Sinteza

Capitolul 1
Ecuatii diferentiale rezolvabile prin
¸ ¸
cuadraturi

1.1 Ecuatii diferentiale de ordin ˆ ai cu variabile sep-
¸ ¸ ıntˆ
arabile
Foma general˘ a unei ecuatii diferentiale de ordin ˆ ai cu variabile separabile este
a ¸ ¸ ıntˆ
x0 (t) = f (t)g(x(t)) (1.1)
unde I, J ⊂R; f : I → R, g : J→ R sunt dou˘ functii continue cu g(y) 6= 0, ∀y ∈ J.
a ¸
Rezolvarea ecuatiei diferentiale de ordin ˆ ai cu variabile separabile: Fie x = x(t) o
¸ ¸ ıntˆ
solutie a ecuatiei (1.1). Observ˘m c˘ ecuatia (1.1) poate ﬁ rescris˘ sub forma
¸ ¸ a a ¸ a
x0 (t)
= f (t), ∀t ∈ I.
g(x(t))
Integrˆnd aceast˘ egalitate membru cu membru rezult˘
Z a Za a
x0 (t)
dt = f (t)dt, ∀t ∈ I.
g(x(t)) Z Z
du
Obtinem G(x(t)) = f (t)dt + C, unde G este deﬁnit˘ prin relatia G(u) =
¸ a ¸ .
g(u)
Observ˘m c˘ g nu se anuleaz˘ pe J ¸i este continu˘, deci p˘streaz˘ semn constant pe
a a a s a a a
J. Putem presupune c˘ g(y) > 0, ∀y ∈ J, schimbˆnd eventual semnul functiei f. Atunci G
a a ¸
este strict cresc˘toare pe J, deci inversabil˘. Rezult˘
a a a
µZ ¶
−1
x(t, C) = G f (t)dt + C (1.2)

Exercitiul 1.1 S˘ se determine solutia general˘ a ecuatiei
¸ a ¸ a ¸
0 π
x cos t ln x − x = 0, t ∈ (0, 2 ), x > 0.
x 1 x
Rezolvare. Scriem ecuatia sub forma x0 =
¸ ⇒ f (t) = , g(x) = .
π
cos t ln x cos t ln x
Pe (0, 2 ), f este continu˘ iar pentru x > 1, g este continu˘ ¸i strict pozitiv˘, iar pentru
a as a
x ∈ (0, 1), g este continu˘ ¸i strict negativ˘. Obtinem
as a ¸

1

2 CAPITOLUL 1. ECUATII DIFERENTIALE REZOLVABILE PRIN CUADRATURI
¸ ¸
Z Z
ln x 0 1 ln x(s) 0 1 1 2t + π
x = ⇒ x (s)ds = dt ⇒ ln2 |x| = ln tg + C ⇒ x(t, C) =
v
x cos t x(s) cos t 2 4
u
u
t 2t + π
2 ln tg +C
e 4 , C ∈ R.N

¸ a ¸ a ¸
x0 = tx2 + 2tx.

Rezolvare. f (t) = t, g(x) = x2 + 2x. Observ˘m c˘ x(t) = 0 ¸i x(t) = 2 sunt solutii ale
a a s ¸
ecuatiei. Pe orice interval I = R, J ⊂ (−∞, 0) ∪ (2, ∞) sau J ⊂ (0, 2) avem
¸ µ ¶
1 1 1 1 ¯ x ¯
0
x = tdt ⇒ − x0 = tdt ⇒ ln ¯ x+2 ¯ = 2t2 + ln C ⇒
x2
¯ + 2x¯ 2 x x+2
¯ x ¯ 2 2
¯ ¯ 2t2 e2t e2t
¯x + 2¯ = Ce ⇒ x(t, C) = 2C 1−Ce2t2 , x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, ∞) ¸i x(t, C) = 2C −1−Ce2t2 ,
s
x ∈ (0, 2) .N

1.2 Ecuatii diferentiale de ordin ˆ ai reductibile la
¸ ¸ ıntˆ
ecuatii cu variabile separabile
¸
Deﬁnitia 1.1 Functia f = f (x, y) se nume¸te omogen˘ de grad α ∈ R dac˘
¸ ¸ s a a

f (λx, λy) = λα f (x, y). (1.3)

Forma general˘ a unei ecuatii diferentiale de ordin ˆ ai omogen˘ este
a ¸ ¸ ıntˆ a

x0 (t) = f (t, x(t)) (1.4)

unde f este o functie continu˘ ¸i omogen˘ de grad zero.
¸ as a
Rezolvarea ecuatiei diferentiale de ordin ˆ ai omogen˘ se face f˘cˆnd schimbarea de
¸ ¸ ıntˆ a a a
functie
¸

x(t) = tu(t) (1.5)

¸i se ajunge la o ecuatie cu variabile separabile.
s ¸

¸ a ¸ a ¸
x(t) x(t) π
x0 (t) = + tg , t 6= 0, x(t) 6= k t, k ∈ N.
t t 2
µ ¶
x(t) x(t) x(t)
Rezolvare. Observ˘m c˘ g
a a = + tg . Facem substitutia x(t) = tu(t) ¸i
¸ s
t t t Z
1 u0 (t) 1 u0 (t)
obtinem u(t) + tu0 (t) = u(t) + tg u(t) ⇔ u0 (t) = tg u(t) ⇔
¸ = ⇔ dt =
t tg u(t) t tg u(t)

1.2. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDIN ˆ AI REDUCTIBILE LA ECUATII CU VARIABILE SE
¸ ¸ INT ˆ ¸
Z
1 x(t) x(t)
dt ⇔ ln |sin u(t)| = ln t+ln C ⇔ sin u(t) = Ct ⇔ sin = Ct ⇔ = arcsin Ct, t ∈
· t ¸ · ¸ t t
1 1 1 1
− , ⇒ x(t, C) = t arcsin Ct, t ∈ − , .N
C C C C
Ecuatia diferential˘ de ordin ˆ ai de forma
¸ ¸ a ıntˆ

µ ¶
0 a1 x(t) + b1 t + c1
x (t) = f (1.6)
a2 x(t) + b2 t + c2

unde I ⊂R; f : I → R este o functie continu˘, ai , bi , ci ∈ R, a2 + b2 + c2 6= 0, i = 1, 2, poate
¸ a i i i
ﬁ redus˘ la o ecuatie cu variabile separabile.
a ¸
Rezolvarea ecuatiei (1.6) se face ˆ functie de compatibilitatea sistemului
¸ ın ¸

½
a1 x + b1 t + c1 = 0
. (1.7)
a2 x + b2 t + c2 = 0

Distingem trei cazuri: ¯ ¯
¯ a1 b1 ¯
Cazul I. Dac˘ sistemul (1.7) este compatibil determinat, ∆ = ¯
a ¯
¯ a2 b2 ¯ 6= 0, cu solutia
¸
½
x = y + x0
(t0 , x0 ) atunci prin schimbarea de variabil˘ ¸i de functie
as ¸ ,ecuatia (1.6) poate
¸
t = s + t0
ﬁ adus˘ la forma ecuatiei !
a Ã y(s) ¸ omogene
a1 s + b1
y 0 (s) = f .
a2 y(s) + b2
s ¯ ¯
¯ a1 b1 ¯
Cazul II. Dac˘ sistemul (1.7) este compatibil nedeterminat ∆ = ¯
a ¯
¯ a2 b2 ¯ = 0 ¸i s
µ ¶
a1 b1 c1
rang = 1, atunci exist˘ λ 6= 0 astfel ˆ at (a1 , b1 , c1 ) = λ (a2 , b2 , c2 ) ¸i
a ıncˆ s
a2 b2 c2
ecuatia (1.6) se reduce la x0 (t) = f (λ).
¸ ¯ ¯
¯ a1 b1 ¯
Cazul III. Dac˘ sistemul (1.7) este un sistem incompatibil ∆ = ¯
a ¯ ¯ = 0 ¸is
µ ¶ a2 b2 ¯
a1 b1 c1
rang = 2 atunci (a1 , b1 ) = λ (a2 , b2 ) ¸i prin schimbarea de functie
s ¸
a2 b2 c2
y(t) = a1 x(t) + b1µse obtine ecuatia cu variabile separabile
t ¸ ¶ ¸
0
y (t) − b1 y(t) + c1
=f .¨
a1 λy(t) + c2

