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2. -,
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4. I
a
LycéesTahar Sfar et @ebùif ùe g-*.F'*n flo I Classe: 4à* Sc exp
Ibn Sirn MaMia
a9 /12 / 2009 Profs : Mme Turki etMrs Baccar, Hamm etMeddeb
Ex.qcice nol : (3pts)
justification.
Pour clmcunedespropositionsxtivantes, rëporùe par woi oufaux sans
(Ine rfrTnnseexncterqporte 0,51nint, une ré7nnseinexacteenlè've 0,257nint, l'abserrce réponse est
de
comfiée 0 point. Si le total est négstif, Ia tnte sera rwwrÉe à zéro.
1) Soit f une foqctiondeux fois dérivablezur [0,+æ[.
La courbereprésentative safonction dérivéef'
de
dansun repère(O,i,i) estdonnee le graphique
par
ci-contre.
Soit4lacouôereprésentative de f .
a/ f estdecroissante [1, +æ[.
zur
b/ I-epoint d'abscisse estun point d'inflexion de€.
I
c| ? aunç demi-tangeûte horizontaleau point d'abscisse0.
_? 1
2) Soit g une fonctiondérivablezur IR* telle que,pourtout x E IR+, i = g'(r) <;
On a alors,pour tout x E lR*
.-2 1
al
Trsg ( x) s 3x .
bl lg(x)-s(o)l
=I,
c/ Si gt(O) : 0, alors la couôe représentative g est compriseentreles droites d'fuuations :
de
-2 1
Y -Tx d Y :î' -
Exæcice noZ : (5,5.pts)
Le plan complexe muni d'un repere
est direct (O,û,i). unitégraphique
orthonormé :2cm.
1) Onrappelleque,poûrtousnombrescomplexesdetb'.as = tq*b)(az +ab +b2).
-bs
Résoudre I'ensemble nombres
darns des complexes l'équation: 23 = 8.
2) On désignepN A, B â C les points d'afiixes respec{ivÊs et c définiespar :
a,b
a =2 , b =-1 +6f3 etc= ;1- iJ3.
al Détennirrerla forme exponentielle chacundesnombrescomplexesù et c.
dc
b/ Plaærlespoints,4 Ea C dansle repère(O,û,ù).
,
3) SoitB'le point d'affixeb' = 2 + 1Æ+ 3i .
o/ Montrer quele triangle ABB'estrectangle isocèl enA.
et e
b/ Placerle point B' dansIe repère{O,û,û).
per
4) SoitMle milieu de IBB'), on désigne m l'affixe deM.
a/ Montrer m :ry(r
que + irfrJ.
b/ En deduirequeles pointsO, C *M sontalignés.

5. ElSsqlcg .n'4 : ft,s Fs)
Soit/ la fonction définiesur [-1 , 1] par : f (x) - (1 - ù:..Gî' '
l'l a/ Etudier la derivabiliæde ;r à gaucheen 1 et à droite en (-1)'
b/ lnterpréltergeometriquement résultats.
les
et
2) e/ Montrer quef estdérivable J-l , 1[ et calcul f '(x).
sur
b/ F-tudier signede f ' (x) et dresser tableaude variationsde f .
le le
3) Montrer que l'équationf(r) = x odrnetdansJ0,1[ unesolutionuniquea.
Exqclce no4 : (7 Fs)
Qn considère zuites(I çtY défrnies IN pat :
les sur
u'.+Yn
Uo= 2 et pourtouta€ I/V U^-h et Un+r:
r) Calculer ,U2 etVz,
:Va,U1,V1
{ l< Un <
2) Montrer par récdrrenceque,pour tout n €. IN , on a : 1 s Y , ,<
[1
",
(un-vn)'
3) Montrer que, pourtout n € IN, on a : Un+t -Vn+t = z(un+v,.) t1] (On pourraremarquer
q u e : U r r . V n =2 ).
4) Montrer par réorrrence,quepour tout n € ItV, on a : Un ) Vn
5) Mcntrer cpe [/ est deeroissante que V est croissante.
et
6) Montrer que,pour tout n € I/V, on a : Un -- Vn1 l.
En déduireque (Ur, -Vn)' = IIn -Yn. tzl
7) Enutilisant les relations[1] et [2], montrer que,pour tout n € /JV,on a :
(Jn+r
-Vn+r lltU"-V).
En deduireque,pourtout n € //V,on a : Un - Vn= (;)".
8) Montrer que les deuxsuitesIl etV sont convergentes la mêmelimite I qu'-oncalculera.
vers
&o#e ciâûæ

6. n
_-
a
fuebgit ùegpntf;a^ n" I Classe.:4"-" Sc exp
Date : 08/12 / 2010 Prafs : Mme Turki et Mrs Hamzaet Meddeb
ExæcÎce nol : (5pts)
Sur la figurecidessousest tracéela courbereprésentative d'unefonction
Cy dérivable
sur
par dérivée f .
[$,,+f [. On désigne /' la fonction de
On saitque :
- L'axedes abscisses uneasymptote Ç au voisinage +æ.
est à de
- La courbeÇ admetunetangente parallèle I'axedes abscisses.au
à pointA.
- La tangente Csau pointB passeparA.
à
1) A partirdu graphique des renseignements
et fournis:
a/ Dêterminer (x), f'(l) et f'(2)
,liml
b/ Déterminer signede f '(x) suivantles valeurs x.
le de
2) Soitg la fonctiohdéfiniesur l0 , +*[ par: g(x) = + .
f(x)'
a/ Calculer lim e(x ) , 1im g(x , g'(1")et g'(2).
:
les de g
b/ Etudier variations la fonction sur 10,+co[.
3) Soit h la fonctiondéfinie 10,+æ[ par: h(x) = / x /lj
sur " f
a/ Calculer: nt'l
,tT. et,l j g/t(x )
b/ Çalculer /,'l-l-
t al
l.
-***_-l

7. ExercÎçe, no2 : (7Pæ)
complexe que lal=Z '
Soit a un nombre tel
complexes
dansI'ensemble de nombres
c :
l'équation
1) Résoudre
z2 +2iz -l-uz =0 '
2| Leplancomplexe rapporté un repèreorthonormé
est à direct(O,i,i) '
.s soientA, M etN lespoints
d'affixes respectives -i - a et -i + d
2i,
I'affixe point/ milieu lUt't I et calculer distance
du ae la MN'
o/Déterminer
déterminera centreet
le
b/ ÊndéduirequeM et N appartiennent un cercle'€ donton
à
le raYon.
complexe, montrer suivant
l'équivalence :
3) a/soit ,t un nombre
z.t -z u : k (zN -z u) si et seulement (zk -ta:li '
si
b/ En déduire que :
( M, N et,4 sontalignés si et seulement ( a est un imaginaire
) si )'
Déterminerdansceæslesvaleurspossib|esdea'
4) Danscettequestion, suppose
on que les pointsM, N etl ne sontpas alignés'
AMN'
que o est le centrede gravitédu triangle
a/ Montrer
AMNsoit isocèle sommet
bl Dêtermrner valeurs a pourque le triangle
les de de
princiPall'
Exæci€e n"3 : (8Pts)
L
1) a/Vérifierque,pourtoutx ) 0, on a " l7q - x --
{11+t+x
b/ Endéduire pourtoutx > 0, 'lm
que, - x ) 0'
=;(.F' .l -t
2) on considère fonction définie [0, +*[ par. f(r )
ta f sur )
a/ Calculer (x
,lim/ )
-f
b/ Montrer / estdérivable [0, +æ[et quef '(x) = J x!*)t '
que sur
z+ l
c/ Etablir tableau variation f et déterminer( [0, +æ;;.
le de de f
3) On pose: g{x) = f (x) - x, x E [0, +oo['
c/ Etudier ses de variation g'
le de
unique et que
a
b/ Montrer |'équationg(x): 0, admetdans[0 , +æ1uneso|ution
que :
0,3< a 1O,4.
.rt
tat
!* ' -f - -r' -

