1) O documento descreve o método de simulação de Monte Carlo para avaliação de risco de carteiras, gerando cenários pseudo-aleatórios para fatores de risco e reprecificando a carteira em cada cenário. 2) É mostrado como aplicar o método para carteiras com derivativos e múltiplos fatores de risco, gerando números aleatórios que respeitem as correlações entre os fatores. 3) O VaR é calculado como o quantil da distribuição dos resultados de P&L nos cenários simulados

1. VaR via Simulação
Análise de Risco (5)
R.Vicente
1

2. Resumo
Monte Carlo para Avaliação Risco
Carteiras com Derivativos
Múltiplos Fatores de Risco
Números Pseudo-aleatórios
Cenários de Stress: Estudo de Caso
Cenários Ad-hoc
Cenários por Fator de Risco e Netting
Bibliografia
2

3. Monte Carlo para Avaliação de
Risco: Idéia Geral
Seja uma carteira com função preço V ( S ) que dependa de um
vetor de fatores de risco S = ( S , S ,..., S ) .
1 2 m
Assumamos uma dinâmica estocástica para os fatores de risco:
S (t + Δt ) = DΔt [ S (t ) ]
Geremos N realizações da dinâmica e reprecifiquemos a carteira
em cada um destas realizações:
Vt +Δt = V ⎡⎢⎣ S ( n ) (t + Δt )⎤⎥⎦ n = 1,..., N
(n)
3

4. Monte Carlo para Avaliação de
Risco: Idéia Geral
Os N cenários de P&L serão:
ΔV ( n ) = Vt +Δt −Vt
(n)
n = 1,..., N
O VaR da carteira com confiança de (1− α ) % será:
⎧
⎪
⎪ΔV ∈ {ΔV ( n ) } : 1
N ⎫
⎪
⎪
n=1 ∑ {ΔV <ΔV }
N
VaR = sup ⎨ ≤ Nα⎬
⎪ ⎪
(n)
⎪
⎩ n=1 ⎪
⎭
4

5. Exemplo: DEaR de PETR4
A função preço de uma carteira contendo PETR4 é simplesmente:
V ( S ) = qS
q é a quantidade de ações e S é a cotação de PETR4.
Escolhemos uma janela de tempo Δt = 1 dia e um
Movimento Browninano Geométrico sem drift como dinâmica
estocástica:
St +1 = St (1 + σε)
VOLATILIDADE ε ~ N (0,1)
DE 1 DIA
5
(EWMA ou GARCH)

6. 35,00
40,00
45,00
50,00
55,00
60,00
65,00
-0,1
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
29/01/01 26/01/01
29/03/01 26/03/01
29/05/01 26/05/01
29/07/01 26/07/01
29/09/01 26/09/01
29/11/01 26/11/01
Cotações PETR4
29/01/02 26/01/02
Retornos e Volatilidade EWMA
29/03/02 26/03/02
29/05/02 26/05/02
Passo 1: Estimação de Vol
29/07/02 26/07/02
6

7. Passo 2: Gera N=5000 Cenários
St +1 = St (1 + σε)
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
3
4
6
8
9
1
2
4
6
7
9
1
2
4
6
7
9
,6
,1
,6
,1
,6
,2
,7
,2
,7
,2
,7
,3
,8
,3
,8
,3
,8
35
36
36
37
37
38
38
39
39
40
40
41
41
42
42
43
43
S(t+1)
LOG-NORMAL
7

8. (4
2.
7
100
120
140
160
180
0
20
40
60
80
(3 42)
7.
5
(3 77)
2.
4
(2 12)
7.
2
(2 47)
2.
0
dos Cenários
ΔV
(1 82)
6.
9
(n)
(1 16)
1.
75
(6 1)
.5
= q ⎢⎣
86
(1 )
.4
21
3. )
74
4
8.
P&L 14 9
90
.0
7
19 5
.2
4
24 0
.4
0
⎥⎦
⎡ S ( n ) (t + 1) − S (t )⎤
29 5
.5
Passo 3: Avalia P&L para cada um
7
34 0
.7
3
39 5
.9
00
8

