1. Lenguaje algebraico
Capitulo 2
2. LENGUAJE ALGEBRAICO.
2.1. Definición de Álgebra.
2.2. Notación algebraica (lenguaje algebraico).
2.3. Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación.
2.4. Término algebraico y sus partes.
2.5. Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes.
2.6. Clasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos.
2.7. Grado de una expresión algebraica.
2.8. Ordenamiento de una expresión algebraica.
2.9. Valor numérico de una expresión algebraica.
2.1 DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA
Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el
tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que
debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de
número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se
debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (Siglo IX
d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día.
El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las
cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que
mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan
valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden
representar cualquier valor que se les asigne.
2.2. NOTACIÓN ALGEBRAICA
Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de dos
tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades
conocidas y perfectamente determinadas.

2. LENGUAJE ALGEBRAICO
Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como
desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras
letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se representan
utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z…
Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas;
por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de
subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.
Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio
de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por
medio de letras, de una regla o de un principio general.
2.3. SIGNOS ALGEBRAICOS DE OPERACIÓN, DE RELACIÓN Y DE AGRUPACIÓN
Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las aritméticas,
es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división, potenciación, radicación,
logaritmación, etc.
SIGNOS DE OPERACIÓN
 En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis más ye”.
 En la resta se utiliza el signo (-). Así, por ejemplo x-y se leerá “equis menos ye”.
 En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó (). Así, por ejemplo x x y
= xy se leerá “equis multiplicado por ye”. El signo suele omitirse cuando los factores
están indicados por letras o bien por letras y números.
Por ejemplo x x y x z = xyz = xyz
 En la división se utiliza el signo dividido entre (:)() ó (/). Así, por ejemplo x:y = x/y = xy
y se leerá “equis dividido entre ye”.
 En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa arriba y
a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x4= xxxx…
(4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de que una letra no lleve
exponente se sobreentiende que el exponente es uno.
 En la radicación se utiliza el signo radical ( ), debajo del cual se coloca la
cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por x , se leerá “raíz cuadrada de equis”;
3
x “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.
SIGNOS DE RELACIÓN
Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades.
2-2

3. LENGUAJE ALGEBRAICO
 El signo = se lee igual a. x=y se leerá “equis igual a ye”.
 El signo  se lee diferente de. xy se leerá “equis diferente de ye”.
 El signo > se lee mayor que. x>y se leerá “equis mayor que ye”.
 El signo < se lee menor que. x<y se leerá “equis menor que ye”.
 El signo  se lee mayor que o igual.
 El signo  se lee menor que o igual.
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves {
}. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior debe
efectuarse en primer lugar.
2.4 TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES
Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos
+ o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico.
En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la
parte literal y el grado.
signo
2 exponente
coeficiente
-4x base o literal
Signo
Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los
términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se
acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va
precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo.
Coeficiente
Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para
multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como
sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se
sobreentiende que el coeficiente es la unidad.
Parte literal
La parte literal está formada por las letras que haya en el término.
2-3

4. LENGUAJE ALGEBRAICO
Grado
El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por
ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto
a y y de primer grado con respecto a x.
2.5 CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES Ó NO SEMEJANTES.
Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos
semejantes.
5x y 6x son términos semejantes. 27x 2 y 3 y 32x 2 y 3 son términos semejantes.
4x y 17 y no son términos semejantes. 15x 2 y y 6xy 2 no son términos semejantes.
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios
términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden
presentarse los tres casos siguientes:
a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes
anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a
continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
2 xy  3xy  5xy  7 xy  17 xy
x 2 x 2 x 2
3a  5a  8a
1 2 3 4 7
ab  ab  ab  ab
2 3 6 6
1 2 1  2 3
 xy  xy  xy   xy   xy
3 3 3 3
b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los
coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se
escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir las siguientes expresiones
2 xy 2  5xy 2  3xy 2
3a  4a  a
18x  11x  7 x
1 2 3 4 1
xy  xy  xy   xy
2 3 6 6
2-4