8. =o
4) Soit la suiteU définiesur I/Vpar : { t o
lU,u =f (U,), n e N
L
al Montrerpar récurrence
que,pour tout n € I/V, 0 S Iln
-2
b/ Calculer et vérifierqueUr> a .
U,
que Uz 1d. Quepeut-on
c/ Sanscalculer , montrer
U, déduire la monotonie U ?
de de
pourtoutr 20, lf'{el =; .
5) al Montrerque,
En déduire, utilisant
en I'inégalité accroissements que :
des finis,
I u,*,-alsll u,-al, Pour n € //v.
tout
'b/ Endéduire
que: lu,-ol=r*l', pourtoutn
€ /N.
z)
c/ Montrer alors que la suite U est convergenteet déterminer sa limite.
&oræte
c/tartæ

9. Série d'exercices
( 4 tu Sc æp
)
FortcrTofis
*sctpaoqa&
1) So i t / t a f o n c t i o n d é f i n ie su r ]l,**[
('r)' *+P. p a r :f( x) = t
" ,*& ,
:ii;::::;;::ï::ïiJ:':î::::l **
b/ Montrer
précisera.
que/ réarise une biject,* j" r
z--ù'v. rrsl1 , +æ1sur un ,_.
J ' +æl .._ *'*,,,#, .
%
.inleweruq ri'r$$
on désisn par
e f-t h fonctionréciproque
de f .
c/M ontrergue:f -r(x )=r * #
Ç*,; i: :"'
p o u r t o ux F I , ,
t
{x --"U:, ,rr"ffi,
, . , , , , ,,., , " ' , , '
2) So i tp (r)= I - ;,
''/; r. I,f
r -r -.6 - , x eJt, .
--_r , +æ[.
'
-,{|""ir*,'
a/ Etudier fes variations "'i
de g . $Fii:t+;.,.
b/ illontrerqu'il existe
un
c/ itlontrer (a) =]*.:'1'""= t".ï:"-,fls Jl ' 2[ tefquew@)= s.
guef
Exgclce no2 :
Soit/ fa :tl
o' o"':'f(x):-+
o=f I -t a n x '
r_ +L
(t_tunr)t
de variation
de f .
f-, la fonctionréciproque
de f .
2) a/ Catcufer n(r),
.f f "(&) j*t- ' ( t) '
b/, ^, --. que.f-t
L Montrer t v 3 - l / "n
estjer,u"J,"rr,
/; cafcr ' r ler ( f- .) ' ( t) .
c// M o n t r a r^,,^:. r,
e Àliontrer que Vr e-/, ( _,(x)=
f -rËr ''
__]-'
Fon.rionr@
Page1 sur 2

10. Lycée TahæSfarMahdia Prof : MeddebTarak
Exsclce no3 :
définie [0,+æ[ par f(r)=l+]#F
A- Soit/ lafonction sur :
de
1) Etudier variations f.
les
que
2 a/ Montrer l'équation :/(r) : r, admet unique
dans[0 , +æ[ unesolution a.
3)
On désigne f -'la fonction
par réciproque f .
de
que
b/ Montrer : f '(x)=# pour x e J.
tout
de
c/ Etablirle tableaude variations /-1.
3)
4',)
zxJxt'
@)***ry
Fonctionsréciproques[4 a-" Scexp ) Page2 sur 2

11. F
_
LycéesTaharSfar el
Ibn Sina Mahdia
Eeboir ùennt$Ie no2 Classe ,l*" Scexp
:
Date : 05/02 / 2010 Profs : Mæ Turki et MT Baccar. Hamzs etMeddeb
Exscbe n"I : {6fi}
(*_F*,
u;-
| x s i r € lo , 1 [
définie 10,+*[ par : /(r) = {
Soitf la fonction sur
t
L1F-r sf r € [1,+oo1
par dansun repèreorthonorm (o,i,î ).
On désigne € sa courbereprésentative ê
1) a/ Vérifierque f est continueen 1.
la de en graphiquement
b/ Etudier dérivabilité f à droiteet à gauclre 1. Interpréter les
résultatsobtenus.
2) a/ Etudier variations /.
les de
b/ Montrer que la droiteD:y - r est une asymptole
à€
c/ Préciser position E parrapport D sur [1, **[.
la de à
dl Traw D et€.
g a/ Montrerque,f est une bijection 10,+-[ surIR.
de
b/ An notef-l la fonctionréciproque T.
de
Montrerquet-1 est dérivable 0.
en
t
c/ Ondésignepar € la courbereprésentative f-l dansle repère{o,î,1).
de
Tracer
€'.
quê, toutre l-æ,01,f-'(x) =
d/ Montrer pour
;;fuo
Exæcîce no2 : (4Fs)
Soitf la fonctifi définie [0,1] par : f (x) -]rorl
sur r,
1) Dresser tableaude variations f.
le de
2) al Montrerque/ est une biiection [0,1] .ut
de [0, ] l.
bl On désignepart-l la fonctionréciproque f.
de
quef-1 est dérivable
Montrer sur [0, ] [.
i) " (f-')'(ï)
c/catcuterf-'(
d/ Montrer pour r e [0, â [, t f-')'(x)=
que, tout
#

12. .h._
Exqclce no3 : (4 pts)
direct(O,ï,,y',Ê
L'espaceest rapportéà un repèreorthonormé ).
On considère points
les â(3,0,0) , B(0,1,1), C(-1 ,L,2) et D(3,L,I).
1'l al Calculer composantes vecteurû.
les du =TE nfr.
b/ Dêduire I'airedu triangle
ABC.
c/ Montrerque les pointsA, B, C et D sont non coplanaires.
2 o/ On noteV le volumedu tétraèdre âBCD.Montrerque : 7 = â .
- orthogonal D sur le plan(CBC).Calculer
b/ Soit H le projeté de DH.
3) a/ Calculer distance pointD à la droite(âC).
la du
b/ On note H' le projetéorthogonal D sur la droite(âC), montrerque le triangleDHH'
de
est rectangle en déduireHH'.
et
Exæclce no4 : (6F9
direct(O,i,;, Ë ).
L'espaceest rapportéà un repèreorthonormé
On considère points
les A(-3,0 ,0) , B(0 , 3 , 0) et C(-3 ,3 , -3).
' 1) o/ Montrer que les pointsl4,B et C déterminent planP.
un
b/ Montrerqu'uneéquationcartésienne P est : r * y - z * 3 = O.
de
c/ Soit le pointH(-2,2,-L), montrer que H est le centredu cercle€csrennscrit au
triangle ABC.
2) Soit l'ensemble d'équation'. + yz + zz - 2x + 2y * Bz- 15 = 0.
5 x2
c/ Montrerque S est une sphèredont-onpréciserale centreI er la rayonR.
b/ Vênfiæque,4,I et C appartiennent S. à
c/ Vêrifierque (IH) est I'axede E.
d/ Dêterminer l'intersection S et P.
de
3) Soitle point D(L,0,0).
al Vêrlfierque D est à I'intérieur S, et que les pointsA, B, C et D sont non coplanaires.
de
b/ SoitQ le Pland'équation * 1 = 0,
:r
Montrer que 0 est le plan médiateurdu segment[^4D1.
c/ Déterminer centreO et le rayonR ' de la sphèreS' circonscrite tétraèdreABCD.
le au
Sootaeûaræz