¸ a ¸ a ¸
µ ¶2
x(t) + 1
x0 (t) = 2 , t + x − 2 6= 0.
t + x(t) − 2

¸ ¸

Rezolvare. Observ˘m c˘ x(t) = −1 este solutie a ecuatiei diferentiale date. Consider˘m
a a ¸ ¸ ¸ a
sistemul algebric
½
x+1=0
. (1.8)
t+x−2=0
¯ ¯
¯ 0 1 ¯
Deoarece ¯ ¯
¯ 1 1 ¯ = −1 6= 0 sistemul algebric (1.8) are solutie unic˘, t0 = 3, x0 = −1.
¸ a
½
t=s+3
F˘cˆnd schimbarea de variabile ¸i de functie
a a s ¸ se obtine ecuatia diferential˘
¸ ¸ ¸ a
x=y−1
2
µ ¶2 µ y(s) ¶
y(s) s
y 0 (s) = 2 . Ecuatia se mai poate scrie sub forma y 0 (s) = 2
¸ care este
s + y(s) y(s)
1+
s
o ecuatie omogen˘. Efectu˘m schimbarea de functie y(s) = su(s) ¸i obtinem ecuatia
¸ a a ¸ s ¸ ¸
µ ¶2 3
u(s) −u(s) − u (s)
u(s) + su0 (s) = 2 ⇔ su0 (s) = su0 (s) = ⇔
1 + u(s) (1 + u(s))2
µ ¶
(1 + u(s))2 0 1 1 2 1
3
u (s) = ⇔ + 2 u0 (s) = ⇔
Z µ + u (s)
u(s) s¶ u(s) Z u (s) + 1 s
1 2 1
+ u0 (s)ds = ds ⇔
u(s) u2 (s) + 1 s
u(s)
ln u(s) + 2 arctg u(s) = ln s + ln C ⇔ = Ce−2 arctg u(s)
s
x(t) + 1
y(s) x(t) + 1 x(t) + 1 −2 arctg
t − 3 .N
Dar u(s) = = ⇒ = Ce
s t−3 (t − 3)2
¸ a ¸ a ¸
t − x(t) + 1
x0 (t) = , t − x(t) + 2 6= 0.
t − x(t) + 2
½ ¯ ¯
t−x+1=0 ¯ 1 −1 ¯
Rezolvare. Consider˘m sistemul algebric
a . Deoarece ∆ = ¯¯ ¯=
µ ¶ t−x+2=0 1 −1 ¯
1 −1 1
0 ¸i rang
s = 2 sistemul algebric (1.8) este incompatibil. Prin schimbarea de
1 −1 2
functie y(t) = −x(t) + t se obtine ecuatia cu variabile separabile
¸ ¸ ¸
−y 0 (t) + 1 y(t) + 1 1
= ⇔ y 0 (t) = ⇔
1 y(t) + 2 Z y(t) + 2 Z
(y(t) + 2)y 0 (t) = 1 ⇔ (y(t) + 2)y 0 (t)dt = 1dt ⇔
1 2 1
y (t) + 2y(t) = t + C ⇔ (−x(t) + t)2 + 2(−x(t) + t) = t + C.N
2 2
¸ a ¸ a ¸
4 0 4 6
2t x (t)x(t) + x (t) = 4t .

1.3. ECUATII CU DIFERENTIALE EXACTE
¸ ¸ 5

Rezolvare. Facem schimbarea de functie x(t) = y m (t), m ∈ R, y(t) > 0 ⇒ x(t) > 0,
¸
0 m−1 0
x (t) = my (t)y (t)
3
2t4 my m−1 (t)y 0 (t)y m (t) + y 4m (t) = 4t6 ⇒ m =
2
4t6 − y 6 (t)
3t4 y 2 (t)y 0 (t) + y 6 (t) = 4t6 ⇒ y 0 (t) =
3t4 y 2 (t)
care este o ecuatie diferential˘ omogen˘. Facem schimbarea de functie y(t) = tz(t).
¸ ¸ a a ¸
6 6 3
4 − z (t) 4 − z (t) − 3z (t)
z(t) + tz 0 (t) = 2 (t)
⇒ tz 0 (t) = ⇒
3z Z 3z 2 (t) Z
3z 2 (t) 0 1 3z 2 (t) 0 1
6 (t) − 3z 3 (t) + 4
z (t) = ⇔ 6 (t) − 3z 3 (t) + 4
z (t)dt = dt
−z t −z t
Pentru a calcula prima integral˘ facem schimbarea de variabil˘ w(t) = z 3 (t)
Z a Z a
3z 2 (t) w0 (t) 1 w(t) − 1
z 0 (t)dt = − dt = − ln
−z 6 (t) − 3z 3 (t) + 4 w2 (t) + 3w(t) − 4 5 w(t) + 4
Rezult˘ a v
uµ ¶
s u y(t) 3
u −1
1 z 3 (t) − 1 z 3 (t) − 1 u t C
ln 3 = − ln |t| + ln C ⇔ 5
= Ct ⇒ u uµ
5
¶3 =
5 z (t) + 4 z 3 (t) + 4 t
t y(t)
+4
t
2
Dar y(t) = x 3 (t) de unde rezult˘
µ 2 ¶ a
x (t)
− 1 µ ¶5 µ ¶5
t3 C x2 (t) − t3 C
µ 2 ¶ = ⇔ 2 3
= .N
x (t) t x (t) + 4t t
+4
t3

1.3 Ecuatii cu diferentiale exacte
¸ ¸
Forma general˘. Fie D o multime nevid˘ ¸i deschis˘ din R2 ¸i P , Q :D → R dou˘ functii
a ¸ as a s a ¸
de clas˘ C 1 pe D, cu Q(t, x) 6= 0 pe D. O ecuatie de forma
a ¸

P (t, x(t))dt + Q(t, x(t))dx(t) = 0 (1.9)

se nume¸te ecuatie cu diferential˘ exact˘ dac˘
s ¸ ¸ a a a

∂P ∂Q
= . (1.10)
∂x ∂y

Atunci exist˘ o functie de clas˘ C 2 , F :D → R, astfel ˆ at
a ¸ a ıncˆ
½ ∂F
∂t
= P (t, x)
∂F (1.11)
∂x
= Q(t, x)

¸ ¸

Rezolvarea ecuatiei cu diferential˘ exact˘. Dac˘ (1.9) este o ecuatie cu diferential˘ ex-
¸ ¸ a a a ¸ ¸ a
act˘, atunci x este solutie a ecuatiei dac˘ ¸i numai dac˘
a ¸ ¸ as a
P (t, x(t))dt + Q(t, x(t))dx(t) = 0, ∀t ∈ Dom(x), egaliatate care ˆ ımpreun˘ cu faptul c˘ F
a a
satisface (1.11) este echivalent˘ cu dF (t, x(t)) = 0, ∀t ∈ Dom(x), echivalent˘ cu F (t, x(t)) =
a a
C.
Determinarea lui F se face astfel: consider˘m sistemul de ecuatii cu derivate partiale
a ¸ ¸

 ∂F
 (t, x) = P (t, x)
∂t . (1.12)
 ∂F (t, x) = Q(t, x)

∂x

¸ a ¸ a ¸
(et + x(t) + sin x(t))dt + (et + t + t cos x(t))dx(t) = 0, ex + t + t cos x 6= 0.

∂P
Rezolvare. P (t, x) = et + x + sin x, Q(t, x) = ex + t + t cos x, (t, x) = 1 + cos x,
∂x
∂Q
(t, x) = 1+cos x, (1.10) este satisf˘cut˘ ⇒ este o ecuatie cu diferential˘ exact˘. Rezult˘
a a ¸ ¸ a a a
∂t
∂F ∂F
c˘ exist˘ o functie de clas˘ C 2 , F astfel ˆ at
a a ¸ a ıncˆ (t, x) = (et + x + sin x) ¸is (t, x) =
∂t Z ∂x
ex + t + t cos x. Integr˘m prima relatie ˆ raport cu t, F (t, x) = (et + x + sin x)dx =
a ¸ ın
∂F
(et + xt + t sin x) + h(x). Calcu˘m derivata ˆ raport cu t,
a ın (t, x) = (t + t cos x) + h0 (x).
∂x
Egal˘m expresiile derivatelor lui f ˆ raport cu x ¸i obtinem h0 (x) = ex ⇒ h(x) = ex +C1 ⇒
a ın s ¸
t x
F (t, x) = e + xt + t sin x + e + C1 ⇒
F (t, x(t)) = C2 ⇒ et + x(t)t + t sin x(t) + ex(t) = C, C = C2 − C1 .N

1.4 Ecuatii cu factor integrant
¸
Rezolvarea ecuatiei cu factor integrant. Dac˘ ecuatia (1.9) nu este cu diferential˘ exac-
¸ a ¸ ¸ a
t˘, c˘ut˘m o functie µ : D → R, de clas˘ C 1 cu µ(t, x) 6= 0, ∀(t, x) ∈ D astfel ˆ at
a a a ¸ a ıncˆ
µ(t, x)P (t, x)dt + µ(t, x)Q(t, x)dx s˘ ﬁe diferentiala unei functii F : D → R. O conditie
a ¸ ¸ ¸
necesar˘ ¸i suﬁcient˘ pentru aceasta este 1.10, adic˘:
as a a
∂ ∂
(µ(t, x)Q(t, x)) = (µ(t, x)P (t, x)) ,
∂t ∂x
care este echivalent cu
∂µ ∂Q ∂µ ∂P
(t, x)Q(t, x) + (t, x)µ(t, x) − (t, x)P (t, x) − (t, x)µ(t, x) = 0
∂t ∂t ∂x ∂x
sau µ ¶
∂µ ∂µ ∂Q ∂P
(t, x)Q(t, x) − (t, x)P (t, x) + (t, x) − (t, x) µ(t, x) = 0, ∀(t, x) ∈ D.
∂t ∂x ∂t ∂x
Aceasta este o ecuatie cu derivate partiale de ordinul ˆ ai cu µ ca functie necunoscut˘.
¸ ¸ ıntˆ ¸ a
Vom studia dou˘ cazuri particulare de rezolvare a acestui tip de ecuatii. Cazul general
a ¸