5. LENGUAJE ALGEBRAICO
c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos
los términos positivos a un solo término y todos lo términos negativos a un solo
término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo a la
diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Ejemplo
Reducir 5a -8a +a -6a + 21a
Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a
Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a
Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene
27a -14a =13a
Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a
Ejemplo
2 2 1 2 3 2
Reducir  bx  bx  bx  4bx 2  bx 2
5 5 4
1 3 39 2
Reduciendo los positivos: bx 2  bx 2  bx 2  bx
5 4 20
2 22 2
Reduciendo los negativos:  bx 2  4bx 2   bx
5 5
39 2 22 2 49
Tendremos: bx  bx   bx 2
20 5 20
2.6. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS POR SU NÚMERO DE TÉRMINOS.
Monomios: Son aquellos que constan de un solo término, en la que números y letras están
x2 z 2a 3 x
ligadas por la operación multiplicar. 5 x,  3ab, ,  , 3ab 3
2y 7b
Polinomios: Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma
algebraica de dos o más monomios. 2a+b, 3x2-5y+z, 2x3-7x2-3x+8
a) Binomio.- Polinomio de dos términos: 5x2-3y2, u +at, 4a2b +x2y6,
b) Trinomio.- Polinomio de tres términos: x+y+z, 2ab-3a2+5b2, m-2n-8
Término nulo: Si el coeficiente de un término es cero, se tiene un término cuyo valor
absoluto es cero o nulo. (0)x2y = 0 (0)a2 = 0
2.7 GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
El exponente de mayor orden de la variable se conoce como grado del polinomio. Para
encontrar el grado de un polinomio, basta examinar cada término y hallar el exponente de
2-5

6. LENGUAJE ALGEBRAICO
mayor orden de la variable. Por lo tanto, el grado de 3x2 + 5x4 - 2 se halla examinando el
exponente de la variable en cada término.
El exponente en 3x2 es 2
El exponente en 5x4 es 4
El exponente en -2 es 0, porque -2=-2x0 (x0=1)
Entonces el grado de 3x 2  5x 4  2 es 4, el exponente de mayor orden de la variable en el
polinomio.
De manera semejante, el grado de 4 y 3  3 y 5  9 y 2 es 5, puesto que 5 es el exponente de
mayor orden de una variable presente en el polinomio.
Por convención, un número como -4 o 7 se conoce como polinomio de grado 0, porque si
a0, a=ax°.
El grado de un polinomio puede ser “absoluto” o “relativo” a una literal.
Grado absoluto: El grado absoluto de un polinomio se determina por el exponente mayor,
de uno de sus términos.
a4  5a3  7a 2  3a  1 El grado absoluto es cuatro.
2 x5  6 x3 y 5  2 x 2 y 6  4 x El grado absoluto es sexto.
2ab  a2b3  3a3b3  5b5 El grado absoluto es quinto.
Grado relativo a una literal: El grado relativo de un polinomio con respecto a una literal,
es el mayor exponente que tiene la literal que se considere del polinomio.
xy 7  x 4 y 3  x 2 y 6  4 x El grado con relación a x es séptimo, de quinto grado con relación a y.
a  2a b  7ab  8
5 2 2
El grado con relación a a es tres, de segundo grado con relación a b.
Polinomio cero
El mismo número 0 se conoce como polinomio cero y no se le asigna grado. Se hace notar
que 0x4=0, 0x2=0, 0x3=0, y así sucesivamente de modo que los polinomios cero no pueden
tener grado.
2.8. ORDENAMIENTO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los exponentes de
una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde el primero hasta el último con
respecto a la letra considerada, que recibe el nombre de letra ordenatriz. Esto simplifica
muchas veces las operaciones con polinomios.
2-6