13. Lycées Tahar Sfar
Mahdia
tr.vçuu. - +em e
l d
^Ë,,^_^. , >Ce t p
D qte:12 /02 /2011 Profs : M* Turki et M,' Hamza et Meddeb
Exqcice not : (Zpts)
| . So i t 9 | a f o n c t i o n d é fi n i e su r1 R p a r:9@) = I3+ 3xI4.
's 1) Etudierle sens
de variatio de ç.
n
2) Carcurer çeL), en déduire,suivantres vareurs de r_,fe signede ç@).
ff. On considèrela fonction
/ définiesur IR par: f (x) =t1,-2. .
' x2+ l'
on désignepar Tsacourbe représentative
dans un repère:orthonorm(o,
é î,i).
1) Montrer que, pour tout réelr, on a
: f,(x) = ,x.?(x)=
--l
(x2+112
2) Etabtirle tableaude variations l
de /.
3) a/ Montrerque ra droitea:y -x
est une asymptote 3 .de
b/ Etudierla position de Spar
rapport à A. .
4) Tracer 3et A' ( on précisera
l'intersection ?avecl,axe
de
5) Soit g fa restriction des abscisses).
de / à f,intervalfe *oo[ .
[0,
a/ Montrer g estunebijection
que
ge'to,*;i surun
b/ on désigne s-r tafonctionrre"iËloqr",i" intervafre/
gu,onprécisera.
par
n.
Tracer lacourbe
?' représentativeg-1 dans même
de le repère î,ï).
(O,
Exqcice no2 : (Spts)
Soit fafonction
/ définie fo,1f par f (x) : tanz(x).
:
"rI' L ' 2 1
1) a/ Montrer
que,fréafise bijection
une de fo,firrr. [0,**[.
b/ Ondésigne y-ttafonction
par ,e"iproql"'ol,
Cafculer:
f-r(o), /-1(r) et _llT- f-r(x).
2)Mont rerqUe / - 1 e s t d é r i v a b | e s ur ]o ,+ *[e tq u e ( f- ,( x) = #
3) Onpose, pourï e -- '|*''l'Y'
]0,+æ[ s(x) = f-t1yz1+
, f_l(#)
a/ Catcuteî
s(1).
b/ Montrer g est dérivable
gue sur ]0,+*[ et queg,(x) = 0.
c/ Endéduire
gue,pourtoutr e
10,+æ[, g(ù =î
[']

14. ExqcÎce no3 : (8pts)
par
représenté la figurecidessous.
Soitle cubeOABCDEFG
L'espace rapporté repère
est au orthonormé (o
direct ,oÂ,oe,ffi).
Soit a un réelsuPérieur égal à 1.
ou
L, M et K sont les PointsdéfinisPar:
ofr = o6Â, oi' = aoe et Ert= oEF.
'F
1l a/ Déterminer composantes vecteur - Drt n oE -
tes du û
b/ Endéduire, fonction s, l'airedu triangle
en de DMI
c/ Calculer, fonction a, le votume tétraèdre
en de du DMLK.
d/ Calculer volumedu tétraèdre
le ACDF- I
2) a/ Démontrer la droite(oI0 est perpendiculaire plan(DMD.
que au
bl La droite(OK)coupele plan(DML)en H.
que
Démontrer oû.oR- ort.oÊ.
onnote.l le réeltelqueOÊ = Oft.
c/ Lesvecteurs etDPétantcolinéaires,
oÊ
=+.
Montrerque.l.
d.'+z
, a 2 -a + 2
d/ Dêmontrer Hft = G - DOR, déduire.que = 7;6
que en HK -
e/ Retrouver levolume tétraèd DMLK
ators du re '
Sootnee/anæ
I'a
Ë2ï
tJ

15. iycée Tahar Siar iie fufahiiia ilassès: 4è'u Sc i.zets
Date:04/ 03/ 2009 Durée:2 heures
Discipline:Mathéma ues
tiq
Dîro& 08 arfirvîgt f,â
Proposé par: TArk Na1ou4Hamza RachecietMericieb Tarek
Exercicen" I: (4s4s)
.* Ctwrye questioncomporte trois affirmations a, b et c. On indiEtera poùr elncune d'elles si elle
wate oujausse.Aucune justtJtcalun n'esi demuraiee.
Soit/une fonctionimpairedéfinieet dérivable [-5,5], on désigne
sur parF'une primitive def A
parf'safonction dérivæ sur cet intervalle.
Sur les graphiques ci-apres,le repere(O,i,i) est orthogonal.
La courbe (C) estla représentation graphiquede la fonctionl La droite (OA) estla tangenteen
û à iC). Â(-2,8j, B(*2,t5, ûi et Ci2^11,ûi. .Bei C sonide-.ix poinlsde iCi.
f.a. (C) est la courbereprésentative F' .
de
d |
t.ri. j ^t/^
(ur=-2.^
l.c. lfest négative nulle sur [-1, 1J.
ou
2. Soit ,Sl"airg orynméeen unité d'airg de ia
portion du plandélimitée (C),1'a:re(O,i) et les
par
droitesd'équations: = -2 st r = 0.
x
2-a.4<.5<12.
z.u.
t'zut<xW=0.
2.c. FQ)-^F(O)< 0.
3. parmi les courbes ) et (Cz) t'une représente/' et I'autrereprésente Surla courbe'(Cz),le
(Cr F.
pointD a pour abscisse
1JT et b point^Ea pour abscisse .
ZJT
3.a, Uneéquationde(Cr)est:y--rc2-2. !.
3.b. (C2) est la courbereprésentative
deF.
^, ta
r... j o""î{'}*--12
Page1 sur 3