9. (4
2.
7
100
120
140
160
180
0
20
40
60
80
(3 42)
7.
5
(3 77)
2.
4
(2 12)
7.
2
(2 47)
2.
0
(1 82)
6.
9
(1 16)
VaR = 29.013
1.
75
(6 1)
.5
86
(1 )
.4
21
3. )
74
4
8.
P&L
90
14 9
.0
7
19 5
.2
4
24 0
.4
0
29 5
.5
7
VaR parametrico = ασV = 28.372
34 0
.7
Passo 4:Avalia VaR (localiza quantil)
3
39 5
.9
00
9

10. Carteiras com Derivativos
Para exemplificar o uso da simulação de Monte Carlo para carteiras
altamente não-lineares utilizamos um Short Straddle semelhante
àquele que provocou a quebra do Barings em 1995
−rT −rT
( Delta*Ativo-Call-Put): V (S) = Xe N(d2 ) − Xe N(−d2 )
Gerando cenários como antes:
St +1 = St (1 + σε)
Apreçando a carteira e avaliando o P&L em cada cenário:
ΔV ( n ) = V ( S ( n ) ) −V ( S (t ))
10

11. Carteiras com Derivativos
S(t+1) call put V(t+1) P&L
37,86864 -2,180261 -2,360794 6,819538 -0,259042
40,05286 -3,471554 -1,467875 7,076427 -0,002153
40,25085 -3,603757 -1,402082 7,069417 -0,009163
38,50176 -2,521693 -2,069113 6,959721 -0,118859
41,35245 -4,380707 -1,077437 6,94759 -0,13099
41,35031 -4,379136 -1,078001 6,947956 -0,130624
39,8541 -3,341245 -1,53632 7,078665 8,51E-05
40,29917 -3,636374 -1,386384 7,066992 -0,011588
40,11299 -3,511456 -1,447642 7,074799 -0,003782
39,67229 -3,224187 -1,601075 7,076426 -0,002154
40,78518 -3,972077 -1,236076 7,027401 -0,051179
39,18249 -2,919277 -1,785969 7,0495 -0,02908
11

12. Carteiras com Derivativos
1400
VaR MC 0,63
1200
VaR Delta -
1000
800 VaR Delta-Gama 0,30
600
400
200
0
-1,24
-1,06
-0,88
-0,70
-0,52
-0,34
-0,16
0,02
0,20
0,38
0,56
0,74
0,92
1,10
1,28
P&L
12

13. Carteiras com Múltiplos
Fatores de Risco
Quando a função preço depende de mais de um fator de risco é
necessário adequar a geração de cenários às correlações entre os
fatores. Exemplificamos a seguir o caso de uma carteira que
contenha Dólar e PETR4:
V (SPETR , SUSD ) = qPETRSPETR +qUSDSUSD
Os cenários devem ser gerados levando-se em conta correlações
entre os ativos:
S k (t + 1) = Sk (t )(1 + σk εk ) ε ~ N (0, ρ )
A carteira é então avaliada nos cenários e os P&L’s obtidos :
ΔV (n)
= V (S (n)
) −V ( S (t ))
13

14. Gerando números aleatórios com Covariância
Dada: Decomposição de Cholesky
É possível gerar ε ~ N (0, ρ ) a partir de variáveis aleatórias
independentes ξ empregando a decomposição de Cholesky.
Para isso basta observarmos que:
ρ=A A T
ε=Aξ
εj εk = Ajl ξl Akmξm
= Ajl Akm ξl ξm = Ajl Akmδlm
= Ajm Akm = Ajl Alk = ρ
T
14

15. Gerando números aleatórios com Covariância
Dada: Correlação EWMA
Correlação PETR4-DÓLAR EWMA
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
-10%
-20%
26/08/01
26/09/01
26/10/01
26/11/01
26/12/01
26/01/02
26/02/02
26/03/02
26/04/02
26/05/02
26/06/02
26/07/02
15

16. Carteiras com Múltiplos Fatores
Decomposição de Cholesky
1,00 0,00 1,00 -0,13 1,00 -0,13
-0,13 0,99 0,00 0,99 -0,13 1,00
Matriz de Correlação
1 2
1 1,00 -0,13
2 -0,13 1,00
16