7. LENGUAJE ALGEBRAICO
Así, por ejemplo, el polinomio x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy 3 está ordenado en orden ascendente con
respecto a la letra ordenatriz y y está ordenado en orden descendente con respecto a la letra
ordenatriz x.
Ejemplo
Escribir en orden ascendente el polinomio 5 y 3  8 y 5  43  20 y 7  11y  2 y 4
SOLUCIÓN: Ordenamos los términos de menor a mayor según su grado, así:
43  11y  5 y  2 y  8 y  20 y
3 4 5 7
Ejemplo
Ordenar el polinomio x5 –x7 +x4 –x6 en orden descendente con respecto a la letra x
SOLUCIÓN: Deberíamos escribirlo así: –x7 –x6 +x5 +x4
Ejemplo
Escribir en orden descendente el polinomio 4w3 z 5  32wz 7  14w8  21w2 z 3  45w6 z , con
respecto a cada una de las variables.
SOLUCIÓN: Debemos ordenar los términos del polinomio de mayor a menor respecto a cada
variable.
Respecto a la variable w tenemos:  14w8  45w6 z  4w3 z 5  21w2 z 3  32wz 7
Respecto a la variable z tenemos: 32wz 7  4w3 z 5  21w2 z 3  45w6 z  14w8
Así pues, ordenar un polinomio consiste en escribir todos sus términos en un orden tal que
los exponentes de una misma letra, llamada ordenatriz, vayan disminuyendo o aumentando
desde el primer término hasta el último.
2.9. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.
La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los valores
numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al efectuar las
operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.
JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES
1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de una
raya de fracción.
2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que se
presenten de izquierda a derecha.
3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.
2-7

8. LENGUAJE ALGEBRAICO
Ejemplo
Resuelve 2a2bc3, cuando a=2, b=3 y c=1
2(2)2(3)(1)3 = 2(4)(3)(1) = 24
Ejemplo
Evaluar 4 bx 3 , cuando b=8 y x=2
4 8  2  4 8  8  48  32
3
Ejemplo
8a 5b 2 2a 2b
Evaluar   2 cuando a=1, b=2, y=4 y x=3.
x y x y
81 52 21 2 81 54 212 8 4 96  180  4 272
2 2
5
      5   7
3 4 3 4 3
2
4 94 3 36 36 36 9
Ejemplo
4x  6
Resuelve para x=3.
2
43  6 4  3  6 12  6 18
   9
2 2 2 2
Ejemplo
Resuelve xy  3 y para x=2 y=3.
 2 3  3 3  6  9  15
Ejemplo
5w  3 z
Evaluar cuando w = -4.2 z = 3.6
w  2z
5w  3z 5 4.2  33.6  21  10.8  31.8
    10.6
w  2z  4.2  23.6  4.2  7.2 3
2-8

9. LENGUAJE ALGEBRAICO
EJERCICIOS 2.1:
Reducir los siguientes términos:
1) 7 x a  2 y b1  5x a  2 y b1  17) 12 y 2  3 y 2  9 y 2  8 y 2 
2) 4 x  6 x  7 x  18)  2 x  3x  4 x  5x  3x 
3)  2 y  3 y  5 y  19)  3 y  4 y  y  2 y  5 y 
4) 3xy  4 xy  5xy  20)  2 xy  3xy  xy  3xy  4 xy 
5) 7a  8a  a  21) 3x 2 y  4 x 2 y  5x 2 y  6 x 2 y  7 x 2 y 
6)  7 xy  4 xy  5xy  22) 2 x  x  2 x  3x  x  2 x 
7)  3x a  2 x a  4 x a  23) 2 x a  3x a  4 x a  x a  2 x a 
8)  5a x1  2a x1  3a x1  24) 2 x a 1  3x a 1  x a 1  3x a 1  x a1 
9) x  2 x  3x  4 x  25) 2 x  3x  x  2 x  4 x  3x 
10) 2 xy  3xy  xy  2 xy  26)  2 y  3 y  y  4 y  2 y  y 
11) 3 y 2  2 y 2  4 y 2  3 y 2  27) 1 a  1 a 
2 2
12) ab  2ab  3ab  ab 
28) 3 ab  1 ab 
13) 4 xy  2 xy  3xy  5xy  5 10
14)  3ab 2  4ab 2  ab 2  2ab 2  29) 1 xy  1 xy 
3 6
15) 15xy  7 xy  xy  3xy  30)  1 xy  4 xy 
5 5
16)  3ab  4ab  ab  5ab 
EJERCICIOS 2.2:
Reducir los siguientes términos:
a)  x 2 y  2 x 2 y  5 2 5
g) a b  a 2b 
4 2 9 6 12
b)  x y  x2 y  7
7 11 h)  a m b n  a m b n 
c)  x a 1  x a 1  8
3
d)  9ab 2  9ab 2  i)  5mn  mn 
4
3 5
e) am  am  1
8 4 j) 4a 2  a 2 
3
f) 25m a1  32m a1 
5 m1 7 m1
k) a  a 
6 12
2-9