1.5. ECUATIA DIFERENTIALA DE ORDIN ˆ AI LINIARA
¸ ¸ ˘ INT ˆ ˘ 7

va ﬁ studiat la capitolul ecuatii cu derivate partiale de ordinul ˆ ai liniare omogene ¸i
¸ ¸ ıntˆ s
cvasiliniare.
Observ˘m c˘ dac˘
a
µ a a ¶
1 ∂P ∂Q
(t, x) − (t, x) = f (t)
Q(t, x) ∂x ∂t
este independent˘ de variabila x, putem c˘uta functia µ ca functie independent˘ de variabila
a a ¸ ¸ a
x. Aceast˘ functie este solutie a ecuatiei liniare omogene
a ¸ ¸ ¸
0
µ (t) = f (t)µ(t).
Analog,µ a P (t, x) 6= 0, ∀(t,¶ ∈ D ¸i
dac˘ x) s
1 ∂Q ∂P
(t, x) − (t, x) = k(x)
P (t, x) ∂t ∂x
este independent˘ de variabila t, putem c˘uta functia µ ca functie independent˘ de variabila
a a ¸ ¸ a
t. Aceast˘ functie este solutie a ecuatiei liniare omogene
a ¸ ¸ ¸
µ0 (x) = k(x)µ(x).
¸ a ¸ a ¸
(x(t) + ln t) dt− tdx(t) = 0, t > 0.
µ
∂P ∂Q 1 ∂P ∂Q
Rezolvare. P (t, x) = x+ln t, Q(t, x) = −t, (t, x) = 1, (t, x) = −1, (t, x) − (t, x
∂x ∂t Q(t, x) ∂x ∂t
2 2 1 1
= f (t) ⇒ µ0 (t) = µ(t) ⇒ ln µ(t) = −2 ln t ⇒ µ(t) = 2 ⇒ 2 (x(t) + ln t) dt −
−t −t t t
1 ∂F 1 ∂F 1
dx(t) = 0 ⇒ (t, x) = 2 (x + ln t) , (t, x) = − . Dintre aceste dou˘ relatii se inte-
a ¸
t ∂t t ∂x t
greaz˘ cea a c˘rei integral˘ se poate calcula mai u¸or, de exemplu integr˘m a doua relatie
a a a s a ¸
x ∂F x ln t ln t 1
⇒ F (t, x) = − + u(t), (t, x) = 2 + u0 (t) ⇒ u0 (t) = 2 ⇒ u(t) = − − + C1 ⇒
t ∂t t t t t
x(t) ln t 1
+ + = C ⇒ x(t, C) = Ct − ln t − 1.N
t t t

1.5 Ecuatia diferential˘ de ordin ˆ ai liniar˘
¸ ¸ a ıntˆ a
Forma general˘. O ecuatie diferential˘ de ordin ˆ ai liniar˘ este o ecuatie de forma
a ¸ ¸ a ıntˆ a ¸

x0 (t) = a(t)x(t) + b(t) (1.13)
unde a, b : I → R sunt functii continue pe I. Dac˘ b ≡ 0 pe I ecuatia se nume¸te liniar˘ ¸i
¸ a ¸ s as
omogen˘, iar ˆ caz contrar liniar˘ ¸i neomogen˘.
a ın as a
Teorema 1.1 Solutia general˘ a ecuatiei (1.13) ˆ conditiile a, b : I → R sunt functii con-
¸ a ¸ ın ¸ ¸
tinue pe I, este de forma:
 Z 
R
Z − a(t)dt
 
x(t, C) = e a(t)dt C + b(t)e dt (1.14)

¸ ¸

Demonstratie.
¸
Prezent˘m dou˘ metode de rezolvare a acestei ecuatii diferentiale.
a a ¸ ¸
Prima metod˘ este metoda variatiei constantelor a lui Lagrange.
a ¸
Solutia general˘ a ecuatiei (1.13) se scrie ca sum˘ dintre solutia general˘ a ecuatiei omo-
¸ a ¸ a ¸ a ¸
gene, xo (t, C) ¸i o solutie particular˘ a ecuatiei neomogene, xp (t), deci x(t, C) = xo (t, C)+
s ¸ a ¸
xp (t).
Etapa I. Determin˘m solutia general˘ a ecuatiei omogene. Fie ecuatia omogen˘
a ¸ a ¸ ¸ a
0
x (t) = a(t)x(t) care este o ecuatie cu variabile separabile. Solutia ei este xo (t, C) =
Z ¸ ¸
a(t)dt
Ce , C ∈ R.
Etapa II. C˘ut˘m o solutie particular˘ a ecuatiei neomogene de forma solutiei ecuatiei
a a ¸ a ¸ Z ¸ ¸
a(t)dt
omogene, presupunˆnd constanta ca functie necunoscut˘, x(t) = u(t)e
a ¸ a unde u este
o functie derivabil˘. Functia necunoscut˘ se determin˘ impunˆnd conditia ca functia
¸ Z a ¸ a a a ¸ Z ¸
a(t)dt − a(t)dt
x(t) = u(t)e Z s˘ veriﬁce ecuatia neomogen˘. Rezult˘ c˘ u0 (t) = e
a ¸ a a a b(t) ⇒
Z − a(t)dt
u(t) = b(t)e dt (nu am mentionat constanta deoarece c˘ut˘m o solutie particular˘
¸ a a ¸ a
Z Z
a(t)dt
Z − a(t)dt
a ecuatiei neomogene). Deci xp (t) = e
¸ b(t)e dt.
Z  Z 
a(t)dt
Z − a(t)dt
 
x(t, C) = e C + b(t)e dt este solutia general˘ a ecuatiei (1.13).
¸ a ¸

A doua metod˘ utilizeaz˘ factorul integrant. ˆ ecuatia (1.13) putem considera
a a µ In ¸ ¶
1 ∂P ∂Q a(t) 0
P (t, x) = a(t)x + b(t) ¸i Q(t, x) = −1 ⇒
s (t, x) − (t, x) = , µ (t) =
Z Q(t, x) ∂x ∂t −1
− a(t)dt
−a(t)µ(t) ⇒ µ(t, x) = e
Z Z ¸i obtinem:
s ¸ Z  Z  Z
− a(t)dt − a(t)dt − a(t)dt d  − a(t)dt − a(t)dt

x0 (t)e = a(t)x(t)e +b(t)e ⇔ x(t)e  = b(t)e ⇔
dt
Z Z
− a(t)dt
Z − a(t)dt
x(t)e = b(t)e dt + C ⇔
Z  Z 
a(t)dt
Z − a(t)dt
 
x(t, C) = e C + b(t)e dt .¨

¸ a ¸ a ¸

1.6. ECUATIA BERNOULLI
¸ 9

t
x0 (t) + x(t) = t + arcsin t, t ∈ [−1, 1] .
1 − t2
Rezolvare. Metoda variatiei constantelor. Determin˘m solutia general˘ a ecuatiei omo-
¸ a ¸ a ¸
gene Z 0 Z
0 t x0 (t) t x (t) t
x (t) + 2
x(t) = 0 ⇔ =− 2
⇔ dt = − dt ⇔
1−t x(t) 1−t x(t) 1 − t2
1 √
ln x(t) = ln(1 − t2 ) + ln C ⇔ x0 (t) = C 1 − t2 .
2 √
C˘ut˘m o solutie particular˘ a ecuatiei neomogene de forma xp (t) = u(t) 1 − t2 . Im-
a a ¸ a ¸
punem conditia s˘ veriﬁce ecuatia neomogen˘.
¸ a ¸ a
0
√ t t √
u (t) 1 − t2 − u(t) √ + u(t) 1 − t2 = t + arcsin t ⇔
1 − t2 1 − t2 Z Z
0
√ 0 t + arcsin t 0 t + arcsin t
u (t) 1 − t2 = t + arcsin t ⇔ u (t) = √ 2
⇔ u (t)dt = √ dt ⇔
1−t 1 − t2
√ 1
u(t) = − 1 − t2 + arcsin2 t.
2
µ ¶
√ 1 2
√
Rezult˘ c˘ xp (t) = − 1 − t
a a 2+ arcsin t. 1 − t2 , iar solutia general˘ este
¸ a
2
√ 1√
x(t, C) = x0 (t) + xp (t) = C 1 − t2 − (1 − t2 ) + 1 − t2 arcsin2 t.
2 Z
t
dt 1
2
Utilizˆnd a doua metod˘, ˆ
a a ınmultim ecuatia diferential˘ cu e 1 − t
¸ ¸ ¸ a = √ ¸i
s
1 − t2
obtinem
¸
1 t 1 1 1
x0 (t) √ + x(t) √ = t√ +√ arcsin t ⇔
µ 1 − t2 1¶ t2 − 1 − t2 1 − t2 1 − t2
d 1 1 1
x(t) √ = t√ +√ arcsin t ⇔
dt 2
1 − tZ µ 1−t 2 1 − t2 ¶
1 1 1
x(t) √ = t√ +√ arcsin t dt ⇔
1 − t2 1 − t2 1 − t2
1 √ 1
x(t) √ = − 1 − t2 + arcsin2 t + C ⇔
1 − t2 2
√ 1√
x(t, C) = C 1 − t2 − (1 − t2 ) + 1 − t2 arcsin2 t.N
2