16. Exercice n" 2: (s p*l)
A- Soit/la fonction
définie io,
,u,
$lnar:f(x)= sinx.
l) Montrerque/realise bfeaionOe
une
[0, â] *, tq rl.
Ondésigne -rlafonction
pat.f réciproquede/
r(l) erl-r(O).
2) Calcuter"f
que,f*r estdérivable [0, t [ * gue(y-r;,(r) = _!
3) Montrer sur .
'!t J | -xz
" B- onpose: I:-#,
1= t=[ltT_x, æ etK=f] _=-r__-ar
J0'-
'"J1-x2 . t o rf lp
l) alMontrerque:
I=1.
ô/ CalculerK.
2) al Montrer
que:J = I - ï -L* *'
o ifl]fr
bl Enutilisant intégration parties,
une par montrer
qu.' Jj #*
-
- l.
| -xt
"l
c/En déduire valeurdel
la
Exercice n" 3i çs,sp*1
A- Soit la foncrion/définie zur.IRpar:/(x) =
##,
on désigne
parK sacourbereprésentative
dansun repèreorthonormé(o,7,ï) untté:
zcm.
l) Etudier lesvariationsde/et dresser tableau
son de variations.
2) alBaireune équation la tangent T à€
de e aupointd,abscisse 0.
, :
ô/Etudier ra position de ra courbepar rapport
à ra tangente?r
3) Tracer
Tet6
B- Soit.F'laprimitivede/sur [0, +*[ teileque
F(0) = 0.
l) Etudierle sens variæionde.Fzur +*1.
de [0,
2) al Montrerque,pour tout r ) 0, on a.
? =f@) =,.
blEndeduire que,pour tout x ) 0, on
<r.
^, !*<F(x)
c/ Calculeralorsla limite de.Florsque tendvers+æ.
x
3) allvlantrer quel'équation: F(x) = 2 admetdans +æ[
[0, solutionuniquea.
à / M o n tre rq u e : <3 . 'n
2 <a
4) On désigne il,atrede la
par irarriedu planlimitéepar la courbeCr dans repere(O,i,j)
le a"U
fonction I'ore desabscisses lesdroitesd,equatiors:
et
-d =
.tr 0 et r = r.
Montrerqu., <r(<2.
f
Page2 sur 3

17. Exercicen" 4: (sFs)
Dans wbeABCDEFGH, désigne
un on respectifs segments et
par.Iet,Ilesmilieux des [rltrJ
IGH}K estle centre la faceBCGF. calculs
de Les effectués le repère
seront dans orthonormé
/ --+ --+ --+
v,AB,AD,AE).
Etablir queDIFJ estenfait un
DIFJ estun parallélo1amme.
l) a/ Démontrerque le quadrilatère
losange montrerque l'aire de ce losange égale+
et est
( z
ô/ Vérifierquele vecteur?l normal plan(DIJ). En déduire
f I estun vecteur au une
[-r j
équationcartésienne ce Plan.
de
cl Déterminerla distaoce point E au plan(DIJ),puis calculerle volumede la pyramide
du
EDIFJ On rappelleque le volume Zd'une pyramidede hauteurh et debasecorrespondanteB
est donnee la formule: fl = + xB xh.
par
2) Soit A la droitepassant E et o'rthogonale plan (DIJ).
pæ au
paramétrique  et montrerqueK e A.
a/ Donnerune représentation de
ô/ Déterrniner coordonnées point d'irfersectionI de L et (DIJ).
les du
clYénfrerque L estle centrede gravitédu triangleBEG.
d'equation + yz + z2- 2x - y * z +f = O.
3) Soit I'ensemble,S :.x2
dont on precisera centre,! lr ruyoo.
alYénfrerque,Sestune sphère le
relativeà S et au plan (DIJ) peut-ot déduire
blVénfrer que.t e ,S.Quellepropriétégeométrique
de ce dernierrésultæ.
Page3 sur 3

18. L),céesTaharSfar et
Ibn Sina Mahdia
funboi, g' '-:''' nô2
ùn Classe 4"^' Sc exp
:
Date:03 l2UA
103 Profs: Mme Turki et Mrs Baccar,Hamzaet Meddeb
Exercicenol : epts)
()nerëponse exacterapporte0,5poinl, unerëponse enlève0,25point, l'absencede réponse
tnexacte est
congtré point, Si le total estnégatif,alors la noteseraramenëe zéro'
0 à
1) pour chacune des propositionssuivantes,répondre par vrai ou faux sans iustification.
Pr : On donne les fonctionsF et G définiessur IR par :
2 x*I 4x2+6x+9
F(x) = e I u txr = -
xz+ x( + 2
x2 +x+2
d'unemêrnefonction.
F el G sontdeux primitives
Pr: fi"lx ax = f - I] *t a*.
Pg: Soitf unefonction sur
continue [0 ,1].
lavaleurmoyenne sur[0,1]estégale 1'
$i f( f (ù -L)dt - 0. alors, de/ à
2) pourchacune questions
des suivantes, seule
une proposées
parmilesréponses est
Indiquer lettrequi correspond la bonneréponse.
corregte. la à
soit ABCD EFGH cube,I el J sontles milieux
un des
respectifs
arêtes[Er] et [FC],L est le pointdéfini par: ALZiæ.
On considère repère(A ,AÊ,m , AË).
le
SoitP le pland'équation4x - 4y * 3z- 3 = 0'
:
Qr : Le plan P est le Plan:
al (GLE) b/ (LEt) c/ ( GFA)
Qz : Le planparallèle P passant / coupela droite(FB)
à par
en M de coordonnées :
o t (r , o, l) blU, o, i ) ,t(1 ,0 ,:)
paramétrique la droite(Gt) est:
Qs : Unê représentation de
( x= I*a
" , z =4* 4a "
{; : i : î , , { ; = ='o *T o cl lv- - L *a
z= 1*4a
l "r=o

19. Exerciceno2 : gpts)
2'
L'espace estrapporté un repère
à orthonor (o ,î,i ,Ê).
nê
On co n si dèrel es poi nts /(
1",-L,1 ) e t B ( - 1 , 2 , - Z ) e t le p la n P d ' é q u a t io n : r * y* z*2 = 0 .
1) Montrer que la droite(,48)est parallèle p. à
2) soit a un réel,on désigne so I'ensemble points de l. tels que :
par des M .
x2 + y2 + zz + 2x - Zay* Zaz+ az + a = 0.
a/ Montrer que, pourtout réela,.9o une sphèrede centreI|?L , a , -a) et de rayon
est
Ï;ffiF; e@8,
c/ Déterminer pourqueSosoittangente p.
a à
3) SoitQ le pland'équationy - z - 4 = 0.
I
que
ai Vérifier Q est perpendiculaireà (AB).
b/ Déterminer pourque so coupeQ suivantun cercle7'oerayon rÆ .
a
c/ Déterminer
dansce cas les coordonnées centrede z' .
du
Exercicenoî : gpts),
Soit (/n) la suitedéfiniesur IN par: I, = Sila xnsin|x d.x.
1) a/ Montrer
que,pourtoutn € 11V,/r, à 0.
b/ Montrer
que la suite(I,r) est décroissante.
c/ En déduiregue (/rr)est convergente.
2) a/ Montrergue,pourtoutn e IN, In = J:/, xn d"x.
b/ Détermineralorsla limite la suite(In).
de
3) al Calculer .
Io
b/ Enutilisant intégration parties,
une par que : t, =*
montrer
c/ En effectuant
deuxintégrations parties,
par que :
montrer
pour n E rN, =ry ((;)".' - (n+ rll")
rout rn+z
ù d/ on a représenté ci-contreles courbesreprésentatives
k dansun repère orthonormé, fonctions et g définies
des f
par. f (x) = x2sin3x et g(x) = sin3x.
,'
Calculer I'aire la partie
de grise.