17. Carteiras com Múltiplos Fatores
q1 1000 S1 39,90 σ1 3,1%
q2 50 S2 3.097,90 σ2 1,8%
V 194.795,00
Correlação
3,8% -9,0%
ξ1 ξ2 ε1 ε2 S1 S2 V P&L
-1,665584 -0,432565 -1,665584 -0,217017 37,86864346 3.085,92 192.164,55 (2.630,45)
0,125332 -1,665584 0,125332 -1,667988 40,05285602 3.005,81 190.343,26 (4.451,74)
0,287676 0,125332 0,287676 0,087691 40,25085186 3.102,74 195.387,93 592,93
-1,146471 0,287676 -1,146471 0,431282 38,50175677 3.121,71 194.587,34 (207,66)
1,190915 -1,146471 1,190915 -1,288747 41,35244753 3.026,75 192.689,77 (2.105,23)
1,189164 1,190915 1,189164 1,029846 41,35031168 3.154,76 199.088,27 4.293,27
-0,037633 1,189164 -0,037633 1,18428 39,85410223 3.163,29 198.018,39 3.223,39
0,327292 -0,037633 0,327292 -0,078991 40,2991677 3.093,54 194.976,11 181,11
0,174639 0,327292 0,174639 0,302398 40,11299093 3.114,60 195.842,78 1.047,78
17

18. (1
0.
36
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
(9 8)
.1
4
(7 0)
.9
1
(6 1)
.6
8
(5 2)
.4
5
(4 4)
.2
2
(2 5)
.9
VaR
9
(1 7)
.7
68
)
(5
VaR Delta
39
)
68
1. 9
91
8
Carteiras com Múltiplos Fatores
3.
14
7
4.
37
6.682,31 5
6.915,78
5.
60
4
6.
83
3
8.
06
1
9.
29
0
18

19. Geração de Números Pseudo-aleatórios
através do mapa logístico
19

20. Geração de Números Pseudo-aleatórios
através do mapa logístico
Medida de
Lebesgue =1 para
μ=4
20

21. Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico: Limitações 1
– ponto fixo
Ponto fixo
instável x=3/4
21

22. Geração de Números Pseudo-aleatórios através
do mapa logístico: Limitações 2 – Medida
invariante
A medida invariante representa a probabilidade de que a trajetória passe
pelo intervalo [x,x+dx]. No caso do mapa logístico essa medida é não-
uniforme:
A partir das trajetórias do mapa logístico é possível, no entanto, através de
uma transformação de variáveis gerar um novo mapa com medida
invariante uniforme:
22

23. Geração de Números Pseudo-aleatórios:
Gerador Congruencial Linear
I i+1 = aI i + b (mod m)
a, b, m ∈
23

24. Geração de Números Pseudo-aleatórios:
Gerador Congruencial Linear
m e b são primos entre si (MDC(m,b)=1);
a=1(mod p) para todo fator primo p de m;
a=1(mod 4) se m=0(mod 4).
Ex: a=7, b=13 e m=18
Fatores primos de m=2,3, assim a=1 (mod 2) e a=1(mod
3).
Boa escolha: a=75, b=0 e m=231-1 24

25. Cenários de Streess: Estudo de Caso
Total Return Swap da SK Securities
Co.
Início : Janeiro 1997
Vencimento: Janeiro de 1998
Pricipal: N=US$ 53 milhões
Payoff:
⎡ ⎛B ⎞ ⎤
⎜ 0 ⎟ + max ⎛0, 3R0 − R1 − R2 ⎞ + max ⎛0,1− Y0 ⎞ − 0,97⎥
N ⎢⎢5 ⎜ −1⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎟
⎜B ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ R2 ⎠ ⎝ Y2 ⎠ ⎥⎦
Bk : cotação baht/usd no semestre k
Rk : cotação rupia/usd no semestre k
Yk : cotação yen/usd no semestre k
25

