1. Criterio de la Integral<br />Ejercicio para resolver en clase:<br />Determine por medio del criterio de la integral las siguientes series <br />1. <br />1∞1xdx=limb->∞1bdxx<br />=limb->∞ln(x)b1<br />= limb->∞(ln(b)-ln(1))<br />= limb->∞ ln(b) = ∞<br />Entonces . DIVERGE porque 1∞1xdx también DIVERGE<br />2. <br />1∞xx+1dx= limb->∞1bxx+1dx<br />u=x+1dv=x<br />du=dxv=x22<br />u.v-u.dv<br />x2x+12-x+1dx<br />x2x+12-(xdx+dx)<br />x2x+12-x22-x<br />x32+x22-x22-x<br />x32-x<br />limb->∞(n32-n)<br />1b(x32-x)dx DIVERGE<br />3. <br />1∞1x2dx<br />=limb->∞1x2<br />= limb->∞-x-1<br />limb->∞(-1b-(-1))=1<br /> CONVERGE a 1<br />Ejercicios para resolver en la casa<br />1. <br />1∞1x2+1dx<br />limb->∞1b1x2+1dx<br />2. <br />1∞xx2+1dx<br />limb->∞1bxx2+1dx<br />U=x2+1<br />Du=2x.dx<br />du2=x.dx<br />12duu<br />12lnu=12ln(x2+1)<br />limb->∞1bxx2+1dx=limb->∞12ln(x+1)<br />12limb->∞(lnx2+1-ln2)=∞<br />DIVERGE<br />3. <br />1∞x2x3+1dx<br />limb->∞1bx2x3+1dx<br />U=x3+1<br />13Du=x2dx<br />13duu<br />13lnu=13ln(x3+1)<br />limb->∞1bx2x3+1dx=limb->∞13ln(x3+1)<br />13limb->∞(lnx3+1-ln2)=∞<br />DIVERGE<br />4 .<br />1∞e-xdx<br />limb->∞1be-xdx<br />limb->∞-e-x<br />limb->∞-e-b-(-e-1)<br />= 0<br /> CONVERGE<br />5. <br />Criterio del cociente:<br />Ejercicio para resolver en clase<br />Determinar por el criterio del cociente la convergencia o divergencia de las siguientes series<br />1. <br />An=1n!An+1=1(n+1)!<br />n!=n(n-1)<br />(n+1)!=(n+1)n!<br />limn->∞(1n+1n!1n!) = limn->∞(2nnn+1n!)<br />limn->∞(n!n+1n!)=limn->∞1n+1=0<1 Entonces, CONVERGE<br />2. <br />An=nn2nAn+1=nn+12n+1=nnn2n2<br />limn->∞(nnn2n2nn2n) = limn->∞(n2)<br />12limn->∞(n) =∞<br /> DIVERGE porque ∞ > 1<br />3. <br />An=2nnnAn+1=2n2(n+1)n+1<br />limn->∞(2n2(n+1)n+12nnn) = limn->∞(2nn(n+1)n+1)<br />limn->∞(2nnnn)<br /> DIVERGE porque ∞ > 1<br />Ejercicios para resolver en la casa<br />1. <br />An=2n2n!An+1=2n2(n+1)n!<br />limn->∞(2n2(n+1)n!2n2n!) = limn->∞(1n+1) = 0<br />. Entonces, CONVERGE porque 0 < 1<br />2. <br />An=2nn!nnAn+1=2n2(n+1)n!n+1n(n+1)<br />limn->∞(2n2(n+1)n!2n2n!) = limn->∞(nnn+1)n) = 0<br /> Entonces, CONVERGE porque 0 < 1<br />3. <br />An=3nn2nnAn+1=3n3n2nn<br />limn->∞(3n3n2nn3nn2nn) = limn->∞(3nnn) = 0<br />Entonces, CONVERGE porque 0 < 1<br />4 .<br />An=e-n2An+1=e-(n+1)2<br />limn->∞(e-(n)2e2e-n2) = limn->∞e2 = e2>0<br />Entonces, DIVERGE porque e2 > 0<br />5. <br />An=n2n!An+1=(n+1)2(n+1)n!= n+1n!<br />limn->∞(n+1n!n2n!) = limn->∞(n+1n2) = 0<br />Entonces, CONVERGE porque 0 < 1<br />6. <br />An=-1nn!nnAn+1=-1nn!(n+1)n<br />limn->∞-1nn!n+1n-1nn!nn = limn->∞n+1nnn = ∞<br />Entonces, DIVERGE porque ∞ > 0<br />7. <br />8 .<br />An=nnn!An+1=n+1n(n+1)(n+1)n=(n+1)nn!<br />limn->∞(n+1)nn!nnn! = limn->∞n+1nnn<br /> DIVERGE porque ∞ > 1<br />Criterio de las P-series<br />La serie de la forma , se denomina P-serie, la P-serie converge cuando p>1<br />Ejercicio para resolver en la clase:<br />Determinar por el criterio de las P-series si las siguientes series convergen o divergen<br />1. <br />P=2 CONVERGE 2>1<br />2. <br />P=1/2 = 0.5 DIVERGE 0.5>1<br />Ejercicios para resolver en la casa<br />1. <br />P=6 CONVERGE 6>1<br />2. <br />P=sen(45)=0.8 DIVERGE 0.8>1<br />Criterio de la raíz<br />Sea , una serie infinita, con diferente de cero, entonces<br />1. =L<1 entonces la serie converge absolutamente<br />2. =L>1entonces la serie diverge<br />3. =L=1 el método no garantiza nada<br />Ejercicio para resolver en la clase<br />1. <br />limn->∞1. nn-n = limn->∞1n<br />La serie CONVERGE porque 0<1<br />2. <br />limn->∞n-1n<br />La serie tiende 1=1, por lo tanto hay que buscar otro criterio por el cual si se pueda hallar convergencia<br />Ejercicios para resolver en la casa<br />1. <br />limn->∞1(lnn+1)n = limn->∞1 ln(n+1)-n<br />La serie CONVERGE porque 0<1<br />2. <br />limn->∞n(2nnn) = limn->∞ 2n<br />La serie CONVERGE porque 0<1<br />3. <br />limn->∞n2n-n = limn->∞ nn2 nn-n = limn->∞ nn2-n<br />La serie CONVERGE porque 0<1<br />4 .<br />limn->∞ ne-n = limn->∞ 1e1<br />La serie . CONVERGE porque 0<1<br />Convergencia Absoluta<br />A las series de la forma y , se denominan series alternantes, en ellas se puede determina una convergencia condicional o una convergencia absoluta<br />La convergencia de una serie alternante es condicional cuando se cumple que:<br />1. <br />2. <br />La convergencia de una serie alternante es absoluta cuando se cumple que:<br />1. <br />2. <br />3. la serie de términos positivos converge<br />Ejercicios para resolver en clase:<br />Determinar la convergencia o divergencia de;<br />1. <br />An=1nan+1=1n+1<br />1n=1n+1<br />n+1 > n Tiene CONVERGENCIA absoluta<br />limn->∞ 1n entonces el límite es igual a 0<br />2. <br />An=n!nnan+1=(n+1)n!(n+1)n+1 = n!n+1<br /> n!n+1< n!nn No se presenta CONVERGENCIA absoluta porque no se cumple la primera condicion<br />3. <br />An=1nnan+1=1(n+1)n+1<br />1(n+1)n+1 < 1nn No se presenta CONVERGENCIA absoluta porque no se cumple la primera condicion<br />