1. 
 Instituto Tecnológico de Los Mochis
 Salomón Angulo Aharon Alonso
 Electromecánica Gpo. A13
 Calculo diferencial
 Prof. Faustino Barreras
 Portafolio unidad 3 “LIMITES”
Los Mochis a 3 de noviembre de 2012

2. LIMITES
 En matemática, el límite es un concepto que describe la
tendencia de una sucesión o una función, a medida que los
parámetros de esa sucesión o función se acercan a
determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real
y matemático) este concepto se utiliza para definir los
conceptos fundamentales de convergencia, continuidad,
derivación, integración, entre otros.
 El concepto se puede generalizar a otros espacios
topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la
misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la
matemática, como puede ser la teoría de categorías.

3. LÍMITE DE UNA SUCECION
 Idea intuitiva del límite de una sucesión
En la sucesión an = 1/n, observamos que los términos se van acercando a
cero.
1,½, 1/3,¼,1/5,……….,1/1000000, 1/10000000,….
Consideremos que 0 es el límite de la sucesión porque:
1 Los términos se aproximan a cero tanto como se quiera a medida que se
avanza en la sucesión.
2La distancia a cero puede ser tan pequeña como queramos .
d(1, 0) = 1
d(1/10, 0) = 0.1
d(1/100, 0) = 0.01
d(1/1000, 0) = 0.001
Vemos que el límite es 0 , pero no hay ningún valor de la sucesión que
coincida con el límite.

4. PROPIEDADES DE LIMITES (TEOREMAS)
 Los límites, como otros entes 5.- lim f(x) * lim g(x) = lim f(x) * lim g(x)
x a x a x a x a
matemáticos, cumplen las
siguientes propiedades 6.- lim f(x) lim g(x) = lim f(x) lim g(x)
generales, que son usadas x a x a x a x a
muchas veces para simplificar el
ⁿ lim f(x) ⁿ
cálculo de los mismos. 7.- lim f(x) = x
1 .- lim K = K
x a
2.- lim xⁿ = aⁿ
x a
3.- lim k f(x)= k * lim f(x)
x a
4.- lim f(x) + lim g(x) =limf(x) ± limg(x)
x a x a

5. LIMITE DE UNA FUNCIÓN CON VARIABLE REAL
 Si la función F tiene límite L en C podemos decir de manera
informal que la función F tiende hacia el límite L cerca de C si se
puede hacer que F(x) esté tan cerca como queramos
de L haciendo que X esté suficientemente cerca
de C siendo X distinto de C.
 Los conceptos cerca y suficientemente cerca son
matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una
definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces
se dice:
 El límite de una función f( x), cuando x tiende a c es L si y sólo
si para todo existe un tal que para todo número real x en el
dominio de la función .

7. LIMITES LATERALES
l
notemos que cuando tiende hacia "a" por la
derecha de "a" la función tiende a 2, pero
cuando tiende hacia "a" por la izquierda de "a",
la función tiende hacia 1.
Escribimos x a + para indicar que x tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores
mayores que "a". Similarmente x a- indica que x tiende hacia "a" por la izquierda, o sea,
tomando valores menores que "a". Utilizando ahora la notación de límites, escribimos:
lim f(x) =2 y lim f(x) = 1
x a+ x. a-
Estos límites reciben el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por
la izquierda es 1

8. DEFINICIÓN DE LIMITES POR IZQUIERDA Y DERECHA
 D e f i n i c ió n d e l í m i te p o r l a i z q u i e r d a
Se dice que lim f(x) = L
 Se dice que lim f(x) = R si y solo si para x a+
c a d a ɛ > 0 ex i s te δ > 0 t a l q u e s i 0 < x - a < s i y s o l o s i p a r a c a d a ɛ > 0 ex i s te δ > 0 t a l
δ e n to n c e s | f ( x ) - L | < ɛ L e s e l l í m i te q u e s i 0 < x – a < δ e n to n c e s | f ( x ) - L | < ɛ
por la izquierda de f(x) en “a". L e s e l l í m i te p o r l a d e r e c h a d e f ( x ) e n " a " .
 N o te q u e l a ex p r e s i ó n e s m ayo r q u e
cero, pues por lo que .

9. FUNCIÓN ASÍNTOTA
 Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de
tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito,
mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada
tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
 Estas se clasifican en ver ticales, horizontales y oblicuas.
 Asíntotas ver ticales (paralelas al eje OY) Si existe un número “a” tal,
que : lim f(x) = ∞
x a
 La recta “x = a” es la asíntota ver tical .

10.  Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX) Si existe el límite:
f(x) = b
x ∞
La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

11.  Asíntotas oblicuas (inclinadas) Si existen los límites:
 Lim f(x) = m ; lim f (x) –m * x = n
x ∞x x ∞
La recta “y = mx + n” es la asíntota oblicua.

12. TIPOS DE DISCONTINUIDADES
 Hay tres principales tipos de discontinuidades las cuales son:
discontinuidad evitable, de salto infinito y salto finito.
Discontinuidades evitables.
Es un tipo de discontinuidad en la que existe el límite y éste es finito,
pero el valor de la función en el punto o no existe o es diferente del valor
del límite. Se llama evitable porque podemos "hacerla continua" dándole
a la función en el punto el valor del límite. (En realidad se construye una
nueva función que coincide con la anterior en todos los puntos salvo en el
punto de discontinuidad. En ese punto, a la nueva función se le da el
valor del límite).

13.  Discontinuidad de salto finito
La diferencia entre los números laterales es un numero real.
|lim f(x) – lim f (x)| = k k ɛR
x a- x a+
Discontinuidad de salto infinito
La diferencia entre los numeros laterales es infinito. La funcion
no existe en el punto x=a y da lugar a las asintotas verticales.
|lim f(x) – lim f (x)| = ∞
x a- x a+ jijoju

14. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN
 Condiciones que debe cumplir una función para que sea continua en
un punto. Si alguna condición no se cumple la función presentara un
discontinuidad en ese punto.
 1.- existe f(a). El punto debe pertenecer a la función
 2.- existe lim f(x). En funciones a trozos lim f(x)=lim f(x)=lim f(a)
x a x a- x a+
 3.- f(a) = lim f(x)
 Si no se cumple alguna de ellas, es discontinua en ese punto.

15. EJEMPLO