1.6 Ecuatia Bernoulli
¸
Forma general˘. O ecuatie de forma
a ¸

x0 (t) = a(t)x(t) + b(t)xα (t), (1.15)

unde a, b : I → R sunt functii continue pe I, neidentic nule pe I ¸i neproportionale pe I, iar
¸ s ¸
α ∈ R {0, 1} , poart˘ denumirea de ecuatie Bernoulli.
a ¸

¸ ¸

Teorema 1.2 Dac˘ a, b : I → R sunt functii continue pe I neidentic nule ¸i neproportionale
a ¸ s ¸
pe I, iar α ∈ R {0, 1} atunci x este solutie pozitiv˘ a ecuatiei (1.15) dac˘ ¸i numai dac˘
¸ a ¸ as a
functia y deﬁnit˘ prin
¸ a

y(t) = x1−α (t) (1.16)

este pentru orice t ∈ I este o solutie pozitiv˘ a ecuatiei liniare ¸i neomogene
¸ a ¸ s

y 0 (t) = (1 − α)a(t)y(t) + (1 − α)b(t). (1.17)

Demonstratie.
¸
Dac˘ x este o solutie pozitiv˘ a ecuatiei (1.15), ˆ artim aceast˘ ecuatie prin xα ¸i
a ¸ a ¸ ımp˘ ¸ a ¸ s
obtinem:
¸

x0 (t)x−α (t) = a(t)x1−α (t) + b(t), (1.18)

¸i prin schimbarea de variabil˘ (1.16) obtinem
s a ¸
y 0 (t)
= a(t)y(t) + b(t) ⇔ y 0 (t) = (1 − α)a(t)y(t) + (1 − α)b(t)
1−α
care este o ecuatie diferntial˘ de ordin ˆ ai liniar˘ neomogen˘.¨
¸ ¸ a ıntˆ a a

¸ a ¸ a ¸
0 2
tx (t) + x(t) = x (t) ln t, t > 0, x(t) > 0.

Rezolvare. ˆ artim ecuatia prin x2 (t) ¸i obtinem x0 (t)x−2 (t) + t−1 x−1 (t) = t−1 ln t,
Imp˘ ¸ ¸ s ¸
not˘m
a
1 1
y(t) = x−1 (t) ¸i obtinem y 0 (t) = − y(t) + ln t care este o ecuatie liniar˘. Solutia este
s ¸ ¸ a ¸
t t
1 −1 1
y (t) = t (t ln t − t + C) ⇒ x (t, C) = t (t ln t − t + C) .N

1.7 Ecuatia Riccati
¸
Forma general˘. O ecuatie de forma
a ¸

x0 (t) = a(t)x(t) + b(t)x2 (t) + c(t), (1.19)

unde a, b, c : I → R sunt functii continue cu b ¸i c neidentic nule pe I poart˘ denumirea de
¸ s a
ecuatie Riccati.
¸

Teorema 1.3 Fie a, b, c : I → R sunt functii continue cu b ¸i c neidentic nule pe I. Dac˘
¸ s a
x1 : J → R este o solutie a ecuatiei (1.19), atunci solutia general˘ a ecuatiei (1.19) pe J
¸ ¸ ¸ a ¸
este dat˘ de
a
x(t, C) = y(t, C) + x1 (t)
unde y este solutia general˘ a ecuatiei Bernoulli
¸ a ¸
y (t) = (a(t) + 2x1 (t)) y(t) + b(t)y 2 (t).
0

1.8. ECUATIA LAGRANGE
¸ 11

Demonstratie.
¸
Prin calcul direct obtinem x(t) = y(t) + x1 (t) ⇒y 0 (t) = y 0 (t) + x01 (t) ⇒
¸
y (t) + x1 (t) = a(t) (y(t) + x1 (t)) + b(t) (y 2 (t) + 2y(t)x1 (t) + x2 (t)) + c(t) ⇒
0 0
1
y 0 (t) = (a(t) + 2x1 (t)) y(t) + b(t)y 2 (t) care este o ecuatie Bernoulli cu α = 2.¨
¸
¸ a ¸ a ¸
2
x0 (t) = x2 (t) − 2 , t > 0.
t
1
Rezolvare. Observ˘m c˘ x1 (t) =
a a este o solutie particular˘ a ecuatiei date. Fie
¸ a ¸
t
1 1 1 1 1 2
x(t) = y(t) + ⇒ x0 (t) = y 0 (t) − 2 ⇒ y 0 (t) − 2 = y 2 (t) + 2y(t) + 2 − 2 ⇒
t t t t t t
1 1
2
y (t) = 2y(t) + y (t) ⇒ y (t)y (t) = 2y (t) + 1, u(t) = y (t), u (t) = −y 0 (t)y −2 (t) ⇒
0 0 −2 −1 −1 0
t t
1 1
−u0 (t) = 2u(t) + 1 ⇒ u0 (t) = −2u(t) − 1. ˆ Inmultim ecuatia cu e2 ln t = t2 ⇒ u0 (t)t2 +
¸ ¸
t t
3
d t t
2u(t)t = −t2 ⇒ (u(t)t2 ) = −t2 ⇒ u(t)t2 = − + C ⇒ u(t, C) = − + Ct−2 ⇒
dx 3 3
3 3 1
y(t, C) = ⇒ x(t, C) = + .N
3Ct−2 − t 3Ct−2 − t t

1.8 Ecuatia Lagrange
¸
Forma general˘. O ecuatie diferential˘ de forma
a ¸ ¸ a
x(t) = tϕ(x0 (t)) + ψ(x0 (t)) (1.20)
ˆ care ϕ, ψ : R → R, functii de clas˘ C 1 pe R, ϕ(r) 6= r, ∀r ∈ R, se nume¸te ecuatie
ın ¸ a s ¸
Lagrange. (este o form˘ nenormal˘).
a a
Acest tip de ecuatie se poate integra folosind metoda parametrului. Ea const˘ ˆ
¸ a ın
determinarea solutiilor de clas˘ C 2 nu sub form˘ explicit˘ x = x(t) ci sub form˘ paramertic˘
½ ¸ a a a a a
t = t(p)
, p ∈ R.
x = x(p)
Rezolvarea ecuatiei Lagrange. Fie x o solutie de clas˘ C 2 a ecuatiei Lagrange. Deriv˘m
¸ ¸ a ¸ a
ecuatia (1.20) membru cu membru ¸i obtinem:
¸ s ¸
x0 (t) = ϕ(x0 (t)) + tϕ0 (x0 (t))x00 (t) + ψ 0 (x0 (t))x00 (t).
Notˆnd x0 (t) = p(t) avem x00 (t) = p0 (t) ¸i rezult˘
a s a
p(t) = ϕ(p(t)) + tϕ0 (p(t))p0 (t) + ψ 0 (p(t))p0 (t) ⇔
dp ϕ(p(t)) − p(t)
(t) = − 0 . (1.21)
dt tϕ (p(t)) + ψ 0 (p(t))
Presupunˆnd c˘ p este inversabil˘ ¸i notˆnd inversa ei cu t = t(p), ecuatia (1.21) se mai
a a as a ¸
scrie sub forma
dt ϕ0 (p) ψ 0 (p)
(p) = − t(p) − . (1.22)
dp ϕ(p) − p ϕ(p) − p

¸ ¸

Ecuatia (1.22) este o ecuatie diferential˘ de ordin ˆ ai liniar˘ ¸i poate ﬁ integrat˘ prin
¸ ¸ ¸ a ıntˆ as a
una din metodele prezentate ˆ Teorema 1.1. Vom g˘si t = θ(p, C), p ∈ R ¸i C o constant˘
ın a s a
real˘. Folosim ecuatia (1.20) deducem:
a ¸
½
t = θ(p, C)
, p ∈ R. (1.23)
x = θ(p, C)ϕ(p) + ψ(p)

Observatia 1.1 ˆ cazul ˆ care ˆ (1.23) putem elimina parametrul p, obtinem solutia
¸ In ın ın ¸ ¸
general˘ sub form˘ implicit˘ sau chiar sub form˘ explicit˘.
a a a a a

¸ a ¸ a ¸
1 0
x(t) = tx (t) + (x0 (t))2 .
2
Rezolvare. Deriv˘m ecuatia Lagrange ˆ raport cu t ¸i obtinem notˆnd x0 (t) = p(t):
a ¸ ın s ¸ a
1 0 1 00
x0 (t) = x (t) + tx (t) + 2x0 (t)x00 (t) ⇔
2 2
1 1 0
p(t) = p(t) + tp (t) + 2p(t)p0 (t).
2 2
Facem schimbarea de functie p(t) ←→ t(p) ¸i obtinem
¸ s ¸
1 ¯ 1
t0 (p) = t(p) + 4p ¯ · ⇒
¯µ p ¶ p
d¯ ¯ t(p) 1 1
¯ = 4 ⇒ t(p) = 4p + C ⇒ t(p) = 4p2 + Cp ⇒
dp p p
( 2
t(p) = 4p + Cp
1 .
x(p) = (4p2 + Cp)p + p2
2
Observ˘m c˘ ecuatia admite ¸i solutia x(t) = 0.N
a a ¸ s ¸