26. Estudo de Caso: Total Return
Swap da SK Securities Co.
⎡ ⎛B ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
⎢5 ⎜ 0 −1⎟ + max ⎜0, 3R0 − R1 − R2 ⎟ + max ⎜0,1− Y0 ⎟ − 0,97⎥
N⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜B ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ R2 ⎠ ⎝ Y2 ⎠ ⎥⎦
CENÁRIO FAVORÁVEL:
• Valorização ( B0>B2 ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou
manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen.
Ex: Baht -10%, Rúpia -10% (1 sem) -20% (2 sem), Yen +10%
Payoff= US$ 69 MM (Lucro)
CENÁRIO DESFAVORÁVEL:
• Desvalorização do Baht e da Rúpia, manutenção ou valorização do Yen.
Ex: Baht +100%, Rúpia +48% (1 sem) +100% (2 sem), Yen 0%
Payoff= - US$ 184 MM (perda)
26

27. Estudo de Caso: Total Return
Swap da SK Securities Co.
CENÁRIO FAVORÁVEL:
• Valorização ( B0>B2 ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou
manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen.
Razões para entrar no contrato:
1. Baht vinculado a uma cesta de moedas (80% USD, 12%
JPY e 8% DEM);
2. Rúpia limitada artificialmente à desvalorizações de
5%/ano.
3. Iene com livre oscilação.
27

28. Frequency
0
10
20
30
40
(7.131)
(6.083)
(5.034)
(3.986)
VaR(1%)=5,8 MM
(2.937)
(1.889)
(840)
208
Profit & Loss
1.257
2.305
3.354
4.402
5.451
Estudo de Caso: Simulação Histórica
28

29. 18000
16000
14000
12000
10000
Rúpia
8000
6000
4000
2000
0
60
55
50
45
40
Baht
35
30
25
20
250
230
210
190
170 Iene
150
130
110
90
70
50
29

30. Estudo de Caso: Perda Realizada
após Crise Asiática
Cotação em Jan/97 2.375,00 25,90 121,78
IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y)
96-97 2,15% 3,97% -0,24% -4,78% 2426,66 2471,11 25,84 116,10 (3.016)
97-98 8% 166% 73% 3% 2572,81 12490,86 53,74 125,49 (187.138)
Perda de US$ 187 MM
(32 vezes maior !)
30

31. Cenários Ad-hoc
Cotação em Jan/97 2.375,00 25,90 121,78
IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y)
Cenário1 5% 10% 10% 0% 2496,77 2624,78 28,62 121,78 (36.174)
Cenário 2 10% 20% 20% 0% 2624,78 2900,83 31,63 121,78 (70.225)
Cenário 3 20% 40% 40% 0% 2900,83 3543,08 38,64 121,78 (128.587)
Cenário 4 40% 80% 80% 0% 3543,08 5285,66 57,64 121,78 (197.338)
Cenário 5 50% 100% 100% 0% 3915,71 6455,92 70,40 121,78 (218.922)
PRÓ CONTRA
Facilidade de Dificuldade na
cálculo determinação da
plausibilidade dos
cenários
31

32. Estudo de Caso II: Margens de Garantia BM&F
Fatores de Risco
Estrutura a Termo Mercados a vista Volatilidade
Pré Cupom de USD IGPM Dólar Spot BOVESPA Bolsa Externa Brady Bonds
Futuro de Dólar
Opções de Dólar
Títulos Cambiais
Futuro de DI
Títulos Pré
Swaps Pré
Swaps Dólar
Ações Internas
Futuro de Ação
Opções sobre Ações
Brady Bonds
Opção IDI
Títulos IGPM
Swaps IGPM
FRA de Cupom
Ações Exterior
32

33. Exemplo de decomposição de Carteira em
Fatores de Risco
Carteira
• Ativo em R$ 10 MM em papel cambial para 34 dias
• Ativo em R$ 6 MM em PU de Futuro de DI para 216 dias
• Ativo em R$ 4 MM em Futuro de IBOVESPA para 49 dias
33

34. Decomposição: Título Cambial
Título Cambial
VF
P= S
1+ C
⎛ P′ ⎞
⎜ ⎟ = ln ⎛ VF S ′ 1 + C 1 ⎞
ln ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎟
⎜P⎠
⎝ ⎟ ⎜1 + C ′
⎝ VF S ⎠ ⎟
⎛ S ′⎞ ⎛ PUUSD ⎞
′ ⎟
⎜ ⎟ + ln ⎜
= ln ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟
⎜S⎠ ⎜ PU ⎠ ⎟
⎝ ⎝ USD ⎟
DÓLAR SPOT CUPOM DE DÓLAR
34