20. r'
"ff 'Iahar Sfar - Mahdia
Devoir de Mathémati ues
Année Scolaire 2go7 - 2008
Niveau : 4tu.Sc .Exp
Propæé : par: Ivl*Î-rrki , lvl" Hamza
ercice : n"1( 3 points )
chacunedes questionszuivantesrépondre pa.rwai ou faux san^s
justification
nPour
c Une réponsejuste rapporte 0.5 point
r Une absence reponse rapporte pas de poiat
dg ne
. une réponsefausseest saoctionnépaf
-0:15
Si [e totale d,esnotesattribué ar:x questionsde I'exereice néeatiye
est ,
, la note est raroen-é zéro
à
.., ,,,,.,:,:::
Soit la fonction déffnls sur R. par /(r) : à' + 3c + l Poul tout r-' e lR
. _,j,! ç
1A
'rJ -r. ? vateur moyenne r /| sur r[0,2] est
. t
La
t
de - .. - ^ ]
t ' ''
16' ---'': -- - ^ '::'..., '*'*:"t:-'.:..",,
,.-,."*'
f z. l- t("1* estI'aired.'un rectangle longueur
de Ë .t de laiEèum'z ,.,
Jo- ,.,,o,.,:,,'.i*-r,-
... r1.a,rr.:ç;,,.*.;"a.g.*,,i*ft::if,ii'.i'''{,',ffr;..,,.*,..,
'.1 3. II queF(0) : T
lrimttive F de / sur [0,2]telle ,- '!
.;,. i.,r..-r-],.
'n9
",<iste
sur
6 4. I existeune primitiveF de / sur [0,2] décroissante [û,1]'
, b. Ir existe'ne primiriræ F de / sur [0,z] teltequeF(0) - F(z) > 0
queF(r) ( 0 pour tout c € [0'2]'
V 6. Il existe uneprimitiveF de / sur [0,2] telle
Exercice TL-2 7 Poirrts )
(
g définies lRpar
sur
on considèJ;;; forictionsr eb
g3
,'., ,
J(t): Tæ et e(r): æ
(lnitg glaphiqu' 3 cm)
e
Le plar érantrapporté ua repêr (O,1 ,?) n'tU'oormé et de I dans ce 'plan '
à ê
de i
Ë:;ËL=tàptâ"ttoti"o
On designe parCtet par C,
1 . a ) Et u d i e rIæl i g ri te se n *co e te n_oodeJ.Inter pr éter cesr esultats
de /
b) Etablir Ie tableau de variation
c) Tracer C1
pr
d) On poseI = Ï@)dt'
Jo
Utillserlamét}rodedesrectarrBl6,enp.artagearrtl,intervalle[0,llencinqinter-
d'onnerun encadlementde '['
valles d'a'mplitude0'2 pour
que f =' in(tÆ)'
Dans Ia suite on admet

21. 2 . a) E-tablirle tableau des ra,riationsde g
b) TFacerCo
f
On poseJ : I g@)h. Calculer I + J . En d&uire. J.
JO
?Ê
4. Calcutrer.@@w1J'aiæ domainedu plan limites,gaa.r courbes et cn et les droiÈ*s
du les cy
d'équationsî'* -7 et z = 1
&rnrcice,ngS(spoiurs)
1r 'rn
un.po€e r '-'- l
..,
..,:''- Jo *d 3 p o *r o u r n € N
L + a + t,
, .',
1 . bfonterque,$-< <
.ro r
, Monher qru".&t h* 11.: ! .'1. i
:a
q!ÉJrsrÉt ê (1") est décroissaate
3. a) lvfonf--ær
1T' i
b) Ivloutlnrqrrc;;--:-:il < l, ç - .Bn déduire lim Io .+'
é!.n.|.'L) n+ I " :
n-*eo
'i.
. " a) A l'aidedbeiotéSraËorr;êr partie, nontrer que pour tout n € N* on a
. T I f' l+2t alr
r
.,x n* J i | ' n * L J s ( 1 + o + * ) 2 *
-7--tt|
- n :T - =
.,. . ;
b) t;n d€durrÊ$leDotir touû n € N. on a
t,
1q
j ,t+31;];,(3(r+t).r,<t+ #
e) Ea déduire;euela suite (3n.I.) est coavergenteet donaer sa limite.
.]
:.i.
â
,,
F-,>cercice:rl'4.( 5 points )
L'espaæétantrapporté un repèreorthonorrné
à direct (O,?, 1 ,,T).
On doa-ue points
les B(0,2"0)'et
-ÊJ1,0,0); C(0,0,3)
1. a) JustiûerquelespointsA ; B et Cne sontpasalignés
/6
': '.b) Montrerryo ?
| s f est orthogonale ræcieurs "tfr
aux Æ
2/
c) Donneruneéquationcartésienne plan(ABC).Vériûerque t É (ABC)
du
dont uneéquationcartésienne :
2. Soit S la sphère est
r'2 +y2 +2 2+ aî+ W + cz+ d:A
"ek,C
a) Tbouvera, b et c pour que S soit circonscriteau-tébraèdre
OABC.
b) Montrer queS est la sphèrede centrer{*,t, jt * a" ,rvoo
$.
au
3. Donner le centreet le rayon du cercle circopgÔrit triangle .4,8C.

22. LycéeTaharSfar Mahdia Prof : MEDDEB
Tarak
g@MWWTflEWMUfl
@eq9rea co@plesea
Exqrcîce nol :
1) Soit0 un réelde I'intervalle , n[.
l0
'r :i l t '
Li
rL!ll,-. ::..r
R é s o u d rea n sI'e n se mb lC l 'équation: - 2i.2 - 1- e2ig
d e z2 :0. . . :'..],
.::
2) Le plancomplexe rapporté un repèreorthonormé û,û);: On considère
est à (O, les '1"è! .
a
points M etN d'affixes
A,, respective z4 = -1 + i, zu = i * eiT et-zp=i-etu.
s'. ,
a/ Montrerque les droites(AM) et (AN ) son perpendiculaires.
.
que les pointsM et N sontsymétriques rapport un pointfixe 1 que
b/ Montrer par a
l'on précisera.
'':
que M et N appartiennent un cercle7
c/ Montrer à queI'onprécisera.
*.
3) a/ Déterminer, fonction 0,l'aire/4 (0) Outriangte
en de AMN.
=,:: '
b/ Déien-niner valeurde É poui:
la iâqueiie (û) est maximale.
,,/ Piaceicjans cas
ce
les point
A,M etN sur la figur:e.
Exercïce nu2 :
1) a/ Ecriresousla formealgébrique + t'11)'
(t .
Gffiriràtion : (E) :L22 4z r 3 - iV5 = 0.
b/ Résoudfe,"od.9,,,,,.!j -
c/ Mettre|e,,.!Jo onSî$tgl sousla formeexponentielle.
2) Le plan.com'pi é$t rapporté un repèreorthonormê
à (o,û.,û). On considère
les
l- iJj _L ^ 3+ iJi
points et C d'atfixes
A respectives =ïa et P:
z
a/ Montrer que OACest un triangle rectangle.
b/ Délèrminer I'affixe pointB tel que OABCest un rectangle.
du
3) S=Oitun réelde l'intervalle z[. On considère
I 10, l'équation.
(E): z2 - 2z - 2isinïeio = o.
q .Z =
a / M o n tre r u e i si n 0 e t0 e2i0 1.
-
b/ Résoudre (Ëo).On désignera z' la solution
dansC l'équation par ayantune
partie imaginaire négative parz " l'aulresolution.
et
g
c / D éte rmi n e rp o u rq u eI'o naitz' : d etz" = F.
gç
Nombrescomplexes[Révision){. ème sxp Page1-sur 2