1.9 Ecuatia Clairaut
¸
Forma general˘. O ecuatie diferential˘ de forma
a ¸ ¸ a

x(t) = tx0 (t) + ψ(x0 (t)) (1.24)

ˆ care ψ : R → R, functie de clas˘ C 1 pe R se nume¸te ecuatie Clairaut.
ın ¸ a s ¸
Ecuatia Clairaut se rezolv˘ tot prin metoda parametrului.
¸ a
Rezolvarea ecuatiei Clairaut. Fie x o solutie de clas˘ C 2 pe R a ecuatiei (1.24). Derivˆnd
¸ ¸ a ¸ a
ecuatia (1.24) obtinem:
¸ ¸
x (t) = x (t) + tx00 (t) + ψ 0 (x0 (t))x00 (t) ⇔ x00 (t) (t + ψ 0 (x0 (t))) = 0.
0 0

Notˆnd p(t) = x0 (t), ecuatia de mai sus este echivalent˘ cu
a ¸ a
0 0
p (t) (t + ψ (p(t))) = 0.
Dac˘ p0 (t) = 0 rezult˘ x0 (t) = c cu c ∈ R, ¸i ˆ
a a s ınlocuind ˆ ecuatia (1.24) obtinem
ın ¸ ¸

1.10. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDIN SUPERIOR.
¸ ¸ 13

x(t) = ct + ψ(t) (1.25)
numit˘ solutia general˘ a ecuatiei Clairaut care, din punct de vedere geometric,
a ¸ a ¸
reprezint˘ o familie de drepte.
a
Dac˘ t + ψ 0 (p(t)) = 0 deducem
a

½
t = −ψ 0 (p)
, p ∈ R. (1.26)
x = −pψ 0 (p) + ψ(p)
sistem care define¸te parametric o curb˘ plan˘ numit˘ solutia singular˘ a ecuatiei
s a a a ¸ a ¸
Clairaut ¸i care nu este altceva decˆt ˆ a¸ur˘toarea familiei de drepte definite de (1.26)
s a ınf˘s a
(ˆ a¸ur˘toarea unei familii de drepte este o curb˘ cu proprietatea c˘ familia de drepte
ınf˘s a a a
coincide cu familia tuturor tangentelor la curb˘).¨
a
¸ a ¸ a ¸
0 0 2
x(t) = tx (t) − (x (t)) .
Rezolvare. Deriv˘m ecuatia Clairaut ˆ raport cu t ¸i obtinem notˆnd x0 (t) = p(t):
a ¸ ın s ¸ a
x0 (t) = x0 (t) + tx00 (t) − 2x0 (t)x00 (t) ⇔ x00 (t) (t − 2x0 (t)) = 0 ⇔ p0 (t) (t − 2p(t)) = 0 ⇒
p0 (t) = 0 ⇒ x(t) = ct + d ⇒ ct + d = ct − c2 ⇒ d = −c2 ⇒ x(t) = ct − c2 care reprezint˘ a
solutia general˘ a ecuatiei.
¸ a ¸
t − 2p = 0 ⇒ t = 2p ⇒
½
t = 2p
x = p2
care reprezint˘ solutia singular˘ a ecuatiei Clairaut. Ecuatia implicit˘ a curbei este
a ¸ a ¸ ¸ a
t2
x(t) = . Aceasta reprezint˘ o parabol˘. Tangentele la parabol˘ duse prin punctul (t0 , x0 )
a a a
4
2
tt0 t0 t0 t2
de pe parabol˘ au ecuatia x + x0 =
a ¸ . Dar x0 = ⇒ x = t − 0 care reprezint˘ ecuatia a ¸
2 4 2 4
t0
x(t) = ct − c2 cu c = .N
2

1.10 Ecuatii diferentiale de ordin superior.
¸ ¸
Vom prezenta cˆteva clase de ecuatii diferentiale de ordin n care, de¸i nu pot fi rezolvate
a ¸ ¸ s
prin metode elementare, pot fi reduse la ecuatii de ordin strict mai mic decˆt n.
¸ a
I. Ecuatii de forma
¸
x(n) (t) = f (t), n ≥ 2,
unde f : I → R o functie continu˘. Aceste ecuatii pot fi integrate complet, solutia lor
¸ a ¸ ¸
general˘ exprimˆndu-se Z µZn µ Zari succesive. Obtinem
a a prin integr˘ ¶ ¶ ¸
x(t, c1 , c2 , . . . , cn ) = ... f (t)dt . . . dt dt + c1 tn−1 + c2 tn−2 + · · · + cn−1 t + cn ,
(c1 , c2 , . . . , cn ) ∈ Rn

¸ ¸

Exemplul 1.1 S˘ se determine solutia general˘ a ecuatiei
a ¸ a ¸
(3)
x (t) = sin t.

t2
Rezolvare. x00 (t) = − cos t+c1 ⇒ x0 (t) = − sin t+c1 t+c2 ⇒ x(t) = cos t+c1 +c2 t+c3 ⇒
2
t2
x(t, c1 , c2 , c3 ) = cos t + c1 + c2 t + c3 .N
2
II. Fie ecuatia de ordin n incomplet˘
¸ a

¡ ¢
F t, x(k) , x(k+1) , . . . , x(n) = 0 (1.27)

unde 0 < k < n ¸i F : Dom(F ) ⊂ Rn−k+2 → R. Substitutia y(t) = x(k) (t) reduce aceast˘
s ¸ a
ecuatie diferential˘ la una de ordinul n − k cu functia necunoscut˘ y
¸ ¸ a ¸ a

³ 0
´
(n−k)
F t, y, y , . . . , y = 0. (1.28)

S˘ presupunem c˘ putem determina solutia general˘ a ecuatiei (1.28), y = y(t, c1 , . . . cn−k ).
a a ¸ a ¸
ˆ aceste conditii, solutia general˘ a ecuatiei (1.27), x = x(t, c1 , . . . cn ) se obtine integrˆnd
In ¸ ¸ a ¸ ¸ a
de k ori identitatea x(k) = y.

Exemplul 1.2 S˘ se determine solutia general˘ a ecuatiei
a ¸ a ¸
1 00
x000 = − x + 3t, t > 0.
t
Rezolvare. Substitutia x00 = y conduce la ecuatia diferential˘ de ordin ˆ ai liniar˘
¸ ¸ ¸ a ıntˆ a
0 1
y = − y + 3t
t R dt
a c˘rei solutie general˘ se obtine ˆ
a ¸ a ¸ ınmultind ecuatia cu e t = t ⇒ y 0 t = −y + 3t2 ⇒
¸ ¸
c1 c1 t3
(yt)0 = 3t2 ⇒ yt = t3 + c1 ⇒ y(t) = t2 + ⇒ x00 (t) = t2 + ⇒ x0 (t) = + c1 ln t + c2 ⇒
t t 3
t4 t4
x(t) = + c1 (t ln t − t) + c2 t + c3 ⇒ x(t, c1 , c2 , c3 ) = + c1 (t ln t − t) + c2 t + c3 .N
12 12

Capitolul 2
Ecuatii diferentiale liniare de ordin n
¸ ¸

2.1 Forma general˘
a
Deﬁnitia 2.1 O ecuatie diferential˘ liniar˘ de ordin n este o ecuatie de forma:
¸ ¸ ¸ a a ¸
x(n) (t) + a1 (t)x(n−1) (t) + · · · + an−1 (t)x0 (t) + an (t)x(t) = f (t) (2.1)
unde a1 , a2 , . . . , an , f sunt functii contiune de la un interval nevid deschis I ˆn R, iar
¸ ı
n
x ∈ C (I, R) este functia necunoscut˘.
¸ a
Dac˘ ˆn ecuatia diferential˘ (2.1) avem f (t) = 0, ∀t ∈ I, ecuatia se nume¸te liniar˘
a ı ¸ ¸ a ¸ s a
omogen˘ de ordin n. In
a ˆ caz contrar ecuatia diferential˘ (2.1) se nume¸te liniar˘ neo-
¸ ¸ a s a
mogen˘.a
Problema Cauchy pentru ecuatia diferential˘ liniar˘ de ordin n :
¸ ¸ a a
n
S˘ se determine functia x ∈ C (I, R), I un interval nevid deschis ˆ R astfel ˆ at
a ¸ ın ıncˆ

½
x(n) (t) = −a1 (t)x(n−1) (t) − · · · − an−1 (t)x0 (t) − an (t)x(t) + f (t)
, (2.2)
x(t0 ) = x00 , x0 (t0 ) = x10 , . . . , x(n−1) (t0 ) = xn−1,0
unde a1 , a2 , . . . , an , f sunt functii contiune pe I, t0 , xi0 ∈ R,i = 0, n.
¸
Existenta ¸i unicitatea solutiei problemei Cauchy: reamintim c˘ prin intermediul
¸ s ¸ a
transform˘rilor
½ a ¡ ¢
(y1 , y2 , . . . , yn ) = x, x0 , . . . , x(n−1)
,
g (t, y1 , . . . , yn ) = (y2 , . . . , yn , f1 (t, y1 , y2 , . . . , yn ))
ecuatia (2.2) poate ﬁ rescris˘ echivalent ca un sistem de n ecuatii diferentiale de ordin ˆ ai
¸ a ¸ ¸ ıntˆ
cu n functii necunoscute:
 ¸
0
 y1 = y2

 0
 y = y3
 2

.
. ,
 .0
 y
 n−1 = yn


 y 0 = f (t, y , y , . . . , y )
n 1 1 2 n
unde f1 (t, y1 , y2 , . . . , yn ) = −a1 (t)yn (t) − · · · − an−1 (t)y2 (t) − an (t)y1 (t) + f (t).