35. Decomposição: PU de Futuro de DI
Futuro de DI
100.000
P=
1+ i
⎛ P′ ⎞ ⎛ 1+ i ⎞ ⎛ PU ′ ⎞
ln ⎜ ⎟ = ln ⎜
⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = ln ⎜
⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟
⎟
⎜P⎠
⎝ ⎜1 + i ′ ⎠
⎝ ⎜ PU ⎠
⎝
PRÉ
35

36. Decomposição: PU de Futuro de IBOVESPA
Futuro de IBOVESPA
F = IBV (1 + i )
⎛ F ′⎞ ⎛ IBV ′ (1 + i ′)⎞
⎟
⎜ ⎟ ⎟ ⎜
⎜
ln ⎜ ⎟ = ln ⎜ ⎟
⎜F⎠ ⎟
⎟
⎝ ⎜ IBV (1 + i ) ⎠
⎝ ⎟
⎛ IBV ′⎞
⎟ − ln ⎛ PU ′ ⎞
⎟
⎜
= ln ⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎜ IBV ⎠
⎝ ⎟ ⎜
⎝ PU ⎠ ⎟
BOVESPA PRÉ (PASSIVO)
36

37. Decomposição em Fatores de Risco
Posição Prazo
Título Cambial 10.000.000 34
Futuro de DI 6.000.000 216
Futuro de IBOVESPA 4.000.000 49
Mercado Vértice Posição
Dólar SPOT 10.000.000
IBOVESPA SPOT 4.000.000
Pré 30 (1.466.667)
Pré 60 (2.533.333)
Pré 90 -
Pré 120 -
Pré 180 3.600.000
Pré 270 2.400.000
Cupom de USD 30 8.666.667
Cupom de USD 60 1.333.333
Cupom de USD 90 -
Cupom de USD 120 -
Cupom de USD 180 -
Cupom de USD 270 - 37

38. Decomposição em Fatores de Risco
⎛ ΔVSTRESS ⎞
⎟
VaRSTRESS =V ⎜
⎜ ⎟
⎟
⎜ V
⎝ ⎠
= V (Δ%1 + Δ%2 + ... + Δ% )
F F Fn
38

39. Pool de Cenários
Cenário -5 Cenário -4 Cenário -3 Cenário -2 Cenário -1 Cenário 0 Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4 Cenário 5
-10% -8% -6% -4% -2% 0% 3% 6% 9% 12% 15%
-30% -24% -18% -12% 6% 0% 4% 8% 12% 16% 20%
0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51%
0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02%
0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54%
0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06%
0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12%
1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70%
0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51%
0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02%
0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54%
0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06%
0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12%
1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70%
(1.000.000) (800.000) (600.000) (400.000) (200.000) - 300.000 600.000 900.000 1.200.000 1.500.000
(1.200.000) (960.000) (720.000) (480.000) 240.000 - 160.000 320.000 480.000 640.000 800.000
51.373 41.067 30.413 20.360 10.053 - (40.133) (79.160) (117.627) (155.133) (243.480)
14.867 12.333 9.067 5.800 3.267 - (11.467) (23.800) (35.133) (46.467) (30.600)
39

40. Pior Caso e Cenários Macroeconomicamente
Plausíveis
PIOR CASO BULLISH BEARISH
Dólar (1.000.000) (1.000.000) 1.500.000
IBOVESPA (1.200.000) 800.000 (1.200.000)
Pré (243.480) 51.373 (243.480)
Cupom de USD (46.467) 14.867 (30.600)
(2.489.947) (133.760) 25.920
40

41. Bibliografia
• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.
• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);
• Jäckel, P., Monte Carlo Methots in Finance, Wiley Finance, 2002
•Vieira Neto, C.A. , Urban, F., Um Modelo de Stress Menos Subjetivo e Mais
Abrangente, Resenha BM&F 139
• Guidelines on Market Risk Vol 5: Stress Testing, ONB (2001).
Leituras Complementares
Glasserman, Heidelberger e Shahabuddin, Efficient Monte Carlo Methods for
Value-at-Risk
Jamshidian, F., Zhu, Y., Scenario Simulation: Theory and Methodology, Finance
and Stochastics, 1,43-67 (1997)
41