10. LENGUAJE ALGEBRAICO
1 1 u) 7 x 2 y  7 x 2 y 
l)  a m2  a m2 
4 2 v)  101mn  118mn 
a 1 a 1
m)  x x  w) 502ab  405ab 
3 x)  1024 x  1018x 
n)  am  am 
5 y)  15ab  15ab 
5 7 1 3
o) mn  mn  z) a a 
6 8 2 4
3 3 1
p)  a 2 b  a 2 b  aa) a  a 
11 4 2
q) 3.4a 4 b 3  5.6a 4 b 3  bb) 55a 3b 2  81a 3b 2 
r)  1.2 xy  3.4 xy  cc)  15xy  40 xy 
s) 4a x  2a x  dd)  m 2 n  6m 2 n 
t)  8a x1  8a x1 
EJERCICIOS 2.3:
Reducir los siguientes términos:
3 1 1 v.  11ab  15ab  26ab 
i.  m m m 
5 4 2 vi. 19m  10m  6m 
2 1 vii. –x +19x -18x=
ii. y yy
3 3
viii. 12mn  23mn  5mn 
x2 x2 x2
iii.  24a  15a  39a 
ix. –8x +9x -x=
iv.  5a  9a  35a 
x x x
x. 9a  3a  5a 
xi.  21ab  52ab  60ab  84ab  31ab  ab  23ab 
xii. 40a  81a  130a  41a  83a  91a  61a 
5 3 2 2 3 2 1 3 2 5 3 2
xiii. a a  a a  a a  a a  4a 3 a 2 
6 3 4 8
xiv. 84m 2 x  501m 2 x  604m 2 x  715m 2 x  231m 2 x  165m 2 x 
xv.  a 2 b  15a 2 b  a 2 b  85a 2 b  131a 2 b  39a 2 b 
xvi.  9b  11b  17b  81b  b  110b 
xvii. a  6a  2a  150a  80a  31a 
xviii.  a x1  7a x1  11a x1  20a x1  26a x1 
xix. 7a x  30a x  41a x  9a x  73a x   2x 
3 1 5
x xx x 
xx.
4 4 6
2 - 10

11. LENGUAJE ALGEBRAICO
1 2 7 1 5 1 3
xxi. x x x xx  xxvii.  ab 2  ab 2  ab 2  ab 2 
2 3 6 2 6 6 8
xxii.  a  a  a  a  3a  6a  3 2 1 1
xxviii. a b  a 2b  a 2b  a 2b 
5 6 3
xxiii. a 2 y  7a 2 y  93a 2 y  51a 2 y  48a 2 y 
1 1 1 1
xxix. y y y y
3 3 6 12
xxiv.  mn  14mn  31mn  mn  20mn 
1 1 1 1
xxx. x x x x 
2 3 4 5
xxv.  7c  21c  14c  30c  82c 
xxvi.  a  8a  11a  15a  75a 
EJERCICIOS 2.4:
Resolver cuando a=1, b=2, c=3, d=4, m=½, n=2/3, p=¼, x=0:
1. (a+b) c-d=
2. (a+b)(b-a)=
3. (b-m)(c-n)+4a2=
4. (2m+3n)(4p+b2)=
5. (4m+8p)(a2+b2)(6n-d)=
6. (c-b)(d-c)(b-a)(m-p)=
7. b2(c+d)-a2(m+n)+2x=
8. 2mx+6(b2+c2)-4d2=
 8m 16 p 
9.   a 
 9n b 

10. x  m a b  d c  c a  
4m  p  a 2  b 2
11.  
a c2
12. 2m  3n  4 p 8 p  6n  4m9n  20 p  
13. c 2 m  n  d 2 m  p   b 2 n  p  
 c2  d 2 2 
14.   m 
 a d
 