15

16 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE LINIARE DE ORDIN N
¸ ¸

Teorema 2.1 Fie f, ai ∈ C(I, R), i = 1, n. Pentru orice t0 ∈ I, ¸i orice xi0 ∈ R,i = 0, n − 1
s
problema (2.2) admite solutie unic˘ definit˘ ˆntr-o vecin˘tate suficient de mic˘ a lui t0 .
¸ a aı a a

2.2 Solutia general˘ a ecuatiei omogene
¸ a ¸
Consider˘m aplicatia:
a ¸

L : C n (I, R) → C(I, R) (2.3)

definit˘ de
a
L(x) = x(n) + a1 x(n−1) + · · · + an−1 x0 + an x, ∀x ∈ C n (I, R), ai ∈ C(I, R), i = 1, n.
Observ˘m c˘ ecuatia liniar˘ omogen˘ de ordin n se poate scrie de forma
a a ¸ a a

L(x) = 0, x ∈ C n (I, R), ai ∈ C(I, R), i = 1, n. (2.4)

Definitia 2.2 Functiile x1 , x2 , . . . , xn ∈ V se numesc liniar dependente pe I, dac˘ exist˘
¸ ¸ a a
(c1 , . . . , cn ) ∈ Rn , (c1 , . . . , cn ) 6= θRn astfel ˆ at
ıncˆ
c1 x1 (t) + . . . + cn xn (t) = θV , ∀t ∈ I.
ˆ caz contrar functiile x1 , x2 , . . . , xn ∈ V se numesc liniar independente pe I.
In ¸

Propozitia 2.1 Dac˘ x1 , x2 , . . . , xn sunt n solutii liniar independente ale problemei (2.4),
¸ a ¸
atunci solutia general˘ a acestei probleme este de forma
¸ a
X
n
x(t, c1 , . . . , cn ) = ci xi (t); ci ∈ R, i = 1, n. (2.5)
i=1

Definitia 2.3 Dac˘ functiile x1 , x2 , . . . , xn ∈ V sunt liniar independente, atunci ele poart˘
¸ a ¸ a
numele de sistem fundamental de solutii ale ecuatiei (2.4).
¸ ¸

Observatia 2.1 Determinarea solutiei generale revine la determinarea unui sistem funda-
¸ ¸
mental de solutii.
¸

Definitia 2.4 Fie functiile x1 , x2 , . . . , xn ∈ C n−1 (I, R). Se nume¸te wronskianul acestor
¸ ¸ s
functii determinantul:
¸ ¯ ¯
¯ x1 · · · xn ¯
¯ 0 ¯
¯ x1 0
· · · xn ¯
¯
W [t, x1 , x2 , . . . , xn ] = ¯ ¯.
··· ··· ··· ¯
¯ (n−1) ¯
¯ x (n−1) ¯
· · · xn
1

Teorema 2.2 Functiile x1 , x2 , . . . , xn ∈ V sunt liniar independente dac˘ ¸i numai dac˘
¸ a s a
wronskianul lor este diferit de zero, W [t, x1 , x2 , . . . , xn ] 6= 0, ∀t ∈ I.

¸ ˘
2.3. SOLUTIA GENERALA A ECUATIEI NEOMOGENE
¸ 17

Teorema 2.3 (Teorema lui Liouville) Dac˘ x1 , x2 , . . . , xn ∈ V atunci
a
Rt
− a1 (s)ds
W [t, x1 , x2 , . . . , xn ] = W [t0 , x1 , x2 , . . . , xn ] e t0
, ∀t ∈ I, (2.6)

iar t0 este un punct arbitrar, fixat din I.

Propozitia 2.2 Oricare ar fi n functii din V, wronskianul lor este sau identic nul sau
¸ ¸
diferit de zero ˆn orice punct din I.
ı

¸ a ¸ a ¸

t2 x00 − 5tx0 + 8x = 0, t 6= 0,

¸tiind c˘ admite ca solutii particulare x1 (t) = t2 , x2 (t) = t4 .
s a ¸

Rezolvare. Se verific˘ prin calcul direct c˘ x1 (t) = t2 ¸i x2 (t) = t4 sunt solutii ale ecuatiei
a a s ¸ ¸
date. Verific˘m dac˘ sunt liniar independnte.
a ¯ a2 4 ¯
¯ t t ¯
W [t, x1 , x2 ] = ¯ ¯ 5
¯ 2t 4t3 ¯ = 2t 6= 0.
Deci pe orice interval ˆ ınchis din R {0} solutia general˘ este de forma
¸ a
x(t, c1 , c2 ) = c1 t2 + c2 t4 , c1 , c2 ∈ R.N

2.3 Solutia general˘ a ecuatiei neomogene
¸ a ¸
Consider˘m ecuatia diferential˘ liniar˘ de ordin n neomogen˘
a ¸ ¸ a a a

L(x) = f ; x ∈ C n (I, R), f, ai ∈ C(I, R), i = 1, n. (2.7)

Teorema 2.4 Dac˘ xo (t, c1 , . . . , cn ) este solutia general˘ a ecuatiei diferentiale liniare
a ¸ a ¸ ¸
omogene de ordin n, (2.4), iar xp (t) este o solutie particular˘ a ecuatiei diferentiale liniare
¸ a ¸ ¸
neomogene de ordin n, (2.7), atunci

x(t, c1 , . . . , cn ) = xo (t, c1 , . . . , cn ) + xp (t)

este solutia general˘ a ecuatiei diferentiale (2.7).
¸ a ¸ ¸

Deci problema determin˘rii solutiei generale a unei ecuatii diferentiale liniare neomo-
a ¸ ¸ ¸
gene de ordin n, ˆ ipoteza c˘ se cunoa¸te un sistem fundamental de solutii, revine la
ın a s ¸
determinarea unei solutii particulare a ecuatiei neomogene. Metoda general˘ de aflare a
¸ ¸ a
solutiei particulare a ecuatiei neomogene este cunoscut˘ sub numele de metoda variatiei
¸ ¸ a ¸
constantelor a lui Lagrange.

¸ ¸

X
n
Teorema 2.5 Dac˘ xo (t, c1 , . . . , cn ) =
a ci xi (t); ci ∈ R, i = 1, n este solutia general˘ a
¸ a
i=1
ecuatiei omogene (2.4), atunci o solutie particular˘ xp a ecuatiei neomogene (2.7) este de
¸ ¸ a ¸
forma

X
n
xp (t) = Ci (t)xi (t), t ∈ I, (2.8)
i=1

0 0
unde C1 (t), . . . , Cn (t) sunt solutii ale sistemului
¸
 0 0
 C1 (t)x1 (t) + · · · + Cn (t)xn (t) = 0
 0
 C (t)x0 (t) + · · · + C 0 (t)x0 (t) = 0
1 1 n n
. (2.9)

 ···
 0 (n−1) 0 (n−1)
C1 (t)x1 (t) + · · · + Cn (t)xn (t) = f (t)

¸ a ¸ a ¸

t2 x00 − 5tx0 + 8x = t, t 6= 0,

¸tiind c˘ admite ca solutii particulare x1 (t) = t2 , x2 (t) = t4 .
s a ¸

Rezolvare. Ecuatia se scrie sub foma
¸

5 8 1
x00 − x0 + 2 x = . (2.10)
t t t
Stim din Exercitiul (2.1) c˘ solutia general˘ a ecuatiei omogene este
¸ ¸ a ¸ a ¸
xo (t, c1 , c2 ) = c1 t2 + c2 t4 , c1 , c2 ∈ R. C˘ut˘m o solutie particular˘ a ecuatiei neomogene de
a a ¸ a ¸
2 4
forma xp (t) = C1 (t)t + C2 (t)t . Calcul˘m derivatele lui xp ¸i impunem conditiile precizate
a s ¸
ˆ Teorema (2.5).
ın
x0p (t) = C1 (t)t2 + C1 (t)2t + C2 (t)t4 + C2 (t)4t3 ⇒ C1 (t)t2 + C2 (t)t4 = 0
0 0 0 0

x00 (t) = C1 (t)2t + C1 (t)2 + C2 (t)4t3 + C2 (t)12t2
p
0 0

ˆ
Inlocuim ˆ ecuatia neomogen˘ (2.10) ¸i obtinem
ın ¸ a s ¸
1
C1 (t)2t + C1 (t)2 + C2 (t)4t3 + C2 (t)12t2 − 10C1 (t) − 20C2 (t)t2 + 8C1 (t) + 8C2 (t)t2 = .
0 0
t
Rezult˘ sistemul:
( 0 a 2
C1 (t)t + C2 (t)t4 = 0
0
−t3 1 t 1
0 0
0 0 3 1 ⇒ C1 (t) = 5 = − 2 , C2 (t) = 5 = 4 .
C1 (t)2t + C2 (t)4t = 2t 2t 2t 2t
t
1 1 1 1 t t t
C1 (t) = , C2 (t) = − 3 ⇒ xp (t) = t2 − 3 t4 ⇒ xp (t) = − ⇒ xp (t) = .
2t 6t 2t 6t 2 6 3
Solutia general˘
¸ a
t
x(t, c1 , c2 ) = c1 t2 + c2 t4 + .N
3