23. LycéeToharSfar Mahdia Prof : MEDDEBTarok
Exercice
__'
n"3 :
'^...
.
Soitm un nombrecomplexe. .
. o n p o Se f(z)=z3 -4 mz2 +(5 m2 +4) z_2m v_B*....]
.' t..
oet^erminer
I'ensembledesnombres
E complexes pourquel'onait/(0) = 0
m
]J
2) a/ Calculer(2m).
f
, , f(" )=(z-2 m)(2 2 *az*b) . ,,
,,
*
c/ RésoudredansC l'équationf (z) = g.
u,.*.i
','
Dansla suitede llexercice, supposequem Ç.
on E. :'+4$1u,'.,,
3) Le plancomplexe rapporté un repère
est à orthonormê (O,û,ù). On considere'tes
p o i nts Mte t M2 d 'a ffi xe s
M, respectives' = Zm , z1= m lZi el,,r )= m - Zi.
z.
- m-)i
O n p o sez'=" " ' .
' m+2 i
a/ Montrer queI z 'est imaginaire si et seulement lml = 2
pur si
. - 'l r
b/ Onsupposedansla suite m = zeiï où I estun reài'oe||1,"1
que
" )2 J
que
Montrer le quadrilatèr
e OM1tt4 estun l.""t.ng|".
M,
c/ DéterminerpourqueOMTMM2 uncarré.
0 soit
$
Exercïce n"4 : jr:
è""'='ii1i''' -l;
1) a/ Ecrire
sousla formeexponentielle nombre
le complexe +i ).
]1(r
' 2 /
b/ Montrerque,pourtoutréélï on a:
l= ,,
-..,-,.-..-="=- v
- -co S l e : et eu - l :2sin' " e 'l -l z )
X
oi, tl- .,
2)
2 ) a / Ré so u d re d a n sl 'é q u a tion : z2- ^12( t*i) z- 1+ r = 0.
C ( E)
b/ Mettreles solutiôns 1r'; sousla formeexponentielle.on pourrautiliser
de ( les
résultats la première
de question ).
1T
82
'lz*Ji
S)r S;it 9"unréelde l'intervalle z[. On considère
10, l'équation:
n l fi e )rz2e i o z *2 i si n o e i o= 0.
-Z
a,/Montrer que'.e2i0 2i sinTeie: 7 .
-
b / R é so u d rea n sC l 'é q u a tion
d ( Eù.
4) Le plancomplexe rapporté un repèreorthonormé
est à (0,û.,r7).on désigneparM,
N e t A l e sp o i n td 'a ffi xe sspectiveszy:1* eig' ,zN= - ' J.* eil et zs- I.
re
a/ calculerlzu - 11, g
quelest I'ensemble pointsM lorsque décritl0 , nl'l
des
b/ Montrer que le triangleOMNest rectangle O. en
g
c/ Déterminer pourque le triangle OMNsoitisocèle.
gç
Nombrescomplexes(Révision){. ème sxp Page2 sur 2

24. Lycée Thhar Sfar - Mahdia Année S'colaire zOtL - 2OI.2
Devoir de srrnthèsen"2
ffi
Niveau t 4h"Sc.Exp
Proposés par: M*ftrki et M'Ilamza
Exerciæ n"l ( 4 potnûe
)
Pour chacunedes queotionspo6éec une eeuledes réponsesest er(âcte
,
Rryopier le numéro de chaquegueotionet indique la réponsechoisie.
Aucune jrutification n'est demandée.
Une réponseexact rapporte 1 point
Une réponsefausseou I'absencede réponsene rapporte ni n'enlèrreaucun point .
1. On donne Ie tableau de variation dounefonction / définie est continue sur [-5;12]
nI, f(r)da :7
b) l'équation î(x):0 admet exartementder:x splutionssur [-5; t2] .
c) Pour tout c e [-5;8] on a /(r) < 0
2. Ia courbe ( donnéecidessous est ls repr@ntation graphique d'une fonction g
définie et dénivablesur R. .La droite (ÂB),tracée sur la graphique, est.
la tangente à la courbe ( au point A.
.; ; ; ; ; ; ;
'l | | | | | |
tr r tltl
l- - L- - r - - J- _l- _1__L
Ittr tlt
r ttl' ttt
.t' - - r - - - l- - J- - l- - a_- L
tlttltl
r tttttl
+ Ê- F- - È- { - - { - - } - - ts
r r tlttl
ttttttl
_- . -_. -_. : :_r,:-:r
:!. -:. T -'':. r": ;'r':.,:-f
llliltl
ttttttl
lrttttt
!-
I ll I I
t. .t. .t. t t t
I ll I I I
I || I
r-
t tl I
t -''f- -
I tl I fl
On poseg' la fonctiondfuivêede g sur R.
a) g'(0): -t b) s'(0): 1 c) 9'(0):2
3. Une seuledestrois courbes
ci-après l,areprésentation
est graphiqued'uneprimitive de

25. la fonction g sur R.Preciser la quelle.
I - - - f'- 1- - " !- - r - - r -
I ttttl
--|-- I - - - r - l r ttl- l - - l _- !_-
--r-
I ,, l r tl
--L-
I
- - - L- J - - l - - r - - L-
tl ttt
I r tttl
---tr-il--{--+r-F-
I ttttl
! ltttt
I tttl
I rttl
I rttt
o | !' i iz
- J - - r - -L -, | * -
r ttl
r ttl
- l - - f- r a - --F _
r ttl
tttl
4, Soit h la fonction définie sur Ri par : h(r) :
f- t
g2
la primitirre H de h qui s'annuleen L est
é+zr-g 2# - 3 r * l s3-3x+2
a) Il(r): b) I/(c): c) .F/(u):
2r 2x ?Æ
Exercice n"2 ( 6 poinrs)
Soit la fonction / définie sur R. par :
f@):* +r
{îr12' '
On dfuigne pu" (f la courbe représentativede / dans un repène
(l"ll : llTll
(o,?,7)o'tu""ormé. :2u,).
L. a) Calculerles limites de /(r) en *æ et en -æ.
b) Soit /' la fonction dfuivéede /, montrer que 0 < .f'(") <.1 pour tout n € R.
c) Etablir le tableau de variation de f sur R.
2. a) Montrer que [e poi4t / (0; 1) est un centre de s]'métrie 6s (f .
b) Donner l'équation de la tangenteT à {y en f.
c) Déduireque.I est un point d'inflepcion Cr.
6s
3. Soit g la fonction définie,*'h par : g(c) : f (r) - r.
a) Montrer que l'équation g(r) :0 admet de.ns une unique solution a
R.
et quea e ]1.7;1.8[.
i b) Etudier la position de'(r et de la droite A d'équation y : s
L
"-*."-4*ftsçerl'g-A-.--* -*
--È'*
I f. a) Montrer que t réaliseune bijection de lR, J0;2[.
sur
b) Soit (' Ia courbe représentativede la fonction /-1réciproque de /
ii
Tbacer ('.dans le mêmerepère(O;7;7) .
6. on pose [" $@) - s)tu.
.I:
Jo