2 - 11

12. LENGUAJE ALGEBRAICO
15. 4 p  2b18n  24 p   28m  240 p  a  
d 2
a 5 2
16. b m 
d b p2
17. a  b  c 2  8b  m n 2 
 ac 6n 
18.     c  d  p 
 b 
 2 
19. 3c  b  32n  2d  a  16 p 
2

n
6abc 3mn cdnp
20.   
2 8b 2b  a  abc
2
 1 1  1 1   1 1 
21. b 2           
 a b  b c   n m 
22. 2m  3n4 p  2c   4m 2 n 2 
c
b2 
23. 3  n 
2ab  m b  m
24. 5ab 
25. 2bc 2 
4a
26. 
3bc
2m
27. 
n2
24mn
28. 
2 n2 p2
2 4 2 3
29. a b m 
3
30. 24m 2 n 3 p 
2 - 12

13. LENGUAJE ALGEBRAICO
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS 2.1:
a2 b 1 a2 b 1 a2
1) 7 x y  5x y  2x y b1 17) 12 y 2  3 y 2  9 y 2  8 y 2  10 y 2
2) 4 x  6 x  7 x  5x 18)  2 x  3x  4 x  5x  3x  5x
3)  2 y  3 y  5 y  4 y 19)  3 y  4 y  y  2 y  5 y  5 y
4) 3xy  4 xy  5xy  2 xy 20)  2 xy  3xy  xy  3xy  4 xy  xy
5) 7a  8a  a  0 21) 3x 2 y  4 x 2 y  5x 2 y  6 x 2 y  7 x 2 y  3x 2 y
6)  7 xy  4 xy  5xy  2 xy 22) 2 x  x  2 x  3x  x  2 x  3x
7)  3x a  2 x a  4 x a  3x a 23) 2 x a  3x a  4 x a  x a  2 x a  0
8)  5a x1  2a x1  3a x1  4a x1 24) 2 x a1  3x a1  x a1  3x a1  x a 1  4 x a1
9) x  2 x  3x  4 x  2 x 25) 2 x  3x  x  2 x  4 x  3x   x
10) 2 xy  3xy  xy  2 xy  2 xy 26)  2 y  3 y  y  4 y  2 y  y  y
11) 3 y 2  2 y 2  4 y 2  3 y 2  2 y 2 27) 1 a  1 a  a
2 2
12) ab  2ab  3ab  ab  ab
28) 3 ab  1 ab  7 ab
13) 4 xy  2 xy  3xy  5xy  0 5 10 10
14)  3ab 2  4ab 2  ab 2  2ab 2  0 29) 1 xy  1 xy  1 xy
3 6 2
15) 15xy  7 xy  xy  3xy  7 xy 30)  1 xy  4 xy   xy
5 5
16)  3ab  4ab  ab  5ab  5ab
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS 2.2:
a)  x 2 y  2 x 2 y  0 7 m n 1
h)  a b  a mb n  a mb n
4 2 9 1 8 8
b)  x y  x2 y  x2 y 3 17
7 11 14 i)  5mn  mn   mn
c)  x a 1  x a 1  0 4 4
1 11
d)  9ab 2  9ab 2  0 j) 4a 2  a 2  a 2
3 3
3 5 7
e) am  am   am 5 m1 7 m1 1 m1
8 4 8 k) a  a  a
6 12 4
f) 25m a1  32m a1  7m a1
1 1 1
5 2 5 5 l)  a m2  a m2  a m2
g) a b  a 2b  a 2b 4 2 4
6 12 12
m)  x a 1  x a 1  0
2 - 13