2.4. ECUATII DIFERENTIALE CU COEFICIENTI CONSTANTI
¸ ¸ ¸ ¸ 19

2.4 Ecuatii diferentiale cu coeficienti constanti
¸ ¸ ¸ ¸
Definitia 2.5 O ecuatie diferential˘ liniar˘ de ordin n cu coeficienti constanti
¸ ¸ ¸ a a ¸ ¸
este o ecuatie de forma:
¸
x(n) (t) + a1 x(n−1) (t) + · · · + an−1 x0 (t) + an x(t) = f (t) (2.11)
unde f este o functie contiunu˘ de la un interval nevid I din R, a1 , . . . , an sunt numere
¸ a
n
reale, iar x ∈ C (I, R) este functia necunoscut˘.
¸ a
Dac˘ ˆn ecuatia diferential˘ (2.11) avem f (t) = 0, ∀t ∈ I, ecuatia se nume¸te liniar˘
aı ¸ ¸ a ¸ s a
omogen˘ de ordin n cu coeficienti constanti. In
a ¸ ¸ ˆ caz contrar ecuatia diferential˘ (2.11) se
¸ ¸ a
nume¸te liniar˘ neomogen˘.
s a a
Definim functia liniar˘
¸ a
L : C n (I, R) → C(I, R)
L(x) = x(n) + a1 x(n−1) + · · · + an−1 x0 + an x.
Ecuatia diferential˘ liniar˘ omogen˘ de ordin n cu coeficienti constanti poate
¸ ¸ a a a ¸ ¸
fi scris˘ sub forma
a
L(x) = 0, x ∈ C n (I, R), a1 , . . . , an ∈ R (2.12)
Ne propunem s˘ determin˘m efectiv solutia general˘ a unei ecuatii diferentiale liniare
a a ¸ a ¸ ¸
de ordin n cu coeficienti constanti. Pentru aceasta c˘ut˘m solutii ale ecuatiei (2.12) de
¸ ¸ a a ¸ ¸
forma x(t) = eλt , λ ∈ R. Are loc relatia
¸
L(eλt ) = eλt P (λ), t ∈ I. (2.13)
unde
P (λ) = λn + a1 λn−1 + · · · + an . (2.14)
Polinomul P (λ) se nume¸te polinom caracteristic, iar ecuatia
s ¸
P (λ) = 0 (2.15)
se nume¸te ecuatia caracteristic˘ ata¸at˘ ecuatiei (2.12).
s ¸ a s a ¸
Teorema 2.6 Functia x(t) = eλt este solutie a ecuatiei (2.12) dac˘ ¸i numai dac˘ este
¸ ¸ ¸ a s a
solutie a ecuatiei caracteristice (2.15).
¸ ¸
Teorema 2.7 Dac˘ polinomul¡P (λ) are n r˘d˘cini (reale sau complexe) distincte, λ1 , . . . ,
a a a
¢
λn , atunci sistemul de functii eλ1 t , . . . , eλn t este un sistem fundamental de solutii pentu
¸ ¸
ecuatia (2.12).
¸
Teorema 2.8 Sistemul de functii
¸
¡ k λj t ¢
t e | 0 ≤ k ≤ nj − 1, 1 ≤ j ≤ m (2.16)
este un sistem fundamental de solutii pentru ecuatia (2.12).
¸ ¸

¸ ¸

Observatia 2.2 Dac˘ λj = αj +iβj este r˘d˘cin˘ a ecuatiei (2.12) atunci deoarece tk eλj t =
¸ a a a a ¸
t (e cos βj +ie sin βj ) = t e cos βj +it e sin βj rezult˘ c˘ ¸i tk eαj t cos βj ¸i tk eαj t sin βj
k αj t αj t k αj t k αj t
a as s
sunt solutii ale ecuatiei (2.12). Deci asociem valorilor proprii λj ¸i λj de ordin de multiplic-
¸ ¸ s
itate cu nj urm˘torul sistem de 2nj functii reale
a ¸
¡ k αj t ¢
t e cos βj , tk eαj t sin βj | 0 ≤ k ≤ nj . (2.17)

Din independenta liniar˘ a sistemului (2.16) rezult˘ independenta sistemului (2.17).
¸ a a ¸

¸ a ¸ a ¸
½ 000
x + 3x00 − x0 − 3x = 0,
x(0) = 0, x0 (0) = 1, x00 (0) = −1.

Rezolvare. C˘ut˘m solutii ale ecuatiei de forma x(t) = eλt , λ ∈ R. Calcul˘m derivatele
a a ¸ ¸ a
0 λt 00 2 λt 000 3 λt
x (t) = λe , x (t) = λ e , x (t) = λ e ¸i le ˆ s ınlocuim ˆ ecuatie. Obtinem ecuatia
ın ¸ ¸ ¸
3 2
caracteristic˘ λ + 3λ − λ − 3 = 0 ⇒ (λ + 3)(λ − 1)(λ + 1) = 0 ⇒ λ1 = −3, λ2 = 1, λ3 = −1.
a
Observ˘m c˘ r˘d˘cinile ecuatiei caracteristice sunt reale ¸i distincte, rezult˘ c˘ sistemul
a a a a ¸ s a a
−3t t −t
de functii (x1 (t) = e , x2 (t) = e , x3 (t) = e ) este un sistem fundamental de solutii ⇒
¸ ¸
−3t t −t
x(t, c1 , c2 , c3 ) = c1 e + c2 e + c3 e . Determin˘m solutia particular˘ impunˆnd conditiile
a ¸ a a ¸
initiale:
¸  
 x(0) = c1 + c2 + c3  c1 + c2 + c3 = 0  c1 = − 1 8
x0 (0) = −3c1 + c2 − c3 ⇒ −3c1 + c2 − c3 = 1 ⇒ c2 = 38
 0  
x (0) = 9c1 + c2 + c3 9c1 + c2 + c3 = −1 c3 = − 1 4
x(t) = − 1 e−3t + 3 et − 1 e−t .N
8 8 4

¸ a ¸ a ¸

x(IV ) + 2x00 + x = 0.

Rezolvare. Polinomul caracteristic este: P (λ) = (λ2 + 1)2 ⇒ λ1,2 = −i, λ3,4 = i.
Observ˘m c˘ r˘d˘cinile ecuatiei caracteristice sunt complexe ¸i multiple cu ordinul de mul-
a a a a ¸ s
tiplicitate 2.
Sistemul de functii (sin t, cos t, t sin t, t cos t) este un sistem fundamental de solutii. Re-
¸ ¸
zult˘ solutia general˘ x(t, c1 , c2 , c3 , c4 ) = c1 sin t + c2 cos t + c3 t sin t + c4 t cos t.N
a ¸ a

¸ a ¸ a ¸

x(V ) − x(IV ) − x0 + x = 0.

Rezolvare. Polinomul caracteristic este: P (λ) = (λ2 + 1)(λ +1)(λ − 1)2 ⇒ λ1 = −i, λ2 =
i, λ3 = −1, λ4,5 = 1. Observ˘m c˘ r˘d˘cinile ecuatiei caracteristice sunt ¸i reale ¸i complexe,
a a a a ¸ s s
simple ¸i multiple.
s

¸ ¸ ¸ ¸ 21

Sistemul de functii (sin t, cos t, e−t , et , tet ) este un sistem fundamental de solutii. Rezult˘
¸ ¸ a
−t t t
solutia general˘ x(t, c1 , c2 , c3 , c4 , c5 ) = c1 sin t + c2 cos t + c3 e + c4 e + c5 te .N
¸ a

Consider˘m cazul ecuatiei diferentiale liniare de ordin n neomogen˘ cu coe-
a ¸ ¸ a
ficienti constanti. Consider˘m ecuatia
¸ ¸ a ¸

L(x) = f, x ∈ C n (I, R), a1 , . . . , an ∈ R, f ∈ C(I, R). (2.18)

Din Teorema 2.4 ¸tim c˘ solutia general˘ a ecuatiei neomogene este x(t, c1 , . . . , cn ) =
s a ¸ a ¸
xo (t, c1 , . . . , cn ) + xp (t) unde xo (t, c1 , . . . , cn ) este solutia general˘ a ecuatiei diferentiale
¸ a ¸ ¸
liniare omogene de ordin n, (2.4), iar xp (t) este o solutie particular˘ a ecuatiei diferentiale
¸ a ¸ ¸
liniare neomogene de ordin n. In ˆ momentul de fat˘ ¸tim s˘ determin˘m efectiv solutia
¸a s a a ¸
general˘ xo (t, c1 , . . . , cn ) a ecuatiei omogene ata¸ate, iar din Teorema 2.5, aplicˆnd metoda
a ¸ s a
variatiei constantelor lui Lagrange, putem determina xp (t). Astfel problema determin˘rii
¸ a
solutiei generale a unei ecuatii diferentiale liniare de ordin n neomogen˘ cu coeficienti
¸ ¸ ¸ a ¸
constanti este complet rezolvat˘.
¸ a