26. Correction du de"-oir de
Lycée Tahar Sf,ar Synthèse noZ Scolaire
$.nnée :2017 -2012
Nit'eau a 4é^* Sc. Exn
Exercicc: nol théor'ènie V.l et cicce qr"ri
des précècl':
c re l1 . 7 ; 1 . 8 [ .
b ) s o it x e I R o n a / (x )-x ( 0 s ig g (x )< 0
r. b) 2. c) 3. b) 4. c)
or 0 - g(cr) on auraalorsg(x) < g(a) et
Exercice: no2 comme g est strictementdécroissante IR. sur on
aurar > 0, .
1. a) limf(*) = ri- r i ii^ *t = 2 ûn aura si x < cr €1 est au dessusde Â
r++s r - r + æ Ï' fl
s l x > c [ €1 est au dessous Â.
de
4Df -)
# l i m / ( x ) = l i m-r
r-+-@ r+ - @
/ I ' + z : *l =0 .
i
v
b) f estdérivable R et on a
sur
-f' (x) >o v x eR .
( x'+z) {x2 +z '
De plus on a pour toutx elR
. .,. _:
_..
x2+2)2 d'o ù /'( x )* **t.
!2
Conclusion: </'(x) < I pourtoutx eR..
0
c) Tableau de variation de f, 5. a) Puisque/est continue et strictement
croissantesur R. donc/réalise une bijection de 1R
sur{R) c .à. d surJ0;2[
ùe'- so(€i.
6. a)I- l"ç$)-x)dï
' Js""
=[.tr.t-*"*'],
2. a) Pour toutxelR.on a -xelR et
f,J
= 1cr- -r-l - I f=
^ "* a-_"rl -
/
f(-x)+f{x) = 2 donc 1(0 ; l) est un cenrrede ro.
symétrie de€1. O n a p o u rt o u t x e [ 0 ; c t ] f (x )-x ) 0 d o n c I
e s t é g a le à ll4 d e I ' a ire e x p rimé e e n cm 2
b) T:y = 1 équation T à€1enl.
de
*r* d e la ré g io n d u p la n limit é e p a r le s
vz
c) PuisqueI est un centrede symétriede€1,|a droites x - 0; x = !,la courbe €letl' axedes
tangente àÇlenl traverser€JdoncI est un point abscisses.
b ) O n n o t e & . la ré g io n d u p la n
d'inflexion de€1.
on a fr. = DtU Dz ou D2= ,Sa(Dl)avec
3, a) g est dérivable sur R et on a
g'(x) -.f'(x)-1 < 0 V relR D1 est la region du plan indiquée dans la
questionprécédente. sait que 56 conserveles
On
-.donc g est confinuç et stictement décroissante
sur IR.
dgncg réaliseunebijectionde lR surg(lR) mesuresd'aires donc
a ir e (R) - 2 a ir e (Dr)x4 cm2.
= 8 I c mz -
vérifiant E x e f c ic e : n o 3
1. a) M(x ; y) eE sig OI'P = 1
n

27. , _-__jr _--J
Ce qui prouve que E est un de centreO et t -->
a)M eQ sie( BCA BS) .SM = 0
de rayon l. ""r"1"
b) On note F I'ensemble pointsM(* ;y) du
des
sigdet(Ed;F; s#): o,
plan vérifiant :y = f/ 1-"' ou x € [0 ; 1] sig Me Q ou Q est 'n plan définipar le point S
M ( x ; y) e F sig M(x;y)eE et x et ye[0 ; 1 ]
etlesvecte,rrc
Bdet BS
On remarque lesdeuxvecteurtEd et Bd
que
sig F est le quart du cercle€ oux et y e[0; l]. ne sontpascolinéaires car
c) J6est l'aire de la région du plan limitée par les
_-_*r0.) 2
---.--(-2
droites Jc= 0 , x = 1, l'axe desabscisses la
et -( r l
BClr l^8s l1l= r / 8l
courbedont une équationest y -r/1-r, r"ri z ) +/ l-z)
r--"-'= Ontrouve Q:x*4y-z -3 = 0.
étgrtcar{l -"' ) 0 pourtoutx e[0 ; 1].
b) D'après quiprécède
ce Pn8:@C).
Dlprès ce qui précède aura
on lo= = I-2a
î. {x
Onaur a6= ( BC) :J.y= 0+ a a e lR
z. t ,= { o ' r { t -*d ,=[- lz = -2+2a
]{ r-" ,)t],=+ estunereprésentationparamétrique Â.
de
= = ll;E
nrdll
Ir- Io'l-"hn- dx Jo-Jr i -+ c) d(A; A) = -l:f,--
llBTll
3. a) Soitne N
llÉnzdll
J,*t- Jn= x" (x -ry,[-74r.
[ o' -2.
llu?ll
O n a po u r to u t xe [0;1]
3 . a ) S f P d o n c S A B C e s t u n t é t ra è d r e .
------+
,"t[1] 2o etx-l ( o donc | |
AS| -r.
------ii
b) 1/(sABc1 lÆ ^ 4c )'
-
=
la-sulte(J,) est décrqissante- 6
* ----)rl
b ) On a d'a p r è s ce qui précède ll ë
u
b),uire(sAc1= !4ll =^l?o=^le
J,> 0 pour tout n eN donc la suiteest 22
décroissante minoré par 0 donc elle est
et On sait que
convergente.
1/(SABC) _
4. a) On a pour tout x e [0 ; 1]
d'où d(B ; (,S,,a = 1F.
C)
0 < 1-x2 ( ldonc C<F7 ( 1 donc
; r)"t
0 < x ' {t - x' ( xn pour tout n e N.
d o n c 0 <- r ,( ['x'dx V neN
4. a) f est une sphèrede centre
a".uroof .
'0'1
Jo
r::
b)On a 0 ( /,<-L V neN donc
n *l b) On aIA = IB = IC= /S = doncf est
$
lim J n = 0 e t l i m I,= L . au
circonscrite téfaèdreSABC.
n-r+ û n++@ + r-
c) d( I;P) = 0.Idoncf fiP= € ou€es t
Exercice: no4.
€t
14 | +r
o | +t
(2 I un cerclede ravon r = P- r e = ïo
ABIo In,tCIIl= N, l-4l.
-ù 0/ +/ circonscrit au triangle ABC.
-+ -}
AB A AC + o-donclespoints , B et C
A
déterminent plan P dontfrr estun vecteur
un
d'oir F: Lr -4y * 4z* d = 0.
norrnal
Et comnreAcP onawad = 6 donc
P:x-21t*22*3=0.