14. LENGUAJE ALGEBRAICO
3 2 w) 502ab  405ab  97ab
n)  am  am   am
5 5 x)  1024 x  1018x  6 x
5 7 1 y)  15ab  15ab  0
o) mn  mn   mn
6 8 24 1 3 1
z) a a a
3 8 2 4 4
p)  a 2 b  a 2 b   a 2 b
11 11 3 1 1
aa) a  a  a
q) 3.4a 4 b 3  5.6a 4 b 3  2.2a 4 b 3 4 2 4
r)  1.2 xy  3.4 xy  2.2 xy bb) 55a 3b 2  81a 3b 2  26a 3b 2
s) 4a x  2a x  2a x cc)  15xy  40 xy  25xy
t)  8a x1  8a x1  0 dd)  m 2 n  6m 2 n  5m 2 n
u) 7 x 2 y  7 x 2 y  0
v)  101mn  118mn  17mn
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS 2.3:
3 1 1 17 v.  11ab  15ab  26ab  0
i.  m m m   m
5 4 2 20 vi. 19m  10m  6m  15m
2 1 vii. –x +19x -18x=0
ii. y  y  y 0
3 3
viii. 12mn  23mn  5mn  16mn
iii.  24a x2  15a x2  39a x2  0
ix. –8x +9x -x=0
iv.  5a  9a  35a  31a
x x x x
x. 9a  3a  5a  11a
xi.  21ab  52ab  60ab  84ab  31ab  ab  23ab  0
xii. 40a  81a  130a  41a  83a  91a  61a   28a
5 3 2 2 3 2 1 3 2 5 3 2 5
xiii. a a  a a  a a  a a  4a 3 a 2  4 a 3 a 2
6 3 4 8 8
xiv. 84m 2 x  501m 2 x  604m 2 x  715m 2 x  231m 2 x  165m 2 x  1340m 2 x
xv.  a 2 b  15a 2 b  a 2 b  85a 2 b  131a 2 b  39a 2 b  162a 2 b
xvi.  9b  11b  17b  81b  b  110b  9b
xvii. a  6a  2a  150a  80a  31a  88a
xviii.  a x1  7a x1  11a x1  20a x1  26a x1  a x1
xix. 7a x  30a x  41a x  9a x  73a x  0
2 - 14

15. LENGUAJE ALGEBRAICO
3 1 5 5
xx.  2 x  x xx x  x
4 4 6 6
1 2 7 1 1
xxi. x x x xx  x
2 3 6 2 2
xxii.  a  a  a  a  3a  6a  3a
xxiii. a 2 y  7a 2 y  93a 2 y  51a 2 y  48a 2 y  0
xxiv.  mn  14mn  31mn  mn  20mn  2mn
xxv.  7c  21c  14c  30c  82c  80c
xxvi.  a  8a  11a  15a  75a  64a
5 2 1 2 3 1
xxvii.  ab  ab  ab 2  ab 2   ab 2
6 6 8 6
3 2 1 1 7
xxviii. a b  a 2b  a 2b  a 2b   a 2b
5 6 3 30
1 1 1 1 1
xxix. y y y y y
3 3 6 12 12
1 1 1 1 13
xxx. x x x x  x
2 3 4 5 60
RESULTADOS DE LOS EJERCICIOS 2.4:
1. (a+b) c-d= 4m  p  a 2  b 2
11.  
2. (a+b)(b-a)= a c2
3. (b-m)(c-n)+4a2= 12. 2m  3n  4 p 8 p  6n  4m9n  20 p  
4. (2m+3n)(4p+b2)= 13. c 2 m  n  d 2 m  p   b 2 n  p  
5. (4m+8p)(a2+b2)(6n-d)=
 c2  d 2 2 
14.   m 
6. (c-b)(d-c)(b-a)(m-p)=  a d
 
7. b2(c+d)-a2(m+n)+2x=
15. 4 p  2b18n  24 p   28m  240 p  a  
8. 2mx+6(b2+c2)-4d2=
d 2
 8m 16 p  a 5 2
9.   a  16. b m 
 9n b  d b p2
 
10. x  m a b  d c  c a 
2 - 15

16. LENGUAJE ALGEBRAICO
17. a  b  c 2  8b  m n 2  25. 2bc 2 
 ac 6n  4a

18.     c  d  p  26.
 b  3bc
 2 
2m
27. 
19. 3c  b  32n  2d  a  16 p  
2
n n2
24mn
6abc 3mn cdnp 28. 
20.   
2 8b 2b  a  abc 2 n2 p2
2 2 4 2 3
 1 1  1 1   1 1  29. a b m 
21. b 2            3
 a b  b c   n m 
30. 24m 2 n 3 p 
22. 2m  3n4 p  2c   4m 2 n 2 
c
b2 
23. 3  n 
2ab  m b  m
24. 5ab 
2 - 16