¸ a ¸ a ¸
( 1 π
x00 + x = , t 6= (2k + 1)
cos t 2
x(0) = 1, x0 (0) = −1.
Rezolvare. Determin˘m solutia general˘ a ecuatiei omogene. Polinomul caracteristic
a ¸ a ¸
2
este P (λ) = (λ + 1) ⇒ λ1 = −i, λ2 = i ⇒ xo (t, c1 , c2 ) = c1 sin t + c2 cos t.
C˘ut˘m o solutie particular˘ a ecuatiei neomogene folosind metoda variatiei constan-
a a ¸ a ¸ ¸
telor.
xp (t) = u1 (t) sin t + u2 (t) cos t
x0p (t) = u01 (t) sin t + u1 (t) cos t + u02 (t) cos t − u2 (t) sin t ⇒ u01 (t) sin t + u02 (t) cos t = 0
1
x00 (t) = u01 (t) cos t − u1 (t) sin t − u02 (t) sin t − u2 (t) cos t ⇒ u01 (t) cos t − u02 (t) sin t =
p .
cos t
Rezolv˘ sistemul:
( 0 a ¯ ¯
u1 (t) sin t + u02 (t) cos t = 0 ¯ sin t cos t ¯
1 ⇒∆=¯ ¯
¯ cos t − sin t ¯ = −1,
u01 (t) cos t − u02 (t) sin t =
¯ ¯ cos t ¯ ¯
¯ 0 cos t ¯ ¯ sin t 0 ¯
¯ ¯ ¯ ¯
∆u01 = ¯ 1 ¯ = −1, ∆u02 = ¯ 1 ¯ = tg t ⇒
¯ − sin t ¯ ¯ cos t ¯
cos t cos t
u01 (t) = 1 ⇒ u1 (t) = t; u02 (t) = − tg t ⇒ u2 (t) = ln |cos t| .
Solutia particular˘ a ecuatiei neomogene este xp (t) = t sin t + cos t · ln |cos t| . Solutia
¸ a ¸ ¸
general˘ a ecuatiei neomogene este:
a ¸
x(t, c1 , c2 ) = c1 sin t + c2 cos t + t sin t + cos t · ln |cos t| .N

ˆ aplicatiile tehnice apar probleme care necesit˘ determinarea solutiei generale a unei
In ¸ a ¸
ecuatii diferentiale liniare neomogene cu coeficienti constanti ˆ care functia f este un
¸ ¸ ¸ ¸ ın ¸

¸ ¸

cvasipolinom sau o sum˘ de cvasipolinoame. ˆ aceste cazuri se poate determina direct o
a In
solutie particular˘ a ecuatie neomogene folosind rezultatele ce urmeaz˘.
¸ a ¸ a
forma lui f xp xp
P (0) = 0,
Xm
...
f (t) = bi ti P (0) 6= 0
P (s−1) (0) = 0,
i=0
P (s) (0) 6= 0
Xm X
m
i s
xp (t) = µi t xp (t) = t µi ti
i=0 i=0
(Exercitiul 2.7)
¸ (Exercitiul 2.8)
¸
 P (α) = 0,

X
m 
αt ...
f (t) = e bi ti dac˘ P (α) 6= 0
a dac˘a
 P (s−1) (α) = 0,

i=0  (s)
P (α) 6= 0
X
m X
m
αt
xp (t) = e µi ti s αt
xp (t) = t e µi ti
i=0 i=0
(Exercitiul 2.9)
¸ (Exercitiu l2.10)
¸
 P (iβ) = 0,


f (t) = P (t) cos βt+ ....
dac˘ P (iβ) 6= 0 atunci
a dac˘a
+Q(t) sin βt  P (s−1) (iβ) = 0,

 (s)
P (iβ) 6= 0
xp (t) =
xp (t) =
= ts [A(t) cos βt+
= A(t) cos βt + B(t) sin βt
gradP = n, +B(t) sin βt]
(Exercitiul 2.11)
¸
gradQ = m (Exercitiul 2.12)
¸
unde gradA =
unde gradA =
= gradB = max {m, n}

 P (α + iβ) = 0,

f (t) = 
αt ....
= e [P (t) cos βt+ dac˘ P (α + iβ) 6= 0 atunci
a dac˘a
 P (s−1) (α + iβ) = 0,

+Q(t) sin βt]  (s)
P (α + iβ) 6= 0
xp (t) =
xp (t) =
= ts eαt [A(t) cos βt+
eαt [A(t) cos βt + B(t) sin βt]
gradP = n, +B(t) sin βt]
(Exercitiul 2.13)
¸ ,
gradQ = m (Exercitiul 2.14)
¸
unde gradA =
unde gradA =
Facem observatia c˘ P, Q, A, B sunt polinoame de grad care se speciﬁc˘ de ﬁrcare dat˘.
¸ a a a

¸ a ¸ a ¸

x00 − x = t2 .

¸ ¸ ¸ ¸ 23

Rezolvare. Determin˘m solutia general˘ a ecuatiei omogene: ecuatia caracteristic˘ este
a ¸ a ¸ ¸ a
2 −t t
λ − 1 = 0 ⇒ λ1 = −1, λ2 = 1 ⇒ xo (t, c1 , c2 ) = c1 e + c2 e .
C˘ut˘m solutia particular˘ a ecuatiei neomogene. Observ˘m c˘ λ = 0 nu este r˘d˘cin˘
a a ¸ a ¸ a a a a a
a ecuatiei caracteristice, deci xp (t) = at2 + bt + c ⇒ x0p (t) = 2at + b, x00 (t) = 2a. ˆ
¸ p Inlocuim
ˆ ecuatia neomogen˘ ¸i obtinem:
ın ¸ as ¸
2a − at2 − bt − c = t2 ⇒ a = −1, b = 0, c = −2 ⇒ xp (t) = −t2 − 2.
Solutia general˘ a ecuatiei date este: x(t, c1 , c2 ) = c1 e−t + c2 et − t2 − 2.N
¸ a ¸

¸ a ¸ a ¸

x(IV ) − 4x00 = 8t2 .

a ¸ a ¸ ¸ a
λ − λ = 0 ⇒ λ1,2 = 0, λ3 = 2, λ4 = −2 ⇒ xo (t, c1 , c2 , c3 , c4 ) = c1 + c2 t + c3 e + c4 e2t .
4 2 −2t

C˘ut˘m solutia particular˘ a ecuatiei neomogene. Observ˘m c˘ λ = 0 este r˘d˘cin˘
2 2
de ordin de multiplicitate doi a ecuatiei caracteristice, deci xp (t) = t (at + bt + c) ⇒
¸
(IV )
xp (t) = 4at + 3bt + 2ct, xp (t) = 12at2 + 6bt + 2c, x000 (t) = 24at + 6b, xp (t) = 24a.
0 3 2 00
p
ˆ
Inlocuim ˆ ecuatia neomogen˘ ¸i obtinem:
ın ¸ as ¸ µ ¶
2 2 1 1 2 1 2 1
24a − 48at − 24bt − 8c = 8t ⇒ a = − , b = 0, c = − ⇒ xp (t) = −t t + .
6 2 6
µ 2 ¶
−2t 2t 2 1 2 1
Solutia general˘ a ecuatiei date este: x(t, c1 , c2 ) = c1 +c2 t+c3 e +c4 e −t
¸ a ¸ t + .N
6 2

¸ a ¸ a ¸

x00 − 3x0 + 2x = 8t2 e3t .

a ¸ a ¸ ¸ a
2 t 2t
λ − 3λ + 2 = 0 ⇒ λ1 = 1, λ2 = 2 ⇒ xo (t, c1 , c2 ) = c1 e + c2 e .
C˘ut˘m solutia particular˘ a ecuatiei neomogene. Observ˘m c˘ λ = 3 nu este r˘d˘cin˘
a ecuatiei caracteristice, deci
¸
xp (t) = e3t (at2 + bt + c) ⇒
x0p (t) = 3e3t (at2 + bt + c) + e3t (2at + b) ,
x00 (t) = 9e3t (at2 + bt + c) + 4e3t (2at + b) + e3t 2a.
p
ˆ
Inlocuim ˆ ecuatia neomogen˘ ¸i obtinem:
ın ¸ as ¸ µ ¶
1 1 1 2 1
24a − 48at2 − 24bt − 8c = 8t2 ⇒ a = − , b = 0, c = − ⇒ xp (t) = −t2 t + .
6 2 µ 6 ¶ 2
1 2 1
Solutia general˘ a ecuatiei date este: x(t, c1 , c2 ) = c1 et + c2 e2t − t2
¸ a ¸ t + .N
6 2

¸ a ¸ a ¸

x00 − 6x0 + 9x = t2 e3t .

Sinteza

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (8)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (7)

Mehr von Happysadrock Blackpinkforyou

Mehr von Happysadrock Blackpinkforyou (6)

Sinteza