce como ROET, ROE o SWR.



1
1
min
max
E
E
s (78)
1
1



s
s
(79)
Como 0    1, 1  s < 
La razón de onda estacionaria es adimensional y se puede expresar en decibelios
)log(20)( ss dB  (80)

29. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 29 de 35
Reflexión de ondas sobre múltiples interfases
Impedancia de entrada
Consideremos la reflexión en una interfaz, como se vio antes
    y
x
i
x
iy
x
r
x
irSiSS aeEeEaeEeEEEE ˆˆ 1111
00001

 
En la región 1 en donde se presenta onda incidente y reflejada, las amplitudes de E y de H
cambian con la posición por lo que se tiene una impedancia de onda w. que es función de la
posición. Supongamos que los dieléctricos son sin pérdidas.
Incidente
Reflejada
Transmitida
x
y
x = 0
Medio 2Medio 1
|E1(x)|
y
x
|H1(x)|
Interfaz
1
2
w=ent

30. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 30 de 35



















 





xjxj
xjxj
xjxj
xjxj
i
i
xj
i
xj
i
xj
i
xj
i
w
ee
ee
ee
ee
H
E
eHeH
eEeE
xH
xE
11
11
11
11
11
11
1
0
0
00
00
)(
)(






 (81)
Recordemos que:
12
12




 sustituyamos en la ecuación (81)
















 



)()(
)()(
)()(
)()(
1111
1111
11
11
21
12
1
1212
1212
1 xjxjxjxj
xjxjxjxj
xjxj
xjxj
w
eeee
eeee
ee
ee



























xjx
xjx
xjx
xjx
w
1211
1112
1
1211
1112
1
sincos
sincos
sin2cos2
sin2cos2





 (82)
A continuación se presenta la gráfica del valor absoluto de la impedancia de onda para el
ejercicio13.5 Hayt (7ª) que se presentó en el folleto de ejercicios resueltos.
73.3761  
2407.1779560.6902 j 
 20
3
1
Ahora consideremos tres medios 1, 2 y 3
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
n x( )
x

31. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 31 de 35
En la interfaz 2-3
23
23
23




 (83)
En el medio 2 la impedancia de onda es
xjx
xjx
w
2322
2223
2
sincos
sincos





 (84)
Para poder evaluar la reflexión en la interfaz 1-2 es necesario el valor de la impedancia de onda
vista desde dicha la interfaz, o sea la impedancia de onda evaluada en x = d.
djd
djd
djd
djd
ent
2322
2223
2
2322
2223
2
sincos
sincos
)sin()cos(
)sin()cos(
















 (85)
Ahora, el coeficiente de reflexión en la interfaz 1-2 es
1
1
12





ent
ent
(86)
Con esta ecuación se puede manipular la zona intermedia 2 para obtener algunos resultados
deseados
.A. Que no haya reflexión hacia el medio 1, 12 = 0,
0
1
1
12 





ent
ent
1 ent
Incidente
Reflejada
Transmitida
x
y
Interfaz 2-3
Medio 2Medio 1
Reflejada
Medio 3
Transmitida
Interfaz 1-2
d
Incidente

32. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 32 de 35
1
2322
2223
2
sincos
sincos



 



djd
djd
ent Con 2d = /2
1
32
23
2
)2/sin()2/cos(
)2/sin()2/cos(



 



j
j
ent
1
3
2
2
0
0



 


j
j
1
3
2
2



 312   (87)
Y el espesor correspondiente es
2
2

 d
2
2
2



d
4
2
d
4
)12( 2
 md m = 1, 2, 3, . . . (88)
Al cumplir los requisitos dados
por (87) y (88) se asegura que no
haya reflexión hacia el medio 1.
Se conoce como acoplamiento
de un cuarto de onda.
Aplicación:
Vidrio antirreflejante.
En este caso, d es un número
impar de cuartos de longitud de
onda correspondientes al medio
2
.B. Cuando el medio 3 es el mismo dieléctrico del medio 1
0
1
1
12 





ent
ent
1 ent
djd
djd
ent
2122
2221
2
sincos
sincos





 Con 2d = 
Incidente Onda
estacionaria
x
y
Medio 2Medio 1 Medio 3
Transmitida
d

33. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 33 de 35
)sin()cos(
)sin()cos(
12
21
2



j
j
ent


 1
2
1
2
0)cos(
0)cos(



 


ent
Y el espesor correspondiente es  d2 


d
2
2
2
2
d
2
2
md  m = 1, 2, 3, . . . (89)
Con la condición (9) se puede
transmitir en forma completa a
través de un diélectrico. Se
conoce como acoplamiento de
media onda. Aplicación: cubierta
protectora de antenas en los
fuselajes de los aviones.
En este caso, d es un número
entero de semilongitudes de onda
correspondientes al medio 2.
Incidente Onda
estacionaria
x
y
Medio 2Medio 1 Medio 3
Transmitida
d
Aire
Aire

34. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 34 de 35
Apéndice. Decibelios y Nepers
Consideremos un sistema o un medio en el que hay una potencia de entrada P1 y una potencia de
salida P2.
Neper (e: base de los logaritmos naturales) Bel (10: base de los logaritmos comunes)
3
1
2
e
A
A
 , razón = 3 Np A2= 20.0855A1
3
1
2
10
A
A
, razón = 3 bel, A2 = 1000A1
2
1
2
e
A
A
 , razón = 2 Np A2= 7.3891A1
2
1
2
10
A
A
, razón = 2 bel, A2 = 100A1
1
1
2
e
A
A
 , razón = 1 Np A2= 2.7183A1
1
1
2
10
A
A
, razón = 1 bel, A2 = 10A1
0
1
2
e
A
A
 , razón = 0 Np A2= A1
0
1
2
10
A
A
, razón = 0 bel, A2 = A1
1
1
2 
 e
A
A
, razón = 1 Np A2= 0.3679A1
1
1
2
10

A
A
, razón = 1 bel, A2 = 0.1A1
Atenuación : 1 Np Atenuación : 1 bel
2
1
2 
 e
A
A
, razón = 2 Np A2= 0.1353A1
2
1
2
10

A
A
, razón = 2 bel, A2 = 0.01A1
Atenuación: 2 Np Atenuación: 2 bel
En general, En general,
Razón en Np= 





1
2
ln
A
A
Razón en bel= 





1
2
log
A
A
P2P1
V1
V1
E1
E2

35. Electromagnetismo II J. M. Hernández Página 35 de 35
En términos de potencia Razón en bel= 





1
2
log
P
P
En términos de voltajes o campo eléctrico Razón en bel= 













1
2
2
1
2
2
log2log
E
E
E
E
En decibelios, dB Razón en dB=10 











1
2
1
2
log20log
E
E
P
P
Para pasar de un sistema al otro. Si e x
es la razón en Neper ( en Np/m)
Razón en dB =   xexe x

6859.8)log(20log20 
)/()/( 6859.8 mNpmdB   (90)