28. Niltedu Réyi,sioncomotexe
r >t- Belkocem Tahar
Bac et tec
sc /L
Tél: 9a 28 2820
lE4-V r ç r ç e n - l
t,' tÈ:,
E.
lonconsidèrel'équation: z1-(1+i)ehz+ieilo=O ce[0;2n]
avec uë,
I
lflSoit/ et/'les sotution E. on pose = t +/, .
de U
I
le
la)Déterminermodule un argument U .
et de
I
q = S.Ecrire sous
u formecartésienneexponentielle déduire
et en costf;
lutsoit
I
crsachant U estréel
que
lc)Déterminer
I t+-
2)Résoudre C l'équation .
dans E
#"
Exercice
n"2
Soita un réeldel-n;nl
On poseu=3cos
a-Sisinfl et v = 5cos - 3isin
a cr
1)Montrer vz-uz unecon$tânte
que est
2)Soit
f'équation : Zz2+(3cos
E q-Sisina
)z-Z=0,
On notez' etz" lessolutiondè (E)
a)Sans
calculer et t, montrerqr" rrgil; + arg{/,) = n[2n] .
t
rl:
;7'.
''i i
b)Résoudi'e c t'équation et donner solution
dans E les ,"r.r.ËintÀ:t'lionentieye
.
' .:'r'
3) Dans.le complexe
plan rqpporté un repèreorthonorrqlé,
à lb'Tr;i) .on considère pointsM, et M,, d,affixe
les
respectives et 2,,
z' l'i1- tr'
Trouver vateurs crpour res
les de quers
otrlM,t èha)lir,""grerectangte o .
----"o'-en
' 'i'i':-iiiz
Exercrce X
n3 ' il',t'ttl
' t,...11';
:1 ,
il::, .-
1)Résoudredans
Cl,équation : Zzr-z(g+i);i=O
iri,"
i;, .
i1.. 2) Résoudre Cl'équution-llTlf
dans
3)5oitl'équation 2iz2+z{r-Si)+3i-1
(E) =0
a)Vérifier 1 estsotution Eet déduir l'autreracine
que de e
b)En
déduire solution t,équation r + I )t+(z+ 1
les de 2i( = o,
Xr-si)+3i-1
Onconsidère points A(-1) ; nA,1I'*:; et It4"11=Il)
les
É Montrerque AM,M,,est un triangleéquilatéral
.
4)On
prend pointsM(z)et N(2,)
les ,/=z+ i
telque
alMontrer si r * ets , 0Ê[0 ;Zn]; alors N appartient
que à la droite des abscisses
.
fhr
!
b)Montrer z' estimaginaire ssi (z+zllz-!iu + 1 ) = g
que pur z
c)En
déduire
l'ensemble points
des rur
M(z)pc qu ez ' s o itima g in a ire r .
pu

29. Exerckeno4
1)a)Résoudre =
z2+z+1 0
l'équation
,- ,
.2 .4,
que
b)vérifier: lessolutions l'équation s'écrit
de E sousforme; zç s 3et Zz= e3
2)Ondonne l'équation : z6+23+1=.
E' 0
a) Résoudre
l'équation .
E'
b)Montrer la somme solutions t,équationestégale 0 .
que des de E, à
2* + 4r +
b)oéduire que o s l _ co sl _ co, 9" = o.
alors
" 9
dorfredansC l'équation : z2-(1+i)erez+iel'e=0 € [0 ;n]
E ou ê
l)alVérifier et estunesolution E.
que de
b)En
déduire
l'autreracine E.
de
2)On pose Zr = elê , lz = iele et z, = 1.1*1.2.
a)vérifiereu€ 23=&/@+f,i
b)Déterminerla valeurde € pour Quez3soit un réet .
3) Dans plancomplexe
le rapporté'à repère
u4 (o;i;i)
orthonormé .on considère points N , p et e
les
d'affixesrespectives , zz et z3 .
zr
A{i), e(1I };
p
l,ialDéterminer{ M(z)e / lz,l = Ztilf'
E=
i:)onsupposeque 2= liuiÊ, o € [0;n].Déterminersuivantlesvaleurs g laforrnetrigonométrique
de de z,
2)a)S oM i ÈB . M o n r r eru e(i ;Z D -)= -
it q
++ çi ,îi | 1lzr )
b) En é d u i r e'en se m b le=t M(z)ep/z,eR: )
d l F
3)a)M É A .Montrer le triangle
que AMM' estrectangle lvlet déduirè mesure
en une de
B// soite a li l'équation : z3-(i+2eio)22+(1+e2te+2iere)z-i(1+"r,u)
E =0
#f "*
i)a)Vérifier
Queze= i est une solutionde E . b)Résoudre
alorsE
c) Donner solutions formeexponentielle
les sous .
ûn désignepar tr4ret Mz d'affixesrespectives +3ê et zr= sre-1
zr=i
+
,.'i,":ntrer OM, LOM2
que
lll[g:!:gnstruire l'ensemble
des pointsM1 puisl'ensemble pointsM2lorsque varie.
des €

30. le cerclede centre O et de layon 2
Dansla figure (0, d, û) est repère orthonormédirect du plan,e est
et I est un point d'affixezu'(voirfigure)
zs'
1/ Déterminerpar une teôuie gl"pttiqu" le moduieet un argumentde
En déduire Qve = -1 * iVT
zs
:
2/ a)Placersur la figurele point C d'affixezc 1+ tV3'
'
bj Uontrer quele quadrilatère OAË&est-un losange'
B/ On se proposede déterminerI'ensemble E des pointsM d'affixe tels quez3 soit un réel
z
pobitifou nul.
a) Vérifier queles points O,'4et B appartiennent f ;à
b) Prouverque tout point M de la demi-droite[OB) appartientà E'
8'
.j Soitz un nombreiomplexenon nul,de moduler et d'argument
= ?!! ; k ê V''
Montrer que z3 est un réel positif si et seulement'i 6
quel'on déterminera. Représenter sur la figure.
E
d) En déduireque E est la réunionde trois demi droites
Une absencede répon:e est comptée 0 point'
justification n'est d'':nandée'
.p Si le total est négatif. .a note est rarnenéeà z,ero- Aucune
on pose -G;-+iJz:æ
z:
l.La forme algébriqr-ude Z2æt
a)zJi w{6A *&"tù Q 2+ rt+iQ - f) ù 2rt+2iJ2
2. Z2s'æit sous la f.rme exponentielle
'3t '3t
a) 4e'd c) 4e'7 d) 4e-' a,
3. Z s'ecrit sous la f rrne exponontielle
.}
.,-
'5r -3lr.
a(Q,eti/ b) 2eiii c) ze'E d)2e''8
Jr+n .,F,/t sont les cæinus et simrs de
n.- e r--={-
Z
")+ b)T d)i
Exe r cice N"2(6P crats
1 . Calculer (2 - 3i)2
, Résoudredans C l'e:-uation, (1 - i)"' - (2 - i)z * 2i :0
On notera z1 la solrrjon dont ta partie réel est négatiræ
m
pur
fg.)Oo""ur un arggme* de zr.En déduire que zf@e$ imaginaire
Le planP étant rapFrté è un repère(O,7'?) orthînorf:
Soient ; B et C les:ointsd'affxes
A ze:2 i zB: -;+ "ri a' zc
4. a) Calcuter pou que I'on u ?- " : i
zc
zs- zA
b) Quelle est la ûlrure du triangte ABC ?
c) Placerdans le:lan les PointsA , B et C
que le quadrilatère ABCD soir un carré-
fJ; iffo,r"o l,a.fâr du point D du plan pour
-r